עקרון אנה קרנינה (טור 286)

בס”ד

לפני כמה ימים בני שלח לי מאמר שמטפל בפרדוקס המעטפות הידוע בהסתברות, ושמו בישמעאל “Anna Karenina and the two envelope problem”. השם המסקרן של המאמר הזה הפנה אותי לבדוק מהו עקרון אנה קרנינה, ולאחר מכן לחשוב על פרדוקסים בכלל ופרדוקס המעטפות בפרט. בטור הזה אציג את עקרון אנה קרנינה, ובטור הבא אעבור לפרדוקס המעטפות ולמאמר הנ”ל.

עקרון אנה קרנינה

הפתיח המפורסם של לב טולסטוי לספרו אנה קרנינה, מצוטט במקומות רבים:

כל המשפחות המאושרות דומות זו לזו, ואילו כל משפחה אומללה – אומללה בדרכה שלה.

בעבר (טור 17) תהיתי עד כמה הוא נכון, או שמא מדובר בפתגם שנשמע עמוק אבל במבט נוסף מגלים שאלו פטומי מילי בעלמא. מסקנתי שם הייתה ש”בכל זאת יש בו משהו” (אלתרמן שם, שם).

והנה, כעת התברר לי שיש עיקרון שקרוי “עקרון אנה קרנינה”, והוא מציע למשפט הזה פשר הסתברותי. את העיקרון הזה ניסח ההיסטוריון והפיזיולוג ג’ארד דיימונד, בספרו רובים חיידקים ופלדה, כשכתב בהקשר של ביות בעלי חיים:

כל בעלי החיים הנוחים לביות דומים זה לזה, כל בעל חיים קשה לביות – קשה בדרכו שלו.

הטענה הבסיסית היא שכדי שניתן יהיה לביית בעל חיים כלשהו, עליו להיות ניחן בכמה תכונות מאד מסוימות. היעדרה של תכונה אחת מתוכן מוציאה אותו מכלל בעלי החיים הראויים לביות. לכן ברור שאוכלוסיית בעלי החיים שניתנים לביות תהיה פחות או יותר מאותם סוגים וכנראה במספר קטן, לעומת אוכלוסיית אלו שלא ניתנים לביות, שתהיה מגוונת ועשירה יותר מזו של המבויתים. דיימונד חזר שוב על הלוגיקה הזאת גם בספר אחר שלו, התמוטטות, שעוסק בהצלחה וכישלון של חברות אנושיות (כמו אימפריות). אתם יכולים לשער שלקיומה של חברה מוצלחת דרושים כמה תנאים, ואי קיומו של כל אחד מהם מוביל לחברה לא מוצלחת (כלומר להתמוטטות של חברה). ראו כאן השלכות ויישומים רבים נוספים של העיקרון הזה (על התרסקות חלליות ועוד).

כעת אביא כמה הערות על העיקרון הזה.

הערה א: הסתברות ולוגיקה

הקישור לפרדוקס המעטפות יכול להעלות קונוטציה הסתברותית לעיקרון הזה. אבל התופעה הזאת ביסודה אינה הסתברותית אלא לוגית. אם סברה X מבוססת על קוניונקציה (“גם”) של תנאים:

אזי היפוכה מבוסס על דיסיונקציה (“או”) של שלילת כל אחד מהם:

אמנם מהתופעה הלוגית יש השלכה הסתברותית. הגיוון של הכישלונות מול מיעוט ההצלחות הוא תוצאה לוגית, אבל מכאן עולה שאם נגריל סברות, או נסיבות, אזי רוב הסיכויים שנקבל נסיבות לא מוצלחות ולא מתאימות (לא מיוחדות). זה החוק השני של התרמודינמיקה, שלפיו במערכת סגורה האנטרופיה, כלומר כמות הסדר, לא עולה. כדי שמערכת תהפוך להיות מסודרת יותר צריכה להיות יד מכוונת.

הערה ב: השלכה למדנית

יש לעיקרון הזה השלכה בניתוח הלמדני. אני חוזר כל פעם ואומר לתלמידיי, שכאשר מנתחים מחלוקת תלמודית (בין תנאים, אמוראים, או מפרשים), יש להתחיל את הדיון בדעה המיוחדת יותר, כלומר זו שמניחה הכי הרבה הנחות. אחרי שמצאנו שחכם אחד סובר X, והסברה X מבוססת על התקיימות כל ההנחות a, b ו-c, נוכל מיד לומר שיש לפחות שלוש אפשרויות להסביר את שיטת החכם שחולק עליו: או שהוא חולק על ההנחה a, או על b, או על c.[1] כך תגיעו בקלות ומיד לעץ האפשרויות הבריסקאי של הסוגיה, ותוכלו לאפיין כל אחת משיטות הראשונים ולמקם אותה על העץ הזה. שימו לב, זה מכשיר ניתוח למדני פשוט אך רב עוצמה.

