On Quantum Theory and Contradictory Claims/Beliefs

With God’s help

introduction

תורת הקוונטים מלאה מוזרויות, ורבים רואים בה אפילו סתירות לוגיות. עקרון אי הוודאות קובע שיש צמדי גדלים פיזיקליים שלא ניתן לייחס ערכים מוגדרים שלהם לאותו גוף בו זמנית. כך לדוגמה לא ניתן לייחס לגוף מסוים מיקום מוגדר ומהירות מוגדרת בו-זמנית. אם יש לו מיקום מוגדר אין לו מהירות מוגדרת ולהיפך. כך גם לגבי אנרגיה וזמן ועוד. זהו עיקרון מוזר וקשה לתפוס אותו, אבל על פניו אין בו סתירה לוגית. אין הכרח לוגי שיהיו לגוף מיקום ומהירות בו-זמנית (להלן אערער על כך). לכאורה זהו רק קושי אבל לא סתירה, בדומה למציאות של ארבעה ממדים שמאד קשה לנו לתפוס ובוודאי לדמיין, אבל אין במציאות כזאת משום סתירה. חוסר היכולת לדמיין זאת יסודו כנראה במגבלות התפיסה שלנו. לעומת זאת, עקרון הקומפלמנטריות (=ההשלמה), שמיוחס לפיזיקאי הדני נילס בוהר, נראה כמו סתירה לוגית של ממש. העיקרון הזה קובע שגוף כלשהו יכול להיות גם חלקיק וגם גל. ובאופן כללי יותר, ייתכן מצב שיש שני תיאורים סותרים של המציאות ששניהם נכונים. כאן כבר צעדנו צעד אחד הלאה, מעבר לעקרון אי הוודאות, שכן כאן אנחנו טוענים אודות המציאות טענה שיש בה סתירה לוגית. חלקיק אינו גל וגל אינו חלקיק. הטענה שחלקיק הוא גל, או שאובייקט כלשהו הוא גם גלי וגם חלקיקי נראית דומה לטענה שקיים במציאות (או אפילו בעולם המושגים או בעולם האידאות של אפלטון) רווק נשוי, או משולש עגול.

פיזיקאים ופילוסופים שונים מציעים להסביר את המוזרויות של תורת הקוונטים על בסיס הבעיות הלוגיות שקיימות בה. הם טוענים שתורת הקוונטים מבוססת על לוגיקה שונה מזו המוכרת לנו.[1] הלוגיקה הזאת אינה מקיימת חלק מהעקרונות הלוגיים שכלולים בלוגיקה הקלסית. ישנן כמה הצעות ללוגיקות כאלה, וביניהן הצעות שהיא אינה מקיימת את חוק הסתירה (שלא ייתכן שטענה X והיפוכה שתיהן אמתיות בו זמנית) או את חוק השלישי הנמנע (שאו שטענה X נכונה או שהיא לא נכונה, ואין אפשרות שלישית). הגישה הרווחת מציעה לוגיקה שמוותרת על תכונת הדיסטריבוטיביות שקיימת בלוגיקה הרגילה (מה שמכונה בעברית 'חוק הפילוג'): P*(Q U R) = (P*Q) U (P*R).[2]

פרשנויות מן הסוג הזה קרויות בשם כולל "לוגיקה קוונטית", וככלל הן מניחות שהטענה שתורת הקוונטים מבוססת על לוגיקה שונה מהווה הסבר למוזרויות שלה ולסתירות שאנחנו מוצאים בה.

מכאן קצרה הדרך בעיני הוגים רבים להסיק שחוקי הלוגיקה או האילוצים הלוגיים שאנחנו כל כך רגילים אליהם ולא רואים דרך להיחלץ מהם, אינם באמת כה דרקוניים וכה מוחלטים. על פי טענות אלו, תורת הקוונטים מאפשרת לנו לטעון טענות סתירתיות ולא צריך להיבהל מכך.

יש למסקנה הזאת יישומים מתבקשים בתיאולוגיה, שכן תיאורים שונים של האלוהים מובילים מטבע הנושא לסתירות, ולכאורה יש לנו דרך פשוטה להתמודד עם סתירות כאלה: הקב"ה הוא מעל הלוגיקה, וכך למשל הוא גם נמצא בכל העולם וגם רק מחוצה לו, הוא גם יודע מראש מה נבחר וגם יש לנו בחירה חופשית, הוא גם מושלם וגם משתלם וכדומה. רבים סבורים שהטענות הללו אינן כה מופרכות, שהרי אפילו הפיזיקה שלנו (בפרט תורת הקוונטים) לא תמיד מצייתת ללוגיקה. ישנה כאן הנחה שחוקי הלוגיקה אינם שונים עקרונית מחוקי הפיזיקה, וכמו שהקב"ה יכול לחולל ניסים, כלומר לפעול נגד חוקי הטבע, הוא יכול גם לפעול באופן שסותר את חוקי הלוגיקה.

במאמר זה ברצוני לבחון את הטענה העקרונית הזאת, ולהתמקד בפרשנויות הלוגיות לתורת הקוונטים. כדי לחדד את הדברים אציב כבר כאן את טענתי העקרונית: פרשנות שמבוססת על לוגיקה שונה אינה אלא נונסנס (שיח חסר פשר), הן ביחס לתורת הקוונטים והן ביחס לפילוסופיה ותיאולוגיה. אלו סתם צירופי מילים חסרי פשר. עמדתי היא שאין שום אפשרות לטעון טענה שלא מצייתת לחוקי הלוגיקה, לא בהקשר תיאולוגי ולא בכלל.[3]

הדיאלקטיקה היהודית-נוצרית לגבי ייחוס סתירות לאלוהות

בכתבי כמה מהראשונים ניתן למצוא טענות נחרצות כנגד ייחוס סתירות לוגיות לאלוהים. עד כמה שזה מפתיע, מדבריהם עולה שגם הוא כפוף לחוקי הלוגיקה. כאן אביא דוגמה בולטת אחת מדברי הרמב"ם בTeacher of the Confused ח"ג פט"ו:[4]

לנמנע טבע קיים קיום עומד, אינו מפעולת פועל, אי אפשר השתנותו כלל, ומפני זה לא יתואר השם ביכולת עליו, ואין חולק על זה אחד מאנשי העיון כלל, ולא יסכל זה אלא מי שלא יבין המושכלות.

כאן קובע הרמב"ם שאין לייחס לקב"ה סתירות לוגיות. הוא רואה בזה עניין מוסכם, ומי שחולק על כך לדעתו "אינו מאנשי העיון" ואינו מבין במושכלות.

אך מיד לאחר מכן הוא מוסיף שבכל זאת יש מקום למחלוקות בעניינים כאלה:

ואמנם מקום המחלוקת בין בעלי העיון כלם, הוא הרמז אל מין אחד מן המדומים, כי קצת אנשי העיון אומרים שזה מכת הנמנע אשר לא יתואר השם ביכולת עליו, ויאמרו אחרים שהוא מכת האפשר אשר נתלת יכולת השם בהמצאתו כאשר ירצה.

מחלוקת כזאת אינה עוסקת בייחוס סתירות לקב"ה. זה אינו אפשרי לכל הדעות. ניתן לחלוק רק בשאלה האם אכן מדובר בסתירה לוגית ("נמנעת לוגית") או רק בעניין לא מובן (או משהו שסותר את חוקי הטבע. "נמנעת פיזיקלית").[5] אבל אם הגענו למסקנה שזה מן הנמנעות (סתירה לוגית), אזי גם הקב"ה "לא יתואר ביכולת עליו".

בהמשך הוא מביא דוגמאות לייחוס סתירות לקב"ה (כגון שהוא יכול לעשות מרובע שאלכסונו כצלעו) ובהמשך גם מזכיר סוגיות שלגביהן יש מחלוקת בין פילוסופים האם הן שייכות למישור הלוגי או הפיזיקלי. ניתן להוסיף בהקשר זה את שאלת הידיעה האלוהית וחופש הבחירה שלנו (ראו רמב"ם פ"ה מהל' תשובה ה"ה, וגם בטורים 299-303 באתר שלי) ועוד שאלות שיוזכרו בהמשך המאמר.

לעומת זאת, בהגות הנוצרית רווחת מאד התפיסה שלפיה אלוהים אינו כפוף לחוקי הלוגיקה ובהחלט ניתן לייחס לו גם סתירות לוגיות. ביטוי מובהק לכך מצוי בתורת "אחדות הניגודים" או "חפיפת הניגודים" (Coincidentia Oppositorum) של ניקולאוס קוזאנוס, פילוסוף, תיאולוג ומתמטיקאי קתולי בן המאה החמש-עשרה. גם טרטוליאן, מאבות הכנסייה (במאה השנייה-שלישית לספירה), הרחיק לכת עוד יותר וקבע: "אני מאמין מפני שזה אבסורד" (Credo quia absurdum). שימו לב, לא "למרות שזה אבסורד" אלא "מפני שזה אבסורד". הוא רואה את מהות האמונה באבסורד. לא רק שאמונה באבסורדים היא אפשרית, אלא אמונה מתייחסת בעיקר לאבסורדים. כנראה שבעיניו משהו שאינו אבסורדי לא שייך למישור של אמונה אלא של ידיעה, מדע, או חשיבה הגיונית. גם בפילוסופיה האקזיסטנציאלית של סרן קירקגארד הדני מהמאה התשע-עשרה, ניתן למצוא את התפיסה הזאת, שכן במשנתו "אביר האמונה" (דמות המאמין המושלם שמיוצגת על ידי אברהם אבינו, בעיקר בעקידה), נדרש לעקוד את ההיגיון שלו ואת האתיקה שלו לטובת האבסורד שדורשת האמונה. גם מבחינתו תמצית משמעותה של אמונה היא חיים (ולא רק אמונה) באבסורד.

בקצרה אומר שבדורות האחרונים נכנס הרעיון הזה ביתר שאת גם להגות היהודית, ורבים מדברים על אחדות הניגודים בספרות החסידית, אצל הרב קוק ועוד.[6] מבחינתי, העובדה שמקורו של רעיון כלשהו הוא נוצרי או שהוא נוצר בהשפעה נוצרית אינה פוסלת אותו. רעיון או גישה צריכים להיבחן לגופם, יהא מקורם אשר יהא. אני מתנגד לרעיון של אחדות הניגודים, בלי קשר למקורו, פשוט מפני שמדובר במלל חסר פשר. כעת אראה שאין באמת רעיון כזה, ומי שמעלה אותו רק מניע שפתיים אבל לא אומר כלום.

הסבר לאי האפשרות של סתירות, או: מהם 'חוקי הלוגיקה'?

מה שמבלבל אנשים בבואם לדון בסתירות לוגיות באלוהות הוא ההנחה שמכל יכולתו של הקב"ה ומהיותו מקור כל המציאות וכל החוקים הנוהגים בה, נובע שלא ייתכן שמערכת חוקים כלשהי תגביל אותו ותחייב אותו, כלומר שהוא יהיה כפוף לה. מכאן לכאורה עולה המסקנה שגם חוקי הלוגיקה לא  יכולים להגביל אותו, ולכן ניתן לייחס לו גם יכולות או תכונות שכוללות סתירות לוגיות.

