מבט בייסיאני על הראיה הפיזיקו-תיאולוגית (טור 506)

בס"ד

שני הטורים הבאים מוקדשים למבטים מזווית שונה על ימים נוראים. הראשון יעסוק בהמלכה מתמטית של הקב"ה, בעקבות ראש השנה כמובן, והשני יעסוק בזווית שונה, אקטואלית יותר, על תהליכי תשובה, וזאת לקראת יום כיפור. בטור הזה אעסוק בקיומו של אלוהים, בין פיזיקה לפילוסופיה והסתברות.

בשבועיים האחרונים עלו שתי הקלטות של דיון שלי עם פרופ' עילם גרוס בנושא פיזיקה ואלוהים (ראו כאן חלק א וחלק ב). לקראת השיחה עמו קראתי מאמר שהוא פרסם בשנת 2011 באודיסאה בעניין מדע ואלוהים. עיקרי הדברים עלו בקצרה בשיחתנו, וכאן רציתי להרחיב בהם מעט יותר. החלק השני של הטור הוא קצת פורמלי, אבל לא באמת נדרש ידע כלשהו, ודומני שהוא נותן כלים חשובים לחשיבה הסתברותית על טענות ותפיסות שונות.

אלוהי הפערים

גרוס במאמרו עוסק לא מעט ב'אלוהי הפערים'. זהו כינוי מקובל לגישה שמנסה להוכיח את קיומו של אלוהים דרך קיומם של פערים בידע המדעי, כלומר שאם המדע לא יודע להסביר משהו – הדבר מוכיח שיש אלוהים. יש לא מעט בריאתנים שדוגלים בגישה זו, וצוהלים על כל פער מדעי שמתגלה להם. אבל כיום מקובל בין הוגים מאמינים מפוכחים שגישה זו אינה נכונה וגם לא מועילה. הטיעונים מדוע היא אינה  מועילה הם פשוטים (כי כשיגלו מידע מדעי חדש שיסתום את הפער, אנשים יגיעו למסקנה שאין אלוהים). אבל מבחינתי אלו שיקולים לא רלוונטיים. השאלה החשובה היא האם אלו טיעונים נכונים ולא האם הם מועילים או מזיקים טקטית.

במישור המהותי ניתן לערער על טיעונים מהטיפוס הזה בכמה צורות. ראשית, העובדה שאיננו מבינים משהו לא אומרת מאומה על מקורו. יש גם תהליכים מדעיים שאיננו יודעים או מבינים אותם. האם זה אומר שמקורם באלוהים? ולאידך גיסא, האם משהו שאנחנו כן מבינים אינו מאלוהים? שנית, ידע מדעי הולך ומצטבר עם השנים, ולכן קיומו של פער רק אומר לנו שיש להגביר מאמץ מחקרי ולנסות לסתום אותו. בעבר היו יכולים להוכיח את קיומו של אלוהים דרך כל העולם כי לא הבינו מדעית כמעט שום דבר. כיום יש לנו ידע מדעי רחב הרבה יותר, ולכן ה"הוכחות" של פעם מתבררות בימינו כשטויות. אין שום סיבה לחשוב שלא יקרה אותו דבר ל"הוכחות" העכשוויות מכוח הפערים הנוכחיים.

זוהי הסיבה לכך שאני מתנגד טקטית ומהותית למלחמה שמנהלים בריאתנים מול האבולוציה. לא בגלל שהטענות שלהם כולן שגויות (כפי שטוענים הניאו-דרוויניסטים). יש מהן טענות טובות. הבעיה שלי היא עצם המתודה של בניית אמונה באלוהים על בסיס פערים בידע המדעי. אגב, מאותה סיבה עצמה אינני מקבל את ההנחה המקבילה של הניאו-דרוויניסטים האתאיסטיים, שאם האבולוציה מסבירה הכל אז אין אלוהים. הם טועים באותה טעות של יריביהם הבריאתנים הפונדמנטליסטיים. אלוהים אינו חלק מההסבר המדעי, ולא אמור להיות כזה. לכן חוסר הסבר לא מוכיח את קיומו של אלוהים ובה במידה קיומו של הסבר אינו מייתר אותו.

גרוס על אלוהי הפערים: אלוהים אימננטי

גרוס במאמרו מספר על פגישה שלו עם עוד כמה פיזיקאים שעסקו בסוגיית אלוהים והמדע:

בשנת 2007 ישבנו, חמישה פיזיקאים, לארוחת צהריים במסגרת כנס על סטטיסטיקה של היפותזות בקשר לחיפוש אחר חלקיק ההיגס. דיברנו על ספר בשם "ההסתברות לאלוהים", שיצא באותו זמן והתיימר לחשב באמצעות הנוסחה של בייס את ההסתברות לקיומו של האלוהים.

על אף שכולנו התייחסנו אל הספר כאל שטות מוחלטת, השיחה התפתחה ומצאנו את עצמנו גולשים לדיון לוהט. אחרי שעות הגענו לסוג של הסכמה בנושא "מהו האלוהים של המדען".

