אינדוקציה – המשך: על מובהקות מקרית (טור 730)

בס"ד

 

בטור הקודם עסקתי בהכללות בהלכה ובכלל, עמדתי על הבעייתיות שיש בהליכי הכללה ואת הדרכים שנוקטים כדי להימנע מהן. ראינו את משמעויותיהן של האינטואיציה והסברה האפריורית בנושא ההכללות. הדיון נערך דרך הסוגיות שעוסקות בחזקת ג פעמים. אחת הדוגמאות שמובאות בגמרא לחזקת ג פעמים הוא מצב שבו אישה נישאה שלוש פעמים ובכל הפעמים מת בעלה מיד אחרי הנישואין. במצב כזה אנחנו אוסרים עליה להינשא שוב, ולפי דעת רב אשי (ביבמות סד ע"ב) שגם נפסקה להלכה, זה נובע מחשש שמזלה גורם למות בעליה, ולכן חוששים שגם בעלה הבא ימות. הסברתי שם שמדובר בחשש ולא במסקנה פוזיטיבית, ויסוד החשש הוא ממצאים מובהקים סטטיסטית. הישנות של מקרה שלוש פעמים היא מספיק מובהקת כדי ליצור חשש.

אחת ממשמעויותיהן של סברות אפריוריות שלנו בתהליך ההכללה היא שבמקום שבו אין לנו הסבר סביר ששוזר את שלושת המקרים לא נעשה הכללה. עוד הסברתי שהחשש של רב אשי שמזלה גרם אינו ירייה באפלה. הוא לא מדבר על מזל במובן של אקראיות אלא במובן של השפעת הכוכבים. בעקבות דברי המקור חיים בהל' פסח שהובאו שם הראיתי שכשאין שום הסבר לא נעשה הכללה. כך למשל אם נמצא שבתי הספר המוצלחים כולם בעלי שם שמתחיל באות שבין א – ח, לא נסיק מכאן שכדאי לשנות את שמות בתי הספר כדי לשפר את הישגיהם. מדוע? מפני שאפריורי לא סביר בעינינו ששמו של בית הספר רלוונטי להישגיו. כמו כן, טענתי שבמבט המדעי שלנו כיום אין השפעות של כוכבים, ולכן אם הייתי רואה אישה ששלושה מבעליה מתו מיד אחרי הנישואין (באופן שברור שלא היא רצחה אותם ושלא מתו בעקבות המגע עמה), לא הייתי חושש שמזלה גרם ולא הייתי אוסר על הרביעי להינשא לה. אני הייתי מעדיף לומר שמדובר במקרה בעלמא (כלומר המזל שגרם לכך הוא 'מזל' במובנו המודרני. ולא השפעת כוכבים).

זה כמובן מעורר שאלה האם אין כאן קיבעון מחשבתי. לכאורה יש נתונים מובהקים שמורים על כך שהמזל כן משפיע (כזכור, ההנחה ההלכתית היא ששלוש הישנויות אינן מקרה), ובכל זאת אני מתעקש להניח כמובן מאליו את ההנחה המדעית שלכוכבים אין השפעה כזאת על חיינו, ומתבצר בהנחה זו אפילו כנגד נתונים סטטיסטיים מובהקים. לכאורה אני מסרב לעשות הכללה גם במקום שהיא מתבקשת. טענתי שם שמדגמים כאלו הם מקריים ולכן למרות המובהקות לכאורה שיש בנתונים, לא נכון לראות בהם בסיס טוב לביצוע הכללה שכן אין כאן הסבר סביר ששוזר את המקרים. הסברה האפריורית דוחה את המובהקות הסטטיסטית ומובילה אותנו למסקנה שבכל זאת מדובר במקרה.

בטור הזה אנסה להסביר את ההיגיון שבגישה הזאת, ולמה לא מדובר כאן בסתם שמרנות וקיבעון מחשבתי. אציע שני מבטים על התופעה (בהמשך נראה שיש קשר ביניהם): חוק המספרים הקטנים והרחבת המבט.

הסבר א: חוק המספרים הקטנים

ישנה תופעה סטטיסטית שחשוב לתת עליה את הדעת, שקשורה בצורה כלשהי לחוק המספרים הקטנים, גם כשאינם קטנים כל כך, ומתוכה מתברר שגם תופעה מובהקת יכולה להיות מקרית.

חשבו על הדוגמה שראינו בטור הקודם, שבה בתי הספר שהגיעו להישגים הגבוהים ביותר הם קטנים. ראינו שמסוכן להסיק מכאן שבית ספר קטן מועיל לשפר את ההישגים. אמנם שם תליתי זאת בכך שהייתה שם טעות סטטיסטית, שכן לא הסתכלו על בתי הספר שהגיעו להישגים הגרועים ביותר (שגם הם היו קטנים). ראינו ששני זנבות הגאוסיין יכילו את המקרים שבהם המספרים הם קטנים (בתי ספר קטנים או עיירות קטנות לגבי תחלואת כליה).