בבסיס הטיעון הזה מונחת התייחסות לחוקי הלוגיקה כאילו הייתה כאן מערכת חוקים שדומה לחוקי הפיזיקה, או חוקי המדינה. אך זוהי טעות. משולש אינו עגול לא מפני שיש חוק שאוסר עליו להיות כזה, אלא מפני שהוא פשוט לא כזה. אם הוא היה עגול הוא לא היה משולש. אי קיומו של משולש עגול אינו תוצאה של חוק כלשהו, ולכן גם אין אף אחד שחוקק זאת. זוהי תוצאה של הגדרת המושגים עצמם. המונח 'חוקי הלוגיקה' הוא ערבוב מושגי מבלבל ולא מוצלח. הוא נובע מכך שהחל מאריסטו ועד ימינו הלוגיקה הפכה לתחום עיון ומחקר עצמאי, וכמו כל תחום גם שם יש חוקי יסוד. אבל אנשים מתעלמים מההבדל הגדול: בכל התחומים האחרים יש חוקים שהם תוצר של חיקוק, ובבסיסם עומד מחוקק סמכותי. אפילו חוקי הטבע הם כאלה, כאשר כאן המחוקק הוא הקב"ה בכבודו ובעצמו. ומכאן שהם גם יכולים היו להיות אחרים (תלוי בהחלטת ה'מחוקק'). כך גם לגבי חוקי המדינה או חוקי גילדה כלשהי, הם תוצר של חיקוק ויכלו להיות אחרים. כל אלו הם מערכות 'חוקים' במובן המקובל. אבל את 'חוקי הלוגיקה' לא חוקק אף אחד, שכן הם לא יכולים היו להיות אחרים. ומכאן שאמנם גם הקב"ה לא יכול לחרוג מהם, אבל הם לא 'מחייבים' אותו ולא כפויים עליו. פשוט מפני שאין מה שיהיה כפוי עליו. מי שלא יכול להתגבר על חוקי הטבע אינו כל יכול כי הוא כפוי לעשות משהו. אבל מי שלא יכול 'להתגבר על חוקי הלוגיקה' אינו חסר יכולת, ולו רק מפני שאין דבר כזה "להתגבר על חוקי הלוגיקה".

מכאן תוכלו להבין שלא נכון לומר שמשולש עגול לא קיים. משולש עגול הוא מושג חסר פשר, ולכן איני יכול לומר עליו דבר. לא שהוא קיים ולא שאינו קיים, לא שהוא יפה או רחב לב, וגם לא שהוא יצור נדיר. כל משפט שמכיל את הצירוף "משולש עגול" לא יכול להיות אמתי אבל גם לא שקרי. אם במשפט כלשהו כלול מושג סתירתי הוא הופך בכך לחסר פשר.[7] כשאני אומר שמשולש עגול אינו קיים, אין כוונתי לטעון טענת עובדה כלשהי אלא רק לומר שהמושג הזה אינו מוגדר.

אי אפשר לומר שהקב"ה יכול ליצור קיר שעוצר כל פגז וגם פגז שחודר כל קיר, לא מפני שיש חוסר כלשהו ביכולתו, אלא מפני שאין אפשרות לוגית לקיומם הסימולטני של קיר ופגז כאלה. זוהי סתירה לוגית. הוא הדין לאמירה שהוא לא יכול לעשות משולש עגול. לכן האמירה שהוא לא יכול ליצור קיר שעוצר ככל פגז ופגז שחודר כל קיר, או שהוא לא יכול ליצור משולש עגול, אינה חוסר ביכולותיו. כשאומרים שמישהו הוא כל יכול, פירוש הדבר יכולת לבצע כל מה שמוגדר (או כל מה שניתן לדמיין). אבל מה שאינו מוגדר לא שייכת לגביו יכולת, וכשאומרים שהקב"ה לא יכול ליצור קיר ופגז כאלה, או משולש עגול, לא מתכוונים ל"לא יכול" במובן של יכולת חסרה. מושג היכולת עצמו אינו רלוונטי לגבי מצבים או מושגים כאלה. בתרגום מדויק יותר ניתן לומר שהמשפט "אלוהים לא יכול לעשות משולש עגול", פירושו: "הטענה 'אלוהים יכול לעשות משולש עגול' היא חסרת פשר". זו לא טענה על אלוהים ויכולותיו אלא על צירוף המילים 'משולש עגול'.

דוגמה: האבן שאלוהים לא יכול להרים

מכאן גם נוכל להבין מדוע הסופיזם הנדוש לגבי האבן שאלוהים לא יכול להרים (פרדוקס הכל יכולת. The omnipotence paradox), מבוסס על אותה טעות בהבנת חוקי הלוגיקה. אנשים תוהים האם אלוהים יכול ליצור אבן שהוא עצמו לא יכול להרים. הטענה היא שאם הוא יכול לעשות זאת אז יש אבן שהוא לא יכול להרים ולכן הוא אינו כל יכול. ואם הוא לא יכול לעשות זאת אז שוב הוא אינו כל יכול. המסקנה היא שהטענה "אלוהים הוא כל יכול" אינה נכונה (כי היא מובילה לסתירה לוגית).

אציג את הטעות בטיעון הזה בשתי רמות. ראשית, יש לשים לב לכך שזהו ערעור על מושג הכל יכולת עצמו, בלי קשר לאלוהים. הטענה היא שהמושג הזה חסר פשר (התוכן הרגיל שלו מוביל לסתירה לוגית). אלא שאם כך אז לכל היותר ניתן לטעון שהמשפט "אלוהים הוא כל יכול" הוא חסר מובן, כי אנחנו משתמשים במושג ריק או סתירתי. אבל זוהי טענה עלינו ולא עליו. זה לא אומר שאלוהים הוא חסר אלא רק שבשפה שלנו לא יכול להימצא המושג 'כל יכול'.

שנית, חשבו על הוויכוח בין המאמין לאתאיסט כוויכוח בין שני אנשים: ראובן המאמין סובר שאלוהים הוא כל יכול, ושמעון האתאיסט מעלה טיעון שתוקף אותו. הוא אומר לראובן כך: לשיטתך, שאלוהים כל יכול, האם הוא יכול ליצור אבן שהוא עצמו לא יכול להרים? הנחתו של שמעון היא שראובן יכול לענות לו או כן או לא, ואין אפשרות שלישית (זהו חוק השלישי הנמנע). אבל בין אם יענה כן ובין אם יענה לא המסקנה היא שאלוהים אינו כל יכול, כלומר שראובן טועה. זה מה שמכונה בלוגיקה 'טיעון דילמה'.

אלא שלמרבה הפלא כאן שתי התשובות אינן נכונות. לא בגלל שיש אפשרות שלישית (חוק השלישי הנמנע נכון גם כאן כמובן). הסיבה לכך היא שאין אבן כזאת.[8] זה כמו לשאול אם אלוהים יכול ליצור משולש עגול. הן התשובה החיובית והן השלילית אינן רלוונטיות כאן. ראובן שמניח שאלוהים כל יכול, לא יכול להבין את המושג 'אבן שאלוהים לא יכול להרים', שכן לשיטתו הוא מתורגם למושג 'אבן שהכל יכול לא יכול להרים'. לכן מבחינתו זה כמו משולש עגול. שמעון האתאיסט כמובן יכול להבין את המושג הזה כי הוא מניח שאלוהים אינו כל יכול. לשיטתו אין כל סתירה במושג 'אבן שאלוהים לא יכול להרים'. אבל מתקפה לוגית אמורה לצאת מהנחותיו של המותקף (ראובן) ולהראות שהן מובילות לסתירה. להוכיח שאלוהים אינו כל יכול בהנחה המקדמית של שמעון שהוא לא כל יכול זו סתם הנחת המבוקש. אבל כפי שראינו אם יוצאים מתוך הנחותיו של ראובן, המתקפה הזאת חסרת משמעות ופשר. תשובתו של ראובן לשמעון תהיה: אנא הסבר לי את המושג 'אבן שהכל יכול לא יכול להרים', ואז אוכל לנסות ולענות לך אם אלוהים יכול ליצור אבן כזאת או לא. שמעון כמובן לא יוכל לעולם להסביר לראובן את המושג הזה. הוא יוכל להסביר לו את המושג 'אבן שאלוהים לא יכול להרים', אבל זה רק בהנחה שלו שאלוהים אינו כל יכול. גם שמעון עצמו לא יכול להבין את המושג 'אבן שהכל יכול לא יכול להרים'. בקיצור, שאלתו היא חסרת פשר.

ההבדל בין שתי התשובות שנתתי כאן הוא שהתשובה הראשונה גורסת שהמושג 'כל יכולת' פשוט אינו מוגדר. במובן הזה אכן המאמין טעה כשהשתמש בו, אם כי זו אינה מכת מוות לאמונתו. הוא רק צריך לתקן את השפה שלו. לעומת זאת, התשובה השנייה מוכנה לקבל את המושג 'כל יכולת' כמושג מוגדר ולא סתירתי, ועדיין דוחה את המתקפה הלוגית על המאמין. זה מראה לנו שהאתאיסט פשוט התבלבל. בעצם הוא רואה את הסתירה הלוגית כמשהו שאמור להיות ביכולתו של האלוהים הכל יכול, אבל זוהי טעות. סתירה לוגית אינה בתחום יכולותיו, לא בגלל שיש חוסר כלשהו ביכולותיו אלא מפני שטענות עם סתירות לוגיות הן חסרות פשר. כפי שראינו למעלה, הטענה "אלוהים אינו יכול ליצור אבן שהוא עצמו לא יכול להרים", מתפרשת כך: "הטענה 'אלוהים יכול ליצור אבן שהוא עצמו לא יכול להרים' היא חסרת מובן"

חשבו למשל על סיפור הילדים הידוע, "החתול במגפיים". בסיפור הזה החתול מגיע לארמונו של הקוסם הנורא, תוהה באוזניו האם הוא יכול להפוך את עצמו לעכבר, ומשהקוסם עושה זאת החתול טורף אותו וכך נפטר ממנו. ובנמשל, חשבו על השאלה הבאה: האם אלוהים יכול להפוך את עצמו לאדם? אם כן, אזי ניתן לירות לו בראש ולהרוג אותו. אפשר היה אולי לטעון שהוא יכול להפוך לאדם, אבל כשיירו בו הוא לא ימות. אלא שאז הוא לא באמת הפך לאדם (שכן אדם שיורים בו – מת). התשובה הנכונה היא שהוא אינו יכול כמובן להפוך את עצמו לאדם רגיל. יצור שקיומו הכרחי והוא כל יכול, לא יכול להביא למצב שהוא עצמו ייכחד. בה במידה, הוא כנראה גם לא יכול להפוך את עצמו ללא מושלם או להגביל את יכולותיו. אבל כל ה"חסרונות" הללו אינם מהווים פגיעה בכל יכולתו שכן מדובר בסתירות לוגיות. גם אלוהים אינו יכול לסתירות לוגיות. באומרי "אלוהים לא יכול להפוך לאדם", כוונתי בעצם לומר: "הטענה 'אלוהים יכול להפוך לאדם' היא חסרת פשר".

מסקנת ביניים: מה עושים עם סתירות?

השאלה היסודית בה אנחנו עוסקים כאן היא מה עלינו לעשות כאשר אנחנו מגיעים לשתי מסקנות הגיוניות שסותרות זו את זו. שימו לב שאם טענה X וטענה Y סותרות זו את זו, זה כשלעצמו אינו בעייתי. עלינו פשוט לבחור אחת מהן ולדחות את השנייה. לכל היותר נהיה בדילמה את מי מהן לבחור ועל מי לוותר, אבל זו אינה סתירה אלא ספק. הבעיה נוצרת כאשר כל אחת משתי הטענות הללו נראית לנו הגיונית מאד ואנחנו נוטים לאמץ את שתיהן. במצב כזה אנחנו נמצאים במבוכה אינטלקטואלית. ישנם הוגים או אנשים שבמצב כזה בוחרים להכריז על 'אחדות הניגודים' ולראות בכך פתרון לבעייתיות שתיארתי. הם טוענים שיש דברים שהם מעל השכל או מעל הלוגיקה, בפרט אם מדובר באלוהים.

אבל כפי שכתב רודולף אוטו, בהקדמה למהדורה האנגלית של ספרו, Holiness, 'אחדות הניגודים' היא מפלטו של העצל. כאשר אדם ניצב בפני סתירה מהסוג שתיארתי, אם הוא לא מוצא לה פתרון או מתעצל לחפש אותו, קל לו מאד להכריז על אחדות הניגודים ולראות בזה סוג של פתרון. זה נשמע מאד עמוק ומסתורי, ולכאורה מציל אותו ממצב מביך (סתירה ללא פתרון). זה גם מאפשר לו להחזיק בשתי הטענות ההגיוניות גם יחד בלי לוותר על אף אחת מהן.

