האם המתמטיקה היא המצאה או גילוי? (טור 434)

בס"ד

מוקדש לידידי שמואל קרן

(ותודה ששלחת לי את הסרטון של דקופסקי)

רבים עסקו בשאלה הזאת, אבל כל פעם מחדש אני חש שלא ברור אם יש לה בכלל מובן. מעבר לזה, הטיעונים שעולים בדיונים הללו בדרך כלל נראים לי לא רלוונטיים ומשקפים חוסר הבנה ביחס למתמטיקה או ביחס לשאלה עצמה. אתמול (יום ב) שלחו לי סרטון קצר שבו אדם בשם ג'ף דקופסקי עוסק בשאלה הזאת, והחלטתי שזו הזדמנות טובה לגעת בה בצורה קצת יותר שיטתית. מישהו צריך לעשות כאן סדר, לא?

הצגת השאלה/שאלות

דקופסקי פותח בהצגת השאלה: האם טענות של המתמטיקה נכונות גם בלי שגילו אותן? האם מצולעים או מספרים הם יישים קיימים או ייצוגים של תיאוריות שאינן אלא המצאות שלנו? לקראת סוף הסרטון הוא מנסח אוסף של שאלות דומות שלכאורה נותרות תלויות בחלל (אם כי תשובתו אליהן די ברורה. ראו בהמשך): האם מתמטיקה היא המצאה או גילוי? מבנה מלאכותי או אמת אוניברסלית? תוצר אנושי או בריאה אלוקית? כל השאלות הללו משיקות ודומות זו לזו, אבל ממש לא זהות. לגבי חלקן לפחות, אני בספק אם יש להן בכלל מובן ברור, ולפחות התשובה להן מובנת מאליה ולכן הדיון בהן מיותר.

הטענות של המתמטיקה כמובן נכונות גם לפני שגילו אותן וגם אם לא היו מגלים אותן לעולם. כאן אני פשוט לא מבין את השאלה. זה נכון גם אם הייתי חושב שהמתמטיקה היא המצאה אנושית. מישהו מעלה בדעתו שמשפט פיתגורס לא היה נכון עד המאה השישית לפני הספירה? גם אם אקבל לצורך הדיון את הטענה שאם לא היו בני אדם בעולם אז לא הייתה מתמטיקה (או שהייתה מתמטיקה אחרת), עדיין ברור שמשפט פיתגורס היה נכון מאז שהיו בני אדם בעולם, גם אם אף אחד מהם עדיין לא שמע עליו. מה קורה בעולם שמאוכלס ביצורים אחרים (כאלה שלא חושבים כמונו)? בזה אגע בהמשך.

השאלה השנייה היא שאלת האפלטוניזם (קיומן של אידאות). היא זו שניצבת בשורש הדיון, שכן אם מדובר באידאות קיימות אז די ברור שהן לא מעשה ידינו (אלא אם תאמרו שאנחנו בראנו את עולם האידאות, או שהמצאת רעיון מתמטי יוצרת אידאה בעולם). לכן שאלה זו בהחלט רלוונטית לדיון אם המתמטיקה היא המצאה או גילוי.

אבל יש כאן נקודה יסודית שנוגעת לרוב השאלות: אם היישים המתמטיים לא קיימים, אבל היחסים המתמטיים מתארים אל נכון תופעות בעולם, האם זה אומר המתמטיקה לא קיימת? טלו כדוגמה מכונית נוסעת. מהירותה של המכונית אינה יש קיים, אבל היא גם לא המצאה שלנו. זוהי תכונה או מאפיין של המכונית, ואם אינכם ספקנים קיצוניים מדיי אז ברור שזו תופעה קיימת בעולם. לכן השאלה האם יישי המתמטיקה קיימים והשאלה האם טענותיה של המתמטיקה הן אמיתיות (לגבי העולם) הן שאלות בלתי תלויות לפחות לכיוון אחד. אם יישי המתמטיקה קיימים אז הטענות לגביהם ודאי מתארות את המציאות (שלהם). אבל גם אם הם לא קיימים, עדיין אפשרי שטענות המתמטיקה אמיתיות במובן אובייקטיבי. גם אם המספרים 2, 3 ו-5 לא קיימים כיישים, אין שום מניעה לומר שהטענה 2+3=5 היא אמיתית ואינה פיקציה מלאכותית שאנחנו המצאנו. כאשר נכניס שני תפוחים לקערה ואז נוסיף עוד שלושה תפוחים, כולם יצטרכו להסכים שיש בקערה בסך הכל חמישה תפוחים. התוכן המתמטי  הוא נכון גם אם השפה שבה הוא מתואר היא המצאה שלנו.

