פרדוקס המעטפות (טור 288)

בס”ד

מוקדש באהבה לבניי המתמטיקאים, נחמן ויוסי.

בטור הקודם הייתה התעוררות מפתיעה של העניין הציבורי למרות שגם שם עסקתי בשאלה תיאורטית (מעניין למה). זה בדיוק מה שמעודד אותי להמשיך ולעסוק בשאלות כאלה, ואני סמוך ובטוח שסערות הטוקבקים ימשיכו גם כאן.

בתחילת טור 286 הזכרתי שבני נחמן שלח לי מאמר של גיל (R. D. Gill) מאוניברסיטת ליידן, שמטפל בפרדוקס המעטפות הידוע, ושמו בישמעאל הוא “Anna Karenina and the two envelope problem”. בטור ההוא נתתי סקירה על עקרון אנה קרנינה במישור הלוגי וההסתברותי, וכעת אני מגיע לפרדוקס המעטפות. לקשר בין אנה קרנינה לבין הפרדוקס (אם בכלל יש כזה) אחזור בסוף הטור.

אקדים ואומר שהטור קצת ארוך ולא קל. יש בו כמה סטיות לטובת תובנות מתודולוגיות שנראו לי חשובות בעיקר עבור חובבים (אנשי מקצוע כנראה לא צריכים את רובן). ועוד עליי להקדים גילוי נאות שאני רחוק מלהיות מומחה בהסתברות. מה שיש לפניכם הוא הרהורים שלי על העניין (עם הערות משני בניי). אני חש שיש בהם ערך, אבל אולי אני טועה. לכן כאן יותר מתמיד אשמח לכל הערה ממי שיטרח לקרוא. אני חושב שניתן לראות כאן עד כמה התחום של הסתברות וסטטיסטיקה מבלבל, וזה כשלעצמו לקח חשוב מאד.

פרדוקס המעטפות

את הפרדוקס הזה הציג לראשונה בארי ניילבוף (Nalebuff), מומחה לתורת המשחקים מאוניברסיטת ייל, ומאז הוא נדון במאמרים רבים בתחומים שונים (תורת ההסתברות, כלכלה מתמטית, לוגיקה ופילוסופיה). ניסוח בהיר ונחמד של הפרדוקס מופיע במאמר של מריוס כהן ב-YNET[1]I. מוגשות לך שתי מעטפות אטומות וזהות, שבתוך כל אחת מהן סכום כסף. ידוע לך שהאחת מכילה סכום כפול מזה שבשנייה. אתה כמובן לא יודע איזו משתי המעטפות הזהות מכילה את הסכום הגבוה יותר. מוצע לך לבחור מעטפה, ומכיוון שהן זהות ואין לך שום מידע, ברור שכל אחת מהמעטפות היא מועמדת זהה לבחירה שלך. אתה בוחר באחת מהן באופן אקראי. אלא שכעת, כשאתה מחזיק במעטפה שבחרת, מוצעת לך הצעה להחליף את המעטפה שבידך ולקחת את השנייה. האם תעדיף לעשות זאת, או שמא עדיף לך להישאר עם זו שבידך?

חישוב א: על פניו נראה שאין שום עדיפות לאחת על פני השנייה, ולכן אין סיבה להחליף. ניתן אפילו לחשב את תוחלת הרווח שלך בהינתן שאנחנו מחזיקים במעטפה A: הסיכוי שיש בה סכום X הוא 1/2, והסיכוי שיש בה 2X גם הוא 1/2. לכן תוחלת הרווח מבחירת מעטפה A היא: 0.5X+0.5*2X=1.5X. אלא שזו תוחלת הרווח גם אם נבחר במעטפה השנייה (B), ולכן אפריורי ברור שאין סיבה להחליף ביניהן.

חישוב ב: אבל ניתן לעשות כאן גם חישוב אחר. נניח שאני מחזיק בידי מעטפה שהסכום בתוכה הוא X. מה יש במעטפה השנייה? או 0.5X או 2X. יש לי שתי אפשרויות שביניהן עליי להשוות: להישאר עם המעטפה הנוכחית או להחליף. אם אשאר איתה אקבל את הסכום X שבתוכה. אם אחליף, יש לי סיכוי 1/2 להרוויח X וסיכוי 1/2 להפסיד 0.5X. חישוב התוחלת למצב כזה הוא:

0.5X-0.5*0.5X=0.25X כלומר ההחלפה אמורה להניב לי 0.25X. כדאי להחליף.

בשולי דבריי אעיר שניתן לחשוב על הפרדוקס הזה גם אם השחקן פותח את המעטפה שבידו ורואה באיזה סכום מדובר, ואחר כך מחליט האם להחליף. לכאורה שני החישובים הללו נותרים על כנם גם במקרה כזה. גם כשפותחים את המעטפה הראשונה ומוצאים בה סכום X, עדיין השחקן אינו יודע האם הסכום הזה הוא הקטן או הגדול מבין השניים, ולכן לכאורה המידע הזה לא רלוונטי. חשבו על החשבון אחרי פתיחת המעטפה, ותראו שניתן לחזור עליו בדיוק באותה צורה. במעטפה השנייה יש 2X או 0.5X בסיכויים שווים, ולכן עדיין תוחלת הרווח הגדולה יותר תתקבל אם הוא יחליף את המעטפה. כלומר כאן פתיחת המעטפה לא באמת משנה משהו, והפרדוקס נותר בעינו.

שתי בעיות בחישוב השני

מה הבעיה בחישוב השני? ניתן לראות אותה משתי זוויות שונות: א. כיצד התוצאה הזאת מתיישבת עם החישוב הקודם שאמר שאין הבדל איזו מעטפה נבחר? כעת מתברר שדווקא עדיף היה לבחור את השנייה. זה לא בהכרח מצביע על בעיה דווקא בחישוב השני, אלא רק שיש בעיה באחד מהחישובים. ב. זו כבר בעיה בחישוב השני דווקא. אחרי ההחלפה נוכל לעשות שוב את אותו חישוב, ולקבל שוב את התוצאה שעדיף להחליף את המעטפה ולחזור לראשונה. כלומר לא באמת עדיף לבחור את השנייה. אז מדוע מלכתחילה נכון היה להחליף, אם אחרי ההחלפה מתברר שזה היה צעד מיותר? בניסוח אחר: נניח שיש עוד שחקן שמחזיק במעטפה השנייה וגם הוא יכול להחליט להחליף. לפי החישוב הזה גם הוא צריך לרצות להחליף ולקבל לידיו את הראשונה. אבל לא ייתכן שעל בסיס אותו מידע יתקבלו לפי אותה צורת חשיבה שתי החלטות הפוכות, האחת מעדיפה את המעטפה הראשונה והשנייה את השנייה.

בעיית מונטי הול

התמונה הזאת מזכירה את פרדוקס מונטי הול. מציגים בפני השחקן שלוש דלתות. מאחורי אחת מהן נמצא פרס יקר ערך (מכונית יקרה), ומאחורי כל אחת משתי האחרות עומדת עז. השחקן אמור לבחור דלת ולפתוח אותה. אם מאחוריה תימצא המכונית הוא זכה במכונית. אם לא (הוא מצא שם עז) – הוא הולך לביתו אבל וחפוי ראש. נניח שאותו אדם בחר דלת ולא פתח אותה. המנחה, שבעצמו יודע היכן נמצאת המכונית, פותח בפניו דלת אחרת שמאחוריה עז (מדובר שהוא פותח בכוונה את דלת שמאחוריה עז, ולא שהוא פתח באקראי את אחת הדלתות וכך יצא לו)[2]. כעת הוא שואל את השחקן האם הוא מעדיף לפתוח את הדלת שבחר מלכתחילה או להחליף ולפתוח את הדלת השלישית.

שוב, לכאורה יש סימטריה בין הדלתות, אבל חישוב פשוט מראה שזו טעות. הסיכוי שהמכונית נמצאת מאחורי הדלת הראשונה שנבחרה הוא כמובן 1/3. אחרי שהמנחה פתח את הדלת השנייה זה כמובן לא משנה את הסיכוי האפריורי, שהרי בין אם הדלת שנבחרה היא הנכונה ובין אם לאו תמיד יש למנחה עוד דלת עם עז לפתוח והוא פותח אותה.[3] לכן הפתיחה של הדלת השנייה לא משנה במאומה את הסיכוי שהדלת שנבחרה בהתחלה היא נכונה. אם כן, גם אחרי פתיחת הדלת על ידי המנחה הסיכוי שהמכונית ניצבת מאחורי הדלת שנבחרה ראשונה נותר 1/3. אלא שכעת כשנפתחה הדלת השנייה, השחקן יכול לעבור לדלת השלישית ולבחור בה. הסיכוי שלו לזכות במצב כזה הוא 1/2, שכן כעת כבר ידוע שהדלת השנייה אינה דלת הפרס. לכן או שזו הדלת הראשונה שנבחרה או שזו השלישית. ומכאן שעדיף לו להחליף ולבחור בדלת השלישית, שכן כך הסיכוי שלו לזכות הוא 1/2, וזה גבוה מ-1/3 (שזהו הסיכוי לזכות אם יישאר עם הדלת הראשונה).

חשוב להבין שמונטי הול אינו “פרדוקס” אלא “בעיה”. זו אכן התשובה הנכונה (כדאי לו להחליף את הדלת). זה מוזר ומעניין, כי אינטואיטיבית זו לא נראית התשובה הנכונה. אבל זה סתם כשל מחשבתי. אין כאן שום פרדוקס, אלא רק תוצאה לא אינטואיטיבית של חישוב הסתברותי. יש לא מעט כאלה.[4]

ההבדל בין שני המצבים

מה ההבדל בין הבעיה הזאת לבעיית המעטפות? כאן אין אפשרות לחזור ולהציע לו להחליף שוב, לכן כאן אי אפשר לנסח את הפרדוקס. יתר על כן, בניגוד לבעיית המעטפות, כאן בין השלב הראשון (שבו הוא בחר בדלת הראשונה) לבין השלב השלישי (כשהוא צריך להחליט האם להחליף את בחירתו) נוסף לו מידע (שהדלת השנייה היא שגויה). הבחירה השנייה שלו נעשית על בסיס מידע מלא יותר מהבחירה הראשונה, ולכן לא מפתיע שכעת הסיכוי שלו לזכות גדל. לכן גם אין פלא שבמקרה כזה הסימטריה בין הדלתות נשברת. לעומת זאת, במקרה של המעטפות אין שום תוספת מידע בין השלב של הבחירה במעטפה הראשונה לבין הרגע בו עליו להחליט האם להחליף (גם אם הוא פותח את המעטפה לא נראה שנוסף לו מידע רלוונטי. אמנם ראו על כך להלן). לכן שם לא יכול להיות הבדל בין המעטפות.

המסקנה היא שלכאורה פרדוקס המעטפות על שתי גרסאותיו (אם השחקן פותח או לא פותח את המעטפה הראשונה) הוא אכן פרדוקס, ואילו בעיית מונטי הול היא סתם תוצאה לא אינטואיטיבית.

האם פרדוקס המעטפות הוא באמת פרדוקס?

למעלה הסקתי שבעיית המעטפות היא פרדוקס, בניגוד לבעיית מונטי הול. הסיבה לכך היא שיש שם שתי דרכי חישוב ששתיהן נראות נכונות, אבל הן נותנות תוצאות שונות (האחת מלמדת שיש סימטריה בין המעטפות והשנייה מלמדת שנכון יותר להחליף).

אמנם יכולה לעלות כאן הטענה הבאה. הרי ברור שאחת הדרכים לא נכונה. לא ייתכן שלבעיה מתמטית יהיו שני פתרונות שונים ששניהם נכונים. לכן בעצם מדובר בבעייה ולא בפרדוקס. אמנם אנחנו לא בהכרח יודעים איזה משני הפתרונות הוא נכון, אבל ברור שזה רק אחד מהם.

יתר על כן, במקרה של המעטפות אנחנו אפילו יודעים איזה משני הפתרונות הוא הנכון. ברור ששתי המעטפות הן במעמד שווה ואין סיבה להחליף מעטפה. ראינו למעלה שהחישוב השני הוא בעייתי ולא יכול להיות נכון. לכן ברור שהחישוב ב שנותן עדיפות להחלפה הוא החישוב השגוי, וחישוב א הוא הנכון. אלא שלא ברור באיזו נקודה בדיוק נמצאת הבעיה בחישוב ב. אם כן, יש לנו הוכחה מי מהשניים הוא החישוב השגוי, אבל בינתיים איננו יכולים להצביע על הפגם בחישוב השגוי (ב).

האם מצב כזה הוא פרדוקסלי? לאור מה שהסברתי, נראה לכאורה שגם המעטפות זו רק בעיה ולא פרדוקס.

