מבט נוסף על תוחלת כקריטריון לקבלת החלטות (טור 255)

בס”ד

בטור 252 עמדתי על טעותו של פארפיט שהציע קריטריון של תוחלת בחישוב התועלת של צעד במסגרת של פעולה קולקטיבית. הסברתי שם שישנם מצבים שבהם התוחלת אינה הקריטריון הרלוונטי לקבלת החלטה. כאשר סטיית התקן גדולה (התוצאות מפוזרות מאד), או כאשר הסיכוי לקבל את הממוצע הוא אפסי אין טעם להעריך את שווי המשחק (הרווח הצפוי) לפי התוחלת. שם עלינו להעריך את הרווח הצפוי בהגרלה הבודדת ולא את התוחלת. בעקבות הטור ההוא קיבלתי שאלה הסתברותית מבלבלת, שמעסיקה ומבלבלת כמה חבר’ה כל היום, ולכן החלטתי לכתוב את הטור הזה.

היחס בין הרווח הצפוי לתוחלת

כדי לקצר אדגים את הטענה היסודית לגבי ההבדל בין רווח צפוי לתוחלת דרך הדוגמה הפשוטה שהבאתי בטור ההוא. נניח שאנחנו מטילים מטבע לא הוגנת. הסיכוי לקבל עץ הוא אחד למיליון, אבל אם התוצאה היא עץ אני מרוויח מיליון מיליארדי דולרים. אם התוצאה היא פלי (הסיכוי לכך גבוה מאד, כמעט 1) אני מפסיד אלף דולר. תוחלת הרווח בהגרלה כזאת היא: 1000 – 109 דולר (הרווח כפול הסיכוי לשתי התוצאות). האלף זניח לגמרי, ולכן ניתן לומר שהתוחלת היא 109 דולר. מהי תוחלת? זהו הרווח הממוצע לכל הגרלה אם נחזור על ההגרלה הזאת אינסוף פעמים. כלומר אם נחזור על ההגרלה שוב ושוב נקבל המון תוצאות (רווחים). אם נסכם את כולם ונחלק במספר ההגרלות, ככל שמספר ההגרלות גדל הרווח הממוצע לכל הגרלה (שימו לב! לאחת, לא לכולן יחד) יתקרב לסכום של 109 דולר.[1]

מציעים לכם כעת לשחק במשחק הזה, כלומר לקנות כרטיס להגרלה חד פעמית. כמה תהיו מוכנים לשלם עבור הכרטיס הזה? שימו לב שכאן אינכם עושים אינספור ניסיונות אלא רק אחד. התוצאה תהיה אחת בלבד, או לכאן או לכאן. ובכל זאת, מקובל לחשוב (כך גם הניח פארפיט בטור הנ”ל) שהתוחלת מבטאת פחות או יותר את ערך ההשתתפות בהגרלה. כך למשל במטבע הוגנת סביר לשלם הון עתק כדי להשתתף בהגרלה הזאת, כי תוחלת הרווח היא ענקית. כאמור, גם בהגרלה שמשתמשת במטבע לא הוגנת כפי שתיארתי, התוחלת לא שונה מהותית (היא עדיין ענקית). לכן לכאורה היינו מצפים שגם כאן אנשים ישלמו סכום עתק.

אבל זה לא נכון. אדם סביר  לא יהיה מוכן לשלם מאומה על ההגרלה במטבע הלא הוגנת. מדוע? חשבו על התוצאות של הגרלה כזאת. הרי כמעט בטוח שהתוצאה תהיה שאפסיד אלף דולר. הסיכוי שארוויח את ההון שתיארתי בהגרלה בודדת הוא אפסי לגמרי. אם זה יקרה אני כמובן אצא עשיר כקורח, אבל אין לכך שום סיכוי ריאלי. לכן לא סביר להשקיע מאומה בהגרלה כזאת. אם מישהו מאד אוהב סיכונים אולי יש מקום להשקיע סכום כלשהו שהוא נמוך מאד ביחס ליכולותיו, אבל אדם סביר לא ייכנס למשחק הזה בשום סכום. ניתן לומר שסף הכניסה הסביר למשחק הזה הוא אם משלמים לי (!) על ההשתתפות כאלף דולר (זה יכסה את ההפסד הוודאי שצפוי לי).