זה מביא אותי לשאלה שניסחתי למעלה: מה יקרה בעולם שמאוכלס באנשים שחושבים אחרת מאיתנו (לא בשפות המתמטיות שלנו). אם יש מישהו או מישהם שבשפתם לא קיימים המספרים או פעולת החיבור, עדיין הוא יצטרך להסכים לעובדה שיש בסל חמישה תפוחים. הוא רק יאמר זאת בשפתו שלו (ראו בטור 381 ובסדרה סביבו על יייצוגים לשוניים בכלל, ועל שפות מספריות שכוללות רק שלושה מספרים: 1, 2 והרבה).

בספרי שתי עגלות ביקרתי את טענתו של גדי טאוב בספרו המרד השפוף, שהעלה טענה דומה לגבי הפיזיקה. טאוב הביא שם טענות פמיניסטיות רדיקליות שלפיהן הפיזיקה היא "מזימה" גברית, כלומר הניסוח שלה הוא גברי, ולכן אין פלא שנשים מצליחות פחות בתחומים הללו. טאוב העיר שהוא לא היה רוצה לטוס במטוס שבנוי על פיזיקה אחרת, נשית או לא. טענתי שהוא טועה. יש מקום לביקורת הפמיניסטית ביחס לשפה של הפיזיקה. ייתכן שפיזיקה שהייתה נוצרת ומתפתחת על ידי נשים הייתה נראית אחרת לגמרי. השפה שם הייתה שונה. זה לא אומר שהתוכן היה שונה, ושהמטוס היה בנוי באופן שבפועל הוא היה מתרסק. ייתכן שהן היו בונות מטוס אחר שגם הוא היה מצליח לטוב, או שהיו אפילו בונות את אותם מטוסים כמו שלנו, אבל התכנון והתורה שמונחת ביסודם הייתה מנוסחת בשפה שונה. חשוב מאד לעשות הבחנה בין התוכן לבין השפה שמייצגת ומבטאת אותו. גם אם השפה היא סובייקטיבית, אין זה אומר בהכרח שהתוכן הוא המצאה ולא גילוי. עוד נשוב להבחנה הזאת בהמשך.

הגישות והטיעונים: היוונים הרשעים

דקופסקי מסביר שהפיתגוראים סברו שהמספרים הם יישים קיימים בעלי תודעה שאפילו פועלים בעולם (סוג של מלאכים). אפלטון סבר שהמספרים והיישים המתמטיים הם יישים בעלי ממשות כמו העולם עצמו (אמנם אלו אידאות לא חומריות כמובן). אוקלידס סבר שהעולם והטבע הם מימוש של חוקים מתמטיים מופשטים.

שתי הגישות הראשונות הן בעצם אפלטוניות, כלומר תופסות את המספרים והיישים המתמטיים כאובייקטים מופשטים שיש להם קיום ממשי (אמנם כנראה לא במרחב ובזמן. כמו נשמה, מלאכים, או אלוקים, יישים רוחניים שלא קיימים במרחב ובזמן). אבל הגישה האוקלידית, לפחות כפי שהוא מתאר אותה, לא אומרת כלום לענייננו. אבל קודם עליי להבהיר אותה עוד קצת.

העובדה ש"הטבע כתוב בשפת המתמטיקה", לא הייתה כל כך ברורה בזמנו של אוקלידס, ולדעתי הוא לא מתכוון לטענה המודרנית הזאת. נדמה לי שכוונתו היא לומר שחוקי הפיזיקה הם ענף של המתמטיקה. כמסקנה מדבריו, עקרונית לא נדרשת תצפית כדי להכיר אותם אלא די בחשיבה לוגית. חוקי הפיזיקה נוצרים מיחסים הכרחיים בין עצמים ותופעות, והיחסים הללו הם עניינה של המתמטיקה. צריך להבין שזו טענה שונה לגמרי מהטענה שהטבע כתוב בשפת המתמטיקה. התפיסה המדעית הרווחת כיום היא שדרושה תצפית כדי לטעון משהו על העולם (זו מהות האמפיריציזם, נגד הרציונליזם). חוקי הטבע הם תוצאה של תצפית (שנעזרת בכלים מתמטיים) ולא של אנליזה מתמטית טהורה. ועדיין ברור היום הרבה יותר מאשר בעבר שהטבע כתוב בשפת המתמטיקה. הכל מנוסח בשפה מתמטית וקשה לדמיין פיזיקה בלי מתמטיקה (אלא אם אתן נשים, אפרופו טאוב). אבל המתמטיקה רק משמשת אותנו כשפה נוחה לתאר את תוצאות תצפיותינו ואת ההכללות שנעשות על בסיסן. המתמטיקה היא רק שפה, אבל הפיזיקה מבוססת על תצפיות בעולם. התצפיות הן חומר הגלם שמתואר בשפה המתמטית, וזו מאפשרת לנו לעבד אותן ולהסיק מהן מסקנות. גם הסקת המסקנות מהתצפיות אינה מתמטית טהורה. מדובר באינדוקציה מדעית, הכללה, אלא שהשפה שבה אנחנו עושים זאת היא במקרים רבים השפה המתמטית. זו התפיסה המדעית העכשווית. אם נשוב כעת לאוקלידס, הוא טוען שאין צורך בתצפית. הבנה מתמטית להגדרה נכונה של המושגים תניב את כל המדע.

