חיצו של זינון והפיסיקה המודרנית[1]

עיון – 1997

במאמר זה ברצוני להבחין בין שתי צורות התייחסות לתהליכים דינמיים, ולדון בכמה השלכות של הבחנה זו הנוגעות בתחומים השונים לחלוטין זה מזה. בראש דברי אדון בפרדוקס החץ במעופו בנוסחו של זינון מאיליאה הממחיש היטב את ההבחנה הבסיסית, בעקבותיה אנסה לגזור יסודות מסוימים של עקרון אי הוודאות של הייזנברג בפיסיקה הקוונטית, נמשיך לדון בבעיית האינטרפרטציה  של הזמן בתורת היחסות של איינשטיין, ונדון בכמה השלכות של הבחנה זו בתחומי חשיבה אחרים.

א. פרדוקס החץ במעופו

נקודת הפתיחה של עיוננו מצויה באופן טבעי באיליאה שביוון העתיקה, שם מנסה זינון לערער על מושג התנועה באמצעות כמה פרדוקסים.[2] אחד מאותם פרדוקסים, הנקרא פרדוקס החץ במעופו, ניתן לניסוח כדלקמן:

(1) "החץ העף, ברגע לא מתחלק אחד של מעופו הוא עף ואינו עף כאחד. ושתי הטענות נכונות: הוא עף, שהרי אלמלא היה עף כל רגע, לא היתה מתבצעת תנועתו. והוא אינו עף , שהרי בתוך רגע לא מתחלק ולא מתפשט אחד של הזמן הוא אינו יכול לבצע שום תנועה. אמור מעתה: החץ עף ואינו עף כאחד".[3] שמואל הוגו ברגמן, אשר מביא את הניסוח הזה כאחד הערעורים על חוק הסתירה, ממשיך ואומר שהוא הדין לכל תהליך רציף כמו קפיאת מים ועוד.

ניתן לנסח את הפרדוקס באופן מעט אחר: (2) בכל רגע בלתי מתחלק החץ ממוקם במקום מוגדר במרחב אשר יכול להיות שונה ממיקומיו הקודמים. אם כן, באיזה רגע של הזמן החץ משנה את מיקומו? כלומר, מתי הוא נע?

שני נוסחים אלו נראים לכאורה שקולים. שניהם מניחים את המשפט שאם גוף עומד ברגע מסוים הרי שאינו יכול גם לנוע באותו רגע, המבוסס על עקרון הסתירה (אם כי הנוסח השני עושה זאת באופן מובלע). בהמשך נראה שאלו אינם ניסוחים שקולים לחלוטין.

ישנם נסיונות לפתור את הבעיה תוך שימוש במושגים מתוך החשבון האינפיניטסימלי והבעייתיות של מושג הרצף. בניסוח פשוט ניתן לבטא זאת כך: הקו הרציף אינו מורכב מנקודות אלא מאינפיניטסימלים קטנים כרצוננו. ציר הזמן הוא קו רציף. ולכן אין כל משמעות לדון על מצבו של גוף בנקודת זמן שאינה מתחלקת ואינה מתפשטת. ניסוחו של ברגמן שם דומה מאד: "מן הנמנע הוא לחלק את הרצף לרגעים שאינם מתחלקים". טענה זו, כמו הדיון שיבוא בהמשכו של מאמר זה,  מנוסחת בהקשר של גישה אינטואיטיבית למושג הרצף והחשבון האינפיניטסימלי.[4] בתיאוריה המתימטית המודרנית ישנם גם תיאורים של הרצף כאוסף נקודות המקיים תכונות כלשהן (גישה של תורת קבוצות), ובגישה כזו הפתרון לפרדוקס של זינון נראה בלתי סביר לחלוטין. ההבחנה הזו בין הרציף לבין הדיסקרטי הוכחה כפורייה מאד בתיאור המתמטי של תהליכים באמצעות החשבון האינפיניטסימלי. עדיין, נראה שהשימוש בהבחנה זו כדי לפתור את הפרדוקס אינו תואם את האינטואיציה הפשוטה. זו מרגישה כי את הקו ניתן ליצור מנקודות בדידות, וכמו כן שניתן בהחלט לדבר על נקודת זמן בדידה ועל מצבו של גוף בנקודה כזו. הקביעה המונחת ביסוד החשבון האינפיניטסימלי רק עוזרת לנו להימנע מקשיים טכניים בתיאור המתימטי של הרצף. כלומר, הקביעה דלעיל, השוללת את אפשרות חלוקת הרצף לנקודות, אינה נראית כקביעה אונטולוגית אלא כהנחה מתימטית המאפשרת להימנע באופן פורמלי מן הפרדוקסים של הרצף.[5] נמצא אם כן, שהבעייתיות הפילוסופית בתיאור מעופו של החץ בעינה עומדת.[6]

כעת אנסה להציג פתרון שונה לפרדוקס החץ במעופו. בהמשך הדברים נראה שפתרון זה טומן בחובו תובנות חדשות ומפתיעות בתחומים שונים.

ב. החץ  ועקרון אי הוודאות

ההנחה המובלעת בשני הנוסחים דלעיל של פרדוקס החץ במעופו היא החלתו של חוק הסתירה על מושג התנועה. אמנם הקביעה כי גוף אינו יכול לנוע ולא לנוע בעת ובעונה אחת היא טאוטולוגיה לוגית, אך אנו נרצה לטעון שזו אינה בדיוק ההנחה שביסוד הפרדוקס. הנוסחים השונים של הפרדוקס מניחים זהות בין הקביעה כי "גוף A  הוא בעל מהירות" לקביעה  "גוף A משנה את מיקומו". טענתי היא  כי המונח "נע" משמש בניסוחים דלעיל בשני המשמעים הללו, וכי הם שונים זה מזה. באופן מקביל לחלוטין ניתן לחלק בין שני משמעים למונח "עומד" במקום מסוים: הראשון הוא "נמצא" במקום זה, והשני הוא "נח" במקום זה.

הפיסיקה הקוונטית עמדה בפני דילמה, הדומה מכמה בחינות לזו המוצגת כאן, במחצית הראשונה של המאה הנוכחית. התברר לפיסיקאים כי לכל חלקיק אלמנטרי ישנן לפעמים תכונות של חלקיק ולפעמים תכונות של גל. נילס בוהר הציע כפתרון לדילמה זו את עקרון הקומפלמנטריות האומר, שלכל יצור כזה (הקרוי בפינו חלקיק) ישנן תכונות של גל ושל חלקיק בו זמנית. האופי המתגלה לעיני הצופה תלוי באופן המדידה ובגדלים הנמדדים. ניסוח פורמלי וכמותי של עיקרון זה נקרא עקרון אי הוודאות של היזנברג. עיקרון זה חזק יותר מעקרון הקומפלמנטריות,[7] אך במאמר זה אתייחס רק לתוכן העקרוני של קביעות אלו ולא לצורה הכמותית הפורמלית שלהם. לענייננו ישמש הניסוח האיכותי הזה של עקרון אי הוודאות: מהירותו ומיקומו של חלקיק אינם ניתנים לקביעה בעת ובעונה אחת. ובמילים אחרות, כאשר יש לחלקיק מקום מוגדר, מהירותו היא גודל בלתי מוגדר לחלוטין שלא ניתן לדבר עליו וודאי לא למדוד אותו, וההיפך.

