מבט על הנחת המבוקש (טור 732)

בס"ד

כמעט בכל ספר לוגיקה תוכלו למצוא רשימה של כשלים לוגיים. ביניהם במקום של כבוד בדרך כלל תמצאו את 'הנחת המבוקש'. גם בחיפוש קל כאן באתר תמצאו לא פעם היזקקות אליו, כשההנחה היא שמדובר בכשל. אלא שבמאמר שלי בעבר הסברתי שהנחת המבוקש מאפיינת כל טיעון לוגי תקף, ולכן טעות היא למקם אותה ברשימה של כשלים. רק הנחות מבוקש מסוימות מאד ניתן אולי לראות ככשל, וגם זה לא מדויק. לא פעם בעבר (ראו למשל כאן) התעורר באתר ויכוח בנושא הזה, ולכן חשבתי שמן הראוי להקדיש לו טור שיציג את הנושא בצורה שיטתית.

שלוש דרכי ההיסק היסודיות

בלוגיקה נוהגים להבחין בין שלוש דרכי היסק: דדוקציה מסיקה מהכלל אל הפרט. אנלוגיה מסיקה מפרט לפרט. ואינדוקציה שמסיקה מהפרט אל הכלל. לדוגמה, אם כל בני האדם הם בני תמותה וסוקרטס הוא בן אדם, אז סוקרטס הוא בן תמותה. זוהי דדוקציה שכן אחת ההנחות היא כללית (על כל בני האדם) והמסקנה שמסיקים היא על פרט אחד מתוך הכלל הזה. זהו כמובן היסק הכרחי, שכן לא ניתן לקבל את שתי הנחותיו ולדחות את מסקנתו. לעומת זאת, הטיעון משה הוא בן תמותה ולכן סוקרטס גם הוא בן תמותה הוא אנלוגיה. הוא מסיק מפרט אחד לפרט אחר שדומה לו במובן כלשהו. זהו כמובן היסק לא הכרחי, שכן אנלוגיה יכולה להתברר כשגויה (זה קורה כאשר הדמיון בין המלמד ללמד אינו רלוונטי). היסק שיוצא מההנחה שמשה הוא בן תמותה ומסיק ממנה שכל בני האדם הם בני תמותה הוא אינדוקציה. הוא לוקח פרט ומסיק ממנו מסקנה לגבי הכלל כולו (כלל הפריטים שדומים לפרט הראשוני). ברור שגם היסק זה אינו הכרחי.

ההבדל בין סוגי ההיסק: ההכרחיות של הדדוקציה

כמה פעמים הסברתי את שורש ההבדל בין ההיסקים הללו. מדוע רק הראשון הוא הכרחי ושני האחרים לא? הראשון אינו מוסיף לנו שום מידע חדש. המידע שנמצא במסקנה (סוקרטס הוא בן תמותה) היה טמון כבר בהנחות (כל בני האדם הם בני תמותה, וסוקרטס הוא בן אדם). שני סוגי ההיסק האחרונים מוסיפים לנו מידע מעבר למה שטמון בהנחות. המסקנה שסוקרטס הוא בן תמותה מכילה מידע שלא נמצא בהנחה שמשה הוא בן תמותה. וכמובן שגם המסקנה שכל בני האדם הם בני תמותה לא נמצא בהנחה שמשה הוא בן תמותה. היסקים שמוסיפים לנו מידע מעבר למה שטמון בהנחותיהם אינם הכרחיים.

אין צורך לומר שניתן להשלים טיעונים לא הכרחיים ולהפוך אותם להכרחיים (לעתים מכנים זאת "השלמת אנתיממות". אנתיממה זו הנחה. ראו על כך עוד להלן). לדוגמה, משה הוא בן תמותה, ומה שנכון לגבי אדם אחד נכון לגבי כל בני האדם, ולכן כל בני האדם הם בני תמותה. זוהי כבר דדוקציה, שכן אם מאמצים את שתי ההנחות המסקנה אכן נובעת מהן בהכרח. זה לבי אינדוקציה, אבל הוא הדין גם לגבי אנלוגיה. מאותן שתי הנחות  ניתן לגזור גם את המסקנה שסוקרטס הוא בן תמותה. זוהי מסקנה חלשה יותר, אבל כמובן ששתי ההנחות הללו מכילות גם אותה.