אבל כפי שראינו למעלה בעצם זהו נונסנס. כאשר יש בפנינו שתי טענות סותרות זו את זו, יש לנו אחת משתי אפשרויות: או לאמץ אחת מהן ולדחות את השנייה, או להראות שהייתה לנו טעות ובעצם אין כאן סתירה לוגית. לפעמים קשה להראות זאת, ולכן יש שבוחרים במקום זה להכריז על 'אחדות הניגודים' ובכך הם פוטרים את עצמם מהמאמץ הלוגי. אבל אם אין פתרון עלינו לדחות אחת מהן. ניתן אולי לתלות זאת בקוצר דעתנו. אבל הכרזה שאלוהים הוא מעל הלוגיקה או שאנחנו יכולים להחזיק בשתי טענות סותרות בלי להיות מחויבים ללוגיקה, אינה אלא ביטוי לעצלות מחשבתית, שכן מדובר באוסף מילים חסרות פשר.

ומה עם תורת הקוונטים?

המסקנה הזאת מביאה אותנו לתורת הקוונטים. לכאורה שם אנחנו פוגשים טענות מדעיות שכוללות סתירה לוגית. אם עצם כלשהו יכול להיות גם חלקיק וגם גל (עקרון הקומפלמנטריות), כי אז סתירות לוגיות הן לכאורה בעלות משמעות. על פי צורת החשיבה הזאת, תורת הקוונטים מראה לנו ש'חוקי הלוגיקה' גם הם חוקים במובן הרגיל. מכאן צצה שוב האפשרות לייחס סתירות לאלוהים, וכמובן בפרט גם חוזר ועולה פרדוקס הכל יכולת (פרדוקס האבן).

אבל כפי שראינו למעלה, זה לא ייתכן. טענות סתירתיות הן חסרות פשר, והעובדה שהן נטענות במסגרת מדעית כלשהי (כמו בתורת הקוונטים) לא יכולה לשנות זאת. אנסח זאת אחרת. גם אנשי תורת הקוונטים אינם פטורים מסילוק סתירות במשנתם. גם אצלם שימוש באחדות הניגודים הוא נונסנס חסר פשר. צריך להבין שתורת הקוונטים עצמה מבוססת על כלים מתמטיים ועל כלי תצפית שפותחו על בסיס הלוגיקה הרגילה, כלומר לוגיקה שבה מתקיימים חוק הסתירה וחוק השלישי הנמנע. אם הלוגיקה הרגילה אינה נכונה כי אז אין גם אפשרות להשתמש בכל מה שהגענו אליו בדרך השלילה. הוכחה בדרך השלילה מראה שהנחה X מובילה לסתירה ולכן בהכרח לא נכון ש-X. אבל אם יש אפשרות שלישית אז הוכחה זו נופלת כמובן. הוא הדין לתכונת הדיסטריבוטיביות של הלוגיקה שלנו. יתר על כן, גם כלי המדידה שבהם אנחנו משתמשים במעבדה, ובאמצעותם גילינו גם את תורת הקוונטים עצמה, פותחו על בסיס עקרונות הלוגיקה הרגילה (שהרי הם לא תוצרים של תורת הקוונטים אלא הם הבסיס שעליו היא עצמה נבנתה). לכן ברור שגם בתורת הקוונטים ברגע שהוכחנו ש-X אינו נכון, ניתן להסיק מכך ש'לא X' הוא נכון. אם זה לא היה המצב, לא הייתה כל משמעות לממצאי תורת הקוונטים שהרי ניתן היה לאמץ במסגרתה טענה והיפוכה.

באופן כללי יותר, הלוגיקה (הקלסית) מלמדת אותנו שאם אנחנו מאמצים מערכת טענות שכוללת בתוכה סתירה לוגית, אזי ניתן לגזור ממנה כל מסקנה שהיא. זו הסיבה לכך שמתמטיקאים עובדים כל כך קשה כדי להוכיח עקביות (=היעדר סתירה) בכל מערכת לוגית ומתמטית. אם באמת הייתה בתורת הקוונטים סתירה כלשהי, אזי ניתן היה לגזור ממנה כל טענה שהיא, ובפרט טענה והיפוכה. יכולנו לגזור שהאלקטרון הוא חלקיק בעל מטען 0 או שהוא חלקיק בעל מטען אחר, ויכולנו גם לאמץ את שתי הטענות הללו ביחד. יתר על כן, מכאן גם היה יוצא שתורת הקוונטים נטולת ערך מדעי ותוכן מדעי. אם ניתן לגזור מתורה מדעית כלשהי כל מסקנה, אזי אין לה שום ניבוי מה יקרה בניסוי עתידי. אבל אז גם אי אפשר להעמיד אותה למבחני הפרכה (לערוך ניסוי שיבחן האם ניבוייה מתגשמים או לא), ולפי ההגדרה המקובלת בפילוסופיה של המדע (בעקבות קרל פופר) זו לא הייתה תורה מדעית.

המסקנה היא שכפי שראינו 'חוקי הלוגיקה' אינם חוקים במובן הרגיל. אין אפשרות לחרוג מהם (לעבור על החוק), וטענות שעומדות בניגוד להם הן חסרות פשר. חוקי הלוגיקה הם הבסיס שעליו מבוססת המחשבה שלנו ולכן אי אפשר למדוד את חוקי הלוגיקה במעבדה, ולא ניתן להסיק חוקי לוגיקה כלשהם מממצאים מדעיים אמפיריים. ההסקה הזאת עצמה הייתה נעשית באמצעות הלוגיקה (הרגילה). לכן לא החשיבה ולא התצפית אינן יכולות להראות לנו שהלוגיקה שלנו שגויה. אם נשוב לתורת הקוונטים, עלינו להבין שהיא ענף של הפיזיקה, וככזו היא תחום מדעי. לעומתה, חוקי הלוגיקה אינם שייכים למדע אלא מהווים בסיס אפריורי (קודם לתצפית) לחשיבה המדעית ולחשיבה בכלל. לכן אין שום אפשרות לגזור חוקי לוגיקה אחרים על בסיס תורת הקוונטים.

בשולי דבריי רק אעיר שתיאורים מדויקים יותר של לוגיקה קוונטית אכן לא מתייחסים אליה כהסבר לתורת הקוונטים, וגם לא כלוגיקה אלטרנטיבית. הם מציגים אותה כמערכת פורמלית שמאפשרת לנו להציג את היחסים בין טענות שונות בתורת הקוונטים. כך למשל מוצאים בתחילת ויקיפדיה באנגלית (בערך 'quantum logic'):

Quantum logic is a set of rules for manip­ulation of propositions inspired by the structure of quantum theory.

אין למבנה הלוגי הזה שום קשר ללוגיקה כתיאור של החשיבה שלנו. זהו כלי טכני להצגת הממצאים (המוזרים) של תורת הקוונטים, ותו לא.

המסקנה היא שאם התצפיות בתורת הקוונטים מניבות טענות סתירתיות, כלומר ממצאים שעומדים בניגוד ללוגיקה, ההסבר צריך להימצא במקום אחר, הוא חייב להתנסח תחת אותה לוגיקה ידועה ומוכרת. משמעות הדברים היא שאם אכן יש בפנינו פתולוגיות לוגיות בתורת הקוונטים, כמו למשל טענה והיפוכה, אזי עלינו לנקוט אחת משתי דרכים: או להבין שבכל זאת שתי הטענות לא יכולות להיות נכונות ביחד, ואז לאמץ צד אחד ולדחות את השני, או להראות שאין כאן סתירה לוגית. ובוודאי לא ניתן להסתמך על תורת הקוונטים כדי לבסס פילוסופית טענות שמכילות סתירה, בין אם הן עוסקות באלוהים ובין אם לאו. טענות כאלה הן חסרות פשר. כעת נתבונן בכמה פתולוגיות בתורת הקוונטים, ונראה כיצד באה בהן לידי ביטוי התמונה הזאת.

ניסוי שני הסדקים[9]

כפי שנהג לומר ריצ'רד פיינמן, חתן פרס נובל לפיזיקה ומהחוקרים שהשתתפו בפרויקט הגרעין (בלוס אלאמוס), הדרך הטובה ביותר להסביר את תורת הקוונטים היא באמצעות ניסוי שני הסדקים. יש לניסוי הזה היסטוריה מעניינת והפכפכה מאד. היא מתחילה כבר מתקופתו של ניוטון, אז התנהל ויכוח בין פיזיקאים על טיבו של האור. היו שטענו שהוא מורכב מחלקיקים (כמו ניוטון) והיו שראו אותו כגל (התיאוריה של פרנל-הויגנס). בשנת 1801, 74 שנים לאחר מותו של ניוטון, ערך תומאס יאנג את ניסוי שני הסדקים הראשון כדי להכריע בסוגיה זו. במערך הניסוי בו השתמש יאנג ישנו הבדל מובהק בין גל לבין קרן חלקיקים, ובדיוק בגלל זה הוא היה שימושי כדי להכריע את המחלוקת אודות טיבו של האור. זוהי בדיוק גם הסיבה לכך שמערך הניסוי הזה יימצא שימושי להפליא גם במאה הבאה בהכרעת מחלוקת דומה, והפעם לגבי טיבם של חלקיקים כמו האלקטרון (האם הם בעלי טבע גלי או חלקיקי).

כדי להבין זאת, נתחיל במקרה הפשוט יותר, של סדק בודד. בציור שלמטה מתואר מקור (בצורת גליל בצד ימין) ששולח קרן של חלקיקים או גל (הקו המקווקוו העבה) לכיוונה של מחיצה ובה סדק. מאחורי המחיצה יש מסך (שמתואר בקו כפול), בעצם זהו סוג של סרט צילום שרגיש לפגיעת הגל או החלקיקים.

ציור 1: מערך הניסוי של סדק בודד

הגרף בשמאל הציור מתאר את תוצאות הניסוי (מה שרואים על המסך) במקרה של סדק בודד. גובהו (על ציר y) מייצג את כמות החלקיקים או עוצמת הגל שמתקבלת בכל נקודה על המסך (כל נקודה על ציר ה-x של הגרף מייצגת את הנקודה המקבילה לה על המסך).

ניתן לראות שהכמות הגדולה ביותר מתקבלת בדיוק מול הסדק, ומשני צדיה הכמות הולכת ופוחתת (זה מייצג חלק מהאור או החלקיקים שסטו מעט הצידה). תמונה זו נכונה בין לאלומת חלקיקים ובין לאלומה גלית. הרעיון של יאנג היה להבחין בין אלומת חלקיקים לבין גל באמצעות ניסוי דומה, אלא שבו מציבים מחיצה שישנם בה שני סדקים. כדי להבין את העניין עלינו להכיר משהו שמייחד את התופעות הגליות, ההתאבכות. כאשר שתי אלומות חלקיקים נעות במרחב, סך החלקיקים הכולל בכל נקודה הוא סכום מספרי החלקיקים משתי האלומות באותה נקודה. לעומת זאת, כאשר שני גלים מסתובבים במרחב, עוצמת השדה (הגל) הכוללת בכל נקודה אינה סכום פשוט של העוצמות של שני הגלים בנקודה הנדונה. העוצמה בכל נקודה במרחב תעלה ותרד כתוצאה מאפקט של 'התאבכות' בין הגלים.[10] כך למשל ייתכן מצב שבו שני גלים בעוצמה גבוהה יסתכמו לאפס, שכן האחד הוא חיובי והשני שלילי. במקומות מסוימים העוצמה של שני הגלים מבטלת אחד את השני, ובמקומות אחרים הם מחזקים אחד את השני (ואז העוצמה הכללית גדולה יותר מסכום העוצמות).