יסוד ההבדל הוא שבהגרלה עם מטבע הוגנת תוחלת הרווח היא גם בערך הרווח הצפוי (או: די צפוי). אבל במשחק שתיארתי (עם המטבע הלא הוגנת) תוחלת הרווח (=הרווח הממוצע פר הגרלה) אינה הרווח הצפוי. הרווח הצפוי נקבע על ידי התפלגות התוצאות לקבל סכומים שונים (בעצם חלק ההתפלגות שמתאר את התוצאות הצפויות בסיכוי גבוה), וכאן הסיכוי שאפסיד אלף דולר הוא 1 (פחות משהו זניח לחלוטין). לכן אני הולך כאן להפסד ודאי. זכרו שאני משחק רק פעם אחת, ובפעם הזאת ודאי אפסיד אלף דולר. אז למה להיכנס להגרלה? ברור שאם היו מציעים לי להמשיך לאינסוף הגרלות זה היה כדאי גם במחיר של מיליארד דולר להגרלה (רק למי שיש “כיס עמוק” שיכול להחזיק מעמד עד שירוויח כמובן), שהרי שם מה שקובע הוא התוחלת.[2] אבל בהגרלה אחת, או במספר קטן של הגרלות (כאן גם מיליון הגרלות זה מספר מאד קטן), מה שקובע הוא הרווח הצפוי, והוא נמוך בהרבה.

כמה הוא הרווח הצפוי? שלא כמו התוחלת שמוגדרת היטב מבחינה מתמטית ויש דרך שיטתית לחשב אותה, הרווח הצפוי הוא גודל לא מתמטי (כי יש המון אפשרויות מה ייצא בהגרלה הבודדת), ולכן הוא יהיה תלוי במצבו של השחקן ובאהבת הסיכון שלו ובהתפלגות התוצאות האפשריות לכל הגרלה. כל אחד יחליט על הרווח הצפוי מבחינתו אבל סביר להגדיר אותו סביב סדר גודל של מינוס אלף דולר (זה הרווח שצפוי בהגרלה הזאת בסיכוי כמעט 1).

ההגרלה בקלפים

השאלה שנשאלתי היא הבאה: נניח שמציעים לך את משחק ההגרלה הבא: יש לפניך חפיסה של מיליון קלפים שממוספרים לפי הסדר. אתה בוחר אקראית אחד מהם, וזוכה בסכום ששווה למה שכתוב על הקלף. למשל, אם עלה בגורל הקלף 123,385, אזי אתה זוכה ב-123,385 ₪. כעת מציעים לך אותה הגרלה על חפיסה שונה: כל קלף זוכה בשקל אחד יותר ממספרו, והאחרון זוכה בשקל אחד (במקום במיליון). תוחלת הרווח בשתי החפיסות שווה לגמרי כמובן. מהי? נחשב את הממוצע על ידי הכפלת הסכום הזוכה בסיכוי לזכות בו וסיכום על כל האפשרויות. הסיכוי לזכות בכל סכום הוא אחד למיליון (זה הסיכוי שיעלה קלף מסוים כלשהו בהגרלה). לכן בעצם יש לנו סכום של כל הסכומים מאחד למיליון, מחולק במיליון. התוצאה היא 500,000.5 ₪. כזכור, התוחלת היא הרווח הממוצע פר הגרלה אם עושים אינסוף הגרלות. אבל מהו הרווח הצפוי? כאן נקבל תוצאה שונה עבור שני המקרים. בכל הקלפים פרט לאחרון הרווח בהגרלה השנייה גדול באחד מהראשונה. רק בקלף האחרון הרווח יורד דרמטית ממיליון לאחד. אבל הסיכוי לקבל בהגרלה את הקלף האחרון הוא אפסי (אחד למיליון), ולכן ברור שייצא לנו אחד הקלפים האחרים. אם כך, הרווח הצפוי להגרלה בודדת (או עבור מספר קטן דיו של הגרלות) גדול באחד בחפיסה השנייה. לכן ודאי שכדאי יותר להשתתף בהגרלה השנייה, שכן אנחנו נרוויח שקל יותר בסיכוי 1, זאת למרות שיש סיכוי אפסי לגמרי שנפסיד הרבה, אבל אין להתחשב בו. זה פשוט לא יקרה.