בחזרה לטולסטוי

לענייננו, הפשר ההסתברותי שנתן דיימונד למוטו של טולסטוי הוא שמשפחות מאושרות דורשות את קיומו של מקבץ של כמה פרמטרים, והיעדרו של אחד מהם או יותר גורם למשפחה להיות אומללה. לכן המשפחות המאושרות דומות זו לזו (יש להן אותם מאפיינים), ואילו האומללות יכולות להיות מכמה סוגים שונים. ודוק היטב. זו דוגמה יפה מאד לעיקרון שנראה לנו אינטואיטיבית נכון אבל קשה להבין מדוע זהו המצב, ובניתוח לוגי או הסתברותי הוא מקבל הסבר פשוט (ע”ע אבולוציה).

הערה ג: הנחה לא הסתברותית

אלא שזה כמובן לא סוף הסיפור. ניתן לתהות מדוע הצד הייחודי יותר (זה שדורש התקיימות מקבץ של תנאים) הוא דווקא האושר ולא האומללות. למה לא להניח שדווקא האומללות היא שדורשת מקבץ תנאים, ודווקא האושר נוצר מהיעדר של אחד או יותר מהם. ישנה אינטואיציה שזה נכון, כי אושר הוא סוג של הצלחה וזה צריך להיות מקרה מיוחד שמגיעים אליו באופן נדיר (ולכן בדרך כלל מכוון), ואם משאירים את הדברים ליד המזל, אזי בהגרלה הזאת בדרך כלל נוצרת דווקא אומללות. בניסוח אחר: כדי שאדם (או משפחה) יהיה מאושר צריכות להתקיים נסיבות שמתאימות לו בצורה זו או אחרת. אם נגריל נסיבות סביר שרובן לא יתאימו לו ולכן הוא יהיה אומלל בהן. לתשומת ליבם של בני דודנו מברזיל הדוגלים בשיטת ה-manyana (מה שמחזיר אותנו לטור 17).

ייתכן שכדאי להשתמש בעיקרון הזה בכיוון ההפוך. כשאנחנו רואים שתי תופעות מנוגדות, האחת מגוונת והשנייה אחידה יותר, אזי כדאי לחפש אפיונים של שתי הקבוצות כך שהן תתאמנה לעקרון אנה קרנינה. כוונתי שכדאי לנסות לחלץ מכלל המאפיינים שלהן מבנה לוגי מהסוג שתואר למעלה. האוכלוסייה האחידה יותר מאופיינת על ידי מקבץ של מאפיינים, והאוכלוסייה המגוונת יותר מורכבת מקבוצות שבכל אחת מהן חסר מאפיין אחד או יותר מאלו של הקבוצה השנייה.[2]

הערה ד: שיקולי הסתברות באירוע לא מקרי

כעת מתבקשת השאלה: האם מספר החברות המתמוטטות צריך להיות בהכרח גדול יותר ממספרן של אלו המוצלחות? ממש לא. הסיבה לכך היא שהצלחה וכישלון של חברות תלוי במבנה שלהן, והמבנה של חברה אינו מקרי. אנשים מתכננים חברות לפי תכנית כלשהי שאמורה לקחת בחשבון את אפשרותן לתפקד ולהצליח. אמנם לפעמים הם נכשלים, אבל זה רק מפני שהתכנון לקה בחסר (או כוח עליון). אם היינו סתם מגרילים מבנים של חברות אזי העיקרון הזה היה מכתיב שרוב החברות שנוצרו כך באמת היו מתמוטטות. כך גם רוב החלליות לא מתרסקות, מפני שאנשים שמתכננים חלליות הם מומחים. חלליות שהיו נבנות על ידי ילדים היו כנראה מתרסקות (כי בנייה על ידי מי שאינו מומחה היא אירוע כמעט מקרי).

ההבדל הזה בין אירועים מתוכננים למקריים עומד בבסיס הראיה הפיזיקו-תיאולוגית לקיומו של אלוהים.