מכאן קל להבין את סוד ההכרחיות של הדדוקציה. מדוע באמת מי שמאמץ את שתי ההנחות חייב לקבל גם את המסקנה? מפני שהיא טמונה בתוכן. אם אימצת את ההנחות אזי מכללא אימצת גם את המסקנה. אם אתה מודה שכל בני האדם הם בני תמותה ושסוקרטס הוא בן אדם, אזי בכלל שתי ההנחות הללו כבר הודית שסוקרטס גם הוא בן תמותה. זה לא התחדש במסקנת הטיעון אלא כבר היה טמון בהנחותיו. תוכלו לראות זאת ביתר קלות אם תפרקו את ההנחה הגדולה שכל בני האדם הם בני תמותה, ותראו שבעצם מדובר בניסוח מקוצר שכולל אינספור הנחות פרטיות: משה הוא בן תמותה, יעקב הוא בן תמותה, אחמד הוא בן תמותה וכך הלאה, וכמובן שגם סוקרטס (שגם הוא בן אדם, לפי ההנחה השנייה) הוא בן תמותה.

המסקנה היא שמטרתו של טיעון דדוקטיבי אינה לחדש משהו אלא לחשוף בפנינו מידע שטמון בהנחות. הא ותו לא. אנלוגיה ואינדוקציה הם היסקים שמוסיפים לנו מידע מעבר למה שטמון בהנחות, ובדיוק בגלל זה אלו אינם לא דפוסי טיעון הכרחיים.

חשוב להבין שאנלוגיה ואינדוקציה אינם דפוסי טיעון הכרחיים אבל אין זה אומר שלא נכון להשתמש בהם. אלו כלים חשובים שמשמשים את כולנו. ובכל זאת, אם נבחן טיעון דדוקטיבי ונגלה שבעצם מדובר באינדוקציה או אנלוגיה, אכן מצאנו בו כשל. כשל בטיעון לוגי פירושו שהמסקנה אינה נובעת בהכרח מההנחות, וזה בהחלט נכון לגבי אנלוגיה ואינדוקציה. מסקנותיהן לא נובעות בהכרח מהנחותיהן. ובאופן כללי יותר, העובדה שיש כשל בטיעון לא אומרת שהוא חסר ערך ובוודאי לא שמסקנתו אינה נכונה. זה רק אומר שהיא לא נובעת בהכרח מן ההנחות (ראו דוגמה לדבר במאמרי באקדמות יא).

הערה על השלמת אנתיממות

בשפת היומיום אדם לא תמד מציג את מלוא הנחותיו, והוא בונה על כך שיש דברים שמובנים מאליהם. לכן העובדה שבטיעון של מישהו ישנה הנחה סמויה שלא הונחה על השולחן אינה כשל. מותר לאדם בשפת היומיום לקצר ולדלג על דברים שנראים לו מובנים מאליהם. במתמטיקה ובלוגיקה אנחנו נוהגים יותר להקפיד על כך, אם כי גם שם תוכלו לראות לא פעם הנחות מובלעות. כך ראינו למעלה שטיעון של אנלוגיה בעצם מבוסס על הנחה סמויה שאף פעם לא מונחת על השולחן: שמה שנכון לפרט X נכון גם לפרט Y שדומה לו. וכך גם לגבי אינדוקציה (שמה שנכון לפרט X נכון לכל קבוצת הפרטים שדומים לו).

לדוגמה, ניתן לשמוע טיעונים לטובת שינויים בהלכה שבנויים בערך כך (ראו בסדרת הטורים 475 – 480): בתלמוד נשים פסולות לעדות. נשים כיום הן משכילות ומעורבות בחיי החברה והכלכלה, ולכן יש להכשירן כיום לעדות. בלי להיכנס להנחות ולטיעון וגל לא למסקנה, שימו לב שיש כאן קפיצה לוגית. ישנה הנחה סמויה שלפיה פסול נשים לעדות בתלמוד נבע מכך שהן היו לא משכילות ולא מעורבות בחיי החברה והכלכלה. למי שמציג את הטיעון זה אולי נשמע מובן מאליו, אבל כששמים את זה על השולחן ניתן לתהות האם אכן זה כל כך ברור. תוכלו לראות שהדיון בטיעון כזה יכול להיראות אחרת לגמרי אחרי שמשלימים את ההנחות החסרות.

