חדש באתר: מיכי-בוט. עוזר חכם על כתבי הרב מיכאל אברהם.

שלושה אוחזים בטלית (טור 757)

לפני 13 שעות
7

בס"ד

בשבת האחרונה התארחנו אצל המחותנים הטריים שלנו, והתפתח דיון ער בנושא שלושה אוחזים בטלית, וכמובן התייחסנו גם למאמרו הידוע של ישראל אומן בעניין. בעבר כתבתי על כך בהרחבה (ספר יג בסדרת לוגיקה תלמודית), והבאתי גם מאמרים אחרים שעסקו בעניין. בטור הזה רציתי רק לגעת בבעייתיות של כמה מהפתרונות השונים שהוצעו לעניין.

מאמרו של אומן

לפני שנים רבות הייתי מאושפז בבית חולים, ומשום מה חשבתי שם על סוגיית האוחזים בטלית ותהיתי האם יש דרך להכליל את הפתרון של הגמרא לבעיות כלליות יותר, והאם יש הכללה יחידה. בחנתי כמה אפשרויות כאלה, חשבתי על כמה דרכים אפשריות, אבל לא מצאתי ניסוח כללי לפתרון וגם לא פתרון יחיד.

לאחר זמן נודע לי שישראל אומן, חתן פרס נובל לכלכלה, כתב מאמר על סוגיית "שלושה שהטילו לכיס" או "מי שהיה נשוי שלוש נשים", שעוסקת בחלוקת ממון בין נושים (כאן תוכלו לקרוא גרסה עברית פופולרית יותר של המאמר). הוא דימה זאת לסוגיית האוחזים בטלית, והציע פתרון כללי לבעיה עבור כל מספר של תובעים וכל התפלגות של תביעות. הוא הוכיח את קיומו של פתרון ואת יחידותו (טוב, לא בכדי אני לא קיבלתי פרס נובל. למרות שבספר הנ"ל גם אני הוכחתי זאת בדרך אחרת). למיטב ידיעתי, כיום האלגוריתם שמוצג במאמר הזה נלמד בקורסים של תורת המשחקים שעוסקים בנושאים אלו (דיברתי עם מרצה לתורת המשחקים שמלמדת זאת בעצמה באוני' תל אביב). אציין שכשקראתי את המאמר עלו לי כמה תהיות לגביו (התכתבתי קצת עם אומן בעניין), חלקן לגבי פרשנותו לגמרא וחלקן לגבי ההצדקה לאלגוריתם עצמו. כאן לא אעסוק בגמרא אלא בבעיה עצמה.

שניים אוחזים בטלית

המשנה בריש בבא מציעא עוסקת במקרה שבו שני אנשים מגיעים לבית דין כששניהם אוחזים בטלית וכל אחד מהם טוען שהוא זה שמצא אותה:

שנים אוחזין בטלית, זה אומר: אני מצאתיה, וזה אומר: אני מצאתיה. זה אומר: כולה שלי, וזה אומר: כולה שלי. זה ישבע שאין לו בה פחות מחציה, וזה ישבע שאין לו בה פחות מחציה, ויחלוקו. זה אומר: כולה שלי, וזה אומר: חציה שלי. האומר כולה שלי – ישבע שאין לו בה פחות משלשה חלקים, והאומר חציה שלי – ישבע שאין לו בה פחות מרביע, זה נוטל שלשה חלקים, וזה נוטל רביע.

מובאים כאן שני מקרים שבהם מעורבים שני תובעים:

  1. אם כל אחד תובע את כולה, הדין הוא שיחלוקו (בשבועה), כלומר כל אחד מקבל 1/2 מהטלית.
  2. אם אחד תובע את כולה והשני תובע רק את חציה (כנראה הוא מודה שהשני הגביה אותה יחד איתו), אזי התובע את כולה מקבל 3/4 והשני מקבל 1/4.

בתוספתא בתחילת ב"מ מופיע מקרה נוסף:

זה אומר כולה שלי וזה אומר שליש שלי האומר כולה שלי ישבע שאין לו בה פחות מה' חלקים והאומר שליש שלי ישבע שאין לו בה פחות משתות כללו של דבר אין נשבע אלא על חצי טוענו בלבד:

כלומר זה תובע את כולה והלה תובע שליש, החלוקה היא 5/6 ו-1/6.

ברור שהעיקרון שמגדיר את החלוקה הוא שיש חלק מהטלית שאינו במחלוקת ואותו מקבל זה שתובע את כולה (שכן הוא היחיד שתובע את החלק הזה. אין כאן ויכוח). לגבי השאר, יש מחלוקת שבה כל אחד מהשניים תובע הכל, ולכן חולקים אותו (כמו במקרה הראשון במשנה). לכן במקרה הראשון במשנה ששניהם תובעים את כולה, אין חלק שלא במחלוקת ביניהם ולכן חולקים הכל. ובמקרה השני שבו אחד תובע את כולה והשני את חציה, שם יש חצי שאינו במחלוקת ולכן התובע את כולה מקבל אותו, והחצי הנותר נחלק בין שניהם. כאמור, התוצאה היא 3/4 ו-1/4. זה כמובן מסביר גם את המקרה של התוספתא.

שימו לב שהשיטה הזאת בעצם מכסה את כל האפשרויות של שני תובעים. במקרה הכללי ביותר מדובר על שני תובעים, שאחד תובע P1 והשני P2. אם הסכום של שני אלו קטן מ-1, אזי כל אחד מקבל את החלק שתבע והשאר נותר מוטל ומחכה לתובע אחר. הבעיה נוצרת כאשר סכום התביעות גדול מ-1, שכן במקרה כזה אי אפשר לרצות את שניהם. כאן דרושה חלוקה, ועושים אותה לפי האלגוריתם שתואר למעלה.