מהו פתרון לפרדוקס: דוגמת אכילס והצב

אבל זה לא לגמרי מדויק. כדי להבין זאת, ניטול כמשל את פרדוקס אכילס והצב. נניח שאכילס רץ במהירות 10 מטר לשנייה, והצב זוחל במהירות 5 מטר לשנייה (זה צב 4X4 קופה). בגלל ההפרש באתלטיות, אכילס הנדיב באדם נותן לצב להתחיל את המרוץ 10 מטר לפניו. משנשמעת יריית הפתיחה, אכילס מתחיל לגמוע את המרחק, ואחרי שנייה אחת הוא נמצא בנקודה שממנה החל הצב את המרוץ. אלא שהצב בינתיים התקדם עוד 5 מטר. טוב, אכילס כמובן ממשיך לרוץ, ותוך חצי שנייה הוא נמצא בנקודה הקודמת שבה היה הצב, אלא שזה התרחק בינתיים עוד 2.5 מטרים. וכך אחרי עוד רבע שנייה אכילס מגיע לנקודה הזאת אבל הצב כבר התקדם עוד 1.25 מטר וכן הלאה. נמצא שאכילס לעולם לא משיג את הצב.

גם כאן יכול אדם לומר שלא מדובר בפרדוקס, שהרי ברור שאכילס משיג את הצב. יש חישוב פשוט שמראה זאת. אבל זה אינו פתרון לפרדוקס. כל עוד לא הראית מה הפגם בחישוב שהצגתי כאן לא פתרת את הפרדוקס. העובדה שאתה יודע מהי התשובה הנכונה לא מהווה פתרון לפרדוקס. להיפך, זו הסיבה שבגללה מדובר בפרדוקס: אתה יודע שהחישוב השני לא נכון אבל אינך מצליח להצביע היכן בדיוק הטעות.[5] הפתרון חייב להציג את הטעות בדרך החישוב השנייה, כלומר להראות היכן יש שם טעות. הוא הדין ביחס למעטפות. גם אם אנחנו יודעים מהי האמת, זה לא פתרון לפרדוקס. כדי לפתור אותו עלינו להצביע על הטעות בחישוב האלטרנטיבי. כל עוד לא עשינו זאת ניתן אולי לומר שאנחנו יודעים את האמת אבל לא שפתרנו את הפרדוקס.

אגב, ביחס לאכילס והצב הטעות בחישוב השגוי שהצגתי היא פשוטה. החישוב שהצגתי הוא לגמרי מדויק, אבל המסקנה (שאכילס לא משיג את הצב) לא נובעת ממנו. אם נעשה את החישוב הנכון נגלה שאכילס משיג את הצב אחרי 2 שניות, כאשר הוא עבר 20 מטר.[6] כעת נוכל לראות בקלות שהתיאור שהצגתי למעלה אינו אלא פירוק של 2 השניות הראשונות של המרוץ (עד שאכילס מגיע אל הצב) לאוסף אינסופי של קטעים הולכים וקטנים. שנייה ועוד חצי שנייה ועוד רבע שנייה ועוד שמינית שנייה וכו’. אם תסכמו את כל הטור הזה תקבלו סך הכל 2 שניות.[7] גילינו שכל התיאור הזה מתייחס רק לשתי השניות הראשונות של המרוץ. ואכן, בשתי השניות הראשונות של המרוץ אכילס לא משיג את הצב. הוא משיג אותו בדיוק כשחולפות שתי שניות, ואז הוא חולף על פניו ודוהר הלאה. שימו לב שכעת אנחנו לא רק יודעים מי מהשניים הוא החישוב השגוי אלא גם מבינים היכן הטעות בחישוב האלטרנטיבי. עכשיו ניתן לומר שהפרדוקס פתור.

האם יש פתרון דומה לפרדוקס המעטפות?

הצעה ראשונה לפתרון

מריוס כהן במאמרו מתאר פתרון שעל פניו נראה קוסם מאד. בשתי המעטפות הללו יש שני סכומים נתונים: X ו-2X. כעת אני בוחר מעטפה אחת, ושתי האפשרויות הן שיש בתוכה X ואז בשנייה יש 2X, או שיש בתוכה 2X ובשנייה יש X. כשתסתכלו על זה כך תגלו שבין אם מחליפים או לא, תוחלת הרווח שמקבלים בשני המצבים שווה. או שבידי המעטפה של 2X ואז ההחלפה תניב הפסד של X, או שבידי יש X ואז ההחלפה תניב רווח של X. כלומר שתי האפשרויות הן או להרוויח X או להפסיד X בהסתברות 1/2, ולכן תוחלת הרווח שצפויה מההחלפה היא אפס.

האם זהו פתרון?

האם זה לא פתרון פשוט לבעיה? במבט ראשוני יש בפתרון הזה קסם והוא נראה חמוד ומתבקש, אבל משהו כאן בכל זאת מטריד. על פניו נראה שכהן בסך הכל מציג פתרון לבעיה שונה מזו שהגדרנו למעלה. הוא לא פותר את הפרדוקס אלא מציג סיטואציה שבה הבעיה פשוט לא מתעוררת. מה בדיוק שונה בין שתי הסיטואציות? חישוב ב מלמעלה מניח סכום נתון במעטפה שלי, ושתי אפשרויות לגבי הסכום במעטפה השנייה. ואילו כהן מציע מצב שבו יש שתי אפשרויות לגבי שתי המעטפות. אם כן, הבעיה הראשונה מניחה ידע (אמנם לא מפורש) על הסכום במעטפה שלי (X), וחוסר ידע לגבי הסכום במעטפה השנייה (או 2X או 0.5X). הבעיה השנייה מניחה ידע חלקי (לא מפורש) לגבי שתי המעטפות (באחת X ובשנייה 2X, אך לא ידוע איזה סכום באיזו מעטפה), ולכן יש שם שתי אפשרויות לגבי הסכומים בשתי המעטפות.

אבל במבט נוסף רואים שאלו לא שתי סיטואציות שונות אלא שתי צורות ניתוח של אותו מצב. הרי הידע שבידי השחקן בשני המצבים הוא זהה. שימו לב שהסכום שבמעטפה שלי אינו באמת ידוע (הוא סומן כ-X). לכן השאלה היא רק כיצד נכון יותר לנתח את המצב, אבל חישוב ב מלמעלה והחישוב של כהן הן שתי צורות חישוב שעוסקות באותו מצב עצמו. אם כן, מה שכהן הראה הוא שיש עוד צורת חישוב, נכנה אותה מכאן והלאה חישוב ג, שנותנת את התוצאה הנכונה (זכרו שראינו למעלה שא’ הוא התשובה הנכונה), אבל שימו לב שהוא לא מצביע על הפגם בחישוב ב. הוא לא  מסביר מדוע דווקא החישוב הזה הוא הנכון וחישוב ב לא. אזכיר שלמעלה כבר עמדתי על כך שפתרון לפרדוקס דורש גם הצבעה על הפגם בפתרון השגוי. בקיצור, נותרנו עם השאלה מדוע לבחור דווקא בצורת הניתוח ג, או מה רע בחישוב ב? את זה הוא לא הסביר לנו, ולכן קשה לראות בזה פתרון. זו גם הייתה תחושתי למקרא הפתרונות שהציע גיל במאמרו.

חישוב ד

כדי לחדד את הקושי, אביא כעת עוד צורת חישוב אפשרית, חישוב ד למנייננו. אני מחזיק בידיי מעטפה ומולי יש עוד אחת זהה. נניח שבמעטפה השנייה יש סכום X. כעת יש שתי אפשרויות: או שבמעטפה שלי יש 2X או שיש בה 0.5X. כעת תוחלת הרווח של ההחלפה היא שלילית כמובן, והמסקנה היא שלא כדאי לי להחליף (אלא להיפך, לשחקן אחר שיחזיק במעטפה ההיא כדאי יהיה להחליף איתי). אבל שוב לא מדובר כאן במצב שונה אלא בחישוב שונה לאותה סיטואציה עצמה. זו כבר צורת החישוב הרביעית, והיא מובילה  למסקנה שונה: חישוב א מוביל לאדישות להחלפה. חישוב ב מוביל לעדיפות להחלפה. חישוב ג (של כהן) מוביל גם הוא לאדישות (כמו חישוב א). וחישוב ד מוביל לעדיפות לאי החלפה (ולא לאדישות). שימו לב שחישוב ד מוביל אותנו לתוצאה שטרם הייתה לנו. הרי לכם שהצגת חישוב נוסף לא פותרת את הפרדוקס, אלא אולי מעצימה אותו.

כדי לחדד זאת יותר, אציין כי כהן מסיים את מאמרו בתהייה האם במקרה שבו פותחים את המעטפה הראשונה החישוב יהיה שונה? יש על כך דיון ער בספרות שעוסקת בפרדוקס הזה, והזכרתי זאת כבר למעלה. שימו לב שהחישוב ד כבר אינו רלוונטי למצב הזה. אם פתחתי את המעטפה שלי אין שתי אפשרויות לסכום שיש בתוכה. כעת פתוחים בפניי רק שלושת החישובים הראשונים. האם לגביהם התוצאה של מצב שבו השחקן פותח את המעטפה תהיה שונה? חישוב א ייתן כמובן אותה תוצאה. וכך גם חישוב ב וג’. ההבדל בין המצבים נוצר רק בחישוב ד. מבחינת שלושת החישובים הראשונים היינו אומרים שהבעיה שבה שחקן פותח את המעטפה זהה לגמרי לבעיה שבה הוא לא פותח אותה, כפי שהנחתי למעלה. אבל חישוב ד (אם הוא נכון, וכאמור הוא כנראה לא נכון) מראה שיכול להיות הבדל בין המקרים הללו.

לפני שנתקדם, אעיר הערה כללית על פרדוקסים.

האם יש פרדוקסים בעולם?

רבים מעוררים את השאלה האם יש בכלל פרדוקסים אמיתיים בעולם. בסופו של חשבון האמת היא תמיד אחת, ואם יש לנו שתי דרכים שנראות לנו נכונות ובכל זאת נותנות תוצאות שונות – בהכרח רק אחת מהן נכונה אלא שאנחנו לא יודעים מי מהן. אך כפי שראינו למעלה, גם אם יש תשובה נכונה אחת, וכעת מתברר שזהו תמיד המצב, פרדוקס הוא חישוב שידוע כשגוי אלא שאיננו יודעים להצביע על נקודת הכשל שבו. כלומר זהו תמיד פרדוקס. פרדוקס אינו מצב שבו יש שתי תשובות שונות ששתיהן נכונות (מצב פלורליסטי). תמיד רק אחת מהן נכונה, והפרדוקס הוא חוסר היכולת להצביע מיהי הנכונה, או מהי הבעיה בחישוב השגוי.

כמובן שזה לא המצב ביחס לשני טיעונים אתיים שמובילים למסקנות שונות. כאן ייתכן מצב פלורליסטי, ולכן לא בהכרח מדובר בפרדוקס אלא אולי רק בפנים שונות של האתיקה. יכול אדם להעלות טיעון לטובת חיסול ממוקד של מחבל שפוגע יחד איתו גם באדם חף מפשע, שכן חיי אזרחינו קודמים, ובו בזמן גם טיעון מנוגד שאומר שאסור להציל עצמי בנפש חברי (למעט מצב שבו הוא רודף). האם יש סתירה בין הטיעונים? בהחלט לא. הם מציגים שני צדדים של הבעיה, ושניהם גם יחד נכונים. בשורה התחתונה צריך לקבל החלטה, כלומר להעדיף את האחד על אחר, אבל גם בשלב ההכרעה לא בהכרח מתברר שאחד מהם שגוי. בתחום האתי שני “חישובים” שנותנים תוצאות שונות מצביעים על ריבוי פנים של הבעיה, ולכן זהו קונפליקט (כיצד לנהוג בפועל) ולא פרדוקס (סתירה). אבל ביחס לעובדות, או לתוצאה מתמטית, המצב שונה. כאן אין אפשרות לדבר על שתי פנים או היבטים שונים של העניין. אם יש שני פתרונות שונים מדובר בסתירה, וברור שבפועל רק אחד מהם נכון.

במובן הזה, פרדוקס הוא סוג של חידה. יש לנו שתי דרכי חישוב שנותנות תוצאות שונות (או שתי דרכי חשיבה שנותנות מסקנות שונות). ברור לנו שאחת מהן שגויה, ובמקרים רבים ברור לנו גם מי מהן. החידה היא להניח את האצבע על החישוב השגוי, ובעיקר על הפגם בדרך השנייה (השגויה). אכן, נראה שאין בנמצא פרדוקסים “אמיתיים” (מצב פלורליסטי), אבל יש פרדוקסים שמהווים חידה מאתגרת,[8] וזה עיקר תפקידם.

בעיה לא מוגדרת

אך ישנה בכל זאת אפשרות אחת שבה נוצר מצב פלורליסטי (יותר מפתרון נכון אחד) גם ביחס לעובדות או ביחס לבעיה מתמטית, וזאת כאשר הבעיה או המצב לא מוגדרים עד הסוף. לדוגמה, חשבו על הבעיה הבאה: נתונה משוואה ממעלה ראשונה עם שני נעלמים: X+Y=5. יכול אדם להציע פתרון (1,4) או את  הפתרון (2,3), וכמובן יש עוד פתרונות רבים. איזה משניהם נכון? שניהם נכונים. איך ייתכן שלבעיה  מתמטית יש שני פתרונות שונים ושניהם נכונים? האם כאן לא נכון שאין פרדוקסים אמיתיים? שימו לב שהפתרונות הללו סותרים זה את זה, ובכל זאת, מצב כזה מוכר וידוע לכולנו ולא נראה שהוא מעורר בעיה מיוחדת. הסיבה לכך היא שהבעיה הזאת לא מוגדרת עד הסוף (היא לא מוגדרת באופן שיש לה פתרון יחיד). אם היינו מוסיפים עוד תנאים ומגדירים את הבעיה עד הסוף, היה לה פתרון יחיד. לדוגמה, ניתן להוסיף עוד משוואה בלתי תלויה שקושרת את אותם שני נעלמים.[9]

כדי לשעשע אתכם בימי הקורונה, חשבו על הבעיה הבאה. אדם ניצב בנקודה כלשהי על פני כדור הארץ. הוא פוסע קילומטר אחד צפונה, לאחר מכן קילומטר אחד מזרחה, ולבסוף חוזר קילומטר אחד דרומה, ומגיע בחזרה בדיוק לנקודת המוצא. מהי הנקודה הזאת? לפני שאתם קוראים הלאה, נסו רגע לחשוב על כך בעצמכם.

