פרדוקס בוחן הפתע: על שני סוגי פתרונות לפרדוקסים (טור 601)

בס"ד

מוקדש לילדיי: שלומי, יוסף ורבקה

לפני כמה ימים היה לי דיון מעניין עם שני ילדיי, יוסף ורבקה, על פרדוקס בוחן הפתע. כבר שנים אני תוהה לגביו, שכן יש בו משהו מאד מתעתע. ישנם פרדוקסים כמו פרדוקס השקרן שהוא באמת ללא מוצא ממשי. אבל בדרך כלל כשאני בוחן פרדוקסים יומיומיים כמו פרדוקס בוחן הפתע אני מגלה שהם לא אמתיים. די מהר אני עולה על הבעיה בניסוח ובטיעון ומוצא את הפתרון. אבל בפרדוקס הזה כבר שנים שאיני מוצא, וזה מאד תסכל אותי. לכאורה ברור שצריך להיות כאן פתרון כלשהו שהרי בפועל יש בחני פתע, אבל איני מוצא את הכשל בטיעון. אז החלטתי שצריך לכתוב על כך טור, שכן מניסיוני רק כך אני מצליח להבין לאשורן בעיות מסוגים כאלה (מכאן בין תבינו עבור מי נכתבים הטורים). אתם תשפטו אם אכן הצלחתי.

אדגיש כי מטרתי בטור הזה אינו הצגת הפתרון לפרדוקס, שכן מיד תיווכחו לראות, כפי שגם אני נוכחתי להפתעתי, שהוא טריוויאלי. מה שחשוב בעיניי הוא להבין את משמעותו של הפתרון ולקחיו. אני אנסה להדגים כיצד חוסר הבנה שלו מוביל אנשים, גם כאלה שמיומנים בחשיבה לוגית, לטעויות ואי הבנות. לכן אני ממליץ לקרוא בתשומת לב גם את הדיון שמעבר להצגת הפתרון כשלעצמו, כי הוא מוקד העניין.

אציין כי הטור הזה הוא סוג של הקדמה לוגית לטור שמתוכנן להיות הבא שיעסוק באקטואליה.

פרדוקס הצבא השוודי ובוחן הפתע

במקורו אני מכיר את הפרדוקס הזה בשם 'פרדוקס הצבא השוודי'. המפקד מגיע לחיילי היחידה שלו ומודיע להם שבאחד הבקרים בשבוע הקרוב יהיה תרגיל פתע. החיילים מתחילים לחשוב על ההודעה הזאת ומגיעים למסקנה שלא ייתכן תרגיל כזה. בשבת הוא ודאי לא יכול להתקיים, שהרי אם הוא לא קרה עד יום שישי, אזי ביום שישי בלילה הם כבר יודעים שהוא יתבצע למחרת וזה לא יפתיע אותם. אם כך, בשבת זה ודאי לא יכול להתרחש. אלא שאז חזרנו לבעיה של ששה ימים, ושוב חוזר אותו טיעון: אם הוא לא קרה עד יום חמישי, אזי באותו ערב אני כבר יודע שהוא יקרה למחרת, ביום שישי. לכן גם ביום שישי לא יכול להיות תרגיל פתע. וכן הלאה לגבי יום רביעי, שלישי, שני וראשון. בקיצור, לא ייתכן לבצע תרגיל פתע. אותם דברים נכונים כמובן לגבי מורה שמודיע לתלמידיו שבשבוע הקרוב יהיה בוחן פתע.

הערך בוויקיפדיה 'פרדוקס בוחן הפתע' מסיים את תיאור הפרדוקס כך:

מסקנתם של התלמידים הייתה שבהתאם לתנאים שקבע המורה, הבוחן אינו יכול להתקיים, ולכן כלל לא טרחו להתכונן אליו. מה גדולה הייתה הפתעתם כאשר ביום שלישי נכנס המורה לכיתה והודיע על תחילתו של בוחן הפתע המובטח. איפה הטעות בניתוח שעשו התלמידים?

אחרי הניתוח הלוגי המלומד, מתברר שבפועל יש בוחן פתע. אז היכן הבאג?

איני יודע למה, אבל המחשבה הבאה לא עוזבת אותי: חמאס עשו בוחן פתע לצבא ולממשלה שלנו, ואלו התנהגו כמו אותם תלמידים/חיילים שוטים. הם לא התכוננו כי דעתם הייתה שאי אפשר להפתיע אותנו. אז הנה, דווקא אפשר. זהו הקשר הראשון של הטיעון הפרדוקסלי עצמו לאקטואליה. בטור הבא אעמוד על קשר יסודי יותר שקיים בין הפתרון לפרדוקס לבין האקטואליה.

מהו, אם כן, הפרדוקס כאן? שבפועל יש תרגילי או בחני פתע. הטיעון שלמעלה נראה הגיוני, אבל בפועל אנחנו יודעים שמסקנתו אינה נכונה. מי שיסיק ממנו מסקנות (כמו התלמידים הנ"ל או צה"ל) ייכשל בחיים עצמם, או כמו שהיה נוהג בני שלומי (כעת עמוק בעזה) לומר: "יש שכל מתמטי ויש שכל לחיים". לכאורה השכל לחיים גובר על השכל המתמטי, כלומר הטענה גוברת על הטיעון. בהמשך נראה שבמקרה זה ההיפך הוא הנכון.

על הטבע הפרדוקסלי ופתרונו

ניתן לראות מהתיאור הקצר שלמעלה שטבעם של פרדוקסים הוא טבע של דילמה בת שתי קרניים: מחד יש טיעון בנוי כהלכה שמביא אותנו למסקנה X, ומאידך ניצבת העובדה שבפועל אנחנו יודעים שהמסקנה הזאת אינה נכונה. בקיצור אומר שיש כאן טיעון מול טענה. כך למשל לגבי פרדוקסיו של זינון על אכילס והצב או החץ במעופו וכדומה. הטיעון מראה שאכילס לא משיג את הצב או שהחץ לא עף, אבל בפועל אנחנו יודעים שזה כן קורה. לכן גם לא מועיל לענות לפרדוקס כזה בטענה שבפועל יש תרגילי פתע (או שבפועל אכילס משיג את הצב), שכן זה כמובן נכון אבל זה אינו פתרון לפרדוקס. להיפך, זה גופו מה שיוצר את הפרדוקס, שכן זה מה שיוצר את ההתנגשות בין הטיעון לבין הטענה. הרבה פעמים השאלה אינה מהי האמת או מי צודק, אלא היכן הטעות.

