הפרדוקס של בנך-טרסקי

לאביתר כהן מדין שלום וברכה
זה דיי נדיר שמיכי לא עונה אך כבר אמרו חכמינו במקום שאין איש … ואומנם לא למדתי ליבה בקטנותי, מ״ השלמתי אותם בין גברא לגברא במקום שפטור ממזוזה וחיוב ת״ת, ואף הוספתי עליהם את כל תחומי המדעים הנלמדים כיום ב2025 באוניברסיטאות בעולם אשתדל לתת לך מענה מסודר (הייתרון שלי על פני מיכי זה שלי אין הגבלה בזמן כמו מיכי , מאחר ואני לא צריך לענות על כמויות של שאלות כאן בבלוג חדשים לבקרים כך שמן הסתם אני יכול לתת לך תשובה יותר מפורטת ),
התופעה שאתה מתאר — פרדוקס בנאך–טרסקי — היא דוגמה מצוינת למקום שבו אנשים מתבלבלים בין שני עולמות שונים: העולם המתמטי והעולם הפיזיקלי. הבלבול ביניהם הוא מקור כל ה"פרדוקס", ולא איזו בעיה עמוקה במתמטיקה עצמה.
1. מה באמת הוכחתם?
המשפט של בנאך–טרסקי אינו אומר שאפשר לקחת כדור אמיתי, עם חומר ומסה, לפרק אותו ולייצר שני כדורים.
הוא אומר משהו הרבה יותר צנוע (וגם הרבה פחות אינטואיטיבי):
במסגרת אקסיומות מסוימות, קיימות קבוצות של נקודות במרחב שאין להן נפח מוגדר, וכאשר מחליפים ביניהן באמצעות טרנספורמציות איזומטריות, מבנה הנפח הרגיל פשוט מפסיק להתנהג כמו שאנחנו מצפים.
זה לא “פרדוקס”, אלא תוצאה לוגית מושלמת וחלקה.
הבעיה מתחילה רק כשהקורא מנסה לזהות בין “כדור מתמטי” לבין “כדור פיזיקלי”.
מכיוון שאין שום קשר בין השניים, אין כאן שום פרדוקס.
2. מה זה אומר על אקסיומת הבחירה?
אקסיומת הבחירה אינה “לא אינטואיטיבית”.
היא אינטואיטיבית מאוד — כל אחד משתמש בה בשפה טבעית בלי לשים לב.
הבעיה היא לא בבחירה, אלא בתוצאות שהיא מאפשרת כשעובדים עם מרחבים אינסופיים רציפים לחלוטין.
כאשר אתה עובד עם מרחב שבו:
לכל נקודה יש קיום מוחלט,
ואין מגבלה קונסטרוקטיבית,
ואין אטומים,
— אז כללי המשחק שונים לגמרי מן העולם הפיזיקלי.
בדיוק כמו שאתה יכול לחשב אינטגרל של פונקציה שאינה ניתנת לרישום בפועל, אבל מוגדרת לוגית.
האם זה לא אינטואיטיבי?
בוודאי.
אבל האשמה היא באינטואיציה, לא במתמטיקה.
3. האם יש כאן סתירה בין אינטואיציה פיזיקלית למתמטית?
בוודאי שיש סתירה.
למעשה, הסיבה היחידה שאתה מרגיש שיש כאן “משהו מוזר” היא שאתה מערבב שתי אינטואיציות שלא מדברות באותה שפה.
האינטואיציה המתמטית עובדת על עולם:
אינסופי,
נטול חומר,
ללא מגבלות בנייה,
שבו ניתן לדבר על קבוצות שאינן מדידות כלל.
האינטואיציה הפיזיקלית עובדת על עולם:
אטומי,
דיסקרטי במידה מסוימת,
עם שימור מסה ונפח.
לדרוש שהאחת תכבד את כללי המשחק של השנייה — זה כמו להאשים את האסטרולוגיה בכך שהיא לא תואמת את הפיזיקה, או את הפיזיקה בכך שהיא אינה מתחשבת בשחמט.
אין שום סיבה שהאינטואיציה הפיזיקלית תשלול משפט מתמטי שמתקיים במודל לוגי אחר.
4. אז מה “אמור להידחות” מפני מה?
שום דבר לא אמור “להידחות”.
הכלי המתמטי לא בא לתאר את המציאות, אלא לבנות מודלים.
הפיזיקה משתמשת במודלים שמתאימים למציאות.
במתמטיקה מותר ואף רצוי להשתמש במודלים שלא מתאימים למציאות — משום שמתמטיקה איננה מדע אמפירי.
אם מחר תקום פיזיקה חדשה שבה פרדוקס בנאך–טרסקי מפריע — פשוט יעבדו עם מודל אחר של מרחב.
כבר היום יש ענפים שלמים שמתנהלים בלי אקסיומת הבחירה או עם גרסאות חלשות שלה.
וזה בסדר גמור.
המתמטיקה לא מחויבת לעולם, והעולם לא מחויב למתמטיקה.
5. נקודה פילוסופית אחרונה
הטעות הגדולה היא להניח שהמתמטיקה מתארת את העולם “כפי שהוא”.
היא לא.
היא תיאור של עולם אידאלי, מושלם, רציף, שלרוב רחוק מאוד מן המציאות.
זה לא פגם — זו תכונה.
לכן, כשמגלים תוצאה “מוזרה”, כמו בנאך–טרסקי, אין כאן שום אירוע פילוסופי מטלטל.
זו פשוט עדות לכך ש:
העולם המתמטי הוא אוסף של מודלים לוגיים שאינם תלויים במציאות, ואינם מחויבים להיות אינטואיטיביים.
לשאול “איך זה יתכן בעולם האמיתי” — זה כמו לשאול איך ייתכן לוגית שפולינום ממעלה שלישית תמיד חוצה ציר, אבל בפועל אין לי חוט כדי למתוח גרף על גבי כדור הארץ.
זו פשוט שאלה לא נכונה.