לכן הרגל טוב הוא לעשות השלמת אנתיממות (הוזכר למעלה), כלומר לשים על השולחן בפירוש את ההנחות המובלעות בטיעון לפני שמתחילים לדון בו. זה יכול לגלות לנו ממצאים מפתיעים (לא תמיד ההנחות הללו כל כך מובנות מאליהן כמו שחושבים).

האם הנחת המבוקש היא כשל?

לאור מה שתיארתי עד כאן לא ברור מדוע בכלל הנחת המבוקש היא כשל. חשבו על הטיעון הרווח הבא: כל בני האדם הם בני תמותה, סוקרטס הוא בן אדם, ולכן סוקרטס הוא בן תמותה. ראינו שהמסקנה טמונה בשתי ההנחות ולא מחדשת משהו מעבר להן, ובדיוק מסיבה זו הטיעון הוא תקף. אם זה לא היה המצב לא היה כאן טיעון תקף (זה מה שקורה באינדוקציה ואנלוגיה). אז בעצם הטיעון הזה מניח את המבוקש, שהרי בכלל הנחותיו נמצאת המסקנה. אבל לכל הדעות זה אינו טיעון כושל. להיפך, טיעון לוגי תקף נחשב כאנטי תזה לטיעון כושל. שימו לב לכך שהגענו לתמונה שבתוכה ניתן לנסח את הטיעון הבא: כל טיעון לוגי תקף בנוי על הנחת המבוקש (בגלל זה הוא תקף). טיעון לוגי תקף אינו כושל. מסקנה: הנחת המבוקש אינה כשל.

ניטול דוגמה בוטה יותר של הנחת המבוקש: מניין שכל יהודי צריך ללכת עם כובע? שכתוב "וילך אברהם", והרי יהודי כמוהו לא הלך בלי כובע. אם אברהם הלך עם כובע, אזי כולנו, צאצאיו שנדרשים ללכת בדרכיו, צריכים לחבוש כובע. מש"ל. כאן אני מניח שכולם מגחכים לאבסורד של הטיעון הזה. הוא מניח את המבוקש, שהרי מאחורי ההנחה שיהודי כמוהו לא הלך בלי כובע טמונה במובלע המסקנה שכל יהודי צריך ללכת עם כובע. כלומר המסקנה שאותה רצינו להוכיח הייתה אחת ההנחות בטיעון שמוכיח אותה עצמה. זוהי הנחת המבוקש בוטה, וזה כבר ממש נראה כשל.

אז זהו, שזה אינו כשל. טיעון שמניח X ומוכיח מזה את X הוא טיעון תקף למהדרין. אם מניחים X אכן ניתן להסיק ממנו את X. אי אפשר לאמץ את ההנחה של הטיעון הזה ולדחות את מסקנתו, וכאמור זוהי הגדרתו של טיעון תקף.

שאלת הערך השכנועי

ניתן כמובן לתהות מה ערכו של טיעון כזה. מה התועלת בהצגתו? חשבו על ראובן שטוען ש-X אינו נכון, ושמעון בא להוכיח לו ש-X נכון. הוא מציג בפניו את הטיעון הבא: X, ולכן X. הטיעון הוא כמובן תקף, שכן מי שמאמץ את ההנחה חייב לאמץ גם את המסקנה. אלא שראובן לא יאמץ את ההנחה (שכן זוהי בדיוק הטענה שלגביה הוא מתווכח עם שמעון). כלומר הטיעון הזה אכן תקף, אבל הוא חסר ערך שכנועי. אין טעם להשתמש בו כדי לשכנע את מי שלא מקבל את המסקנה, שכן הוא לא יקבל את הנחת הטיעון וממילא לא ישתכנע גם במסקנתו. שימו לב שתקפות של טיעון עוסקת רק בנביעה היפותטית של המסקנה מההנחות. יכול לאדם להסכים שהטיעון הוא תקף, אבל אם אינו מקבל את הנחותיו הוא לא יקבל גם את מסקנתו.

במילים אחרות, בניגוד לכשלים לוגיים אחרים שעוסקים בבעייתיות של הגזירה הלוגית שבטיעון, הנחת המבוקש לא קשורה אליה. הגזירה הלוגית בטיעון שמניח את המבוקש כשרה למהדרין, כלומר הטיעון הזה תקף. הבעיה היא שהוא אינו מועיל כי הוא מבוסס על הנחה שאינה מקובלת על בן השיח (הנמען של הטיעון).