בדרך כלל מבינים שפתרון לפרדוקס מתקבל מהצבעה על הכשל בטיעון שמוביל למסקנה הלא נכונה (X), וכך ניתן למחוק את הסתירה בין שתי קרני הדילמה (=הטיעון הלוגי והטענה הידועה). אמנם חשוב לשים לב שעקרונית ישנה גם דרך אחרת לפתרון, והיא להראות שה'עובדה' שניצבת בקרן הדילמה השנייה אינה נכונה. זהו פתרון הפוך, שכן הטיעון הלוגי נותר נכון גם אחריו. במקרה זה הטיעון רק מוכיח שמה שחשבנו לעובדה אינו נכון. גם כך ניתן למחוק את הסתירה בין שתי קרני הדילמה, ולכן גם זה יכול להיחשב כפתרון לפרדוקס. שמרו את זה לצורך ההמשך.

אחרי ההקדמות, אעבור כעת לפרדוקס בוחן הפתע עצמו.

פתרונות דרך התוכן

ניתן אולי להציע לפרדוקס הזה את הפתרון הבא. נניח שהזמן הדרוש להתכונן לבוחן הוא יומיים. במצב כזה, להגיע למסקנה ביום שישי בערב שהבוחן ייערך למחרת זה לא מועיל. הבוחן עדיין יהיה בוחן פתע כי לא הספקנו להתכונן אליו. לכן אי אפשר לשלול את יום שבת והטיעון נגד בוחן הפתע נופל מאליו.

אבל זה כמובן אינו פתרון אמתי לפרדוקס. ראשית הוא מניח משמעות מסוימת לבוחן פתע והיא 'בוחן שאי אפשר להתכונן אליו אלא אם מתחילים בכך מיד'. אבל ביחס למשמעות המקובלת, 'בוחן שלא  יודעים עליו עד שהוא מתקיים', עדיין הטיעון עומד בעינו. שנית, גם אם מתחילים להתכונן מיד הבוחן לא יכול להיערך ביום א (כי אין מספיק זמן להתכונן אליו). ושלישית, אם ניקח בוחן שזמן ההתכוננות אליו הוא כשעה הפרדוקס עומד בעינו. הפתרון הזה מניח שבעצם באמת אין בוחן פתע, אבל רק במקרים מסוימים. זהו פתרון מהסוג השני שתואר למעלה (לא שהטיעון אינו נכון, אלא העובדה אינה נכונה).

מזווית אחרת, חשבו על שני מצבים שונים: א. החומר לבוחן הוא קבוע ורק המועד אמור להפתיע אותנו. ב. החומר משתנה. למשל, בכל יום הבוחן יעסוק בחומר של היום הקודם. בדרך כלל בחני פתע מיועדים לוודא שהתלמידים חוזרים על החומר באופן שוטף מיום ליום. מה טעם לעשות בוחן פתע על אותו חומר ידוע מראש? מה מרוויחים מהיותו מפתיע? לכן בוחן פתע במשמעותו הפשוטה מניח את המשמעות השנייה, כלומר זהו בוחן שמטרתו לגרום לתלמיד לעקוב אחרי החומר באופן שוטף. אם כך, זמן ההכנה לקראת בוחן פתע בהגדרה אינו למעלה מיום (שהרי צריך להיות אפשרי להתכונן בכל יום לבוחן שביום הבא).

בכל אופן, זהו פתרון שנתלה בתוכן המושג 'בוחן פתע' ומציע לו משמעות אחרת. מעצם היותו כזה, זהו פתרון מהסוג השני, כזה ששולל את העובדה ולא את הטיעון. בעצם ניתן לומר שהטיעון מדבר על 'בוחן פתע' במשמעות א והעובדה עוסקת בו במשמעות ב, ולכן אין סתירה ביניהם. מכאן יוצא שבוחן פתע במשמעות א באמת לא ניתן לביצוע (הטענה אינה  נכונה והטיעון כן), אלא שמצאנו משמעות אחרת שהיא כן יכולה להתקיים.

פתרון דומה (גם הוא פתרון תוכני) יכול להיות זה שמגדיר בוחן פתע כבוחן לא יחיד. כלומר בכל יום המורה יכול להטיל או לא להטיל עלינו בוחן פתע, ואין תלות בין הימים. לא מדובר על בוחן אחד וההפתעה היא מתי הוא ייערך, אלא בכל יום יכולה להיות הפתעה חדשה. בוחן פתע כזה כמובן יכול להיערך ואין בו שום פגם, אבל גם זה אינו פתרון לפרדוקס שלנו כי הוא רק מציע משמעות שונה למושג 'בוחן פתע'. הפרדוקס שעוסק בבוחן פתע במשמעות המקורית נותר בעינו (אלא אם נניח פתרון מהסוג השני: שבאמת לא ייתכן בוחן פתע במשמעות ההיא).

הפתרון המתבקש: פתרון דה-פקטו

הפתרון הראשוני שעלה בדעתי כששמעתי לראשונה על הפרדוקס הוא פתרון דה-פקטו. בפועל, אחרי ששללנו את האפשרות של בוחן פתע בכל אחד מהימים, חזרנו למצב שבו כל הימים במעמד שווה. אם כן, כעת שוב כל יום שייבחר יפתיע אותנו (כי חשבנו שהבוחן לא יכול להתבצע בו, כמו בכל האחרים). חשבו על המורה שמניח לפני התלמידים בוחן ביום ג, האם הוא לא מפתיע אותם? ודאי שכן. הרי לכם שבפועל יש בחני פתע.

לכאורה זה אינו יכול להיחשב פתרון לפרדוקס, שהרי ראינו למעלה שזו רק קביעת העובדה שבפועל יש בחני פתע. העובדה היא הקרן השנייה של הדילמה, והיא זו שיוצרת את הפרדוקס. השאלה שעליה אמור לענות פתרון לפרדוקס היא מה לא נכון בטיעון שמוביל למסקנה שאין בחני פתע. עד שלא הצבענו על הטעות בטיעון לא פתרנו את הפרדוקס. אבל זה לא פשוט, שכן נראה שגם פתרון דה פקטו כמו זה שהצעתי כאן יכול להיחשב פתרון לפרדוקס. שימו לב שהוא לא מסתפק בהצבעה על העובדה אלא ממשיך את הטיעון עצמו ומראה את המסקנה הזאת מתוכו: אחרי שהגענו למסקנה ששום יום לא יכול להיחשב מפתיע, אנחנו נמצאים במצב שבו כל הימים שווים, ושוב יש הפתעה בכל יום שייבחר. לכאורה זו הצבעה על פגם בטיעון (כי הוא עצר מוקדם מדיי) ולכן ניתן לומר שזהו אכן פתרון לפרדוקס.