ניתן לקשור עיקרון זה לפרדוקס החץ במעופו בכמה רבדים:

 (א) ברובד הסמנטי, לפי עיקרון זה לא ניתן לנסח משפטים הכוללים את מושג המהירות ברגע שבו ישנו מיקום מוגדר לחלקיק, שכן משפטים אלו מכילים מושג שאינו מוגדר: "מהירותו של החלקיק הנמצא במקום x". לפיכך, הטיעון (1) המוביל למסקנה שהחץ נע ברגע שבו הוא עומד הוא טיעון חסר משמעות. הטענה בדבר חוסר המשמעות של הטיעון הזה אינה מסתמכת על חוק הסתירה הקובע שהטענה שגוף נע ולא נע בו בזמן בטלה, אלא על כך שלא ניתן לומר כלום על תנועתו של גוף בשעה שמיקומו מוגדר. ברם, נוסח (2) בעינו עומד, שהרי עדיין ניתן לשאול מתי הגוף נע אם לא באותו רגע שהוא עומד במקום כלשהו. כדי לענות על הניסוח (2) מתוך שימוש בעקרונות תורת הקוונטים, נפנה לרובד הבא:

(ב) ברובד הפיסיקלי, חלקיק יכול להימצא במקומות שונים בזמנים שונים, אף שבעת שמיקומו ידוע לא ניתן לייחס לו מהירות. דבר זה נובע מן העובדה שהמושג של החלקיק הנקודתי הנע אינו מוגדר היטב בתורת הקוונטים. במסגרת תורה זו, החלקיק מיוצג על ידי פונקציית גל המתארת את הסיכוי למצוא את החלקיק במקום מסוים. החוקים המתארים את תנועתו של עצם נקודתי אינם חוקי הקינמטיקה הקושרים בין מיקומו של העצם למהירותו ותאוצתו דרך החשבון האינפיניטסימלי (התיאור הניוטוני). חוקים אלו נכונים אמנם לגופים גדולים ברובד המקרוסקופי, אולם דינמיקה של חלקיקים קטנים מתוארת על ידי חוקי תורת הקוונטים (משוואת שרדינגר וכו'). חוקים אלו מתארים את הדינמיקה של אותה פונקציית גל המייצגת את החלקיק. מיקומו של החלקיק, שהוא רק גודל ממוצע, ניתן לחישוב מתוך פונקציה זו. בכל זמן ישנה גם הסתכלות אחרת על פונקציית הגל אשר מתארת את הסיכוי של החלקיק להימצא במהירות מסוימת. תנועה של חלקיק בין מיקומים אינה מוגדרת היטב במונחים של חלקיק נקודתי נע, אלא דרך הדינמיקה של פונקציית הגל המתארת אותו.[8]

אנו נרצה להתמקד בהמשך דברינו דווקא באופן שלישי, אולי מפתיע יותר, שבו ניתן להתייחס לקשר בין פרדוקס החץ במעופו לתורת הקוונטים:

(ג) הטיעונים (א) ו-(ב) דלעיל אינם יכולים לספק פתרון פילוסופי לבעיית החץ העף, אלא רק להצביע על הקשר של הבעייתיות הזו לזו שמלווה את עקרון אי הוודאות.  מסיבה זו ננסה כעת להפוך את כיוון ההתייחסות ולומר שעקרון אי הוודאות אינו מסביר את פרדוקס החץ במעופו, אלא מוסבר על ידיו.

כידוע, עקרון אי הוודאות מביך רבים מן הפיסיקאים והפילוסופים של המדע במאה הזו, ואפשר שהבנה טובה של פרדוקס החץ תעזור לפתח תובנה כלשהי לגבי עיקרון זה. מובן שלשם כך אנו צריכים לפתח הבנה אינטואיטיבית טובה בנושא החץ העף, באופן שאינו תלוי בתורת הקוונטים, ואחר כך לנסות ולהשליך ממנה על עקרון אי הוודאות.

נסיונות הפתרון לפרדוקס באמצעות הצבעה על הבעייתיות של מושג הרצף כפי שהוצגו למעלה אינם מספקים מן הבחינה הפילוסופית. לכן אנסה כעת לפתח הבנה נוספת בעניין החץ העף. לאחר מכן אנסה ליישם אותה בחזרה על עקרון אי הוודאות, ולאחר מכן על נושאים אחרים.

 

ג. האם תהליך דינמי פירושו שינוי של מצבים סטטיים

 

לצורך הדיון אשתמש בדוגמה פשוטה מתחום המכניקה האלמנטרית, אם כי הדברים נכונים לכל שני מושגים הקשורים זה לזה דרך הנגזרת בחשבון האינפיניטסימלי.  מושג המהירות הרגעית מוגדר במכניקה כיחס בין שינוי המקום לפרק הזמן שבו התרחש שינוי זה, עבור פרקי זמן קטנים כרצוננו. באופן מתימטי:, כאשר ו-V(t) הם המיקום והמהירות של גוף בזמן t בהתאמה. זוהי למעשה הגדרת הנגזרת של פונקצית המיקום לפי הזמן. אנו רואים שלמרות העובדה שלצורך חישוב המהירות היינו צריכים לצפות בגוף לאורך אינטרוול זמן ולא מספיק היה לנו לדעת את מיקומו ברגע זמן אחד, הרי שתוצאת החישוב היא מהירותו של הגוף בזמן t שהוא רגע בלתי מתחלק. ואם כן, בניגוד להבנה האינטואיטיבית שיש לנו האומרת שמהירות היא גודל שמוגדר אך ורק לאורך קטע של זמן, לגוף ישנה מהירות מוגדרת היטב בכל רגע בלתי מתחלק של זמן. הצורה לחשב מהירות זו מתוך מיקומו של הגוף היא שמאלצת אותנו להשתמש בקטע של זמן סביב אותו רגע. מובן שאין ברצוני לטעון שהגוף משנה את מקומו באותו רגע בלתי מתחלק,[9] אלא אך ורק שיש לו מהירות מוגדרת באותו רגע.

הגדרת המהירות דרך נגזרת של המיקום מכונה בפיסיקה "הגדרה" של המהירות. מושג ההגדרה הזה מציין הגדרה אופרטיבית (איך מחשבים מהירות) ולא הגדרה מהותית (מהי מהירות).