איני מכיר את הספר המדובר, ולעניין נוסחת בייס וההוכחה לקיומו של אלוהים אזקק בהמשך. מיד אחר כך הוא ממשיך ומתאר את יחסה של החבורה ההיא ל'אלוהי הפערים':

פערי ידע הם מזונו המחשבתי של כל מדען. במקום שבו מוצגת שאלה, או מתגלה בעיה תיאורטית בהסבר, שם נכנס המדען לפעולה במטרה להציע פתרון. כך, למשל, חקרה מרי קירי את קרני בקרל, שהתבררו כקרניים רדיואקטיביות. המדענים שואפים לסגור את פערי הידע הללו ולהציע הסבר לתופעות, שבעבר הוסברו רק באמצעות כוחו של האל.

"אלוהי הפערים" מאוים, לפיכך, על-ידי המדע. גם אם אוגוסטינוס הקדוש אמר זאת בבדיחות הדעת, הוא לא סתם אמר, שלפני שאלוהים ברא את השמים ואת הארץ הוא ברא את הגיהנום, עבור אלו המעמיקים מדי לחקור. המדענים בהכרח מצמצמים את המקום שנשאר ל"אלוהי הפערים".

אם כך, האם מדען דתי יכול להאמין באלוהי הפערים? בעיני, התשובה חייבת להיות שלילית. אלוהי הפערים הוא טרנסצנדנטי מעצם טבעו ובהגדרתו. הוא מנותק מהאדם הגשמי והוא כמעט מתבדל. זה אלוהים שלא מעוניין שהמאיץ יעבוד, כי עבודת המאיץ תסגור פער ידע עצום, מה שיצמצם בהכרח את נוכחותו.

אני לגמרי איתו בפסקאות הללו. אני באמת איני מאמין ב'אלוהי הפערים' שמאוים על ידי המדע. מדען, כמו כל אדם אחר, לא אמור לבנות את אמונתו על פערים בידע המדעי. פערים כאלה אמורים להניע אותנו למחקר נמרץ יותר בניסיון לסתום אותם, כפי שהסברתי למעלה.

אלא שמיד אחר כך הוא ממשיך ומדבר על האלטרנטיבה היחידה שעומדת בפני המדען המאמין:

לעומתו, יש אפשרות לאלוהים אחר – האלוהים האימננטי. אל זה הוא אישי, ממלא רק פערים שבנפש ויש לו שורשים מיסטיים, ולכן קשה להתווכח איתו או לתמוך בו מדעית. אם יש למדען אלוהים, הוא חייב, לפיכך, להיות אימננטי.

מבחינתו, אם אלוהים לא שייך למישור המדעי, מה שנותר לנו הוא אלוהים אישי סובייקטיבי ששייך למישור החווייתי-מיסטי בלבד.

ראשית, אעיר על המינוח. גרוס מכנה תפיסה כזאת 'אימננטיות', אבל זה לא מה שמתכוונים בדרך כלל כשאומרים את הביטוי הזה. יש בהגות הדתית והפילוסופית שתי תפיסות שונות של אלוהים: טרנסצנדנטיות (אלוהים שמעל ומעבר לעולם. במינוח הקבלי זהו ה'סובב') ואימננטיות (אלוהים שבתוך העולם. במינוח הקבלי זהו ה'ממלא'). גרוס לא מתכוון לאף אחת משתיהן, שכן שתי אלו עוסקות באלוהים שקיים במציאות האובייקטיבית, ושהטענה בדבר קיומו היא טענת עובדה. הוא מדבר על אלוהים פסיכולוגי-חווייתי (שבעצמו יכול להיות אימננטי או טרנסצנדנטי).

דיבור על אלוהים כזה יכול להתפרש בשתי צורות: 1. אתאיזם עובדתי (כי עובדתית ומדעית אין אלוהים) עם רגש רליגיוזי (שכידוע קיים גם אצל אתאיסטים). 2. הרגש והמיסטיקה הם אינדיקציות לא מדעיות לקיומו העובדתי של אלוהים. כאמור, אפשרות 1 אינה אלא אתאיזם בתחפושת, אבל אפשרות 2 די נפוצה בין מאמינים, ובפרט בין אנשי מדע נבוכים שהמדע שלהם סותר את אמונותיהם (בשיחתנו הוא הזכיר כמה כאלה). המוצא המתבקש מבחינתם הוא להעביר את הדיון ממישור העובדות והמדע אל המיסטיקה.

כל זה יכול להיות נכון לגבי אנשים מסוימים, אלא שגרוס מניח כאן דיכוטומיה הכרחית, ובכך הוא טועה.

מעמדה של הפילוסופיה

גרוס מניח שאם אין אפשרות להביא ראיות מדעיות לקיומו של אלוהים מה שנותר לנו הוא המיסטיקה והסובייקטיביות. אבל הוא מתעלם מקטגוריה אחרת, שלישית, חשובה מאד לענייננו: הפילוסופיה. ייתכנו טיעונים פילוסופיים לקיומו של אלוהים, גם אם לא ניתן להגיע אליו בדרכים מדעיות. פילוסופיה אינה מיסטיקה, והיא גם לא בהכרח שייכת למישור הסובייקטיבי-חווייתי (ראו בסדרת טוריי שמגדירים מהי פילוסופיה, 155 – 160).