ניתן לתהות מה יהיה הדין כשאחד תובע 3/4 והשני תובע 1/2. זהו מקרה שבו הסכום גדול מ-1 ואי אפשר לרצות את שניהם. מאידך, לא לגמרי ברור כיצד ליישם את האלגוריתם שתיארתי לגבי מקרה כזה. התובע 1/2 אמנם מודה ב-1/2 שאינו שלו, אבל זה שתובע 3/4 מודה ב-1/4 לשני. האם ה-1/4 הזה לא נכלל במה שהלה מודה לו? השאלה היא איך למקם את היחס בין ההודאות ההדדיות שלהם. מסתבר שבמצב כזה התובע הגדול יקבל 1/2 (כי השני מודה לו עליו), והתובע הקטן יקבל 1/4 (כי הראשון מודה לו עליו), ואת הרבע הנותר הם יחלקו. כך שהגדול יקבל 5/8 והקטן יקבל 3/8.

הבעיה הכללית

כעת ניתן לתהות לגבי הבעיה הכללית ביותר. N אוחזים בטלית. כל אחד מהם תובע Pi, כאשר i הולך בין 1 ל-N. כמו כן, צריך להתקיים: 1 \textless \sum_{i=1}^{N} P_i, שכן רק אז נוצרת בעיה. אנחנו מחפשים את ווקטור הפתרונות Q, שכל מרכיב Qi שלו מייצג את הסכום שיקבל התובע i. יש כאן שני וקטורים באורך N, האחד של תביעות הוא הנתון של הבעיה, והשני של הסכומים שהם יקבלו והוא הפתרון המבוקש. אנחנו בעצם מחפשים אלגוריתם או נוסחה שיעבירו אותנו מווקטור התביעות P לווקטור הפתרונות Q.

זה כמובן דורש הגדרה מה צריך לקיים הפתרון הזה. מדובר על הכללה של מה שראינו במשנה, כלומר לבחון את ההודאה של כל אחד לאחרים ולעשות חלוקה בין כל האחרים. אבל איך לעשות את ההכללה הזאת? מתבקש לעשות זאת באינדוקציה. כלומר להתחיל במציאת פתרון לשלושה אוחזים בטלית בדרך הבאה: מבחינת תובע 1 שני האחרים מתמודדים על החלק הנותר (שהוא מודה להם עליו), וכך גם מבחינת תובעים 2 ו-3. יש לנו שלוש תוצאות אפשריות (כל אחת מנקודת המבט של תובע אחר). השאלה מה לעשות עם שלוש התוצאות שמתקבלות כאן. איך מחברים אותן למציאת הפתרון הסופי והכולל? בהנחה שפתרנו את זה, עלינו לשוב ולמצוא פתרון לארבעה אוחזים בטלית, על בסיס ארבעה פתרונות של שלושה אוחזים (מבחינת תובע 1 שלושת האחרים חולקים את מה שהוא מודה עליו, וכך לגבי תובעים 2-4). וכך ניתן להמשיך לכל מספר N של תובעים. כלומר עלינו להבין כיצד מחלקים טלית בין שלושה תובעים, ואם נבין את זה סביר שנוכל להכליל זאת לכל מספר N של תובעים ולכל וקטור P של תביעות.

שלושה אוחזים בטלית: דיון ראשוני

מקרה כזה לא מופיע בחז"ל, וניתן להעלות כמה אפשרויות לפתרון. לצורך הפשטות נתחיל מהמקרה שבו שלושה אוחזים בטלית, זה אומר כולה שלי ושני האחרים תובעים את חציה. במבט ראשוני היינו אומרים שהחלוקה היא (1/2,1/4,1/4), בפרופורציה לתביעות. אבל כפי שראינו זה לא הקריטריון. למשל, במקרה של המשנה שאחד תובע את כולה והשני את חציה, אם הקריטריון היה חלוקה לפי הפרופורציה של התביעות היינו אמורים לחלק זאת 1/3 ו-2/3, וזה לא הפתרון שקובעת המשנה.

מעבר לזה, גם ההיגיון של פתרון כזה מפוקפק מאד. חשבו על מצב שבו ראובן תובע את כולה ושמעון את חציה. ראינו שבמקרה כזה המשנה קובעת חלוקה של 3/4 ו-1/4. כעת מגיע עוד תובע, לוי, שדורש גם הוא את חציה. אם הפתרון היה לפי פרופורציית התביעות, כלומר (1/2,1/4,1/4), אזי יוצא שראובן שקיבל קודם 3/4 צריך כעת להעביר 1/4 ללוי, ושמעון לא נותן לו כלום. זה לא סביר. התביעה של לוי מתמודדת מול שני התובעים הראשונים ולא רק מול ראובן.

בעצם מה שלא סביר כאן הוא ההנחה שבבסיס החלוקה, וזו תובנה חשובה להבנת הבעיה. לוי שתובע חציה אינו תובע דווקא את החצי שאינו של שמעון. החלוקה לפי פרופורציות מניחה שיש כאן שני תובעים של חציה שעומדים מול אותו אחד שתובע את כולה, אבל בין שני הקטנים אין ויכוח. הם בעצם עושים קואליציה וניצבים כתובע בודד מול ראובן. זה לא המצב המשפטי כאן. יש כאן מלחמת הכל בכל, וכל תובע מתמודד עם שני האחרים.