אך מה אם באמת היינו רואים שעשרת בתי הספר המוצלחים הם בתי ספר קטנים, והגרועים אינם קטנים. האם אז נכון להסיק שבית ספר קטן מועיל לשיפור ההישגים? יש בזה היגיון, ובכל זאת חשוב להבין שאין מצב שבו לא אוכל למצוא כלל כלשהו ששוזר את כל בתי הספר המוצלחים. למשל, שכל אחד מהם נמצא במקום אי זוגי ברשימת בתי הספר במדינה. או האות הראשונה בשמם היא בין א-ח. או שלכולם יש גדר מחומר שאינו עץ, מנהל בגובה מעל 1.80 מ' וכדומה. לא תהיה רשימה של בתי ספר, או רשימה של עיירות עם תחלואה נמוכה, שלא אוכל להסביר אותה אד הוק בצורה כזאת על בסיס פרמטר שרירותי כלשהו. תמיד יימצא פרמטר כזה.

בטור הקודם (בסעיף "הקושי במסקנה זו") הזכרתי את טור 482 שבו עסקתי באופן כללי בתופעה הזאת, וכאן אפרט מעט יותר. חשבו על סדרת המספרים …3,5,7. מה המספר הבא? לכאורה 9, שכן נראה כי מדובר כאן בסדרת האי-זוגיים. אבל בה במידה יכולתי להציע את 11, ולהסביר שמדובר בסדרת הראשוניים (אלו שמתחלקים רק בעצמם וב-1. 9 אינו ראשוני שכן הוא מתחלק ב-3). אז מי צודק? אין כאן צודק, שכן שני ההסברים אפשריים. בטור הנ"ל הראיתי שהדבר נכון לכל סדרת מספרים שתבחרו, שכן לכל סדרה כזאת ניתן למצוא אינספור כללים שמסבירים אותה, וכל כלל כזה יכתיב מספר נוסף שונה. זה בדיוק כמו שהערתי לגבי בתי הספר בעלי ההישגים הגבוהים. ניתן לתלות את הרשימה בכך שהם קטנים, או שיש להם גדר מעץ או שהמנהל הוא בגובה מעל 1.80 מ' וכך אינספור אפשרויות הסבר כולן מתאימות. אני מניח שבכל זאת נבחר בהסבר שכולם קטנים, שכן יש לנו סיפור טוב מאחוריו. נראה לנו שהפרמטר הזה, להבדיל מכל האחרים, הוא רלוונטי.

הרי לכם שהסברה האפריורית מכתיבה האם נעשה הכללה וכיצד. בטור 715 ראינו זאת מזווית אחרת, והסברתי שללא אינטואיציות ראשוניות שום הכללה מדעית אינה באפשר. המסקנה היא שכהנמן אמנם צודק באומרו שקיומו של סיפור טוב יכול להטות אותנו למסקנות שגויות, אבל בו בזמן סיפור כזה הוא מאד חשוב כאשר אנחנו רוצים לבחור בין כמה אפשרויות הכללה. כפי שראינו בטור הקודם, התפיסה האפריורית שלנו לגבי הרלוונטיות של הפרמטר המסביר לתופעות המוסברות מאד חשובה. בלי האלימינציה האפריורית הזאת תמיד יהיו לנו אינספור הסברים לכל ממצא. הטעות שעליה מצביע כהנמן היא שלפעמים אנחנו בוחרים סיפור טוב כשיש סיפור אחר לא פחות טוב, או שלפעמים הסיפור הזה מטה את הניתוח הסטטיסטי שלנו (כמו בדוגמאות של הישגי בתי הספר והתחלואה). זה כמובן אסור שיקרה. אבל בהינתן כמה אפשרויות הכללה, לעולם הסיפור שנראה לנו אפריורית הכי טוב הוא שיכתיב את כיוון ההכללה.

ומה אם אין לנו סיפור טוב? כלומר אם ברור לנו אפריורי שלדוגמאות שראינו אין קו מחבר ואין הכללה שמסבירה אותן? במקרה כזה, באמת לפעמים נוותר על ההכללה למרות שיש מראית עין של מובהקות. לכן במקרה של אישה שמתו שלושה מבעליה או במקרה של הסבר להישגים של בתי הספר לפי האות הראשונה בשמם, אני מעדיף את הפרשנות שמדובר במקרה ולא לתלות זאת במזל (השפעת הכוכבים) או בגורמים מוזרים אחרים שאין לי שום אינדיקציה לקיומם. זה לא קיבעון מחשבתי אלא אלימינציה רציונלית שאכן מבוססת על ההנחות האפריוריות שלנו. עלינו להיות פתוחים לכך שהן לא נכונות, אבל כל עוד זה לא התברר בצורה מובהקת, לא הייתי מזלזל בהן.

הסבר ב: הרחבת המבט

נתבונן על כך מזווית אחרת. עובדה היא שאנשים שונים מתים בצורות שונות ומסיבות שונות ומשונות (שלפעמים לא ידועות לנו ולפעמים כן). בסקירה כאן תוכלו לראות שיש מהפוסקים שמדברים על מיתת הבעל בכל שלב שהוא אחרי הנישואין (כלומר גם אם הם מתו מזקנה אחרי 50 שנה), אבל זה באמת נראה מופרך לחלוטין. אז לצורך הפשטות נדבר על מיתה בשנה הראשונה לנישואין. זה כמובן יכול לקרות באופן מקרי לחלוטין.