בספרי אלוהים משחק בקוביות, בשיחה השלישית בספרי המצוי הראשון ובמקומות רבים נוספים עמדתי על ההבחנה בין הטיעון הפיזיקו-תיאולוגי שבתוך החוקים לטיעון שמחוץ לחוקים. הטיעון שבתוך החוקים הוא בעצם 'אלוהי הפערים'. פערים בידע המדעי, מצבים או תופעות שחוקי הטבע הידועים לנו לא מצליחים להסביר אותם, מובילים למסקנה שיש אלוהים. זהו טיעון בתוך החוקים, שכן הוא מניח את הדיון בתוך המסגרת המדעית שכפופה לחוקי הטבע. אבל כפי שהצעתי שם, הטיעון הפיזיקו-תיאולוגי המעודכן יותר, הוא טיעון שמחוץ לחוקים. אם אכן קיימים בעולם חוקי טבע מיוחדים כל כך, שמאפשרים כימיה, ביולוגיה וחיים, זה גופו מוכיח שיש אלוהים שיצר אותם. שימו לב שהטיעון הזה לא משחק בתוך המסגרת של החוקים אלא מחוצה לה. הוא נתלה בשאלה למה בכלל החוקים הם כפי שהם, ולא עוסק בשאלה מה קורה במסגרת החוקים. לא אכנס לפירכות ולפרטי הטיעון, שכן עסקתי בו בהרחבה רבה. מטרת דבריי כאן היא רק להציבו במסגרת הדיון ולהסביר את מקומו בתוכה.

הטיעון זה אינו שייך לז'אנר של 'אלוהי הפערים', שכן הוא אינו בנוי על פער בידע המדעי. המדע לא עוסק בהסברת החוקים אלא בהסברת תופעות באמצעות החוקים (הסכימה הדדוקטיבית-נומולוגית של פילוסוף המדע קרל המפל מדגימה זאת היטב). גם כשמגלים חוק טבע חדש, עושים זאת בדרך של בניית מסגרת שתאפשר לנו להסביר תופעות, ולא על בסיס חוקים יסודיים יותר שמסבירים את החוק החדש. יתר על כן, אפילו אם בשלב כלשהו תתגשם משאת נפשו של איינשטיין ותתגלה תורת השדה המאוחד, כלומר חוק כולל אחד שאחראי על כל הפיזיקה (ודרכה אולי על כל חוקי הטבע בכלל, אם אתם רדוקציוניסטים), החוק הזה עצמו עדיין ידרוש הסבר.[1] ההסבר הזה לא יהיה מדעי אלא פילוסופי, שכן הסבר מדעי תמיד ניתן במונחי מערכת חוקי טבע כלשהם. ההסבר לחוקי הטבע עצמם הוא עניינה של הפילוסופיה. במילים אחרות, זהו פער פילוסופי שלא יכול להיסגר באופן מהותי על ידי המדע, ולכן זה אינו טיעון מהטיפוס של 'אלוהי הפערים'.

הערה על רגרסיה אינסופית

אמרתי שאלא אכנס לפרטי הטיעון ולפירכות עליו. אבל בכל זאת אעיר בקצרה על נקודה שעלתה בדיון שלנו. טיעונים מהטיפוס הזה מניחים שאם יש עולם כנראה יש משהו שיצר אותו. האלטרנטיבה היא רגרסיה אינסופית, כלומר  משהו שיצר את העולם ומשהו אחר יצר אותו, וכך הלאה עד אינסוף. בשיחה השנייה בספרי המצוי הראשון הסברתי מדוע הסבר כזה אינו קביל מבחינת רוב הפילוסופים. הסברתי שם מדוע למיטב הבנתי לא רק שזה אינו הסבר קביל אלא זה בכלל לא הסבר אלא התחמקות מהסבר. המשל הידוע ביותר שמדגים זאת הוא הסיפור של ויליאם ג'יימס על הפיזיקאי היווני שהסביר לשומעיו שהעולם עומד על גבו של צב ענק. כשנשאל על מה עומד הצב, ענה בשלווה: על עוד צב. וכך הוא נשאל עוד ועוד עד שסבלנותו פקעה: אינכם מבינים?! יש צבים כל הדרך עד למטה.

בחלק הראשון של שיחתנו גרוס הזכיר את הסיפור הזה, ובמשתמע דחה את התזה של "צבים כל הדרך עד למטה", אבל זה לא הפריע לו לתהות בחלק השני מניין הוצאתי את ההנחה שרגרסיה אינסופית היא טיפוס הסבר בעייתי. בהמשך הוא אפילו הציע את התזה של יקום נושם, כלומר יקומים שנוצרים ונכחדים אחד אחרי השני (אם כי הוא הודה שאין לזה שום רמז אמפירי ושזה לא מהווה הסבר מספק), שאינו אלא גרסה נוספת של "צבים כל הדרך עד למטה". הצעה של תמונה כזאת מעידה שגם בעיניו קיומו של היקום אכן טעון הסבר (לכן אנחנו מייצרים עוד יקומים שילדו אותו), ומאידך, הוא מתעלם מהבעייתיות בשרשראות הסבר אינסופיות.