אך גם אם העולם הוא מימוש של חוקים מתמטיים, כפי שאוקלידס חשב, אין לכך ולא כלום עם הטענה שיישי המתמטיקה הם יישים קיימים. זה רק אומר שהיחסים בין האובייקטים בעולמנו מתוארים היטב על ידי המתמטיקה וזה לא מקרה. היא שולטת בהם ולכן מתארת אותם היטב. זה בהחלט אומר שהמתמטיקה היא סוג של אמת על העולם, אבל אמת לא במובן האונטי. אין הכרח שהיישים שלה קיימים בעולם, כמו שסבר אפלטון. זוהי אמת כמו האמת בטענות שיש בקערה חמישה תפוחים או שמהירותה של המכונית היא 100 קמ"ש. טענות אלו לא מייצגות אובייקטים מופשטים או מוחשיים, אלא יחסים ותכונות בין אובייקטים (בדרך כלל מוחשיים). ועדיין היחסים הללו אינם המצאה אלא גילוי של אמיתות על העולם האובייקטיבי.

הגישות והטיעונים: העידן המודרני – קרונקר

לאחר מכן מביא דקופסקי גישות שלפיהן גם אם מספרים ואובייקטים מתמטיים הם יישים קיימים, טענות מתמטיות בוודאי אינן קיימות. הסיבה לכך היא שהאמיתות שלהם מבוססת על חוקים שיצר האדם. הוא מסביר שלפי גישות אלו המתמטיקה היא שפה שמטפלת ביחסים בין יישים מופשטים שהם פרי יצירתו של המוח שלנו.

כבר כאן אומר שלאור מה שראינו למעלה זו טענה מאד בעייתית. אם בכלל, נכון יותר לומר בדיוק את ההיפך: היישים המתמטיים אולי לא קיימים, אבל היחסים המתמטיים ודאי נכונים בעולם עצמו (אם כי לא קיימים במובן שבו אובייקטים קיימים).

דקופסקי אומר שאחד המייצגים של התפיסה הזאת הוא ליאופולד קרונקר (מתמטיקאי גרמני ידוע בן המאה ה-19). קרונקר אמר שאלוקים יצר את המספרים הטבעיים, אבל כל השאר הוא מעשה ידי האדם. אני לא יודע למה הוא התכוון, אבל הטענה שהמתמטיקה היא מעשה ידי האדם יכולה להתייחס לתוכן הטענות המתמטיות או לשפה שבה הן מובעות. האם כוונתו לטעון שמשפט פיתגורס הוא מעשה ידי האדם? האם הוא פיקציה מלאכותית? זה מגוחך. שרטטו משולש על דף נייר, תמדדו ותראו שהוא נכון. הוא אמנם אינו אובייקט או יש מופשט, אבל זו טענה אמיתית על העולם. היא אמיתית קודם כל בעולם הרעיונות, וכמובן אמיתית גם בכל מרחב אוקלידי שקיים בעולמנו או בכל עולם אחר (בשפה המתמטית: עולם שמהווה מודל לתורה המתמטית הזאת). השפה של זוויות ויחסים, העלאה בריבוע או חיבור, היא אולי שפה שאנחנו יצרנו. ייתכן שניתן לתאר יחסים מתמטיים בשפות אחרות (שפות נשיות?). אבל התוכן המתמטי, לא השפה שבה הוא מיוצג, הוא ודאי אמיתי. אני לא חושב שמישהו מהמתמטיקאים או הפילוסופים חולק על כך (למעט ספקנים הזויים).

אביא לכך שתי דוגמאות שימחישו את העניין. כידוע, יש שתי צורות שקולות לתאר את המישור הדו-ממדי: הידועה יותר היא מערכת של קואורדינטות קרטזיות (מערכת צירים שבה צירי X ו-Y מאונכים זה לזה, וכל נקודה מתוארת על ידי שני ההיטלים שלה על שני הצירים). ויש גם סוג אחר של מערכת קואורדינטות פולריות (קוטביות), שבה כל נקודה במישור מתוארת על ידי מרחקה מראשית הצירים והזווית שהמרחק הזה יוצר עם ציר ה-X. כך למשל הנקודה (3,4) במערכת הקרטזית, תתואר במערכת הפולרית כנקודה שמרחקה מהראשית הוא 5 והזווית עם ציר ה-X היא 53⁰. יש לנו כמה צורות תיאור למערכת הנקודות במישור, האם זה אומר שהמישור הדו ממדי הוא המצאה שלנו? לא בהכרח. הנקודות במישור קיימות בעולם (על הדף למשל), אבל השפה שבה אנחנו משתמשים כדי לתאר אותן היא יצירה שלנו.