הסיבה להבנה האינטואיטיבית השגויה, שמהירות מוגדרת רק על קטע זמן,  היא ערבוב בין מושג ה"מהירות" למושג "שינוי המקום". ה"מהירות" שאנו מדברים עליה כאן היא פוטנציאל לשינוי מיקום ולא השינוי עצמו. השינוי הוא רק השלכה של העובדה שלגוף ישנו פוטנציאל כזה. מכאן ניתן להמשיך ולטעון שאף אם הגוף נמצא במקום מסוים ברגע מסוים ובו זמנית יש לו גם מהירות מוגדרת, אין זה אומר שהגוף נע ולא נע בו זמנית כפי שטען זינון. הגוף בהחלט אינו יכול לשנות מיקום תוך כדי היותו בעל מיקום מוגדר, שהרי זהו משפט הנוגד את חוק הסתירה, אך אין זה אומר שלגוף אין מהירות באותו רגע.[10]

כדי להבהיר מעט את מושג המהירות כפוטנציאל ולהבחינו משינוי המקום הבא בעקבותיו, אנסה לתת שתי דוגמאות מעולם המכניקה שבהן לא יבוא שינוי מקום גם כאשר לגוף ישנה מהירות. כאשר גוף מתנגש בקיר, הרי שגם אם מהירותו היא בעלת ערך מסוים השונה מאפס, הקיר לא יאפשר לו להוציא את פוטנציאל התנועה הזה מן הכוח אל הפועל. כלומר, זהו מקרה שבו ישנו הפוטנציאל (המהירות), אך ההשלכה שלו (שינוי המקום) איננה. באותה צורה, כאשר גוף מתנגש בגוף אחר, הרי חלק מן המהירות שיש לו יכול להימסר לגוף השני, כך שלא כל הפוטנציאל ייצא אל הפועל על ידי הגוף שנשא אותו לפני ההתנגשות. בסעיף ה יובאו עוד דוגמאות, מתחומים אחרים, להבחנה זו.

לאחר שהבחנו בין ה"מהירות" שהיא הפוטנציאל ל"שינוי המקום" שהוא ההשלכה, ניתן להוסיף ולטעון ששינוי מיקום מקרוסקופי אינו גורר בהכרח שבכל רגע מתבצע שינוי מקום מיקרוסקופי, כפי שמונח ביסוד הפרדוקס של זינון. שינוי המקום הוא השלכה של העובדה שהגוף הוא בעל מהירות. אם נתייחס כעת לנוסח (1) של הפרדוקס, הרי שאנו לא מקבלים את ההנחה שאלמלא היה החץ עף (במובן של שינוי מקום) בכל רגע לא היתה מתבצעת תנועתו. נכון יותר יהיה לומר, שאלמלא היתה לחץ מהירות בכל רגע לא היתה מתבצעת תנועתו, ובכל זאת העובדה שיש לו מהירות ברגע מסוים אינה בסתירה להימצאו במקום מוגדר.  בהתייחס לנוסח (2) נאמר, שהשאלה מתי החץ עף אינה מוגדרת היטב. בשני הנוסחים הבעיה היא בפרשנות למושג "עף": אם "עף" פירושו "בעל מהירות", התשובה היא שבכל רגע הוא בעל מהירות, אולם אם הפירוש הוא "משנה מקום", נאמר שהשאלה אינה מוגדרת היטב. הגוף אמנם משנה מקום לאורך כל אינטרוול שנצפה בו, אך המושג "שינוי מיקום ברגע בלתי מתחלק" אינו מושג מוגדר. הדבר דומה לשאלה מתי הזמן עצמו משתנה.  המושג שינוי אינו סובל את השאלה מתי (במובן של "באיזה רגע בלתי מתחלק").  שינוי תמיד מתבצע לאורך אינטרוול. השאלה שניתן בהחלט לשאול היא האם יש לגוף מאפיין רגעי כלשהו כאשר מיקומו משתנה. התשובה על כך היא בהחלט כן, יש לו מהירות בכל רגע.

כאן המקום להוסיף את הפן ההפוך לטיעון זה: העובדה ש"החץ נמצא במקום מסוים" אין פירושה שהוא "אינו נע באותו רגע", שכן "נמצא" אין פירושו "עומד". אפשר להימצא במקום מסוים גם במצב של תנועה. "עומד" פירושו להיות במהירות 0, ו"להימצא" פירושו להיות במקום מסוים. כאשר אומרים כי משהו עומד, אין צורך בהכרח לציין את מיקומו, מה שאין כן כאשר אומרים כי משהו נמצא, שאז יש לציין היכן הוא נמצא. גם טיעון זה מוביל, ואולי באופן פשוט יותר, לשלילתה של המסקנה שהחץ אינו נע בעת שהוא נע. החץ רק נמצא במקום מסוים בכל רגע של תנועתו.[11]

שלא כהסברים הקודמים, ההסבר הזה לפרדוקס החץ במעופו אינו קשור לבעייתיות של מושג הרצף. בטיעון המוצג כאן, הפרדוקס נתלה בבלבול המושגי בין "שינוי מיקום" ל"מהירות". מבחינה זו בהחלט אפשר להמשיך ולאחוז בגישה שהזמן מורכב מאוסף נקודות בלתי מתחלקות המונחות בצפיפות זו ליד זו. אין בכוונתי כאן לטעון לנכונותה של גישה זו, המעוררת כידוע בעיות אחרות, אלא אך ורק לנתק אותה מן הבעייתיות שבפרדוקס החץ במעופו.

ננסה כעת להעמיק יותר בגורמים לבלבול המושגי הזה, שנעוץ כאמור בערבוב בין פוטנציאל התנועה להשלכה שלו שהיא התנועה עצמה. כאשר אנו צופים[12] בגוף נע הרי אנו בסך הכל צופים בכך שהוא נמצא במקומות שונים בזמנים שונים, אין לנו אפשרות לתפוס את מושג המהירות באופן בלתי אמצעי שלא דרך אינטרפולציה בין המיקומים.[13] זו גם הסיבה לכך שהגדרת המהירות במכניקה היא על ידי נגזרת של פונקציית המיקום, אשר בדרך כלל זוכה להתייחסות כאילו הוא מושג בסיסי יותר. התפיסה האנושית, נוח לה יותר במושגים סטטיים, ולכן גם את המושגים הדינמיים היא מגדירה על ידי שמוש במושגים ההם. במילים אחרות, בהחלט צודק זינון בכך שהתפיסה האנושית אינה יכולה להבחין במהירותו של גוף ברגע בלתי מתחלק. אולם קושי זה נובע מן האופן הסטטי שבו אנו חושבים. התודעה שלנו מחייבת אותנו לצפות רק בשינויי המקום הנגרמים על ידי המהירות, והם כמובן מתרחשים רק באינטרוולים. לא ניתן לנו לצפות ישירות בפוטנציאל (המהירות), אלא רק בהשלכותיו.  טענתי כאן היא, כי אין להסיק מכך שמהירות כזו אינה קיימת.

 

ד. בחזרה לעקרון אי הוודאות

 

כפי שצוין בסעיף ב למעלה (באופן (ג) שבו נקשר החץ לעקרון אי הוודאות), ניתן לצעוד  בכיוון ההפוך, ולנסות להשליך מן ההבנה שפיתחנו לגבי החץ העף לעקרון אי הוודאות.

