שני סוגי ספירה: כמות ואיכות (טור 193)

בס”ד

בטור הקודם הזכרתי את הסברא של בה”ג שלפיה הגדרת ספירה דורשת רצף, ולכן מי שלא סופר את ספירת העומר ברצף (למשל כשהחסיר יום) הפסיד את מצוות הספירה. טענתי שם שמדובר בדרישה מושגית ולא הלכתית, כלומר הדרישה הזאת לא יוצאת מפסוק כלשהו אלא ממשמעות המושג ספירה, שקיים גם בעולם ללא ציווי או לפני הציווי.

אבל על כך מתבקשת השאלה הבאה: הרי בה”ג מביא את הפסוק “תמימות”, כלומר הוא כן לומד זאת מפסוק? טענתי היא שהפסוק רק מלמד אותנו מהו המושג שנדרש בהלכה זו, ומשעה שזהו המושג, הדרישה לרצף נגזרת מעצם הגדרת המושג ולא מההלכה. מהו אותו מושג? כיצד יכולנו להבין אחרת את מצוות ספירת העומר לולא התורה הייתה כותבת “תמימות”? לכך רציתי להקדיש את הטור הנוכחי.[1]

בין כמות לאיכות: המקרה של רוב בבי”ד

בספרי שתי עגלות הובא הדיון הזה כחלק מהדיון ביחס בין כמות לאיכות, שבעצמו בא להדגים הבדל בין גישה מהותנית (אסנציאליסטית) לגישה הסכמית (קונוונציונליסטית) ביחס למושגים. בשפה המדוברת משתמשים באופן די תדיר במונחים ‘איכות’ ו’כמות’, ובדרך כלל הם נתפסים כמתארים צורות מדידה שונות. ישנן תכונות שמתארות איכויות של הדבר או הדברים, וישנן תכונות שמתוארות ככמותיות. גם בהלכה עולה ההבחנה בין איכות לכמות בכמה הקשרים, כמו למשל בדיני רוב בבי”ד (ראה על כך בטור 69).

על פי ההלכה, בבית דין רגיל יושבים שלושה דיינים. לא כולם צריכים להיות בעלי אותה רמת מומחיות וחכמה. יכול להיות מצב של בית דין אשר מורכב מגמיר (למדן, תלמיד חכם) אחד, ולצדו עוד שני הדיוטות. פסק הדין נקבע על פי דעת הרוב, כפי שלומדים מן הפסוק ‘אחרי רבים להטות’. ישנן דעות בפוסקים (ראה למשל ספר החינוך מצווה עח בעקבות ר’ האי גאון) שהרוב בו מדובר איננו רוב מספרי של הדיינים אלא רוב החכמה והמומחיות. לכן, כאשר הגמיר חולק על שני ההדיוטות, הדין יפסק כמותו. לעומתם, הרמב”ן בחידושיו למסכת יומא סובר שתמיד הרוב הקובע הוא הרוב המספרי של הדיינים.[2]

במבט ראשון נראה שיש כאן מחלוקת בשאלה האם מה שקובע הוא הכמות או האיכות של הדיינים. לפי ספר החינוך האיכות היא הקובעת, ולפי הרמב”ן, לעומת זאת, הולכים אחר הרוב הכמותי.[3]

לעצם הבעיה

כאשר מתבוננים יותר לעומק נראה שהתיאור הזה איננו כה חד משמעי. אמנם לפי בעל ספר החינוך נראה, לכאורה, שאיכות הדיינים היא הקובעת, ולא כמותם. אך מאידך נראה שניתן גם לנסח זאת אחרת. לכאורה אפשר לומר שגם ספר החינוך דורש רוב כמותי ולא איכותי, אלא שהרוב הנדרש לשיטתו הוא של כמות החכמה ולא של כמות הדיינים. קודם הנחנו שנדרש רוב של הדיינים, והשאלה האם לבחון רוב זה באמצעות מספר הדיינים או באמצעות איכותם. לפי ההבנה האלטרנטיבית המוצעת כאן, הרוב הנדרש איננו רוב של דיינים אלא רוב של חכמה. לפי הגדרה זו גם ספר החינוך סובר שהכמות היא הקובעת, אלא שהגודל שאת כמותו אנו דורשים כדי לקבוע את הרוב, הוא אחר מזה שמציע הרמב”ן. מה שקראנו קודם ‘איכות הדיינים’ אנו קוראים לו כעת ‘כמות החכמה שלהם’. אם כך כולם לכאורה יכולים להסכים שהרוב הנדרש הוא כמותי, והוויכוח הוא רק בשאלה רוב כמותי של איזה גודל נדרש לקביעת פסק ההלכה.

