אפלטוניזם מתמטי

האזנתי לסדרה על אפלטוניזם ונהניתי מאוד. אני רוצה לשאול מה אופיה של האידאה המתמטית.
במתמטיקה יש לנו כמה דרכים לבנות אובייקט מתמטי. ניקח את המספרים הממשיים לדוגמא. אני יכול להגדיר אותם בצורה אקסיומטית, אני יכול להשתמש בחתכי דדיקנד ואני יכול להשתמש בסדרות של ספרות עשרוניות או בהשלמת אוסף סדרות קושי.
לאחר טיפול זהיר אני יכול להראות שכל ההגדרות הללו איזומורפיות למרות שכל אחת מהן מתארות אובייקט שבמבט ראשון שונה בתכלית.
האם בעולם האידאות יש "מספרים ממשיים" וכל אחת מהדרכים הללו הן רק מימוש שונה של אותה אידאה. או שכל אחת מהן היא אידאה בפני עצמה אך המתמטיקה הראתה לי שהן איזומורפיות. כלומר מה הוא היש האידאי המתמטי? המבנה המתמטי או המושג אותו אני מגדיר?
האם הוכחה של איזומורפיזם מראה לי שמדובר באותה אידאה או שעדיין מדובר באידאות שונות?
תודה