חשבו על הסיכון שאנחנו לוקחים כשאנחנו נכנסים למכונית לנסוע נסיעה לא הכרחית. אם נמות זה ודאי לא שווה, ובכל זאת אנחנו נוסעים. הסיכוי שנמות הוא אפסי (זה פשוט לא יקרה), ולכן גם עבור רווח לא מאד משמעותי אנחנו לוקחים אותו. בניגוד לפתגם הידוע והשגוי, “לי זה לא יקרה” היא אמת הסתברותית פשוטה והגיונית בתכלית.[3]

הקושיא

כעת מגיעה הקושיא. אם תסתכלו על שתי חפיסות הקלפים שתיארתי, תראו שבעצם מדובר בשתי חפיסות זהות לחלוטין. בחפיסה הראשונה קלף מספר 1 מרוויח 1 קלף 2 מרוויח 2 וכן הלאה. בחפיסה השנייה קלף מספר 1 מרוויח 2 קלף מספר 2 מרוויח 3 וכן הלאה עד קלף מספר 999,999 (מיליון פחות אחד) שמרוויח מיליון, וקלף מספר מיליון מרוויח 1. אז בואו נקרא לקלף מספר מיליון בחפיסה השנייה קלף 1, ונזיז את שמות כל שאר הקלפים באחד קדימה. קיבלנו בדיוק את החפיסה הראשונה. אז כיצד אותה הגרלה על אותה חפיסה מניבה רווח צפוי שונה? במילים אחרות, בכל אחת משתי החפיסות יש קלף אחד שמרוויח כל סכום בין 1 למיליון, ובשתי ההגרלות בוחרים באופן אקראי את אחד הקלפים מהחפיסה. אז כיצד ייתכן שהתוצאה היא שונה?

שימו לב, שתוחלת הרווח (הרווח פר הגרלה כשעושים אינסוף הגרלות) בשני המקרים זהה כמובן, אבל כפי שראינו למעלה הרווח הצפוי בהחלט לא זהה. אותה הגרלה בחפיסה השנייה

תניב רווח של שקל אחד יותר. כל עוד מספר ההגרלות קטן (בפרט בהגרלה בודדת), כדאי יותר להיכנס אליה. איך זה ייתכן?

מי ששאל אותי את השאלה אמר לי שהוא אפילו עשה ניסוי עם מחולל מספרים רנדומי (תוכנה שבוחרת מספר באופן אקראי) בין 1 למיליון, ובאמת יצא לו שההגרלה על החפיסה השנייה נתנה רווח גבוה יותר (כל עוד עשית מספר לא גדול של הגרלות). כלומר הרווח הצפוי בהגרלה על החפיסה השנייה שונה מהרווח הצפוי בהגרלה על החפיסה הראשונה. כיצד זה ייתכן כשמדובר באותה סיטואציה בדיוק? וכי מספרי הקלפים משנים משהו? אלה סתם שמות. למה זה חשוב שבחפיסה השנייה הקלף המיליון הוא שנותן לי את הרווח אחד ובחפיסה הראשונה הקלף הראשון נותן לי אותו. הרי ההגרלה אקראית.