לצורך זה, הבה ננסח מעט אחרת את הפרדוקס של החץ במעופו.[14] נניח שאנו מסתכלים בחץ עף ומצלמים אותו ברגעים שונים (בלתי מתחלקים: המצלמה התיאורטית היא בעלת זמן חשיפה 0, מצלמה אידיאלית). בכל צילום, החץ ייראה עומד אלא שמיקומו בכל פעם משתנה. כעת נשאלת השאלה: מתי הוא נע בין המקומות השונים הללו? תשובתנו היא שהחץ נע ובו זמנית יש לו מיקום (ולא נע ובו זמנית עומד, כהגדרתו הסתירתית של זינון). את העובדה שאיננו רואים את תנועתו של החץ בצילום, יש לייחס לעובדה שמצלמה אינה המכשיר המתאים לצפיה בתנועה (או למדידת מהירות). מצלמה היא מכשיר המודד (או צופה) מיקומים. ניתן כעת בדרך אנלוגית להגדיר מכשיר תיאורטי אחר: מסרטה אידיאלית.  מכשיר זה מודד או צופה במהירותו של גוף ברגע בלתי מתחלק יחיד. כפי שהוסבר לעיל, תודעתנו פועלת בדרך סטטית ולכן קשה לנו לדמיין פעולה מעין זו. מסרטה רגילה כפי שאנו מכירים אותה פועלת למעשה כמצלמה המצלמת בקצב מהיר תמונות סטטיות עוקבות. התודעה שלנו יוצרת אצלנו את התחושה של תנועה, על ידי אינטרפולציה בין התמונות הללו. לעומת זאת, המסרטה האידיאלית אינה מכשיר המודד מהירות דרך הפרשי מיקום מתוך שימוש בהגדרת המהירות כנגזרת של המיקום (כמו שפועלות המסרטות שבידינו הכפופות למגבלות הסטטיות של התודעה שלנו), אלא בצורה נקודתית. נמשיך בדרך האנלוגיה ונאמר, שאם נצפה (נסריט) דרך מכשיר כזה בגוף נע, נוכל לראותו נע בכל רגע אך לא נוכל להבחין במיקומו. דוגמה לדבר, מצלמה עם זמן חשיפה ארוך מראה בבירור שהעצם נע על ידי שובל שנוצר בתמונה,  אך לא ניתן להבחין במיקום מוגדר.[15]

נמצא אפוא, שהאינפורמציה שאנו מקבלים על הגוף הנע תלויה במכשיר שדרכו אנו צופים בו. התודעה שלנו, שכאמור היא סטטית בבסיסה, משמשת אותנו כמצלמה, ולכן ניתנת לנו באופן ישיר רק אינפורמציה על מיקום, ואילו המהירות מתקבלת באופן עקיף על ידי אינטרפולציה בין המיקומים השונים. אם נמשיך את קו הטיעון הזה  נוכל לומר שאף אם ניתן היה לדעת את מהירותו הרגעית של גוף על ידי שימוש במסרטה, הרי שאז לא ניתן היה לדבר בו זמנית על מיקומו. כעת נניח כהיפותיזה סבירה שלא ניתן לתודעה האנושית להיות באופן פעולה של מצלמה ומסרטה אידיאליות בו זמנית. משפט זה מהווה למעשה ניסוח פשוט של עקרון אי הוודאות.[16]

כאן המקום לשוב ולהזכיר כי עקרון אי הוודאות כולל גם קביעה כמותית של אי הוודאות (קבוע פלנק). זו כמובן אינה יכולה להופיע מתוך טיעון איכותי כמו זה המוצג כאן, ולכן אין כאן יומרה להעמיד באופן שלם את עקרון אי הוודאות על בסיס הפיסיקה הקלסית, אלא אך ורק להצביע על היסוד העקרוני של אי הוודאות בין צמדי גדלים דואליים.

הערה נוספת הנוגעת להיפוך הכיוון מן החץ לאי הוודאות.  הסבר הפרדוקס של זינון באמצעות עקרון אי הוודאות (הקשרים הסמנטי והפיסיקלי לעיל) אינו דורש שום הנחה נוספת, ואילו ההסבר של עקרון אי הוודאות באמצעות ההבנה שקיבלנו מפרדוקס החץ העף (קשר ג), בהחלט דורש הנחה נוספת. הדיון בחץ הנע הוביל אותנו למסקנה שאם לגוף יש מיקום מוגדר ברגע נתון, אין משמעות לשאלה מתי הוא משנה את מיקומו. אבל הצד השני של עקרון אי הוודאות הקובע שאם לגוף יש מהירות מוגדרת אין משמעות לדיון מהו מקומו, אינו נובע ישירות מן הטיעון דלעיל. ניתן להציג טיעון מקביל המתבסס על מושג האינטגרל (הגדרת המקום באמצעות המהירות) והמראה את הצד השני. הדרך שבה בחרתי כאן (הגדרת המכשירים האידיאליים) נראית פוריה יותר בהקשר הקוונטי, כפי שייווכח הקורא מיד.

כפי שידוע לכל מי שמכיר את תורת הקוואנטים, מתוך עקרון אי הוודאות נובע שישנן שתי צורות לתאר גדלים דינמיים: או בתמונת התנע (הפרופורציוני בדרך כלל למהירות), או בתמונת המקום. אלו שתי תמונות שבהן  תכונות המערכת הפיסיקלית מאופיינות על ידי הסיכוי להימצא במהירות מסוימת, או הסיכוי להימצא במקום מסוים. בתמונה הראשונה, כל הגדלים הפיסיקליים מתוארים מתוך שימוש בקואורדינטות של מהירות (תנע), ואילו בשנייה הכל מתואר בקואורדינטות של מיקום. שתי צורות תיאור אלו מוציאות אחת את השניה (בז'רגון המדעי: לא קומוטטיביות). כלומר, בדומה לטיעון שהוצג כאן, אי היכולת לדעת מיקום ומהירות בו זמנית נובע מן העובדה שגדלים אלו שייכים למערכות מושגים (תמונות) שונות אשר אינן "מדברות" האחת עם השנייה. ניתן להשתמש בטרמינולוגיה שלנו ולומר: הסתכלות על העולם במצלמה נותנת את תמונת המקום, בעוד שהסתכלות במסרטה נותנת את תמונת התנע. בלשון אחרת, ניתן להעמיד את אי הוודאות הקיימת בין שני גדלים על העובדה ששני הגדלים שייכים לעולמות מושגיים שונים, בדומה לתיאור המכשירים דלעיל. נמצא שהטיעון המוצג כאן נותן פשר גם לזוגות התמונות הדואליות המלוות בתורת הקוונטים את צמדי הגדלים הפיסיקליים הנמצאים ביחסי אי ודאות ביניהם.

כעת עשויה להתעורר התנגדות מעניינת לפשר שניתן כאן לעקרון אי הוודאות: תפיסה  מקובלת היום בקהיליה המדעית היא, שעקרון אי הוודאות אינו מתאר אותנו אלא את החומר עצמו. זוהי אינה מגבלה שלנו, אלא חוסר אפשרות עקרוני. המהירות והמיקום לא רק שאינם מדידים בו זמנית, אלא גם אינם נמצאים (אינם מאייכים את הגוף) בו זמנית. מנגד, הטיעון שמועלה במאמר זה תולה את אי הוודאות במגבלות תודעתיות של הצופה האנושי. כלומר, לפי הטיעון המוצג כאן, צופה שאינו סובל מן המגבלה לפיה לא תיתכן פעולה של התודעה באופן של מצלמה ומסרטה אידיאליות בו זמנית, יוכל למדוד סימולטנית את מיקומו ומהירותו של גוף נע.