טוב, כעת הגענו לנושא שלנו, שכאמור כותרתו היא הרהורים בייסיאניים על הראיה הפיזיקו-תיאולוגית.

הקדמה: הסתברות מותנה

הסתברות מותנה ונוסחת בייס כבר עלו לא פעם בטורים שלי (ראו למשל בטור 402). לכן כאן אחזור על כך רק בקצרה.

ככלל, ההסתברות של אירוע כלשהו תלויה במידע המקדמי שיש לי אודותיו. תוספת מידע משנה את ההסתברות של האירוע. אם נתבונן, לדוגמה, בקובייה הוגנת, ההסתברות שהיא תיפול על 5 היא 1/6 (כי זו אחת משש תוצאות אפשריות). אבל אם ידוע לי שהתוצאה היא אי זוגית, ההסתברות עולה ל-1/3 (אחת משלוש תוצאות אפשריות). מידע נוסף משנה את ההסתברות של כל אירוע ובדרך כלל משפר את היכולות שלי לחזות אותו מראש.

נסמן את האירוע 'הקובייה נפלה על 5' באות A. ההסתברות שלו היא: P(A) = 1/6. נסמן את האירוע 'התוצאה שהתקבלה היא אי-זוגית' באות B. ההסתברות המותנה שהתוצאה היא 5 בהינתן שידוע לנו שהיא הייתה אי זוגית תסומן כך: P(A/B) = 1/3. זוהי ההסתברות ל-A בהינתן שידוע B. היא כמובן שונה מההסתברות ל-A ללא שום מידע מוקדם (פרט לכך שהקובייה הוגנת. גם זהו מידע מוקדם כמובן).

אלא שהסתברות מותנה היא עניין טריקי. ישנו הבדל שקל מאד לפספס אותו בין ההסתברויות המותנות ההפוכות: P(A/B) ו-P(B/A). לדוגמה, אם נשאל מה הסיכוי שהתוצאה הייתה אי זוגית אם ידוע שהיא הייתה 5, התשובה היא כמובן 1 (יש כאן מידע מלא, ולכן ניתן לדעת בוודאות את התשובה). אם כן, אין קשר פשוט בין הסתברויות מותנות שבהן הופכים את סדר הופעת המשתנים. חשבו על עוד דוגמה. נניח שאני לא יודע האם הקובייה היא הוגנת או לא. נסמן את הטענה שהקובייה היא הוגנת ב-C. בהנחה שהקובייה הוגנת, מה הסיכוי שנקבל תוצאה אי זוגית? התשובה היא כמובן: P(B/C) = 1/2. כעת נשאל את השאלה ההפוכה: בהינתן שקיבלנו חצי מהתוצאות אי זוגיות מה הסיכוי שהקובייה היא הוגנת? כוונתנו כאן להסתברות המותנה P(C/B). קשה מאד לדעת זאת. זה תלוי במספר ההטלות, באופייה של חוסר ההגינות של הקובייה ועוד. חשבו על דוגמה קונקרטית. נניח שהטלנו קובייה פעמיים, וקיבלנו 1 ו-4. האם זה אומר לנו שהקובייה הוגנת? ממש לא. הטלות במספר כה קטן לא אומרות לנו כמעט כלום על טיבה של הקובייה.

הלקח החשוב לענייננו הוא שידיעת הסתברות מותנה מצד אחד לא אומרת לנו הרבה על ההסתברות המותנה מהצד השני. אלו עניינים מאד מבלבלים, והבאתי לכך עוד דוגמאות בעבר (ראו למשל בטורים 144 – 145, 176 ועוד).

עוד הקדמה: נוסחת בייס

הדרך להפוך את סדר הופעת המשתנים בהסתברות מותנה היא באמצעות נוסחת בייס (או נוסחת ההסתברות השלימה). כדי להבין את הנוסחה הזאת, עלינו לבחון את ההסתברות שיתרחשו שני האירועים, A ו-B, P(A^B). זו יכולה להיות מחושבת בשתי צורות שונות: 1. ההסתברות שהתרחש A כפולה בהסתברות המותנה שאם התרחש A יתרחש גם B. 2. ההסתברות שהתרחש B כפולה בהסתברות המותנה שאם התרחש B יתרחש גם A.[2] אם כן, התוצאה של שני החישובים הללו צריכה להיות זהה:

P(A^B) = P(B/A)*P(A) = P(A/B)*P(B)

מצאנו קשר בין ההסתברות המותנה P(A/B) לבין ההסתברות המותנה ההפוכה P(B/A). כמובן שהקשר הזה תלוי בהסתברויות הלא מותנות של האירועים A ו-B. לדוגמה, במקרה שהבאתי למעלה (A – התקבל 5, B – התוצאה אי זוגית), ידועות לנו שלוש ההסתברויות הבאות: P(B) = 1/2, P(A) = 1/6, P(B/A) = 1. מכאן מיד תקבלו את ערכה של ההסתברות הרביעית: P(A/B) = 1/3. משמעות הדבר היא שאם התוצאה שהתקבלה היא אי זוגית הסיכוי לכך שייצא 5 הוא 1/3.