אבל במחשבה נוספת נראה שזה בכל זאת לא נכון. הרי גם אחרי שהמשכנו את הטיעון וחזרנו למצב שבו כל הימים שווים במעמדם, עדיין ברור שהבוחן לא יכול להיערך בשבת, שכן ביום שישי בערב נדע על כך. אבל אז שוב נשלול גם את יום שישי וחמישי וכן הלאה. כלומר ניתן להמשיך את הטיעון הלאה והלאה ולעורר מחדש את הפרדוקס. אלא שכמובן שוב ניתן להציע פתרון דומה: אם לא ניתן לעצור את הטיעון עד לאינסוף, אזי שוב מעמדם של כל הימים שווה ולכן עדיין יש הפתעה בכל יום שייבחר. ייתכן שזה כבר כן פתרון.[1]

ועדיין בכל צורה שלא תסתכלו על זה, ברור שהבוחן לא יכול להיערך ביום שבת. ומה על שישי? לכאורה גם לא. איכשהו הפתרון הזה גם הוא לא מחלץ אותנו מהבעיה. כדי לחדד זאת יותר, הבה נחשוב על בעיה של בוחן פתע במהלך יומיים (ולא שבוע). המורה מודיע שיהיה בוחן פתע או ביום א או ביום ב בשבוע הבא. ביום ב זה לא יכול להתקיים מאותה סיבה. לכן גם ביום א לא. נדמה לי שבמצב כזה אני הייתי מתכונן ליום א. הסיבה לזה היא שביום ב חוסר האפשרות הוא עובדה מוצקה. ביום ב זה לא יהיה בוחן מפתיע. ביום א זו רק תוצאה של חישוב לוגי, אבל לא עובדה ישירה. לכן האפשרות היחידה היא יום א. אבל שימו לב שהגענו למסקנה שהבוחן ייערך ביום א, כלומר שוב הוא לא מפתיע.[2]

התחושה היא שכשמדובר בשלושה ימים המצב שונה. במקרה זה יום ג נשלל ישירות, אבל כאן יש לנו שתי אפשרויות שנשללות רק כתוצאה מחישוב לוגי (יום א וב'). לכן כאן אין לי דרך להתכונן ליום מסוים, והטיעון הקודם אולי מציע פתרון לפרדוקס. לכאורה באמת יש בוחן פתע במצב כזה, אם הוא ייערך באחד משני הימים הראשונים (כי שניהם נשללו ולכן מעמדם שווה).

אבל שימו לב שגם זה לא ממש נכון. ביום השלישי זה כמובן לא יהיה פתע. אבל אם הבוחן לא נערך ביום א, אזי אני כבר יודע בוודאות שהוא ייערך ביום ב (כי שלישי נשלל), ואז לא תהיה כאן הפתעה. אם כן, עליי להתכונן בהכרח ליום א, ושוב אין כאן הפתעה גם ביום א. בקיצור, בכל הודעה כזאת, היום היחיד שבו זה יכול להתרחש הוא היום הראשון האפשרי בסדרה, ואליו עליי להתכונן. אלא שבדיוק בגלל זה גם אם הבוחן ייערך ביום הראשון לא תהיה כאן הפתעה (כי לזה התכוננתי מראש).

המשמעות היחידה לפתרון הזה היא הבאה: נניח שהמורה יחליט לא לערוך את הבוחן ביום הראשון, זה כמובן יפתיע אותי מאד, אבל אז אתכונן ליום השני (כי כעת הוא הראשון בסדרה). ואם הוא לא יערוך אותו גם ביום השני, אז אני כבר ממש נדהם, אבל כעת ברור שהוא ייערך בשלישי וזה כבר בוודאות לא יפתיע אותי. אמנם נכון שבמקרה כזה יוצא שהתכוננתי לבוחן בכל אחד מהימים, ולכן ההודעה על בוחן הפתע השיגה את מטרתה. הבוחן אמנם לא הפתיע אותי בעת התרחשותו, אבל המטרה של ההפתעה הושגה במלואה (שאלמד בכל יום את החומר הרלוונטי). ניתן לומר שלפחות במשמעות הזאת כן אפשרי לערוך בוחן פתע. הוא אמנם לא מפתיע אותי בעת התרחשותו אבל הוא משיג את מטרתו.

אבל כבר ראינו שזהו שינוי תוכני של המושג 'בוחן פתע'. בוחן פתע אינו בוחן שמפתיע אותי אלא בוחן שגורם לי ללמוד באופן שוטף, ולכן זה אינו פתרון אמתי לפרדוקס. יתר על כן, ניתן כעת לחזור ולשאול אם אכן זה החשבון היחיד האפשרי, כי אז יוצא ממנו בבירור שהבוחן ייערך ביום האחרון ולכן התוצאה היא שאני לא אתכונן בימים שלפניו, ושוב הוא לא משיג את מטרתו. שימו לב, שזה אמנם מפיל את הפתרון התוכני שהצעתי כאן, אבל מחזיר אותנו לפתרון מהותי: הרי אני לא יכול לדעת זאת בוודאות, שכן המורה יכול לעשות את החשבון הזה עצמו ובכל זאת לערוך את הבוחן באחד הימים הראשונים. או לחלופין הוא יערוך אותו ביום האחרון. בגלל שאין לי דרך לדעת איזו מהאפשרויות נכונה, כל אחד מהימים שלפני האחרון יפתיע אותי. אם כן, זה דווקא כן פותר את הפרדוקס.

אבל לפתרון הזה יש מחיר, שכן עריכת הבוחן ביום האחרון לא תפתיע אותנו.

צעד אחד אחרון: הפתרון

טוב, אתיש אתכם בעוד צעד אחד אחרון. היום האחרון אינו אופציה במובן המהותי. שם הבוחן ודאי לא יפתיע אותי לפי שום חשבון (אם כי בוחן ביום האחרון ישיג את המטרה של לימוד שוטף בכל הימים). לכן ברור שאין אפשרות לערוך בוחן פתע במשמעות שהוא מפתיע אותי בעת עריכתו בכל אחד מהימים. לכל היותר ניתן לדבר על כל הימים למעט האחרון. והרי לכם הפתרון הפשוט במלוא הדרו.

לפי הצעה זו, המורה שמודיע על בוחן פתע בשבוע הקרוב, מתכוון לומר שייערך בוחן השבוע, הוא יכול להיערך בכל אחד מימי השבוע, והוא עלול להפתיע אותנו (אבל לא בהכרח יפתיע אותנו). במילים אחרות, המורה בעצם מודיע לנו שהבוחן ייערך בהפתעה באחד מששת הימים הראשונים או בלי הפתעה ביום השביעי. כעת ברור שאי אפשר לשלול את היום האחרון (שכן הוא יכול להיערך גם בו, אלא שבלי הפתעה), אבל זה בדיוק מה שיוצר את האפשרות להפתיע אותנו בכל הימים הקודמים. ברגע שהאפשרות של היום האחרון נותרת על כנה, החשבון של הטיעון שלמעלה נקטע, ואז כל הימים הקודמים אכן יהיו אפשריים ותהיה בהם הפתעה. זו המשמעות המקסימליסטית ביותר של בוחן פתע לשבוע ימים.