אם כן, נניח כעת לצורך הדיון שמצאנו סטטיסטית שבאחד מכל מאה זוגות נשואים הגבר מת בשנה שאחרי הנישואין. בכל מקרה כזה שבו הגבר מת נותרת אחריו אישה. כלומר יש לנו כ-1% נשים באוכלוסייה, שבעליהן מתו בשנה הראשונה. כעת מגיעה אחת מהן ורוצה להינשא בשנית. האם יש היגיון לאסור זאת עליה? ברור שלא. מיתה של בעל אחד ודאי לא מהווה אינדיקציה לחשש שמזלה של האישה גרם למות הבעל, ואין היגיון לאסור על אדם אחר להינשא לה. גם בלי שום מזל מיוחד שלה יש מיתות טבעיות של גברים ואיתרע מזלה (במובן האקראי) שגבר כזה נפל בחלקה. נניח שיש לנו מיליון נשים נשואות במדינה, אזי מתוכן יש כעשרת אלפים נשים שבעליהן מתו בשנה הראשונה לנישואין. אם כן, כשאנחנו רואים אישה שבעלה מת, האם סביר לחשוש שמזלה גרם למותו ולאסור עליה להינשא שוב? ברור שלא. זוהי סטטיסטיקה של מיתות של גברים בלי קשר למזלה של האישה. שימו לב, למרות שמדובר כאן על סיכוי של רק  1% שבעל כזה ימות, ברור שהסיכוי לכך שמזלה של האישה גרם למוות הוא אפסי. גם בלי שום השפעות של המזל יש עשרת אלפים נשים כאלה, והאישה הזאת היא אחת מהן. זהו מזל במובן המודרני (אקראיות) אבל אין שום סיבה להניח שמדובר בהשפעה של הכוכבים.

כעת נשאל מה לגבי אישה שמתו שניים מבעליה? אם מזלה גרם זה אומר שיש סיבה משותפת למותם של שני בעליה (מזלה של האישה). אבל שימו לב שגם אם אין שום השפעה של מזל ומדובר בסטטיסטיקה של מוות של גברים בשנה שאחרי הנישואין, עדיין תהיינה מאה נשים באוכלוסייה ששני בעלים שלהן ימותו בשנה הראשונה לנישואין. לכן אם ראינו אישה שמתו שניים מבעליה, אין שום סיבה לחשוב שמזלה גרם לכך. היא אחת מתוך מאה הנשים שצפויות להימצא במצב כזה (מתוך מיליון הנשים במדינה), ולכן כשפוגשים מישהו כזאת זה לא אמור לעורר בנו שום חשש או חשד שמדובר במישהי עם מזל קטלני. זוהי תוצאה סטטיסטית מתבקשת בלי שום קשר לכוכבים ומזלות.

אם היינו רואים שבמקום כלשהו מספר הנשים שממיתות בעלים גבוה בהרבה מהסטטיסטיקה המקובלת בעולם, זה סיפור אחר. וגם שם היה עלינו לעשות רגרסיות כדי לשלול את האפשרות שזה מקרה (מקום קטן יכול להביא לתוצאות כאלה) או שיש סיבה אחרת שגרמה לכך. לחילופין, אם תגיע לפנינו אישה אחת שימותו לה עשרה בעלים בשנה הראשונה, וכשנבדוק מסביב נראה שאין אף אישה שמתו לה שמונה בעלים, או שבעה או שישה או חמישה, אז יש מקום לחשד (אם כי גם שם הייתי מעדיף לחשוד שהיא הרגה אותם ולא שמזלה גרם). אלו אינדיקציות סטטיסטיות מובהקות שיכולות לגרום לנו לעשות הכללה. אבל בהתפלגות רגילה של מיתות ברור שתהיינה לא מעט נשים באוכלוסייה שימותו להן שני בעלים, ולכן כשאחת מהן תבוא לפנינו אין שום סיבה לחשוש לכלום. זה לא אומר מאומה על גורלו של הבעל הבא של אישה כזאת. דעת רבי שחושש אחרי מיתה של שני בעלים של אותה אישה נראית מופרכת בעליל.

מה קורה אם שלושה מבעליה של האישה היו מתים? נראה שכאן אנחנו כבר בגבול הסטטיסטי, שכן אם מדובר בהתפלגות מקרית של מיתות של גברים, יש לנו רק סיכוי של 1 למיליון שימותו שלושה בעלים לאותה אישה במהלך השנה הראשונה אחרי הנישואין. כלומר רק אצל אישה אחת מתוך המיליון שיש במדינה זה יכול לקרות, אבל רק אחת. זה כבר מקים בסיס כלשהו לחשד, ושם היה מקום להתחיל לחשוש (אם כי לא להחליט פוזיטיבית כמובן). במצב כזה, אפילו ללא שום ראיות בשלושת המקרים, גם רשב"ג כבר מזהיר את האישה הרביעית לא להינשא לברנש המסוכן הזה. תוכלו כעת להבין מה יסוד המחלוקת בין רבי (שיוצר חזקה אחרי שני מקרים) לבין רשב"ג (שסובר שהיא נוצרת אחרי שלושה). השאלה היא ממתי מתחיל חשש סביר, וברור שאין כאן קו סטטיסטי חד.

אבל דומני שבמספרים שנתתי כאן גם אם היו מתים שלושה בעלים לא הייתי חושש. לפחות אם אכן יש באוכלוסייה עשרת אלפים עם בעל מת אחד ומאה עם שני בעלים מתים, אז כשמצאתי אחת עם שלושה בעלים מתים אין סיבה להניח שזו אינה תוצאה של התפלגות המיתות הצפויה באופן מקרי. גם כאן לא הייתי חושש לכלום. אם לא היו נשים עם בעלים מתים בשנה הראשונה בכלל ויש רק אחת עם שלושה בעלים מתים, כולם בשנה הראשונה, זה כבר אמור לעורר בנו חשד.