פתרון אפשרי לבעיה זו, אם נשתמש בטרמינולוגיה קאנטיאנית, נמצא בהבחנה בין הפינומנה לנואומנה. ברור שאי הוודאות אינה יכולה להיות תכונתו של העצם כשהוא לעצמו (הנואומנון) שהרי אין לנו כלל גישה לתכונותיו. היא יכולה להיות אך ורק תכונתו של עולם התופעות, כלומר של העצם כפי שהוא מופיע לעינינו (פינומנון). אמנם גם בתוך עולם הפינומנה יש להבחין בין העצם הנמדד כפי שהוא מופיע בעינינו לבין מכשיר המדידה/הצפייה והצופה עצמו כפי שהם מופיעים לעינינו. הקביעה הפיסיקלית שאי הוודאות היא תכונתו של העצם ולא של המודד, עוסקת כולה בהבחנה שבתוך התודעה (או בתוך עולם התופעות). כלומר, גם אם נסכים שזו אינה בעיה טכנולוגית אלא עקרונית, נוכל לטעון שגם בעיה עקרונית זו מקורה בתכונות התפיסה האנושית שהיא המגדירה את הגדלים הנמדדים ואת המכשירים המודדים אותם. דיון מפורט יותר בסוגיה זו הוא עניין לעיון נפרד.

סיכום דברינו עד כה: מהירות (או תהליך) היא גודל שקיים גם ברגע בלתי מתחלק אחד, אלא שמשמעותו היא פוטנציאל לשינוי המיקום (או המצב) ולא השינוי עצמו, שהוא רק השלכה של התהליך. השינוי עצמו, כמובן, אינו יכול להתבצע ברגע בלתי מתחלק, אלא אך ורק לאורך אינטרוול. התפיסה האנושית מתארת את התהליך עצמו על ידי שינוי המצב הנגרם על ידיו, וזאת בגלל אופיה הסטטי של התודעה.[17]

ה. השלכות של ההבחנה בין "תהליך" ל"שינוי מצב"

כמו שהעיר כבר אנרי ברגסון בספרו 'ההתפתחות היוצרת', ברור לחלוטין כי פרדוקס החץ העף אינו נוגע רק למושג המהירות, אלא לכל תהליך של שינוי. בסעיף זה ננסה לראות את ההשלכות של הניתוח שהוצג עד כה בסוגיות שאינן קשורות למכניקה.

בסעיף ג הגדרנו את שני המושגים "תהליך" ו"שינוי מצב" במובנים של פוטנציאל לתנועה ותנועה ממשית. שני מושגים אלו, גם אם אינם זהים, נראים לכאורה כתאומים המחוברים יחדיו. במבט ראשון נראה כי אף שלטענתנו אלו אמנם שני מושגים שונים, אין אפשרות להבחין באחד בלא שבמקביל מתרחש/מתקיים גם השני. בסעיף ג ראינו דוגמאות מתחום המכניקה (התנגשויות) בהן ניתן להבחין בקיומו של פוטנציאל ללא ההשלכה שלו בפועל.

בסעיף זה אנסה לדון במקרים נוספים שבהם ניתן להפריד בין הדבקים, ולדון על האחד בנפרד מחברו. הדיון בדוגמאות שנביא יהיה על קצה המזלג בלבד, ומטרתו רק לעורר למחשבה ולא לתת ניתוח שלם של כל מקרה.

דוגמה ראשונה תהיה הקביעה שבה נתקלים מדי פעם בספרים הדנים בניהול, האומרת שתהליך השינוי עצמו טוב לארגון. כלומר, גם אם אין כל בעיה במבנה הנוכחי של הארגון תצמח תועלת משינויו, וזאת בגלל עצם התהליך, ולא בגלל שהמצב הבא יהיה טוב יותר מזה הנוכחי. כמובן ששינוי המוביל למצב סטטי גרוע (כמו למשל הרס כללי של המכונות במפעל) אינו משפר את מצב הארגון, אך אם נניח כי ישנה קבוצת מצבים של הארגון אשר אינם עדיפים אחד מן השני, עדיף לארגון להימצא במעבר ביניהם, ולא לקפוא באחד מהם. לכאורה נראה כי לפנינו מקרה מובהק של תועלת הצומחת מקיומו של תהליך גם אם אינו מלווה בשינוי מצב. נראה כי לתיאורה של תועלת כזו לא ניתן להשתמש במונחים של "שינוי מצבים" אלא רק באלו של "תהליכים", שהרי אין לנו צורך כלל במצב (מבנה) שונה אלא רק בעצם תהליך השינוי.

יכול מאן דהו לטעון כי זו דוגמה שאינה מובהקת, שהרי ניתן לנסח קביעה זו גם באופן הזה: ישנה תועלת לארגון מעצם העובדה שמבנהו (מצבו) משתנה, כלומר שהוא עובר ממבנה א למבנה ב. בניסוח זה השתמשנו שוב אך ורק במונח "שינוי מצב" ולא נזקקנו למונח השני. נכון הוא, שלא משנה כלל מה יהיה המצב השני שהשינוי מוליך אליו, אבל עדיין אין אנו חייבים להמנע משימוש במונח "שינוי מצב" ולהשתמש במונח "תהליך" בלבד. טיעון זה נראה כהתחמקות סימאנטית בלבד, שכן לומר שעדיף כל מצב אחר ולא משנה איזה מהם, פירושו למעשה שעדיף להיות בתהליך של שינוי.

דוגמה מעניינת נוספת שבה ניתן להשתמש רק במונח אחד ולא בשני, היא בדיון בבעיית שלמות והשתלמות האל.[18] הרב קוק מנסח בעיה זו כך: "יש שלמות של תוספת שלמות, שזה אי אפשר להיות באלוהות, שהרי השלמות המוחלטת האין סופית אינה מניחה מקום להוספה. ולמטרה זו, שהוספת השלמות גם היא לא תחסר בהויה, צריכה ההויה העולמית להתהוות".[19]  הנחת היסוד היא שההשתלמות (כלומר ההתקדמות הרוחנית) היא אחת השלמויות, ולכן היא צריכה להיות קיימת גם באלוהות. מצד שני ברור שלא ניתן לדבר על השתלמות האל משתי סיבות:  (א) לא יכול להתרחש באל שום שינוי; (ב) האל הוא מושלם, ולכן לא ניתן לדבר כלפיו במונחים של התקדמות רוחנית.  הפתרון שאני מציע כאן לדילמה זו מקביל לזה המוצע לארגונים שנדונו לעיל: התהליך עצמו (או לפחות שורשו) קיים באל, אף שהשינוי, שבדרך כלל מלווה אותו, לא יכול להתקיים בו מן הסיבות דלעיל. כלומר, השלמות הרוחנית הבאה לידי ביטוי בהשתלמות היא בתהליך ולא בשינוי המצב, וזה יכול לאפיין גם את האל.[20] יצוין, כי בדוגמה זו לא ניתן להציג ניסוח אלטרנטיבי כזה שהוצע בדוגמת הניהול שכן לגבי האל לא ניתן כלל לדבר במונחי שינוי מצבים, ולכן כאן זהו מקרה מובהק של תהליך שאינו מלווה בשינוי מצבים כלל.[21]