ניטול דוגמה אחרת (שנפוצה בפילוסופיה אנליטית). חשבו על "מרכז הכובד של גלקסיית שביל החלב ביום 14.12.2021 בדיוק בשעה 12:00 בצהרים". כדי להבין את התיאור הזה, אדם חייב להבין המון מושגים: מרכז, מרכז כובד, גלקסייה, גלקסיית שביל החלב, שעה, צהרים, מספרים וספרות כמו 12:00 ועוד ועוד. כל אחד מאלו דורש גם הוא הבנה של מושגים רבים אחרים. התיאור הזה מניח המון ידע שאנחנו אפילו לא שמים לב אליו. אבל אם תתבוננו בהצבע של התיאור הזה (מינוח של ראסל, במאמרו הידוע 'על ההצבעה'), מדובר בנקודה אחת מסוימת בחלל שניתן להצביע עליה באצבע (אגב, ניתן להצביע עליה בכל רגע ומכל מקום, אלא שברגעים אחרים היא כבר לא תהיה מרכז הכובד של גלקסיית שביל החלב). הצבעה כזאת לא דורשת שום ידע מוקדם, והאדם שיראה אותה יוכל לזהות את הנקודה הזאת בחלל בלי שום ידע מוקדם של אף אחד מהמושגים שהשתמשתי בהם וכמובן בלי המטען הרב שמוכל בהם. אגב, אפשר לתאר את אותה נקודה בחלל באינספור צורות אחרות כמובן (כאן חזרנו למערכות הקואורדינטות שנדונו קודם). האם פירוש הדבר שהנקודה הזאת לא באמת קיימת? שמדובר בהמצאה שלנו? ודאי שלא. השפה שבה אנחנו מתארים אותה היא אולי יצירה שלנו.

כך גם אם תתבוננו במושג "מרכז כובד" עצמו, הוא אולי יצירה שלנו. אבל יש לו משמעות אובייקטיבית בעולם עצמו שניתן להסביר אותה לכל אחד. לכן אפילו המושג הזה אינו המצאה אלא גילוי, אם כי ברור שזה לא אומר שהיא מתייחסת לאובייקט מופשט שקיים בעולם (אידאת "מרכז הכובד"). זה כבר תלוי אם אתם אפלטוניסטים או לא.

אם נשוב לקרונקר, דומני שעל פי עקרון החסד יש לפרש את דבריו באופן שיהיה הגיוני. הוא כנראה אינו מתכוון לומר שהתוכן המתמטי הוא המצאה. השפה המתמטית היא המצאה, אבל היחסים שגילינו ביחס למושגים המומצאים הללו הם יחסים אמיתיים ואובייקטיביים. האמת שלהם אינה בהכרח בעולם שלנו אלא בעולם מופשט כלשהו (בעולם הרעיונות). אבל משמעותה של הטענה שמדובר באמת ולא בהמצאה היא שאם יהיה בעולם המוחשי שלנו מודל שיממש את התורה המתמטית הזאת, אזי טענותיה תהיינה נכונות לגביו.

סיכום ביניים חשוב מאד

חשוב לשים לב שכל הטענות מכאן והלאה עוסקות במישור הזה של הדיון. כלומר לא מדובר בטענות אפלטוניות כאילו ליישים המתמטיים יש קיום בעולם אידאות כלשהו. הטענות של מתמטיקאים, פיזיקאים ופילוסופים מודרניים עוסקות בשאלה האם המתמטיקה היא המצאה או גילוי, כלומר האם מדובר באמת אובייקטיבית על העולם עצמו או בהמצאה אנושית מלאכותית. אבל לא בהכרח במובן אפלטוני. האינדיקציה לאובייקטיביות כזאת היא שאם נמצא בעולם תחום שמהווה מודל לתורה מתמטית כלשהי, התחום הזה יתנהל לפי החוקים שהתורה המתמטית מכתיבה. זו למעשה ההגדרה של היחס בין תורה למודל (בתורת המודלים במתמטיקה), ולכן אתם יכולים לראות שהשאלה למעשה התרוקנה מתוכן. אין מי שחולק על הטענה הזאת, למעט ספקנים הזויים. לכל היותר, ניתן להתייחס לשפה המתמטית וליישים שבהם עוסקים כהמצאה, אבל התוכן המתמטי הוא אמת אובייקטיבית (במובן הזה) לכל הדעות.

