אפריוריות המתמטיקה
שמעתי טענה כנגד מעמדה האפריורי של המתמטיקה. הטענה נתלית בהמצאת/גילוי הגיאומטריות הלא אויקלידיות, המתארות את המציאות האמיתית (לדברי הטוען). לכאורה החידוש הזה מקעקע את המעמד האפריורי (והדדוקטיבי) שמבקשים להקנות למתמטיקה.
לא השתכנעתי כי:
1. גם אם המערכת האויקלידית הישנה היא חסרה או בעייתית אין זה אומר שהיא מערכת לא אפריורית
2. אם התגלתה הגיאומטריה "האמיתית" של העולם (נניח הרימנית) הרי היא בעצמה אפריורית.
3. יש פילוסופים של המדע הסוברים שדווקא המערכת האויקלידית היא אמיתית ומתארת נכונה את המציאות הפיזיקלית ולכן היא גם אפריורית (מה שלא בא על חשבון מערכות מקבילות)
מסכים? לא מסכים? גם וגם…?
או שלא הבנתי את הטענה או שהיא ממש טיפשית. איני רואה כאן טענה וממילא גם לא על מה יש לענות כאן.
הטענה (לא שלי) שהמתמטיקה איננה אפריורית, או לפחות בחלקה אינה כזו. אני מבין שלדעתך הוא טועה?
הוא ניסה להדגים זאת באמצעות העובדה שהתגלו גיאמטריות לא אויקלידיות
מה הקשר בין גיאומטריות לא אוקלידיות לאפריוריות של המתמטיקה? אם בכלל הייתי רואה אנטי קשר, וגם זה לא בטוח.
ולכן אתה מסכים איתי שהמתמטיקה אפריורית?
כשלעצמי כן. אבל בלי קשר לזה איני מדוע גיאומטריות אחרות הן טענה נגד זה.
אני חושב שהאדון ההוא חשב שאם בכלל יכול היה להתקיים ידע אפריורי – לשיטתו הוא כנראה לא יכול להתקיים – הוא חייב להיות חסין מכל רביזיה. על סמך ההנחה המוטעית הזו הרביזיה ההיסטורית שעברה הגיאומטריה הקלאסית (למעשה החלפתה) התפרשה אצלו כעדות לכך שמלכתחילה היא לא הייתה אפריורית. כך הוא ביקש "להוכיח" שההבחנה שאני עצמי עשיתי בין אפריורי לאמפירי היא הבחנה כושלת אפילו בזירה של מדע דדוקטיבי חמור כמו המתמטיקה.
אתה מבין… ואחר כך אנחנו מבקשים להכריע את החמאס… שהשם ירחם ויציל
כעת הבנתי את כוונתו. אבל יש כאן ערבוב. המתמטיקה לא אומרת שבין שתי נקודות עובר קו ישר אחד או שמקבילים לא נפגשים (האקסיומות של הגיאומטריה האוקלידית). היא אומרת שאם מאמצים את ההנחות הללו, או במרחב ישר שבו חלות ההנחות הללו, מתקיימות תיאורמות שונות (למשל שסכום הזוויות במשולש הוא 180). זה הכרח אפריורי, ולא עצם ההנחות. לכן גיאומטריות שונות לא נוגעות לזה בשום צורה. הן פשוט מתארות מרחבים אחרים וממילא יש להם תכונות אחרות.
אוקיי, ואיך תתאר את המעמד של אותן הנחות יסוד (בין שתי נקודות עובר קו ישר אחד וכו') המקיימות את אותן תיאורמות? אפריורי או אמפירי?
אין להן שום מעמד, כי הם לא טענות. אלו הנחות היפותטיות, ומה שמעניין את המתמטיקאי הוא אם הן מתקיימות מה תהיינה התוצאות (התיאורמות). כשתבוא לטעון על העולם שהוא אוקלידי או לא, זו לא טענה במתמטיקה אלא בפיזיקה, וזו כמובן טענה אמפירית שעומדת להפרכה.
אז אם נפעיל את עיקרון החסד על אותו אדון אולי נוכל לומר שכוונתו הייתה בעצם לאותן הנחות היפותטיות שעליהן מיוסדת הגיאומטריה..? כי הרי לשיטתך הללו הן אמפיריות. אך כמובן שאם נעשה זאת כבר יצאנו מתוך המתמטיקה ואז ממילא נופלת טענתו ש"המתמטיקה (או לפחות הגיאומטריה) איננה אפריורית"… לא כך?
דרך אגב, האם לדעתך ניתן לטעון שהנחות היסוד הללו (שעל גבן המתמטיקאי בונה תיאורמות) אמנם אינן חלק מהמתמטיקה אבל גם אינן חלק מהפיזיקה? שמא ניתן למקמן כתשתית לוגית או מטפיזית למתמטיקה?
לא. אם זו טענה על העולם היא אמפירית ואם הנחה מתמטית זוהי לא טענה אלא הנחה היפותטית.
השאר תגובה
Please login or Register to submit your answer