טוב, ודאי חשבתם על הפתרון המובן מאליו, והוא הקוטב הדרומי. האדם עולה משם צפונה קילומטר (לכל כיוון שירצה), לאחר מכן הולך מזרחה קילומטר (כל זה נעשה במעגל שכל הנקודות בו מרוחקות קילומטר מהקוטב הדרומי), ואז מכל נקודה שאליה הוא יגיע, אם הוא יילך קילומטר אחד דרומה הוא יחזור בדיוק לקוטב הדרומי. פשוט, נכון? אבל למען האמת יש עוד אוסף של אינסוף פתרונות, פחות אינטואיטיביים. בואו נעצור רגע, ונסו לחשוב על כך עוד פעם.

טוב, הנה הם. חשבו על מעגלי רוחב קצת מתחת לקוטב הצפוני. ככל שיורדים מהקוטב דרומה היקף מעגל הרוחב שמכיל את הנקודה שאליה הגענו כמובן גדל. כעת נוכל להגדיר את הפתרונות הנוספים. נרד מהקוטב הצפוני דרומה (לכל כיוון שנרצה) ונעצור בנקודה שמעגל הרוחב שעובר דרכה הוא בעל היקף של קילומטר אחד בדיוק. כעת התייצבו על אחת מהנקודות במעגל הזה, ורדו דרומה עוד קילומטר אחד. אוסף הנקודות שמתקבל כך מסודרות במעגל שנמצא קילומטר מתחת למעגל הקודם, וקל לראות שכולן מקיימות את דרישות החידה.

אם כן, גם הבעיה המתמטית הזאת, שבבירור עוסקת במציאות, אינה מוגדרת היטב (יש לה אינסוף פתרונות). אם נותנים לי את הבעיה איני יכול לענות תשובה חד משמעית. כדי להגדיר את הבעיה באופן מלא, כלומר כך שיהיה לה רק פתרון אחד, יש להוסיף לה אילוצים, למשל: שהנקודה נמצאת על קו אורך מסוים, או שהיא נמצאת דרומה לקו המשווה וכדומה. הרי לנו שגם בעיה שעוסקת במציאות (והיא גם מתמטית) יכולה להיות בעלת יותר מפתרון אחד, אם היא אינה מוגדרת עד הסוף.

התיאור הזה אולי נותן לנו כיוון לפתרון אפשרי לפרדוקס המעטפות. אם ראינו שיש כמה דרכי חישוב שנותנות תוצאות שונות, וכולן נראות נכונות (כלומר לא מצאנו פגם באף אחת מהן), אז או שטעינו, ואם לא – אז האפשרות היחידה היא שגם כאן הבעיה לא מוגדרת היטב. המסקנה היא שעלינו לבדוק היכן יש דרגת חופש בבעיה שלנו, ואם נגלה דרגת חופש כזאת, אולי נוכל להגדיר אותה עד הסוף, ואז נגלה שרק אחת מדרכי החישוב הללו נכונה. לחלופין, כל אחת מדרכי החישוב מניחה משהו אחר, כלומר מטפלת בבעיה שונה.

איפה יכול להיות בבעיית המעטפות מרווח שדורש הגדרה? לכאורה הכל ידוע והכל מוגדר היטב. המועמד המתבקש הוא הסיכוי לקבל סכום קטן או גדול יותר במעטפה השנייה. משום מה הנחנו ששני הסיכויים הללו שווים וערכם 1/2. האם ה-1/2 הזה באמת עולה בהכרח מהגדרת הבעיה? כאן יכולה להימצא דרגת חופש שתעזור לנו לפתור את הפרדוקס. למה אנחנו מניחים שהסיכוי לשני הסכומים במעטפה השנייה הוא שווה? כנראה מפני שבאין ידע אחר זו ההנחה המתבקשת. אם כן, הרי לכם מרווח (היעדר מידע) אפשרי שבו ניתן לתלות את הבעיה. זו טענתו של גדי אלכסנדרוביץ בפוסט שלו על בעיית המעטפות (ולהלן נראה שהיא לא הכרחית לפתרון הבעיה שלנו).

הצעה שנייה לפתרון: ההתפלגות

כאשר אנחנו מייחסים סיכויים למצבים שונים, הדבר הוא תוצאה של התפלגות נתונה כלשהי. ההתפלגות מתארת את הסיכוי שיש לכל מאורע במרחב המאורעות שלנו. מתוך ההתפלגות ניתן לחשב את הסיכוי לכל מאורע פשוט או מורכב. לדוגמה, בהטלת קובייה ניתן לקבל שש תוצאות. אם הקובייה היא הוגנת, כי אז ההתפלגות היא אחידה, כלומר יש אותו סיכוי לקבל כל אחת משש התוצאות. אם לדוגמה נשאל כעת מה הסיכוי לקבל תוצאה זוגית, התשובה היא 1/2 (3 פעמים 1/6). לעומת זאת, אם הקובייה אינה הוגנת, למשל הסיכוי לקבל 1 או 3 הוא 0.1, והסיכוי לקבל כל אחת משאר האפשרויות הוא 0.2 (הכל מסתכם ל-1 כמובן), זוהי התפלגות לא אחידה. במקרה כזה, הסיכוי לקבל תוצאה זוגית הוא 0.6. שימו לב למסקנה שעולה מכאן. נניח ששואלים אתכם לגבי קובייה נתונה  מה הסיכוי לקבל תוצאה זוגית, התשובה אינה 0.5 אלא שהבעיה אינה מוגדרת. כדי להשלים את ההגדרה שלה עליכם לקבל את ההתפלגות (האם הקובייה הוגנת, ואם לא – כיצד היא מתנהגת). רק בהינתן ההתפלגות ניתן לחשב באופן חד משמעי את הסיכויים לכל אירוע. אחרת, יהיו כמה חישובים שכולם יכולים להיות נכונים, כלומר הבעיה אינה  מוגדרת היטב.

ניתן להציג זאת באופן שונה. תוחלת הרווח של המשחק או ההגרלה מוגדרת להיות התוצאה הממוצעת שאליה נגיע אם נחזור עליהם שוב ושוב (אינסוף פעמים, או הגבול שלה אם מגדילים את מספר המשחקים כרצוננו). הסכום שיש לי ביד פר משחק (כלומר הסכום הכללי שאליו שואפת תוצאת כל המשחקים מחולק במספר המשחקים, כאשר מספר המשחקים שואף לאינסוף) הוא התוחלת. כעת עלינו לשאול את עצמנו מה פירוש לחזור על הטלת המטבע או על משחק המעטפות שוב ושוב? בהקשר של הקובייה יש לדעת את טיבה של הקובייה. בהקשר של המעטפות, עלינו לדעת כיצד נקבע תוכן המעטפות שלפני השחקן בכל פעם. ברור שכדי להגדיר את זה עלינו לקבוע את ההגרלה שלפיה נקבעים הסכומים שבתוך המעטפות ואיך נבחרות צמד המעטפות למשחק. למשל, קובעים שסכום X ייצא בהגרלה הזאת בסיכוי P, עבור כל סכום אפשרי X, מסדרים שני צמדים של מעטפות (אחד עם האפשרות ש-X הוא הגדול והשני שהוא הקטן) ואז בוחרים צמד מעטפות באופן אקראי ומשחקים איתו. זו בדיוק הגדרת ההתפלגות. המסקנה היא שבלי ההתפלגות אי אפשר לדבר על סיכויים ולכן גם לא על תוחלת.[10]

אם כן, טוען גדי לאלכסנדרוביץ, כעת מתבקש לשאול כיצד חושבו הסיכויים לקבל סכום כזה או אחר בשתי המעטפות. מה שנתון לנו הוא רק היחס בין הסכומים, אבל מאומה על הסכומים עצמם (ערכו של X). אם כן, הרי לכם מרווח בבעיה שצריך להגדירו כדי שהבעיה תהיה מוגדרת היטב: התפלגות הסיכויים לקבל סכומים במעטפות השונות. למשל, אם ההתפלגות לקבל סכום יורדת ככל שהסכום עולה, או אז לא נכון להניח סיכוי שווה להחלפה שנותנת סכום גבוה והחלפה שנותנת סכום נמוך. הרי לכם שכאן כבר נשברה אחת ההנחות שלנו בפרדוקס (=הסיכוי השווה לשתי האפשרויות). בהינתן התפלגות מסוימת של הסיכויים לקבל סכום X במעטפות, או אז הבעיה מוגדרת היטב, ולכן הדבר נותן ביד השחקן כלי לחשב את תוחלת הרווח, והאם כדאי לו להחליף מעטפה. אם אותו שחקן לא יודע את ההתפלגות אזי חסר לו מידע ולכן הוא לא יכול לענות לשאלה. הבעיה אינה מוגדרת עד הסוף. אמנם יש התפלגות כלשהי והוא רק לא יודע מהי, אבל אז שוב הוא טועה כי אין בידו את כל המידע. זה לא פרדוקס. לכל היותר, זה יכול רק לומר שאין לשחקן כזה אסטרטגיה מנצחת חד ערכית במצב אי הידיעה שבו הוא נמצא.

אם תחשבו על המקרה שבו השחקן פותח את המעטפה ורואה את הסכום שבתוכה, תוכלו להבין ביתר קלות את הבעיה. אם הוא מצא שם 200 ₪, הוא אמור להשתמש בהתפלגות כדי לחשב את הסיכוי למצוא 100 ₪ או 400 ₪ במעטפה השנייה, ואין סיבה אפריורית להניח שהסיכויים הם שווים. להיפך, אם הסיכוי לסכום גבוה במעטפה יורד (מה שסביר ברוב המקרים המעשיים) כי אז הסיכוי שבמעטפה השנייה יהיה 400 קטן מהסיכוי שיהיה בה 100. ההתפלגות תאמר לי מה היחס בין הסיכויים וזה יקבע את האסטרטגיה המנצחת. לדוגמה, אם הסיכוי לקבל 400 הוא 10% והסיכוי לקבל 100 הוא 90%,[11] אזי תוחלת הרווח מההחלפה היא:
60 – = 100*0.9 – 300*0.1
כלומר לא כדאי לו להחליף. אבל אם הסיכוי לקבל 400 הוא 40%, אזי למרות שהסיכוי לכך נמוך יותר מהסיכוי להפסיד 100 עדיין כדאי יהיה לו להחליף. תוחלת הרווח מההחלפה במקרה כזה היא:
60 = 100*0.6 – 300*0.4.
אתם רואים שההתפלגות קובעת את התוצאה.

גדי אלכסנדרוביץ טוען שהפתרון לבעיה נעוץ בכך שלא הגדרנו את ההתפלגות ולכן הבעיה אינה מוגדרת. אבל הוא מוסיף וטוען שגם אם לוקחים בחשבון את ההתפלגות הבעיה עדיין לא נפתרת. אפשר להגדיר בעיה שבה ההתפלגות לקבל כל סכום היא אחידה (הסיכוי לכל סכום הוא אותו). התוצאה היא שבמצב כזה אכן כדאי להחליף את המעטפה, אלא שאז כדאי להחליף אותה שוב. כאן אנחנו נקלעים לפרדוקס למרות שהבעיה מוגדרת היטב (יש התפלגות נתונה). אלא שזו טעות. חשוב להבין שהתפלגות אחידה על פני כל הסכומים (כלומר מספר אינסופי של סכומים) אינה מוגדרת, שכן הסיכוי לכל סכום הוא 0. לכן בעיה כזאת עדיין אינה מוגדרת. אם כן, לכאורה פתרנו את הפרדוקס. הבעיה אינה מוגדרת היטב, וההנחה שהסיכוי לכל אחת משתי התוצאות הוא זהה היא הנחה לא מבוססת.

אבל גם זה לא נכון, שהרי ניתן לחשוב על מצב שבו הסיכוי הוא כן שווה (למשל כשאין מספר אינסופי של אפשרויות). יתר על כן, ארבעת החישובים מלמעלה נתנו תוצאות שונות למרות שכולם הניחו סיכוי שווה. כלומר התזה הזאת לא תסביר לנו את הסתירה בין החישובים שעשינו.

וריאציה על הבעיה

אלכסנדרוביץ שם מביא גרסה שונה של הבעיה, בשם פרופ’ נגה אלון. עיקרה הוא התפלגות שכן ניתנת להגדרה ובכל זאת משאירה את הבעיה בעינה. זה יחדד לכם את מה שכתבתי כאן, שהבעיה לא באמת נפתרת גם אם מכניסים את עניין ההתפלגות.