ניתוח ראשוני

כשהשואל שאל אותי ודיווח לי על התוצאות, אמרתי לו שאין לי ספק שמשהו בתהליך ההגרלה שלו אינו אקראי לגמרי. הוא שומר בצורה כלשהי תלות בזהות של הקלפים (כלומר במספר הסידורי של הקלף כפי שהוגדר בחפיסה הראשונה). די מהר הבנתי שהוא כנראה עושה את ההגרלה באופן הבא: הוא מעלה מספר בגורל (על ידי תוכנת המחולל האקראי), ואז שואל את האדם שמולו באיזו חפיסה הוא היה בוחר. בחירה בחפיסה השנייה תמיד נתנה רווח גדול יותר, כי הרווח מקלף בחפיסה השנייה תמיד גדול בשקל אחד מאותו קלף בראשונה (למעט אם יוצא בהגרלה הקלף האחרון, מספר מיליון, אבל זה כאמור לא קורה).

אבל זה כמובן משחק מכור. הרי אחרי שיצא קלף n כלשהו (שהבוחר לא רואה אותו), אזי בכל המקרים (למעט אחד) בחירה בחפיסה השנייה תניב שקל יותר. לכן ברור שכדאי לו לבחור בחפיסה השנייה. מדובר כאן בהגרלה בודדת (או מספר קטן של הגרלות) ולכן הקריטריון הוא הרווח הצפוי ולא התוחלת, והרווח הצפוי גדול באחד לעומת החפיסה הראשונה.

מה היה עליו לעשות?

אמרתי לו שאם הוא רוצה להשוות בין שתי ההגרלות הוא אמור לערוך את ההגרלה באופן אחר. להניח שתי חפיסות בפני המשתתף, ולערוך הגרלה ולבחור קלף מהחפיסה הראשונה, ולערוך עוד הגרלה אחרת לבחירת קלף מהשנייה. כעת עליו לשאול את המשתתף באיזו משתי התוצאות הוא בוחר? הרווח מההגרלה הראשונה או השנייה? כאן אין שום הבדל בין שתי ההגרלות (שהרי בשני המקרים אתה בוחר באופן אקראי לגמרי קלף אחד מתוך שתי חפיסות זהות), ולכן אין ספק שגם תוכנה של מחולל אקראי לא תראה הבדל ביניהם.

הסבר

המסקנה היא שהשאלה האם ההגרלה השנייה עדיפה על הראשונה, תלויה באופן עריכת ההגרלה. אם אתה עושה גורל על מספר סידורי של קלף ואז בוחר חפיסה, ברור שעדיפה ההגרלה השנייה. אבל אם אתה עושה שתי הגרלות בלתי תלויות ברור שאין עדיפות לאף אחת מהן.

ההבדל בין שני המקרים הוא שבמקרה הראשון אתה משמר את המספר הסידורי של הקלפים (כלומר את הזהות של כל קלף כפי שהוגדרה בחפיסה המקורית). זו לא הגרלה אקראית ובלתי תלויה בין שני המקרים. לכן לא נכון להשוות את התוצאות. אתה מגריל את אותו קלף עצמו עם אותה זהות (אותו מספר סידורי), ולכן מהגדרת התהליך ברור שהרווח גדול בקלף מהחפיסה השנייה. למרות מראית העין שמדובר בהגרלה אקראית, הקורלציה (התלות) בין סדר הקלפים בחפיסות הופכת את ההשוואה לבעייתית.

שימו לב שמה שאמרתי כאן נכון גם אם נערבב היטב את הקלפים בכל חפיסה לפני ההגרלה. זה לא ישנה מאומה, שכן על כל קלף כתוב מספר, וכשאתה בוחר באופן מקרי קלף מתוך החפיסה הראשונה אתה לא בוחר קלף את מספר סידורי של קלף (בחרת את השם שכתוב עליו ולא את מקומו בחפיסה המעורבבת). בעצם בחרת מספר בין 1 למיליון באופן מקרי, וכעת אתה שואל מהו הרווח העדיף מהקלף הזה אם נתייחס לחפיסה הראשונה או השנייה (אנחנו לא עושים עוד הגרלה על השנייה). התוצאה היא שהסכום בשנייה יהיה גדול יותר, וכנ”ל. מיקומו בחפיסה של הקלף שאותו בחרת ממש לא משנה. מה שמשנה היא הזהות שלו (המספר שרשום עליו). לכן העובדה שבחרתי בו באופן מקרי לא חשובה כלל ועיקר כשעושים השוואה בין הרווחים בשתי החפיסות.