חשבו כעת על מערך הניסוי שהציע יאנג, שנראה דומה לזה שראינו למעלה אבל הפעם יש במחיצה שני סדקים. אם המקור שמימין פולט אלומת חלקיקים (כמו אלקטרונים, כדורי טניס, או פילים), חלקם יעבור דרך כל אחד משני הסדקים. סביב כל סדק כמות החלקיקים תתפלג כמו בגרף של הסדק הבודד (ראה בגרף שבציור 1). אם כן, בניסוי עם שני סדקים, בכל נקודה נתונה על המסך מספר החלקיקים שיגיע אליה יהיה סכום החלקיקים שהגיעו מהסדק הימני ומהסדק השמאלי. לכן התמונה על המסך תיראה כסכום התמונות של שני הסדקים הבודדים, כלומר אנחנו נקבל גרף עם שני שיאים שווים, כמתואר בציור 2:

ציור 2: ניסוי שני סדקים עם אלומת חלקיקים

לעומת זאת, כאשר המקור שולח אלומה גלית, תופעת ההתאבכות תגרום לכך שהתמונה תיראה שונה לגמרי, כמתואר בציור 3:[11]

ציור 3: ניסוי שני סדקים עם אלומה גלית

במקרה הגלי שמתואר בציור 3,[12] דווקא בין שני הסדקים (במקום בו התמונה החלקיקית כמעט מתאפסת. ראו בציור 2) מופיעה העוצמה המקסימלית. משני צדדיו של המרכז ישנן אונות צדדיות ששיאיהן הולכים ויורדים. אם כן, ניסוי שני סדקים מספק לנו הבחנה חדה בין אלומת חלקיקים לבין אלומה גלית.

בניסוי יאנג, שנערך כאמור בתחילת המאה ה-19, בוצע ניסוי שני הסדקים ביחס לגל אור, והתוצאה שהתקבלה הייתה חד משמעית: התקבלה שם תמונה גלית (ציור 3). כך הוכרע הוויכוח בין ניוטון להויגנס (שכבר היו זה מכבר בין המתים), ונקבע כי האור הוא תופעה גלית.

מעל מאה שנים אחר כך, בתחילת המאה העשרים, המצב החל להתהפך. החלו אז להצטבר ראיות וטיעונים שונים לטובת התמונה שרואה את החלקיקים כגלים. בשנת 1924 נסיך צרפתי בשם לואי דה ברויי (de Broglie) בעבודת הדוקטורט שלו מציע לראות את האלקטרון כגל ואף מציע תיאור מתמטי של פונקציית הגל שלו. כעת מתחיל ויכוח הפוך מזה שהתנהל בין ניוטון להויגנס, האם עצמים שהתרגלנו לראות אותם כחלקיקים (לדוגמה, האלקטרון) הם בעצם בעלי טבע גלי? כדי לבחון את השאלה הזאת, נעשו שוב ניסויי שני סדקים, אך הפעם עם אלומת אלקטרונים. הציפייה הייתה שהתמונה תיראה כמו בציור 2 למעלה, שכן לכאורה האלקטרונים הם חלקיקים. התוצאות היו מדהימות. התברר שהתמונה שהתקבלה הייתה דומה לציור 3. עלה מכאן שגם אלקטרונים הם בעצם בעלי טבע גלי. אם כן, האלקטרונים מתנהגים כמו גלי אור, ובעצם ההבדל בין חלקיק לגל לכאורה נמחק. לא היה ברור כיצד ייתכן שאלומת חלקיקים מתאבכת עם עצמה? כפי שציינתי, התאבכות היא תכונה של גלים ולא של חלקיקים.

בשלב כלשהו עלתה השערה שההתאבכות היא תוצאה של העובדה שמדובר באלומת אלקטרונים, ולא באלקטרון בודד. אלקטרונים שונים מפריעים זה לזה, ומהפגישה ביניהם נוצרת מעין תמונת ההתאבכות. היתרון של הפיזיקה הוא שמדובר במדע אמפירי, ולכן כדי לבדוק את ההצעה הזו, חזרו על ניסוי שני הסדקים כאשר אלומת האלקטרונים נורית מהמקור בקצב מאד איטי ודליל. במצב כזה, בכל פעם פגע במסך רק אלקטרון אחד, ולכן לא יכולה הייתה להיווצר התאבכות בין שני אלקטרונים. למרבה התדהמה, התברר שעדיין מתקבלת תמונה גלית (כמו בציור 3). כלומר האלקטרון הבודד גם הוא גל, שכן הוא מתאבך עם עצמו. המסקנה המדהימה היא שהאלקטרון אינו חלקיק קטנטן שנמצא במקום מסוים (מין כדורון), כפי שחשבו עד אותה עת, אלא הוא גל שמצוי בכל המרחב, בדיוק כמו האור (אנחנו כמובן עוד זוכרים את פרנל-הויגנס ואת יאנג).

אם אכן האלקטרון מתאבך עם עצמו, פירוש הדבר הוא שהאלקטרון הבודד הוא בעצם גל שעובר דרך שני הסדקים גם יחד. לכן שני החלקים של הגל האלקטרוני (הגל של האלקטרון הבודד) מגיעים למסך ממקומות שונים ויוצרים תבנית של התאבכות (ציור 3). זה כבר נראה בלתי נסבל. כדור טניס עובר בכל פעם אך ורק דרך אחד הסדקים. כיצד ייתכן שאם ישנם במסך שני סדקים החלקיק עובר דרך שני הסדקים בו זמנית?

כדי לבחון את השאלה הזאת, עלינו לבחון כל פעם דרך איזה משני הסדקים עובר האלקטרון שלנו, או שמא הוא עובר דרך שניהם. אם כן, אנחנו כמובן שבים למעבדה. כעת ערכו שוב את הניסוי, אבל הפעם הציבו גלאי ליד אחד הסדקים (נכנה אותו סדק A). כאשר האלקטרון עובר דרך הסדק הגלאי קולט אותו, והוא מדווח לנו שהאלקטרון עבר דרך הסדק A. אם הגלאי לא הודיע כלום, המסקנה היא שהאלקטרון עבר דרך סדק B. חזרו על ניסוי שני הסדקים בנוכחות הגלאי, וכאן התדהמה כבר הייתה מוחלטת. הגלאים אכן הראו לנו באיזה סדק עבר האלקטרון, אלא שעל המסך התקבלה הפעם תמונה חלקיקית, כלומר הגרף שבציור 2. תופעת ההתאבכות של האלקטרון עם עצמו (ציור 3) נעלמה. האלקטרון הפסיק להיות גל, וחזר להתנהג כמו חלקיק בן תרבות (כמו כדור טניס קטנטן). מדי פעם הגלאי הראה שהאלקטרון עבר בסדק A ואז הייתה הצטברות מול אותו סדק, ובפעמים אחרות הגלאי הראה שהוא עבר דרך סדק B ואז ההצטברות הייתה מול סדק B. באלומת חלקיקים מתקבלת התמונה שבציור 2.

רק כדי לחדד, בכדורי טניס המצב כמובן שונה. אם נערוך ניסוי שני סדקים בכדורי טניס, אם או בלי גלאי, התוצאה תהיה תמיד חלקיקית (ציור 2). המסקנה היא שכדור טניס אינו חלקיק קוונטי. אבל האלקטרון, לפחות כל עוד אין גלאי ליד אחד הסדקים, מתנהג כמו גל. לכן האלקטרון הוא חלקיק קוונטי. כשיש גלאי שבודק אותו הוא חוזר להתנהג כמו חלקיק (כדור טניס) מהוגן, אבל כשאף אחד לא מסתכל עליו הוא ממש מתפרע. שימו לב שגם כאשר יש גלאי ליד הסדק, עדיין האלקטרון אינו לגמרי כדורון טניס. גם אם נירה את האלקטרון מהמקור לכיוון סדק A, בניגוד לכדור טניס, ישנו סיכוי כלשהו שהאלקטרון בכל זאת יעבור דרך סדק B. כשיש גלאי, האלקטרון הבודד אמנם לא יעבור דרך שני הסדקים, אבל אינך יכול לדעת בוודאות דרך איזה מהם הוא יעבור. רק אחרי שהגלאי מדד את מיקומו הוא מתחיל להתנהג כמו חלקיק קלסי רגיל (כלומר אם הוא עבר דרך הסדק A הוא כמובן יפגע במסך מול אותו סדק ולא בצד השני). אבל כל עוד הוא לא נמדד בפועל, יש סיכוי שהגלאי יגלה אותו ב-A ויש גם סיכוי שהוא יתגלה ב-B.

לפני שאמשיך, רק אעיר על נפלאות המטוטלת ההיסטורית, ואומר שאחרי שנוסחה תורת הקוונטים, התברר שגם האור אינו לגמרי גל. ישנם מצבים שהוא מתנהג כאוסף של חלקיקים (פוטונים), וגם שם זה תלוי בשאלה האם שמים גלאי פוטונים ליד אחד הסדקים או לא. למרבה ההפתעה, אחרי כמאתיים שנה ניוטון חזר מן המתים.

הפרשנות המקובלת

הפרשנות לממצאיה המוזרים של תורת הקוונטים אינה מוסכמת עד ימינו. לפי הפרשנות המקובלת שהתפתחה אחרי הניסויים הללו (שמכונה "פשר קופנהגן", בעקבות הפיזיקאי הדני נילס בוהר ובית מדרשו), ההבחנה בין חלקיק לגל קרסה. האלקטרון הוא גם חלקיק וגם גל, וזה תלוי במערכת הניסויית שמודדת אותו. זהו ביטוי מסוים לעקרון הקומפלמנטריות (ההשלמה) של נילס בוהר. לאחר מכן התברר שאין לנו דרך למדוד את מהירותו ומיקומו של אלקטרון בו זמנית, וזהו עקרון אי הוודאות שגם הוא נכנס תחת עקרון הקומפלמנטריות. זהו ביטוי נוסף לכך שהאלקטרון הוא גם חלקיק (גוף שיש לו מיקום מוגדר) וגם גל (גוף ללא מיקום מוגדר). כשמודדים את מיקומו הופכים אותו לחלקיק, וכשלא מודדים מיקום (אבל אפשר למדוד מהירות) או אז הוא גל.

המסקנה אותה הסיקו הפיזיקאים מהתמונה המבלבלת הזאת, היא שכל עוד לא מסתכלים עליו (לא מציבים גלאי) האלקטרון אכן עובר דרך שני הסדקים גם יחד. פירוש הדבר הוא שהאלקטרון נמצא במצב שמכונה סופרפוזיציה, שהוא סכום של מצבים חלקיקיים טהורים. הוא בעצם סכום של שני חלקיקים, האחד עובר דרך סדק A והשני דרך סדק B. אגב, אם היינו שמים שלושה סדקים הוא היה סכום של שלושה חלקיקים כאלה וכן הלאה. בניסוח מדויק יותר, האלקטרון הוא חלקיק אחד כמובן, אבל מצבו של האלקטרון הוא סכום על שני מצבים חלקיקיים (זה מבחינתנו כבר מצב גלי). אבל זה רק כל עוד לא שמנו גלאי. כאשר שמים את הגלאי, האלקטרון 'קורס' לאחד מהמצבים החלקיקיים, ומחליט בדרך כלשהי להפוך לחלקיק קלסי שעובר דרך A או לחלקיק קלסי שעובר דרך B. ההחלטה לאיזה משני המצבים החלקיקיים הוא יקרוס היא סוג של הגרלה, ותורת הקוונטים יכולה גם לתאר לנו את הסיכויים לשתי התוצאות הללו. הם מתוארים על ידי 'פונקציית הגל' שמתארת את האלקטרון (או הפוטון).