דומני שפתרונו של הפילוסוף הידוע קוואיין לפרדוקס בוחן הפתע (ראו את מאמרונו משנת 1953), גם הוא אומר בערך את זה. אם כבר הגענו למסקנה שבכל מקרה בוחן הפתע לא יכול לכלול את היום האחרון, כלומר האופציה של היום האחרון בהכרח כרוכה בכך שלא נופתע, כי אז לא צריך את כל הפלפולים הקודמים. יש פתרון פשוט לפרדוקס: הודעה על בוחן פתע בשבוע כלשהו משמעותה בוחן שיכול להתבצע בכל אחד מימי השבוע ושיכול להפתיע אותנו בששת הימים הראשונים או להיערך בלי הפתעה ביום האחרון. זה ודאי אפשרי ללא שום בעיות ולא צריך שום חישוב נוסף כדי להצדיק זאת. שימו לב שמה שהפתרון הזה בעצם טוען הוא שבאופן מפתיע (!) באמת אין בחני פתע במשמעות שהנחנו בהתחלה. כלומר הטענה שאותה תקף הטיעון אינה נכונה והטיעון באמת נכון.

למשמעותו של הפתרון הזה: שני קשיים

טוב, אז לכאורה הפרדוקס נפתר. זה אפילו פשוט ביותר, כמעט טריוויאלי. אבל כפי שכתבתי למעלה, הטור לא נועד ללמד אותנו רק את הפתרון הזה כשלעצמו, אלא בעיקר לבחון שני היבטים שמתלווים אליו: 1. אם זה כל כך פשוט אז איך פספסתי את זה? מה הסיבה לכך שהוא נעלם מעיניי ותסכל אותי יותר מכל פרדוקס אחר? למה הייתי צריך את כל הפלפולים וההתפתלויות שנעשו עד כה כדי להגיע לפתרון הפשוט הזה? 2. האם באמת הפתרון הזה פותר את הפרדוקס? האם עכשיו אני מבין למה ואיך יש בחני פתע? אעבור כעת לענות על שני הקשיים הללו, אחד אחרי השני.

1. החמקמקות של פתרונות מהסוג השני: פרדוקסים כפירכות על טענות עובדה

ראשית, למה זה פתרון מפתיע? מפני שהוא לא מוצא פגם בטיעון אלא מראה שהעובדה (=הטענה) לא נכונה. זהו הסוג השני של פתרונות לפרדוקסים מתוך השניים שתיארתי למעלה. שימו לב שזהו כיוון שכמעט אף פעם איננו לוקחים אותו בחשבון כאשר אנחנו מתייחסים לפרדוקסים. אני חושב שזוהי הסיבה לכך שהפרדוקס הזה שפתרונו כה פשוט נראה לי תמיד בלתי אפשרי ומתסכל. היה לי ברור שיש בחני פתע ולכן הסקתי שהטיעון הזה שגוי, אבל למרות שחיפשתי וחיפשתי לא מצאתי בו שום פגם. כעת מתברר שאין פלא שלא מצאתי בו פגם, מפני שהטיעון הזה הוא באמת ללא פגם. אכן אין בחני פתע במובן המקובל. כאמור, הפתרון הזה לפרדוקס הוא מהסוג השני: הטיעון הוא נכון ודווקא העובדה שמול הטיעון הזה היא שאינה נכונה.

זהו לקח חשוב מאד. בדרך כלל, יש לנו אמון מלא בהנחות עובדתיות וחשד בטיעונים לוגיים. הם נראים לנו פלפול בעלמא ולכן רבים לא מתייחסים אליהם. כשאדם מעלה טיעון לוגי או פילוסופי שמערער על עובדות שנראות לנו מובנות מאליהן אינטואיטיבית, אנחנו נוטים לפטור אותו בטענה שזה פלפול לוגי שאולי איני חכם מספיק כדי לפרוך אותו אבל האמת ידועה וברורה. לכן גם אם אין לי פירכא או תשובה לטיעונו, זה לא ישנה את עמדתי הראשונית. זוהי וריאציה מסוימת, אולי חמורה יותר, של הטיית האישוש. כך רואים הרבה פעמים ביחס לטיעונים שמוכיחים את קיומו של אלוהים, או הדטרמיניזם, או פורכים את האתאיזם ושאר הנחות שיש לנו נטייה לדבוק בהן. אנשים לא מתרגשים מטיעונים כאלה ונותרים בעמדתם, כי הם מניחים כמובן מאליו שיש בהם פגם כלשהו (גם אם עדיין לא מצאו אותו). מסיבה זו רוב האנשים כלל לא מתעניינים בטיעונים פילוסופיים שכאלה. כדי להיווכח בכך, חשבו על הפרדוקסים של זנון (החץ במעופו או אכילס והצב). אף אחד מאתנו לא מתייחס אליהם ברצינות. הם נועדו להוכיח שאין תנועה בעולם. אבל ברור לנו שיש, וגם אם איננו מצליחים לשים את האצבע על הפגם בטיעונים של זינון הדבר לא ישנה את עמדתנו זו. אלא שכאן זה נעשה בצדק. גם מי שלא יכול להצביע על הפגם בטיעון של זינון (בדרך כלל צריך ידע מתמטי בשביל זה) מבין שיש שם פגם כלשהו. השכנוע שלנו בכך שיש תנועה הוא מוחלט, והמתמטיקה הראתה לנו שהוא גם מוצדק.

במובן הזה, פרדוקס הצבא השוודי או בוחן הפתע נותן לנו מוטיבציה נפלאה בכל זאת לקחת ברצינות 'פלפולים' לוגיים שכאלה, ולא ללכת אוטומטית שבי אחרי הדוגמות שלנו. במקרים רבים ההתייחסות לטיעונים כאלה כפלפול היא נכונה. אבל כעת מתברר לנו שישנם גם מקרים שבהם מה שנראה לנו מובן מאליו אינו נכון, והטיעון שמראה זאת אינו פלפול אלא הוכחה תקפה לכך שהעובדה שנראית לנו כה ברורה אינה נכונה. לכן כדאי להטות אוזן ללוגיקה ולפילוסופיה ולא לזלזל בהן כל כך כמקובל.

כיצד יודעים האם העובדה שלא מצאתי פגם בטיעון משמעותה שאני לא מספיק חכם (אבל טענת העובדה שהטיעון תוקף אכן נכונה), או שמא באמת אין בו פגם והעובדה היא שאינה נכונה? אין לי קריטריון לזה (ואני לא חושב שלמישהו יש), אבל חשוב לפחות להפנים ששתי האפשרויות קיימות ולא כדאי לבטל בקלות אף אחת משתיהן. זהו לקח אנטי דוגמטי חשוב. בעניין זה אין לי אלא להמליץ על הנחייתו של התלמוד (חגיגה ג ע"ב):

אף אתה עשה אזניך כאפרכסת וקנה לך לב מבין לשמוע את דברי מטמאים ואת דברי מטהרים את דברי אוסרין ואת דברי מתירין את דברי פוסלין ואת דברי מכשירין.