מסקנות

ראשית, הדוגמה הזאת מחזקת את הטענה שהרווח הצפוי במספר קטן של הגרלות (או בהגרלה בודדת) לא בהכרח תלוי בתוחלת הרווח. הקריטריון למספר קטן של הגרלות הוא הרווח הצפוי ולא התוחלת. כשהסיכוי לקבל את התוצאה של התוחלת הוא סביר אז יש קשר בין שני אלו.

מעבר לזה, ניתן גם לראות כאן עד כמה הסתברות וסטטיסטיקה זה תחום מבלבל. התרגום של החישוב הסטטיסטי למקרה במציאות (או להגרלה שנעשית בפועל) הוא עדין ותלוי בפרמטרים שונים. מה שנראה לנו אקראי מתברר שאינו לגמרי כזה. ישנם כמובן עוד אלמנטים מבלבלים רבים בהסתברות וסטטיסטיקה, ואין פלא שבמכון לרציונליות של האוניברסיטה העברית עושים מזה את עיקר פרנסתם.

[1] אם הסכומים מצטברים אנחנו נכנסים לשאלת ההילוך האקראי, אבל לא אכנס לזה כאן.

[2] לא לגמרי מדויק. בגלל שיש הפסדים, ויש כאן בעצם הילוך אקראי של רווחים מצטברים החישוב מסובך יותר. ראו הערתו של נדב שנרב על הטור הנ”ל.

[3] אמנם במצבים קולקטיביים השיקול של “לא זה לא יקרה” אינו נכון (לפחות מוסרית). למשל, להיכנס למקלטים כשיורים טילים. הסיכוי שאפגע הוא אפסי לגמרי ולכן אין שום סיבה הגיונית להיכנס למקלט. אבל אם כולם יעשו את החישוב הזה מישהו ייפגע. לכן כאן הצו הקטגורי אומר לכל אחד מאיתנו להיכנס בכל זאת למקלט (בהנחה שכל אחד שייפגע זו פגיעה בחברה כולה, מורלית ואסטרטגית מול האויבים).

29 מחשבות על “מבט נוסף על תוחלת כקריטריון לקבלת החלטות (טור 255)”

  1. בכל החישובים של “תוחלת רווח” צריך לשים לב לעוד נקודה: ערכו האמיתי של כסף אינו ביחס ישר לכמות הכסף. מאה מיליארד ש”ח לא באמת שווים פי 1000 ממאה מיליון ש”ח. עבור אדם מן השורה זה כמעט אותו סכום, ובוודאי שהסכום הראשון לא מצדיק הפחתה של פי 1000 בסיכויי הזכייה לעומת הסכום השני. אפילו לא פי 2. זה ההסבר הפשוט לפרדוקס סנט פטרסבורג: החל מסכום מסוים, כבר אין משמעות להכפלת סכום הזכייה.

    דוגמה נוספת: נניח שמטילים מטבע הוגנת: אם יוצא עץ – אני מפסיד 100 אלף ש”ח. אם יוצא פלי – אני מרוויח 120 אלף ש”ח. למרות שתוחלת הרווח היא חיובית, והסיכוי להרוויח הוא גבוה, לאדם שאין לו הרבה כסף זה לא כדאי, כי הסיכון גדול מדי. לרוב האנשים הנזק מהפסד של 100 אלף הוא הרבה יותר גדול מהתועלת של רווח של 120 אלף. הכלכלנים רואים את התופעה של “שנאת הפסד” כדוגמה להתנהגות לא רציונלית, אבל זה כי הם מסתכלים רק על המספרים, ולא מבינים שהתועלת או הנזק האמיתיים אינם פרופורציוניים למספרים.