נניח שהמשחק מוגדר כך שהסכומים שמוכנסים למעטפות יכולים להיות רק חזקות של 10: 10 ₪, 100 ₪, 1000 ₪ וכדומה. כעת נקבע את ההתפלגות באופן הבא: הסיכוי לקבל זוג מעטפות עם סכומים של 10 ו-100 הוא 1/2. הסיכוי לקבל 100 ו-1000 הוא 1/4 וכן הלאה. באופן כללי יותר, הסיכוי לקבל את הזוג (10n , 10n+1) הוא 1/2n. זוהי התפלגות חוקית (שכן סכום הסיכויים של כל האפשרויות הוא 1). כעת כבר הכל בבעיה מוגדר, ולכן החישוב צריך להיות חד ערכי ותוצאתו מייצגת את המסקנה הנכונה.

נדון בבעיה שבה השחקן פותח את המעטפה הראשונה ואז צריך להחליט האם להחליף. השחקן מצא בה סכום של 10n ₪. במעטפה השנייה יכולים להיות או 10n-1 או 10n+1. הסיכויים לשתי התוצאות הללו הם: 1/2n-1 לתוצאה הראשונה 1/2n לתוצאה השנייה. במצב כזה ההסתברות שבמעטפה השנייה יש סכום קטן פי 10 מהסכום במעטפה שלנו היא כפולה מההסתברות שבמעטפה השנייה סכום גדול יותר. אם כן, בהסתברות 1/3  נרוויח מהחלפת המעטפות, ובהסתברות 2/3 נפסיד.[12] תוחלת הרווח מההחלפה במצב כזה ניתנת לחישוב פשוט והיא יוצאת כמובן חיובית (כי הסכום הגדול הוא פי 10 והסיכוי להגיע אליו הוא רק 1/2 מהגעה לסכום הקטן). במקרה זה החישוב נותן:10n-1י*24, כלומר אם מצאתם במעטפה שלכם 100 ₪ תוחלת הרווח מההחלפה היא 240 ₪, כדאיות ההחלפה משמעותית, וזה כמובן עולה עם הסכום.

אלא שכעת ניתן לשאול מה רע בתוצאה הזאת? אולי באמת זוהי התוצאה על אף שאינה אינטואיטיבית. האם זהו פרדוקס או סתם תוצאה לא אינטואיטיבית? כאן עלינו לחזור לחישובים א, ב וג’, ולראות שאפשר להפעיל כאן את כולם (את ד לא, כי הוא לא רלוונטי למקרה שפותחים את המעטפה הראשונה). במילים אחרות, יש סימטריה בין המעטפות (אין סיבה להניח שפתחתי דווקא את הקטנה מבין השתיים). לחלופין, חברי שמחזיק גם הוא במעטפה משלו יגיע לאותה מסקנה וגם הוא ירצה להחליף. לא הגיוני שהמסקנה הרציונלית היא שכל אחד משנינו צריך להחליף את המעטפה. לכן זהו פרדוקס (ולא רק תוצאה לא אינטואיטיבית).

אלכסנדרוביץ שם מציע הצעה שלפיה אין לזהות את המושג “כדאי להחליף” עם ההפרש בין תוחלות הרווח של שתי האפשרויות. הוא גם מראה שחישובי התוחלת למצבים אלו (גם להחלפה וגם לאי ההחלפה) נותנים תוצאות אינסופיות. אבל, כפי שהוא עצמו טוען, בשורה התחתונה משהו כאן לא נראה הגיוני, והוא נותר בצריך עיון.

בסוף הסעיף הקודם כבר הסברתי מדוע הצעה זו לא יכולה לתת פתרון לפרדוקס. כאן אוסיף על כך עוד בעיה. כדי להגיע לאינסופים שלו, אלכסנדרוביץ עושה חישובי תוחלת שכוללים את הסיכוי לקבל מעטפה עם סכום מסוים, ואז חישוב של תוחלת הרווח להחלפה או אי החלפה במקרה הזה, ואז ממצע על כל הסכומים. אבל לדעתי השאלה שנדונה כאן היא אחרת (הסתברות מותנה): בהינתן שקיבלנו סכום כלשהו (נניח לצורך הדיון שפתחנו את המעטפה), האם תוחלת הרווח להחלפה היא חיובית או שלילית? החישוב הזה כבר נעשה למעלה ואין בו שום דבר אינסופי (לא בשני החישובים ולא בהפרש ביניהם).

במילים אחרות, הניסוי שהוא מציע לחזור עליו אינסוף פעמים הוא לבחור זוג מקרי של מעטפות מאוסף זוגות שסודרו בשכיחות שתוארה על ידי ההתפלגות למעלה. לבדוק את כדאיות ההחלפה ואז למצע על כל הזוגות. לעומת זאת, אני מציע לבחור זוג מעטפות מסוים ולפתוח אחת מהן. אם יצא לי סכום של 100 ₪ לבדוק כדאיות של ההחלפה. אם לא יצא 100, לסגור שוב את המעטפה להחזיר את השתיים לצבר, לערבב ולבחור עוד זוג. לבדוק רק את המקרים שבהם קיבלנו 100 ₪ ולמצע על כל הרווחים מכל המקרים. למיטב הבנתי, בדוגמה שהוא הציע התוצאה תהיה רווח של 240 ₪ למקרה אם מחליפים. לכן הצעתו לא באמת פותרת את הבעיה.

הצעה שלישית לפתרון: בחזרה להצעה הראשונה

אם כן, התחשבות בהתפלגות לא הושיעה אותנו. אני מוצא עצמי חוזר שוב להצעה שתוארה במאמרו של מריוס כהן. אם נצליח להסביר מדוע החישוב ג הוא הנכון ולא ב, זה יהווה פתרון לפרדוקס, גם בניסוח שלנו.

נדמה לי שהניתוח שעשיתי בסוף הפסקה הקודמת יכול להסביר זאת היטב. החישובים ב וד’ מניחים סכום מסוים במעטפה אחת (או זו שלי או האחרת) ושתי אפשרויות לסכום במעטפה השנייה. לחזור על הניסוי הזה אינסוף פעמים פירושו לעשות ניסוי שבו הסכום במעטפה שלי הוא נתון. אבל זה לא המקרה שבו אנו עוסקים. להיפך, כפי שתוכלו לראות בסוף הסעיף הקודם, אנחנו מגרילים צמד מעטפות, ומתוך הצמד הזה אנחנו בוחרים אחת, ואז מתלבטים האם כדאי לנו להחליף. אם כן, החישוב של מריוס כהן הוא באמת זה שמתאר את המצב לאשורו. החישוב שלו מניח שיש לנו צמד מעטפות שבהן יש שני סכומים נתונים. מה שפתוח כרגע הוא השאלה באיזו מהשתיים אני מחזיק (הגדולה או הקטנה). לכן דווקא החישוב ג הוא החישוב הרלוונטי לנדון דידן. חישובים ב וד’ מתייחסים למצב שבו אני בוחר מעטפה אחת עם סכום נתון, ואז מגריל מעטפה שנייה ובה סכום קטן פי שתיים או גדול פי שתיים. אבל במקרה כזה באמת כדאי להחליף, ואין כאן שום פרדוקס.

חשבו על המשחק הבא.[13] יש לי מעטפה ביד, פתחתי אותה ויש בה 100 ₪. כעת מוצעת לי הגרלה שבה בסיכוי 1/2 אקבל 200 ₪ ובסיכוי 1/2 אקבל 50 ₪. השתתפות בהגרלה דורשת ממני 100 ₪ (הסכום שבמעטפה שלי). האם כדאי לי לשלם את הסכום הזה? התשובה היא כמובן חיובית. כאין אין דילמה וגם לא פרדוקס. במקרה כזה התוחלת ברורה ובוודאי כדאי להשתתף בהגרלה (כלומר להחליף את המעטפות). זהו המצב במקרה שבו הסכום במעטפה שלי קבוע וידוע. כאן החישוב ב הוא באמת החישוב הנכון. חישובים א וג’ עוסקים במקרה אחר, ולכן התוצאה שלהם שונה. חישוב ד, עוסק במקרה שלישי (הפוך), שבו הסכום במעטפה האחרת נשמר קבוע ומגרילים את המעטפה שבידי.

האם באמת יש להיזקק להתפלגות?

אם אני צודק, כי אז שורש הפתרון לא נעוץ בכלל בשאלת ההתפלגות. התיאור של המשחק מכיל בתוכו שלושה משחקים שונים שלא נכנסנו להבדלים ביניהם, אבל לכל אחד מהם מתאים חישוב אחר. למשחק כפי שהבנו אותו מתאים החישוב ג ולכן בו לא כדאי להחליף (תוחלת ההחלפה היא 0). במשחקים אחרים, כמו זה שתיארתי כאן, מתאימים חישוב ב שאז כן כדאי להחליף (תוחלת ההחלפה חיובית) או חישוב ד שאז כדאי לא להחליף (תוחלת ההחלפה שלילית).

אם כן, בשורה התחתונה צודק אלכסנדרוביץ שבאמת מדובר בבעיה לא מוגדרת. אבל מה שחסר אינו בדיוק ההתפלגות אלא התיאור של הסיטואציה אינו שלם. כמובן שניתן לראות גם בזה חוסר בהתפלגות, שכן לכל אחת מהסיטואציות יש כמובן התפלגות שונה של התוצאות. לכן איני יודע אם הפתרון שלי כאן שונה במהותו מזה של אלכסנדרוביץ או לא. אני כן חושב שכעת אין צורך להישאר בצריך עיון כפי שקרה אצלו. וזה, כפי שראינו, מחזיר אותנו לפתרון של מריוס כהן, אלא שכעת גם ברור מדוע נכון לבחור בחישוב ג ולא בחישוב ב. לכן כעת ניתן לראות בזה פתרון לפרדוקס.

הצעה רביעית לפתרון: גיל

בני נחמן הסב את תשומת ליבי לכך שגיל בפרק 1.3 של מאמרו הנ”ל מראה שהבעיה כלל אינה קשורה להתפלגות, וכל הדיון של אלכסנדרוביץ (בבעיה המקורית, לא בזו של נגה אלון) בטעות יסודו. בעיית שתי המעטפות שתיארתי בהתחלה מדברת על שתי מעטפות נתונות שהסכומים בהן ידועים לגמרי. הם לא מוגרלים בשום צורה שהיא. ההגרלה היחידה בתהליך היא הבחירה בין המעטפות.

כדי לראות זאת, נעקוב אחרי הניסוח של גיל שם. חשבו על שתי מעטפות זהות כך שבמעטפה A יש 100 ₪ ובמעטפה Bי 200 ₪. אני בוחר במעטפה אחת מהן באקראי (ואיני יודע האם זו מעטפה A או B), וכעת עליי להחליט האם להחליפה במעטפה השנייה. כעת נראה שאפילו במצב כזה, שאין בו שום הגרלה והתפלגות של הסכומים, ניתן להגדיר את הפרדוקס. לשם כך, נגדיר את הסכום במעטפה שבה בחרנו כ-S. אם זו מעטפה A אז S=100 ואם זו B אז S=200. כל אחד מהמאורעות הללו הוא בעל הסתברות 1/2 כי הבחירה בין המעטפות היא אקראית. בדיוק בגלל זה אין כאן שום משמעות להתפלגות (הסיכוי 1/2 לכל אפשרות נובע מהבחירה במעטפה ולא מהגרלת הסכומים במעטפות).

הסכום במעטפה השנייה יסומן כ-T. אנחנו יודעים שיש שתי אפשרויות: T=0.5S (אם S=200), או T=2S (אם S=100). גם כאן ההסתברות לכל אחת מהאפשרויות היא 1/2 (כי הבחירה במעטפה הראשונה היא אקראית).

כעת לפי נוסחת ההסתברות (התוחלת) השלימה מקבלים:

E (T) = E (T | T = 2S) · P (A) + E (T | T = S/2) · P (B)

הסכום T (כלומר הסכום במעטפה שנותרה מולי) מחושב כסכום של שתי אפשרויות: הסכום במעטפה ההיא אם S=100 (כלומר שבחרתי במעטפה A) ועוד הסכום במעטפה ההיא אם S=200 (כלומר שבחרתי במעטפה B).

אם נציב את הגדלים הרלוונטיים נקבל:

E (T) = 2S · 1/2 + S/2 · 1/2 = S + S/4 = 5S/4

קיבלנו שהסכום במעטפה ההיא גדול ברבע יותר מהמעטפה בה בחרתי. כלומר כדאי לי להחליף.

אבל ברור שגם במקרה זה התוצאה הזאת לא תיתכן. יש סימטריה בין המעטפות, ולכן לא ייתכן שהמעטפה ההיא תניב רווח גדול יותר בממוצע מזו שבחרתי בה. הרי לכם הפרדוקס גם בלי להניח שום הגרלה על הסכומים במעטפות, ובלי צורך להיזקק להתפלגויות של הסכומים.

גיל טוען ששורש הבעיה הוא שחישבנו את הגודל הלא נכון. מה שחישבנו כאן הוא התוחלת של T כשלעצמה, בעוד שהיה עלינו לחשב את התוחלת המותנה E(T/S) II. הרי מדובר בתוחלת של T כאשר ידוע שבמעטפה שבידינו כעת יש S, וזו מעצם הגדרתה היא תוחלת מותנה. גיל בפרק 1.3 מראה שחישוב התוחלת המותנה נותן:

 E (T/S=a) = a

כלומר אין רווח נוסף בהחלפה. חשוב להבין שהחישוב כאן אינו אלא חישוב ג שהוצג בתחילת הטור. הטעות הייתה שחישבנו תוחלת מוחלטת בעוד שהיה עלינו לחשב תוחלת מותנה.