אנו מסמנים את מצב הסופרפוזיציה בין שני מצבים חלקיקיים באופן הבא:

כאשר מצב [A> הוא מסלול שבו החלקיק מתנהג כמו חלקיק נקודתי שעובר דרך סדק A, והסיכוי לקבל אותו (אם שמים גלאי ליד הסדק) מוגדר על ידי  , ומצב [B> הוא מצב שבו החלקיק מתנהג כמו חלקיק נקודתי שעובר דרך סדק  B, והסיכוי לקבל אותו (אם שמים גלאי ליד הסדק) מוגדר על ידי המקדם . המצב הכללי  הוא סכום, או סופרפוזיציה, של שני המצבים הללו. אם נשים גלאי, החלקיק יעבור או רק דרך הסדק A (וזה יקרה בהסתברות ) או רק דרך הסדק B (וזה יקרה בהסתברות ).

Two notes

בשולי דבריי עוד שתי הערות שאינן חשובות לדיון שלנו, אבל נחוצות להשלמת התמונה:

• בסקלות הגדולות, כאשר מדובר על עצמים מהעולם הרגיל שלנו (יונה, כיסא, אדם, חיידק, תא חי, או כדור פינג פונג) האפקטים הקוונטיים בדרך כלל נעלמים. הסיבה לכך היא שגם אם החלקיקים שלנו הם קוונטיים, מערכת גדולה שמכילה המוני חלקיקים (כל גוף מקרוסקופי הוא כזה), מצבה הוא סכום מצבי החלקיקים. סכום של המון תוצאות מקריות נותן תוצאה ממוצעת פשוטה (זהו 'חוק המספרים הגדולים' בהסתברות). זהו האפקט המכונה decoherence (או dephasing) קוונטי.
• בעבר עלו הצעות (שמצוטטות עד ימינו) שלפיהן האדם המודד משפיע על תוצאות הניסוי. אנשים הסיקו מכאן מסקנות מרחיקות לכת על טלקינזיס (השפעה לא פיזיקלית של הרוח על עצמים ואנשים מרוחקים), על טיבה של המציאות (הבחנתו של קאנט בין הדבר כשהוא לעצמו (הנואומנה) לבין הדבר כפי שהוא מופיע לעינינו (הפנומנה) ועוד. לא אכנס כאן לכל ההשלכות הללו, אלא אומר שכיום מקובל שכל זה לא נכון. ניסוי שני הסדקים בוצע כאשר התוצאות שמדד הגלאי נמחקו מיד, כלומר לא הייתה תודעה אנושית שצפתה בהן, ובכל זאת התברר שעצם הצבתו של הגלאי גרמה לקריסה של פונקציית הגל למצב חלקיקי.[13] מכאן נראה שמקור המוזרות אינו בהכרח תודעה אנושית אלא עצם פעולת המדידה.[14]

הסתירה ופשרה

אם חוזרים ומתמקדים בסקלות הקטנות, הקוונטיות, על פניו נראה שישנה כאן סתירה לוגית. חלקיק הוא גוף בעל תכונות מסוימות (נתייחס אליו לצורך הפשטות כנקודת חומר שממוקמת במקום מוגדר כלשהו), ואילו גל הוא יש בעל תכונות אחרות (הפוכות), ובפרט אין לו מיקום מוגדר. בתורת הקוונטים, ישות בעלת אופי גלי טהור (כמו פוטון בעל אורך גל מוגדר) פרושה על פני כל העולם. אז מיהו בעצם האלקטרון (וגם הפוטון), זה או זה? הוא לא יכול להיות שניהם.

התשובה שאציע כאן לשאלה הזאת היא שהאלקטרון אינו חלקיק וגם לא גל. זוהי ישות אחרת, שיכולה להימצא בשני סוגים שונים של מצבים: מצב חלקיקי או מצב גלי. לפי הפרשנות הזאת, מצב של סופרפוזיציה אין פירושו שהחלקיק עבר דרך שני הסדקים גם יחד (זוהי סתירה לוגית), אלא שפונקציית הגל שלו מורכבת משתי פונקציות שכל אחת מהן מתארת מצב של חלקיק שעובר דרך אחד מהסדקים. בשפה היומיומית ניתן לומר שחלק מהחלקיק עובר דרך כל סדק.

אם כן, אין כאן סתירה אלא מורכבות שקשה לתפוס. זה לא חלקיק שעובר דרך שני הסדקים, שזה מצב פרדוקסלי (סתירתי לוגית), אלא יישות שמצבה מתואר כסופרפוזיציה בין שני מצבים חלקיקיים. בזה אין שום סתירה. חלקיק וגל אינן יישויות אלא מצבים של יישויות. אבל מהו בדיוק היש שאלו מצביו? איך הוא נראה? מהן תכונותיו האמתיות? אין לנו דרך לדעת או לתאר זאת. אתם רואים שעברנו מסתירה לוגית לקושי בתיאור (כמו בדוגמת ארבעה הממדים שהובאה למעלה).

החתול של שרדינגר וקידושין שלא מסורים לביאה

בניסוי המחשבתי הידוע בשם "החתול של שרדינגר", שמים חתול בתיבה סגורה עם מבחנת רעל אטומה. הפקק של המבחנה נשלט על ידי תהליך קוונטי והמצב שלו  מתואר על ידי סכום של שני מצבים פשוטים (קלסיים), כמו במשוואה שלמעלה. אלא שכאן המצב [A> הוא שהמבחנה פתוחה והמצב B>] הוא שהיא סגורה. אבל אם המבחנה פתוחה הרעל מתפשט בתיבה והורג את החתול, כלומר החתול מת. ואם המבחנה אטומה אזי החתול חי. משמעותו של מצב סופרפוזיציה היא שהחתול נמצא במצב שהוא סכום של מצב חי ומצב מת. כאשר נפתח את התיבה ונמדוד את מצבו של החתול, אזי נגלה חתול חי או חתול מת, אבל לא שניהם. אבל לפני הפתיחה הוא היה במצב של חי ומת גם יחד. כפי שראינו, לא מדויק לומר שהחתול גם חי וגם מת, אלא שמצבו הקוונטי (פונקציית הגל שלו) מורכב משני מצבים קלסיים: <חי] + <מת]. זה נחשב כפרדוקס מפני שמצב כזה כבר קשה יותר לעיכול. חתולים הם יצורים מקרוסקופיים קלסיים, וחשבנו שלפחות יצורים כאלה אנחנו מבינים. או שהם חיים או שהם מתים. בניגוד לפוטון או אלקטרון שאף אחד מאתנו לא ראה אף פעם, חתול הוא אובייקט שנדמה לנו שאנחנו מכירים, והוא לא יכול להיות חי ומת בו זמנית.

ניתן להציע פתרונות שונים לפרדוקס הזה, אבל בכולם אנחנו לא נשארים עם סתירה לוגית. אפשרות ראשונה היא שאכן גם לגבי חתול כל עוד לא צפינו בו מדובר ביישות אחרת ממה שאנחנו מדמיינים. תמונת החתול המוכרת לנו היא תוצר של 'מדידה' (הסתכלות בעיניים), וכאן יש רק אחת משתי תוצאות אפשריות: חי או מת. המדידה מקריסה את פונקציית הגל של החתול לאחד משני המצבים הללו. אבל חיים ומוות הם מצבים של החתול ולכן חתול חי וחתול מת אינם שני סוגי חתולים אלא שני מצבים שונים של יישות שאינה חתול במובן שמוכר לנו. יישות כזאת אכן יכולה להימצא בסופרפוזיציה של חי ומת.

ישנה גם אפשרות אחרת. הרעל שמתפשט בתיבה פועל על תאים או מכניזמים בגופו של החתול ובכך מביא למותו. אבל תאים או חלקיקים בחתול הם יישים קטנים שלגביהם רלוונטית תורת הקוונטים. ייתכן שהם באמת נמצאים במצב של סופרפוזיציה, אבל זה לא אומר שהחתול כמכלול נמצא במצב של סופרפוזיציה. מצבו של החתול הוא סכום על מצבי תאיו וחלקיקיו, וכאן מתקבלת תוצאה מקרוסקופית אחת (זהו אפקט ה-decoherence שהזכרתי למעלה), חי או מת. כשנמדוד נגלה איזו משתיהן. כך או כך, מה שחשוב לענייננו הוא שלא מדובר כאן בסתירה לוגית.

ישנה גם דוגמה הלכתית שמציירת מצב לגמרי זהה, קידושין שלא  מסורים לביאה (ראו עליה באתר שלי בטור 303). חשבו על מצב שבו לראובן יש שתי בנות, רחל ולאה. כעת בא אליו שמעון ונותן לו פרוטה ואומר לו שהוא מקדש בפרוטה הזאת אחת משתי בנותיו (בלי להגדיר מי מהן). נוצרת כאן בעיה, שכן אם הוא נשוי לרחל, אזי לאה היא אחות אשתו שיחסי אישות עמה אסורים עליו כערווה. וכך גם להיפך, אם לאה היא שנשואה לו, כי אז רחל היא אחות אשתו שאסורה עליו. בגלל שאין דרך לדעת מי מהן היא אשתו, הרי שמספק אסור לו לקיים יחסי אישות עם אף אחת מהן. אלו קידושין שלא מסורים לביאה, וישנה מחלוקת האם הם תופסים או לא. בכל מקרה אסור לו לקיים יחסי אישות עם שתיהן, השאלה היא האם שתיהן נשותיו והוא צריך לתת לשתיהן גט מספק, או שהן כלל לא נשואות לו.

המפרשים דנים בטיבו של המצב הזה. מהתלמוד נראה שמדובר במצב של ספק, שהרי איננו יודעים מי מהשתיים היא אשתו. אבל מבט נוסף מגלה שזה אינו מצב רגיל של ספק. בספק רגיל ישנה תשובה נכונה אחת, אלא שאנחנו לא יודעים אותה. חשבו על אדם ששלח שליח לקדש לו את אחת משתי הבנות. השליח הגיע לאב וקידש אחת מהן, נאמר את לאה, וכעת האב והשליח מתו. אף אחד לא יודע מי מהשתיים היא אשתו. זהו מצב של ספק רגיל, שכן יש תשובה נכונה אחת (הקב"ה יודע שלאה היא שהתקדשה לו), ורק אצלנו נוצר ספק בגלל מידע חלקי. ספק הוא חוסר במידע. אבל בקידושין שלא מסורים לביאה אין בכלל תשובה נכונה, גם לא באופן תיאורטי. אפילו הקב"ה בכבודו ובעצמו אינו יודע מי מהשתיים מקודשת, שכן אין אחת משתיהן שמוגדרת כאשתו. ניתן לומר שזהו מצב של עמימות (שהיא  תכונה של המציאות עצמה) ולא של ספק (שהוא תכונה של חוסר במידע אצל האדם).

במינוח שלנו, ניתן לומר שקידושין שלא מסורים לביאה הוא מצב של ספק קוונטי, שכן שתי התשובות נכונות. זה לא ספק אם רחל היא אשתו או לאה היא אשתו. לכאורה שתיהן נשותיו. אבל זה לא יכול להיות כי אדם לא יכול להיות נשוי לשתי אחיות. נכון יותר לתאר זאת כמצב של סופרפוזיציה קוונטית: אשתו היא יישות שלישית, והיישות הזאת היא הרכבה של שתי יישויות רגילות: רחל ולאה. זהו סכום של שני מצבים, האחד שהוא נשוי לרחל והשני שהוא נשוי ללאה. אבל כפי שראינו בתורת הקוונטים, התיאור הנכון הוא שאשתו היא סכום של שני מצבים, ולא שגם רחל וגם לאה הן נשותיו. בדיוק כמו שלא נכון לומר שהחלקיק עבר דרך שני הסדקים גם יחד, אלא שמצבה של היישות (אלקטרון) הוא סכום של שני מצבים חלקיקיים, האחד שבו החלקיק שעובר דרך סדק A והשני דרך סדק B.