ישנן גם כמה דוגמאות מן התלמוד שבהן ניתן ליישם הבחנה זו בין שינוי מצב לתהליך. כאן תובא רק דוגמה אחת שנדונה ביתר פירוט במקום אחר,[22] והיא נתינה של גט בגירושי אשה.  מעיון בסוגיות המאפיינות נתינת גט בתלמוד, עולה באופן מובהק שנסיונות לנסח את הקריטריון לנתינה כשרה (כלומר, נתינה שמצליחה להחיל את הגירושין) באמצעות "מצבים", כלומר על ידי הגדרה מהו המצב לפני הנתינה ומהו המצב לאחריה, נכשלים כישלון חרוץ. ישנם נסיונות לתאר את הנתינה כהעברת בעלות (הקנאה ממונית) של הגט, אולם דבר זה נסתר מכמה הלכות מפורשות בתלמוד. הניסיון לתאר את הנתינה כפעולה פיסית של נתינה (העברה של הגט מיד הבעל לידה של האשה) נכשלים גם הם. הפתרון שהצעתי במאמרי היה שהתלמוד מנסה לאפיין תהליך נתינה ולא מעבר בין מצבים. הדוגמאות המוצגות בתלמוד לנתינת גט כשרה ופסולה הן רבות מאד. הסיבה היא חוסר היכולת לתת הגדרה מפורשת של תהליך הנתינה, וזאת עקב אופיה הסטטי של התפיסה האנושית. ריבוי הדוגמאות מנסה להעביר ללומד הרגשה אינטואיטיבית מהו תהליך כשר של נתינת גט.

ו. הזמן בתורת היחסות: ברגסון ואיינשטיין

לאחר שהוצגו כמה מן ההשלכות של ההבחנה בין המושג "שינוי מצב" לזה של "תהליך" בתחומים שאינם נוגעים לפיסיקה, נחזור כעת לנקודה חשובה נוספת, ושוב בעולם הפיסיקה, שבה באה לידי ביטוי הבחנה זו. בסעיף זה נדון בתיאור הזמן במסגרת תורת היחסות של איינשטיין, ובשאלה האם הוא ממצה.

המאפיין הבולט ביותר של הזמן, לעומת המרחב או החלל, הוא היותו זורם. אנו דנים כאן בחלל חד ממדי, שכן ישנו הבדל ברור נוסף בין החלל, שהוא תלת ממדי, לזמן שהוא בעל ממד אחד. הבדל זה הוא בלתי רלוונטי לדיון שייערך כאן. ריצ'רד טיילור בספרו 'מיטפיזיקה'[23] מראה כי החלל והזמן הם בעלי מאפיינים זהים, על ידי הטיעון הזה: בכל משפט המתאר תנועה או יחס בין מרחב לזמן, ניתן להחליף את היחסים הזמניים ביחסים מרחביים מקבילים וההיפך, והתוצאה היא תמיד משפט בעל מובן ברור ומוגדר היטב (וראה שם דוגמאות שונות לכך).

מכאן יכול הפוזיטיביסט להסיק, והוא אכן בדרך כלל עושה זאת, כי הזמן והמרחב הם בעלי תכונות זהות. כל מה שניתן לעשות במרחב ניתן לעשות גם בזמן, ולהיפך. זוהי למעשה גם התמונה המתקבלת מתורת היחסות של איינשטיין. בתיאוריה זו, הזמן הוא אחד מארבע קואורדינטות המתארות מאורע במרחב החלל-זמן של מינקובסקי. האובייקט הבסיסי בתיאוריה זו הוא "קו העולם" של הגוף, כלומר הקו המתאר את מיקומיו של הגוף בכל הזמנים. בתמונה זו כל החלל-זמן הוא סטטי. זרימת הזמן היא תופעה שהתיאוריה הפיסיקלית מתעלמת ממנה לחלוטין.

אחד הטיעונים הפילוסופיים הנפוצים לדחייתה של תחושת חלוף הזמן וסיווגה כאשליה גרידא, הוא הטיעון הזה: "A משתנה" פירושו "A נמצא במצב אחד בזמן אחד , ובמצב אחר בזמן אחר". ובפרט, לומר "A נע" פירושו  "A נמצא במקום אחד בזמן אחד, ובמקום אחר בזמן אחר".[24] הצבתו של הזמן כנושא (A) של אחד המשפטים  היא אמירה חסרת מובן, שכן הזמן עצמו לא יכול להמצא במצב/ מקום כלשהו בזמן זה או אחר.[25]

ניתן לחלץ את  האינטואיציה, החשה בחלוף הזמן, ממיצר זה, על ידי הטענה שחלוף הזמן מתואר לאורכו של ציר זמן שני, המשמש כאינדקס שמתאר את מצבו של הזמן הרגיל ואת תנועתו. אלא שכאן עולה הטענה לרגרסיה אינסופית, כיון שציר הזמן החדש יהיה נתון לאותה מתקפה, אם נרצה לייחס גם לו אותה תכונה של זרימה מתמדת. ניתן לעצור נסיגה זו באמצעות הקביעה, שישנו זמן אחד שמשמש רק כאינדקס ושאינו זורם, וזמן אחר הזורם על פניו של הראשון.[26] אחד ממגיניה הבולטים של התפיסה הגורסת זרימה של הזמן (זמן יוצר או "זמן משך") היה אנרי ברגסון בספרו 'ההתפתחות היוצרת',[27] אשר אף ניהל ויכוח עם איינשטיין שגרס ההיפך. כל אחד מן הצדדים בוויכוח זה טען לבלעדיות של תפיסתו, ואילו אני מציע  כאן, כי כל אחד ייצג אספקט אחר של הזמן, או במילים אחרות, אחד משני סוגי הזמן שהוגדרו לעיל. תיאור מעט שונה של שני האספקטים (או שני הסוגים) של הזמן, הועלה על ידי מקטגרט כבר בשנת 1908,[28] וישנו אפילו ניסיון מעניין לתת לו לבוש מתימטי-פיסיקלי מסוים.[29]

ענייננו כאן, בתיאור זה של הזמן, הוא ברלוונטיות של שני סוגי זמן אלה לתיאורם של תהליכים לעומת שינוי מצבים, כפי שהוגדרו בסעיף הקודם. טענתי היא שהזמן הזורם "נושא על גבו" את התהליך, ואילו המצבים הסטטיים המשתנים מאופיינים על ידי אינדקס הנקרא גם הוא זמן, אשר מציין את "מיקומם" בציר הזמן. אינדקס זה הוא זמן מן הסוג השני.

