חלות המתמטיקה

שו”תקטגוריה: פילוסופיהחלות המתמטיקה
דורון שאל לפני שבוע 1

 
בדיון מקביל על היתכנותו של גוף תלת ממדי סופי שאין לו מרכז אתה אומר ככה:
“אין שום הבדל בין השאלות. כל דבר שאפשרי מתמטית יכול גם להתממש בפועל. השאלה האם הוא מתממש או לא, היא שאלה אמפירית (צריך לבדוק ולראות אם יש דבר כזה או לא).”
הטענה זו בעייתית לדעתי בשני מובנים: ברמה העקרונית כללית וברמה ספציפית (ששם אביא דוגמה).
ברמה העקרונית אתה בעצם עומד על כך שאין תחום מתמטי טהור הנבדל מהתחום האמפירי (“אין שום הבדל בין השאלות”) אבל מייד אחכ מסייג זאת כשאתה קובע שזה מותנה בכך שזה לא מתנגש עם חוק טבע קיים ושזה צריך לקבל גיבוי אמפירי תצפיתי.לדעתי עצם הכנסתך את הסייגים האלה סותרת את החלק הראשון של המשפט, שאין פה שתי שאלות (=תחומים). 
אני גם לא חושב שהביקורת הזו מצידי היא פלפול סמנטי, שהרי התנסחת באופן מאד חד משמעי ונחרץ.
את הבעיה הספציפית בעמדתך אציג באמצעות דוגמה מתחום המינוס. לשיטתך היה עלינו לומר שאין מניעה עקרונית לקיום מקבילה פיזיקלית לביטוי מינוס שלוש (למשל “מינוס 3 תפוזים”). כל עוד ביטוי זה לא סותר חוק טבע (והוא לא) יהיה עליך – שוב, לשיטתך- להשאיר את השאלה הזו פתוחה. לי זה נראה אבסורד כי אני לא רואה שום דרך למנות בפועל (בהצבעה ישירה) את אותם “תפוזים במינוס” ובוודאי לא רואה איך אפשר לספק תיאור פיזיקלי של תכונותיהם. הרי לך ביטוי מתמטי כשר שיהיה עלינו לשלול קטגורית אפילו את קיומו ההיפותטי בעולם הפיזיקלי. בקיצור: כן יש פה שתי שאלות נפרדות.

השאר תגובה

1 Answers
mikyab צוות ענה לפני שבוע 1

כפי שכתבתי, המתמטיקה מאפשרת לגופים לעמוד באוויר, אבל יש חוק טבע שא וסר זאת. לכן זה אמנם אפשרי גם בעולם שלנו, אבל אמפירית מתברר שזה לא מתממש בפועל. לא הבנתי מה קשה או סתירתי כאן.
אתה מדבר על מושג מתמטי ואני מדבר על מבנה או יחס מתמטי. כל מבנה מרחבי שהמתמטיקה מאפשרת יכול להתממש. אגב, בלי קשר לנ”ל, גם מינוס 3 תפוזים יכול להתממש וגם מתממש (כשאני חייב לחברי 3 תפוזים).
בקיצור, אין כאן שתי שאלות נפרדות.

דורון הגיב לפני שבוע 1

לא מבין איך אתה מבחין בין “מבנה מתמטי” ל”מושג מתמטי” אבל בכל מקרה זו לא נראית לי הבחנה רלוונטית לדיון שלנו. אתה הצגת טענה גורפת לפיה המתמטיקה והפיזיקה הם אותו תחום (“זו אותה שאלה”) מכאן שכל “ישות” או אופרציה מתמטית הם בו בזמן גם “ישות” או אופרציה פיזיקלית. זו בסך הכל מסקנה לוגית פשוטה מתוך דבריך שלך. לכן לא ברור איך מנקודת ראות כזו ניתן אפילו לדבר על תופעות אמפיריות, על נתונים או אפילו על היסקים אינדוקטיביים (שבלעדיהם אין כל מקום למדע המודרני).