החץ במעופו ועקרון אי הוודאות

הזכרתי כבר שאחד העקרונות היסודיים של תורת הקוונטים הוא עקרון אי הוודאות, שקובע שישנם צמדי גדלים שלא ניתן לייחס אותם בו זמנית לאותו גוף. כך, לדוגמה, לא ייתכן שיהיו לגוף כלשהו מהירות מדויקת ומיקום מדויק בו זמנית. יש כאן שיקוף של עקרון הקומפלמנטריות, שכן מהירות מדויקת מיוחסת לאלקטרון כשהוא במצב גלי ומיקום מדויק קיים אצלו רק כשהוא במצב חלקיקי. עקרון אי הוודאות גם קוצב מידה לרמות אי הוודאות בשני המאפיינים הללו, אבל כאן לא אתייחס לכך.

במאמרי "חצו של זינון והפיזיקה המודרנית" (inspection מו, תשנח, עמ' 425), עמדתי על הקשר בין עקרון אי הוודאות לפרדוקס החץ במעופו של זנון. אתייחס לזה כאן בקצרה, מפני שגם שם ישנו פתרון לסתירה בתורת הקוונטים, ושוב ניתן להיווכח שם בטענה שאחדות הניגודים היא מפלטם של עצלים.

הפילוסוף היווני זנון מאיליאה (תלמידו של פרמנידס בן המאה החמישית לפנה"ס) הציג כמה פרדוקסים שמאתגרים את מושגי התנועה והזמן, ורצה לטעון שתנועה אינה אלא פיקציה. היא קיימת רק בהסתכלות שלנו אבל לא יכולה להיות קיימת במציאות עצמה. אחד מהפרדוקסים הללו הוא פרדוקס החץ במעופו, ואציג כאן ניסוח פופולרי שלו. אם נתבונן בחץ שעף, בכל רגע (בדיד) שנתבונן בו נמצא שהוא עומד במקום אחר. אז באיזה רגע בדיוק הוא משנה את מיקומו? כיצד הוא עובר ממקום למקום? הרי אם הוא עומד אז הוא אינו נע בשום רגע, ואיך ייתכן שבכל זאת בכל רגע אנחנו רואים אותו במקום אחר?

ראשית, אשאל האם זוהי סתירה לוגית או קושי פיזיקלי? על פניו נראה שמדובר בסתירה לוגית. החלקיק גם עומד וגם נע. מהירותו באותו רגע היא גם 0 וגם לא אפס. אם כן, זהו קושי שלא ניתן לחיות איתו ויש לחפש לו פתרון. הפתרונות שהוצעו לקושי הזה מתבססים בין היתר על החשבון האינפיניטסימלי (ציר הזמן הוא רצף. אין באמת נקודות זמן מבודדות) ועל עקרון אי הוודאות בתורת הקוונטים (שלפיו אי אפשר לדבר על מיקום ומהירות של החץ בו זמנית). במאמרי הנ"ל הסברתי ששני אלו לא יכולים להוות פתרון. כאן רק אומר שבעצם זו אותה טענה שהצגתי למעלה: אין אפשרות לחיות עם סתירה לוגית. החשבון האינפיניטסימלי מציע לנו תיאור חף מסתירה של המציאות, אבל כפי שהסברתי במאמרי הנ"ל, הדבר משול לאימוץ שפה שבה אסור יהיה לבטא את הפרדוקס. זה אינו פתרון אמתי עבורו.

עקרון אי הוודאות לכאורה כן מציע פתרון. ראינו שלפיו לא ניתן לייחס לגוף כלשהו מהירות ומיקום מדויקים בו זמנית. אם כן, אם החץ ממוקם במקום מוגדר אין לו מהירות ולהיפך. זה שומט את הקרקע מתחת לניסוח הפרדוקס שהצגתי למעלה. אבל צדה השני של המטבע הוא שהפרדוקס הזה מראה מדוע עקרון אי הוודאות בעצמו הוא בעייתי, ובעצם סתירתי. יש לנו גוף נקודתי ובאופן תיאורטי אין שום מניעה לדבר על מיקומו בנקודה כלשהו ועל מהירות שיש לו (מהירות היא קצב שינוי המקום). מה פירוש שאין לו מהירות? האם הוא לא משנה את מקומו? הרי עינינו הרואות שהוא כן. ומה לגבי המיקום? מה עוד שחץ הוא עצם מקרוסקופי, ולכן אין מניעה לייחס לו מיקום ומהירות בו זמנית. ראינו שתורת הקוונטים אינה רלוונטית בסקלות הללו. כפי שהערתי למעלה, העובדה שהסתירה מופיעה גם במסגרת דיון מדעית אינה פתרון עבורה. גם תורה מדעית לא יכולה להכיל סתירות. אם ישנה סתירה בתורת הקוונטים, זו רק עוד סיבה לחפש לה יישוב הולם והגיוני. במאמרי שם הצעתי להפוך את צורת ההסתכלות: לחפש פתרון הגיוני לפרדוקס, ובאמצעותו להסביר את המוזרות של עקרון אי הוודאות בתורת הקוונטים.

שורש הבעיה בפרדוקס הזה נעוץ בחוסר אבחנה בין שני מושגים שנראים דומים: עמידה והימצאות. כשאומרים שהגוף עומד במקום X בזמן T, זה אינו שקול לאמירה שהוא נמצא במקום X בזמן T. במילים אחרות, גוף יכול להימצא במקום כלשהו בזמן כלשהו במהירות 0 (ואז נאמר שהוא 'עומד' באותו מקום) או להימצא שם במהירות אחרת כלשהי (ואז נאמר שהוא 'נמצא' שם). כשאומרים שהגוף נמצא במקום זה לא אומר בהכרח שהוא עומד. הוא יכול להימצא שם בתנועה. כשאומרים שהגוף עומד במקום X בזמן T, פירושו של דבר שהוא נמצא שם במהירות 0. כעת תוכלו לראות שהפרדוקס פשוט מתפוגג. לשאלה באיזה רגע הגוף נע, התשובה היא בכל רגע ורגע. אין סתירה בין האמירה שבכל רגע הוא נמצא (אבל לא עומד) במקום אחר, לבין האמירה שבאותם רגעים עצמם הוא גם נע.

מה שמבלבל כאן הוא שאי אפשר לומר שבכל רגע הגוף משנה את מקומו. שינוי מקום לוקח זמן כלשהו, ולא יכול להיעשות ברגע בודד של זמן. במילים אחרות, הטענה שגוף נמצא בשני מקומות באותו רגע היא סתירתית לוגית ולא רק נמנעת פיזיקלית. כאן לא מדובר על מהירות אינסופית אלא על שתי טענות סותרות (כמו החלקיק שעובר דרך שני הסדקים). אם כן, גוף לא יכול לשנות את מקומו ברגע זמן בדיד אחד, אבל הוא כן יכול להימצא בתנועה ברגע בדיד של זמן. מה שמבלבל אותנו בעניין הזה הוא שמהירות (הימצאות בתנועה) אינה שינוי מקום. מהירות היא גודל שקיים גם ברגע בדיד אחד, והיא הפוטנציאל לשינוי מקום. אבל שינוי מקום דורש קטע של זמן, ומהירות קיימת לגוף גם ברגע זמן בדיד אחד. משמעות האמירה שיש לגוף כלשהו מהירות ברגע מסוים היא שיש לו פוטנציאל לשינוי מקום, ולכן הוא כנראה ישנה את מקומו ברגע הבא.[15] במאמרי שם הסברתי את הבעייתיות הזאת במונחי מושג הנגזרת מהחשבון האינפיניטסימלי שמשמש להגדרת מהירות במכניקה. שם מגדירים מהירות דרך הפרשי מיקום חלקי הזמן שלוקח לעבור אותם, וכשהמהירות אינה קבועה יש לקחת קטעי זמן קטנים מאד (ששואפים לאפס). אבל כפי שהסברתי שם, זוהי רק הגדרה חישובית (אופרציונלית) של המהירות (כלומר זהו האופן לחשב מהירות) אבל לא הגדרת מושג המהירות עצמו. המסקנה היא שפרדוקס החץ במעופו הוא תולדה של בלבול מושגי ותו לא.

בהמשך המאמר הסברתי לאור ההבחנה הזאת את עקרון אי הוודאות בתורת הקוונטים. הסיבה לכך שאין לנו אפשרות לייחס לאותו גוף מהירות ומיקום בו זמנית, היא מפני שמדידת מהירות דורשת התבוננות שונה ממדידת מיקום. מדידת מיקום היא בעצם צילום של הגוף בכל רגע (במצלמה עם זמן חשיפה שהוא רגע זמן בדיד אחד). כאשר מתבוננים על העולם במצלמה סטטית כזאת אין שום אפשרות לראות תנועה או מהירויות (כמו שראינו בפרדוקס החץ). מצלמה היא עיוורת לעניין התנועה. לעומת זאת, מדידת מהירות דורשת ממני הסרטה של הגוף,[16] וזה בהכרח דורש מעקב אחריו לאורך קטע של זמן. את זה לא ניתן לעשות על פני רגע בדיד של זמן. המסרטה היא עיוורת למיקומים (כי רואים רק את התנועות. ממש הפוך ממצלמה). בכל אופן, אלו שתי צורות הסתכלות שמוציאות זו מזו, ולכן אי אפשר לקצוב מהירות ומיקום בו זמנית: או שאני מתבונן על הגוף (ועל העולם) דרך מצלמה או שאני מתבונן בו דרך מסרטה.[17]

הראיתי שם שמשמעותה של החלוקה בין שתי נקודות המבט שתיארתי (המצלמה והמסרטה) היא מה שמכונה בתורת הקוונטים 'תמונת המקום' ו'תמונת התנע' (המהירות). בתמונת המקום מתארים את כל המציאות הפיזיקלית במונחי המיקום המרחבי של החלקיקים בכל רגע. אין שם אפשרות לדבר על מהירויות. לעומת זאת, בתמונת התנע מתארים את כל המציאות רק במונחי מהירויות של החלקיקים בכל רגע, ואז אין אפשרות לדבר על מיקומים. זה ממש מקביל למצלמה והמסרטה שלנו. גם בתורת הקוונטים אלו שתי תמונות שמוציאות זו מזו, ולא ניתן לתאר את הגוף בשתיהן בו זמנית. אדם צריך לבחור נקודת מבט או תמונה. אמנם ניתן לעבור מאחת לשנייה, אבל לא להשתמש בשתיהן סימולטנית.

הבחנה בין שתי זוויות מבט אינה סתירה

משמעות הדבר היא שכמו שראינו לגבי עקרון הקומפלמנטריות כך גם לגבי עקרון אי הוודאות. גם כאן לא מדובר בסתירה אלא בתמונה מורכבת. ברקע יש שתי זוויות מבט שונות שמוציאות זו מזו, אבל אין כאן שתי אמיתות סותרות בו זמנית. לכן עקרון אי הוודאות אינו מבטא סתירה לוגית אלא לכל היותר מצב שקשה לנו לדמיין אותו. ההסבר שהצעתי כאן לאור פרדוקס החץ אפילו מקרב זאת קצת יותר לשכל ולדמיון שלנו. בשורה התחתונה, המסקנה היא שתורת הקוונטים לא מכילה סתירות או חריגות מהלוגיקה המקובלת, וממילא גם לא יוצרת אפשרות לטעון טענות סתירתיות או להחזיק באמונות סתירתיות.

