הפרדוקס של בנך-טרסקי

לאביתר כהן מדין שלום וברכה
זה דיי נדיר שמיכי לא עונה אך כבר אמרו חכמינו במקום שאין איש … ואומנם לא למדתי ליבה בקטנותי, מ״ השלמתי אותם בין גברא לגברא במקום שפטור ממזוזה וחיוב ת״ת, ואף הוספתי עליהם את כל תחומי המדעים הנלמדים כיום ב2025 באוניברסיטאות בעולם אשתדל לתת לך מענה מסודר (הייתרון שלי על פני מיכי זה שלי אין הגבלה בזמן כמו מיכי , מאחר ואני לא צריך לענות על כמויות של שאלות כאן בבלוג חדשים לבקרים כך שמן הסתם אני יכול לתת לך תשובה יותר מפורטת ),
התופעה שאתה מתאר — פרדוקס בנאך–טרסקי — היא דוגמה מצוינת למקום שבו אנשים מתבלבלים בין שני עולמות שונים: העולם המתמטי והעולם הפיזיקלי. הבלבול ביניהם הוא מקור כל ה"פרדוקס", ולא איזו בעיה עמוקה במתמטיקה עצמה.
1. מה באמת הוכחתם?
המשפט של בנאך–טרסקי אינו אומר שאפשר לקחת כדור אמיתי, עם חומר ומסה, לפרק אותו ולייצר שני כדורים.
הוא אומר משהו הרבה יותר צנוע (וגם הרבה פחות אינטואיטיבי):
במסגרת אקסיומות מסוימות, קיימות קבוצות של נקודות במרחב שאין להן נפח מוגדר, וכאשר מחליפים ביניהן באמצעות טרנספורמציות איזומטריות, מבנה הנפח הרגיל פשוט מפסיק להתנהג כמו שאנחנו מצפים.
זה לא “פרדוקס”, אלא תוצאה לוגית מושלמת וחלקה.
הבעיה מתחילה רק כשהקורא מנסה לזהות בין “כדור מתמטי” לבין “כדור פיזיקלי”.
מכיוון שאין שום קשר בין השניים, אין כאן שום פרדוקס.
2. מה זה אומר על אקסיומת הבחירה?
אקסיומת הבחירה אינה “לא אינטואיטיבית”.
היא אינטואיטיבית מאוד — כל אחד משתמש בה בשפה טבעית בלי לשים לב.
הבעיה היא לא בבחירה, אלא בתוצאות שהיא מאפשרת כשעובדים עם מרחבים אינסופיים רציפים לחלוטין.
כאשר אתה עובד עם מרחב שבו:
לכל נקודה יש קיום מוחלט,
ואין מגבלה קונסטרוקטיבית,
ואין אטומים,
— אז כללי המשחק שונים לגמרי מן העולם הפיזיקלי.
בדיוק כמו שאתה יכול לחשב אינטגרל של פונקציה שאינה ניתנת לרישום בפועל, אבל מוגדרת לוגית.
האם זה לא אינטואיטיבי?
בוודאי.
אבל האשמה היא באינטואיציה, לא במתמטיקה.
3. האם יש כאן סתירה בין אינטואיציה פיזיקלית למתמטית?
בוודאי שיש סתירה.
למעשה, הסיבה היחידה שאתה מרגיש שיש כאן “משהו מוזר” היא שאתה מערבב שתי אינטואיציות שלא מדברות באותה שפה.
האינטואיציה המתמטית עובדת על עולם:
אינסופי,
נטול חומר,
ללא מגבלות בנייה,
שבו ניתן לדבר על קבוצות שאינן מדידות כלל.
האינטואיציה הפיזיקלית עובדת על עולם:
אטומי,
דיסקרטי במידה מסוימת,
עם שימור מסה ונפח.
לדרוש שהאחת תכבד את כללי המשחק של השנייה — זה כמו להאשים את האסטרולוגיה בכך שהיא לא תואמת את הפיזיקה, או את הפיזיקה בכך שהיא אינה מתחשבת בשחמט.
אין שום סיבה שהאינטואיציה הפיזיקלית תשלול משפט מתמטי שמתקיים במודל לוגי אחר.
4. אז מה “אמור להידחות” מפני מה?
שום דבר לא אמור “להידחות”.
הכלי המתמטי לא בא לתאר את המציאות, אלא לבנות מודלים.
הפיזיקה משתמשת במודלים שמתאימים למציאות.
במתמטיקה מותר ואף רצוי להשתמש במודלים שלא מתאימים למציאות — משום שמתמטיקה איננה מדע אמפירי.
אם מחר תקום פיזיקה חדשה שבה פרדוקס בנאך–טרסקי מפריע — פשוט יעבדו עם מודל אחר של מרחב.
כבר היום יש ענפים שלמים שמתנהלים בלי אקסיומת הבחירה או עם גרסאות חלשות שלה.
וזה בסדר גמור.
המתמטיקה לא מחויבת לעולם, והעולם לא מחויב למתמטיקה.
5. נקודה פילוסופית אחרונה
הטעות הגדולה היא להניח שהמתמטיקה מתארת את העולם “כפי שהוא”.
היא לא.
היא תיאור של עולם אידאלי, מושלם, רציף, שלרוב רחוק מאוד מן המציאות.
זה לא פגם — זו תכונה.
לכן, כשמגלים תוצאה “מוזרה”, כמו בנאך–טרסקי, אין כאן שום אירוע פילוסופי מטלטל.
זו פשוט עדות לכך ש:
העולם המתמטי הוא אוסף של מודלים לוגיים שאינם תלויים במציאות, ואינם מחויבים להיות אינטואיטיביים.
לשאול “איך זה יתכן בעולם האמיתי” — זה כמו לשאול איך ייתכן לוגית שפולינום ממעלה שלישית תמיד חוצה ציר, אבל בפועל אין לי חוט כדי למתוח גרף על גבי כדור הארץ.
זו פשוט שאלה לא נכונה.

לגבי הערך בוויקיפדיה, הוא קיים אלא שכנראה אי-אפשר לתת קישור. הערך נקרא "הפרדוקס של בנך-טרסקי".