פרדוקס בוחן הפתע

לרב מיכאל,
קראתי בעיון את הטורים שלך על פרדוקס בוחן הפתע (601 ו-603). אני מגיב כאן כי משום מה המחשב שלי לא מאפשר לי להגיב למאמרים ישירות. אשמח לשמוע מה דעתך על זה.
אתה מציג את הפרדוקס בתור סתירה בין הטיעון שבוחן פתע לא יכול להתקיים לבין הטענה שאנחנו רואים שבחני פתע מתקיימים. אני חושב שאם הפרדוקס מוצג ככה הוא בכלל לא מהווה פרדוקס. כי הסיבה לכך שבחני פתע מתקיימים היא שמורים ותלמידים לא עושים חישובים לוגיים מסובכים, וגם אם הם עושים חישובים כאלה – הם מגיעים למסקנה שאין להם דרך לדעת מה המורה התכוון. כלומר, כשמורה אומר לתלמידים "יהיה בשבוע הבא בוחן פתע" הוא לא מתחכם ואומר "או שהוא יתקיים בשבת ולא יהיה בוחן פתע" (כמו בטור 601) וגם לא מסתמך על הניתוח המסובך בטור 603, אלא מניח שמה שלא יהיה, התלמידים לא יצליחו להגיע למסקנה מתי ואם הבוחן יתרחש ולכן הוא בוחר יום אקראי בשבוע, והתלמידים גם הם יודעים שזה מה שהוא עושה ושאין להם דרך לנבא יום אקראי בשבוע (זה קצת כמו שיווי משקל נאש בתורת המשחקים). אם הם חושבים בצורה לוגית יותר, אז הם כנראה יגיעו למסקנה שהבוחן לא חייב להתקיים או להפתיע ולכן הוא יכול להיות בכל יום כולל היום האחרון ועדיין להפתיע, בדומה להסבר שלך בטור 603. אבל השאלה "האם המורה שיקר או לא" שהתעסקת בה בטור 603, היא חסרת משמעות, כי המורה לא באמת יכול לדעת אם הבוחן יפתיע (אולי התלמידים יקומו בבוקר המבחן ויגידו "יש לי אינטואיציה שזה יהיה היום", ואולי הם יעשו ניתוח מוטעה כלשהו שיעצר באמצע ויביא אותם למסקנה שזה היום) ולכן המשפט שלו הוא מראש לא משפט עובדה אלא משפט השערה – הוא משער שהתלמידים יופתעו. ככזה, התלמידים לא יכולים לתקוף אותו ביום האחרון בשאלה "אם הבוחן יהיה היום אנחנו לא נופתע", כי הם לא צריכים להניח שהמורה יודע מה הם חושבים היום. לכן הם יכולים להניח שרוב הסיכויים שהוא כן יתרחש היום והוא באמת לא יפתיע אותם. אין כאן סתירה כי המורה מראש לא הבטיח שהבוחן יפתיע, ולכן דווקא הפתרון בטור 601 מרגיש לי יותר קרוב לאמת (שלא בטוח שהבוחן יפתיע).
הפתרון בטור 603 מתאים יותר למקרה שבו לתלמידים יש הנחות יסוד שהמורה לא משקר ושהוא יודע מראש את המחשבות שלהם, כלומר שהוא מין אלוהים כזה (לשיטתך אפילו אלוהים לא יודע מה אנשים יחשבו בעתיד ולכן זה מצב היפותטי). אבל במקרה כזה, נראה לי אפשר לנסח את הפתרון בצורה מדויקת יותר, ולהראות שהמערכת האקסיומטית של התלמידים חייבת להתערער ביום האחרון ולכן הבוחן יכול להפתיע אותם.
נניח שהתלמידים בטוחים ב-100% באקסיומות הבאות:
1. אלוהים לא משקר או אומר משפטים שהוא לא בטוח לגבי נכונותם.
2. אלוהים אמר שיהיה בוחן השבוע.
3. אלוהים אמר שהבוחן יפתיע אותנו.
4. הגיע היום האחרון ולא היה השבוע בוחן.
4. אנחנו מאמינים בהנחות יסוד האלה ב-100%.
5. אלוהים ידע את כל המחשבות והאמונות שלנו מראש כולל הניתוח שאנחנו עושים עכשיו.
אקסיומות 2 ו-4 מביאות למסקנה שהבוחן יהיה היום, אבל כיוון שהגענו למסקנה הזו ואנחנו בטוחים בה (בגלל אקסיומה 4), הרי שהבוחן לא יפתיע אותנו, וכיון שאלוהים יודע את זה (אקסיומה 5) – הרי שהוא ידע שהבוחן לא יפתיע אותנו, ובכל זאת אמר שהבוחן יפתיע אותנו (אקסיומה 3), אם כך הוא שיקר וזה סותר את אקסיומה 1 שאלוהים לא משקר.
לכן התלמידים מגיעים למסקנה שהמערכת האקסיומטית שלהם לא נכונה לגמרי, כלומר אחת האקסיומות שגויות. הם יכולים לבחור אקסיומה אחת ולמחוק אותה, אבל כיוון שאחת האקסיומות אומרת במפורש שהם מאמינים במערכת ב-100%, הם יצטרכו למחוק אותה מהרשימה בכל מקרה, אז הם מוחקים אותה מהרשימה, ואז הסתירה נעלמת: כיוון שאנחנו לא מאמינים במערכת האקסיומטית הזו לגמרי, היא יכולה להיות נכונה והבוחן יכול להפתיע אותנו. נגיד שאם התלמידים חושבים שהבוחן יהיה היום בודאות של עד X אחוז זה עדיין הפתעה, אז כל עוד הם בטוחים במערכת האקסיומטית שלהם ביותר מ-X אחוז, הם סותרים את עצמם. לכן הפתרון מבחינתם יהיה לערער את הודאות שלהם עד כדי פחות מ-X אחוז, וככה הם באמת לא יהיו בטוחים שהבוחן יתקיים – כי ההנחות כבר לא ודאיות כל כך, מה שגורם לכך שהן אינן סותרות את עצמן, ולכן כולן יכולות להיות נכונות, ובפרט הנחה 3 שהבוחן יפתיע אותם.
לסיכום, אני חושב שהפתרון המציאותי הוא שהמורה וגם התלמידים פועלים מאינטואיציה ולא מחישובים לוגים והאינטואיציה שלהם לא מספיקה בשביל לנחש את היום. הפתרון הלוגי הוא שהאמונה במערכת האקסיומטית מחייבת ערעור עליה, והוא זה שמאפשר להיות נכונה.