עד כאן הנחנו שהמושגים ‘איכות’ ו’כמות’ מוגדרים היטב, אלא שהיישום שלהם על המציאות לא ברור. לכן, אם מסיבה כלשהי ברור שהרוב הנדרש הוא ‘רוב הדיינים’, אזי ברור שהמחלוקת היא בשאלה איך למדוד רוב זה, דרך כמות הדיינים או איכותם. בסיטואציה כזו לכאורה ברור מהי איכות ומהי כמות, והשאלה היא רק איך לוודא שאכן מדובר בדילמה הזו ולא בניסוח האלטרנטיבי שהצעתי.

אלא שניתן לנסח את השאלה בצורה קיצונית יותר, ולומר שהמושגים ‘איכות’ ו’כמות’ עצמם אינם מוגדרים היטב, ולמעשה אינם באמת שונים זה מזה. איכות של דבר מסוים תמיד ניתנת לתיאור ככמות של משהו אחר. איכות של דיין היא תמיד כמות חכמתו. בניסוח הזה של השאלה כבר ישנו ערעור על עצם ההפרדה בין המושגים ‘איכות’ ו’כמות’, ולא רק על הישום שלהם לבעיות קונקרטיות. אולם בדיוק מסיבה זו הניסוח הזה הוא בעייתי, שכן ישנה אינטואיציה ברורה שכשמתייחסים לדיין החכמה מוגדרת כאיכות שלו, ובאותה מידה כשמתייחסים לחכמה אזי מידתה היא כמות. אם כך, השאלה אינה עוסקת רק בבעייתיות של היישום של המושגים ‘איכות’ ו’כמות’. הדילמה הבסיסית יותר היא: האם ‘איכות’ ו’כמות’ הם מושגים זהים שההבדלים ביניהם הם פיקטיביים, או שמא ישנו הבדל אמיתית ביניהם.

בטור 69 הבאתי שפירסיג בספרו זן ואמנות אחזקת האופנוע מדבר על ניסיון להגדיר מהי איכות ללא הצלחה. מסקנתו היא שהיוונים הם שהכניסו עמוק לתוך התרבות שלנו את ההנחה שכל מושג צריך להיות מוגדר במדויק. אם משתחררים מתביעה זו ומניחים להבנה האינטואיטיבית של המושגים לפעול ללא הנחייה וביקורת אנליטית, מגיעים לתובנות טובות יותר.[4] אבל זה לעשות לעצמנו חיים קלים. עדיין עלינו לחתור להגדרה במידת האפשר, או לפחות להנהרה. שימו לב שכאן לא מדובר בשאלה אלא בקושיה. ההבדל בין איכות וכמות לא רק שאינו ברור, אלא לכאורה אינו קיים. דבר כזה ודאי דורש הבהרה.

הצעה ראשונה: השפעתה של הוספה

שלמה מימון, בספרו גבעת המורה, על מורה נבוכים חלק א פרק עד, עוסק בסוגיא זו וכותב שעל ידי תוספת כמותית לא תתרבה האיכות. בהקשר לדוגמא שלנו, הנטייה הטבעית להתייחס לחכמה של הדיינים כאיכות ולא ככמות נובעת מן העובדה שאם נוסיף כמה דיינים בעלי רמת חכמה X נקבל עדיין (בסדרי גודל) את אותה רמת חכמה. רמה זו נמוכה מרמת החכמה של הדיין הבודד הגמיר. זהו מצב שכמותם של הדיינים השתנתה, ואיכותם לא. אם כן, לכאורה יש לנו הגדרה להבדל בין איכות לכמות: הפרמטר שאיננו משתנה כאשר מוסיפים כמויות (החכמה), הוא הנקרא פרמטר איכותי. הפרמטר שמשתנה (מספר הדיינים), נקרא פרמטר כמותי.

כדוגמא נוספת, הוספת מים בטמפרטורה מסוימת לעוד כמות של מים באותה טמפרטורה לא תשנה את איכות המים (הטמפרטורה שלהם), אלא רק את כמותם (המסה הכוללת).[5]

הגדרה זו נראית לכאורה ברורה אינטואיטיבית. ברור שהיא איננה פותרת את השאלה הראשונה שהעלינו, הנוגעת לאופן שאלת השאלה ביחס לדיינים: האם המחלוקת היא מהי הכמות הנדרשת (חכמה או דיינים), או שהמחלוקת היא האם נדרש רוב איכותי או כמותי של דיינים. אולם ביחס לשאלה השנייה (הניסוח הקיצוני המערער על עצם ההבדל בין המושגים) לכאורה ניתן כאן מענה הולם.