הערה ה: השלכות על הראיה הפיזיקו-תיאולוגית – בעל ‘חובות הלבבות’

לכאורה ניתן ליישם את הניתוח הזה לראיה הפיזיקו-תיאולוגית. למשל, בנוסחו של בעל חובות הלבבות, “שער הייחוד”, פרק ו:

אך על איזה פנים נשתמש בההקדמות אשר זכרנו בברור מציאות הבורא יתעלה, הוא: כאשר נשתכל בעולם הזה, נמצאהו מחובר ומורכב, אין חלק מחלקיו מבלי חבור וסדור, כי אנחנו רואים אותו בהרגשותינו ושכלנו כבית הבנוי, אשר זומן בו כל הצריך לו. השמים ממעל כתקרה והארץ מתוחה כמצע, והכוכבים מסודרים כנרות וכל הגופות צבורות בו כמכמנים, כל דבר למה שצריך לו, והאדם כבעל הבית המשתמש בכל אשר בו. ומיני הצמחים מזומנים לתועלתו, ומיני החיות משתמשים להנאתו, כמו שאמר דוד עליו השלום תמשילהו במעשי ידיך כל שתה תחת רגליו צנה ואלפים כלם וגם בהמות שדי צפור שמים ודגי הים עובר ארחות ימים. וסדר זריחת השמש ובואה להעמיד עתי היום והלילה ועליתה וירידתה להמציא הקור והחום והקיץ והחורף מעניני הזמנים ותועלותיהם ושנותם תמיד על סדור א’ מבלי הפסק, כדכתיב האומר לחרס ולא יזרח ובעד כוכבים יחתום, וכתיב תשת חשך ויהי לילה וגו’. וסבוב הגלגלים אשר תנועותם מתחלפות והכוכבים והמזלות על הנהגה משוערת ומשקל מכוון לא יזח ולא ישתנה. והכוונה בכל דבר ממנו כוונת תועלת ותקנה למדברים, כמו שאמר שלמה ע”ה את הכל עשה יפה בעתו גם את העולם נתן בלבם וגו’, ואמר: לכל זמן ועת לכל חפץ תחת השמים. וכל זה, חבורו והרכבתו נראים בכלו ובמקצתו, וכשנעיין בצמחים ובבעלי חיים, נמצאם מחוברים מהיסודות הארבעה, והם האש והרוח והמים והעפר, והמה נחלקים ונפרדים ואין בנו יכולת לחברם החבור הטבעי, מפני שמקצתם משתנה אל קצתם וקצתם כנגד קצתם. ואם נחבר דבר מהם, הם ממהרים להשתנות ולהתחלף, אך החבור שחברה אותו התולדה הוא חבור מתוקן וקיים עד עת קץ. וכבר חשבו קצת הפילוסופים, כי הגלגלים והכוכבים והאישים העליונים הם מתולדת האש, ודומה לזה מ”ש דוד ע”ה עושה מלאכיו רוחות משרתיו אש לוהט, ובזה ראיה על המחשבה הזאת, ואיננה תולדה חמישית כאשר חשב אריסט”ו. וכיון שהנמצאות הוות מן היסודות ומחוברות מהם, וידענו, כי לא נמזגו מאליהן ולא נתחברו בטבען, מפני המחלוקת שביניהם, עלה בדעתנו ונתברר בנפשותינו, כי מחברם זולתם וקושרם בלעדיהם ומרכיבם כנגד טבעם על כרחם – הוא בוראם ית’ אשר תקן קשורם ותכן חבורם.

לכאורה נראה שהוא טוען שיש לנו עולם שמתאים לנו ולחיינו מכל הבחינות, ולכן לא סביר שהוא נוצר מעצמו. יש יד מכוונת שיצרה אותו. במילים אחרות, אם אנחנו מגרילים עולמות שונים, יש סיכוי מאד קטן לקבל עולם שמתאים לחיים אנושיים (כי על פי עקרון אנה קרנינה מספר העולמות המוצלחים קטן בהרבה ממספרם של אלו שאינם מוצלחים). זהו הטיעון התיאולוגי שהוא זה שהיה קרוי במקור “העיקרון האנתרופי”.

אמנם הניסוח הזה של הטיעון לוקה בכשל הסתברותי. נכון שאחרי שנתון לנו אדם בעל מבנה מסוים וכעת אנחנו מגרילים את הנסיבות שישררו סביבו, הסיכוי להגריל נסיבות מתאימות הוא קטן. אבל האדם הוא תוצר של הנסיבות הללו עצמן. עולם אחר עם נסיבות אחרות יחולל יצורים אחרים שיתקיימו בתוכו. לכן העובדה שסביבנו שוררות נסיבות שמתאימות לנו לא מוכיחה מאומה. זהו הערעור שמכונה כיום “העיקרון האנתרופי” (בניסוח האתאיסטי).