זוהי תופעת הרחבת המבט. כשמרחיבים את המבט מעבר למקרה שבפנינו ובוחנים את ההתפלגות באוכלוסייה כולה, מגלים שהמקרה שבמבט ראשוני נראה לנו לכאורה מובהק, אינו אלא מקרה צפוי סטטיסטית. זהו ההסבר למסקנתי מסוף הטור הקודם שבמקום שבו אין סיבה לחשוד שיש הסבר משותף מאחורי כל ההישנויות נכון יותר להניח שמדובר במקרים בעלמא. זו אינה עקשנות אלא חשיבה רציונלית.

דוגמה מהחיים: שמעון קופר ושלוש נשותיו

ידידי הטוב, השופט בדימוס מנחם פינקלשטיין, ישב בראש הרכב שעסק במקרה דומה. נכתב על כך אפילו ספר, לתפוס רוצח, מאת עמרי אסנהיים שגם עשה תחקיר טלוויזיוני על הפרשה (ודרכו היה לו אפילו חלק כלשהו בהרשעה). אדם בשם שמעון קופר הורשע בשנת 2016 ברצח אשתו הראשונה (הרצח הזה קרה בשנת 1994) וברצח אשתו השלישית (שאירע בשנת 2009). בתחילה, התיק על השלישית נסגר מחוסר ראיות, אבל אז התגלו ראיות נוספות והוא הורשע. חלק מההרשעה ברצח אשתו הראשונה נסמך על כך שהוא הורשע ברצח השלישית (כששתיהן היו בריאות לחלוטין ומתו פתאומית). ממש חזקה אלא כאן זה קרה אחרי פעם אחת. אגב, בהמשך נחקר קופר גם בחשד לרצח אישה נוספת, ניצולת שואה שהוא נחשד בכך שרצה לעשוק אותה.

מה היה קורה אם הייתה מתה אישה שלישית שלו? איני יודע האם די היה בשתי הרציחות הללו כדי להרשיעו על השלישית. לכאורה לפי רבי יש לזה מקום, שהרי רבי מבסס חזקה על הישנות פעמיים. אבל די ברור שזה לא נכון. רבי מדבר על חשד וחשש ולא על מסקנה פוזיטיבית. כלומר רבי היה מזהיר אישה שהייתה רוצה להינשא לקופר דנן והיה אוסר עליה זאת בגלל החזקה. אבל הרשעה ברצח דורשת מסקנה פוזיטיבית. בשיחות שהיו לי עם פינקלשטיין באותה תקופה עסקנו לא מעט בתופעות סטטיסטיות כאלה. אביא כעת כמה מהדוגמאות שהבאתי לו אז.

א. הברבור השחור

נאסים טאלב, בספרו הברבור השחור, עמד על תופעה דומה. חשבו על משקיע בעל הצלחה יוצאת דופן כמו וורן באפט. אני מניח שתסכימו שיש לו יכולות והבנה פנטסטיות בתחום של השקעות פיננסיות והערכת הצלחה של חברות שונות. למרבה הפלא, טאלב מערער על המסקנה הזאת, והטיעון שלו הוא הבא.

חשבו על שוק שמורכב כולו מאוסף של משקיעים שכולם חסרי כל הבנה ויכולות בתחום, וכל אחד מהם מחליט בצורה אקראית לגמרי במה להשקיע את כספו. לצורך הדיון נניח שמתוך עשרה משקיעים כאלה אחד ירוויח באופן עקבי במשך חודש שלם. אחד מתוך מאה משקיעים כאלה ירוויח עקבית במשך שנה. אחד לאלף ירוויח עקבית במשך עשר שנים. אחד לעשרת אלפים במשך שלושים שנה, ואחד למיליון ירוויח עקבית לאורך מאה שנה. נניח לצורך הדיון שוורן באפט מרוויח באופן עקבי כחמישים שנה. האם זה אומר שיש לו כישרון והבנה יוצאי דופן? לא בהכרח. ייתכן שהוא סתם משקיע אקראי, והרי יש מיליוני משקיעים בעולם. באופן סטטיסטי, אחד מהם אמור להרוויח במשך מאה שנים רצופות גם ללא שום כישרון. אם כך, ייתכן שוורן באפט הוא נטול כל כישרון, והרווחים שלו נובעים מכך שהוא פשוט האחד הזה. טענתו של טאלב היא שייתכן כי מזלו של באפט גרם (אבל לא במובן של השפעת הכוכבים, אלא במובן של אקראיות).

זוהי כמובן שוב תופעת הרחבת המבט. גם כאן כשמרחיבים את המבט מעבר למקרה שבפנינו ובוחנים את ההתפלגות באוכלוסייה כולה, מגלים שהמקרה שבמבט ראשוני נראה לנו לכאורה מובהק, יכול להיות מקרי לחלוטין, באופן שנובע מחישוב סטטיסטי פשוט. אמנם אם היינו מרחיבים מבט ומגלים שבאפט הוא בולט במיוחד, כלומר שאין בכלל משקיעים שהצליחו ארבעים, שלושים או עשרים שנה, או נראה שהוא ממשיך להרוויח לאורך עוד ועוד שנים כשכל השחקנים האחרים לצמידו נושרים מהלוח, או אז ייתכן שנכון יהיה להסיק שהצלחתו מעידה על יכולות יוצאות דופן. אבל כדי להגיע למסקנה הזאת עלינו להרחיב את המבט. במבט צר שמתמקד במקרה הנדון בלבד אי אפשר להסיק שום מסקנה. למרות שלכאורה יש כאן מובהקות מרשימה, זה יכול להיות מקרה בעלמא.