עילם גרוס וחבריו על הסתברות מותנה ונוסחת בייס

ראינו למעלה שחמשת הפיזיקאים בסיפור הנ"ל לגלגו על הניסיון להוכיח את קיומו של אלוהים באמצעות נוסחת בייס והסתברות מותנה. בקטע אחר במאמרו גרוס נכנס לנושא ביתר פירוט:

השערת קיומו של האל אמורה להיבחן על-ידי המדען באמצעות מתן תשובה לשאלה: בהינתן הנתונים שבידינו (כדור הארץ, שמש, ירח, כוכבים, גלקסיה, קרינת רקע קוסמית וכדומה), מה ההסתברות לקיומו של אלוהים?

אנו צריכים לנסח את השאלות שלנו בדרך שניתן לענות עליהן, ובשני המקרים, הפיזיקה והתיאולוגיה, השאלות הן: בהנחה שיש חלקיק היגס, עד כמה נתוני ההתנגשויות תואמים את קיומו? או: בהנחה שיש אלוהים, עד כמה היקום המדהים שעוטף אותנו אכן תואם את עובדת קיומו?

בשפה מתמטית ניתן גם לשאול כך: מה ההסתברות לקיומו של היקום בהנחה שקיים אלוהים? זו, כמובן, שאלה טריוויאלית, שהתשובה עליה היא 100%. זו לא שאלה שמעניינת אותנו. השאלה שמעניינת אותנו הפוכה: מה ההסתברות לקיומו של אלוהים בהינתן היקום כפי שאנו מבינים אותו?

עד כאן הוא בעצם עומד על נקודה מאד חשובה שקל לפספס אותה. השאלה בהינתן שאני רואה עולם כפי שהוא, מה הסיכוי שיש אלוהים? שונה מאד מהשאלה ההפוכה: בהינתן שיש אלוהים מה הסיכוי שהעולם יהיה כפי שהוא? אלו שתי שאלות שונות, שכן מדובר בהסתברויות מותנות בסדר משתנים הפוך. אמנם הוא טועה כאן במספר. הוא טוען שהתשובה לשאלה השנייה היא 1 (טריוויאלי), אבל זה לא נכון (לפחות אם אין לנו ידע נוסף לגבי אלוהים). אלוהים יכול היה להחליט לברוא עולם אחר או לא לברוא עולם בכלל, ואז היה אלוהים אבל לא היה העולם המוכר לנו או עולם בכלל. אבל עצם ההבחנה בין השאלות היא כמובן נכונה. טוב, אז מה עושים עם זה?

כעת הוא מסביר לנו את הקשר לראיה הפיזיקו-תיאולוגית:

הטיעון הקלסי של המחזיר בתשובה אומר: ראו כמה הפרפר יפה, ראו כמה מורכב האדם, האם אלו יכולים היו להיווצר במקרה? בוודאי שלא! והרי לכם הוכחה לקיום האל. במילים אחרות, בהינתן יקום כל-כך מופלא, יש הכרח להניח קיום של אל שיצר אותו.

הטיעון הזה מסתמך, כמובן, על טעות נפוצה בסטטיסטיקה, לפיה ההסתברות שבהינתן הפרפר המדהים קיים אלוהים שווה להסתברות שבהינתן אלוהים, התוצר הוא פרפר מדהים. ההסתברות האחרונה שווה ל- 100%, אבל הראשונה כמובן שלא.

כאן מדובר בדברים הזויים ממש. קודם כל, אף אחד אינו טוען שהטיעון הפיזיקו-תיאולוגי נותן הסתברות 1. יש סיכוי מאד קטן לכך שהעולם נוצר במקרה ולכן אין הכרח שקיים אלוהים שיצר אותו. אבל מעבר לזה, האמת היא בדיוק הפוכה: הטיעון הפיזיקו-תיאולוגי שואל את השאלה הראשונה: בהינתן הפרפר מה הסיכוי שיש אלוהים. וכפי שראינו, השאלה ההפוכה (בהינתן שיש אלוהים מה הסיכוי שהפרפר יהיה כזה) היא שאלה לא מוגדרת היטב (זו בכלל לא שאלה סטטיסטית. העולם שייווצר הוא העולם שעליו יחליט אלוהים. אין שם החלטות או תהליכים מקריים). הטיעון הפיזיקו-תיאולוגי בניסוחו המקובל לא קושר בין שתי השאלות הללו. הוא רק אומר שהסיכוי שדבר מורכב נוצר במקרה הוא אפסי, ולכן סביר שהוא לא נוצר במקרה. מה רע בטיעון הזה? את מה בדיוק הוא הופך?

כעת הוא ממשיך את הטיעון וכותב:

משפט בייס נותן לנו את הקשר בין שתי ההסתברויות. את ההסתברות שהפרפר יפה בהינתן אלוהים יש להכפיל בהסתברות שבכלל אלוהים קיים, שהרי אם אין אלוהים אין טעם בכל הדיון ההסתברותי. ההסתברות שקיומו של היקום מצביע על קיומו של אלוהים שווה להסתברות שבהינתן אלוהים היקום קיים, אבל רק בתנאי שאכן יש אלוהים.