אפשר כמובן לומר ששני הקטנים יכולים לעשות קואליציה ולזכות בחצי ואז לחלק אותו ביניהם. ואולי אפילו מתוך שיכולים לעשות קואליציה אין צורך שיעשו זאת בפועל. זה מיגו שיש להם, ולכן הם יזכו בחצי (אמנם לפחות לחלק מהראשונים נראה שזהו מיגו להוציא, אבל לא אכנס לדיון הזה). מעבר לזה, לא ברור האם התוצאה הזאת באמת טובה להם, כלומר האם באמת יש כאן מיגו. ייתכן שבשיטת החלוקה ללא קואליציה הם אמורים לקבל יותר מ-1/4 לכל אחד, ולכן הקואליציה אינה מועילה להם. מעבר לזה, למה לא לבחון קואליציה שיעשו ראובן ולוי נגד שמעון, או ראובן ושמעון נגד לוי? אולי זה יועיל להם עוד יותר, והם יעדיפו את הקואליציה הזאת? בקיצור, יש צורך לחשב בתחילה את תוצאת החלוקה בלי קואליציות, ורק אז יהיה אולי מקום לבחון את האפשרות של קואליציות שונות, בהנחה שהן באמת משפרות את מצבם של תובעים מסוימים.

שלושה אוחזים בטלית: מהרי"ל דיסקין

בשו"ת תורת אהל משה של מהרי"ל דיסקין, בסי' ה, הוא דן במקרה של שלושה אוחזים בטלית, כאשר וקטור התביעות הוא: (1,1/2,1/2) = P. אנחנו כמובן מחפשים את הפתרון עבור וקטור החלוקה: Q = (Q1,Q2,Q3).

בשלב ראשון הוא מציע שם את הפתרון הפרופורציוני ודוחה אותו כפי שראינו למעלה. לאחר מכן הוא מציע פתרון שנראה כהרחבה מתבקשת לשני המקרים במשנה: ראובן ייטול חצי שעליו כולם מודים לו, ועל החצי הנותר כולם (כולל ראובן) טוענים "כולה שלי", ולכן לגביו יתחלקו שלושתם בשווה (כל אחד יקבל 1/6). אבל הוא דוחה גם את ההצעה הזאת, שכן לא נכון ששמעון ולוי מסכימים שחצי הוא של ראובן. שמעון מודה שהחצי השני הוא של ראובן ולוי יחד, וגם לוי מודה שהחצי השני הוא של ראובן ושמעון יחד. אין כאן הודאה מוסכמת על החצי שהוא של ראובן. שוב, התובנה היא אותה תובנה, כל אחד מהשלושה מתעמת מול שני האחרים ולא רק מול זה שטוען כולה שלי. זו מלחמת הכל בכל.

לכן מהרי"ל מציע את האלגוריתם הבא:

ע"כ נראה עפ"י יסוד המשנה דבעל הכ"ש נוטל חצי ושליש מרביעית הטלית וכ"א מהח"ש נוטל חצי רבע ושליש רבע באופן דבעל הכ"ש נוטל י"ד חלקי כ"ד וכ"א מהח"ש ה' חלקי כ"ד.

הפתרון שלו הוא שראובן מקבל 14/24 מהטלית, ושני האחרים 5/24 ממנה. מייד אחר כך הוא מפרט איך הוא הגיע לזה:

והטעם דכ"א מהח"ש מודה דהחצי השני של שניהם דהיינו של הכ"ש והח"ש דהיינו רביעית לבעל הכ"ש ורביעית לבעל הח"ש השני נמצא דיש לבעל הכ"ש הודאה גמורה משני בעל הח"ש לרבע הטלית ולא יותר והרי הוא נוטל מקודם רבע בלא שום דו"ד כ"א ע"י הודאת שניהם.

כפי שראינו למעלה, שמעון ולוי כל אחד מודה שיש חצי ששייך לעמיתו ולראובן. מבחינת כל אחד מהם צריך החצי הזה להתחלק בשווה בין שני האחרים (שהרי שניהם טוענים עליו "כולו שלי"). לכן שמעון מודה שמבחינתו יש רבע ללוי ורבע לראובן, ולוי מודה שמבחינתו יש רבע לשמעון ורבע לראובן. אם כן, יוצא ששניהם מודים שיש רבע לראובן, ולכן קודם כל ראובן לוקח את הרבע הזה בלי ויכוח.

אבל על הרבע ששמעון הודה שיש ללוי, כמו גם על הרבע שלוי הודה שהוא של שמעון, ראובן לא מסכים. לכן החלוקה ממשיכה כך:

וכ"א הטוען ח"ש יש לו הודאה מבעל ח"ש השני ג"כ לרבע ומה"ד יטול רבע עפ"י הודאת חבירו אולם בעל הכ"ש אינו מודה לו על אותו רבע דהרי הוא טוען כ"ש וא"כ הרי הוא חולק עמו על אותו רבע ונוטל ממנו חצי הרביעית וכן מבעל ח"ש השני נוטל חצי הרביעית הרי יש לבעל הכ"ש החצי ולכל א' מהח"ש חצי רבע שלא בתורת חלוקה כ"א היוצא מהודאתם.

ראובן חולק כל רבע כזה עם מי שהשלישי הודה לו עליו, וכך הוא מקבל עוד שתי שמיניות, כלומר עוד רבע. כך גם כל אחד משני האחרים מקבל שמינית (חלקו ברבע שהתחלק עם ראובן). כך שבינתיים יש לראובן חצי ולכל אחד משני האחרים שמינית. מה שנותר מהטלית לחלוקה הוא רבע. מה עושים איתו?

הוא מסביר:

ואח"כ ברבע הרביעית הרי כולם טוענים עליו כ"ש וחולקים בשוה.

הרבע הנותר מתחלק בשווה בין כולם. כל אחד מקבל 1/12 נוספים. אם מצרפים זאת לסכומים שהצטברו קודם ומסכמים, מקבלים:

הרי החשבון מבואר דלבעל הכ"ש חצי ושליש רבע ולכ"א מהח"ש חצי רבע ושליש רבע. ודו"ק.