צריך להקשיב טוב ובפתיחות הן לטיעון והן לטענה שהוא תוקף, תוך מוכנות לשקול באמת את שני הצדדים, ורק אז להחליט מי משניהם משכנע אותי יותר. הדברים אמורים כמובן רק כאשר לא מצאתי פירכא לטיעון. זה אמנם לא בהכרח אומר שהעובדה שגויה, שכן אולי פספסתי משהו בטיעון (ע"ע זנון), אבל אסור לשכוח שבמקרה כזה דחיית העובדה מכוח הטיעון היא בהחלט אפשרות שאין לבטלה.

2. האם פתרונות מהסוג השני הם פתרונות: האם הפרדוקס נפתר?

השאלה השנייה היא האם זה אכן פותר את הפרדוקס? התשובה היא כמובן שלא. פתרון הוא להצביע על טעות בטיעון. אבל כאן המסקנה היא שבאמת אין בחני פתע (במובן שבכל יום הוא יכול להינתן ולהפתיע אותנו), כלומר הטיעון היה נכון והטענה שהוא תקף באמת אינה נכונה. זהו פרדוקס מדומה. אלא שלשם כך די לנו להראות שביום שבת זה לא יכול להפתיע אותנו, שזה עניין טריוויאלי שניתן לראותו בשורה אחת (ראו למעלה). למה היינו צריכים את ההמשך שמדבר על משמעות אלטרנטיבית לבחני פתע (המשמעות שהבוחן עשוי להפתיע לפעמים, פרט ליום האחרון)? זה נעשה רק כדי להסביר את התחושה הראשונית שבפועל יש בחני פתע ואת התסכול שמתלווה לחוסר היכולת לפתור את הפרדוקס. כדי להסביר זאת היינו צריכים להמשיך ולהראות מה המשמעות האמתית של ההודעה על בוחן פתע ובאיזה מובן הוא באמת מפתיע. לכן לא די היה בהצבעה על כך שאין בחני פתע במובן הרגיל בגלל יום השבת. היה עלינו גם לתרגם את ההודעה של המורה/המפקד באופן הבא: יהיה בוחן בכל אחד מהימים (כולל השביעי, אלא שאז הוא לא יהיה מפתיע).

לענייננו, המסקנות הן הבאות:

1. אין בחני פתע במובן שהבוחן יכול להינתן בכל יום ולהפתיע אותנו.
2. הבוחן יכול להפתיע אותנו בשאר הימים, אבל רק בתנאי שהוא יכול להיערך גם ביום האחרון (בלי להפתיע).
3. משמעות ההודעה על בוחן פתע היא: בכל אחד משבעת ימי השבוע הבא יכול להיערך בוחן, ובחלק מהמקרים (שישה ליתר דיוק) הוא יכול להפתיע.

רק אחרי שעשינו את כל הדרך, הכל התברר והובן עד תום: הטיעון התברר כנכון, הטענה היא שגויה, וגם האינטואיציה שלנו שיש בחני פתע קיבלה הסבר מספק.

הערה בסוגריים: שני סוגי הפתרון כדרוש ופלפול

[[3]בטור 52 עמדתי על ההבדל בין דרוש לפלפול. דרוש הוא טיעון פגום שמסקנתו נכונה. זהו מבנה חסר ערך ומשעמם (טוב רק לוורטים בשבע ברכות או בקידוש בבית הכנסת. שם כמעט כולם דרושים). פלפול, לעומת זאת, הוא טיעון טוב שמסקנתו שגויה. הסברתי שבניגוד לדרוש, פלפול הוא מעניין ובעל ערך, שכן הוא מציב בפנינו אתגר לחשוף את הבאג בטיעון שעל פניו נראה מושלם.

פרדוקס טוב דומה קצת לפלפול, שכן הוא מציב בפנינו אתגר לגלות את הבאג בטיעון ולהבין טוב יותר מדוע הטענה שהוא תוקף בכל זאת נכונה. זהו טיעון שגוי שמסייע לנו ללבן טענה נכונה (אמנם כאן לא מדובר במסקנת הטיעון אלא בשלילה שלה). אבל זה נכון רק לגבי פרדוקסים שנפתרים בדרך הראשונה. פתרונות מהסוג השני חושפים בפנינו פרדוקסים שדומים יותר לדרוש מאשר לפלפול. כאן הטיעון הוא מצוין, ודווקא הטענה (שכנגדו, לא מסקנתו) שגויה. אמנם אצלנו גם פרדוקסים כאלה הם בעלי ערך, שכן הם בכל זאת מלמדים אותנו משהו חדש, שהאינטואיציה הראשונית שלנו הייתה שגויה. צריך להבין שגם פרדוקס כזה מציב בפנינו אתגר, שכן מראש לא ברור לנו האם זה דרוש או פלפול (כלומר האם הטענה שגויה או שיש באג בטיעון), ולכן גם פרדוקסים כאלה מחייבים אותנו לנתח את הטיעון ולבחון אותו (אלא שבסוג הזה הממצא בשורה התחתונה הוא שהטיעון אכן תקף).]

הבהרה וחידוד: הניסוח ב'וויקיפדיה'

בוויקיפדיה בערך 'פרדוקס בוחן הפתע', מביאים את הפתרון הזה, ומתארים אותו כך:

השורש של הפרדוקס טמון במשמעות הסמנטית של המושג "בוחן פתע". בדיקה מדוקדקת של הפרדוקס תראה שהוא נוצר מכיוון שאנו מייחסים למושג "בוחן פתע" שתי משמעויות שונות בו זמנית.

ראשית, כאשר התלמידים מניחים שאם המבחן לא התקיים עד יום חמישי, הוא אינו יכול להתקיים ביום שישי, המשמעות שהם מייחסים למושג "בוחן פתע" היא זאת – "בוחן שלא ניתן לדעת בשום יום באיזה יום יתקיים". בוחן פתע שכזה אכן אינו אפשרי כאשר המבחן ניתן במסגרת זמן מוגבלת – תמיד יהיה ניתן לדעת עבור היום האחרון, ועבורו בלבד, שהבוחן בהכרח יתקיים בו אם הוא לא התקיים עד עתה. כלומר, "בוחן פתע" מושלם (כזה שמפתיע בכל יום) אינו אפשרי במסגרת זמן מוגבלת. על כן, התלמידים אכן מוכיחים שבוחן פתע מושלם אינו יכול להתקיים, אולם הם אינם מוכיחים מאומה עבור בוחני פתע "מוגבלים", שמפתיעים בחלק מהזמן.