אגב, גם על המסקנה הזאת ניתן לערער. ייתכן שגם אם מוצאים את הפירמידה של ההצלחה שתיארתי, מה שגורם לה הוא התפלגות הכישרונות של המשקיעים (ולא התפלגות של הצלחות מקריות בלי קשר לכישרון). לכן סטטיסטיקה של הצלחה של משקיעים גם לא בהכרח אומרת את מה שטאלב אומר. אבל האפשרות שהוא מעלה באמת קיימת, וזה מה שחשוב לענייננו. הדבר מחייב אותנו לחשוב היטב לפני שאנחנו מסיקים מסקנות מתוך שרשרת אירועים שנראית על פניה מובהקת. כך גם לגבי חזקות ג פעמים, ישנה אפשרות שלמרות ההישנות המובהקת לכאורה בעצם מדובר במקרה.

ב. בדיקות לתופעות נדירות

בטור 144 ובמאמרי שלונקק שם, עמדתי על טעות דומה לגבי תסמונת מינכהאוזן על ידי שליח, ולגבי פרשנות לתוצאות של בדיקות רפואיות של מחלות נדירות. חשבו על אדם שמגיע לרופא והלה חושד שיש לו מחלה נדירה כלשהי, שנדירותה באוכלוסייה היא אחד למיליון. הוא שולח את הפציינט לערוך בדיקה שאמינותה היא 1% לשני הכיוונים (כלומר אחוד אחד מהחולים יימצא בריא – false positive, ואחוז אחד מהבריאים יימצא חולה – false negative). בבדיקה הוא נמצא חולה. הוא חוזר לרופא עם תוצאות הבדיקה, מה על הרופא לעשות במצב כזה? זכרו שמדובר בבדיקה אמינה מאד, שכן הסיכוי לטעות בה הוא 1%. במילים אחרות: מה הסיכוי שהברנש באמת חולה? מתברר שהסיכוי לכך זניח, והרופא יכול לשלוח אותו הביתה שמח וטוב לב בלי שום חשש. הנה ההסבר.

נניח שיש לנו מיליון איש באוכלוסייה, ואנחנו שולחים את כולם לעשות את הבדיקה הנ"ל. שכיחות המחלה היא 1%, כלומר יש רק חולה אמיתי אחד. כמה מהנבדקים ייצאו עם תוצאה חיובית? עשרת אלפים, שכן הטעות היא 1%, ולכן מתוך מיליון בריאים ייצאו 10,000 עם תוצאה חיובית כאילו הם חולים. אבל מתוכם יש רק אחד שהוא חולה באמת. לכן אם תוצאות הבדיקה שעשיתי הן חיוביות, הסיכוי שאני חולה הוא אחד לעשרת אלפים. סיכוי זניח לגמרי. לכאורה תוצאת הבדיקה שלי היא מובהקת לחלוטין, שהרי הסיכוי לטעות הוא 1%, אבל בכל זאת מדובר במקרה גמור. שימו לב שזו ממש אותה תופעה כמו הברבור השחור שפגשנו למעלה. תוצאה שנראית מובהקת, אבל בהרחבת מבט מגלים שהיא מקרית לחלוטין ואין להסיק ממנה שום מסקנה. אם יש מחלה ששכיחותה היא אחד למיליון אזי אין בכלל טעם לערוך לגביה בדיקה שאמינותה היא 1%. בדיקה שאמינותה היא 1 למיליון מתחילה להיות אינדיקטיבית (עדיין הסיכוי לטעות הוא 50%). אמינות הבדיקה צריכה להיות מסדר גודל של שכיחות המחלה. אני נוהג לתאר זאת כרשת שמטרתה לתפוס דגים, שם ברור שגודל החורים ברשת (הסיכוי לטעות) צריך להיות פחות מגודלם של הדגים (שכיחות המחלה).

לחלופין, אם יש אינדיקציה אחרת כלשהי, חלשה ככל שתהיה, לכך שאני חולה (וזה בדרך כלל המצב אם הרופא שולח אותי לעשות את הבדיקה), זה כמובן משנה לגמרי את המצב. מדוע? מפני שבתוך קבוצת אלו שיש להם את האינדיקציה ההיא שכיחות המחלה כבר הרבה יותר גבוהה, ולכן בדיקה באמינות של 1% כבר מספיק טובה. אם נניח שאחד מכל עשרה שיש להם את הסימפטום הזה הוא חולה, מה שכשלעצמו הוא אינדיקציה די חלשה, אבל זה הופך בדיקה באמינות של 1% לבדיקה טובה דיה (סיכוי טעות של 10%).

