סדרות חשבונית לא קונבנציונאליות

שו”תקטגוריה: כלליסדרות חשבונית לא קונבנציונאליות
דביר שאל לפני 2 שבועות

שלום הרב!
בשיעור נושאים במחשבת ההלכה 9 הרב אמר שכל סדרה חשבונית אפשר להמשיך בכל מספר שהוא וזה יהיה נכון בחישוב ע”י דטרמיננטות.
אבל זה לא אומר שמי שחושב שההמשך של 1,2,3,4 הוא 2פאי בריבוע דווקא אז הוא צודק. כי מי שצורת החשיבה שלו היא “דטרמיננטית” אז כל תשובה תתקבל בברכה והוא לא יבין בכלל מה זה סדרה חשבונית. 
זה או שיש לך צורת חשיבה הגיונית והמספר הבא הוא 5 או שכל מספר יתקבל בברכה. אבל אלו רק 2 אפשרויות.
האם לדעתך כל רצף מספרים אני יכול להוות סדרה? 
סליחה על השאלה המתמטית, אין קטגוריה כזו אפילו..

השאר תגובה

1 Answers
mikyab צוות ענה לפני 2 שבועות
dvirlevi311 הגיב לפני 2 שבועות

אני טוען שלא נכון לומר שיש אנשים שחושבים שההמשך של סדרה חשבונית 1,2,3,4,5 הוא מינוס פאי. .
כי מה שהרב הציע שיש מישהו שחושב בצורה דטרמיננטיט זה לא אומר שהוא חושב על מספר מסויים אלא הוא בכלל לא מבין איזה מספר אמור לבא שהרי אפשר להציב כל מספר וזה יהיה נכון. זה לא נקרא סדרה כי לסדר של המספרים אין שום משמעות בחשיבה כזו כל הצבה אקראית היא נכונה.

אם זה גם לא מובן אז לא משנה זה לא קריטי לי…

חוץ מזה, באותו שיעור הרב דיבר על כללי הפסיקה שאינם כללים באמת ואי אפשר לפסוק רק ע”פ כללים. האם יש לרב מאמר בנושא?
בשיעורים אני שומע את הרב מדבר על זה המון אבל לא ראיתי כתוב עם מקורות בצורה מסודרת.

טולגינוס הגיב לפני 2 שבועות

כל אדם לפי צורת החשיבה שלו יוכל לבחור את ההמשך “הטבעי” ביותר לכל סדרת מספרים. נראה שהשואל הבין שיש טיפוס שממשיך כמנהג העולם 1 2 3 4 5 ויש טיפוס שאין לו בראש שום המשך מסוים אלא כל המשך מתקבל על דעתו. ולא היא – אני משער שהכוונה הייתה שכל טיפוס יש לו המשך שנראה לו הכי טבעי. עב”ם אחד ימשיך את הסדרה עם 19 ועב”ם אחר ימשיך אותה עם 2 פאי בריבוע ועב”ם שלישי יגיד שיש כמה המשכים שנראים לו טבעיים באותה מידה וקשה לו להחליט.
מה הקשר לדטרמיננטות אין לי מושג. אולי כוונת המשורר החידתי שאם עושים אינטרפולציה עם קבוצת פונקציות מסוימת (שלשם פשטות גודלה כמספר הנקודות) אז בונים מטריצה כך שכל שורה משוייכת לנקודה והערכים במטריצה הם ערכי הפונקציה בנקודה (בשורה i עמודה j יש את ערך הפונקציה j על ערך הx של נקודה i) וכופלים בוקטור הנעלמים (מקדמי הפונקציות) כדי להגיע לפיתרון שהוא איברי הסדרה ואז אם הדטרמיננטה של המטריצה היא 0 אז אולי אין פיתרון וכו’.

mikyab צוות הגיב לפני 2 שבועות

אין דבר כזה לחשוב בצורה דטרמיננטית, וגם אנוכי הקטן מעום לא אמרתי דבר כזה. ויפה ענה טולגינוס.
כנראה הכוונה שלך לטענתי שאפשר למצוא סדרה שתיתן כל המשך שנחפוץ. והבאתי את מה שהסביר ויטגנשטיין, שאם יש בסדרה חמישה מספרים ניתן למצוא סדרה שהיא פולינום ב-n (קומבינציית חזקות של n), ואת המקדמים מוצאים על ידי חמש משוואות עם חמישה נעלמים. אמרתי שאם הדטרמיננטה אינה 0 ניתן למצוא פתרון יחיד. אבל זו הערה לא חשובה לעצם הדיון.

