פרדוקס קוביית המוות

הפרדוקס הולך ככה:
נניח שיש אדם משוגע וכל יכול שחוטף יום אחד אדם אחד ואז מטיל קוביה הוגנת. אם יוצא שש בקוביה הוא הורג את האדם ואם יוצא מספר אחר הוא משחרר אותו ולוקח מספר אנשים כפול ממה שהוא לקח ועושה להם את אותו הדבר. מטיל קוביה ואם יוצא שש הוא הורג את האנשים שחטף ואם יוצא מספר אחר, הוא משחרר אותם ולוקח כפול ממספר האנשים שלקח. ככה ביום השני יש שני אנשים, בשלישי ארבע אנשים וכן הלאה.

אתה מתעורר יום אחת ומבין שנחטפת על ידיו אבל אתה לא יודע כמה אנשים נחטפו איתך ואתה לא יודע מתי הוא התחיל לקחת אנשים, האם אתה נמצא ביום הראשון או ביום אחר. עם זאת, הוא נותן לך אפשרות ללחוץ על כפתור שיהיה לך אפשרות של חצי חצי בהגרלה – או למות או להשתחרר. מה כדאי לעשות? ללחוץ על הכפתור של חצי חצי או הטלת קוביה של אחד לשש.

הפרדוקס אומר שמצד אחד סיכוי של אחד לשש הוא סיכוי טוב יותר אבל מצד שני סביר שאתה לא ביום הראשון ובכל יום מאוחר יותר יש סיכוי גבוה יותר שתמות (כי אם אף אחד לא מת עד עכשיו, יותר סביר שזה יקרה עכשיו). בנוסף, אם מסתכלים על זה מבחינת כמה אנשים אמורים למות אז ביום השני יכולים למות שתיים מתוך שלוש, וביום השלישי ארבע מתוך שבע וכן הלאה, כלומר, בכל הימים יש סיכוי של מעל חצי שתהיה מהקבוצה שתמות ולכן כדאי ללחוץ על הכפתור ולהפוך את הסיכוי שלך לחצי חצי.

אין שום קשר בין הימים. בכל יום נעשית הטלת קובייה בלתי תלויה, ולכן הסיכוי שלך למות בכל יום שלא יהיה הוא 1/6. לא משנה באיזה יום אתה נמצא. לכן לא הבנתי מה הפרדוקס כאן.
התיאור שלך בסוף הוא בכלל אוסף מילים לא ברור. מה פירוש שביום השני ימותו 2 מתוך 3? למה אתה צובר את האנשים מכל הימים? בקיצור, נראה לי סתם הבל. לא פרדוקס ולא נעליים.

דביר,
ראשית, הסברת את הפרדוקס גרוע.
שנית, כמו פסאודו-פרדוקסים רבים, זה לא באמת פרדוקס אלא תרגיל שרוצה להראות שהאינטואיציה שלך לגבי משהו מסוים שגויה.

אופציית ה-50/50 היא בעצם ניסיון בריחה – ואז אם הצלחת (50%) אתה יוצא מסטטיסטיקת הקובייה.
הרעיון הוא, שהקבוצה האחרונה (זאת שנהרגה) היא גדולה יותר ממספר כל שאר הנחטפים בכל הקבוצות הקודמות יחד (בפרדוקס המקורי, מספר החטופים עולה במכפלת עצמו) ולכן למרות שהאינטואיציה הסטטיסטית אומרת להעדיף את אופציית הקוביה (1/6) כדאי להעדיף את אופציית ה-50/50.
כי אם תקח אדם רנדומלי מסך כל הנחטפים אי פעם, הסיכוי שהוא בקבוצה האחרונה שנהרגה גדול יותר מ-50% ולכן עליך להניח שאתה בקבוצה שמוצאת להורג. מאוד לא אינטואיטיבי, אבל זו התשובה שנחשבת לנכונה. אני חייב לציין שאני תמיד חש אי נוחות עם תרגילים כאלו, כמו גם עם העקרון האנתרופי. כידוע, נוכל גם לומר "מה הסיכוי שנולדנו כעת ולא בעתיד כשהאוכלוסיית העולם הגיעה למאה טריליון איש.
אבל על פניו החישוב נכון.