מה לגבי הטיעון של סוקרטס? כאמור הוא תקף, שכן מסקנתו נובעת בהכרח מהנחותיו. האם הוא מועיל? לפעמים כן. מכיוון שהמסקנה אינה מופיעה בעצמה כאחת מההנחות אלא רק כלולה בשילוב של שתיהן (צריך גם את ההנחה שכל בני האדם הם בני תמותה אבל גם את ההנחה שסוקרטס הוא בן תמותה, כדי להגיע למסקנה). כאן ייתכן שיש ערך בטיעון שכן לפעמים אדם שמסכים לשתי ההנחות טועה וחולק על המסקנה. הטיעון מראה לו את טעותו ומורה לו שאם הוא מודה לשתי ההנחות עליו לאמץ גם את המסקנה. בטיעון של סוקרטס זה נשמע עדיין פשוט מדיי, ולכן גם הוא נראה די חסר ערך. אבל בטיעונים לוגיים ומתמטיים מורכבים יותר, זה בהחלט יכול להיות המצב.

חשבו למשל על הגיאומטריה האוקלידית של המישור. קחו נער והסבירו לו את האקסיומות שלה (בין שתי נקודות עובר רק ישר אחד. שני מקבילים לא נפגשים וכו'). כעת שאלו אותו מה סכום הזוויות במשולש? נער סביר לא יוכל לענות על השאלה הזאת, למרות שאחרי שהוא ילמד גיאומטריה הוא יראה שמההנחות שאותן הוא ידע והבין היטב מראש הוא יכול היה לגזור את התשובה: 180 מעלות. הסיבה לכך היא שהגזירה של המסקנה הזאת מהנחותיה של הגיאומטריה היא סבוכה ומורכבת, ולכן אדם רגיל לא מצליח לעשות זאת בלי עזרת המורה. במצב כזה, אמנם המסקנה נובעת לוגית מההנחות, ולכן במובן שתיארתי למעלה היא נמצאת בתוכן (כלולה בהן). מכאן שההוכחה המתמטית למשפט על סכום הזוויות במשולש היא טיעון לוגי תקף, וככזה היא מניחה את המבוקש. ועדיין אי אפשר לומר שאין ערך בהוכחה הזאת. יש בה ערך מפני שהיא חושפת בפנינו מידע שטמון בהנחות שאותן אנחנו מקבלים, אבל לא בהכרח היינו מודעים לו. ההוכחה חשפה אותו בפנינו, כלומר היה בה ערך. הוכחה כזאת היא טיעון שמניח את המבוקש, אבל לא נכון שהוא חסר ערך. מלקולם אמר פעם שטענה כלשהי היא אמנם טאוטולוגיה, אבל זו טאוטולוגיה יקרת ערך (קשה להבחין במסקנתה עד שלא הראו לנו זאת). לא פעם כתבתי שהתזה האבולוציונית של הישרדות הכשירים היא טאוטולוגיה, אבל ראו כמה שנים לא הבחינו בה וכמה מסקנות מאלפות ומחודשות נגזרות ממנה. זוהי טאוטולוגיה יקרת ערך.

בחזרה להנחת המבוקש

אם כן, הנחת המבוקש אינה כשל במובן שיש כאן פגם לוגי בטיעון. מסקנתו אכן נובעת בהכרח מהנחותיו. לכל היותר ניתן לדבר על חוסר בערך השכנועי של טיעון כזה. אבל הערך השכנועי אינו עניין חד משמעי. אנשים נבונים מאד יכולים להבחין במסקנה כלשהי מתוך סט של הנחות שאחרים פחות נבונים לא יצליחו בכך. לראשונים הטיעון יהיה חסר ערך שכנועי ואילו לאחרונים בהחלט יהיה בו ערך שכנועי.