במחברת השלישית והרביעית (ובשיחה השלישית והרביעית בספר המצוי הראשון) עמדתי על כך שהניסוח המדויק יותר של הראיה אינו מבוסס על ההתאמה של העולם לחיי האדם אלא על המורכבות של העולם כשלעצמו. הטענה היא שדבר מורכב לא נוצר מעצמו. אגב, מעיון בפרק ה של חובות הלבבות שם, עולה שהוא כנראה התכוון דווקא לניסוח המדויק יותר:

אך ההקדמות, אשר יתברר מהן, כי יש לעולם הזה בורא בראו מאין הן שלש הקדמות: אחת מהנה, כי הדבר אינו עושה את עצמו. והשנית, כי ההתחלות יש תכלית למספרן, וכיון שיש תכלית למספרן, יש להן ראשון שאין ראשון לפניו. והשלישי, כי כל מחובר מחודש. וכאשר תתקיימנה אלה השלש הקדמות, תהיה התולדה מהן למי שידע להשתמש בהן ולחברן, כי יש לעולם בורא בראו מאין, כמו שיתבאר ממה שאנו עתידין לבארו בע”ה.

כאן הוא מדבר על המורכבות (המחובר שלא מחבר את עצמו). אגב, נראה שיש בדבריו כאן שילוב של הראיה הקוסמולוגית והפיזיקו-תיאולוגית.

ניתן לשאול איזה משני הניסוחים הללו מתאים לניסוח של עקרון אנה קרנינה? לכאורה דווקא הראשון, כלומר הכושל. מכיוון שלהצלחה של האדם נחוצים כמה וכמה תנאים, אזי הנסיבות שמאפשרות את קיומו הן מיוחדות, ומספרן כנראה נמוך משמעותית מהנסיבות שלא היו מאפשרות זאת. אך כאמור זהו טיעון כושל. אלא שזה כמובן לא אומר שעקרון אנה קרנינה הוא כושל. זהו עיקרון נכון: בהינתן יצור מסוים, מספר הנסיבות שיתאימו לחייו קטן משמעותית ממספרן של הנסיבות שלא יתאימו לו. זהו הממד הלוגי של עקרון אנה קרנינה. ולכן במישור ההסתברותי, אם כעת נגריל נסיבות שבתוכן הוא פועל כנראה נגיע לנסיבות לא מוצלחות (כלומר לחיים אומללים, אם בכלל). ואם הנסיבות שקיבלנו מתאימות לחיי בני אדם לכאורה נגזרת מכאן המסקנה בדבר קיומה של יד מכוונת. מכאן מסיקים לכאורה שבריאת העולם לא הייתה הגרלה (מערכת סגורה שבה הסדר לא עולה והייחודיות יכולה רק להיעלם), אלא משהו כמו מפעל או חללית, כלומר יצירה מתוכננת של יצור תבוני (שמעורב בתוך המערכת, ולכן היא לא סגורה).

מה שכושל בניסוח הראשון, שמשתמש כאמור בעקרון אנה קרנינה, אינו העיקרון עצמו, לא הלוגיקה ולא ההסתברות. כפי שראינו, הראיה גם משתמשת בהבחנה בין אירועים מכוונים ומקריים. הבעיה היא ניתוח המציאות שקודם לניתוח. הגרלת הנסיבות לא נעשית באופן בלתי תלוי ביצור שחי בתוכן, ולכן לא נכון להתפעל מההתאמה בינו לבינן. השיקול ההסתברותי כושל כאן בגלל סדר האירועים והקורלציות שמתעלמים מהן. ודוק היטב.

הניסוח השני לכאורה לא משתמש כלל בעקרון אנה קרנינה. אנחנו לא מדברים על התאמה לתנאים כלשהם אלא על מורכבות בעלמא. אמנם ההתאמה לחיי בני אדם היא עדות על מורכבות. יתירה מכך, עצם קיומם של בני אדם זה סוג של מורכבות שלא צפויה במערכת שהייתה נוצרת בתהליך מקרי (הגרלה). אני חושב שבעל חובות הלבבות שמשתמש בהתאמה לחיי בני אדם, לא מתכוון לניסוח הראשון ולעקרון אנה קרנינה, אלא לניסוח השני, כלומר לזה הנכון. זהו שיקול הסתברותי בלי המרכיב הלוגי, ואין לו קשר לעקרון אנה קרנינה.