לגבי הערך בוויקיפדיה, הוא קיים אלא שכנראה אי-אפשר לתת קישור. הערך נקרא "הפרדוקס של בנך-טרסקי".

הקישור סתם נשבר כשהדבקתי. הנה הוא:
https://he.wikipedia.org/wiki/%D7%94%D7%A4%D7%A8%D7%93%D7%95%D7%A7%D7%A1_%D7%A9%D7%9C_%D7%91%D7%A0%D7%9A-%D7%98%D7%A8%D7%A1%D7%A7%D7%99?wprov=sfla1

ולמדען הישיבתי מהשירותים – כל הטקסט הארוך הזה בעצם בא לטעון שבניגוד למרחב שבדיון המתמטי, המרחב הפיזיקלי בדיד. זה ממש לא אינטואיטיבי בשום צורה מבחינה פיזיקלית ובוודאי לא משהו שאפשר לכתוב כך כמושכל ראשון. (כתבת "בדיד במידה מסויימת" שזה משפט לא מוגדר בכלל).
ולהגיד שהפרדוקס לא פרדוקס כי בניגוד לעולם המתמטי, זה הפיזיקלי מכבד שימור מסה זו סתם הצבעה על הבעיה עצמה ובוודאי לא פתרון. כל הבעיה היא *איך ייתכן* שמתקיים שימור מסה אם ההוכחה שבפרדוקס נכונה.
ההשוואה בסוף ההערה הפילוסופית אינה מדוייקת גם היא, שכן בדוגמה שנתת אין שום בעיה אם תאורטית הייתי יכול לבנות את הגרף הענק וסתם אין לי את האמצעים, בעוד שכאן אפילו אם אין לי יכולת טכנית לפצל כך את הכדור, עצם זה שיש יכולת עקרונית לעשות זאת כבר סותר את שימור המסה, ובפעם הבאה שתצטרך לנקביך חשוב על כך.
בקיצור, עליך גם להצביע על הבדל שאכן מתקיים בין העולם הפיזיקלי לזה המתמטי כדי לפתור את הבעיה, ואז להראות שהבדל זה אכן פותר את הבעיה. למיטב הבנתי ולצערי זה לא מה שקרה כאן, מה שמראה שאולי דווקא כדאי ללמוד קצת גם מחוץ לשירותים.

המדען צודק לגמרי לדעתי. והוא אמנם אמר שהמרחב הפיזיקלי בדיד אבל אין בכך שום צורך כדי לטעון את טענתו. לדעתי זה לא שונה עקרונית מהטענה שיש אותו מספר נקודות בקטע [0,1] ובקטע [0,2].