למסקנה לראובן יש 1/2 ועוד 1/12, ולשני האחרים יש 1/8 ועוד 1/12. כך קיבלנו את החלוקה: 14/24, 5/24, 5/24.

ההרחבה של הפתרון הזה לארבעה אוחזים בטלית, וגם לווקטורי תביעה נוספים P, רחוקה מלהיות פשוטה. בספרי הנ"ל בחנו הרחבה באינדוקציה כפי שתיארתי למעלה, וגם כמה הרחבות (שחלקן הוצעו במאמרים שונים). המסקנה היא שקשה למצוא פתרון נכון במובן שהוא הרחבה יחידה מהמקרים של שניים ושלושה אוחזים.

הערה טכנית

יש מקום לדון איך בכלל יכול להיווצר מקרה של תביעות של כולה, חציה וחציה. אם שני הטועני חצי אומרים שהרימו זה עם זה, אזי שניהם מעידים שהתובע כולה שקרן. אם תובע חציה טוען שהרים עם התובע את כולה (והלה טוען שהרים לבד), אזי שניהם אומרים שהתובע הקטן השני שקרן. אולי ניתן להסביר שכל אחד מהתובעים הקטנים טוען שהרים עם עוד מישהו אבל אינו זוכר עם מי משני האחרים. והטוען כולה טוען שהרים לבד (אמנם גם כאן נראה ששני האחרים מעידים שהוא שקרן).

מיקסום של שביעות הרצון

בשבת עלתה הצעה לפתרון שימקסם את שביעות הרצון של התובעים. כלומר עלינו ליצור ביטוי לשביעות הרצון הכללית, ולנסות למצוא וקטור P שממקסם אותה. ההנחה היא כמובן שכל אחד מהתובעים מקבל פחות ממה שהוא תבע, ושני הגדלים (התביעה והנתח של כל תובע) הם מספרים חיוביים בין 0 ל-1. שביעות הרצון של כל תובע מבוטאת בהפרש בין התביעה והנתח שהוא מקבל, אבל ההיגיון אומר להעלות אותו בריבוע: (Q_i - P_i)^2.1 ככל שההפרש גדול יותר כך הוא פחות שבע רצון. לסיכום, אי שביעות הרצון הכללית היא הסכום על כלל התובעים:

W(\mathbf{P}) = \sum_{i = 1}^{N}\left( Q_{i} - P_{i} \right)^{2}

באופן עקרוני צריך למצוא P שמביא למינימום את אי שביעות הרצון הכללית, תחת האילוץ שסכום הנתחים (רכיבי הווקטור P) הוא 1 וערכיהם בין 0 ל-1.

עקרונית ניתן לעשות זאת על ידי כופלי לגרנז'. אבל כדי לפשט את העניין, נבדוק תחילה את מה שמתקבל עבור המקרה של שני תובעים. במקרה זה יש לנו משתנה אחד, p, שזה הנתח שיקבל התובע 1, שכן השני מקבל 1-p. סך אי שביעויות הרצון במקרה זה הוא:

(Q_{1} - p)^{2} + (Q_{2} - 1 + p)^{2} = Q_{1}^{2} + Q_{2}^{2} + p^{2} + (1-p)^{2} - 2pQ_{1} - 2Q_{2}(1-p)

הערך המינימלי שמתקבל כאן הוא:2

P = \frac{1 - Q_{2} + Q_{1}}{2}

במקרה של המשנה, אנחנו מקבלים: p = 3/4, ולכן הווקטור P הוא: (3/4,1/4), ממש כמו שראינו במשנה. גם במקרה של התוספתא (על תביעות כולה ושלישה) מתקבלות התוצאות הנכונות (5/6,1/6). במקרה שבו אף אחד לא תובע את כולה, למשל בדוגמה שראינו (3/4,1/2), מתקבלים הנתחים הבאים: (5/8,3/8). גם זה מתאים לחישוב שעשינו למעלה. לכאורה קיבלנו תוצאה מפתיעה, שלפיה הקריטריון שמוצג במשנה שלפיו נותנים את החלק שעליו יש הודאה ומחלקים את החלק שבמחלוקת מתאים לגמרי לפתרון שממקסם את שביעות הרצון של הצדדים. אבל צריך להיזהר ממסקנות חפוזות.

מה קורה במצב של שלושה תובעים, כמו למשל במקרה של מהרי"ל דיסקין: (1,1/2,1/2)? בגלל הסימטריה בין שני התובעים הקטנים, ברור שגם הנתחים שלהם יהיו שווים זה לזה. לכן גם כאן יש לנו רק משתנה אחד: p – הנתח של כל אחד מהתובעים הקטנים. הנתח של התובע הגדול הוא כמובן 1-2p.

אי שביעות הרצון הכללית למקרה הזה היא:

2\left(\frac{1}{2}-p\right)^{2} + \left(1-(1-2p)\right)^{2} = \frac{1}{2} - 2p + 6p^{2}

בערך המינימום מקבלים כאן את וקטור הנתחים הבא: (2/3,1/6,1/6).

זה לא נותן לנו את התוצאה של מהרי"ל דיסקין. אבל אולי הוא טעה וזוהי התוצאה הנכונה? ראינו למעלה שראוי לבחון את המקרה הזה גם באופן שבתחילה היו כאן שניים אוחזים בתביעות של כולה וחציה, ולאחר מכן הצטרף עוד אחד שתובע חצי. שני הראשונים קיבלו (3/4,1/4), ואם התוצאה הזאת נכונה אז יוצא ששניהם נותנים לתובע הבא אותו שבר מהנתח שלהם: 1/12. אך זוהי תוצאה בלתי סבירה. הגדול צריך היה לתת לו שבר גדול יותר מהנתח שלו מאשר השבר שנותן הקטן.

