תורת הקטגוריות ומעמדה של המתמטיקה בתיאור המציאות
שלום לכבוד הרב.
ברצוני לשאול לגבי שאלה שמטרידה אותי זה זמן רב.
כידוע, המתמטיקה יסודה במספר סופי של הנחות ראשוניות (הקרויות \"אקסיומות\"). לפי משפטי אי-השלמות של גדל, לעולם לא תיתכן מערכת אקסיומטית עקבית שהיא גם שלמה. כלומר תמיד ייתכנו עוד טענות מתמטיות אשר לא ניתנות להוכחה בתוך המערכת.
שאלתי היא בנוגע לקיום מערכות מתמטיות נוספות ומקומן בתיאור המציאות.
תחילה, אם נניח כי נדרש מספר סופי של טענות מתמטיות על מנת לתאר את עולמנו באופן הולם (ע\"ע \"תיאוריה הסופית\"), נקבל כי יש צורך במספר סופי בלבד של מערכות מתמטיות על מנת לתאר את המציאות. נזכיר כי העובדה שיש צורך ביותר ממערכת מתמטית אחת לתיאור המציאות – אינה מפתיעה, משום שכבר היום ידוע לנו על מערכת שכזו (ע\"ע הגיאומטריה הלא-אוקלידית ומקומה בתורת היחסות הכללית של איינשטיין).
אך גם במקרה כזה, יש לעיין בסוגייה בנוגע לטענות מתמטיות כלליות, אשר כוונתן לא לתאר את המציאות. (כידוע, המתמטיקה אינה מצומצמת לתיאור עולמנו בלבד..)
בזאת כיסינו את המקרה בו נדרשת מערכת אחת בלבד בעלת סט סופי של אקסיומות (לאחר שאיחדנו את המערכות המתמטיות השונות) על מנת לתאר את המציאות, אך מה בנוגע למקרה בו אין סוף למספר המערכות המתמטיות הדרושות לתיאור העולם? האם מצב כזה הוא בכלל הגיוני?
בנוסף, תהיתי אם יש לך ידע בתורת הקטגוריות על מנת להבהיר לי אם אכן קיים קשר בין תורה זו (אשר לעיתים קרויה \"המתמטיקה של המתמטיקה\") לבין הסוגיה שהעליתי. יש לי הרגשה חזקה שכן, אך לצערי אין לי את הרקע המתמטי הדרוש על מנת ללמוד את הנושא לעומק, והדף בויקיפדיה אינו מועיל (אם כי מחזק את האינטואיציה שלי בדבר הרלוונטיות של נושא זה).
לסיכום,
אשמח אם תביע את דעתך, ואשמח אף יותר לאי-אילו תיקונים, הערות וכד\'. תודה.
שלום יוסי.
ראשית, אינני מתמטיקאי ואיני מומחה בתחום הזה. כדאי לשאול מתמטיקאים. אבל צריך גם לזכור שהשאלה אינה על מתמטיקה אלא על יישומה בעולם שלנו (וזו שאלה לפיזיקאי). אנסה להתייחס בכל זאת.
1. איני יודע מניין אתה לוקח שהמתמטיקה מבוססת על מספר סופי של הנחות ראשוניות. משפט גדל מטפל במערכות שמספר ההנחות הוא בן מניה (ולאו דווקא סופי), אבל איני מכיר טענה שכל מערכת אקסיומטית מתמטית היא כזאת. אגב, זה גם תלוי בשאלה למה אתה קורא הנחה. זכור לי שקראתי לפני כמה שבועות על Chattgpt שביקשו ממנו לתרגם טיעון שנאמר בשפה רגילה לטיעון לוגי עם הנחות ומסקנה והוא שאל כמה הנחות רוצים. אפשר לתרגם את אותו טיעון למספר כלשהו של הנחות, תלוי ברזולוציה ובמה שאתה מתייחס אליו כהנחה. לא זוכר כבר את המקור.
2. אתה מניח (לפחות לצורך הדיון) שתיאור העולם מבוסס על מספר סופי של הנחות. גם כאן איני רואה בסיס לזה, אבל אאמץ זאת לצורך הדיון.