דבר מבלבל ממש שכתבת שכלל אינו קשור לפתרון ה"פרדוקס" וזה מה שזרק אותי לגמרי מהבנת הפרדוקס כשקראתי את דבריך, הוא: "אם לא מת אף אחד עד עכשיו, יותר סביר שזה יקרה עכשיו"
זה ממש לא קשור לפרדוקס וזו טעות סטטיסטית שטותית, ההסתברות כמובן מתאפסת בכל הטלה.

מקווה שהבהרתי את הפרדוקס לעיל. אם לא, אשמח להסביר אותו בקצרה.
מה דעתו של הרב על הפרדוקס?
לכאורה, ע"פ עקרון בייס, אכן צריך לחשב את ההסתברות שאני נחטפתי מלכתחילה ולאיזו קבוצה נחטפתי. אבל קשה לעכל את הפתרון. סופו של דבר, הקובייה עדיין לא הוטלה ולא הוחלט איזו היא הקבוצה האחרונה. עכשיו אנחנו עומדים בפני הטלה של 1/6 שתקבע את גורל הקבוצה ולא ברור איך המידע הנוסף משפיע על הקובייה.

לא הבהרת.

הרוצח המטורף פועל כך:
חוטף אדם אחד ומטיל קובייה. אם יוצא 6 הוא הורג אותו, אם לא, משחרר אותו וחוטף 2 בני אדם. מטיל קובייה שוב, אם לא יוצא 6 הוא משחרר אותם וחוטף 4, וכך הלאה.
אתה מוצא את עצמך קשור עם עיניים מכוסות, בלי שאתה יודע כמה נחטפו איתך. יש לך אופציה לנסות לברוח והסיכוי שתמות בבריחה הוא 50%.
הפתרון אמור להיות, שלמרות הסקנדל האינטואיטיבי כדאי לברוח.

בסופו של דבר הקובייה תוציא 6 וקבוצה כלשהי תוצא להורג. צריך לשים לב, שתמיד מספר האנשים בקבוצה שתוצא להורג, יהיה גדול יותר ממספר כל האנשים בשאר כל הקבוצות הקודמות יחד. (נניח והיו 4 סבבים. בראשון היה אדם אחד, בשני 2, בשלישי 4 ברביעי 8 – שנרצחו. סה"כ השתתפו במשחק 15 איש, מתוכם 7 ניצלו ו-8 נרצחו. זה עובד כמובן על כל מספר סבבים שיתרחשו) ע"פ עקרון בייס (אני מכניס את עקרון בייס פה, אני חלוד, מקווה שאני לא טועה) אתה מחשב את ההסתברות שנחטפת באחד הסבבים הקודמים, מול הסיכוי שנחטפת בסבב האחרון שמוצא להורג. החישוב מעלה שהסיכוי שנחטפת בסבב האחרון הוא גדול מ-50% ולכן עליך להסתכן בבריחה.

אני חושב שגם התיאור שאתה נתת אינו מדויק/מלא. שתי נקודות שטעונות הבהרה:
1. כתבת שבכל סבב משחררים את האנשים מיד אחרי ההטלה. לדעתי הסבבים הראשונים לא משתחררים אלא מחכים עם עיניים קשורות עד שהמשחק ייגמר. גורלם כבר נחרץ (לחסד ולא לשבט) אבל הם לא יודעים זאת. כעת אתה יושב עם כל קשורי העיניים ונמצא בדילמה האם לברוח או לא. מציעים לכולם את העסקה הזאת (לברוח), והשאלה האם כדאי להם לקבל זאת. הסיכוי שלכל אחד מהם למות מהקובייה גדול מחצי. והסיכוי לברוח הוא חצי.
2. אבל כאן יש עוד נקודה שטעונה הבהרה: אם אני לא מצליח לברוח אני מת בכל מקרה, או שאז אני מסור לגורל שעלה בקוביה? כי אם אני רק מסור לגורל של הקוביה אז ברור שכדאי לנסות לברוח. לכן אני מניח שתיאור המקרה הוא שאני ארצח בכל מקרה אם לא הצלחתי לברוח, גם אם אני אחד מהסבבים הראשונים שעלו בקובייה לחיים.
במצב כזה ברור שכדאי לנסות לברוח, כי הסיכוי שלך למות הוא רק חצי, ואם לא תברח הסיכוי הוא מעל חצי.
בקיצור, אם תתאר במדויק את המקרה, איני רואה שם שום דילמה ושום בעיה. הפתרון מובן מאליו. הדילמה קיימת רק בגלל שהתיאור אינו מדויק.