המסקנה היא שהקריטריון של מינימום אי שביעות רצון קלע לתוצאה הנכונה במקרה של שניים אוחזים, אבל זה היה מקרי. הוא לא נותן תוצאות סבירות במקרה הכללי. אוסיף שזה צפוי למדיי, שכן שביעות הרצון של התובעים אינה רלוונטית בסוג כזה של בעיה. השאלה כאן היא מי צודק או מה ראוי לתת לכל אחד, ולא שכולם ייצאו כמה שיותר שבעי רצון. בפרט בהתחשב בכך שבמקרה הזה יש ביניהם גם שקרנים, ולכן עוד פחות סביר לדרוש מקסימום של שביעות רצון. בהמשך נפגוש מקרה שלגביו שביעות הרצון נראית יותר רלוונטית.

בנספח נבדקת עוד אפשרות של אי שביעות רצון, והמסקנה שאי שביעות רצון כנראה אינה קריטריון טוב לקביעת וקטור הנתחים רק מתחזקת.

שלושה שהטילו לכיס

אומן, במאמרו הנ"ל, עוסק בסוגיא שונה. המשנה בכתובות צג ע"א אומרת:

מי שהיה נשוי שלש נשים ומת, כתובתה של זו מנה ושל זו מאתים ושל זו שלש מאות, ואין שם אלא מנה – חולקין בשוה. היו שם מאתים, של מנה – נוטלת חמשים, של מאתים ושל שלש מאות – שלשה שלשה של זהב. היו שם שלש מאות, של מנה – נוטלת חמשים, ושל מאתים – מנה, ושל שלש מאות – ששה של זהב. וכן ג' שהטילו לכיס, פיחתו או הותירו כך הן חולקין.

הרישא של המשנה עוסקת במי שהיו לו שלוש נשים ומת, לכל אחת הייתה כתובה שונה (מאה, מאתים ושלוש מאות). העיזבון אינו מספק את שלוש הכתובות, ולכן עולה שאלה כיצד לחלק אותו בין שלוש הנושות. החלוקה תלויה כמובן בכמות הכסף שנשארה אחריו. המשנה עוסקת בשלוש דוגמאות, וכשלוקחים בחשבון שדינר של זהב שווה 25 של כסף, החלוקה היא כדלהלן:

עיזבון/תביעה 100 200 300
100 33\frac{1}{3} 33\frac{1}{3} 33\frac{1}{3}
200 50 75 75
300 50 100 150

בסיפא המשנה מוסיפה שגם במקרה של שלושה שהטילו לכיס (כלומר השקיעו סכומים שונים בעסקה שהפסידה), הם חולקים את ההפסדים בשווה. כלומר אם אחד השקיע 100 והשני 200 והשלישי 300, אזי אם נותרו מהסכום 100 הם חולקים בשווה, ואם נותרו 200 או 300 הם חולקים כמו שתי השורות האחרונות בטבלה.

הראשונים שם מאד נבוכים בהסבר דיני המשנה. לא ברור מהו הקריטריון שלפיו המשנה קבעה את הנתחים שמקבלת כל תובעת. גם בסוגיית הגמרא שם דוחים את ההצעה של המשנה וקובעים /שזו דרכו של רבי נתן, אבל להלכה פוסקים כרבי. בסופו של חשבון, שיטת רבי נתן והמשנה אינה ברורה ואין לה הסבר בראשונים.

אומן במאמרו הציע הסבר לשיטת המשנה. הוא סוקר שם סוגיות תלמודיות נוספות שעוסקות בחלוקה ובתוכן גם סוגיית שניים אוחזים, וטוען שאם בוחנים את החלוקות בטבלה למעלה רואים שכל שתי תובעות מחלקות את הסכום ששתיהן מקבלות לפי הכלל של שניים אוחזים. ניטול כדוגמה את השורה השנייה, ונתבונן בשתי התובעות הראשונות, המאה והמאתיים. רואים בטבלה שהן מקבלות יחד 125. אחת מהן תובעת 100 והשנייה תובעת את כל ה-125. לפי העיקרון של שניים אוחזים, זו שתובעת 100 מודה לשנייה על 25, ולכן ההיא מקבלת אותם. את שאר ה-100 הן מחלקות ביניהן, וכך לכל אחת נוספים עוד 50. וכך יוצאת החלוקה ביניהן (75,50). קיבלנו בדיוק את התוצאה שמופיעה בטבלה. כך גם לגבי שתי התובעות האחרונות, והפעם נבחן את השורה השלישית. מהטבלה רואים שהן מקבלות יחד 250, כשאחת תובעת 200 והשנייה את הכל. תובעת ה-200 מודה לשנייה על 50, ואת שאר ה-200 הן חולקות בשווה. קיבלנו וקטור נתחים של (150,100), בדיוק כמו בטבלה.

אמנם הניתוח הזה מניח את התוצאות שקובעת המשנה ומוצא בהן היגיון בדיעבד. אבל אומן מראה שם שאפשר למצוא את הפתרון מתוך הדרישה שהחלוקה בכל המקרים תיעשה כך שכל שתיים יתחלקו לפי מנגנון שניים אוחזים בנתח ששתיהן מקבלות. אם דורשים את הדרישה הזאת מהפתרון, מתברר שעבור כל המקרים יש פתרון שמקיים את הדרישה הזאת, והוא יחיד. אומן גם מוצא את הפתרון הזה ודרך זו גם מוכיח באופן קונסטרוקטיבי את היחידות שלו. ההוכחה שלו אלגנטית ופשוטה להפליא, ומתבססת על מודל הידרוסטטי. הוא מציג שם דרך כללית לחישוב הפתרון ומוצא גם פתרונות עבור מקרים נוספים.