כעת אביא שלושה יישומים שמחדדים את ההבדל בין החזקה בסתירה לבין שתי זוויות מבט שונות. הראשון היא משל ידוע לגבי ויכוח בין שני אנשים שמתארים פיל. ראובן טוען שזו חיה בעלת שתי רגליים מרוחקות זו מזו, עם עין אחת. שמעון טוען כנגדו שזהו בעל חיים עם שתי רגליים סמוכות זו לזו ושתי עיניים. לכאורה אלו שני תיאורים סותרים, אבל בעצם מדובר בהסתכלות על אותו פיל משתי זוויות מבט שונות. ראובן רואה אותו מהצד, ולכן רגליו מרוחקות זו מזו ויש לו רק עין אחת (זה מה שרואים מהצד). ואילו שמעון רואה אותו מהחזית, ולכן הוא רואה שתי רגליים סמוכות (שתי הקדמיות) ושתי עיניים. התיאורים הם לכאורה סותרים, אבל בעצם מדובר בתיאורים של אותו עצם משתי נקודות מבט שונות. כל אחד מהתיאורים הוא חלקי, והתיאור השלם הוא הצירוף של שניהם.

יישום שני ניתן לראות במאמר חז"ל "אלו ואלו דברי אלוהים חיים". במקורו נאמר הדבר לגבי מחלוקות ב"ש וב"ה (בעירובין יג ע"ב), ובסוגיית גיטין ו ע"ב לגבי פילגש בגבעה. כידוע, המפרשים מיישמים זאת לגבי כלל המחלוקות בתלמוד ואולי גם אחריו. התמיהה על מאמר זה ידועה, והמקור המובהק שמציג אותה הוא הריטב"א בחידושיו לעירובין שם, שכותב:

אלו ואלו דברי אלהים חיים. שאלו רבני צרפת ז"ל היאך אפשר שיהו שניהם דברי אלהים חיים וזה אוסר וזה מתיר, ותירצו כי כשעלה משה למרום לקבל תורה הראו לו על כל דבר ודבר מ"ט פנים לאיסור ומ"ט פנים להיתר, ושאל להקב"ה על זה, ואמר שיהא זה מסור לחכמי ישראל שבכל דור ודור ויהיה הכרעה כמותם, ונכון הוא לפי הדרש ובדרך האמת יש טעם וסוד בדבר.

גם כאן לכאורה מדובר בסתירה לוגית. אבל למען האמת הקושי הזה נעלם אם נתבונן בסוגיה המקבילה, שהיא היחידה בתלמוד שבה מובא גם הסבר לכלל הזה, בגיטין ו ע"ב:

דכתיב ותזנה עליו פילגשו רבי אביתר אמר זבוב מצא לה ר' יונתן אמר נימא מצא לה ואשכחיה ר' אביתר לאליהו א"ל מאי קא עביד הקדוש ברוך הוא א"ל עסיק בפילגש בגבעה ומאי קאמר אמר ליה אביתר בני כך הוא אומר יונתן בני כך הוא אומר א"ל ח"ו ומי איכא ספיקא קמי שמיא א"ל אלו ואלו דברי אלהים חיים הן זבוב מצא ולא הקפיד נימא מצא והקפיד.

התנאים חלוקים בשאלה מה בדיוק מצא אותו אדם לפילגש. מה עורר את זעמו? אחד אומר שהוא מצא נימא והשני אומר שמצא לה זבוב. אליהו הנביא מגלה שהקב"ה עצמו העלה את שתי האפשרויות, אבל זה אינו ספק אלא קביעה כפולה: הוא מצא לה גם זבוב וגם נימא, ורק שניהם יחד יצרו את הקפידא שלו.[18] כל אחד מהצדדים תפס רק תמונה חלקית, והתמונה המלאה היא הצירוף של שתיהן. אמנם זוהי סוגיה אגדית, אבל מתוכה נראה שזהו ההסבר למימרא "אלו ואלו דברי אלוהים חיים" גם בהקשריה ההלכתיים. ובאמת למעלה יותר באותו עמוד בסוגיית עירובין מובאת האפשרות למצוא נימוקים נכונים רבים נגד הלכה פסוקה, כמו קנ טעמים לטהר את השרץ, למרות שהתורה עצמה קובעת שהוא טמא. ההסבר לכך הוא שאכן יש קנ טעמים לטהר ויש גם קנ טעמים לטמא אותו. בשורה התחתונה הוא טמא, כי טעמי הטומאה גוברים על טעמי הטהרה. אבל זה לא אומר שטעמי הטהרה אינם נכונים. הטעמים לכל הכיוונים הם נכונים, וההלכה היא התוצאה המשוקללת של כולם. שוב יש כאן הסתכלות מורכבת מזוויות מבט שונות, שכל אחת היא חלקית בלבד. הסתירה לכאורה (השרץ גם טמא וגם טהור) אינה באמת סתירה אלא מורכבות שנוצרת מצירוף של נקודות מבט סותרות.[19]

היישום השלישי מופיע במאמרי "מהי 'חלות'? הלכה, לוגיקה ודבקות בה' ", Noon ב, תשס. הבאתי שם את דבריו של רבי שמעון שקופ לגבי אישה שמתגרשת בתנאי. טענתו היא שעד קיום או אי קיום התנאי מצבה של האישה הוא אשת איש וגרושה גם יחד. זהו בעצם מצב סופרפוזיציה קוונטי, כפי שתיארתי אותו למעלה. אם היא מקיימת את התנאי – פונקציית הגל 'קורסת' למצב של גרושה, ואם לא – היא 'קורסת' למצב של אשת איש. אני מסביר שם כיצד ייתכן צירוף של שני מצבים סותרים, אשת איש וגרושה, ביחד. לכאורה זה בלתי אפשרי, שהרי אם היא אשת איש היא אינה גרושה, ולהיפך. טענתי שם שיש על האישה שתי חלויות, חלות אשת איש וחלות גרושה. המצב המשפטי שנוצר הוא הרכבה של שתיהן, ובמצב כזה אין שום סתירה. דימיתי זאת למצב שבו יש בתבשיל מלח וסוכר, שהוא כמובן אפשרי לגמרי. לא ייתכן מצב שהתבשיל הוא גם מלוח (לגמרי) וגם מתוק (לגמרי). הסתירה קיימת בהשלכות, אבל עצם קיומם של שני ההיבטים אינו סתירה. 'חלות' היא סוג של יישות, ולכן קיומן של שתי חלויות סותרות על אותה אישה באותו זמן אין בו שום בעיה (כמו מלח וסוכר באותו תבשיל). ההשלכות ההלכתיות כמובן לא יכולות להיות סתירתיות, והן אכן נוטות תמיד לאחד מהצדדים (אני מסביר שם לאיזה מהשניים).

בניסוח אחר ניתן לומר שיש במצבה של האישה הזאת טעם אחד להתייחס אליה כגרושה וטעם אחר לראות אותה כאשת איש. כמו שראינו למעלה, קיומם של טעמים שמובילים לכיוונים סותרים אינו מצב של סתירה. גם כאן לא מדובר בסתירה אלא בשני היבטים (בעלי מאפיינים סותרים) ששניהם יכולים להתקיים במקביל.

השלכות ודוגמאות: כמה סוגי סתירות

משמעות התמונה שתיארתי כאן היא שאין שום מקום לטענות סתירתיות, לא באמונה, לא בתורת הקוונטים ולא בכלל. כאשר אנחנו פוגשים סתירה עלינו לבחור את אחד מהצדדים ולזנוח את השני, או לחלופין להראות שלא מדובר בסתירה, ואז ורק אז ניתן להחזיק בשניהם. היתלות בלוגיקה אחרת (קוונטית למשל), או שימוש בביטויים כמו 'אחדות הניגודים' אינם  מועילים מפני שהם לא אומרים שום דבר. אם מדובר בניגודים לוגיים אין מקום לאחד ביניהם, ואם לא – אז יש להראות זאת ובכך להתיר את הסתירה המדומה. אנשים שלא מצליחים להראות שאין סתירה לוגית בין הטענות ובכל זאת רוצים להחזיק בשתיהן, מעדיפים, כנראה בגלל עצלות מחשבתית, לדבר במונחים הריקים הנ"ל.

אחת הסיבות לבלבול הזה היא השימוש הפזיז שעושים רבים במושג 'סתירה'. ברוב ככל המקרים שבהם מדובר על 'אחדות הניגודים' אין זו סתירה לוגית אלא לכל היותר עניין שקשה להבינו. במקרים שאין לנו הסבר מפורש ובכל זאת נראה לנו ששני הצדדים נכונים ואין לוותר על אף אחד מהם, עלינו לפחות להראות שאין ביניהם סתירה לוגית אלא מדובר בקושי, או ב'סתירה' רכה יותר (נמנעת פיזיקלית, או רק עניין שקשה לדמיין כמו ארבעה ממדים וכדומה).

לא אוכל להיכנס כאן ביתר פירוט להבחנה בין סוגי הסתירות (נמנעות לוגיות מול נמנעות פיזיקליות או קושי לדמיין), אבל להשלמת התמונה רק אוסיף שבמאמרי "האם אמונה בסתירות לוגיות היא אפשרית?" (מופיע באתר שלי), אני מגדיר סוג נוסף של סתירה, תוך שימוש במינוח קאנטיאני: ישנם מצבים שבהם הסתירה בין שתי הטענות אינה לוגית (אנליטית) וגם לא תצפיתית-מדעית, אלא אפריורית. הסתירה נוצרת בגלל עיקרון אפריורי (כמו עקרון הסיבתיות), אבל אין זה אומר שהצירוף של שתי הטענות הוא מחוסר מובן. סתירה אנליטית היא מלל ריק, כפי שהסברתי במאמר זה, אבל לסתירה אפריורית יש משמעות מצד עצמה ולכן אין לשלול אותה, לפחות ביחס לקב"ה. לסיום המאמר, אביא כעת כמה דוגמאות לשימושים פזיזים כאלה במושג 'סתירה', ולמשמעותה של התמונה שהצעתי כאן.

הדוגמה הראשונה היא דברי חז"ל על פרה אדומה. חז"ל משתמשים בדין של פרה אדומה כדי לדבר על סתירות שאיננו יכולים להבין. כך למשל בפסיקתא דרב כהנא ד, בפתיחתא לפרשת פרה, אנו מוצאים (ראו גם In the Raba Desert יט, א):

Tamman Taninan: Bright as impure grain, a flower in its purest form. Who did this, who commanded this, who decreed this, is it not the One and Only of the universe?

Tamman Taninan: If a woman dies and gives birth inside her womb, and an animal reaches out its hand and touches it, the animal is unclean for seven days, and the woman is pure until the birth comes out.

He who dies in a pure house, and leaves it, is unclean. Who did this, who commanded this, who decreed this, not one, not the only one in the world?

And they said, "All who are occupied with the cow from beginning to end are defiled with their garments, for it itself purifies the impure." Rather, the Holy One, blessed be He, said: I have enacted a statute and decreed a decree, and I have no power to transgress my decree - "This is the law of the Torah which the Lord commanded to be said" (Num. 19:2).

All of these are examples of contradictions (some of them are cited in another midrash as Korach's mocking difficulties with Moses, with many more examples. See, for example, Yerushalmi Sanhedrin, chapter 10). In the case of leprosy, if a person's flesh has a spot the size of a grain of sand, it defiles, but if it has spread throughout the body, he is pure. The second example is a midwife who becomes impure from touching a dead fetus, as opposed to the woman who carries it in her womb, who is pure until it comes out. The third example is when there is a dead person in the house, who is pure, and he becomes impure when the dead person comes out of it. A red cow is a fourth example, since it defiles the pure who deal with it, but its whole point is that it purifies the impure. All of these examples seem like logical contradictions, and therefore the midrash attributes them to God, the One and Only of the Universe. Ostensibly, this is a literal statement of the 'unity of opposites' that assumes that God is not subject to the constraints of logic.

But a closer look reveals that this is not a logical contradiction. And is there a contradiction between the claim that a cow defiles the pure and the claim that it purifies the impure? A contradiction would only exist if we were to say that it both purifies the impure and does not purify them. Purifying the impure and defilement of the pure is an incomprehensible matter, but not a logical contradiction. And so it is with all the other examples cited in the aforementioned midrash. Our treatment of such cases as if there were contradictions here is reckless. If these were indeed logical contradictions, then we could not adopt both sides of the contradiction simultaneously. One of them was wrong. When the matter is not understood, but not contradictory, there is no reason to hold to both sides of the 'contradiction' together. After that, one can even try to understand the idea, but understanding here is not a condition for adopting the two laws in question. It can be said that in soft contradictions such as these, they leave us with a question but not with a difficulty or a contradiction.