טולגינוס הגיב לפני 2 שבועות

אני עמל בימים אלה על טור 247 (האמת שלא קל לי לעקוב אחרי כל הפיתולים והרמיזות שם. זה לוקח לי יותר מערב אחד או שניים, אבל שווה. משהו משהו.). ושם הערה 5 כתבת שהתלמוד מתנגד לפוזיטיביזם ותוהה מדוע נדרש חוק כללי (ממונך ושמירתן עליך). וגם הפנמתי את זה מדבריך אי אז בשתי עגלות. אבל האמת שזה לא מיושב לי ואנצל את הפינה הזאת כדי לשאול משהו בשוליים. לכאורה דווקא בגלל שיש הרבה הכללות אפשריות אז יש ויש תועלת מרובה בכלל והוא שימושי מאד. הגמרא לא מתפלאת מדוע המשנה הביאה את הדוגמאות, כי אלו פסוקים בתורה ומשם הכל מתחיל. ואם המשנה הוסיפה צד שווה אז ברור שהוא בא להוסיף משהו (יותר מאשר ארבעה לימודים נפרדים של בנין אב בודד, לפי הקיטלוג שלך) והגמרא פשוט שואלת מה הוא הדבר הזה. והא קמן שהמשנה נתנה את הכלל. לכאורה ‘אין למדין מן הכללות’ זה אם יודעים על חריגה או סביר שהיא קיימת, אבל מסתמא למדין מן הכללות ויש בהם תועלת רבה, בדיוק כמו הליכה אחרי הרוב.

הפולינום לא באמת מוסיף כאן משהו (וגם לא נראה לי שויטגנשטיין עצמו התייחס אליו). כיון שאת הסדרה הקיימת אפשר לתפור עם אינסוף פולינומים (או פונקציות אחרות) ולהגיע לכל המשך אז לא מרוויחים משהו מהבחירה הטבעית-שרירותית בפולינום מסוים על פני בחירה ישירה של ‘המשך’ טבעי ושרירותי. עב”ם יכול פשוט לחוש שההמשך הטבעי של 1 2 3 4 הוא 17 בלי צורך בשום נימוק נוסף, בדיוק כמו שהעב”ם שבחר פולינום מסוים בחר דווקא בו בלי צורך בשום נימוק נוסף. לא נראה שהנסיגה אחורנית פה תורמת משהו אינטואיטיבי. לכאורה העוקץ הוא שגם אם מגדירים במפורש סדרה נניח f(n)=5n ומייצרים איתה את המספרים 0 5 10 15 אז כדי לייצר את “המספר הבא בתור” צריכים תחילה לדעת מי הוא ה”n” הבא בתור, וכאן העב”ם יכול לחשוב שהn הוא 100 ואז להגיע למספר 500 כמספר “הבא” בסדרה. לכן אם נותנים כבר את סדרת הn-ים ואומרים לו “תפעיל את fn על כל אחד מהמספרים שלפניך” אז הוא יצליח בהחלט לעבוד לפי הכלל (תוכל בבקשה לענות על זה בפרט האם נכון או לא?). הנמשל הוא שאם המשנה אומרת “כל דבר שהוא ממונן ושמירתן עליך חייב בנזיקין” אז ברור שיש תועלת גדולה מאד בכלל הזה ואנחנו יכולים לעקוב אחריו בקלות רבה (אלא אם יש הלכות פטור מיוחדות להלכותיהן והרב מבריסק וכו’).