לאחר מכן, משניתן הבוחן ביום שלישי ועדיין היה "מפתיע", מייחסים התלמידים למושג "בוחן פתע" משמעות אחרת: "בוחן שכאשר ניתן, לא היה ניתן לדעת באיזה יום יתקיים". זוהי גרסה חלשה בהרבה של הבוחן ה"מושלם" שבה השתמשו התלמידים בהנחת האינדוקציה שלהם, מכיוון שכאן על הבוחן להיות מפתיע רק ביום ספציפי אחד, היום שבו הוא ניתן – ויום זה נתון לבחירתו השרירותית של המורה.

כלומר, הפרדוקס נגרם לכאורה מכיוון שהתלמידים מופתעים על ידי בוחן שאינו מפתיע תמיד. הבוחן יכול להפתיע רק בחלק מן הזמן.

למיטב הבנתי, הניסוח הזה אינו מדויק. גם הניסוח החלש של בוחן פתע אינו עומד במבחן המציאות: "בוחן שכאשר ניתן, לא היה ניתן לדעת באיזה יום יתקיים". הרי אם הבוחן ייערך בשבת אז הוא לא יפתיע אותנו. אבל ראינו שבו בזמן אנחנו חייבים להניח שהוא יכול להיערך גם בשבת (בלי להפתיע), אחרת הפרדוקס לא נפתר גם לגבי שאר הימים. אם כך, לא נכון להגדיר בוחן פתע כבוחן שמפתיע אותנו ביום שבו הוא ניתן, אלא בוחן שיכול (!) להפתיע אותנו בעת הינתנו במקרים מסוימים (זה קורה רק אם הוא ניתן באחד מששת הימים הראשונים). בקיצור, הניסוח שלהם מציג פתרון נכון לפרדוקס, אבל לא מציג פשר משכנע לבוחן פתע שכן יכול להתרחש ולכן לא עונה לקשיים הנלווים.

מה שהוא מכנה "פתרון סמנטי" גם הוא ניסוח לא מוצלח. הטיעון אכן הפריך את אפשרותו של בוחן פתע במשמעות הרגילה. בזה אפשר לעצור. לא פתרנו את הפרדוקס אלא דחינו את הטענה שהוא תקף. אמנם יש הסבר מדוע אנחנו חשים שיש בחני פתע, מפני שאנחנו מתכוונים להם במשמעות אחרת. אבל כפי שהסברתי המשמעות הזאת אינה חלק מפתרון הפרדוקס (שכן הוא לא נפתר), אלא רק ממענה לקשיים הנלווים.

הערה על 'פרדוקסים מדומים'

בהמשך הם מביאים שקוואיין הראה שזהו 'פרדוקס לכאורה' (או 'פרדוקס מדומה'). אני מניח שכוונתו היא שהפתרון לא מוצא פגם בטיעון אלא דוחה את הטענה, כלומר שזהו הכינוי שלו לפתרונות מהסוג השני. אבל מהותית אני חושב ששני סוגי הפתרונות, גם הראשון, מראים שהפרדוקס הוא מדומה. כך, למשל, הפתרונות לפרדוקסים של זנון, כמו זה של אכילס והצב, מראים שהטיעון פגום והטענה (שיש בעולם תנועה) אכן נכונה. בשורה התחתונה גם כאן מדובר בפרדוקס מדומה. בעצם כל פרדוקס שנפתר, בשני סוגי הפתרון, הוא מדומה. אני חושב שהאינטואיציה של קוואיין לכנות דווקא את הפרדוקס הזה 'פרדוקס מדומה' נובעת מהקשיים הנלווים. התחושה הראשונית שלנו היא שיש פגם בטיעון, וכשאנחנו מגלים שלא, זהו טיעון נכון שמהווה הוכחה שהטענה לא נכונה, וזה נשמע לנו כמו פרדוקס מדומה. אבל אין להבחנות הללו בסיס מהותי. זה רק עניין של כשל של דוגמטיות בחשיבה שלנו שמייחסת יותר אמינות לטענות ולאינטואיציות מאשר לטיעונים הלוגיים שתוקפים אותן (זוהי הטיית האישוש המשודרגת). כאמור, זה אפילו לא ממש כשל. להערכתי ברוב המקרים זה באמת מה שקורה: יש פגם בטיעון (אלא שלא מצאנו אותו כי לא היינו מספיק חכמים), והטענה האינטואיטיבית אכן נכונה. אבל, כאמור, יש גם מקרים (כמו בפרדוקס הזה) שלא.

אז מהו פרדוקס לא מדומה, אם בכלל? זה אמור להיות פרדוקס שאין לו פתרון בכלל (משום סוג). אלא שיש ויכוח גדול בין פילוסופים ולוגיקנים האם בגלל ייתכנו פרדוקסים כאלה. פרדוקס השקרן לדוגמה הוא אבטיפוס לפרדוקס ללא פתרון, ולכן נראה כפרדוקס אמתי. אבל יש שיטענו שזה סתם משפט חסר פשר (אוסף מילים שלא אומרות כלום, כמו 'אברכדברא הלך לטוב', או 'המידה הטובה היא משולשת', או 'מה ההבדל בין שפן'), ולכן גם כאן אין פרדוקס אמתי. אמנם התחושה הראשונית שלנו היא שכאן מדובר במשפט שיש לו פשר, אבל הפתרון מראה לנו שזוהי טעות. ככלל, אני אישית נוטה לחשוב שאין פרדוקסים אמתיים. ברגע שמתגלע פרדוקס במערכת החשיבה שלי, זו אינה אלא הוכחה שמשהו שם סתירתי ויש לוותר עליו. גם אם לא גיליתי מהו האלמנט הזה, ברור שהוא קיים. יש לי אפילו הוכחה לוגית בדרך השלילה: אם כשל כזה לא קיים אז מגיעים לסתירה. מסקנה: הכשל כן קיים. מש"ל.

עניין זה מתקשר למעמדה של הלוגיקה. יש הסוברים שהלוגיקה מתארת את צורת החשיבה שלנו אבל היא לא 'אמתית' במובן אובייקטיבי כלשהו (הקב"ה למשל הוא מעל הלוגיקה. ייתכנו עולמות עם לוגיקות שונות). לפי זה, ייתכן שהלוגיקה הספציפית שלנו שגויה ולכן הפרדוקס האו אמתי. כלומר האמת בעולם האמתי נתפסת כסתירה במושגים שלנו בגלל הלוגיקה הבעייתית שלנו. אבל אני סובר שהלוגיקה היא אמת מוחלטת (היא כפויה גם על הקב"ה. ראו במאמרי כאן ועוד הרבה באתר)[4], ולכן לא ייתכנו פרדוקסים אמתיים. כמו שטוענים פילוסופים אנליטיים, לכל היותר ישנן בעיות בשפה שמובילות אותנו לחוסר יכולת לבטא באמצעותה את האמת האובייקטיבית, אבל אין פרדוקסים במציאות עצמה.