ובכל זאת, בחינת ההגדרה הזו בזהירות הראויה מעלה שעדיין לא נפתרה הבעיה. אם למשל הייתי מוסיף באופן כלשהו חכמה, ולא דיינים, הרי שמספר הדיינים הוא שלא היה משתנה ודווקא החכמה היתה גוברת. אמנם בדיינים נראה שקשה לחשוב על סיטואציה מציאותית איך לעשות זאת, אבל בדוגמת המים נראה שבהחלט ניתן לחשוב על חימום נוסף של אותה כמות מים. זוהי הוספת חום ללא שינוי כמות המים. לפי הגדרתו של בעל גבעת המורה עולה מתיאור כזה שהחום דווקא הוא הפרמטר הכמותי, והמים הם הפרמטר האיכותי. גם אצל הדיינים ניתן לחשוב על מצב בו אנו מלמדים אותם, ובכך הופכים אותם לחכמים ומיומנים יותר, וזאת בלי לשנות את מספרם (כמותם). אם כך, גם בהגדרה שניתנה למעלה למושגים ‘איכות’ ו’כמות’, אין הבחנה ברורה בין איכות ולכמות. הכל תלוי בשאלה מהו תהליך ההוספה. תהליך זה הוא שקובע מה יקרא איכות (מה שלא משתנה בתהליך ההוספה), ומה תיקרא כמות (מה שכן משתנה בתהליך זה).

אך על אף כל האמור נראה בעליל ש’כמות’ ו’איכות’ מובנים לכל בר דעת כשני מושגים שונים. נראה ברור, אינטואיטיבית לפחות, שהחכמה היא איכות, ומספר הדיינים הוא כמות. השאלה היא האם ניתן להגדיר בבירור את המושגים הללו.

הצעה שנייה: הבחנה בין סוגי דברים

יהיו שיאמרו כי ההבדל נעוץ בסוגם של הדברים אותם אנו מודדים. כאשר מודדים מושג מופשט (חכמה) אזי נאמר שמדובר על איכות. לעומת זאת, כאשר מודדים עצמים קונקרטיים (דיינים) אזי נאמר שהתוצאה היא כמות. לפי זה לא ניתן לדבר על כמויות בהקשר של מושגים מופשטים.

אבל כעת השאלה עברה למישור קודם: מהו מושג מופשט, לעומת עצם קונקרטי לעניין זה? לכאורה אין הבדל מהותי בין עצמים מופשטים (תארים, או מושגים בכלל) לבין עצמים פיזיים רגילים. האם מושג מופשט הוא פשוט עצם חסר מסה? לפי זה, אם נספור פוטונים בפיזיקה זו איכות ולא כמות? ואם נספור משך זמן כלשהו (כמו השניות או הדקות)? ברור שניתן לדבר גם על כמויות של מושגים מופשטים, למשל למנות כמה רעיונות חדשים ישנם במאמר או כמה שניות לקח המירוץ.

איסור מדידה בשבת: הבעיה

לאחר זמן רב של תהייה בנושא האיכות והכמות, שעיקריה תוארו עד כאן, דומני כי הצלחתי בכל זאת להבהיר לעצמי את ההבדל ביניהם. הפתרון לבעיה שאציג כאן, מבוסס על הבחנה מתמטית בין שני תפקודים שונים של מערכת המספרים. האסימון נפל לי בשבת לפני כעשרים שנה, כאשר שמעתי שיעור בבית הכנסת על איסור מדידה בשבת. כידוע, יש איסור למדוד דברים שונים בשבת. ישנם פוסקים הסוברים שניתן למדוד חום על ידי מד-חום בשבת. לכאורה, יסוד ההיתר נעוץ בכך שחום הוא מושג מופשט, ולכן אין מדידתו נחשבת כמדידה אסורה בשבת. יש לשים לב שיסוד האיסור על מדידה בשבת הוא בשקילה של סחורה, שהיא מדידה של חפצים פיזיים קונקרטיים. באותו שיעור תהה הרב מדוע הזמן, שהוא מושג מופשט לא פחות, אסור במדידה בשבת. משחשבתי על שאלה זו התבהרה לי באחת ההבחנה בין איכות לכמות.