1. מה זה משנה אם הקבוצות שאולי קדמו לך (ואולי בכלל אתה הראשון) שוחררו או שהם נתונים קשורים?

2. כתבתי בפירוש, הסיכוי למוות בבריחה הוא 0.5. אפשר פשוט לומר שניתנת לך האפשרות ללחוץ על כפתור ולקבל הזדמנות של 50% מוות 50% שחרור.

ובפתרון, בעצם אתה לא מחשב את הקובייה, אלא את הקבוצות. מה הסיכוי שאתה חטוף בקבוצות ששוחררו מול הסיכוי שאת בקבוצה שנהרגת.
החישוב פשוט. בארבעה סבבים:
8/15 > 0.5

הפתרון אכן פשוט, וכבר כתבתי שזה פסאודו-פרדוקס. אבל חוסר האינטואיטביות שלו מטריד ממש.
אם נקצין, ונומר שהקבוצה גדלה במכפלת עצמה, נחטפת, ואתה עומד בפני הדילמה. אתה יכול לעמוד בפני הטלת קובייה ולומר: "אני בטוח ב-90% שייצא 6"?
והרי זה סקנדל מוחלט!

אם לא הסברתי כהלכה, אשמח אם תשתמש בעקרון החסד.

אם כל קבוצה שהוגרלה לחסד משתחררת מיד אז את העסקה מציעים רק לקבוצה האחרונה ולא לכולם. במקרה כזה ברור שעדיף לנסות לברוח, אחרת אתה בטוח מת (כי אם הציעו לך אז אתה בהכרח בקבוצה האחרונה). לכן ברור שמציעים את העסקה לכל הקבוצות, ולא שנותנים לראשונות להשתחרר.
אמנם כעת ניתן לחשוב על מדיניות ההצעה הבאה: אמנם מציעים את ההצעה לכולם, אבל לא בבת אחת. פשוט מציעים את העסקה לכל אחת מהקבוצות אחרי שנחטפה (ראינו שחייב להיות שזהו המצב), מי שניסה לברוח והצליח ברח ומי שלא הורגים אותו (למרות שלא יצא להם 6). זה מה שאתה מציע כתיאור המקרה?
שים לב שבמקרה כזה כשאני מקבל את ההצעה לברוח, בכלל לא ברור שכבר הגענו לקבוצה האחרונה. ייתכן שכל הקבוצות עד עכשיו, כולל זו שלי, אמורות להשתחרר. במצב כזה נראה שעדיף לא לברוח. אמנם במבט שני נראה שעדיין צריך להסתכל על המשחק השלם שימשיך אחר כך עד סופו. וצל"ע בזה.
חשוב על מצב שמציעים לי את ההצעה לפני שהטילו את הקוביה. כעת אני שוקל האם לקבל את ההצעה ואז סיכוי חצי שאני מת או לחכות להטלת הקובייה ואז סיכוי שישית שאני מת. מה זה משנה באיזו קבוצה אני? כאן נראה פשוט שצריך לא לברוח אלא לחכות להטלה.
אמנם אם הטילו כבר את הקוביה ורק אז מציעים לי את ההצעה, אני יכול לעשות את חשבוני שלי כך: הרי בהגרלה שעשו עליי או שיצא 6 או שלא. הסיכוי שיצא שם 6 הוא 1/6, ולכן עדיף לא לברוח. השאלה האם להסתכל כך או להסתכל על הסיכוי שאני שייך לקבוצה האחרונה. נראה לי שלפחות אם מציעים לי את ההצעה לפני הטלת הקוביה על הקבוצה שלי לא נכון להסתכל על כל המשחק אלא על מצבי שלי.
בכל אופן, לכן חשבתי שמדובר שהמשחק הסתיים וכולם יושבים קשורי עיניים וכעת מציעים להם הגרלה, כמו שהסברתי למעלה. זה מקרה ברור יותר לדיון. אמנם אם המקרה הקודם שקול אליו, אז אני מבין למה דיברו עליו כדי שהתשובה לא תהיה טריוויאלית. אבל כאמור עדיין צריך להבהיר מתי בדיוק מתקבלת ההצעה לברוח.