טולגינוס הגיב לפני 2 שבועות

(צ”ל טור 347)

dvirlevi311 הגיב לפני 2 שבועות

טולגינוס,
תודה על ההפניה למאמר של הרב מיכי, את זה חיפשתי.
ואם הבנתי נכון שאלתך האחרונה היא שאלתי, וברגע שאני יודע את הנוסחה של הסדרה כבר התוצאה הבאה היא אחת ויחידה. היינו אם יבא אדם ויאמר שההמשך הטבעי (בעיניו) של הסדרה 1,2,3,4 הוא 17 אז כמובן שנוכל להוכיח שזה אפשרי אבל הספרה הבאה בסדרה תהיה אחת ויחידה ע”פ הנוסחה שהכריחה את המספר 17.
ולכן הכלל הוא מהותי במצב כזה.

טולגינוס הגיב לפני 2 שבועות

לא, גם לסדרה 1 2 3 4 17 יש אינסוף המשכים. יש אינסוף אפשרויות שונות להמשיך את 1 2 3 4 עם 17, והאפשרויות יהיו שונות בהמשך שלהן. אם כדי לתפור n נקודות משתמשים בפולינום מדרגה n-1 אז אכן יש פולינום אחד ויחיד (אינטרפולציית לגרנז’) וההמשך יהיה קבוע. אבל אם תשתמש בפולינום מדרגה n או n+1 אז תמיד יהיו אינסוף אפשרויות. לא משנה כמה מספרים העב”ם “ימשיך נכון”, תמיד ייתכן שבמספר הבא הוא יקריץ איזה משהו בלתי ברור (ויגלה למפרע שהפולינום שחשבנו שהוא משתמש בו הוא שונה מהפולינום שבאמת העב”ם משתמש בו). בכל אופן לי נראה שהעסק של הפולינום הוא סתם להמחשה ולא באמת חשוב.

הפוסק האחרון הגיב לפני 2 שבועות

מי יודע מה המספר הבא בסדרה
6,21,107

mikyab צוות הגיב לפני 2 שבועות

לא אמרתי מעולם שכללים לא מועילים. אדם לא יכול לחשוב ללא כללים. אני רק יוצא נגד היצמדות יתר לכללים. הכללים הם אמצעי עזר לחשיבה, אבל בסוף המחשבה שלנו בנויה על אינדוקציות ואנלוגיות ולא על דדוקציות. הכללים נועדו לכוון את האנלוגיות שלנו. התהייה של הגמרא היא מדוע המשנה מצאה לנכון דווקא כאן להכניס את הכלל כשדרכה בד”כ לא להוסיף אותו. בתלמוד ישנה העדפה ברורה לאנלוגיות מפרטים על פני דדוקציות מכללים.
ופוק חזי לגבי הכלל הזה עצמו שדורש שהמזיק יהיה ממונך (לגירסת הרי”ף) כדי לחייב אותך, וכידוע לא נכון שהמזיק צריך בהכרח להיות ממונך כדי להתחייב עליו. יש כמה וכמה יוצאי דופן: שומר, גזלן (שהוציאה, שהכישה שקמו באפה), מעמיד בהמת חברו (בכל האופנים הנ”ל) וכדומה. וכאן לא מוזכר שום יוצא דופן במשנה. להיפך, כשלא מוזכרים יוצאי דופן אז פשיטא שלא לומדים מהכללות. החידוש הוא שגם כשכן מוזכרים יוצאי דופן, ואז לכאורה הניסוח דווקני, גם אז לא לומדים מהכללות. וזו לשון התלמוד עצמו: “אפילו” במקום שנאמר בו חוץ.