3. אתה גם מניח שתיאור של העולם (כלומר תיאוריה פיזיקלית) אמור להיראות כמו מערכת אקסיומטית במתמטיקה. זו עצמה הנחה בעייתית. טרסקי בספרו על לוגיקה הציג הצרנות כאלה לביולוגיה ולתחומים שונים בפיזיקה, אבל זה רחוק מלטעון טענה על כל תיאור מדעי של המציאות. פיזיקה עובדת ברמת חומרה (רגורוזיות) שונה ממתמטיקה. האם אפשר ליצור מערכת אקסיומטית במובנה המתמטי החמור כדי לתאר את העולם? לא יודע.
4. מספר סופי של הנחות לא אומר מספר סופי של מערכות. זה תלוי גם בכללי הגזירה.
5. השימוש במערכות לא אוקלידיות אינו משקף צורך בכמה מערכות לתיאור העולם. להיפך, הטענה של תורת היחסות היא שהתיאור של העולם הוא לא אוקלידי, ולא שצריך גם גיאומטריה לא אוקלידית בנוסף לזו האוקלידית.
6. אתה מניח שניתן לאחד את המערכות לכלל מערכת אחת. אבל ייתכן שיש סתירה ביניהן ואז האיחוד לא אפשרי.
7. אחרי כל זה אין לי מושג מהי השאלה שלך. בפסקה הלפני אחרונה אתה אומר שכיסית את המקרה שנדרשת מערכת אחת. מה פירוש כיסית? מה אתה טוען? אני ממש לא מבין מה אתה רוצה.
8. ואז באותה פסקה אתה עובר לאפשרות שדרושות אינסוף מערכות ושואל האם זה הגיוני. לא הבנתי את השאלה. ראשית, למה לא? שנית, גם אם זה לא הגיוני (למה לא?) אז אולי זה לא יקרה. מה השאלה?
בקיצור, חשוב רגע מה בדיוק אתה רוצה לשאול. נסח את השאלה בבהירות, ואז תסביר אותה באמצעות מערכות אקסיומטיות. לא הבנתי כאן כלום.
באשר לפסקה האחרונה, אין לי ידע בתורת הקטגוריות, אבל לא הבנתי מהי הסוגיה שהעלית ולכן אני בטח לא יכול לענות.
צודק, לא הייתי ברור.
לפי האפלטוניזם, כל תורה מתמטית היא אמת אובייקטיבית. אך הסכמנו שיכולות להיות מערכות אקסיומטיות (="תורות מתמטיות") סותרות, לכן זה פותח צוהר לשאלה: האם יכולה להיות חוסר עקביות "בעולם האפלטוני"?
בנוסף, עוד שאלה רלוונטית: מה הוא "תנאי הסף" עבור תורה מתמטית על מנת "להיכנס" לעולם האידיאות האפלטוני? האם חובה שיהיה בעולם תחום שבו מתקיימות האקסיומות שלה? אם לא – הרי בוודאי יש מערכות אקסיומטיות סותרות, ולכן בוודאי שיש חוסר עקביות ב"עולם האפלטוני". אם כן – עדיין נותר לבדוק, האם ייתכן מצב בו יש שתי מערכות אקסיומטיות סותרות שמתארות נאמנה את העולם, או לפחות חלק מהעולם.
הסתבכתי, אשמח שתעזור לי לעשות פה קצת סדר. תודה.
אני חושב שאתה צריך לעשות סדר בשאלות לפני שאתה ניגש לחפש תשובות.
תורות מתמטיות סותרות הן תורות שמתארות עולמות שונים. העובדה שיש עולם עגול לא סותרת את העובדה שיש עולם אחר מרובע. לכן סתירה בין תיאורים ובין עולמות לא אמורה להטריד אותך.
תנאי הסף הוא עקביות ותוכן. לא בטוח שכל מי שמקיים את תנאי הסף הזה ייכלל בעולם האפלטוני, אבל בלעדיו כנראה שלא.
השאר תגובה
Please login or Register to submit your answer