החישוב של E(T) II שנעשה בנוסחה הקודמת אינו אלא חישוב ב, שהוא חישוב של תוחלת הרווח במקרה שהציג בני יוסי (שבוחרים מעטפה ומגרילים את הסכום במעטפה השנייה). במקרה כזה באמת התוחלת אינה מותנה כי ההגרלה היא בלתי תלויה, ולכן כפי שהסברתי במקרה כזה באמת כדאי להחליף. אבל החישוב הנכון למקרה שלנו, שבו בוחרים מעטפה והסכום במעטפה השנייה נקבע בתלות במעטפה שנבחרה, הוא החישוב של התוחלת המותנה, שהוא חישוב ג, וכפי שראינו מסקנתו היא שאין רווח נוסף בהחלפה.

אנחנו רואים שוב שהפרדוקס ניתן להצגה גם בלי להיזקק להתפלגויות. אין כאן הגרלה אקראית של הסכומים שבמעטפות ולכן טענתו של אלכסנדרוביץ לגבי מקרה זה (שהתפלגות אחידה על מספר אינסופי של סכומים אינה מוגדרת) אינה רלוונטית לדיון. כמו כן, רואים כאן שבסופו של דבר ניתן להראות שהפרדוקס לא קיים גם בלי להיזקק להתפלגות. במובן הזה, נדמה לי שהפתרון הזה דומה למה שהצעתי בסעיף הקודם. משמעות הפתרון היא שבהינתן הסיטואציה המדויקת ניתן להציג חישוב עקבי גם בלי להיזקק להתפלגות, וגם בהנחה שהסיכוי לשתי האפשרויות הוא באמת 1/2. לעומת זאת, כאשר עוסקים בבעיה שהציג נגה אלון, שם באמת יש להיזקק להתפלגות, ולכן זוהי בעיה שונה. נדמה לי ששם יפעל הפתרון שלנו.

מה לכל זה לאנה קרנינה?

בתחילת הטור הזכרתי את המאמר שקיבלתי מבני נחמן, שמציע פתרונות לפרדוקס המעטפות וקושר אותם לעקרון אנה קרנינה (שנדון בטור 286). ניסיתי לחשוב מה באמת הקשר בין שני אלו.

בסופו של דבר, ככל שהבנתי אין הרבה קשר. גיל רק ניסה להראות שיש הרבה הצעות שונות לפתור את הפרדוקס, כמו שיש דרכים שונות להיות אומלל. כלומר פתרונות לא נכונים יש הרבה, אבל פתרון נכון יש רק אחד. העניין הזה קצת מזכיר לי את המימרא החביבה של הרב מידן שאמר כי הוא מכיר 22 תירוצים מדוע קוראים מגילת רות בשבועות אבל רק תירוץ אחד מדוע קוראים מגילת אסתר בפורים. כוונתו לומר שכשיש ריבוי תירוצים די ברור שמשהו בכל אחד מהם לא מספק. כשהתירוץ הוא ברור ונכון אין צורך לחפש עוד תירוצים.

אבל כאן, אם אני צודק, הפתרונות השונים כולם מסתובבים סביב אותה נקודה: ההתפלגות וחוסר השלימות של הבעיה. ניתן לתקוף את זה מזוויות שונות, ובדרך כלל כל הצעה עוסקת במקרה אחר (וכפי שראינו היא נכונה לגביו), אבל בבסיס יש משהו משותף לכולם. כאמור, אין פרדוקסים אמיתיים ביחס למתמטיקה או לעובדות. במציאות יש תמיד תשובה נכונה אחת. אם אנחנו פוגשים חישובים שונים שנראים נכונים, כי אז נראה שאנחנו פשוט עוסקים במצבים מציאותיים שונים (הבעיה לא מוגדרת עד הסוף). כעת ניתן לראות שכל הפתרונות שהצגתי מתלכדים ומשלימים זה את זה. המשפחה יכולה להיות מאושרת בדרך מוגדרת היטב, אם היא עושה זאת בדרך הנכונה.

[1] המאמר לקוח מגליליאו.

[2] אם הוא סתם פתח את אחת הדלתות האחרות ובמקרה יצא שיש מאחוריה עז, הניתוח שונה (במצב כזה הסיכוי לזכות הוא 1/2 בשתי האפשרויות, בין אם יחליף ובין אם לאו).

[3] כאן נכנסת ההנחה שהזכרתי למעלה שהפתיחה של המנחה אינה אקראית, אלא מדובר בפתיחה מכוונת של דלת עם עז.

[4] נדמה לי שדניאל כהנמן כתב פעם על השאלה האבולוציונית המרתקת כיצד יש לנו חשיבה הסתברותית כל כך כושלת (מזה הוא עשה את עיקר פרנסתו), למרות שאלו כישורים חיוניים מאד להישרדות שלנו. כנראה שהוא וטברסקי הם גורמים מטעם אל האבולוציה שנשלחו כדי לתקן את המצב. אחריהם כבר כולנו נעלה על דרך המלך האבולוציונית. זכייתו של כהנמן בפרס נובל גם היא אקט אבולוציוני מובהק, ש”מטרתו” (מילה לא חוקית בשיח האבולוציוני. השימוש תמיד מושאל) להביא את הכשלים הללו למודעות של כולנו ובכך לשפר את חשיבתנו ההסתברותית. לא בכדי, העולמות שבהם כהנמן וטברסקי לא גילו את הכשלים הללו ו/או שבהם כהנמן לא זכה בפרס נובל נכחדו.

[5] אם כי כפי שהערתי למעלה, גם אם לא היינו יודעים מי מהחישובים הוא הנכון, עצם העובדה שיש שני חישובים סותרים מספיקה כדי להגדיר את הבעייה כפרדוקס. הידיעה מי מהם הוא הנכון רק מעצימה אותו.

[6] המיקום של אכילס בזמן t מתואר על ידי 10t. המיקום של הצב בזמןt  הוא 10+5t. כאשר t=2 שניהם עברו 20 מטר, כלומר זאת הנקודה שבה אכילס חולף על פני הצב.

[7] וכך גם אם תסכמו את המרחקים, 10 מטר ועוד 5 ועוד 2.5 ועוד 1.25 וכו’, שמסתכם ל-20 מטר.

[8] גדי אלכסנדרוביץ בפוסט שלו על פרדוקס המעטפות מגדיר זאת כהוכחה בדרך השלילה, כי הוא מתייחס לפרדוקסים שנוצרים מהגדרות גרועות, ובמקרים אלו הפרדוקס הוא הוכחה בדרך השלילה לכך שההגדרה שגויה או עמומה. אבל לא כל הפרדוקסים הם כאלה. למשל פרדוקס המעטפות, כמו שהוא עצמו מעיר שם, לא קשור להגדרה (בהמשך נראה שהוא קשור לחוסר מוגדרות של הבעיה, ולא של מונח כזה או אחר), ולכן אני מעדיף להתייחס לפרדוקסים כחידה. זו אמירה כללית ונכונה יותר.

[9] שימו לב שגם בנעלם אחד ייתכן מצב דומה. למשל, משוואה ריבועית היא בעיה שלא מוגדרת עד הסוף. טלו את המשוואה: x2-5x+4=0 . יש לה שני פתרונות: x=1,4, וכמובן שניהם נכונים. כדי להגדיר את הבעיה עד הסוף (כך שיהיה לה פתרון יחיד) יש להוסיף אילוץ, למשל: x>2. במצב כזה הפתרון הנכון היחיד הוא x=4.

כמובן שסמנטית אפשר לראות את הבעיה כמוגדרת היטב, והפתרון שלה הוא קבוצת מספרים ולא מספר יחיד (זהו גם המצב באי שוויון, כמו: x>2).

[10] נדמה לי שזה יכול להיות תלוי בהגדרת ההסתברות, ששנויה במחלוקת בין אנשי המקצוע (הפילוסופיה של ההסתברות). יש שרואים בהסתברות חישוב של שכיחות של תוצאות, ואילו אחרים רואים בה חישוב שמוגדר מתמטית למשחק בודד.

[11] מדובר בהסתברויות מותנות בכך שבמעטפה שבידי יש 200. אחרת הסיכויים לא מסתכמים ל-1 כמובן.

[12] החישוב המדויק הוא לפי נוסחת בייס. לא נכנסתי לזה כי התוצאה מובנת מאליה.

[13] במסגרת דיון עם בני יוסי על פרדוקס המעטפות הוא העלה את המשחק הזה.

22 מחשבות על “פרדוקס המעטפות (טור 288)”

  1. בבעית מונטי הול, הסיכוי אחרי החלפה הוא 2/3 ולא 1/2 כפי שכתבת.
    זאת כשהניסוח הוא שהמנחה מחויב לפתוח את דלת אחת עם עז.
    אם המנחה לא מחויב לפתוח דלת עם עז לבעיה אין פתקון הסתברותי מאחר והמניעים שלו לא ידועים.

  2. הפרדוקס הזה מעניין ביותר (ומעיק), והטור כולו נחמד עד מאד. כמה דברים לא הבנתי:

    א.לא הבנתי את הדחייה שלך לדברי גדי אלכסנדרוביץ. הפיתרון עם התוחלות האינסופיות הוא הפיתרון הקלאסי (והמעצבן) שאני מכיר. אם עוסקים בהסתברות מותנה ורק במקרים שעלתה בידי המעטפה עם 100 אז אכן אין שום פרדוקס וכדאי להחליף, כפי שמוסבר סביב הערה 13. איך מכאן נובעת המסקנה ש”הצעתו לא באמת פותרת את הבעיה”?

    ב. אם אפשר ברשותך לבקש הסברים למאמר ולטור בתור גמ”ח למתקשים.
    ב1.2 הוא טוען (כך הבנתי) שאם מחשבים את התוחלת במונחי הסכום הנמוך (X) אז התוחלת לבחירה בכל אחת מהמעטפות היא 1.5X כמו שאכן מובן באופן טריוויאלי שזו תוחלת הרווח מהאפשרות הנחמדה שהעניקו לנו לבחור מעטפה. החישוב המקורי (בהצגת הפרדוקס) מחושב במונחי המעטפה הנוכחית (A) ומגיע למסקנה שתוחלת הרווח מבחירת המעטפה השנייה גבוהה מA (והיא 5/4A). אבל זה “לא נכון” אם לא מתנים על A. מה פשר הטענה הזאת?
    ב1.3 אני לא רואה שהוא טוען שהתוחלת המותנה E(B|A=a) שווה a (וזה גם לא מובן איך ייתכן כדבר הזה. אבל השתמשת שם בלוכסן נטוי / ולא בקו עומד | אז נראה שממש לא הבנתי את הכוונה). נראה שהוא טוען שם כלפי חישוב ההסתברויות (המותנות) וטוען שאין הצדקה להנחה שכל אחת מהן היא חצי כי הסכום במעטפה (אולי) משפיע על הסיכוי שהוא הסכום הקטן.
    גם את המשפט שלו similary E(B|B=X,A)=A לא הבנתי למה זה לא =0.5A, ונראה לכאורה ט”ס כי הוא כותב שבעל הפרדוקס הציב נכון את שני ערכי התוחלות. ק”ו שלא זכיתי להבין בכלל מה הוא רוצה מההסתברויות בפרק 1.3 אחרי שהוסבר כ”כ יפה שאין איתן בעיה.
    אני מבין שהוא טוען בפרקים 1.2-1.3 שאם לא מתנים על A (אלא על X) אז צריך לחשב את התוחלת במונחי X (ואז אין בעיה), ואם כן מתנים על A אז כבר לא יודעים את ההסתברות לכך שזהו הסכום הנמוך (ולכן החישוב לא נכון). לא שהבנתי את גופי הטענות, אבל זה מה שנראה לכאורה שהוא כותב.

    ושני ניטפוקים:
    ג. “חשוב להבין שהתפלגות אחידה על פני כל הסכומים (כלומר מספר אינסופי של סכומים) אינה מוגדרת, שכן הסיכוי לכל סכום הוא אפס.” מוסכם שלא קיימת התפלגות אחידה על כל הטבעיים (כלומר כל קבוצה אינסופית בת מניה), אבל מה זה קשור לטענה שהסיכוי לכל סכום הוא 0? הרי בכל התפלגות רציפה (בפרט אחידה) הסיכוי לכל מספר מסוים הוא 0 (ומגדירים רק צפיפות הסתברות). הסיבה היא כי בקבוצה בת מניה ניתן לסכם ולהגיע לסתירה לדרישה שהסכום יהיה שווה 1.
    ד. נראה שעיקרון אנה קרנינה שם הוא לא שקיים רק פיתרון אחד, אלא שדי בסתירת אחד הצעדים בהוכחה כדי לסתור את ההוכחה כולה (ולכן ייתכנו פתרונות נכונים רבים). זה, כלומר הטור הקודם, עורר אותי לעוד נושא וכיון שהוא קצת שונה אז אפתח אותו בשאלה נפרדת.