mikyab צוות הגיב לפני 2 שבועות

אגב, ככל הזכור לי (כבר מלפני הרבה שנים( ויטגנשטיין עצמו משתמש בפולינום כדי להראות שניתן למצוא פונקציה קונקרטית לכל תוצאה שתרצה. ברור שיש עוד הרבה אפשרויות, אבל קשה להצביע על אלגוריתם כללי שייתן לך פונקציה מפורשת שעושה את העבודה. זה מה שמוסיף הפולינום. אחרת אתה צריך לצייר את הפונקציה המבוקשת, אבל קשה לכתוב לה ביטוי מפורש. הדרך הפולינומיאלית היא כללית לגמרי לכל סדרה בכל מספק איברים ונותנת לך תשובה מפורשת.

mikyab צוות הגיב לפני 2 שבועות

הפוסק: 264

טולגינוס הגיב לפני 2 שבועות

א. פקתי ואיני חוזה לגבי הכלל עצמו. את מעמיד אפשר להסיק בעזרת הכלל עצמו, או שזה אדם המזיק או שעשאו השכל כממונו להתחייב עליו. למה צריך בשביל החיוב הזה את הדוגמה? לא הבנתי מה הקשר לשומר וגזלן, הם מפורשים בדינים נפרדים ולא כשאר מזיקים (גם אם גזלן נידון כמזיק באופנים מסוימים).

ב. הנקודה שלא ברורה לי היא למה ‘צריך’ לייצר פונקציה. הפונקציה העב”םית היא פשוט “על 1 אני מחזיר 1, על 2 אני מחזיר 2, על 3 אני מחזיר 3, על 4 אני מחזיר 4, על 5 אני מחזיר 17 ושיהיה בהצלחה” וזהו. [שיערתי שויטגנשטיין לא מתייחס לפולינומים מהסיבה הפרוזאית שכשקראתי אותו (ולא הבנתי הרבה) לא ידעתי על אינטרפולציות ולא זכור לי שהרגשתי שחסר לי ידע מתימטי. בקיאות כמובן אין לי וקל וחומר שלא ‘אין כזה תוספות’].

ג. פוסק, באווירת הטור הזה ההמשך המתבקש הוא אכן 264 כמו שהשיב הרב, אבל גם עב”ם יכול לפעמים ללמוד “איך בני אנוש חושבים” אם הוא לא לגמרי עב”םי מכף רגל ועד ראש. לכן כנראה ציפית לתשובה “at least 47176780″ ע”פ https://oeis.org/search?q=6%2C21%2C107&language=english&go=Search. וזכור לי שזאת לא פעם ראשונה שאתה מביא משהו שקשור לחישוביות.

טולגינוס הגיב לפני 2 שבועות

אה כוונתך שגם אחרי שיש כלל עדיין משתמשים באינדוקציות כדי להרחיב אותו מעבר למה שכלול בפרשנות ה’פוזיטיביסטית’ של הטקסט, ולכן היינו יכולים עקרונית להפעיל את אותו הליך מרחיב ישירות על הדוגמאות? כלומר הכלל לא באמת פטר אותנו מהצורך לדמות מילתות למילתות.

הפוסק האחרון הגיב לפני 2 שבועות

🙂
המספר הבא הוא כנראה
47176870
והמספר שאחריו לא ידוע וכנראה לא יהיה ידוע לעולם אבל הוא גדול מ-
10 בחזקת 36534

https://en.wikipedia.org/wiki/Busy_beaver

טולגינוס הגיב לפני 2 שבועות

בעצם סתם כתבתי. אין צורך לענות עוד פעם.

טולגינוס הגיב לפני 2 שבועות

[למרות שזה לגמרי חסר חשיבות ניסיתי לבדוק לשם הקוריוז הקוריוזיסטי. מצאתי pdf (באנגלית למרבה הצער) ובעלעול חפפני (פסקאות 140-240) אני לא רואה שם את הרעיון הספציפי שאפשר לעשות fit על כל סדרת מספרים עם פולינום מדרגה מספיק גבוהה. באינדקס אין בכלל את המילה polynomial או חלקיה. הוא כן משתמש בדוגמאות של “נוסחאות אלגבריות” וגם מתייחס אליהן באופן כללי כ”כלל” שהמציאה שלו מספקת תחושת הבנה. ונראה שכדי להדגים התפצלויות אפשריות הוא משתמש שם בכלים יותר פשוטים וכלליים (“ראיתי שאתה מוסיף כל פעם 2 אבל חשבתי שכל זה עד שמגיעים ל1000 ומשם והלאה מתחילים להוסיף 4”). בכל אופן זה מה שהצלחתי לזהות בחיפוש קצר מלמעלה].