דיון בהיגיון של הפתרון

אומן טוען במובלע שזה צריך להיות הפתרון גם למקרה של שניים או שלושה שאוחזים בטלית, שכן לשיטתו הטלה לכיס או חלוקת עיזבון אינם שונים מהמקרה של חלוקת מציאה. פתרונו של אומן מתאים לכל המקרים של שניים אוחזים בטלית, שהרי כך הוא בנוי. לגבי מקרה של יותר תובעים אין לנו קביעה תלמודית מחייבת ולכן קשה לבדוק אותו. בסוגיית כתובות יש דוגמאות של שלוש תובעות, ופתרונו של אומן כמובן מתאים להן כפי שראינו, אבל ממש לא ברור האם הוא צודק בכך שחלוקת עיזבון צריכה להתבצע כמו חלוקת מציאה. ראינו למעלה שיש הבדל משמעותי בין המקרים. במקרה של חלוקת מציאה יש חלק מהתובעים שהם שקרנים ומטרת החלוקה היא להגיע הכי קרוב לאמת. כפי שהערתי, מסיבה זו גם לא סביר לדרוש שם מהפתרון מקסימום שביעות רצון. לעומת זאת, בחלוקת עיזבון ברור שכולם דוברי אמת, והבעיה היא רק איך לחלק את העיזבון הקטן ביניהם בצורה הכי הוגנת.

לפי הנחתו של אומן, הפתרון בחלוקת מציאה הוא כמו בחלוקת עיזבון. נבדוק את הפתרון שלו על הדוגמה של מהרי"ל דיסקין. נבחן מקרה שבו העיזבון הוא 100, ושלוש התובעות דורשות (100,50,50), כלומר כולה, חציה וחציה. אם תתבוננו במאמר תראו שפתרונו של אומן למקרה זה יוצא (50,25,25), כלומר חצי, רבע, רבע. אלא שראינו למעלה שהפתרון הזה אינו סביר, שכן יוצא שהתובע השלישי מקבל את כל הנתח שלו רק מהתובע הגדול. הסברתי שם שהפתרון הזה מניח ששני התובעים הקטנים מתווכחים רק עם התובע הגדול ולא ביניהם (אם שניהם מתאחדים ותובעים את כולה, אז חצי הולך לתובע הגדול והחצי השני מתחלק בין שניהם), אך זו הנחה בלתי סבירה בעליל. ברור שכל תובע מתווכח עם שני עמיתיו ולא רק עם אחד מהם.

המסקנה היא שהפתרון בדרכו של אומן לא נותן לנו תוצאה סבירה לחלוקת טלית. לא נכון לדרוש שהפתרון יתחלק בין כל שני תובעים בצורה של שניים אוחזים. התכתבתי עם אומן בעניין הזה, הוא ענה לי שמטרתו הייתה רק להסביר את השיטה התמוהה במשנה, ולא בהכרח להגיע לפתרון ההגיוני. זה אכן הסבר לתעלומה של המשנה, אבל כאמור הפתרון לא נראה סביר. בפרט הדברים בעייתיים כשלוקחים בחשבון שכיום מלמדים את הפתרון של אומן בקורסים בתורת המשחקים כצורת החלוקה ההגיונית למקרה של חלוקת עיזבון או חלוקת מציאה. כלומר הם מניחים שאומן מציע את זה כפתרון המומלץ והסביר למקרים אלו.

מיקסום של שביעות הרצון בחלוקת עיזבון

עקרונית יש היגיון להציע פתרון של שביעות רצון מקסימלית למקרה של חלוקת עיזבון או הטלה לכיס. כאמור, במקרים כאלו יש היגיון לדרוש מקסימום של שביעות רצון שכן באמת כל התובעים צודקים (אין כאן שקרן). אמנם מהסתכלות על הטבלה די ברור שהשורה הראשונה (שם כל התובעות מקבלות בשווה) לא מקיימת את הדרישה הזאת.

אין כאן המקום להציע פתרון כללי. אבדוק את פתרון מקסימום שביעות הרצון עבור וקטור תביעות (100,200,300), ועיזבון של 300. בעצם זהו מקרה של עיזבון 1 שהתביעות לגביו הן: (1,2/3,1/3). צ'אט גיפיטי נותן לי את התוצאה הבאה:

  • עבור שביעות הרצון המנורמלת: (5/14,8/21,11/42). כאן הפתרון אפילו לא שומר על סדר התביעות, כלומר התובעת את כולה מקבלת פחות ממי שתובעת 2/3.
  • עבור שביעות הרצון הלא מנורמלת מקבלים: (2/3,1/3,0). הסדר נכון אבל הפתרון אינו סביר.

סיכום

בשורה התחתונה יש כאן תעלומה כלשהי. ראינו למעלה את הצעתו של מהרי"ל דיסקין שמבחינת הגיונה נשמעת הסבירה ביותר, והסברתי שניתן להכליל אותה באינדוקציה. זו נראית לי הדרך הסבירה ביותר, על אף שקשה לי להציע ביטוי מפורש לפתרון לכל מספר של תובעים ולכל וקטור תביעות. החישוב צריך להיעשות צעד אחר צעד עם הגדלת מספר התובעים.

אעיר שבספרנו הנ"ל אנחנו סוקרים ומציעים עוד דרכי פתרון, ובהם גם שיקולי קואליציות (מה יוצא אם מתחשבים באפשרויות של כל שחקן ליצור קואליציות עם עמיתים שונים) ויישום של ערך שפלי. הראינו שם בפרק 14 שהירושלמי בסוגיית חלוקת העיזבון אכן עושה שיקולי קואליציה. מפרק 15 והלאה בחנו את ערך שפלי לבעיות החלוקה השונות, ולא אכנס לכל זה כאן.