נדמה לי שמיכי כבר ניסח את זה הכי פשוט: כמו שבאופן מתמטי יש אותו מספר נקודות ב-[0,1] וב-[0,2], אבל אף אחד לא חושב שאפשר להכפיל כך אורך של קורה פיזיקלית — כך בדיוק עובד בנאך–טרסקי.
המתמטיקה מאפשרת משחקים עם קבוצות שלא קיימות במציאות, והפיזיקה מחויבת לשימור מסה רק על מה שקיים בה.
מי שמערבב בין המודלים, ומצפה שמושגי מסה פיזיקליים יחולו על קבוצות לא-מודדיות שתלויות באקסיומת הבחירה — מייצר “פרדוקס” יש מאין.
כשלא מערבבים — אין שום בעיה, לא בעולם ולא במתמטיקה
נ.ב הפעם קיצרתי בתגובתי, אם עדיין נשארו לך נקודות לא ברורות אאלץ שוב לכתוב תגובה מפורטת

זה כן שונה למיטב הבנתי, כי בקטעים מדובר בשני אינסופים באותה עוצמה. לכן אתה לא יכול לקחת את כל הנקודות ב0,1 ולבנות ממנו שני קטעים חדשים 0,1 ועוד 0,1 כי בשביל לפצל אותו אתה צריך להסיר ממנו נקודות באותו מספר (או יותר נכון עוצמה) מהנקודות שיש לו, ואתה לא יכול לסתום את כל החורים.
החידוש בפרדוקס שמובא כאן זה שבשביל לעשות את הפיצול אתה נשאר בכדורים החדשים עם כמות חורים בעוצמה פחותה מעוצמת הרצף ולכן אתה יכול "לסתום" אותם, בניגוד לכאן.
ובכלל, אם זה היה זהה לסתם לפצל קטע לשניים וזה סתם לעשות אותו דבר לשלוש מימדים, אני משער שהסרטונים ביוטיוב שמסבירים את זה היו יכולים להסתכם בשתי דקות וכנראה לא היה על זה ויקיפדיה…

אתה שוב מניח שהשאלה היא “איך בונים שני קטעים מ-[0,1]”, בזמן שכל הנקודה של מיכי (ושלי) היא שאין כאן שום בנייה במובן שאתה מדבר עליו.
הטיעונים על “לסתום חורים”, “עוצמות”, ו“כמה נשאר בסוף” — מניחים תת-קבוצות שניתן להגדיר, למקם ולמפות.
אבל בנאך–טרסקי עובד בדיוק על מה שלא ניתן לעשות: חלקים שאין להם מדידה, מבנה, או תיאור קונקרטי.
כל האנלוגיות לעוצמות של קטעים פשוט מפספסות את העניין:
זה לא תרגיל בכימיה של חורים ונקודות, אלא תוצאה של שימוש באקסיומת הבחירה שמייצרת קבוצות שאין להן שום מאפיין גאומטרי שמאפשר את ההשוואות שאתה מנסה לעשות.
זו הסיבה שהסרטונים ביוטיוב לא “נגמרים בשתי דקות” — לא בגלל שיש פה מנגנון פיזיקלי מסתורי, אלא בגלל שיש כאן אי-קונסטרוקטיביות טהורה.
ברגע שמבינים שהחלקים במשפט לא דומים בכלל לקטעים שאתה מדבר עליהם — נעלמת גם הדרמה, וגם ה“פרדוקס”.

אין לי זמן להיכנס לפרטים, אבל על פניו איני רואה כאן מאומה מלבד מוזרות. כתוב שם שאי אפשר להגדיר נפח לבג לקבוצות הללו. לכן מהותית זה לא נראה לי שונה מההשוואה שעשיתי בין שני קטעים באורך שונה, או בין הטבעיים לרציונליים. בדומה לזה אפשר לסדר סדרה שאינה מתכנסת בהחלט בסדר שונה ולקבל סכום שונה. כל אלו מוזרויות אבל לא פרדוקסים

המדען משתמש כבד בבינה מלאכותית, עד שקשה להתרשם אפילו מה מינון התוכן המקורי שרק נערך ומה מינון התוכן שהיא הוסיפה.

הטענה ש“זה נשמע כמו AI” היא דוגמה מובהקת למה שפופר היה מכנה ביקורת שאינה ניתנת להפרכה: היא לא נוגעת בטיעון, לא בהיגיון, ולא במבנה שלו — רק בהסחת הדעת מהדיון עצמו .
אם ניסוח בהיר כבר מעלה אצלך חשד, אולי הבעיה אינה בכלי הכתיבה אלא במסגרת ההתייחסות.

חשוב גם לזכור : כאן איננו בטוקבק-שוק של ויינט, אלא בבלוג אינטלקטואלי שבו מצופה להגיב לתוכן — ולא לדימוי של הכותבים
ברגע שתהיה ביקורת עניינית על הטיעון עצמו ולא על המטא־דיון סביבו — אשמח להתייחס ברצינות.