mikyab צוות הגיב לפני 2 שבועות

טולגינוס,
א. אי אפשר בשום צורה להסיק את מעמיד מהכלל הזה. המעמיד בהמת חברו אינו בעליה. גם אם תאמץ את הניסוח הישיבתי שרואים אותו כאילו היה בעליה, זה תעלול סמנטי. פירושו הוא שלא צריך שזה יהיה ממונך כדי לחייב אותך. לחלופין, כשאמרו לך את הכלל אין בו די כדי להסיק כיצד משתמשים בו, וחזרנו לכך שהכלל אינו מחליף את האנלוגיות והאינדוקציות. בדיוק כהודעתך הבאה.
ב. איני זוכר מה קורה אצל ויטגנשטיין. מרוב סקרנות חזרתי וחיפשתי ואכן לא מצאתי. אולי זהו רק ניסוח שלי לטיעון שלו.
כשמייצרים פונקציה זה מסייע לך להסביר מדוע יש “היגיון” מאחורי ההמשך המפתיע שאתה מציע. לטענה הסתמית (הוויטגנשטיינית) שלך ניתן לענות שאתה אידיוט ולא מבין וזהו. זה שיש אידיוט כלשהו שבטוח ש-1+2=16.8 לא הופך את זה לאמירה לגיטימית וקבילה כמו התשובה 3. אבל כשאתה מציג פונקציה אתה מראה שההמשך שלך לא פחות מבוסס מכל המשך אחר. לא רואה מה לא מובן כאן.

לגבי הערתך לפוסק, הפכת את היוצרות. מי שהיה עונה את התשובה שלי היה מקבל 100 בפסיכומטרי ומי שהיה עונה את שלו היה נכשל (ובצדק, אלא אם זהו מבחן למכונות טיורינג שרוצות ללמוד מדעי המחשב בחדר הסיני של ג’ון סירל). הטיעון הוויטגנשטייני שלי נדרש כדי לבסס את התשובה שלו. תשובתי לא טעונה ביסוס. זו אינטואיציה פשוטה ומתבקשת.

טולגינוס הגיב לפני 2 שבועות

אבל כל דבר הוא “פונקציה”, לא רק ביטויים אלגבריים חלקים ויפים. אני מצידי לא רואה מה פונקציה סגורה ומנוסחת מוסיפה ולא חושב שהמשך סתמי הוא יותר סתמי מבחירה סתמית של פונקציה (ולכן אם באמת ויטג’ קשישא לא ראה צורך להגיע לזה אז אני מבין למה). ולכן בפשטות הטיעון תופס יפה מאד גם לכל כלל בעולם ולא רק לכללים מספריים (ולא צריך לחפש מיפויים מכל אוסף דוגמאות לסדרת מספרים). אבל אוקי.

לגבי הפיכת היוצרות, אכן. חשבתי אגב ריהטאי שסתם הנפצת מספר כדי להדגים את הטענה שכל דבר יכול להיות המשך (ולכן כתבתי מה שכתבתי). כעת אני רואה ש, ממש כמו אחת הדוגמאות של ויטגנשטיין שם, חיפשת שסדרת הפרשים תהיה סדרה חשבונית. [ועם זאת לפי התשובה שלך לא מובן מה רצה הפוסק להשמיענו בחידונת הזאת].

טולגינוס הגיב לפני 2 שבועות

(כשכתבתי ש264 הוא ההמשך המתבקש לא ידעתי שהוא “באמת” ההמשך המתבקש. כאמור חשבתי שסתם שלפת מספר וכתבתי שהוא ‘מתבקש’ רק לתפארת העב”מיות)

השאר תגובה