נספח: אי שביעות רצון מנורמלת

לכאורה סביר יותר לבדוק את שביעות הרצון היחסית, כלומר שביעות הרצון באחוזים ולא שביעות רצון מוחלטת. במקרה זה, אי שביעות הרצון של תובע i היא: \left( \frac{Q_{i} - \ P_{i}}{Q_{i}} \right)^{2}. ואי שביעות הרצון המלאה של כל התובעים היא:

W_{n}\left( \mathbf{P} \right) = \sum_{i = 1}^{N}{ \left( \frac{Q_{i} - P_{i}}{Q_{i}} \right)^{2}} = \sum_{i = 1}^{N}{ \left( 1 - \frac{P_{i}}{Q_{i}} \right)^{2}}

במקרה של שני תובעים מקבלים כאן:

(1 - p/Q_{1})^{2} + (1 - \frac{1 - p}{Q_{2}})^{2}

(כאשר p הוא הנתח שמקבל תובע 1). נגזור ונשווה לאפס:

- \frac{2}{Q_{1}}(1 - p/Q_{1}) + \frac{2}{Q_{2}}(1 - \frac{1 - p}{Q_{2}}) = 0

[זהו מינימום מפני שהנגזרת השנייה היא: 2(\frac{1}{{Q_{1}}^{2}} + \ \frac{1}{{Q_{2}}^{2}}) > 0]

התוצאה שקיבלנו היא:

P = \frac{\left( \frac{1}{Q_{1}} - \frac{1}{Q_{2}} + \frac{1}{{Q_{2}}^{2}} \right)}{\frac{1}{{Q_{1}}^{2}} + \frac{1}{{Q_{2}}^{2}}} = \frac{{Q_{1}Q}_{2}(Q_{2} - Q_{1}) + {Q_{1}}^{2}}{{Q_{1}}^{2} + {Q_{2}}^{2}}

במקרה של המשנה נקבל וקטור נתחים (3/5,2/5) ובמקרה של התוספתא (כולה ושלישה) מקבלים (7/10,3/10), תוצאות שאינם מתאימות למשנה ולתוספתא.

במקרה של המהרי"ל דיסקין עם שלושה תובעים של כולה, חציה וחציה, החלוקה שקיבלנו למעלה היא (2/3,1/6,1/6). נתתי לצ'אט גיפיטי לבדוק וזה אכן מה שיצא לו. לגבי החישוב המנורמל, לא חישבתי בעצמי אלא נתתי ישירות למורנו הצ'אט גיפיטי לחשב. משום מה מתקבלת שם חלוקה שווה: (.1/3,1/3,1/3). מאד לא סביר.

נראה שמקסום שביעות הרצון אינו הקריטריון הרלוונטי מבחינת הגמרא.

קישור לפוסט בעותק PDF

  1. ההעלאה בריבוע נעשית למרות שכל שביעויות הרצון הן חיוביות. זאת מפני שאם נסכם את שביעויות הרצון כשלעצמן, בהתחשב בכך שסך הנתחים הוא 1, נקבל שסכום אי שביעויות הרצון הוא קבוע לכל חלוקה: זה תמיד יוצא סך התביעות פחות 1. לכן וקטורי P שונים לא ישנו לעניין זה, ומכאן שבאמצעות הכלי הזה לא נוכל למצוא את החלוקה P האופטימלית.↩︎

  2. גוזרים את אי שביעות הרצון ומשווים ל-0. הנגזרת השנייה היא חיובית ולכן מדובר במינימום.↩︎

לגלות עוד מהאתר הרב מיכאל אברהם

Subscribe to get the latest posts sent to your email.

לפני 13 שעות
7

7 תגובות

  1. 1. לא ברור למה גם במקרה של טלית ובמקרה חלוקה פרופוציונלית לא נראית סבירה. הטיעון שרק התובע הגדול צריך לתת רק הוא מחלקו לתובע השלישי, הוא בתנאי שמלכתחילה החלוקה היא לפי המשנה. אילו החלוקה הייתה מראש פרופורציונלית גם לגבי שני תובעים, הטענה של חוסר היגיון לגבי שלושה היה נופל. צריכה להיות עקביות בשיטה על מנת שלא יווצרו חלוקות אבסורדיות. ונראה לי שחלוקה פרופורציונלית נותנת תמיד חלוקה הגיונית ועקבית. אז מדוע לדעתך הגמרא נותנת שיטות אחרות?
    2. האם במשפט האזרחי, במקרה של עיזבון שאיננו מכסה את כל התביעות, בית המשפט לא מחלק פרופורציונלית לתביעות? נראה לי שכן, כי זה ההיגיון המתמטתי שכולם מקבלים. אז על מה נסמכת הטענה שאין היגיון בחלוקה פרופורציונלית? ושוב, מדוע הגמרא וגן המהרי"ל דיסקין, לא נוקטים בשיטה הזאת?

    הגב

    1. שיטת אומן לשני תובעים יוצאת כמו המשנה: 3/4,1/4. הפרופורציוניות כאן היא מקרה בלבד.

      הגב

  2. נראה שיש פרט אחד במציאה שהרב לא מתייחס אליו.
    הרי לא כל איש מהשוק יכול לטעון בעלות על הטלית, אלא רק מי שמוחזק בטלית יש לו ביסוס לטענה שלו.
    ובנוסף, בעצם מצד הטענה אין כאן תביעה ממונית מאחד כלפי השני, שהרי כל אחד אינו טוען שהשני ״חייב״ לשלם לו טלית או חצי טלית, ובעצם מן הדין לא היה לבית דין להזדקק לטענותיהם לולי זה שיש מציאות ששניהם אוחזים שמכריח את בית דין לפסוק חלוקה, כמו שרואים שבההוא ארבא כשאינם אוחזים בית דין לא נזקקים לפסוק ועושים כל דאלים גבר.
    לפי זה במקום שאחד טוען כולה שלי ושנים אחרים טוענים חציה שלי, הרי אם השניים שטוענים חציה היו באים לבי״ד לא היו צריכים לדין חלוקה כלל, שהרי אם כל אחד טוען חציה אין כאן בעיה ואין צורך בפשרה.
    ואם כן השניים שטוענים חציה בודאי נעשים כתובע אחד כנגד הטוען כולה, ואם כן הדין יהיה כמו המשנה שהטוען כולה יקבל 3/4 והטוענים חציה יקבלו 1/4 שבו יתחלקו.
    ובודאי שבזה שונה שנים אוחזים מחלוקת עיזבון, ששם הרי אין כלל עימות ולכן אין הגיון לצרף תביעה של שניים כנגד האחד.