מספרים סודרים ומונים

במתמטיקה מגדירים שתי פעולות שונות של ספירה, או אולי נכון יותר: שני סוגי שימוש במספרים. כאשר אנו מונים חפצים ואומרים שמונחים בפנינו חמישה חפצים, כוונתנו לכמותם של החפצים, שהיא יותר מארבעה, ופחות משישה. ניתן לומר שכאן המספרים משמשים כ’מספרים מונים’.[6] כל חפץ נוסף שנספר מוסיף אחד למניין הכללי. חפץ שיורד מן המניין הכללי, מוריד את ערכו באחד. ישנה משמעות לכל יחידה, וסך כל היחידות נותן את המניין הכללי. לעומת זאת, כאשר אנחנו מודדים אינטליגנציה, באמצעות מבחני IQ למשל, המספר שמייצג את רמת האינטליגנציה לא נוצר מהוספת יחידות. לא ניתן לקחת יחידת IQ ולהוסיף אותה למניין שנצבר עד כה, או להפחית אותה ממנו. הסיבה לכך היא שהמספרים במקרה זה הם ‘מספרים סודרים’. כלומר, המספר הכולל המייצג את רמת ה-IQ מייצג רמה כלשהי, ואין שום משמעות מובחנת ליחידות שבתוכו. IQ100 זוהי רמת אינטליגנציה שקטנה מ-IQ110 וגדולה מ-IQ90. לא ניתן להוסיף 10 יחידות IQ כדי לשנות את רמת האינטליגנציה. גם אם מישהו נעשה חכם יותר, בצורה זו או אחרת, נאמר שהוא הגיע לרמה של IQ110 ולא שנוספו לו 10 יחידות IQ. אף אחד לא יכול להצביע באופן מובחן על אותן יחידות שנוספו לו.

אם כן, בדוגמא זו כל מספר מייצג רמת אינטליגנציה מסוימת, ותפקידו של המספור ההיררכי לסדר את הרמות אחת אחרי השנייה לפי סדר כלשהו, ולא לספור את כמות היחידות שנאספו בסך הכל. המספרים המייצגים אינטליגנציה הם סולם (שיחידותיו שרירותיות במובנים מסוימים) שנועד לתת מדד כמותי לאיכויות, ולסדרן ולמיינן על פי המדד הזה. לכן אלו מספרים סודרים ולא מונים. הם לא סופרים יחידות אלא מסדרים רמות בסדר היררכי.[7]

איסור מדידה בשבת: הפתרון

אם נשתמש בחלוקה זו לענייננו, נבין שזמן נספר במספרים מונים. אנו מונים כמה שניות חלפו, כאשר כל שניה היא יחידה שנוספת למניין הכולל. טמפרטורה, לעומת זאת, נמדדת במספרים סודרים. המספר הכולל איננו אוסף של יחידות בודדות שביחד מהוות מניין כולל. המספר הוא בעל משמעות כוליית, ולא כאוסף של יחידות. 50 מעלות חום היא רמת חום גבוהה מ-40 מעלות ונמוכה מ-60 מעלות.[8] אין משמעות להוספת מעלה אחת על מנת לקבל מספר גבוה יותר של מעלות חום.

נמצאנו למדים, אם כן, שעל אף שזמן וחום שניהם פרמטרים מופשטים, ישנו הבדל באופן השימוש במספרים ביחס אליהם. מדידה שאסורה בשבת היא מדידה שתוצאתה מבוטאת במספרים מונים, כמו מדידת כמות סחורה, או מדידת זמן, ולא מדידה של פרמטר שנמדד במספרים סודרים, כמו טמפרטורה, או אינטליגנציה.

הצעה שלישית: איכות נמדדת במספרים סודרים וכמות במספרים מונים

ניתן להסיק מכאן באופן כללי, ש’איכות’ היא פרמטר שנמדד במספרים סודרים, ו’כמות’ היא פרמטר שנמדד במספרים מונים. גם שאלת רוב החכמה מול רוב המניין לגבי דיינים נמצאת כעת מובנת יותר. חכמה, מקבילה לאינטליגנציה, וכפי שראינו היא ניתנת לכל היותר לסידור ולא למנייה. לכן החכמה היא איכות, בעוד מספר הדיינים הוא כמות.