אני טוען בעצם שלוש טענות, שכמובן יש קשר ביניהן:

1. כל תורה מתמטית היא אמת אובייקטיבית, במובן הזה שאם יהיה בעולם תחום שבו מתקיימות ההנחות שלה (הוא מהווה מודל עבורה), אז הוא יתנהל לפי חוקיה. לכן ברור שמתמטיקה אינה המצאה אנושית אלא גילוי. זה לא אומר שהיישים שלה קיימים או שיש מלאכים שמחוללים את היחסים שהיא קובעת, אבל היחסים הללו הם הכרחיים גם בעולם האמיתי שלנו.
2. ומכאן שהתורה המתמטית עצמה, גם אם אין לה שום מימוש בעולם, כלומר שלא מצאנו (עדיין?) תחום שיהווה מודל עבורה, היא אמת במובן אפלטוני אובייקטיבי. זוהי אמת שעוסקת ביחסים שונים בעולם רעיוני. זוהי אמת אובייקטיבית במובן הזה שאלו הם היחסים ההכרחיים בין היישים שנדונים בה, ואין אפשרות להתווכח על כך.
3. השאלה האם בפועל קיים או לא קיים עולם רעיוני מופשט כזה, זו שאלת האפלטוניזם. אני אישית נוטה לחשוב שכן, מפני שלדעתי האמיתות המתמטיות הן תוצרים של תצפית שלנו בעולם האידאות האפלטוני (כך הוא לדעתי ביחס לרבים מהמושגים שלנו. אני אסנציאליסט ולא קונוונציונליסט. ראו בסוף הטור). אבל כאן יכול להיות מקום לוויכוח. אחרים יטענו שהיחסים הללו משקפים את מבנה המוח שלנו ולא משהו בעולם עצמו. כמובן שאז תעלה השאלה כיצד קורה שהמבנים המוחיים הללו נמצאים אפקטיביים במדע שעוסק בעולם, וכאן אנחנו נכנסים למחוזות האבולוציה וטענות אודות המשגות אנושיות (כך אנחנו ממשיגים את מה שקורה בעולם, וזה לא העולם עצמו). ראו על כך בהמשך, בדיון על ויגנר.

הוויכוח ביחס לשאלה השלישית נוגע לשאלה האם העולם הרעיוני המופשט שבו עוסקת הטענה 2 הוא עולם שקיים במובן כלשהו (בלי להיכנס להגדרת קיום אצל אפלטון. בכל מקרה, נראה לי ברור שקיום אינו דורש תפיסת חלל ו/או להיות בעל מסה), וזהו האפלטוניזם, או שמא זה רק מבנה סובייקטיבי שקיים בשכל שלנו שרק דרכו אנחנו יכולים לתפוס את העולם, וזו גישת ההמשגה. הוויכוח הוא בשאלה האם המבנים המתמטיים הם אונטיים או אפיסטמיים. אבל לפי שתי הגישות מדובר באמת אובייקטיבית במובן של שתי הטענות הראשונות.

בכל אופן, אני טוען שהשאלה השלישית היא היחידה שיש לה משמעות בהקשר הדיון שלנו. ביחס לשתי הקודמות, יש להן מובן מילולי, אבל התשובה להן מובנת מאליה. ולכן שתי השאלות, ובוודאי הדיון לגביהן, די חסרי משמעות.

כעת נוכל לעבור לעמדות מודרניות יותר, ולראות שכולם טוחנים מים. רוב ויכוחים ומהומה על לא מאומה. כולם בעצם מסכימים לשתי הטענות הראשונות שהצבתי כאן, ולכל היותר מתווכחים לגבי השלישית (אם כי, אם תקראו בתשומת לב תראו שהיא בכלל לא עולה בדיונים). חשוב להבין שהמונח 'אפלטוניזם' מתמטי שבמקורו נוגע רק לטענה 3, משמש כיום במובן מושאל בעיקר כדי לבטא את שתי הטענות הראשונות. זה מאד מבלבל, וניתן אולי לומר שזהו הבלבול העיקרי שמביא לכל הדיון העקר הזה. כפי שאמרתי, לגבי שתי הטענות הראשונות שוררת הסכמה רחבה (לדעתי כל אדם סביר מסכים לשתיהן), ולכן יכול אולי להיות ויכוח על אפלטוניות (שאלה 3) אבל אין באמת ויכוח עליהן. אפלטוניזם במובן המבלבל שתיארתי הוא עניין מוסכם לגמרי.

הגישות והטיעונים: העידן המודרני – הילברט והאקסיומטיזציה

בשלב הבא מספר לנו דקופסקי, שהמתמטיקאי הגרמני הנודע דייוויד הילברט (בין המאות 19-20) ועמיתיו יצרו מבנים אקסיומטיים לכל שטחי המתמטיקה (כמו שמוכר לכולנו מהגיאומטריה), ומתוך כך הוא מסיק שהם ראו בהם משחק לוגי עמוק, ועדיין משחק.

