גיאומטריה

אגב יש מיפויים בין התחומים הללו. יש צורות עיסוק בגיאומטריה שבהן לא תראה צורה או ציור (לא תעשה לך פסל וכל תמונה), והכל נראה בדיוק כמו עיסוק במספרים ובמבנים מופשטים.

Mathematics (from Greek: μάθημα, máthēma, 'knowledge, study, learning') includes the study of such topics as quantity (number theory),[1] structure (algebra),[2] space (geometry),[1] and change (analysis).[3][4][5] It has no generally accepted definition.[6][7]

שתי נקודות:
נראה לי שהשאלה היא לא סמנטית בלבד מהטעם הפשוט שאפילו אתה עצמך מגדיר את המתמטיקה כעיסוק לוגי ושיטתי. נראה שלדעתך זוהי המהות ההכרחית שעל גבה אפשר לתאר את המכנה המשותף בין המתמטיקה לגיאומטריה. אם לא היית חושב ככה יכולת מן הסתם לטעון שהבסיס הוא אחר. למשל פסיכולוגי.
הנקודה השנייה שהבסיס הזה שהצעת, הלוגי, נראה לי רחב מידי והוא כולל ענפים נוספים מלבד מתמטיקה ולוגיקה. כנראה אלו שהזכרת בעצמך.
מכאן עולה השאלה: האם קיים בסיס הכרחי וצר יותר המשותף רק למתמטיקה ולגיאומטריה? כאן אני רואה שתי אפשרויות לתשובה (למעשה שלוש, אבל כרגע אתעלם מהשלישית): כן או לא. אם כן מתבקש להגדיר את אותו בסיס ואז לשאול שוב את שאלת ההבדל בין השתיים, הפעם על בסיס זה בלבד. במקרה כזה אולי נצטרך לשוב להבחנה בין העצמים השונים שאליהם פונים שני הענפים האלה.
אם לא (כלומר אם אין בסיס משותף מלבד המבנה הלוגי שציינת) אז ממילא קל ונכון יותר (ואולי גם פרקטי יותר) לחלק בין התחומים. ממש כפי שאתה חילקת ביניהם ובינם לבין הענפים האחרים (טריגו וכו').
כ"כ לפי הבנתי ההערה שלך שלפיה יש תחומים בתוך הגיאומטריה שנראים כמו מתמטיקה צריכה להתפרש קצת אחרת: אולי הניסיון לקרוא להם גיאומטריה הוא לא מוצדק (גם אם מועיל)?

אפשר לשוב ולשאול מה הטעם בהגדרות האלו. לדעתי שני טעמים: הראשון תיאורטי בלבד- הגדרות או לפחות תיאורים מילוליים הם כלי העבודה העיקרי (או היחיד) שיש לנו בפילוסופיה. זו פשוט שאלה של אמת ולזו יש, בעיניי לפחות, ערך סגולי משל עצמה.
ויש תשובה קצת יותר מעשית: הסתכלות על תחומי דעת מזווית מטעה או חלקית עשויה לחסום את ההתפתחות של אותם תחומים (אני לא טוען שזה הכרח כמובן). לא ארחיב על זה כרגע.

לא מדובר בתחומים בתוך הגיאומטריה אלא בצורות טיפול שונות בכיאומטריה עצמה. וזה אומר דההבדל מענפי מתמטיקה אחרים (כמו אלו העוסקים במספרים) אינו מהותי.
ההגדרה שנתתי למתמטיקה היא לדעתי ההגדרה. כל מה שנכנס תחתיה הוא מתמטיקה.

דא, היית אומר שההגדרה שלך למתמטיקה נופלת תחת הלוגיציזם? כי אם כן זה לוגיציזם די קיצוני.