להבחנה זו יש קשר להצעות הקודמות. מושגים קונקרטיים ניתן תמיד לספור באופן של מנייה. אנו סופרים כמה עצמים קונקרטיים ישנם באוסף. מבין המושגים המופשטים, ישנם כאלו שניתנים למנייה (מספר הרעיונות במאמר, או כמות זמן), וישנם כאלו שאינם ניתנים אלא לסידור איכותי. כלומר נכונה האינטואיציה שפרמטר איכותי הוא תמיד מושג מופשט, אולם לא נכון שכל מדידה של מושג מופשט היא בהכרח מדידה של איכויות.

רק אעיר שגם ההסבר הזה לא מעמיד את המושגים ‘איכות’ ו’כמות’ באופן מובחן ומוגדר לחלוטין. כעת נותר לנו לברר מה מאפיין את הגדלים המופשטים שיכולים רק להיות סדורים ולא מנויים. קביעתי לעיל בדבר חוסר האפשרות להגדיר מושגי יסוד בעינה עומדת. פיידרוס, גיבור ספרו של פירסיג, ייאלץ להמשיך את המרדף הבלתי פוסק (וכנראה גם חסר התוחלת) שלו אחר הגדרת האיכות. אבל גם אם הגדרה אין כאן הנהרה יש ויש.

בחזרה לספירת העומר

לאור ההבחנה הזאת נוכל לחזור ולהסביר את הלימוד של בה”ג מהמילה “תמימות”. טענתי היא שהתורה מלמדת אותנו כאן שספירת העומר צריכה להיות ספירה מונה ולא סודרת (ובזה נחלקו עליו התוס’). מכאן והלאה המונח ספירה מונה אומר שצריך להיות רצף, כי כשמונים צריך לעבור על כל היחידות שנמנות. בספירה סודרת אין צורך ברצף, שכן עליך לבדוק באיזה שלב אתה כעת, ואין הכרח להעמידו ביחס לשלבים הקודמים. ומכאן שגם קטן שספר מדין חינוך יכול להמשיך ולספור בברכה גם לשיטת בה”ג שכן סוף סוף עובדתית הוא ספר את כל הרצף.

אגב, בטור הקודם הבאתי את ההסבר של בעל דבר אברהם לקושיא מדוע לא סופרים בחו”ל מספק שני ימים. הוא מסביר שספירה דורשת וודאות, ולכן ספירה מספק לא נחשבת כספירה. אמרתי שגם כאן זהו דין שנלמד מניתוח המושג ספירה ולא דרישה הלכתית. בפשטות יש מקום לדרישה כזאת גם אם הספירה היא סודרת (כשיטת התוס’), שהרי עדיין אתה אמור לדעת היכן בהיררכיה אתה נמצא.[9]

[1] עיקרו לקוח מהארה 9 בספרי שתי עגלות.

[2] ראה בנושא זה בפירוש מנחת חינוך על ספר החינוך שם, ובספר שער המשפט על שולחן ערוך חושן משפט, בסימן יח ובמה שהביא שם מספר שבות יעקב.

[3] ר’ יוסף ענגיל, בספרו לקח טוב סימן טו, דן בשאלה של כמות מול איכות בהלכה בהקשרים שונים, וראויה לציון העובדה שהוא לא מתייחס כלל לסוגייה זו.

[4] ראו על כך מזווית אחרת בטור 143.

[5] ראה דיון ודוגמאות נוספות בספר מפענח צפונות לרב מנחם מנדל כשר, פרק יא סימן ט.

[6] בתורת הקבוצות משתמשים במונחים ‘מספרים מונים’ ו’מספרים סודרים’, במובן מעט שונה, ביחס לקרדינלים אינסופיים. למיטב הבנתי ישנו קשר בין שני השימושים הללו, ואין כאן המקום לפרט.

[7] כמובן ניתן לסדר כמויות בסדר היררכי לפי הכמות, ואז המספרים המונים יהפכו לסודרים.

[8] חום כאנרגיה, אשר נמדד בקלוריות, הוא גודל מונה ולא סודר. וליודעי ח”ן אוסיף: ישנו קשר בין הבחנה זו להבחנה הפיסיקלית בין גדלים אינטנסיביים ואקסטנסיביים, אולם הן לא לגמרי חופפות.

[9] היה אולי מקום לחלק ולומר שדווקא בספירה מונה זו דרישה מתבקשת כי אתה סופר כמה יחידות (ימים) יש לך, ואם אתה מונה שני ימים שונים אינך יודע כמה הצטברו. אבל בספירה סודרת כשתספור את שני הימים ממה נפשך סידרת את הספירה בסדר הנכון גם אם הוא לא ברור לך. אבל זה נראה דוחק.