    1. זה לא הסבר לפרדוקס, כי השווי של ההגרלה עוצר הרבה לפני שמגיעים לסכום שלא רלוונטי עבורנו. גם בהערה השנייה אתה מדבר על פונקציית התועלת, שהיא עניין אישי לפי הנסיבות. זה ברור. טענתי היא שבכל אופן, השווי אינו לפי התוחלת.

  2. מעשים שבכל יום שאנשים עושים ביטוח על דברים שונים ומשונים. והרי הרווח הצפוי מעשיית הביטוח הוא אפסי. לשיטתך עשיית ביטוח היא פעולה לא רציונלית – אם כי זכור לי שגם אתה עושה ביטוח על רכבך. אבל כאשר מתחשבים בתועלת ממושקלת לכל שקל ניתן לראות שהחישוב נעשה רציונלי (יותר כואב לאבד אוטו מאשר סכום קטן כפרמיית ביטוח כל חודש). באותו אופן, גם יותר כואב להפסיד 1000 דולר בהגרלה מאשר לוותר על רווח פוטנציאלי של מיליארד דולר (כי יש לכסף ערך שולי פוחת ככל שיש לי יותר ממנו).

    1. לא נכון. עשיית ביטוח היא צעד רציונלי בנסיבות מסוימות. כל אחד ושנאת ההפסדים והסיכונים שלו. המדיניות שלי היא שבביטוח דווקא יש ללכת לפי התוחלת (כלומר לא לעשות ביטוח), אלא במקום שאתה לא יכול לעמוד בזה. אני לא מתרגש מ”כאבים” כפי שתיארת. בעיניי אדם רציונלי לא אמור להתחשב בהם אלא להתגבר עליהם. אני כן מתרגש ממצבים שבהם אקלע לצרות אובייקטיבית (להבדיל מ”כאבים”).

  3. לגבי הניסוי הראשון עם המטבע הלא ממושקל, יש על זה ספרות עשירה מאד (כפי שכתבתי בהערה על סנט פטרבורג). הטענה היא שבמקרים כאלו צריך לעשות מקסימיזציה לא לסכום הזכיה אלא ללוג של סכום הזכיה, ואם כך אז במקרה דנן (סיכוי של מליונית לזכות ב 15^10 דולר) צריך להיות מוכן לשלם 0.00003 דולר כדי להשתתף בהגרלה, סכום שנראה לי הגיוני לגמרי.

    1. הערתי בהערה על התעלמות מהאפקט המצטבר ועניין ההילוך האקראי. אבל לא הבנתי מה פירוש “צריך לעשות מקסימיזציה”. צריך כדי שמה? כל אדם מחליט מה הוא רוצה וכמה הוא מוכן להשקיע. הרי השיקולים הללו הם תלויי נסיבות, נטיות ואדם וכו’. אין כאן גודל שמוגדר מתמטית וניתן לחשב אותו.

    2. “צריך” מוגדר במובן הבא: בתחרות לאורך זמן בין מי שינהג לפי האסטרטגיה של מיקסום התוחלת של לוגריתם הזכיה, לבין מי שינקוט בכל אסטרטגיה אחרת, ינצח הראשון בהסתברות אחד (with probability one).