גם כאן לכאורה ניתן לשאול, במקביל לשני הנוסחים לפרדוקס החץ שהוצעו בראש דברינו, איך זורם הזמן. כלומר, בכל רגע בלתי מתחלק נתון של זמן האינדקס (זמן איינשטיין) נמצא הזמן הזורם (זמן ברגסון) בזמן אחר. ואם כן מתי הוא משנה את האינדקס? נראה ששאלה זו חסרת מובן, שכן זמן ברגסון אינו גודל הזורם בזמן, אלא זוהי הזרימה עצמה.  כל גודל דינמי נישא על גבי זמן ברגסון, ויוצר שינוי במצבים הסטטיים המאופינים על ידי זמן איינשטיין. הרגשתנו שהזמן חולף פירושה שאנו חולפים על פניו של הזמן האיינשטייני, והזמן הברגסוני הוא הנושא אותנו. ההשלכה של זרימתנו בזמן היא שאנו נמצאים כל פעם במצב זמן בעל אינדקס איינשטייני שונה.

בתחילת דברי הצגתי הגדרה של המהירות במכניקה כנגזרת של המיקום. בהמשך טענתי שהגדרה זו היא צורה עקיפה לגזור את התהליך מתוך שינוי המצבים. השימוש בצורה כזו נובע ממגבלות התפיסה האנושית הפועלת בדרך כלל באופן קליטה סטטי, כמצלמה הקולטת מצבים משתנים ולא תהליכים. אם היה באפשרותנו לקלוט באופן של מסרטה, כלומר את התהליך עצמו, היינו יכולים לתאר את המהירות באופן ישיר כנישאת על ציר זמן ברגסוני. זוהי גם הסיבה שבתורת היחסות של איינשטיין מתואר רק זמן האינדקס, כיוון שזהו הזמן שיכול להיתפס בתודעתנו באופן ישיר.  המסרטה האידיאלית שהוגדרה בסעיף ד פועלת לאורך זמן ברגסוני, ולכן יכולה לצפות במהירות (או בשינוי) בנקודת זמן אחת. זוהי נקודה של זמן ברגסון, אשר בתפיסה הסטטית נראית כמו אינפיניטסימל.[30]

כאן יכולה להתעורר שאלה, איך לגבי הזמן יכולה תודעתנו לפעול בו זמנית באופן של מצלמה ומסרטה, ולתפוס את שני סוגי הזמן. ניתן להציג שני כיווני מחשבה כדי  לענות על שאלה זו. ראשית, נראה מתאים יותר לאינטואיציה לומר שלגבי הזמן עצמו, החוויה הישירה שלנו היא דווקא זו הדינמית ולא הסטטית. אנו חשים את הזמן זורם, ובאופן מלאכותי מציינים עליו נקודות אינדקס סטטיות. ואולי זהו עצמו עיקרו של ההבדל בין החלל לזמן, שהאחד נתפס רק באופן סטטי, והשני רק באופן דינמי. כיוון נוסף למחשבה יכול לעלות כאן, והוא שהתפיסה של הזמן האיינשטייני והברגסוני נעשות בשני רבדים שונים של התודעה. הזמן האיינשטייני נראה יותר בעל משמעות אובייקטיבית (או בין-סובייקטיבית), ואילו הברגסוני נתפס כיותר סובייקטיבי. מטבע הדברים המדע מתאר את החוויות ה"אובייקטיביות" שלנו, ולכן בפיסיקה שולטת תפיסת הזמן כאינדקס. בכל מקרה, הקביעה, שתודעתנו הפועלת כמצלמה אינה יכולה לתפוס תהליכים באופן ישיר אלא רק דרך שינויי מצבים, מתייחסת לתודעה האובייקטיבית שניתן לכמת באופן מתימטי. אין ברצוני לטעון כנגד קיומה של חויה בלתי אמצעית של תודעתנו החווה את חלוף הזמן.[31]

[1] ברצוני להודות לאמנון לבב, לדליה דראי ולגדי פרודובסקי על קריאה מדוקדקת של מאמר זה, ועל הערותיהם המועילות שתרמו לא מעט לכתיבתו. תודתי גם לאבשלום  אליצור על דיון שערכתי עמו בשלבים המוקדמים מאד של גיבוש הרעיונות המוצגים כאן, ועל קריאת הנוסח הכמעט סופי של המאמר.

[2]   cf. F. Cajori, “History of Zeno’s Arguments Against Motion”, American Mathematical Monthly, 22 (1915);   W. C. Salmon, ‘Zeno’s Paradoxes’, Indianapolis, Bobbs-Merrill, 1970.

[3] ניסוח זה מובא אצל שמואל הוגו ברגמן, 'מבוא לתורת ההגיון', ירושלים, מוסד ביאליק, תשל"ה,  בפרק השלישי סעיף י"ח.

[4] הגישה הזו מאפיינת יותר את הניסוח הלייבניצי לחשבון הדיפרנציאלי, בניגוד לניסוח הניוטוני שהוא פחות אינטואיטיבי. באשר לניסוח אינטואיטיבי של החשבון הדיפרנציאלי ראה        H. J. Keisler, ‘Foundations of infinitesimal calculus', Boston, Prindle, c1976.

[5] ישנם נסיונות להציג פתרונות פורמליים לפרדוקס החץ בעזרת הנחה על מבנה דיסקרטי (בדיד) של החלל והזמן. לדיון יותר מפורט ראה W. C. Salmon, Space, Time and Motion, Dickenson, 1975

ראה גם בספר המוזכר בהערה 2 מאותו מחבר.

[6] תודתי למבקר אנונימי של מאמר זה שהפנה את תשומת לבי לגישה של הגיאומטריה הדיפרנציאלית הסינתטית שבה הרצף אינו מורכב מנקודות. ראה  למשל J.  L. Bell, “Infinitesimals and the Continuum”, Mathematical Intelligencer 17 (1995): 55-57; idem, “Infinitesimals”, Synthese 75 (1988): 285-315

אמנם הלוגיקה בבסיס גישה זו היא אינטואיציוניסטית, אך, כפי שנטען בגוף המאמר, השכל הישר עדיין רואה את המושג של נקודת זמן בצורה אווידנטית.

[7] עקרון זה קובע גם יחס בין מידות אי הוודאות של שתי התכונות הקומפלמנטריות, וזאת מעבר לקביעה העקרונית שלא ניתן לדעת את שני הערכים הללו בו זמנית.

[8] ניתן כמובן להרחיב את פרדוקס זינון לכל מצב שבו יש שינוי (ראה בהמשך בתחילת סעיף ה), ולאו דווקא למושג המהירות. באופן זה ניתן להקשות על החוקים הדינמיים המתארים את השתנותה של פונקציית הגל אותה קושיה שהקשה זינון על החץ העף: הפונקציה משנה "מיקום" (במרחב הפונקציות) במשך הזמן. ואם כן, בכל רגע זמן בלתי מתחלק הפונקציה משתנה ובו זמנית גם סטטית. דיון בשאלה זו כרוך בדיון בדבר מעמדה האונטולוגי של פונקציית הגל, סוגיה אשר, ככל שידיעתי מגעת, רחוקה מלהיות מובנת.