The Polish logician, Jan Lukaszewicz, developed three-valued logic, that is, logic in which each statement can have three truth values (true, false, and something third). He showed that it is possible to present a consistent logic that is not binary (i.e., does not fulfill the law of the excluded middle), and some saw this as a challenge to classical (binary) logic. Many authors, when discussing contradictions in Adam's doctrine, use three-valued logic to explain this. Supposedly, there is justification for a contradictory doctrine here. There were even those who wanted to use this logic to offer a solution to paradoxes. In their view, a paradoxical statement is neither true nor false, but this should not bother us because the third truth value can be attached to it (T – true, F – false, P – paradox).

But as I explained above, such logic cannot be an explanation for anything. Even Lukashevich himself, when he built his logic, used ordinary logic. His logic does not replace ordinary logic but rather constitutes a formal structure that can serve us as a useful tool in certain contexts (as we saw above regarding quantum logic). For example, some also refer to probability as a different type of logic, since in probability theory, claims can take on a sequence of values (a number between 0 and 1). Does probability undermine our ordinary logic? Of course not. It is a tool for dealing with situations of uncertainty, but not a change in the principles of logic. Therefore, it is clear that dependencies in three-valued logic cannot be an explanation for a contradictory proposition or paradoxes.

In Feuer's book (above note 1), Lukashevich himself is quoted, who said that his motivation for developing three-valued logic was the feeling that the determinism imposed on us by classical binary logic (true or false) freezes thought. His friends and colleagues used his logic as a basis for understanding quantum theory, which shattered the determinism that had been accepted until that time. You can see in Feuer how many ideas were based on and hung on this logic, without any injustice. Contrary to the words of its creators and the thinkers who came after them, such logic cannot form the basis for any idea on earth, but perhaps be a source of inspiration for thinking that goes outside the box (but not the logical box, of course). There is no possibility of departing from accepted logic, neither from the law of contradiction nor from the law of the third rule. Thus, for example, in the development of Lukashevich's logic, it was also possible to use proofs by negation (which are based on the law of the excluded third).

It is no wonder that authors like Benjamin Ish Shalom, in his book Rabbi Kook between rationalism and mysticism (above note 5), suggests explaining in this way some of Rav Kook's basic ideas, which seem contradictory to us. In several places (see note 71 to the first chapter and note 133 to the third chapter) he links Rav Kook's positions to the ideas of the unity of opposites on the logical level, and even mentions in this context Lukashevich's three-valued logic. So does Avi Sagi, in his book These and those (Hillel Ben Chaim Library, Kibbutz Hameuchad, 1996. See there, Chapter 7 of Part Three) Refers to the Talmudic statement "These and these are the words of the living God" as an expression of the unity of opposites, which, according to Rabbi Tzadok HaCohen of Lublin, is not "bound by the laws of contradiction" like human thinking. The same is true of philosophical and kabbalistic issues such as the contrast between the image of "surrounding all the universe" (transcendence) and the image of "filling the universe" (immanence).

Meir Monitz, in his article (above, note 5), begins with quotes from Rabbi Kook's writings that speak of the unity of opposites in the Godhead, contrary to the law of contradiction in human thought. He also cites there the aforementioned book by Benjamin Ish Shalom, Four Ways to Understand Contradictions in Rabbi Kook's Teaching, the fourth of which is the boldest of all, which speaks of accepting the unity of opposites (he mixes opposites in nature, thought, and logic) without resolving the paradox. His claim is that the concept of God requires us to enter into logical contradictions, on issues of freedom and necessity, finitude and infinity, completeness and completion, and so on. As part of his "logical" explanation, he cites Hugo Bergman's words in his book Introduction to Logic – The Theoretical Science of Order (Bialik Institute, Jerusalem, 1953), which raises several arguments against the law of the avoided third and the law of contradiction. I cannot enter here into a critical examination of these arguments (some of which I have addressed here, such as the arrow paradox), but it is a priori clear that all of his arguments there cannot hold water. They themselves are argued on the basis of our classical binary logic, and anything said outside of it is simply meaningless.

In most of these places, there are not really logical contradictions, and therefore, instead of clinging to vague statements about the 'unity of opposites' or three-valued logic, it would be better to look for an explanation and show that there is no logical contradiction. Without such an explanation, there is indeed a logical contradiction (this is the case with the problem of completeness and completion. See it on my website, in columns 170, 278, 519, and more). In such a situation, there is no use waving around concepts like the 'unity of opposites' and/or different logics. One of the rays of the dilemma is wrong and should be abandoned. However, if we have found an explanation, then there is no need for the unity of opposites or a change in the principles of logic, because there is no contradiction to be resolved here.

I will add that in many cases the problem is interpretive. An author speaks of the 'unity of opposites' but does not intend to make a claim on the logical level (as if there were a different logic) but only to use this metaphor to sharpen the complex picture he is drawing. His intention is to suggest that we should not think that if there is a contradiction we must immediately abandon one of its sides. On the contrary, we should seek a solution and an explanation and show that there is no contradiction. In these cases the 'unity of opposites' is merely a metaphor. At the beginning of his article, Monitz cites six such quotations (see more sources in his note 2) from the writings of Rav Kook. This can be seen in each of them. Here I will use as an example the quotation from the book of the Rabbi, Purifying mists, p. 13, where he writes:

One should not be alarmed by the grouping of great opposites as is famously said, because what appears to many as disparate and opposite things is only because of the smallness of their minds and the narrowness of their outlook, which sees only a very small part of the supreme perfection. And even this part is in a very distorted form. But those who have enlightened knowledge, their thoughts spread to different places and large spaces. And they grasp the treasures of goodness in every place. And they unite everything together in a peaceful unity.

Is it necessary to interpret this as a logical thesis? I could equally explain that his intention is to point out the short-sightedness of some people who, due to their narrow-mindedness, fail to understand that there is no contradiction here, in contrast to the "people of enlightened knowledge" who do find an explanation and resolve the contradiction.

It is important to understand that such an interpretation of his words is fundamentally different from the logical interpretation offered by Monitz, since according to the logical interpretation there is no point in seeking an explanation, since there is no explanation accessible to people who are as deficient in logic as we are. Only God, the Blessed One, is not subject to the constraints of logic. According to this interpretation, it is not clear who the "people of enlightened opinion" that Rav Kook is talking about are. After all, there are no people who can transcend logic, like God Himself. Therefore, the more plausible interpretation of the Rabbi's words is precisely the one I have proposed, according to which his intention is to encourage us here to seek a solution, and not to be content with a superficial observation, to declare the unity of opposites, and to sit quietly. If we encounter a contradiction, we must seek an explanation and show that there is no real contradiction here (and thus be among the "people of enlightened opinion").

I could now go through all the apparent contradictions mentioned in the above sources and 'explained' through various logics or hinged on the 'unity of opposites', and show why they all fall into one of these two categories: a minority of them are logical contradictions, in which case we must reject one of the claims. And the rest, most of them as a whole, are imaginary contradictions, for which there is no need for a unity of opposites. I did this above with regard to the theory of quantum mechanics, which is one of the more difficult cases, and also with regard to the Talmudic maxim "These and these are the words of the living God." One can learn from these two cases for the other easier examples. But for our purposes, this is enough, and there is no room here to go into the other examples in detail.

[1] See, for example, the book by Louis S. Foer, Einstein and his contemporaries, Translated by Gad Levy, Sifrat Afakim, Am Oved, Tel Aviv 1979, in the chapter "The Logical Revolution Against Determinism", pp. 174 – 181.

[2] In the formula above, the * symbol represents 'also', and the U symbol represents 'or'.

[3] See on this subject the book by Israel Netanel Rubin, What God Cannot Do: The Problem of God's Subjection to the Laws of Logic and Mathematics in Jewish Philosophy and Theology, Reuven Mass, Jerusalem 2016. The matter was also discussed in several places on my website, Responsorial Psalm and Articles (See for example columns 549-550 and many more).

[4] The words are almost copied in the Rashba's responsa, Chabad Si' 9 and Si' 18, and also there in Chabad Si' 11.

[5] For this distinction, see Yehudit Ronen's article, "Everything is predictable and permission is given," in the collection Between religion and morality, Daniel Statman and Avi Sagi (eds.), Bar-Ilan University, 1994, pp. 35-43. These matters were also discussed in the fourth book in the Talmudic Logic series., Logic of Time in the Talmud (p. 50 onwards).

[6] See, for example, Meir Monitz's article, "The Logical Foundation for the Unity of Opposites in the Teachings of Rav Kook," Elyon Shvut 143-144, 5755. You can also find references in the book of Benjamin Ish Shalom, Rabbi Kook: Between Rationalism and Mysticism, with an employee, second printing, 1990 (a second edition was also published, Resling 2019). In his article, Monitz proposes a 'logical foundation' for the unity of opposites (in my opinion, this is an oxymoron), but Ish Shalom also links this approach to the three-valued logic of the Polish logician Lukaszwicz. I will comment on this below.

[7] In analytic philosophy, there is debate about this claim, but only because the term 'interpretation' is not agreed upon. For our purposes here, this is not important.

[8] Analytic philosophers ask whether the current king of France is bald. If we examine the group of bald people, we will not find him there, but if we examine the group of hairy people, we will not find him there either. This is because there is no current king of France. Applying the third law of exclusion to a non-existent object is misleading.

[9] See him on my website in column 302.

[10] The waves are summed by the sum of the values of the function that describes the wave, but the intensities are the squares of the values of the function. Therefore, it is clear that the sum of the intensities of the two waves (the sum of the squares of the values of the two functions) is not equal to the intensity of the wave that is composed of them (the square of the sum of the values of the function).

[11] Both here and below I present a very simple and schematic picture. The actual results of a two-slit experiment are more complex. There are many lobes between the slits, and the distances between them and their heights depend on the wavelength, the distance and angle of the beam source, and the distance between the slits. The description here is schematic, and for our purposes here it is sufficient.

[12] For the intensity distribution to be as described here in Graph 3, a certain distance is required between the two slits, which depends on the wavelength of the wave beam. I am not required to go into these details here so as not to complicate the description.

[13] See for example here: RHS Carpenter, Andrew J. Anderson (2006). "The death of Schrödinger's cat and of consciousness based quantum wave-function collapse", Annales de la Fondation Louis de Broglie, 31 (1).

[14] Although according to this it is not clear what the definition of measurement is at all, since the detector itself is just a physical object. Without a measurer there is no measurement. To this puzzle, as far as I know, there is no agreed-upon solution to this day.

[15] Alternatively, it will get stuck in a wall that does not allow it to move, and then its energy will come out in another form, such as dissipating heat into the environment.

[16] I explained there that this is an ideal film. Our films build the film from successive static shots, meaning that it involves continuous use of the camera. In our case, this is the perspective of a camera, and in this perspective we accept classical physics, in which there is no uncertainty between position and velocity.

[17] I cannot go into detail here about whether this is a limitation of ours (we cannot determine position and velocity simultaneously), i.e. an epistemic claim, or whether it is an ontological principle, i.e. a principle that deals with reality itself. This is an old debate among quantum theorists, and today the tendency is that it is an ontological principle. The explanation I have given here seems to be an epistemic principle, but it is certainly not necessary. The distinction between a camera and a video camera does not lie in our limitation but rather indicates something in the nature of these quantities (position and velocity) themselves.

[18] That's how it became clear to me, and it's not that the name alone brought about his caprice.

[19] See columns 247-248 on my website, and in the articles "Is Halacha Pluralistic?". The kind 567.

Link to the article in Word file format for those interested.