איני מכיר את פרטי השקפותיו של הילברט, אבל שוב אשתמש בעקרון החסד. זה שיוצרים מבנה אקסיומטי לתחום מתמטי כלשהו לא אומר שמדובר במשחק. מן המפורסמות הוא שאפשר לסדר את הטענות בתחום מתמטי נתון בסדרים שונים. לדוגמה, בגיאומטריה ניתן לבחור כמה טענות אחרות כאקסיומות ולגזור מהן את כל השאר (כולל הטענות שבדרך כלל משמשות כאקסיומות). כך הוא גם במערכות כללים לוגיות (ראו למשל כאן). הבחירה בין צורות הסידור השונות של הטענות (מה מהן יהיה אקסיומה ומהי תיאורמה נגזרת) הן אכן תוצאה של שיקולי נוחיות שלנו, אבל אמיתותו ואופיו של אוסף הטענות עצמו יכולה להיות אובייקטיבית לגמרי. שוב ניתן לראות כאן את ההבחנה שעליה עמדתי למעלה בין התוכן עצמו לבין צורות ההצגה שלו. שימו לב ששאלת האפלטוניות (שאלה 3) בכלל לא עולה כאן, אבל עקרונית ניתן להיות אפילו אפלטוניסט ממש ועדיין לשחק במשחקים של הילברט. גם אם הטענות המתמטיות ויישי המתמטיקה קיימים בעולם אידאות אפלטוני כלשהו, אין מניעה לארגן אותם בצורות סדר שונות ביניהם.

הגישות והטיעונים: העידן המודרני – פואנקרה והגיאומטריה

בשלב הבא דקופסקי עובר לאנרי פואנקרה (מתמטיקאי, פיזיקאי ופילוסוף צרפתי ידוע, גם הוא במאות ה-19-20), שהיה מהיוצרים (המגלים?) של הגיאומטריות הלא אוקלידיות. מדובר בתורות גיאומטריות שיוצאות מהנחות שונות מזו האוקלידית שמוכרת לנו, ובעוד שהגיאומטריה האוקלידית מתארת יחסים מרחביים במרחב ישר (אוקלידי. למשל דף נייר שטוח), הגיאומטריות הללו מתארות יחסים מרחביים במרחבים עקומים (כמו מעטפת של כדור). לטענתו של דקופסקי, פואנקרה סבר שקיומן של גיאומטריות כאלו מוכיח שגם הגיאומטריה האוקלידית היא סוג של משחק לוגי שלנו ולא אמת אובייקטיבית.

זהו טיעון רווח מאד בדיון הזה. רבים מעלים אותו כדי לאשש פלורליזם פילוסופי (ריבוי אמיתות) וכך גם לגבי ראיית המתמטיקה כהמצאה מלאכותית אנושית. אך קל מאד לראות שמדובר בטיעון חסר שחר. כפי שהזכרתי, כל גיאומטריה כזאת מתארת מרחב מסוג שונה. במרחב אוקלידי רק הגיאומטריה האוקלידית נכונה. בכל מרחב אחר (כמו מעטפת של כדור) נכונה גיאומטריה אחרת. האם זה אומר שאף אחת מהגיאומטריות אינה נכונה במובן האובייקטיבי? זהו הבל. להיפך, קיומן של הגיאומטריות השונות נובע מכך שייתכנו מרחבים מסוגים שונים. אבל לכל מרחב נתון יש אך ורק גיאומטריה נכונה אחת, ולכן, אם בכלל, זוהי דוגמה מופתית לאובייקטיביות של תורות מתמטיות.

אמנם זוהי טענה שנוגעת לעולמות מופשטים (אפלטוניים, או סתם רעיוניים מופשטים) שבהם עוסקת המתמטיקה. וכמובן שוב עולה כאן שאלת היישום בעולם. לכל בר דעת ברור שאם יש בעולם מרחב בעל אופי אוקלידי, הגיאומטריה שלו תהיה אוקלידית ולא שום דבר אחר. לכן שתי הטענות הראשונות (1 ו-2 מלמעלה) ודאי נכונות גם אחרי גילוי (!) הגיאומטריות הלא אוקלידיות, ובעצם עוד יותר נכונות אחריו.

אמנם תורת היחסות של איינשטיין מצביעה על כך שהעולם הפיזיקלי שלנו אינו אוקלידי (גם זה לא לגמרי מדויק, אבל לא אכנס לזה כאן), אבל זה לא אומר כלום בנדון דידן. הגיאומטריה של העולם אינה אוקלידית אבל בהחלט  מדובר בתורה גיאומטרית מתמטית מסוימת מאד, ולא אף אחת אחרת. מה לזה וליחסיות של המתמטיקה, או להיותה יצירה אנושית מלאכותית?! מעבר לזה, תהא אשר תהא הגיאומטריה של העולם שלנו, כל גיאומטריה עקבית היא נכונה אובייקטיבית במובן שתיארתי בשתי הטענות הראשונות למעלה (1 ו-2), ואולי גם בשלישית (תלוי אם אתם אפלטוניסטים). אף אחת מהן אינה המצאה אנושית סובייקטיבית ומלאכותית, ועם אף אחת מהן לא ניתן להתווכח, כלומר לדחות את מסקנותיה ולחשוב אחרת.