[9] כאשר הוא נע במהירות סופית הדבר מובן מאליו. אולם גם כאשר מהירותו אינסופית, נראה שלא ניתן לשנות מיקום ברגע זמן בלתי מתחלק אחד. במקרה זה ניתן לשנות מיקום בקטע זמן קצר כרצוננו, אך לא ברגע בלתי מתחלק. גוף נקודתי אינו יכול להימצא בשני מקומות באותו רגע זמן בלתי מתחלק: זוהי סתירה לוגית ולא חוסר יכולת פיסיקלי להגיע למהירות אינסופית.

[10] בתורת השדות בפיזיקה מטפלים לפעמים במודל אולטרא-סטטי ואולטרא-לוקלי. זוהי תורה המתארת שדה  המוגדר על רגע זמן בלתי מתחלק אחד, ונקודה מרחבית בלתי מתחלקת אחת. ניתן להגדיר שדה מהירות (או תנע) במודל כזה. ברור שאם מהירות היא שינוי מקום לאורך זמן, אין שום משמעות לשדה זה במסגרת מודל כזה.

[11] ראה דיון דומה בספריו של סלמון המוזכרים בהערה 5. בניגוד לדיון המוצג כאן, נראה שהוא כן קושר את הטיעון הזה לבעיות של מושג הרצף.

[12] "צופים" משמש בפיסקה זו לתיאור של הקוגניציה ולא של הפרצפציה. אני מודע לכך שההפרדה ביניהם לא תמיד חדה.

[13] טענה זו היא אחד מצירי הטיעון בספרו של אנרי ברגסון 'ההתפתחות היוצרת', ירושלים, מאגנס, תשל"ח. הוא אף משתמש בה שם בהקשר לדיון בחץ העף של זינון. ראה גם בסעיף ו לקמן.

[14] ראה גם בדיונו של ברגסון 'ההתפתחות היוצרת', פרק 4.

[15] דוגמה כעין זו הובאה בספרו של אהרן פינקר, 'ספר האטום', ירושלים, ראובן מס. תודתי לאיתמר פיטובסקי מן האוניברסיטה העברית שהביא מקור זה לידיעתי.

[16] למי שלא חש בסבירותה של ההיפותיזה הזו, ניתן כאן לשנות שוב כוון בטיעון, ולהשתמש בעקרון אי הוודאות כתמיכה בהיפותיזה האומרת שלא ניתן לתודעה לפעול בו זמנית באופן של מצלמה ומסרטה אידיאליות.

[17] ישנה אפשרות לומר שהמהירות ושינוי המקום (או ככלל, התהליך והשינוי שהוא גורם) אינם שני דברים הקיימים באותו מישור. התהליך הוא הדבר כשהוא לעצמו, ואילו השינוי הבא בעקבותיו הוא התופעה. אם קביעה זו נכונה, הרי שאין אפשרות לדבר על שני גדלים אלו כדואליים באופן שהאחד נתפס באמצעות מצלמה והשני באמצעות מסרטה. את הדבר כשהוא לעצמו לא ניתן לתפוס בשום מכשיר. ניתוח מפורט של קביעה זו מעלה כמה בעיות שאין כאן המקום לדון בהן, ולכן לא נקבע יחס כזה בגוף המאמר.

[18] לדיון בבעיה זו ראה יוסף בן שלמה, "שלמות והשתלמות בתורת האלהות של הרב קוק", 'עיון' ל"ג, (תשמ"ד): 289.

[19] הרב קוק, אורות הקודש, ירושלים, מוסד הרב קוק, תשמ"ה, כרך ב, עמ' תקל"א.

[20] הפתרון שמציע שם הרב קוק עצמו נראה על פניו כשונה. לדעתי, הפתרון שלו קרוב מאד לזה המוצע כאן, אך זהו עניין לדיון נפרד.

[21] נעיר כאן, שאם נאמץ את התפיסה שהצגנו בהערה 17, ולפיה ה"תהליך" הוא הדבר כשהוא לעצמו של ה"שינוי", הרי שבאל נמצא הדבר כשהוא לעצמו באופן שההופעה שלו בעיני התודעה (השינוי) באה לידי ביטוי בנבראים. זוהי תפיסה פאנאנתיאיסטית הדומה יותר לזו שהוצעה על ידי הרב קוק שם. ראה מאמרו של בן שלמה שצוין בהערה 18 לעיל.

[22] ראה מיכאל אברהם, דף שבועי, המחלקה ללימודי יסוד באוניברסיטת בר-אילן, פרשת כי תצא, תשנ"ה, מדור תורה ומדע.

[23] תורגם לעברית בהוצאת אדם, אוניברסיטה חפשית, 1983. ראה שם פרק 7.

[24] ראה אבשלום אליצור, 'זמן ותודעה', תל אביב, הוצאת האוניברסיטה המשודרת, 1994, פרק 4.

[25] בניסוח השני לא ניתן גם להציב את החלל כנושא המשפט. דבר זה נובע רק מן העובדה שבחרנו לדון בדוגמה לשינוי, כלומר  בתנועה, ולא במושג השינוי עצמו כבנוסח הראשון. המשפט הכללי הוא הניסוח הראשון, השני הוא רק דוגמה קונקרטית שנועדה להמחשה.

[26] ניתן לדבר על שני אספקטים של הזמן במקום על שני זמנים שונים. ניסוחיו של מקטגרט (ראה הערה 28)  נראים קרובים יותר לניסוח כזה.

[27] ראה בהערה 13.

 [28] Philosophical Studies, ed. S. V. Keeing, London, E. Arnold, 1934, chap. 5; ,McTaggart J. E.

ומראה המקום מס' 30 במאמר של הורביץ ארשנסקי ואליצור המופיע בהערה הבאה.

[29] L. P. Horwitz, R. I. Arshansky and A. C. Elitzur,  “On the Two Aspects of  Time: The Distinction and Its Implications", Foundations of Physics, 18, 12 (1988): pp. 1159-1193

[30] ידועה התבטאותו של ברקלי באשר למושג האינפיניטסימל: ”ghosts of recently departed quantities”                   (“The Analyst”, reprinted in James R. Newman’ ed. The World of Mathematics, New York, Simon and Schuster, 1956) ; cf. note 6

[31] היבט זה מזכיר את תפיסתו של שופנהאואר הטוען שהאדם המביט פנימה לתוך עצמו יכול לתפוס את הדבר כשהוא לעצמו (הנפש/הרוח), ואילו בתפיסה ישירה של עצמים שמחוצה לו הוא מוגבל כמובן לפינומנון בלבד (הגוף). הפיסיקה מתארת את האספקטים הבין-סובייקטיביים של התפיסה, ולכן היא מוגבלת לתיאור של זמן האינדקס בלבד. הפילוסופיה (בתפיסות מסוימות שלה) והמיסטיקה משוחררות כמובן מכבלים אלו, ולכן דיסציפלינות אלו מתקוממות פעמים רבות כנגד הצרות שבתפיסה המדעית.