"מעגלתו של חילוני"

באתר אחד נגד כל הדת (לא פחות) מצאתי התייחסות לפתרון שמוצע בוויקיפדיה, שמובא בשם 'מעגלתו של חילוני'. הוא תוקף את הפתרון של ויקיפדיה בחריפות ובנחרצות, בטענה ששינוי סמנטי במשמעות של מושג אינו פתרון לפרדוקס. אתה בסך הכל מציע משמעות אחרת למונח 'בוחן פתע' ואז הפרדוקס נעלם, אבל במשמעות הקודמת והמקובלת של המושג הוא נותר על כנו. אז מדוע אתה חושב שפתרת אותו בכך?!

לכאורה הוא צודק. טענה דומה לזאת טענתי (ראו למשל בטור 406 ועוד) ביחס ל'תורת הטיפים' של ראסל. תורה זו מציעה פתרון לפרדוקס השקרן בכך שהיא בונה היררכיה של משפטים שכל אחד מהם יכול להתייחס רק למשפטים שנמוכים ממנו בהיררכיה. זה כמובן מונע את ניסוחו של פרדוקס השקרן (שכן המשפט שמתאר אותו מתייחס לעצמו, וזה לא חוקי). טענתי נגד ראסל שלדעתי זה לא פתרון, שכן הוא רק המציא שפה שבה לא ניתן לנסח את הפרדוקס. בה במידה יכולתי לחוקק חוק שמי שמציג את הפרדוקס דינו מוות. כל עוד בשפה שלנו הפרדוקס קיים אזי הוא לא פתור.

אבל צר לי לאכזב את ה'חילוני' שלנו, שכן עגלתו במקרה זה ריקה. המצב אצלנו שונה מזה שקיים בתורת הטיפים. ראינו למעלה שבאמת אין פתרון לפרדוקס בוחן הפתע, ותפיסת הטיעון הזה כפתרון היא היא שורש הבעיה. בניסוח אחר, ראינו שזהו פתרון מהסוג השני (שאינו פתרון), ולפיו הטיעון ה'פרדוקסלי' באמת פורך את קיומו של בוחן פתע במשמעות המקובלת. אם כן, הטיעון שלנו אינו אלא הוכחה לכך שאין בוחן פתע, אבל לא פרדוקס. אמנם יש בוחן פתע במשמעות אחרת של המושג. הראיתי שהמשמעות האחרת אינה חלק מהפתרון לפרדוקס אלא באה לענות על הקשיים הנלווים. לכן כאן הפרדוקס כן נפתר, והוא לא מתבסס על שינוי משמעות סמנטי. שינוי המשמעות נועד רק להסביר לנו את הקושי שלנו במציאת הפתרון ואת האינטואיציה שמובילה אותנו להחזיק בטענה הנתקפת.

כפי שהראיתי למעלה, בוויקיפדיה באמת לא הקפידו על ההבחנה הזאת (מה שאני עשיתי בטור כאן), ולכן המתקפה שלו עליהם מוצדקת בחלקה. אבל מתברר שגם הוא טועה באותה טעות שלהם, שכן הוא נזקק לפתרון אחר לפרדוקס בעוד שבאמת לא דרוש כאן פתרון כלל. כפי שהראיתי, זה לא פרדוקס אלא סתם הוכחה לכך שאין בחני פתע.

דומני שמוקד הטעות שלו הוא במשפט הבא:

פתרון נאות לבעיה חייב להצביע על העובדות הגורמות לפרדוקסאליות של המצב ועל הטעויות שאנו עושים בניתוחו.

לא נכון. זה רק לגבי פתרונות מהסוג הראשון. אבל בפרדוקס הזה מדובר בפתרון מהסוג השני, שכאמור אינו באמת פתרון במובן שלו.

הפתרון שלו

אז מה הוא עצמו מציע? טענתו של ה'חילוני' מתבססת על המקרה של בוחן פתע ביום אחד. מורה שבא ומודיע לכיתה "מחר ייערך בוחן פתע", לא אמר כלום. זהו אוקסימורון (כי כולם יודעים שהוא ייערך מחר). כעת הוא טוען שאין הבדל עקרוני בין האמירה הזאת לבין האמירה "באחד מימי השבוע הבא ייערך בוחן פתע". גם היא אוקסימורון, כי היא מכילה את המשפט הקודם ועוד שישה. כדי להראות מכאן את הפתרון לפרדוקס הוא נזקק להבחנות בין ידיעה להוכחה, שאעיר עליהן בהמשך. אבל הטעות שלו מצויה כבר כאן, ולכן אין צורך להמשיך.

במקרה המורכב (בוחן פתע לאורך שבוע), מדובר בצירוף 'או' (בעצם זהו XOR) של שבעה משפטים: 'ביום א ייערך בוחן פתע' או 'ביום ב ייערך בוחן פתע' או 'ביום ג ייערך בוחן פתע'… או 'ביום שבת ייערך בוחן פתע'. האחרון הוא אמנם אוקסימורון, ולכן שקר. אבל איחוד של כמה טענות שאחת מהן שקרית יכול להיות אמתי (הוא תלוי בערכי האמת של הטענות האחרות). רק אם נמשיך ונוכיח שכל האחרות גם הן שקריות (כפי שאכן מוכיח הפרדוקס) נגיע למסקנה שזה שקר. אבל בשביל זה אין צורך באנלוגיה לטענה על יום אחד. זה פשוט מוביל אותנו לפתרון הקודם.

הזכרתי שהוא קושר את הפתרון שלו להבדל בין 'אני יודע' לבין 'אני יכול להוכיח', וכמובן גם למשפט גדל שעוסק בזה. אבל הוא טועה גם בזה ('עגלתו ריקה', כבר אמרתי?!). במקרה שלנו לא מדובר במערכת אקסיומות שכוללת סתירה, אלא בטענה מורכבת שאחד ממרכיביה הוא סתירתי. בזה אין שום בעיה לוגית, שכן כפי שהסברתי טענה סתירתית היא פשוט טענה שקרית (בהכרח ותמיד), ולכן האיחוד שלה (שמסומן ב-U) עם טענות אחרות שקול לוגית לאיחוד של הטענות האחרות. כך אנחנו מקבלים במקרה שלנו:[5]

A₁ U A₂ U A₃ U A₄ U A₅ U A₆ U A₇ ≡ A₁ U A₂ U A₃ U A₄ U A₅ U A₆

כאשר A_i היא הטענה שיהיה בוחן פתע ביום i בשבוע. וכאמור הטענה לגבי היום השביעי היא סתירתית, ולכן (בוליאנית): A₇ = 0.[6]

בצד ימין של השקילות הזאת מצויה טענה לגמרי מוגדרת וקבילה. ואכן קיבלנו שבפועל יכול להיערך בוחן פתע בכל אחד מששת הימים הראשונים. חשבו על מי שיטען (לרקע: הטור נכתב ביום שלישי): 'או שסכום הזוויות במשולש הוא 429 מעלות או שהיום יום שלישי'. האם זו טענה בעייתית? האם יש כאן פרדוקס או סתירה? ממש לא. זו סתם טענת אמת (איחוד של שקר עם אמת). אגב, גם הטענה 'או שסכום הזוויות במשולש הוא 429 מעלות או שכעת יום רביעי' אינה פרדוקסלית ולא סתירתית. היא טענת שקר רגילה. בה במידה, הטענה הבאה: 'או ש-X וגם לא X או שהיום יום שלישי' גם היא טענת אמת רגילה.