הפתרון שהוא מציע לבעיה הוא ש'המחזיר בתשובה' לא התחשב בסיכוי לכך שיש אלוהים. כפי שראינו למעלה בנוסחת בייס, היפוך הכיוון של ההסתברויות תלוי בסיכויים המוחלטים (הלא מותנים) לשני האירועים. זה כמובן נכון, אבל אין לזה שום קשר לטיעונו של ה'מחזיר בתשובה'.

כעת אנסה להשתמש בעקרון החסד (ראו עליו בטור 440), כדי להציע כאן הסבר אפשרי לכוונתם של גרוס וחבריו, כלומר לקשר של הטיעון להסתברות מותנה ולנוסחת בייס. תוך כדי הניתוח אבהיר מדוע גם בניסוחים הללו הם לא צודקים.

ניסוח ראשון

אתחיל בסימון של שתי טענות: A – אלוהים קיים. B – קיים עולם מורכב. כעת אעבור לשאלה איזו הסתברות, מותנה או לא, אנחנו יכולים להניח לגבי האירועים הללו. ההסתברות המוחלטת שאלוהים קיים, P(A), לא ידועה לנו כמובן. ההסתברות שקיים עולם מורכב היא: 1P(B) = . לגבי ההסתברויות המותנות, זה יותר טריקי. אנחנו מחפשים את P(A/B), כלומר את ההסתברות המותנה שאלוהים קיים בהנחה שקיים עולם מורכב. ראינו למעלה, שבניגוד לדבריו של גרוס ההסתברות המותנה ההפוכה P(B/A) לא ידועה ולא ממש  מוגדרת. טוב, אז מה עושים עכשיו?

שימו לב שידועה לנו הסתברות מותנה אחרת שגם היא רלוונטית. אנחנו יודעים שבלי אלוהים הסיכוי לכך שיתקיים עולם מורכב (כלומר שהוא ייווצר באופן מקרי בעצמו) הוא קטן מאד. זוהי ההנחה של הראיה הפיזיקו-תיאולוגית. אם כן: P(B/~A)=x, כאשר x קטן מאד.

אלא שלצורך הדיון שלנו מה שחשוב הוא ההסתברות ההפוכה: P(~A/B). זהו הסיכוי שאין אלוהים בהינתן קיומו של העולם המורכב שלנו. למה זה מועיל לדיון הזה? מפני שהסיכוי המשלים נגזר מהסיכוי הזה באופן פשוט מאד: P(A/B) = 1 – P(~A/B). אם כך, ננסה לחשב את הסיכוי הראשון מנוסחת בייס. מלמעלה ראינו שמתקיים:

P(B/~A)*P(~A) = P(~A/B)*P(B)

נציב כעת את הנתונים שלנו, ונקבל:

P(~A/B) = x*P(~A)

עלינו לזכור שסיכוי של כל אירוע שהוא (מותנה או לא) הוא בין 0 ל-1. משמעות הדבר היא שהמכפלה בצד ימין של המשוואה האחרונה היא קטנה מאד. ומכאן שההסתברות המותנה שאלוהים לא קיים בתנאי שהעולם המורכב שלנו קיים היא קטנה מאד. ולכן ההסתברות המותנה שאלוהים כן קיים בנסיבות הללו היא גדולה מאד (כמעט 1):

P(A/B) = 1 – x*P(~A)

מש"ל.

עד כאן ראינו שיש קשר להסתברות מותנה ונוסחת בייס, ואפילו להיפוך המשתנים בהסתברויות המותנות. אבל בשורה התחתונה הטיעון הפיזיקו-תיאולוגי בהחלט עובד, וההסתברויות המוחלטות לא נוטלות חלק משמעותי בניתוח הזה. לכן אציע כעת עוד ניסוח שבו כן ייטלו חלק כל המרכיבים הללו.

ניסוח שני

בהסתכלות אחרת על הטיעון הזה, ניתן להשתמש בנוסחת ההסתברות השלימה. זו אינה אלא פיתוח נוסף של נוסחת בייס. את הסיכוי לקיומו של העולם P(B) יכול להיכתב כסכום של שתי אפשרויות: בהנחה שמתקיים A~ ובהנחה שמתקיים A (על פי חוק השלישי הנמנע, אין אפשרות שלישית). לכן אני רושם אותו כסכום של שתי אפשרויות:

P(B) = P(B/~A)*P(~A) + P(B/A)*P(A)

אם נציב את הנוסחה הזאת בנוסחת בייס נקבל את נוסחת ההסתברות השלימה (למקרה שבו יש רק שתי אפשרויות):