הדברים אמורים גם לגבי ראיות משפטיות. נניח שאדם נאשם ברצח, ומובאת נגדו ראיה באמינות של 99%. מה הסיכוי שהוא באמת הרוצח? זניח לחלוטין. אחוז הרוצחים באוכלוסייה הוא אפסי, ולכן כדי להרשיע רוצח צריך ראיה באמינות גבוהה משמעותית מהשכיחות הזאת (כלומר חורים קטנים דיים ברשת הראייתית). אבל כשמעמידים מישהו לדין זה נעשה מפני שיש אינדיקציה כלשהי לכך שהוא הרוצח, למשל שהייתה לו הזדמנות (הוא היה בסביבה). מבין עשרה אנשים שהיו בסביבה, אחד הוא הרוצח, כלומר בקבוצה הזאת השכיחות היא 10%, ולכן ראיה של 99% כבר מתקרבת להיות טובה דיה.

פעם הסברתי כך את הכלל המשפטי שלפיו מרשיעים אדם בהודאת עצמו רק אם יש תוספת של 'דבר מה' נגדו. מה ההיגיון בכלל הזה? אני מניח שמשפטנים לא ממש יודעים להסביר זאת (כמו שרופאים רבים לא באמת מודעים ליחס הדרוש בין אמינות הבדיקה לבין שכיחות המחלה. בשנים האחרונות כבר מלמדים את זה בבתי"ס לרפואה), אבל דומני שזהו ההסבר. הסיכוי שאדם ישקר וירשיע את עצמו סתם הוא אפסי. אבל גם אחוז הפושעים הוא אפסי, ולכן הודאה אינה ראיה מספיק טובה. אבל אם יש דבר מה נוסף שמהווה אינדיקציה לכך שהוא אכן פשע, זה מקטין מאד את הקבוצה ומגדיל את השכיחות, וכעת ראיה טובה כמו הפללה עצמית הופכת להיות אמינה דיה.

ג. תסמונת מינכהאוזן על ידי שליח

במאמרי באסיא, "כשל היציגות בהלכה", עסקתי בתופעה הזאת, סביב תסמונת מינכהאוזן על ידי שליח. גב' סאלי קלארק היא אישה בריטית ששני תינוקות שלה מתו בביתה מוות לא מוסבר (מות עריסה). היא הואשמה בבית משפט בריטי ברצח ילדיה, והורשעה ונשפטה למאסר. ההרשעה התבססה על עדות מומחה של פרופ' סר רוי מדואו, שטען כי הסיכוי למוות עריסה הוא: 1/8,500. לכן הסיכוי למותם של שני ילדים הוא הריבוע של המספר הקטן הזה, שיוצא בערך 1/73,000,000. פרופ' מדואו טען כי ישנו סינדרום רפואי שמכונה 'תסמונת מינכהאוזן באמצעות שליח' (יש שייחסו אותו ל'אם המרעיבה' אצלנו), שמשמעותו היא שאדם לפעמים פוגע באחרים כדי לקבל תשומת לב לעצמו. הוא טען שמכיוון שהסיכוי למות עריסה הוא כה קטן, ברור שמדובר ברצח על בסיס התסמונת הנ"ל. ללא עדות מסייעת כלשהי, רק על בסיס השיקול הסטטיסטי הזה, השופט מצא את סאלי קלארק אשמה ברצח ילדיה, והכניס אותה למאסר בכלא. נעיר כי פרופ' מדואו העיד במאות משפטים, וברבים מהם נמצאו הנאשמים אשמים ונשפטו לעונשים שונים. כמה מהם ללא כל ראייה מסייעת אחרת (מה שכינינו למעלה "דבר מה").

לא יאומן הטמטום של העד ושל השופט. לא בכדי, לאחר זמן הגיע עד מומחה לסטטיסטיקה והעיד בבית המשפט שההרשעה מבוססת על טעות סטטיסטית. הטענה העיקרית שלו הייתה שלא נכון לכפול את המספרים זה בזה, שכן האירועים יכולים להיות תלויים סטטיסטית. גם אם הסיכוי למות עריסה של ילד הוא 1/8,500, אין זה אומר שהסיכוי למותם של שניים הוא הריבוע של המספר הזה. מכיוון שהסיבות למות העריסה אינן ידועות, סביר להניח שיש גורמים בבית, או בגנים במשפחה, שעלולים היו לגרום למוות הזה. ומכיוון שמדובר בשני אחים שגדלו באותו בית, יש להניח שהסיבה למותם הייתה אותה סיבה, ולכן האירועים הם תלויים זה בזה. שימו לב שזה ממש הדיון של סוגיית יבמות סד. השאלה האם אלו שני אירועים מקריים או שיש להם הסבר משותף, הם ביטויים של חוק כללי.

נבהיר זאת על ידי דוגמה. ראובן קנה כרטיס לוטו והמספרים שלו זכו בגורל. מה הסיכוי שהמספרים הללו בדיוק הם שיזכו בגורל? קטן מאד (נניח 1 למיליון). ומה הסיכוי לכך שראובן יזכה בלוטו? גם הוא קטן מאד (נניח שגם הוא 1 למיליון). כעת נשאל: מה הסיכוי שגם המספרים הללו יעלו בגורל וגם ראובן יזכה בלוטו? לכאורה זוהי מכפלה, והתוצאה היא 1 למיליון מיליונים. אך זוהי טעות, שהרי הזכייה של ראובן היא תוצאה של העובדה שהמספרים שלו עלו בגורל. האירועים תלויים זה בזה, ולכן לא נכון לראות בצירוף המקרים הזה משהו שהוא יותר מפתיע מאשר כל אחד מהם לחוד.