[1] למה לא על שתיים מהן? בגלל גרסה כלשהי של תערו של אוקאם, שבלשון חכמים מתנסחת כך: “אפושי מחלוקת לא מפשינן”. ראו בעניין זה את מאמרי על הדיכוטומיה של החקירות הישיבתיות.

[2] בהקשר זה כדאי לעיין בהקדמות המתודולוגיות ובניתוח של השירה מול הפרוזה, בטורים 107113.

6 מחשבות על “עקרון אנה קרנינה (טור 286)”

  1. המאושרים דומים בפרמטר אחד

    בס”ד כ”ז באדר תש”פ

    לא צריך ‘קיבוץ של פרמטרים’. כד להיות מאושר צריך פרמטר אחד: ‘היכולת לבנות את האושר מבפנים’. מי שחושב שאושרו מותנה בהצלחה כזו או אחרת, ימצא תמיד סיבה לתיסכול. משהו ב’תנאי העושר’ שלהם ציפה לא הסתדר לו ולכן הוא ממורמר ומאוכזב, ולפעמים זה יכול להיות אדם שטוב לו בחיים, רק משהו קטן גומר אותו בתחושה ש’כל זה איננו שווה לי’.

    ברגע שאדם מאמץ את הגישה שאושרו לא תלוי בקניין זה או אחר אלא בשלימותו הפנימית – הוא יסתדר וימצא במה לשמוח גם במעט שיש לו. יתמקד בו וישתדל להיטיב את מצבו, אך לא מפני שלא השיג את כל מבוקשו. בפרמטר זה ‘היכולת לבנות את האושר מבפנים’ אכן כל המאושרים שווים, אך הדרך להגיע לתובנה זו עוברת אצל כל אחד בדרכו הייחודית הרצופה לא מעט משברים ולבטים.

    בברכה, ש”צ

    1. שצ”ל מה שאתה כותב רק מעביר את הדיון לנפש פנימה. אבל הלוגיקה נותרת בעינה. נפש מוצלחת כזאת היא מיוחדת, ונפשות אחרות לא יחושו כך.

    2. ובניגוד לביות בעלי חיים שהיכולת להסתגל לביות – תלויה בתכונות טבעיות מסויימות – היכולת להגיע לאושר מבפנים ללא תלות בתנאים חיצוניים, אינה תלויה בתכונות טבעיות אלא בהחלטה של האדם ובנכונות להשקיע ולהתמיד.

      מה שאולי נכון הוא להגדיר את עיקרון אנה קראנינה’ הוא בחילוף: מי שמדגיש בתודעתו את היותו דומה לאחרים, את ‘הצד השווה’ה בינו לבין אחרים – ייקל לו להגיע לאושר, בהבינו שהוא לא לבד בקשייו. כולם חווים קשיים כאלה או אחרים. אדם כזה יהיה יותר סבלני ומכיל ומתוך כך גם מאושר יותר. לעומת זאת, מי שמכונס בעצמו – רואה את כל קשייו כהררים ומלא קנאה באחרים – ואז הוא באמת מסכן יותר

      ובקיצור: ככל שאדם מתחבר לאחרים, מזדהה עם קשייהם ומשתדל להיטיב להם – אכן יהיה מאושר יותר!

      בברכה, ש”צ

  2. תודה רבה.
    אתה יכול לפרט יותר מהו הכשל ההסתברותי כאשר מדברים על התאמת האדם לעולם, שנעלם כאשר מדברים על התאמת העולם לעצמו?
    האם הכוונה שכאשר מדברים על התאמת האדם לעולם, תיאורטית היו כאן נסיונות מרובים ליצור חיים שרק אחד מהם צלח, ולכן רק אותו אנו רואים? תוכל לפרט יותר?
    זכור לי שהיה כאן פולמוס ארוך בעניין.

    תיקון טעות: בקטע השלישי מהסוף (ד”ה ניתן לשאול) – ‘כאמור במקום ‘כרמור’ (מיעוט הטעויות מעידות שיש כאן יד מכוונת שפועלת לביטול מנגנון ‘אנה קרנינה’ 🙂 ).

    1. הטענה היא שהאדם במבנהו נוצר כתוצאה מהתנאים בעולם ולכן אי אפשר להתייחס לנסיבות ולתנאים הללו כמשתנה בלתי תלוי במבנה האדם. הוא נוצר בהתאמה לתנאים בעולם (כי כל מה שלא התאים לא שרד).

      תודה על התיקון.

השאר תגובה