    1. א. הפרדוקס בצורתו הפשוטה (שמובא בתחילת הפוסט של אלכסנדרוביץ) לא קשור להתפלגויות. לכן הפתרון של גדי אלכסנדרוביץ לא פותר אותו.
      ב. את המאמר קראתי כבר די מזמן. אבל להבנתי מה שכתבתי זה תורף טענתו. הטעות אינה בהתפלגות אלא בחישוב תוחלת במקום תוחלת מותנה. הסיכוי בהחלפות הוא כן 1/2 מול 1/2.
      ברור שהתוחלת המותנה שווה לתוחלת של מה שבחרתי. זו בדיוק המשמעות של הטענה שאין טעם להחליף. ההצרנה היא שלי ולא שלו. אבל זו הכוונה. השתמשתי בלוכסן נטוי במשמעות של קו עומד. מגבלות הוורד (או מגבלותיי שלי).
      ג. ההתפלגות אינה רציפה כי הסכומים לא רציפים.
      ד. בהחלט ייתכן שאתה צודק. כעת אני חושב שזה ממש מה שכתבתי בטור ההוא על אנה קרנינה (למשל לגבי הסבר המחלוקות בהלכה).

  3. ~ עיקרון אנה קרנינה בפסיקת הלכה ומשפט (או קבלת ייעוץ ממומחה) ~

    פותחין בכבוד אנקדוטה – ראיתי פעם צילום מתשובה נגד הרב גורן (על חשמל בשבת דאורייתא) ושם כתב שהרב גורן הניח עשר הנחות שווא ודי באחת מהן כדי לסתור את המסקנה, אבל הוא יראה שכל העשר כולן שגויות..
    לפי זה יש אפריורי 1024 מצבי עניינים הלכתיים אפשריים ורק ב1 מתוכם המסקנה של הרב גורן נכונה. לכן אם אני מניח שוויון איכותי בין הרבנים (ולכן במחלוקת ‘רגילה’ אהיה, בתור לא בר הכי, בספק) אז כאן יש סיכוי של 1023/1024 לכך שהחולק צודק במסקנה.
    גם בבתי דין ומשפט, תחת ההנחה (שנראית לי מאד סבירה) שמעמידים אנשים חכמים כדי להגדיל את הסיכוי לקלוע לאמת, אז במקרה ששני שופטים מסכימים על תוצאה שנדרשות אליה 2 הנחות, והשופט השלישי חולק על שתי ההנחות, אז יש כאן שתי מחלוקות שונות, סה”כ 4 מצבי עניינים אפשריים, ורק ב1 מהן שני השופטים צודקים במסקנה. אבל היתרון האיכותי שלהם הוא רק פי 2 (אם הוא יותר אז אפשר להגדיל בהתאם את כמות ההנחות), ולא פי 4, ולכן עלינו לפסוק כמו השופט השלישי (אם נניח שהסיכוי שהם צודקים בכל ויכוח בודד הוא 2/3, אז בחזקת מספר ההנחות (2) זה כבר פחות מחצי).
    מובן שאין היגיון ‘לפסוק’ על כל טעם בנפרד וללכת בו לפי הרוב (מעין הפעלול שהאיסור בעד אחד יוחזק ואז האוכל לוקה), ולצורך בירור האמת הולכים אחרי הטעמים ולא אחרי המסקנות.
    אני משער שלדעתך המסקנה הזאת לא נכונה (שצריכים לאמוד את יכולות הקליעה של כל חכם ואז לחשב במחלוקת על פי כמות ההנחות ובכללי לפי העלים בעץ המלא), יש לי גם תחושה עמומה שכתבת על זה ממש ושכחתי, אבל למה?

    1. זה מה שכתבתי במקור ראשון לגבי הגיור, ושם דובר על 15 שאלות בלתי תלויות. מספר האפשרויות הוא 40,000.
      המשך דבריך חוזר לפרדוקס השפיטה שכמדומני שעסקתי בו פעם כאן באתר (כעת מצאתי. ראה טור 257).

  4. ב”התכסחות” בינינו על הטור הקודם תקפת אותי יותר מפעם אחת בטענה שאני מונע מאמוציות ולכן אין טעם להתווכח עמי. אני שונא טיעוני אד-הומינם וכועס על עצמי כשאני נגרר אליהם, ומקוה אפוא שכאן נקרתה לי הזדמנות להשיב להם ברוגע (זו לפחות תקוותי…). לטעמי, טיעוני אד-הומינם אינם כשל לוגי. להיפך, הטיעונים הללו לרוב נכונים ואמתיים אלא שאינם פרודוקטיביים כיון שהם נכונים באותה מידה לכל אדם, הן למרדכי חמום המוח והן למיכאל הלוגיקן ה”קאלטע מתנגד” קר המזג. מאותו חומר ומאותה רוח קורצנו שנינו.

    לצורך הדיון אשתמש במשחק שהצגת סמוך להפניה להערה [13]. הפתרון שלך לבעיה זו נכון אם ורק אם אתה אוהב סיכון או אדיש לסיכון (בכלכלית ספרותית: הנגזרת של פונקצית התועלת שלך מכסף אינה שלילית). אם אתה שונא סיכון, ממש לא ברור שכדאי לך לקחת את ההגרלה הזו, וקרוב לוודאי שברוב המקרים משקיע שונא סיכון (ורציונלי למהדרין) יעדיף לדחותה. מנהל תיקי השקעות שייקח השקעה עם סיכון כזה יתקשה מאוד להצדיקה בפני ועדת חקירה. (אגב, כמדומה לי שכהנמן כינה את הפתרון שלך “שגיאת ברנולי”…).

    דוגמה זו ממחישה את נטייתם של לוגיקנים ומתמטיקאים (ושופטי בג”צ…) לזלזל בהשפעות הקוגניטיביות, היוריסטיקות ורגשות על החשיבה, ופוטרים אותן כ”אמוציות לא רציונליות” שהם, כביכול, חסינים מפניהן. הדבר בולט מאוד בפרקים הראשונים של ספרך “אין אדם שליט ברוח” שבו אתה מאדיר את השכל עד כדי סירוב לקבל אפילו את דבר ה’ אם הוא סותר את הלוגיקה שלך. משום מה נדמה לך שמחשבתך נקיה מהטיות קוגניטיביות, אבל זו טעות הנובעת מיהירות ושחצנות. הסיבה ש”אין אדם שליט ברוח” היא שאין אדם חסין מהטיות קוגניטיביות, שבחלק הארי של המקרים הוא אפילו לא מודע להן. עצם בחירת האקסיומות שעליהם בנוי הבניין הלוגי מוכוונת (בדרך כלל שלא במודע) על ידי המטרה שאליה שואף הלוגיקן מראש. בעצם, כולנו מציירים עיגולים סביב חץ שירינו בתחילה. (על בחירת אמונות, דיסוננס קוגניטיבי ועוד יש ספרות עניפה). החידוש הגדול של היהדות הוא שלכן יש לשים גבול אפילו לשכל וללוגיקה והוא – דבר ה’, אחרת לא היה צורך בהתגלות. זה בעצם הלקח הגדול מעקדת יצחק. אכן, אם יתגלה אלי הקב”ה ויאמר לי שהוא מסוגל לברא אבן שהוא לא מסוגל להרים אצטרך להכריע האם מדובר בהזיה והקב”ה לא התגלה אלי, או שאכן הייתה לי התגלות אמת (הרי אני ראוי לה, לא?…) ואז אצטרך להודות שמשהו בלוגיקה שלי פגום גם אם אינני יודע להצביע על הכשל. אני לא טוען ששתי האפשרויות שקולות (ברור שלא…). כנראה שהוויכוח בינינו הוא מה התגובה הראויה בהינתן שחוויתי התגלות כזו. אתה ודאי תאמר שהתגלות כזו לא תיתכן, ואם נדמה לי שהייתה, עלי להתעלם ממנה (“חלומות שווא ידברון”) או שצריך לאשפז אותי. מבחינתך בזה הסתיים הדיון. עבורי זה עדיין צע”ג שנאמר “כי לא מחשבותיכם מחשבותי” וגו’.

    ההטיות הקוגניטיביות הללו קובעות איזה “משחק” בוחר כל מי שנשאל על המעטפות. אנשים אדישים לסיכון (ולסיכוי) ייטו לבחור בחישוב “הנכון” הנותן תוחלת 0 להחלפה. בחירה במשחק אלטרנטיבי המנבא רווח או הפסד כתוצאה מהחלפה מעידה על הנטיות החבויות בנפשו של הבוחר (כנראה על יחסו לסיכון, אבל לא בדקתי עד הסוף את ההשערה הזו), והוא לא בהכרח טועה, ולכן אין סתירה בין התשובות השונות. הרי הבעיה באמת אינה מוגדרת מתמטית עד הסוף, כפי שהיטבת להסביר. התשובות השונות נובעות (כנראה) מהעדפות שונות של אנשים שונים. כלומר, השאלה היא כיצד אנו בוחרים להשלים את החסר בהגדרה, ופה נכנסות ההטיות הקוגניטיביות שלנו לפעולה. לסבר את האוזן, הדבר משול לדמיונם של הקדמונים שחיברו נקודות בשמים וראו בהם “אריה”, “מאזניים”, “דלי” וכו’ או למבחן רורשך שכל אחד רואה בכתמי הדיו המוצגים בפניו מהרהורי לבו. זו גם תשובתי לכהנמן ותלמידיו. החשיבה ההסתברותית שלנו לא “כושלת”, היא דווקא מותאמת מאוד להישרדות שלנו. בלעדיה לא היינו נוטלים סיכונים כשצריך, או שהיינו נוטלים סיכונים מופרזים (כאותו מנהל תיקי השקעות אדיש לסיכון כשמדובר ב”כספי אחרים”), אבל זה דיון ארוך שאין מקומו כאן. רמזתי לך על ההטיות הללו גם בתגובה לטור אחר (איני זוכר איזה). יש על זה היום ספרות עניפה. (עי’ בספה”ק “רגשות רציונליים” מאת הרה”ג פרופ’ איל וינטר שליט”א ובכתבי הקודש של הרה”ק ג’ורג’ אקרלוף חתנא דפרס נובלא ועוד).

    ודוק: אינני פוסטמודרניסט ואינני טוען ש”הכל נרטיבים”. קרוב לוודאי שיש מציאות אוביקטיבית אלא שלא רק החושים שלנו חלקיים ופגומים ואינם מסוגלים לקלוט את כולה, כנראה שגם הלוגיקה שלנו אינה מושלמת גם אם איננו יודעים להצביע על כשליה, ולאו דווקא כתוצאה מטעויות וחוסר מיומנות של חלק מהעוסקים בה (כפי שאתה נוהג להאשים את בעלי דבבך). אז נכון ש”זה מה יש”, אבל צריך לקחת את ה”זה” בעירבון מאוד מוגבל. בלשון בעלי המוסר –לכולנו יש “נגיעס” ולכן צריך קצת “ענאווע”…

    הבריסקערס מספרים שר’ חיים הסביר את פנייתו לסדר קדשים “כי פה אני הראשון”. כלומר, בסדר קדשים הוא פחות משועבד לפירושי קודמיו (כי אין מהם הרבה). משום מה הוא לא חשב שהוא חופשי בסדרי נשים-נזיקין, למרות מה שכתבת בספרך השני. (אמנם, אתה מסביר שם את ההבדל בין מחשבה להלכה, ובכל זאת…). האם אתה יכול להישבע בנקיטת חפץ שאל המסקנות האנרכיסטיות שלך שם הגעת בסוף התהליך העיוני ולא שהעיון נבנה בדיעבד כדי להצדיקן? אם תישבע, לא אני מי שיאשים אותך בשבועת שקר. אתה כנראה מאמין בכך. אבל זה לא אומר שזה נכון. (ועי’ משל המבוך בהקדמת מסילת ישרים).

    לפני שתתקיף אותי בחזרה – אני בהחלט חש אי-נוחות רבה מ”הרוח החרדית” הנושבת מהדברים שכתבתי כאן. זו הרי טכניקת ויכוח חרדית-שמאלנית-מרקסיסטית ידועה, להאשים את הזולת ב”נגיעס”, “תודעה כוזבת” וכו’ כדי לסתום את פיו, וכבר ציינתי שאני עצמי מתקומם כשוויכוח שאני משתתף בו גולש לזה. אבל אני מודה שאין לי תשובה סדורה לטענות האלה, בעיקר משום שיש בהן הרבה אמת. כאמור לעיל, הבעיה בטיעוני אד-הומינם אינה שהם בהכרח כושלים, אלא שהם לא פרודוקטיביים. לכן, התשובה היחידה שיש לי לבעית ה”נגיעס” היא שהעיון והשכל הן “מה שיש”, אבל אדם צריך להיות בעל יושרה רבה, ביקורת עצמית מפותחת, ענווה ושפלות רוח, פתיחות, הקשבה ובעיקר – אימון מוגבל אפילו בשכל ובלוגיקה שלו, כי תמיד ייתכן שהיא כושלת למרות שאיננו מצליחים לזהות את הכשל. משהגענו לאמונה באלוהים ובהתגלות, זה בצירוף מסורת התורה שבעל פה (“אמונת חכמים”) הם העוגן שלנו מפני סחף, למרות שגם חכמים יכולים לטעות ודו”ק ואכמ”ל למרות שהארכתי יותר משהתכוונתי. (זה מה שקורה כשתקועים בבית בהמתנה לקישור זום שלא עולה…).