אם כן, מעדות המומחה לסטטיסטיקה עולה שהסיכוי אינו כה קטן כפי שחשבו בתחילה. אני חייב לומר שלא צריך להיות מומחה לסטטיסטיקה כדי לחשוד בטיעון של רוי מדואו. סתם קצת שכל ישר. אגב, אם הייתה תוספת של דבר מה שתומכת בחשד לרצח, זה כמובן היה משנה את התמונה לגמרי.

אלא שגם העד הסטטיסטיקאי, אם אכן זה היה הטיעון שלו (כך קראתי), העלה טיעון מטופש. גם אם מקבלים את טענתו ולא כופלים את הסיכויים, עדיין ברור שהסיכוי למות עריסה של שני ילדים הוא קטן מאד. אז זה לא אחד לשישים מיליון אלא אחד למיליון. וכי זה לא מספיק להרשעה פלילית? מה אכפת לי אם כופלים או לא כופלים את הסיכויים? יתר על כן, הסיכוי למות עריסה אחד הוא 1/8,500, שגם הוא מספר קטן מאד. לשיטתו ניתן היה לשפוט כל אם שבנה מת מות עריסה למאסר. סיכוי כה קטן בהחלט עומד בתנאי ההרשעה הפלילית.

הבעיה העיקרית בעדות המומחה הרפואי (רוי מדואו) הנ"ל לא הייתה אי התלות של שתי המיתות כפי שטען המומחה הסטטיסטי, אלא בעיה אחרת לגמרי. הייתה כאן התעלמות מהכשל שבו אני עוסק כאן. כדי לראות זאת נתייחס לבדיקה הסטטיסטית הזאת כאמצעי לאבחן רצח בשל תסמונת מינכהאוזן. האמינות של הבדיקה היא 8,499/8,500, ולכן לכאורה היא לוכדת את הרוצחים בעלי התסמונת הנ"ל באמינות גבוהה מאד. הבעיה היא ששכיחות התסמונת הזו היא נמוכה ביותר. כמה נשים בבריטניה (ובעצם בעולם כולו) ירצחו את בניהן כדי לקבל תשומת לב? נניח לצורך הדיון שמדובר בשכיחות של בערך 1/100,000 (שנראית כאומדן גדול מאד ביחס לשכיחות האמיתית). כעת ניתן לראות מייד שבדיקה שהסיכוי לטעות בה הוא 1/8,500 אינה שווה מאומה בהקשר כזה. הבדיקה מאד אמינה אבל אי אמינותה גבוהה בהרבה משכיחות התופעה שאותה היא מנסה ללכוד. החורים ברשת הסטטיסטית הזו גדולים מדיי עבור הדגים שבהם מדובר.

אלך אתכם רחוק יותר. נניח שאפשר לכפול את הסיכויים, והסיכוי למות עריסה של שני ילדים הוא אכן אחד לשישים מיליון. כלומר אני מניח לצורך הדיון שרוי מדואו צדק. האם זה אומר שהאם הזאת רצחה אותם? לכאורה זהו ממש הטיעון של רבי, שאחרי שזה קרה פעמיים חזקה שיש הסבר משותף לשני האירועים והם לא מקרה בעלמא. אך כעת קל לראות שזוהי טעות גמורה. יש בבריטניה כמה עשרות מיליוני אימהות, אז גם אם הסיכוי לרצח כזה הוא אחד לשישים מיליון, אך צפוי הוא שתהיה אישה אחת בבריטניה שבביתה ימותו באקראי שני ילדים במות עריסה. זה שמצאנו בביתה שני ילדים כאלה לא מעורר שום חשד, בדיוק כמו שאם מצאנו אישה שמתו לה שלושה בעלים זה לא מעורר שום חשד. הרחבת המבט מראה לנו שהמובהקות הזאת היא בעצם מקרה גמור. אני מניח שהיינו מוצאים בבריטניה מתוך כמה עשרות מיליוני אימהות, כמה אלפי בתים שבהם התרחש מות עריסה מקרי. מתוכם יהיה מקרה או שניים שבהם התרחשו שני מקרי מות עריסה, ושוב במקרה לגמרי. לא בהכרח בגלל סיבה רפואית משותפת כפי שטען העד הסטטיסטיקאי (שבגללה אסור לכפול את הסיכויים, כעין רפי דמא או מעין גורם של אבימי מהגרוניא בסוגיית יבמות סד שהובאה בטור הקודם)[1] ולא בגלל סיבה פלילית משותפת כפי שטען רוי מדואו (שהאם רצחה אותם). פשוט מזלה גרם (רב אשי שם, אבל במשמעות של מקרה ולא של כוכבים). כלומר סביר יותר שזהו מקרה בעלמא, והוא צפוי לגמרי אם מרחיבים את המבט.

ניתן לראות כאן ששני ההסברים הללו הם שני צדדים של אותה מטבע. הרחבת המבט מראה לנו שהתבוננות במספרים קטנים (מותם של שני ילדים בבית אחד) לא מלמדת מאומה.

