אינסוף

נתן שאל לפני 3 חודשים

שלום הרב,
קראתי את דבריך על הראיה הקוסמולוגית, ועל ההבחנה בין אינסוף פוטנציאלי לקונקרטי.
עדיין המושג אינסוף מטריד אותי לא מעט.
השאלה שלי היא בסיסית: איך ייתכן שבזמן כתיבת השאלה, האצבע שלי עברה אינסוף חלקים? (מודע לזה שזה אחד הפרדוקסים של זנון).
גם התייחסות פוטנציאלית לאינסוף – כזו שתגיד שלא עברתי אינסוף חלקים אלא שניתן לחלק את המרחק שעברתי לאינסוף חלקים – לא נראית לי פותרת את הבעיה.
הרי סופסוף יש פה אינסוף, גם אם הוא פוטנציאלי. ומדוע זה יותר קל להבין שעברתי אינסוף פוטנציאלי?
אני לא מצליח לתפוס את העובדה שאינסוף חלקים של סדרה מתכנסת מסתכמים למספר סופי. קשה לי לתפוס את זה בשכל.
ככל שאני חושב על זה יותר, אני נותר נבוך עם התשובה שזה אכן פלא גדול. וללא תשובה אמיתית.
האם יש לך תשובה מניחה את הדעת? האם לך  ברור כיצד האינסוף ‘עובד’?
תודה,
נתן

השאר תגובה

1 Answers
mikyab צוות ענה לפני 3 חודשים

תפיסה פשוטה של האינסוף אינה אפשרית כמובן. אבל אולי נסה לחשוב על כך מכיוון הפוך. קח את 1/2. כעת הוסף לו את חצי הדרך ממנו ל-1 (כלומר עוד 1/4), ותקבל 3/4. כעת הוסף לזה שוב את חצי הדרך ל-1 (כלומר עוד 1/8), ותקבל 7/8. כעת הוסף עוד חצי הדרך ממנו ל-1 וכו’ וכו’. אתה מבין שגם אם תעשה זאת אינסוף פעמים לא תגיע ל-1, כי תמיד אתה עושה רק את חצי הדרך שנשארה עד 1. כלומר גם אם תוסיף אינסוף פעמים בצורה כזאת לא תגיע ל-1. זה אומר שהסכום האינסופי הזה מתכנס ל-1 למרות שמוסיפים כאן אינסוף כמויות.
 

‫נתן‬‎ הגיב לפני 3 חודשים

אני מבין שלא אגיע לעולם ל1, ומצד שני אני מבין ששני החצאים (שאחד מהם חילקתי וחילקתי) באמת מסתכמים ל1 סופי וברור.

כיצד שתי ההבנות האלה יכולות לחנות יחד? איך אפשר לפתור את הפרדוקס הזה?

יגל הגיב לפני 3 חודשים

נתן,
למה שלא תלך הפוך תחשוב על ריבוע שאתה חותך ממנו חצי, וגם את החצי השני לחצי ואת השני לחצי וכד’ אתה מבין שאתה בסוף מתעסק עם אחד שלם.

https://steemit.com/steemstem/@nitesh9/ramanujan-s-sum-1-2-3-4-infinity-1-12-really

mikyab צוות הגיב לפני 3 חודשים

אתה לא תגיע לאחד כי אף פעם לא תסיים אינסוף צעדים. אבל הגבול מוגדר כמשהו פוטנציאלי (לא צריך להגיע אליו בפועל. באופן פשטני, הגבול מתאר מה היה קורה אילו הייתי ממשיך עד אינסוף).

‫נתן‬‎ הגיב לפני 3 חודשים

אוקיי, אז הפרדוקס “נפתר” (עד כדי ההבנה המוגבלת של להמשיך אינסוף צעדים)

אני עדיין נשאר עם תמיהה גדולה כיצד ייתכן לעבור מרחק שפוטנציאלית יכול להתחלק לאינסוף חלקים.

אבל יכול להיות שאני מחפש תשובה שלא קיימת.
אולי ההבנה של האינסוף היא לא אפשרית באמת (כמו שכבר כתבת בתשובה הראשונה), אלא רק במובן בסיסי מאוד של אין-סוף.

(ואולי בגלל זה דקארט החשיב כל כך את האינסוף בהגיונות, שכן זה מושג מאוד חריג)

מיכי הגיב לפני 3 חודשים

אתה חושב על זה לא נכון. לא עוברים אינסוף צעדים. מושג הגבול לא מניח זאת. מה שהוא אומר זה שככל שתגדיל את מספר הצעדים (=מספר הצעדים גדול כרצונך) תתקרב ל-1 ואף פעם לא תעבור אותו. כלומר אין מספר צעדים סופי כלשהו שיביא אותך ל-1 אבל לכל מספר קטן מ-1 שתבחר יש מספר סופי של צעדים שמספיק כדי לעבור אותו.

מיכאל הגיב לפני 3 חודשים

גם מספרים אי רציונלים מיוצגים על ידי גבול של סדרה אינסופית. ועדיין גם שורש 2 וגם פאי יש להם אורך סופי. ושם זה יותר מודגש ומשמעותי מאורך שניתן לחלק אותו לאינסוף חלקים.

mikyab צוות הגיב לפני 3 חודשים

הסברתי לך מה ששאלת. תוכל לראות שהגדרתי את מושג הגבול בלי להיזקק למושג אינסוף. כל מה שאתה כותב כאן לא רלוונטי לדיון שלנו. ואידך זיל גמור.

השאר תגובה