    נ.ב., בקשר לאמרתו של הרב מידן, שמעתי ממגידי אמת שיש מאות הוכחות למשפט פיתגורס למרות שהוא אמתי… (אולי כדי להוציא מלבם של הנתלים בתוס’ ב”ב ק”ב ע”א ד”ה וכגון שבדק באלכסונא, אבל להם שום הוכחה לא תועיל…).

    1. מרדכי שלום.
      1. באשר לטיעוני אד הומינם, לא אמרתי שהם לא נכונים אלא שהם לא מועילים. אם ראובן טוען טענה וטיפשית, אז הטענה שהוא טיפש ולכן הוא טועה היא כמובן אמיתית, אבל זה לא מועיל. מדבריך כאן עולה שבזה אנחנו מסכימים.
      2. באשר לשנאת הסיכון, אני לגמרי מסכים ומכיר זאת היטב (אפילו כתבתי על כך כאן בעבר בכמה טורים. כעת מצאתי 197, 20. אבל לדעתי יש עוד). בכוונה בחרתי בסכומים שלגביהם סביר להניח שמה שחשוב לשחקן הוא תוחלת הרווח כי לא מדובר בסכומים גדולים. הדיון הוא עקרוני ולא פסיכולוגי. מה שעניין אותי כאן הוא תוחלת הרווח ולא מה יעשה אדם כזה או אחר (תורת המשחקים ההתנהגותית). לכן אין טעם להיכנס לדיון האם אני מזלזל בשנאת סיכונים או לא. לא הבעתי עמדה לגבי זה. פשוט הנחתי שהמטרה היא למקסם את תוחלת הרווח ודנתי בעניין לאור ההנחה הזאת. לא הייתי קושר זאת להתגלות סתירתית וליחס הראוי אליה. אם כי ייתכן שאתה צודק שיהיה בינינו הבדל ביחס למקרה כזה (אני לא תולה את זה בדיון הקודם, והראיה היא שבו אני מסכים לגמרי לטענתך על שנאת הסיכונים).
      אגב, אני יותר מתון (?) ממך בעניין הזה. אתה טוען שלגיטימי להיות מוטה פסיכולוגית ואסור להתעלם מההטיות הללו. לעומת זאת, אני טוען שמבחינתי זו כלל לא הטיה אלא בחירת מטרות ויעדים רציונלית בתכלית. גם הרצון לרווח הוא סוג של הטיה (כי רווח גורם לך נחת או הנאה). אז למישהו אחר הסיכון גורם צער או פחד והוא נרתע ממנו. איני רואה שום הבדל בין השניים (ומדבריך משתמע שאתה כן). לדעתי, כל אחד והרצונות שלו. יתר על כן, מה שכתבתי בטורים הנ”ל (20, 197) הוא בדיוק זה: שפונקציית התועלת לא יכולה להיבחן במונחי רציונלי או לא. הרציונליות היא האם אתה פועל לפי פונקציית התועלת שלך, ולא עצם הפונקציה. מדבריך כאן נראה שאתה קיצוני ממני בעניי. אתה מקבל את ההטיות הפסיכולוגיות כחלק מהעולם אבל משתמע שזהו סוג של דיעבד, או הכרח שלא יגונה.
      3. לגבי הבריסקרס, יש לי הסבר שונה מזה שהבאת מר’ חיים. לדעתי הוא בחר את קדשים בגלל ששם אין אינטואיציות ושכל ישר שיתמודדו עם המסקנות הפורמליסטיות שלו. שם הוא יכול להיות לגמרי אנליטי בלי חשש. בתחומים אחרים בהלכה כשתגיע למסקנות אנליטיות כלשהן, עיכולה להתעורר ביקורת של שכל ישר (זה לא עושה שכל). ואולי בכלל דבריו דבריי.
      4. אני אכן חש שהמסקנות האנרכיסטיות שלי עלו מעיון ישר בדברים. להיפך, תחושתי היא שלא האמנתי בהן כל עוד הייתי כפוף לתפיסות המקובלות. וכשהשתחררתי מהן ובאתי נקי (לתחושתי), אלו המסקנות המתבקשות. לכן גם אני מסביר ומנמק אותן. אבל כמובן אין מי שלא נגוע ואיני יכול להיות בטוח אף פעם מה בדיוק הביא אותי למסקנותיי. בדיוק בגלל זה אני חושב שאין טעם לנבור בזה. אני צריך להשתדל להיות נקי ככל שאוכל, ומכאן והלאה לא ניתנה תורה למלאכי השרת (חזרנו להסכמה בינינו בסעיף 2).
      5. אני ממש לא מתקיף אותך, אלא מצטרף לכל מילה שכתבת בסוף. בהחלט ייתכן שיש לי נגיעס, כמו לכל אחד. כולנו בני אדם. אבל מכיון שזה לא פרודוקטיבי, יש להתמקד בדיון הענייני, כלומר בטיעונים. שוב אנחנו מסכימים.
      6. אגב, אני אפילו מוכן לקבל שיש טעויות בלוגיקה שלי (כלומר שמה שאני רואה כסתירות אינו סתירות). ומכאן שאם תהיה לי התגלות סתירתית יש בהחלט מקום לאימוץ עמדתך כלפיה (כמתואר בסעיף 2). אני רק חושב שכל עוד לא עליתי על הטעות, אי אפשי לקבל עמדה שהיא סתירתית במבחינתי. כדי לגרום לי לאמץ אותה יש להראות לי שיאן כאן סתירה (גם אם לא לפתור את הקושי, לפחחות צריך להראות שאין כאן סתירה לוגית. פירטתי זאת במאמרי על אמונה בסתירות לוגיות, ע””ש היטב: https://mikyab.net/%D7%9B%D7%AA%D7%91%D7%99%D7%9D/%D7%9E%D7%90%D7%9E%D7%A8%D7%99%D7%9D/%D7%94%D7%90%D7%9D-%D7%90%D7%9E%D7%95%D7%A0%D7%94-%D7%91%D7%A1%D7%AA%D7%99%D7%A8%D7%95%D7%AA-%D7%9C%D7%95%D7%92%D7%99%D7%95%D7%AA-%D7%94%D7%99%D7%90-%D7%90%D7%A4%D7%A9%D7%A8%D7%99%D7%AA1).
      7. לגבי הערתך על משפט פיתגורס, יש להאריך בזה טובא. ראשית, יש לחלק בין הוכחה להסבר. הוכחות יכולות להיות הרבה, שכן כל אחת ניתנת לבחינה אם היא נכונה או לא. לעומת זאת, הסברים לא ממש ניתנים לבחינה (אפשר רק לשאול אם זה מייק סנס), ולכן קיומם של הסברים מרובים הוא חשוד (אן כי כמובן אפשרי עקרונית). שנית, יש לבחון האם אין מיפוי בין ההוכחות השונות, ובעצם מדובר בניסוחים שונים של אותה הוכחה. זו שאלה פילוסופית ומתמטית מעניינת, ואין לי כעת את היכולת לנתח אותה (לא בטוח שיש לי כלים לזה, אבל אני מאמין שמתמטיקאים יכולים לומר משהו אינטליגנטי על כך).
      אני מניח שאינך חולק עליי לגבי ההבדל בין מגילת אסתר ורות, ולגבי זה שהדוגמה הזאת מבטאת תופעה נכונה.

      לסיום, אני חוזר על הערכתי אותך כפי שכתבתי בתחילת הסערה, אבל איני חוזר מהערכתי שבנושא ההוא היית מוטה מאד ואי אפשר היה לנהל את הדיון בצורה סבירה (אני מניח שכך גם אתה חש לגביי). טוב, כבר הסכמנו כאן שכולנו בני אדם ולכולנו יש הטיות, נקודות רגישות ונקודות עיוורות. ואת והב בסופה. 🙂

  5. יוסי לוי http://www.sci-princess.info/archives/372 מטפל בבעיה בצורה יפה.
    לא הבנתי איך אתה מסביר את המקרה של נוגה אלון, הרי כאשר פתחת וראית שיש 100 במעטפה שלך אתה בודק את ההסתברות שהסכום במעטפה השנייה הוא 1000 וההסתברות שהוא 10 (הסכום הזה כמובן קבוע אבל הידע של הפותח מוגבל ולכן הוא צריך להזדקק למנגנון ההסתברותי) ועדיין תהיה תוחלת רווח חיובית.

    1. נדמה לי שזה גם גדי אלכסנדרוביץ. שם הוא מסביר את הפתרון של מריוס כהן, ונדמה לי שכוונתו לדבריי כאן. אבל אז זה באמת לא קשור להתפלגות כפפי שהוא כתב כאן.
      באשר לגרסה של נגה אלון, נדמה לי שזה נפתר עם מה שהסברתי לגבי צורת ההגרלה. האם מחזיקים מעטפה ביד ומגרילים את האחרת? ודאי שלא. מגרילים זוגות של מעטפות, אז אחרי ההגרלה יש כאן שתי מעטפות עם סכומים מוגדרים היטב וחזרנו למריוס כהן ללא התפלגויות. בקיצור, צריך להגדיר את הבעיה עד הסוף (איך בדיוק נוצר המצב של שתי המעטפות).

  6. (בהמשך הוא דן עם גדי אלכסנדרוביץ’ אבל הכותב זה יוסי לוי)
    אם בוחרים מספר טבעי i כלשהו בסיכוי של 0.5^i (כלומר 1 בסיכוי של 0.5, 2 בסיכוי של 0.25 וכן הלאה) ושמים במעטפה אחת 10^i ובשנייה 10^(i+1) ונניח שנבחרו שתי מעטפות מראש.
    החשבון של מריוס כהן נכון כל עוד לא נפתחו המעטפות כי אז אפשר להרוויח סכום קבוע או להפסיד אותו אבל ברגע שנפתחה המעטפה ונמצא בה, נאמר, 100 אז נוסף לפותח ידע (שהמספר שנבחר הוא או 1 או 2) ולכן הוא יכול לחשב מה ההסתברות שבמעטפה השנייה יהיה 10 ומה ההסתברות שיהיה בה 1000 (כלומר מה ההסתברות שנבחר 1 ומה ההסתברות שנבחר 2), וזה החישוב הקודם.
    בקישור שהבאתי למעלה הוא אומר שבאמת משתלם להחליף פעם אחת, אבל התוצאה הזאת נכונה תמיד כלומר אפשר לפתוח את המעטפה ובלי להסתכל מה הסכום להחליף וזו נשמעת תוצאה פרדוקסלית.

  7. אם זה נכון צריך לקחת מעטפה כלשהי, לפתוח אותה, לראות מה הסכום ולקחת את השנייה. אבל התוצאה של אלגוריתם כזה נתונה מראש ולכן אפשר לקחת מההתחלה את המעטפה השנייה.
    התוצאה של הדבר הזה היא ריטואל מוזר שנועד רק להרגיע את ההסתברויות ולא למקסם רווחים.

    1. למקרה זה גם ההסבר שלו (על ההתפלגות של אינסוף סכומים) לא רלוונטי. הרי כפי שכתבתי בטור, חישוב התוחלת של מעטפה סגורה אינו חשוב כאן. יש לנו שתי מעטפות עם סכומים קבועים בתוכן, וכשפתחתי את המעטפה אני יודע מהו הסכום שבידי. למה צריך למצע על כל הצמדים האפשריים?
      ואם אתה מדבר על לחזור על הניסוי שוב ושוב, ולבחור רק את המצבים שבהם המעטפה שנפתחה מכילה 100 ש”ח ולמצע רק עליהם, אז חזרנו להסבר שלי. זה תלוי איך אתה בוחר את צמדי המעטפות.
      כעת אני חושב שאולי מה שיש כאן הוא באמת הבדל בין תוחלת לבין כדאיות ההחלפה. כעין פרדוקס סנט פטרסבורג גם שם קריטריון התוחלת הוא גרוע מאד לקבוע אסטרטגיה על פיו. ואולי לזה גופא התכוון גם אלכסנדרוביץ.

  8. התחלתי לקרא אתמול את המאמר שהפנית אותי אליו, אבל אז נאלצתי להפסיק בגלל פגישת זום, ומלבד זאת שהוא ארוך, כבד ותובעני ולכן לא הספקתי לסיימו. אקח זאת על עצמי כמשימה.

    נחמד שאנחנו יכולים גם להסכים לפעמים, אבל בכל זאת אסור להגזים (שלא נתמכר לזה חלילה), ולכן –

    הסכמנו שטיעוני אד-הומינם לא תמיד כושלים, אינם פרודוקטיביים. אבל אינני מסכים שלכן אין טעם “לנבור בזה”. אם אתה מסכים עמי שאדם חייב להיות בעל ביקורת עצמית מתמדת, הקשבה ופתיחות כדי לנטר את השפעות ההטיות הקוגניטיביות שלו, הרי שאתה בעצם מסכים לטענת בעלי המוסר שאדם חייב לעסוק בעבודת הנפש תדיר. כלומר, “לנבור בזה” יומם ולילה, שלא יגלוש לחוסר מודעות עצמית ובכך יעצים את ה”נגיעס” שלו, וכפועל יוצא את השפעתן על מחשבתו ושיפוטו. לכן, גם כשלימדתי פרונטלית (ב”ה היום אני פטור מזה) וגם בספריי (לא כתבתי ספרים פילוסופיים מעמיקים כמוך, בסה”כ טקסטבוקים לאו”פ…) הדגשתי חזור והדגש בפני תלמידיי שבפרט אנו, העוסקים במדעי החברה, חייבים לבקר עצמנו מפני חשש הטיות קוגניטיביות כמעט באובססיביות, וכולי האי ואולי. (אבל גם העוסקים במתמטיקה ובמדעי הטבע לא פטורים מכך).