הפרדוקס מתנהל בדיוק כפי שתיארת. סליחה שלא תיארתי טוב מספיק. כמובן שיתכן ששום קבוצה עדיין לא נהרגה.
אני התייחסתי ל"פרדוקס" – ששואלים אותך לפני הטלת הקובייה. נראה שודאי זו כוונת המשורר. אלא שגם אז, מתמטית איני מבין למה לא לחשב את המשחק כולו. לענ"ד כך צריך לחשב ע"פ עקרון בייס. אלא שאז מתקבלת תוצאה לא הגיונית בעליל.
אני מפספס משהו? איזו מניעה יש מחישוב המשחק הכולל? לא צריך להיות רלוונטי לי המידע האם הוא הסתיים או לא או האם הוטלה כבר הקובייה – זה בדיוק החישוב, האם אני מופיע בסוף המשחק (ועתיד להירצח) או באמצעו.

לא אמור לשנות כלל אם הקוביה הוטלה כבר או לא. זה כמו שיטילו את הקוביה ואף אחד לא יסתכל ויכסו אותה בכוס. עדיין, לפי החישוב, אם הגעת למשחק כזה שמסתיים כשמוטלת שש. מירב הסיכויים שהקוביה מראה שש מתחת לכוס. וזו תוצאה פרדוקסלית לחלוטין.
כי אתה מחשב: מה הסיכוי שהגעתי למשחק בשלב שבו הקוביה הוציאה שש, אל מול הסיכוי שהגעתי בשלב שהיא הוציאה כל מספר אחר. וזה כלל לא משנה אם היא הוטלה וכוסתה בכוס או שהיא עוד לא הוטלה כלל.לא אמור לשנות כלל אם הקוביה הוטלה כבר או לא. זה כמו שיטילו את הקוביה ואף אחד לא יסתכל ויכסו אותה בכוס. עדיין, לפי החישוב, אם הגעת למשחק כזה שמסתיים כשמוטלת שש. מירב הסיכויים שהקוביה מראה שש מתחת לכוס. וזו תוצאה פרדוקסלית לחלוטין.
כי אתה מחשב: מה הסיכוי שהגעתי למשחק בשלב שבו הקוביה הוציאה שש, אל מול הסיכוי שהגעתי בשלב שהיא הוציאה כל מספר אחר. וזה כלל לא משנה אם היא הוטלה וכוסתה בכוס או שהיא עוד לא הוטלה כלל.

סליחה על האריכות וחוסר הבהירות. השתמשתי בהקלדה קולית בנהיגה. מוטב היה אם הייתי מתאפק 😀.
תכל'ס נראה לי שדברי הסבירו את הברור זה מכבר. נשאר רק הפרדוקס, שכעת לאחר שצללתי אליו, מרגיש לי מעט יותר פרדוקסלי. מחישוב אנתרופי-בייסיאני, נראה פשוט שסיכויי להיות בקבוצה שתיהרג, גדולים מחצי, כי אני צריך לשאול את עצמי לא רק מה הסיכוי בקובייה, אלא האם סביר יותר שנחטפתי יחד עם המיעוט בכל קבוצה שאינה האחרונה, או עם הרוב בקבוצה האחרונה.
אך האינטואיציה והשכל הישר אומרים, שכל עוד לא הוטלה הקובייה, 5/6 שהמשחק ימשיך סיבוב נוסף, ואני אלך לחיים ולשלום.
יש לך פתרון חד משמעי?
אם אנו צריכים להתעלם מחישוב אנתרופי כזה, השאלה היא: למה?

אין לי זמן כרגע להתעמק ולפרט. בד"כ כדי להבין חישוב כזה צריך לנסח את הניסוי שיבדוק את התוצאה של החישוב, כלומר מה עלינו לעשות כדי לבדוק לפי התוחלת האם ההחלטה נכונה או לא.
בקצרה, נראה לי פשוט שאם אני עומד בפני שתי אפשרויות: או לעשות הגרלה שהסיכוי שאמות הוא 1/6 או לעשות הגרלה שהסיכוי הוא 1/2, פשיטא שעדיפה האופציה הראשונה. זה אינו תלוי בגודל הקבוצה שלי ובמה קרה לקבוצות אחרות, ומתי נכנסתי למשחק וכדומה.
שים לב שאני לא שואל באיזו קבוצה אני ובאיזה שלב נכנסתי למשחק. כל זה לא מעניין אותי. שואלים אותי במצב הנתון באיזו הגרלה מהשתיים אני רוצה לבחור. לכן כרגע יש בפניי שתי אפשרויות וההשוואה בין הסיכויים היא שקובעת.