    3. אבל כאן אנחנו עוסקים בהחלטה על הגרלה אחת (או מספפר קטן של הגרלות). זה לא מוגדר מתמטית ולכן לדעתי בהקשר כזה אין משמעות ל”צריך”. אולי יש משמעות ל”סביר”, ועליה דיברתי.
      גם באשר למה שכתבת, גם אם נניח שמדובר על מדיניות אופטימלית לאינסוף הגרלות, לא הבנתי. אם יש לנו אינסוף הגרלות למה לא ללכת אחרי התוחלת? הרי מה שאקבל באינסוף הגרלות הוא מעצם הגדרתו התוחלת של הרווח ולא של הלוג. הלוג יכול אולי לקבוע כמה הגרלות ייחשבו מספר מספיק גדול כדי שהתוחלת תהיה רלוונטית (זה מדד לסטיית התקן של הההילוך האקראי).
      יתר על כן, אם מחיר הכרטיס הוא לגמרי בידיי, אז הכי טוב כמובן לשלם 0. זה יביא רווח אופטימלי. השאלה שבפנינו היא לא זו. השאלה היא לאיזה מחיר עליי להסכים, ולא מה כדאי לשלם. האם אתה אומר שאם מציעים לי כרטיס השתתפות במחיר שהוא מעל המחיר שנקבת אז לא לקבל את ההצעה? נשמע לי בלתי סביר לחלוטין. מעצם ההגדרה של התוחלת כדאי לקבל את ההצעה בכל מחיר שהוא, כל עוד יש בפניי אינסוף הגרלות.
      בקיצור, לא הבנתי מה פירוש שהאסטרטגיה הזאת תביא לתועלת מקסימלית.

  4. הערה לאורן: העובדה היא שאנשים גם עושים ביטוח (מוכנים לשלם על פטור מסיכון יותר מערך התוחלת של ההפסד – זה חייב להיות כך אחרת חברות הביטוח היו פושטות רגל) וגם קונים פיס (מוכנים לשלם על סיכוי יותר מתוחלת הרווח. שוב זה חייב להיות כך אחרת מפעל הפיס היה פושט את הרגל). יש בנו כנראה יסוד לא רציונלי חזק.

    [להעיר ממכות ג. שזכות ספקו וזכות ספקה לא מסתכמים לסכום הכתובה למרות שמי שיקנה מכל אחד את זכותו יזכה בכתובה בוודאות (אא”כ נאמר שזה מצד שוויה של המתנת מעות)]

    1. כפי שהסברתי בתשובה לאורן למעלה, אני לא מסכים שיש בביטוח יסוד לא רציונלי. יש אנשים שעושים ביטוחים באופן לא רציונלי, אבל לא נכון שביטוח באשר הוא זה משהו לא רציונלי.
      לגבי הכתובה, כך אני הבנתי שמדובר על דמי המתנת המעות (והטירחה להשיג את הסכום. אני חושב שכך גם קורה בשוק של מכירת שטרות וחובות למיניהם).

  5. משעשע ומעורר מחשבה.
    לטעמך אין טעם לעשות ביטוח דירה למשל? מכיוון שמפסידים שם עשרות שקלים מדי חודש במשך שנים בשביל תוחלת רווח לא ידועה וספק אם תבוא (וגם אם תבוא ספק אם תעלה על סכומי התשלום החודשיים)

  6. הנה עוד הצעת נקודה למחשבה:

    לפניך שתי מעטפות, בכל אחת מהן סכום כסף. כל מה שידוע לך הוא שבאחת המעטפות יש פי 2 כסף מן המעטפה השנייה. אתה יכול לבחור באיזו מהן שתרצה ולקחת את הסכום שבתוכה.

    נטלת את מעטפה מס. 1, פתחת אותה וגילית 1000 שקלים. כעת מציעים לך להחליף מעטפה. האם תעשה זאת?

    פתרון “בית ספר” אומר כי עליך לחשב את תוחלת הזכייה בהחלפה. ובכן, בסיכוי 1/2 ההחלפה תגרום לך להפסד של 500 שקל, ובסיכוי 1/2 לרווח של 1000 שקלים. זה אומר שתוחלת הרווח שלך היא 250 ₪. משתלם.

    אלא שכאן אתה מתחיל לתהות. הרי אם היית לוקח את המעטפה השניה, לא משנה מה הסכום שהיה בה, גם אז היה כדאי לך להחליף. אם היה במעטפה השניה X, אזי במקרה של הפסד תפסיד X/2 ובמקרה של רווח תקבל 2X, כלומר תוחלת הרווח היא תמיד X/4.