    ל”נבירה” הזו יש גם נפק”מ חשובה. הסברת בכמה מקומות שאתה מכיר ב”סמכות מהותית” ו”סמכות פורמלית” אך אלה לא קשורות ל”עובדות” שבהן, לטענתך, אין סמכות. לענ”ד, יש גם סוג נוסף של סמכות שאולי אפשר לכנות “סמכות מוסרית”. כלומר, אדם שיש לי סיבה להניח שהוא “נקי” יותר (כלשונך) מהטיות קוגניטיביות ואשר לכן סביר להניח ששיקול דעתו ושיפוטו (המקצועי, הלוגי או בכל דבר אחר) נכון יותר משלי (כפי שמסביר בעל “מסילת ישרים” במשל המבוך בהקדמתו שהפניתי אליה לעיל). סמכות זו, לענ”ד, קיימת גם ב”עובדות”. מיהו האדם שיש לייחס לו סמכות מוסרית וכיצד לזהותו? זו שאלה שאין לי עליה תשובה ברורה. אבל פגשתי בחיי כמה וכמה דמויות מופת שלגביהן חשתי כך אינטואיטיבית. לצורך הדיון, אם הרמב”ם אומר משהו, לא בקלות אחלוק עליו רק בגלל שהעיון שלי הביא אותי למסקנות אחרות. עדיין, יש אפשרות לא זניחה שהעיון שלו “נקי” יותר משלי. אולי זה לא שיקול מכריע, אבל זה בכל זאת שיקול שאסור להתעלם ממנו ובוודאי שאסור לזלזל בו.

    יש לי עוד הרבה מה להאריך אבל מסיבות שונות הדבר קשה לי כעת. מי ייתן ונוכל “להתכסח” (ברוגע ובשלווה) בימים טובים יותר ופנים אל פנים. בכל זאת, לא אמנע כאן משתי אנקדוטות חביבות.

    1) במשרדו של המנחה שלי, פרופ’ איתן ששינסקי, הייתה תלויה פעם קריקטורה ובה נראים שני מדענים חמורי סבר הבודקים סרט מנוקב ארוך כאורך הגלות הנפלט ממחשב ענק (מהסוג שפעם תפס אולם ומלואו), ואחד מהם פונה לרעהו ואומר: “אולי בכל זאת, לפני שאנו מכנסים מסע”ת להודיע שהפרכנו את תורת הקוונטים, נבדוק שוב את החישובים שלנו?”…
    אגב, כשחיפשתי את הקריקטורה הזו בגוגל תמונות לא מצאתיה, אבל מצאתי את הקישור החביב הבא, שבוודאי יפרנס איזה טור עתידי שלך…
    https://sharp-thinking.com/2014/10/03/%D7%A2%D7%9C-%D7%9E%D7%97%D7%99%D7%A8-%D7%94%D7%90%D7%9E%D7%AA-%D7%95%D7%AA%D7%95%D7%A2%D7%9C%D7%AA-%D7%94%D7%90%D7%A9%D7%9C%D7%99%D7%94/

    הבחורצ’יק בקישור הזה יוצא נגד “שקרים מרגיעים”. משום מה הוא לרגע לא חושב על האפשרות שהבחירה שלו עצמה ב”רציונליות” ו”מדעיות” וכו’ נובעת מכך שהיא נותנת לו הרגשה טובה… (סיפוק, תחושת חכמה, משרה אקדמית, מורמות מעם וכיו”ב).

    2) כשעבדתי במשרד מבקר המדינה (לפני שנים רבות) נתקלתי פעם בארכיון האוצר במכתב מפרופ’ מילטון פרידמן לשר האוצר דאז, שמעון פרס. פרידמן כתב לפרס שאנשים רבים נוהגים לזהות אידיאולוגיה כלכלית-פוליטית עם מטרותיה אך מתעלמים מהאמצעים שבהם היא דוגלת להשיגן. אחד המשפטים שנחרטו בזכרוני מהמכתב (הדי ארוך) ההוא היה: “אילו היה הסוציאליזם מוגדר רק על פי מטרותיו והצהרותיו, אולי גם אני הייתי סוציאליסט”. אגב, בזה אני חולק על פרידמן. לדעתי הסוציאליזם פסול גם אתית, ולא רק משום שהבטחותיו לא ניתנות למימוש, אבל זה דיון אחר.

    זו דוגמא טובה ל”נגיעס” שעליהן דיברתי. כשציינתי את האינטלקטואלים הגאונים שנהו אחרי סטאלין, לא התכוונתי להשוות אותך לא לסטאלין ולא להיטלר. (חלילה, מה זה עלה על דעתך?). התכוונתי שהטעות של אותם גאונים (ראסל בוודאי היה גאון בתחומו) הייתה בדיוק זו שעליה הצביע פרידמן במכתבו. הם ממש רצו להאמין ב”עולם חדש מופלא” שיביא עמו הסוציאליזם, וההטיות הקוגניטיביות האנושיות הפועלות על כל אדם פעלו גם עליהם, וסימאו את עיניהם מלראות את מהותו האמתית של גן העדן הסוציאליסטי הסובייטי. דוגמא אחרת שוודאי מוכרת לך היא ריצ’רד דוקינס. אתה מאשים אותו בספרך “אלהים משחק בקוביות” בחוסר מיומנות פילוסופית. יכול להיות שאתה צודק (אינני מוסמך לשפוט). אבל הוא בוודאי לא טיפש ולא בור ונבער. יתרה מזו, יכול להיות שהוא מיומן פילוסופית לא פחות ממך, אבל מוטה בגלל שהוא מאוד רוצה להגיע לתוצאה שהוא חש טוב אתה יותר משהוא חש עם האלטרנטיבה. (לתחושתי האינטואיטיבית, זו האפשרות היותר סבירה).

    3) אמרתי שתיים, אבל נזכרתי בעוד אחת שאני ממש “מוכרח” להזכיר. ישבנו פעם, קבוצת בחורים ב”ישיבת הנגב” בנתיבות, ועבר לפנינו הרב ראובן גרשונוביץ’ זצ”ל. לאחר שהתרחק כדבעי שאל מישהו מאתנו (איני זוכר מי): “נניח שר’ ראובן יגיע למסקנה אתיאיסטית, האם הוא יזרוק את הפראק וההמבורג ויתפקר”? אני זוכר שלאחר ויכוח הגענו לקונצנזוס שזה לא יקרה. אפילו אם הוא יאבד את אמונתו (מה שאני בטוח שלא קרה), הוא יעדיף להעמיד פנים שהוא מאמין כדאשתקד ולא לאבד את ה”עוילם הזה” שעוד נותר לו (מעמד כ”גאון” ו”צדיק”, משכורת מהישיבה וכו’). לא מזמן קראתי שקבוצת חוקרים מבר-אילן טוענת שבציבור הדתי והחרדי כאחד יש תופעה של אתיאיסטים בארון הכוללת גם ר”מים בישיבות, משגיחים ורבני קהילות שאיבדו את אמונתם אך כלואים בזהותם. חלק מהם מודעים לדיסוננס הקוגניטיבי שלהם, אבל כנראה שרובם מתכחשים לו כנ”ל.

    לסיכום: העיון הפילוסופי-לוגי “זה מה יש” לנו. אבל צריך לתת בו אימון של 100% פחות אפסילון. על גודלו של האפסילון אפשר להתווכח, והוא כנראה פונקציה של המאפיינים האישיותיים של כל מעיין ומעיין.

    1. לצערי אנחנו שוב מסכימים, אולי למעט אפסילון.
      אני מסכים שכדאי להיות מפוכח ולחשוד בעצמך בנגיעס, אבל אני לא בעד נבירות. אובססיות לא הועילו לאף אחד. הקו בין זה לזה כמובן אינו מוגדר באופן ברור.
      הסמכות המהותית קיימת בעיקר ביחס לעובדות. זו סמכותו של המומחה. סמכות פורמלית לא קיימת ביחס לעובדות (=החובה לקבל דבר רק כי פלוני המוסמך אמר אותו).
      אני מסכים שיש נקיות דעת, אבל אני באמת לא נוטה לתת לה מעמד גבוה מדיי. אני חושב שיש הרבה נקיי דעת שהם גם חכמים מאד שמדברים שטויות (והמנהיגות החרדית בימים אלה תוכיח). לכן הפוסק העליון הוא העיון השכלי וההגיוני.
      1. אני כמו הבחורצ’יק (שטרם קראתי) לא מתייחס לחשיבה רציונלית כאל הטיה. זה אכן נותן לנו מנוחה ונחת, אבל זה תוצר לוואי. הנחת היא כי זוהי האמת. לעומת זאת בהטיות הנחת מובילה לאימוץ התפיסה שמדובר באמת. הרלטיביזם שמתייחס לרציונליות כאופציה אחת מבין רבות נראה לי דמגוגי, במחילה.
      3. לגבי קבוצת החוקרים, אני ישבתי על קברם של כמה וכמה כאלו (אתאיסטים בארון).

  9. מוריס כהן צודק. החישוב השני מבוסס על תאווה דמיונית הממעטת את ההפסד. או במלים אחרות, ההנחה שבמעטפה אותו סכום קבוע של X שגויה, כי הסכומים שבמעטפות תלויים זה בזה וסכומם שווה.

  10. רציתי להציע פתרון נוסף:
    נגדיר את הבעיה כך:
    מגרילים מספר X כלשהו בין 0 ל N בהתפלגות אחידה. לאחר ההגרלה מכניסים X שקלים למעטפה אחת ו2X שקלים למעטפה שנייה. אני מציע לעובר אורח תמים לבחור אחת מהמעטפות מבלי שהוא יודע את X או N. עכשיו אני מציע לו להחליף את המעטפה שבידו.

    נגדיר את A להיות הסכום שביד עובר האורח לפני ההחלפה (שהוא או X או 2X).

    נחשב כעת את תוחלת הרווח בהחלפה:
    E_Switch=0.5*E_Doubling-0.5*E_Halving.
    E_Doubling = תוחלת הרווח בהכפלה
    E_Halving = תוחלת ההפסד באיבוד מחצית

    כעת נחשב את E_Doubling:
    רק אם A קיבל את הערך של X ולא של 2X, רק אז תתרחש הכפלה. כלומר בהינתן תרחיש הכפלה, A מתפלג כמו X כלומר בין 0 לN באופן אחיד ותוחלתו היא 0.5N וזאת גן תוחלת הרווח בהכפלה.

    כעת נחשב את E_Halving:
    רק אם A קיבל את הערך של 2X ולא של X, רק אז תתרחש חצייה. כלומר בהינתן תרחיש חצייה, A מתפלג כמו 2X כלומר בין 0 ל 2N באופן אחיד ותוחלתו היא N. ותוחלת הפסד איבוד המחצית היא חצי מזה, כלומר N/2.

    כעת נציב בחזרה:
    E_Switch=0.5*0.5N-0.5*0.5N=0

    מה דעתך?

    1. יש שלוש בעיות בפתרון הזה.
      1. אתה בעצם מציע כאן את חישוב 3 (חישוב התוחלת הרגיל), וכבר הסברתי שזה שיש חישוב שנותן את התוצאה הנכונה אינו פתרון לפרדוקס. עליך להסביר מדוע הפתרון השגוי הוא שגוי.
      2. האירועים תלויים זה בזה, ולא לקחת זאת בחשבון. אתה בוחר שתי מעטפות שיש ביניהן קשר אחת X והשנייה 2X. לכן אי אפשר לקחת הסתברות של כל אחת מהן בשווה.
      3 (קשור לראשון), ברגע שהקטע N הוא סופי, ההתפלגות אינה אחידה. אם בחרת X=0.75N למשל, אין אפשרות לקבל 2X שיהיה בתחום. X יכול להגיע רק עד חצי N. כמו כן, ברגע ש-N שלם אז בחירה של 2X (הסכום הגדול) לא זוגי לא יכולה להתקבל. ואם כוונתך לכל הערכים הממשיים (ולא רק שלמים) עד N, אז יש לדבר על צפיפות הסתברות ולא על הסתברות.

    2. אני אנסה להסביר במילים מה שגוי בפתרון השגוי:

      כאשר מחשבים תוחלת של רווח ההחלפה – X, צריך להתחשב גם בהתפלגות של A (הסכום לפני ההחלפה), ובהתפלגות המותנה שלו בהינתן תרחיש הכפלה ותרחיש חצייה. בהינתן תרחיש הכפלה התוחלת של A קטנה יותר מאשר תוחלתו בהינתן תרחיש חצייה (כי אם A הוא מספר בין N ל2N לא יכולה להתרחש הכפלה). מה שאני עשיתי הוא להכניס את ההתחשבות בהתפלגות של A לתוך הנוסחה השגויה של X והראיתי שכשמתחשבים בה הכל מסתדר.

השאר תגובה