טיעון שמסקנתו מופיעה כפי שהיא כאחת ההנחות (הנחה: X, מסקנה: X) היא תמיד חסרת ערך שכנועי, ולכן נוהגים לראות בה כשל. אבל אם המסקנה זוקקת ניתוח והיסק לוגי מורכב מההנחות, אזי יכול להיות בה ערך רב. כפי שראינו, כל משפטי המתמטיקה הם כאלה. הוכחות מתמטיות הן טיעונים לוגיים תקפים, כשהגזירה הלוגית אינה טריוויאלית בכלל, ולכן יש בהם ערך. לעומת זאת, חוקי הטבע שהמדע מגיע אליהם, מבוססים על אנלוגיה ואינדוקציה, שכן המדע עוסק באיסוף מידע והכללתו לחוקים כלליים. לכן טיעוניו אינם טיעונים לוגיים תקפים.

תרגיל בהנחת המבוקש

אקדים לדבריי כאן המלצה חמה לראות סרטונים בסדרת חכמובלוג של יוסף לברן. יש לו אוסף של המון סרטונים די קצרים (כרבע שעה) ורבים מאד מהם ששמעתי (בעיקר בטיוליי עם הכלבה בוטן תליט"א, זכותה תגן עלינו) היו מצוינים. ממש מלאכת מחשבת של חשיבה שיטתית וישרה בתחומים שונים שמוצגם מאד בבהירות עם דוגמאות טובות. אמנם מצאתי שם לא פעם אי דיוקים, אבל הם בטלים בשישים. מומלץ בחום.

הבוקר ראיתי סרטון שלו שעוסק ביסודות הלוגיקה ובזיהוי טיעונים גרועים. לקראת סופו (בערך דקה 13:20) הוא מציג טיעון שמניח את המבוקש שעורר את מחושיי הלוגיים:

הנחה: התורה אומרת שהתורה היא דבר האל.

מסקנה א: לכן התורה היא דבר האל.

מסקנה ב: לכן כל מה שכתוב בתורה הוא נכון.

בדרך בין שתי המסקנות יש כמובן קפיצה לוגית, שכן חבויה שם הנחה נוספת שדבר האל הוא נכון. אבל זו השלמת אנתיממות סטנדרטית, ובוודאי לא כשל. אני רוצה להתמקד כאן במעבר מההנחה למסקנה הראשונה. לברן טוען שהיא מניחה את המבוקש, שכן המעבר זה מניח שכל מה שכתוב בתורה הוא נכון. אבל זו גופא המסקנה שאותה הוא רצה להוכיח.

אלא שבמחשבה נוספת זה לא בדיוק המצב. כדי לעבור מההנחה למסקנה א לא צריך להניח שכל מה שכתוב בתורה נכון אלא שהמשפט המסוים הזה (שמה שכתוב בה הוא דבר האל) הוא נכון. למשל, ניתן לבסס זאת על ההנחה שכל הטענות העובדתיות בתורה נכונות, ולכן אם התורה כותבת שהיא דבר האל אז כנראה האל אמר זאת. כעת נוכל להסיק שכל מה שכתוב בה, גם מה שמעבר לעובדות (כמו המצוות), הוא נכון, כי דבר האל תמיד נכון (נכון במובן רחב: כולל זה שהוא מחייב נורמטיבית). לחלופין, יכולנו גם להתבסס על ההנחה שכל מה שכתוב בספר שמות הוא נכון, ומכאן להסיק שכל מה שכתוב בתורה הוא נכון. גם כאן זו אינה הנחת המבוקש, שכן ההנחה (המובלעת) אינה זהה למסקנה הסופית של הטיעון.

כשמסתכלים על זה כך, בעצם הטיעון שהציג לברן אינו מניח את המבוקש כלל ועיקר. מה שהוא זוקק אינו אלא השלמת אנתיממות פשוטה, וכפי שראינו זה אינו כשל. כמובן אין הכרח לקבל את ההנחה שהטענות העובדתיות בתורה הן נכונות, אבל זה נכון לגבי כל טיעון לוגי. כל טיעון מבוסס על הנחות, וכמובן השומע תמיד צריך לקבל את ההנחות כדי להשתכנע במסקנה. אין שום דבר מיוחד בטיעון הזה. הוא לא גרוע יותר מכל טיעון לוגי אחר (למעט זה שהניסוח שלו דורש השלמה, כמקובל בשפת היומיום), שפונה לאלו שמקבלים את הנחותיו.