P(~A/B) = P(B/~A)*P(~A) / { P(B/~A)*P(~A) + P(B/A)*P(A) }

הבה ננסה כעת להעריך את הסיכוי הזה. הוא תלוי כמובן בשאלה מה הסיכוי המוחלט לקיומו או אי קיומו של אלוהים (ברור שמתקיים: P(A) + P(~A) = 1). אם נניח שהסיכוי המוחלט  לקיומו של אלוהים מאד קטן (כך טען גרוס בחלק ב של השיחה שלנו) תראו מיד שבצד ימין יש תחרות בין שני גורמים קטנים במכנה, P(A) ו-x, לבין גורם קטן במונה, x. התוצאה תלויה ביחס בין שני אלו, ואם הסיכוי לקיומו של אלוהים קטן הרבה יותר מהסיכוי להיווצרות מקרית של העולם (כפי שטען גרוס) אזי גם ההסתברות המותנה לקיומו יכולה להיות קטנה, כלומר ההסתברות המותנה לאי קיומו היא גדולה. אם הסיכוי לקיומו גדול (כפי שאני טענתי) ההסתברות המותנה כמובן יוצאת גם היא גדולה.

כאן ישנו שלב חשוב מאד בדיון. אמרתי לגרוס שההנחה שלו שלפיה הסיכוי לקיומו של אלוהים הוא קטן מאד ביחס לסיכוי להיווצרות מקרית של העולם, היא הנחת המבוקש. הוא מניח שאין סיכוי שאלוהים קיים ולכן אל לו להתפלא שהוא מקבל שההוכחה היא גרועה והסיכוי המותנה לקיומו הוא קטן. כמובן שגם אני מניח את המבוקש, כשאני אומר שהסיכוי לקיומו הוא גדול. מה ניתן לעשות כדי לקבל טיעון בעל משמעות שאינו מניח את המבוקש?[3] הצעתי לו מודל פשוט שמניח כי שני הסיכויים הללו הם 1/2. בעצם אנחנו מניחים בכך שאין לנו ידע אפריורי כלשהו לגבי אלוהים, ואנחנו שואלים את עצמנו האם נוסחת ההסתברות השלימה יכולה לקדם אותנו לקראת אחת משתי התוצאות (שהוא ישנו או איננו). זה נשמע מודל סביר מאד כדי לבדוק את איכות הטיעון ואת משמעויותיו.

טוב, אז כעת עלינו להציב במשוואה האחרונה: P(A) = P(~A) = 1/2, הסיכוי הזה כמובן מצטמצם במונה ובמכנה. מה שאנחנו מקבלים הוא:

P(~A/B) = P(B/~A) / { P(B/~A) + P(B/A) } = 1 / { 1 + P(B/A)/P(B/~A) }

נזכור כעת שהסיכוי P(B/~A) הוא קטנטן, ושאין לנו מידע על ערכו של P(B/A). ברור שהסיכוי שהעולם קיים גבוה יותר כשיש אלוהים (יהא אשר יהא טיבו) מהסיכוי שהוא קיים בלי אלוהים. לכן השבר שבקצה הימני הוא מספר גדול מאד, והתוצאה לגבי הסיכוי המותנה לכך שאלוהים לא קיים בהינתן קיומו של העולם שלנו היא כנראה קטנטנה. זהו הטיעון הפיזיקו-תיאולוגי. מש"ל. אגב, לדעת גרוס הסיכוי P(B/A) = 1, ואז בכלל ההוכחה הזאת היא מושלמת. כאמור, זוהי הנחה חסרת בסיס, אבל יש היגיון להניח אותה כשמחפשים אלטרנטיבה להנחה של היווצרות מקרית. האלטרנטיבה היא שיש גורם שרצה בדיוק את העולם הזה ולכן יצר אותו כפי שהוא. אם זו ההנחה, אז באמת הסיכוי הזה לא רק הרבה יותר גדול מהסיכוי להיווצרות עולם בלי אלוהים, אלא ממש 1.

כך או כך, זהו ניתוח שאכן משלב הסתברויות מותנות ואת החשיבות של ההבדל ביניהן, והתוצאה שלו תלויה בהסתברויות המוחלטות. לכן סביר בעיניי שכוונתם של חמשת המוסקטרים הייתה לטענה הזאת. אלא  שאם לא מניחים את המבוקש לגבי הסיכוי המוחלט לקיומו של אלוהים, כפי שהם כנראה עשו, המסקנה המתקבלת מהחישוב היא שהניסוח הבייסיאני של הטיעון הפיזיקו-תיאולוגי מוביל אותנו בבטחה למסקנה שאלוהים אכן קיים. ההוכחה הבייסיאנית שעליה הם לגלגו היא מצוינת. טיעון כזה כמובן לא יצליח להוכיח את קיומו של אלוהים למי שמניח מראש שאין סיכוי לכך שהוא קיים. אבל מי שלא גיבש עמדה ונותר פתוח לשתי האפשרויות, הטיעון הזה הוא הוכחה מצוינת עבורו. זה כל מה שניתן לצפות לו מטיעון לוגי.