ה'חילוני' גם מוסיף וטוען שם שאנחנו יכולים להוכיח במערכת הסתירתית הזאת דבר והיפוכו (שהבחינה תיערך באחד מהימים – אקסיומה, וגם שהיא לא יכולה להיערך באף אחד מהם – תוצאת הטיעון). אני אתעלם מכך שאי אפשר להוכיח דבר והיפוכו, שכן זו לא באמת הוכחה. על כך אפשר להתווכח, וזה עניין של הגדרה. לענייננו די לי להסביר שזוהי סתם צורה מסורבלת לומר שהאקסיומה (הטענה האינטואיטיבית) סותרת את העולה מהטיעון. מהעובדה הזאת כשלעצמה לא תוכלו להסיק מאומה, אחרת כל פרדוקס תוכלו לפתור באותה צורה אפריורית ופורמלית: הפרדוקס מכיל סתירה (בין הטיעון לטענה שהוא תוקף) ולכן הוא פתור. כל מה שטענה כזאת מראה הוא שיש כאן פרדוקס, אבל זה ודאי אינו פתרון עבורו. הדבר דומה להצעה שהבאתי למעלה שלפיה אכילס ודאי יכול להשיג את הצב ולכן הפרדוקס של זינון נפתר. הסברתי שהטענה הזאת היא מה שיוצר את הפרדוקס ולא פתרון עבורו. הקביעה שיש כאן סתירה היא היא הבעיה של הפרדוקס. זה בטח לא פתרון עבורו.

אגב, להפתעתי גם במאמרו של גדי אלכסנדרוביץ (באתר לא מדויק הנפלא שלו) על הפרדוקס הזה מופיע אותו טיעון ולדעתי כמובן גם אותה טעות. גם הוא מציג זאת כבעיה של ידיעה מול יכיחות, וגם הוא טוען שהמקרה המנוון של בוחן פתע ביום אחד ("מחר יהיה בוחן פתע") מראה שגם במקרה של שבעה ימים מדובר במערכת סתירתית. יש לי חשד מה שה'חילוני' לקח את הדברים ממנו (דבריו נכתבו כשנה אחרי הפוסט של אלכסנדרוביץ). אבל כפי שהסברתי למעלה, לדעתי זה לא נכון. זו אינה מערכת שכוללת סתירה אלא איחוד של שבע טענות שאחת מהן סתירתית. אין עם זה שום בעיה עקרונית ולכן לדעתי אין צורך להיזקק למושגים של יכיחות וידיעה.

נדמה לי שגם אצלו מוקד הבעיה מצוי במשפט שמופיע כמעט בפתיחה:

כמו בכל פרדוקס, הוא מתאר סיטואציה שבה נראה לנו שקיימת סתירה כלשהי ולא מובן מאליו במבט ראשון מה גורם לה; זה מכריח אותנו לנסות ולבחון את ההנחות ואופני ההסקה שלנו באופן יסודי, ובצורה הזו אנחנו מגלים עליהם דברים מעניינים למדי.

ראינו שבמקרה זה אין שום צורך לבחון את אופני ההסקה שלנו, שכן הטיעון הוא מצוין. הבעיה אינה בטיעון אלא בטענה שהוא תוקף. נראה שגם אלכסנדרוביץ מניח כמשיח לפי תומו שפרדוקס תמיד כרוך בבחינה של ההסקה כלומר במציאת כשל או פגם בטיעון, ומתעלם מסוג הפתרונות השני.

בחלקו השני של הפוסט שלו, אם הבנתי נכון, אלכסנדרוביץ רק מפרמל את הפתרון שהבאתי כאן, ושוב תולה אותו בהבחנה בין ידיעה לבין יכיחות ובמשפטי גדל. כאמור, לדעתי אין בזה שום צורך, ולכן בניגוד למשפט המסיים שלו שם זה אינו "הפתרון האולטימטיבי לפרדוקס" (אלא פתרון שהוא כמובן נכון, אבל לא שונה מהפתרון המקובל), ולכן גם לא נכון שמי שאינו מתמצא בלוגיקה ומשפטי אי השלמות של גדל לא יוכל להבין את הפתרון הזה.

סיכום והקדמה לטור הבא: שבירת פרדיגמות

בטור הבא חשבתי לעסוק בשבירת הפרדיגמות המתבקשת מאירועי החודש האחרון (מאז שמחת תורה). בטור כאן ראינו שמי שמחזיק בעמדה כלשהי אסור לו להתעלם מטיעונים נגדיים, שכן לא תמיד ההנחות והאינטואיציות הראשוניות שלנו, עד כמה שאנחנו בוטחים בהן, הן נכונות. לפעמים דווקא הטיעונים שתוקפים אותן נכונים, והם מראים לנו שעלינו לזרוק את האינטואיציות והפרדיגמות הקיימות אצלנו. להמלצה זו יש כמובן יישומים אקטואליים לרוב, ובכמה מהם בכוונתי לגעת בטור הבא. עובר לעשייתן.

הודעה חשובה: יש המשך ותיקונים לטור הזה בטור 603.

[1] דוגמאות הלכתיות דומות לפתרון כזה תוכלו למצוא בטור 407.

[2] ניתן לחשוב על דוגמה של יום אחד: המורה מגיע ומודיע שמחר יהיה בוחן פתע. זה סתם משפט סתירתי, כלומר שקרי בהכרח. ראו על כך עוד בהמשך הטור כשאבקר את דבריו של 'מעגלתו של חילוני'.

[3] התלבטתי האם הסוגר הפותח צריך להופיע כאן או לפני הכותרת של הסעיף. וצל"ע. ההחלטה התקבלה משיקולים גרפיים.J

[4] חפשו 'חוקי הלוגיקה'.

[5] למדקדקים, בפירוש המקובל לפרדוקס, האופרטור הלוגי שסימנתי ב-U הוא XOR ולא OR. זה לא משנה את הניתוח.

[6] קוואיין במאמרו עומד על פתרון שהציע מישהו בשם וייס, שמתבסס על ההבחנה בין הטענה "או שא' אמיתי או שב' אמיתי" לבין הטענה "אמיתי ש'א או ב' ". אם זה נכון (אני בספק רב לגבי זה), כי אז ייתכן שההצרנה שהצגתי למעלה דורשת עדכון.