אמנם יש כאן כמה דרכים להשלים את האנתיממה החסרה, ומציג הטיעון לא רמז לנו לאיזו מהם הוא מתכוון. יש דרכים הגיוניות יותר ופחות, ואחת מהן היא הדרך שהנחנו בהתחלה: שכל מה שהתורה אומרת הוא נכון. אם זו ההנחה החסרה אז אכן מדובר בהנחת המבוקש, אבל כפי שראינו אין שום הכרח בזה. כאן נכנס עקרון החסד שמורה לנו להשלים את הטיעון באופן הכי מפרגן לטוען, ורק אז לדון בו (ראו על כך בטור 440). אם ננקוט בדרך זו, אז קיבלנו טיעון סביר לחלוטין שאין בו שום הנחת המבוקש. אמנם לא בטוח שהטוען התכוון דווקא לזה, אבל גם לא בטוח שלא. זהו עוד חיסרון של טיעון שלא מנוסח במדויק, שכן הוא מאפשר לנו כמה צורות השלמה. הטוען יכול לבנות על ההגינות והיצירתיות שלנו שנשלים לו את הטיעון, אולי טוב יותר ממה שהוא עצמו התכוון מראש.

האם מדובר באינדוקציה?

במבט הזה נראה לכאורה שהוספת האנתיממה רק מראה לנו שהטיעון הזה אינו דדוקציה אלא אינדוקציה. מההנחה שהטענות העובדתיות בתורה נכונות אנחנו מסיקים מסקנה רחבה יותר שכל מה שכתוב בה הוא נכון. אבל אינדוקציה היא אכן טיעון לוגי כושל, שכן כפי שראינו למעלה אם מדובר באינדוקציה אזי המסקנה אינה נובעת בהכרח מההנחות.

אך זוהי טעות. מדובר כאן בדדוקציה גמורה. אנחנו לא עושים כאן הכללה מהטענות העובדתיות לכלל הטענות, אלא עוברים דרך ההנחה בדבר אמינותו של דבר ה'. הטיעון הזה מראה שאם מאמצים את ההנחה שהטענות העובדתיות בתורה נכונות, המסקנה שכל הטענות נכונות נובעת ממנה בהכרח ולא בדרך של אינדוקציה בלבד. זוהי מסקנה ממש לא טריוויאלית, ולכן מעבר לזה שהטיעון הוא תקף (וככזה תמיד מניח את המבוקש), הוא גם בעל ערך שכנועי. בקיצור, בניגוד לתדמית הראשונית זהו טיעון מצוין.

בחזרה לאברהם והכובע: הנחת המבוקש ועקרון החסד

אלא שכעת חזרתי לחשוב על טיעון אברהם והכובע, שמלווה אותי כבר הרבה שנים כדוגמה מובהקת להנחת המבוקש. ראיתי שגם שם בעצם ניתן לבצע את אותו ניתוח, ולגלות שלא בהכרח מדובר שם בהנחת המבוקש. שימו לב לצעד הלוגי המדובר: כתוב "וילך אברהם", והרי יהודי כמוהו לא הלך בלי כובע. למה יהודי כמוהו לא הלך בלי כובע? לאו דווקא בגלל שכל יהודי צריך ללכת עם כובע (שאז זוהי באמת הנחת המבוקש), אלא מפני שיהודי כמוהו לא הלך בלי כובע. מהו השיוך הרלוונטי? מה פירוש "כמוהו"? לזה ניתן להציע כל מיני פרשנויות. למשל, יהודי מבוגר, יהודי חשוב, אבי האומה ועוד. אם כן, גם שם לא בהכרח מדובר בהנחת המבוקש. אחרי השלמת האנתיממות ניתן לראות גם בטיעון הזה טיעון לוגי תקף רגיל.

אמנם נראה שכאן קשה יותר למצוא מועמדים לאותה הנחה סמויה. בטיעון על התורה שהביא יוסף לברן ראינו שהיו כמה מועמדים לא רעים, ולכן שם סביר לראות בזה טיעון טוב ללא שום הנחת מבוקש. כאן, לעומת זאת, ההשלמה אינה טבעית, ולכן בכל זאת סביר יותר שבאמת הייתה כאן הנחת מבוקש (כלומר שההנחה המובלעת שהטוען התכוון אליה הייתה שכל יהודי צריך ללכת עם כובע). גם לעקרון החסד יש גבול (ראו על כך במאמר הזה ובטור 30).