    הפרדוכס הזה מראה שכאשר מרחב האפשרויות אינו מוגדר היטב, חישוב תוחלת יכול לבלבל מאד. אני חושב שזה נכון גם לבי תוחלת זכיה אינסופית.

    1. בעיית המעטפות ידועה. אני לא חושב שהבעיה היא בהגדרת מרחב המאורעות. הכל מוגדר שם היטב. פתרון הבי”ס לדעתי הוא נכון. באמת צריך להחליף את המעטפה, ונכון שזו המדיניות תמיד. לא תמיד תרוויח מזה, אבל זה לא אומר שחישוב התוחלת לא נכון. הוא כן נכון. לכן הפרדוקס שתיארת לא נראה לי פרדוקס.

  7. הרב, אבל לפי מה שענית לנדב (שבאמת תמיד צריך להחליף את המעטפות), אז לפני שפתחת את המעטפה – אתה אמור להחליף לשנייה (כי נניח שיש בזו שפתחת X, אז בשנייה יש או X/2 או 2X והתוחלת חיובית) ואז להחליף שוב לראשונה וחוזר חלילה.. זה לא פרדוקס?

  8. כן, אבל התכוונתי שבהתבסס על מה שהרב אמר, אז עוד לפני שאפתח את הראשונה – כדאי לי להחליף לשניה (נניח שזה מותר), ואז לפני שאפתח אותה – כבר כדאי לי להחליף לראשונה וכו’..

    1. אתה צודק. אולי זה הפרדוקס שנדב תיאר. שמחד, פתיחת המעטפה גורמת לכך שאני אעדיף להחליף, ללא תלות בתוכן המעטפה. ומאידך, אם זה לא תלוי בתוכן המעטפה אז מדוע חשוב שפתחתי? ואם זו גם האסטרטגיה במעטפה סגורה אז צריך להמשיך ולהחליף תמיד. אחשוב על כך.

  9. אני חושב שיש לי פיתרון לפרדוקס – הרי במטמטיקה אסור שבאמת יהיו פרדוקסים :).

    אם המדיניות שלי היא החלפה במקרה מסויים ורק במקרה הזה – נניח במקרה שאני פותח ומקבל 1000 רק אז אני מחליף אזי באמת ההחלפה במקרה הזה משתלמת כפי שיוצא מחישוב התוחלת.

    אבל אם המדיניות שלי היא החלפה תמיד אז אני לא מרוויח שום דבר – כנגד המקרה של הרווח כשאני מחליף מ 100 ל 200 יש את המקרה של של ההפסד בהחלפה מ 200 ל 100 כיוון שהמדיניות שלי היא החלפה תמיד אני חייב לספור את כל המקרים הללו בחישוב התוחלת.
    כלומר הטעות של חישוב התוחלת של פיתרון ביה”ס הוא בזה שהוא לא סופר בתוחלת את כל המקרים הרלוונטיים במקרה של “נדב שנרב” לעיל הוא לא סופר את המקרה בו לא היית פותח את ה 1000 אלא היית פותח את ה2000 חייבים לספור את המקרה הזה כיוון שהמדיניות שלך היא תמיד להחליף.

  10. בכל זאת נשאר משהו מן הפרדוקסליות של האין סוף כי במקרה של אלכסנדרוביץ מדיניות החלפה במספר סופי של מספרים היא משתלמת ובכל זאת החלפה בכל המקרים היא לא.

  11. הצו הקטגורי המוזכר בהערה 3 הוא סיבה מספיק טובה לצאת להצביע.
    אם יותר מדי אנשים יגידו “הקול היחיד שלי לא משפיע” – ייתכן שהמשטר הדמוקרטי לא יישאר או שתוצאות הבחירות יוכתבו על ידי המחנה שאנשיו לא אומרים כך.

השאר תגובה