הגישות והטיעונים: העידן המודרני – ויגנר

הגיעה העת שייכנסו לדיון הזה גם פיזיקאים, שכן הוא בעצם שייך יותר לפיזיקה מאשר למתמטיקה (או ליתר דיוק: יותר לפילוסופיה של הפיזיקה מאשר לפילוסופיה של המתמטיקה). יוג'ין ויגנר, היה פיזיקאי חשוב בשנות השישים של המאה העשרים. דקופסקי מביא שוויגנר טען שהמתמטיקה היא ריאלית, והנימוק שלו הוא למיטב ידיעתי הנימוק הרווח ביותר לטובת הריאליזם המתמטי. ויגנר טען שבמקרים רבים תורות מתמטיות שנוצרו באופן לגמרי מופשט בתקופה כלשהי, מתבררות לאחר זמן כשימושיות בתיאור תופעות פיזיקליות ומדעיות שונות. אין צורך לומר שיוצרי התורות המתמטיות הללו לא חלמו על התחומים המדעיים שבהם יימצא להן שימוש. לטענתו הדבר מוכיח שהמתמטיקה מתגלה על ידי אנשים ולא מומצאת על ידם. אם היה מדובר בהמצאה אנושית, מה הסיכוי שהיא הייתה נמצאת שימושית בתיאור מדעי של העולם האובייקטיבי?

מכיוון שכבר הראיתי שהשאלה בה אנחנו דנים היא בנאלית ואי אפשר להתווכח לגביה, לא ברור מה מוסיף טיעונו של ויגנר. נגד מה הוא יוצא?! תורה מתמטית היא נכונה במובן של שתי הטענות הראשונות (1 ו-2) גם אם לא היה נמצא אף פעם מודל שיממש אותה בפועל. אז מדוע המימוש בפועל משנה משהו? לגבי השאלה השלישית, שם יכולים בעלי העמדה ההמשגתית לטעון שמכיוון שהמבנים הללו הם צורות החשיבה האנושיות אין פלא שאנחנו תופסים את העולם במסגרתן. זו ממש תזת הסינתטי-אפריורי של קאנט.

עליי לציין שאני ממש לא מסכים לה, שכן היה יכול להיווצר מצב שבו שום דבר בעולם לא היה מתאים לצורות ההמשגה והחשיבה שלנו ולכן לא היינו יכולים להתקדם בהבנת המדע. עצם ההתקדמות מוכיחה שלא מדובר בהמשגות סובייקטיביות, אבל זהו כבר ויכוח מול קאנט, שאין כאן (או: קאנט)[1] מקומו. בכל אופן, אם יש משמעות לטיעונו של ויגנר זה רק במישור הזה, אלא שכאן אין בו כל צורך. בספריי שתי עגלות ואמת ולא יציב כבר עמדתי על כך שדברי קאנט מופרכים מתוך עצמם בלי שום קשר לתולדות המדע וליחסיו המורכבים עם המתמטיקה.

מה לכל זה ולקואני זן?

אחרי שדקופסקי מתאר כמה דוגמאות לתורות מתמטיות שנמצאו שימושיות אחרי זמן רב (בהמשך לטיעוניו של ויגנר), הוא אומר שבשלב הזה השאלות הללו נשמעות לו כמו קואן זן (ראו בטורים 17 ו-211 ): אם יש ביער כלשהו מספר מסוים של עצים, האם המספר הזה קיים גם אם אין אף אחד שמתבונן ביער הזה וסופר אותם? אני מניח שכוונתו הייתה לומר שבעקבות טיעוניהם של ויגנר וחבריו ברור שמדובר בשטות. המתמטיקה היא אובייקטיבית, והיא קיימת גם בלעדינו.

בשלב הזה אין צורך לומר שאני מסכים למסקנה אבל לא לטיעונים. המסקנה עולה מתוך עצמה בלי שום קשר לטיעונים שהוא הציג. אבל גם ביחס לקואן שלו יש לי כמה הערות. ראשית, אם הוא מדבר על מספר העצים ולא על עצי היער עצמם, הרי מדובר ביש אפלטוני (=המספר) ואכן לא ברור שהוא באמת קיים. היער אמנם קיים גם בלעדינו, אבל לגבי המספר הוויכוח יכול להישאר בעינו. לא צריך להיות איש זן בשביל זה.