סיכום: מבט על הלכה, בדיקות אמפיריות וסטטיסטיקה

ראינו כאן מקרים שבהם ממצאים מאד מובהקים מתבררים כתוצאה סטטיסטית מקרית לגמרי. במקרים כאלו ההנחה שיש הסבר משותף ושזה אינו מקרה היא שגיאה סטטיסטית. אם אין לי הסבר סביר אפריורי, אני אעדיף להניח שלמרות המובהקות לכאורה בעצם מדובר בתופעה מקרית. משהו קרה פעם ופעמיים ושלוש, ובכל זאת מדובר במקרה בעלמא. ממש כמו שראינו לגבי בתי הספר המוצלחים עם האות הראשונה בשמם,

כך גם יש לפסוק לגבי אישה שמתו כמה מבעליה, או ילדים שמתו מחמת מילה. בטוקבק לטור הקודם הערתי שהניתוח הזה מעורר סימן שאלה גדול לגבי וסתות. להערכתי אישה שמקבלת מחזור שלוש פעמים בתאריך ו בחודש, הסיכוי שמדובר בגורם טבעי שמחולל זאת הוא אפסי. הרבה יותר הגיוני שזה מקרה. ובטח אם היא קיבלה זאת רק פעם אחת ואנחנו רק חוששים לווסת החודש. זה כבר ממש  נראה מופרך. זאת להבדיל מווסת הפלגה ועונה בינונית שנשמעות הגיוניות יותר.

אמנם לא בדקתי את הדברים, ולפני שמקבלים החלטות יש לבחון בסקר סטטיסטי (כלומר על ידי הרחבת המבט) את אחוז הנשים שמקבלות וסת בתאריך קבוע בחודש ביחס למצב הכללי. חשוב כאן לדייק: השאלה אינה כמה נשים קיבלו וסת שלוש או ארבע פעמים רצופות באותו תאריך בחודש, אלא שאלה של הסתברות המותנה: מתוך כלל הנשים שקיבלו שלוש פעמים באותו תאריך כמה קיבלו גם בפעם הרביעית? יש להשוות זאת למספרן של אלו שמקבלות באותו תאריך מתוך כלל הנשים. אם ההסתברות המותנה גבוהה משמעותית אז יש מקום לחזקה הזאת (כי זה אומר שיש קורלציה בין קבלת שלוש פעמים לקבלה בפעם הרביעית. כשאין קורלציה – שתי ההסתברויות הללו שוות).

להערכתי ההסתברות המותנה לא תהיה שונה מהותית מאחוז הנשים הכללי שמקבלות וסת באותו תאריך. אם אכן זהו המצב, כי אז הרבה יותר סביר לתלות את ההישנות הזאת בגורמים אחרים ולא במצב הירח ובתאריך בחודש העברי (כאמור למעלה, תמיד ניתן למצוא הסבר אד הוק ששוזר את שלוש ההישנויות, ומצב הירח לא נראה כמו ההסבר הסביר ביותר), ואולי הכי סביר יהיה לתלות זאת במקרה בעלמא. אם אכן התופעה תיבדק על ידי הרחבת המבט ואמצא צודק, אזי נראה על פניו שזוהי טעות של חז"ל (משהו כמו הטענה שמזלות וכוכבים גורמים לדברים), ולדעתי הלכה זו תפסיק להיות תקפה, כדין כל הלכה שמבוססת על טעות מדעית או עובדתית.

אגב, בתשובה לשאלתו של טירגיץ בטוקבק לטור הקודם, הוא הדין לגבי שור מועד. אם נבדוק את ההסתברות המותנה של שור שנגח ג פעמים לנגוח בפעם הרביעית (כלומר בפעם הבאה שמופיע לפניו מועמד ראוי לנגיחה), ונשווה אותה להסתברות של סתם שור לנגוח מקרית, איני בטוח שנגלה הבדל משמעותי. אם אכן אין הבדל, כי אז גם מועדות של שור היא בעצם דין שגוי, במצב כזה בעצם מדובר על אחוז מקרי של שוורים שנוגחים שלוש או ארבע פעמים במקרה ולא בגלל טבע נגחני. לחלופין, אפשר לבדוק מהו הפער בין מספר השוורים שנגחו פעמיים לבין שוורים שנוגחים ארבע פעמים, או בין ארבע לחמש. מספר הנוגחים ארבע פעמים וחמש פעמים אמור להיות די דומה אם מדובר בטבע נגחני (אם ננטרל את הסיכוי שהבעלים התאפס והתחיל לשמור את שורו כמו שצריך). כל זה טעון בדיקה, וממצאיה הם שיקבעו את הדין. גם כאן, כמו בכל חזקות ג פעמים, מדובר בהערכת מציאות (למרות שלומדים זאת מפסוק. חכמים הם שלמדו אותו מהפסוק) ולא בדין מחייב שאינו תלוי במציאות.

[1] אמנם ניתן לומר שמות עריסה אינו באמת אירוע מקרי. אם הוא קורה לילד כלשהו סביר שיש לכך סיבה אלא שאנחנו לא יודעים אותה. אם כן, כשאותו סטטיסטיקאי מעיד שיש קשר בין שני המקרים, הוא בעצם מתכוון לומר שיש סיבה טבעית למוות הזה (והיא משפחתית, כמו רפי דמא בסוגיית יבמות סד שראינו בטור הקודם) ואין צורך להניח שהאם רצחה אותם. זה אכן טיעון נכון, והוא מקביל לשלי. אבל אז באמת אין טעם להיטפל להכפלת הסיכויים ולתלות בין המקרים. לא זה עיקר העניין.