אבל במיוחד מוזרה לי טענתך לגבי תחום המינוס. אני טענתי שמינוס 3 תפוזים היא ביטוי מתמטי (או מושג או מבנה, תקרא להם איך שאתה רוצה) שאין להם מקבילה פיזיקלית, אבל לא טענתי שאין להם שימוש בעולם המעשה, כמו בדוגמת החוב שהבאת. היעדר מקבילה כזו מוכיח לדעתי שהמתמטיקה והפיזיקה נבדלות באופן חותך זו מזו (הן לא “אותה שאלה”).

האם אתה טוען שיש משמעות פיזיקלית גרידא לביטוי “חוב”? האם לחוב יש למשל צפיפות, טמפרטורה וכדומה? אם תשובתך היא שלילית הרי הצטרפת למחנה המבחין באופן גורף בין הפיזיקה למתמטיקה וזה כבר לא מתיישב עם טענתך המוקדמת ש”זו אותה שאלה”.

mikyab צוות הגיב לפני שבוע 1

קשה לי עם הערבובים הללו.
לא אמרתי בשום מקום שהמתמטיקה והפיזיקה הם אותו תחום או שהן עוסקות באותן שאלות. להיפך, כתבתי בכמה מקומות שהדבר אינו כן. כך למשל מתמטיקה לא ניתנת להפרכה ופיזיקה כן. הפיזיקה היא לכל היותר מודל של המתמטיקה.
כשכתבתי שזו אותה שאלה לא זיהיתי את התחומים. השאלה האם המבנה המתמטי הוא קוהרנטי והשאלה האם הוא יכול להתממש בעולם זו אותה שאלה. מה מתממש ומה לא, זו שאלה אמפירית שאין לה קשר למתמטיקה. אבל מה יכול להתממש זו שאלה היפותטית והיא בעיניי אותה שאלה כמו האם זה קוהרנטי במתמטיקה.
טענתי הייתה שעקרונית אפשר למצוא בפיזיקה מודל עבור כל מבנה מתמטי קוהרנטי. למשל, אם גוף תלת ממדי סופי בלי מרכז הוא מבנה קוהרנטי אז אין מניעה שיהיה אובייקט כזה בעולם (אלא אם חוקי הטבע אוסרים זאת, ואז זו הסתייגות אמפירית). זה לא אומר שכל מושג שמגדירים במתמטיקה יופיע בפיזיקה. יכול להופיע מודל עבורו, כמו החוב. זה לא אומר שיש במתמטיקה מושג של חוב. במתמטיקה גם אין מושג של כוח, אבל כוחות פועלים לפי חשבון הווקטורים. בניגוד לכוח שהוא מושג (פיזיקלי), והמספר מינוס 3 שגם הוא מושג (מתמטי), חשבון הווקטורים למשל הוא מבנה מתמטי (ולא מושג מתמטי), והוא יכול להופיע בפיזיקה (ואף מופיע).

דורון הגיב לפני שבוע 1

אוקיי, נראה לי שעכשיו אתה מתנסח קצת אחרת והעמדת דברים על דיוקם. את מה שאתה אומר עכשיו אני מקבל.

ועדיין לא ברורה לי נקודה מרכזית חשובה: האם אתה חושב, כמוני, שיש מבנים ו/או מושגים במתמטיקה שמנועים אפריורית להופיע בעולם הפיזיקלי? קח למשל שוב את הדוגמה של גוף תלת ממדי סופי שאין לו מרכז. נניח שמושג של גוף כזה הוא כשר מבחינה מתמטית. ואז יבוא מישהו ויטען שעצם המושג “מרכז” הוא הוא בעל משמעות מטפיזית הכפויה על העולם. נניח שתשתכנע שהוא צודק – האם אז תסכים לומר שגופים תלת ממדיים סופיים הם בהכרח בעלי מרכז ולכן גם אם המתמטיקה “מתירה” מצבים של גוף שאין לו מרכז זה לא רלבנטי לפיזיקה? כלומר המרכז הוא עובדה הנוכחת בהכרח גם בפיזיקה.

mikyab צוות הגיב לפני שבוע 1

לוגית כן. תיאורטית, אם היה חוק טבע שלא מאפשר לגוף בלי מרכז להתקיים (למשל הגוף היה קורס אל המרכז שלו ונעלם מהעולם) אז לא היו גופים כאלה. אבל אין חוק כזה.

השאר תגובה