מסקנה מתודולוגית

ראינו למעלה שגרוס וחבריו לגלגו על הניסיונות להוכיח את קיומו של אלוהים באופן בייסיאני, וטענו שהוכחה כזאת מתעלמת מההבדל בין שני סוגי ההסתברויות המותנות שמעורבות בדיון. באופן מפתיע מתברר לנו שהם טעו. עבור מי שלא מגיע עם עמדה נחרצת מראש, הטיעון הזה בהחלט מוביל אותו למסקנה שאלוהים קיים. אין צורך לומר שכל טיעון מבוסס על הנחות יסוד, ומי שלא מקבל אותן לא יוכרח לאמץ את המסקנה.[4] זה לא יכול להיחשב כפגם בטיעון לוגי. טיעון הסתברותי אמור לשפר את הסיכוי לכך שהמסקנה נכונה עבור מי שפתוח לאפשרות הזאת, וזה בדיוק מה שקורה כאן. אם זה לא טיעון מצוין, איני יודע טיעון מצוין מהו. אין כאן התעלמות מהסתברויות מותנות ונעשה שימוש נכון לגמרי בנוסחת בייס.

בטור הקודם עסקתי קצת במחלוקות ב"ה וב"ש, ובהכרעתה של בת הקול שפסקה הלכה כב"ה. הזכרתי את ההסבר של ר"י קארו, בחיבורו כללי הגמרא, שטוען שהלכה נפסקה כב"ה מפני שהם היו קרובים יותר לאמת, זאת למרות שב"ש היו מחודדים וחריפים יותר. הסיבה לכך היא שהמתודולוגיה של ב"ה הייתה להקדים את דברי ב"ש לדבריהם, לשקול את העמדה המנוגדת ורק אז לגבש עמדה. מתודולוגיה כזאת יכולה לשפר את היכולות להגיע לאמת גם עבור מי שפחות מוכשר מחברו. אלו שמתבצרים בקבוצה ששומעת רק קול אחד ולא שוקלים ברצינות את טיעוני הנגד, מועדים להגיע למסקנות שגויות, גם אם הם אנשים מבריקים.

התיאור של גרוס את מפגש הפיזיקאים עורר בי בדיוק את התחושות הללו. אני משער שמדובר בקבוצה שכל חבריה מהדהדים את אותו כיוון מחשבתי וקשובים לאותו סוג של טיעונים, תוך דחייה על הסף של מי שטוען אחרת. במצב כזה נוצר מה שמכונה בהנדסה 'משוב חיובי' (תופעה הרסנית), ולכן גם אם מדובר באנשים מבריקים ומדענים משובחים הם מועדים להגיע למסקנות מוטעות. אם מתייגים דעות אחרות כ"טיעונים של מחזירים בתשובה" ופוסלים אותן על הסף בגלל התיוג הזה בלי לבחון עניינית את השיקולים הללו (כך היה לפחות פעם אחת גם בשיחתנו), אזי גם קבוצה של אנשים מבריקים יכולה להגיע למסקנות האבסורדיות שראינו כאן. שימו לב שבמקרה הזה מדובר בטעות פשוטה, ואני מניח שלולא המגמתיות הם לא היו נופלים בה. ללמדכם כמה חשוב לשמוע דעות מנוגדות ולשקול אותן ברצינות.

לתשומת ליבם של קוראי "הארץ", קוראי "מקור ראשון" ו"בשבע", וכל קרבנות האלגוריתמים של גוגל שניזונים יומם ולילה ממידע שמותאם באופן תמידי להשקפותיהם ונטיותיהם ונותן להם תמיד משוב חיובי. זה אולי נעים, אבל ממש הרסני (עסקתי בזה בטור 335 וגם בטורים 450 – 451). ראו הוזהרתם!

[1] בספריי הנ"ל הסברתי שהאלטרנטיבה היא שהחוק הזה יהיה הכרחי לוגית, כלומר הוא יהיה תוצר של מתמטיקה ולוגיקה בלבד, ללא צורך בתצפיות. אם אכן כך יקרה, המדע יהפוך לענף של המתמטיקה וההבחנה בין מדע אמפירי למתמטיקה תיעלם. ככל הידוע לי, אין כיום איש מדע שפוי שמאמין בזה ברצינות. לכן אני מתעלם כאן מהאפשרות הזאת.

[2] אם שני האירועים הם בלתי תלויים (כלומר שההסתברות המותנה של אירוע שווה להסתברות המוחלטת שלו) אזי שתי צורות החישוב נותנות פשוט את מכפלת הסיכויים, P(A)*P(B).

[3] בטור 461 עסקתי בשאלת היחס בין גרירה בייסיאנית לגרירה מטריאלית, וביחס בין סטטיסטיקה ללוגיקה לגבי סיבתיות והנחת המבוקש.

[4] למשל כאן הנחנו שההסתברות להיווצרות מקרית של עולם היא קטנה מאד. זו בעצם ההנחה היסודית של הראיה הפיזיקו-תיאולוגית, וישנם לא מעט ערעורים אתאיסטיים נגדה (דנתי בהם בהרחבה במקורות הנ"ל). אבל כאן איני עוסק בטיעון כשלעצמו אלא במבנה ההסתברותי-בייסיאני שלו, שהוא מוקד המתקפה של גרוס וחבריו עליו. כפי שנראה, זו ודאי מתקפה כושלת.