מעבר לזה, כבר הערתי לא פעם על הטעות שבקואן המקורי. הקואן המקורי שואל אם עץ נופל בער ואף אחד לא נמצא שם כדי לשמוע, האם הוא משמיע קול? התשובה שאליה מחכים כולם היא: כמובן שכן. אבל למרבה האירוניה התשובה הנכונה היא: כמובן שלא. הקול הוא תופעה הכרתית שקיימת רק בתוכנו פנימה. בעולם יש גל אקוסטי, ורק כשהוא פוגע בעור התוף שלנו הוא יוצר בתוכנו חוויית אודיו של קול. בעולם עצמו אין קולות ולא מראות. יש שם עצמים ותופעות שיוצרים אצלנו בהכרה מראות וקולות.

אם נשוב למספר העצים ביער, ברור שהיער קיים גם בלעדינו. אבל כל תיאור שניתן לו הוא פרי השפה וההמשגה שלנו. אם לזה הכוונה, אז גם אחרי הקואן שלו ניתן לומר בקלות שהשפה המתמטית היא המצאה. אם מדובר על התכנים המתמטיים שהיא מתארת, הם ודאי נכונים גם במובן האובייקטיבי (טענות 1 ו-2 מלמעלה). אני יכול לומר לכם בוודאות שכל יער שנמצא בעתיד שיהיו בו עשר שורות של חמישה-עשר עצים יכיל 150 עצים. יתר על כן, גם יער אפלטוני או רעיוני שבנוי כך "מכיל" 150 עצים. באופן לא מפתיע, שתי הטענות הראשונות (1 ו2) מתקיימות גם כאן, ולגבי השלישית ניתן כמובן להתווכח.

סיכום: מהי מתמטיקה

המורם מכל האמור, יסודות המתמטיקה (האקסיומות) והיישים היסודיים שלה (הגדרת המושגים) נוצרים על ידי תצפית שלנו בעולם רעיוני מופשט (או אפלטוני או המשגתי). גזירת התיאורמות מתוך האקסיומות והמושגים הללו נעשית בדרך לוגית פורמלית תקפה ואין אפשרות להתווכח עליה. בהסתכלות הזאת, המתמטיקה היא סוג של מדע אמפירי, אלא שאיננו תופסים אותו בחושים אלא ב'עיני השכל', או באינטואיציה שלנו. כוונתי כאן לטעון שזהו סוג אחר של הכרה, ולא רק חשיבה. חשיבה נעשית כולה בתוכנו פנימה ואין לה קשר למה שקורה בחוץ (זהו כנראה המצב לפי התפיסה ההמשגתית). כאן אנחנו עוסקים בהכרה של משהו שנמצא מחוצה לנו. אמנם מדובר בהכרה לא חושית (ב'עיני השכל').

אין שום ממצא מדעי שיכול לאשש או להפריך את המתמטיקה, ולכן גם בדיון אודות האובייקטיביות שלה אין שום טעם להעלות טענות מעולם המדע ובטח לא מעולם המתמטיקה. זהו דיון במטא תחום, והשיקולים כאן יכולים להיות פילוסופיים בלבד. את חלקם הצגתי במהלך דבריי בטור. לכן כל המתודולוגיה של הדיון בסרטון של דקופסקי היא מופרכת. הטיעונים שלו אינם רלוונטיים לדיון, וכפי שהראיתי גם אינם נחוצים. ניתן להגיע למסקנות ברורות גם בלעדיהם. ומה שלא ברור (שאלה 3), נותר לא ברור גם אחריהם.

אני מניח שרבים מכם יכולים לנחש מה יהיה המשפט הבא שלי. לאור ההגדרה שהצעתי כאן, המתמטיקה היא ענף של הפילוסופיה (ראו בסדרת הטורים 155 והלאה, וביתר פירוט בסדרת השיעורים בשני הקורסים שנתתי על פילוסופיה. נגיש רק למי שנרשם). המתמטיקה עוסקת בגזירת מסקנות מתוך הנחות שאינן תוצר של תצפית מדעית, ממש כמו הפילוסופיה. ההבדל ביניהן הוא שהמתמטיקה היא ענף פורמלי וההיסקים שלה הם הכרחיים, זאת בניגוד לשאר תחומי הפילוסופיה שאינם בהכרח פורמליים ושההיסקים שלהם מוכנים לקבל גם סבירות ולא רק וודאות. אם כן, המתמטיקה היא סוג מסוים של פילוסופיה. כפי שטענתי בסדרת הטורים וההרצאות שם, גם הפילוסופיה, כמו המתמטיקה, אינה המצאה אנושית מלאכותית אלא אוסף של טענות על העולם. יתר על כן, להערכתי יש מעט מאד וויכוחים לגבי העקרונות שלה. כוונתי כאן כמובן רק לאותם חלקים ממנה שיש להם תוכן מסוים, ולא לכל בלבולי המוח ופטומי מילי שמתלווים אליהם בהמוניהם (ראו למשל בטור 223 על עשיית דין בצרפתים ועוזריהם ועל משמעות המחלוקות בפילוסופיה).

[1] החברותא שלי בבני ברק היה נוהג לקרוא לי פיזיקאנט.