    הגב

    1. מה פתאום? למה אתה מניח ששני אלו לא מתמודדים זה מול זה? אז מה אם בלי השלישי לא היה להם ויכוח. יש שלישי, ולכן יש להם ויכוח. מה אם יהיו שלושה שיתבעו חצי? כל שניים ייחשבו תובע אחד? אין לזה שחר.
      וגם אם שניהם תובע אחד, התוצאה אינה 3/4 ו-1/4 שמתחלק, אלא 1/2 ושני רבעים. שניהם יחד מקבלים חצי כמי שטוען כולה שלי.
      את עניין דררא דממונא לא הבנתי. מה עניינו לכאן?

      הגב

      1. במקרה ששלושתם טוענים “חצי”, בהכרח כל אחד מהם טוען שלשני האחרים יש רבע כל אחד. שהרי אם אחד טוען שהוא שותף חצי חצי עם אחד מן השניים האחרים, ואותו שותף מסכים לדבריו, נמצא שיש כאן אחד המוציא משני שותפים, ואם כן דינם כמי שטוען “כולה שלי” כנגד מי שטוען “כולה שלי״, שהרי כח שותפים ודאי לא עדיף על בעלים יחיד.

        לפיכך, מאחר שכל אחד טוען “חצי שלי” וטוען שלשניים האחרים יש רבע, יוצא שכולם מודים שלכל אחד יש רבע בטלית, וכל הנידון אינו אלא על הרבע האחרון, שכל אחד טוען עליו “כולה שלי”. זהו עיקר המריבה, וברור שיש לחלוק רבע זה שווה בשווה בין שלושתם.

        אין זה דומה למקרה שאחד טוען “כולה שלי” ושניים טוענים “חציה שלי”, שבו ההסכמה קיימת רק בין שני הטוענים חציה. שהרי ממה נפשך: אם הם טוענים שהם שותפים חצי חצי ביניהם, הרי הם נחשבים כטוען אחד התובע “כולה שלי”, וזה אינו המקרה הנידון.
        אלא ודאי שטענתם היא “חצי שלי וחצי של הטוען כולה שלי”, ואם כן שניהם מודים שיש לבעל הטוען כולה חצי מן הטלית. נמצא שהוא ודאי זכאי לשלושה רבעים, כשם שאילו היה טוען כנגד אחד הטוען חציה בלבד, שהרי הם חולקים עמו רק על חצי טלית השייך להם, ועל אותו חצי יש ביניהם מריבה פנימית שעליהם לחלוק.

        ראיה לדבר: בסוגיית ספק ויבם נאמר שכאשר ספק ובני היבם חולקים בנכסי הסבא, טענת הספק היא שהוא בן המת אחי היבם ולכן יורש חצי, ואילו בני היבם טוענים שהוא אחיהם בן היבם ולפיכך חולק עמהם ונוטל שליש. והדין הוא שהשליש שהם מודים לו נוטל, והחצי שהוא מודה להם נוטלים, ובשישית שעליה הם חלוקים חולקים חצי חצי.
        והרי שם, אילו היה כל בן יבם נחשב כבעל דין בפני עצמו, היה מקום לראות זאת כאחד שטוען “חציה שלי” ושניים שטוענים “שליש שלי”. אך בפועל מתייחסים אליהם כצד אחד הטוען לשני שלישים, משום שביניהם אין מריבה.

        מה שהקדמתי לגבי דררא דממונא נאמר רק כדי לחלק מן המקרה של עיזבון, שבו אי אפשר לראות את השניים כטוען אחד, שהרי לא שייכת ביניהם כל הסכמה או צירוף טענות. זאת משום שאין כאן כלל מריבה או ויכוח על עצם הזכות, כפי שציינת, אלא כל השאלה היא רק בדרכי החלוקה ואין כאן חוסר ידיעה או ספק לגבי עצם תביעתם.

        הגב

        1. תיקון לסעיף הראשון:
          … נמצא שיש כאן אחד המוציא משני שותפים, ואם כן דינם כמי שטוען “כולה שלי” כנגד מי שטוען “חציה שלי״, שהרי כח שותפים ודאי לא עדיף על בעלים יחיד.

          הגב

  3. נראה מנימת דבריו של מהריל דיסקין שעיקר חידושו הוא שכשלוי (חציה שלי) מדבר על החצי השני שהוא של שמעון(חציה שלי) ושל ראובן (כולה שלי) כטוען חיצוני לויכוח על החצי ההוא לוי רואה את זה כרבע של ראובן וזה כבר מונח בטענתו מה שמאפשר לנו להוציא את הרבע ההוא מהדיון לגמרי.
    כלומר החידוש הוא בדיני ההודאה מה שנותן לנו להתחיל את האלגוריתם מהחלקים שיישארו בידי ראובן ולא בחלוקה בין כולם לפי טענותיהם
    מה שאין כן כשנשאר ממון גם אם נשאר 150 טענתה של כתובה מנה היא ביחס לכל ה150 האלה מכיוון שזו זיקה לפירעון (בשונה מטענה למוחזקות על חפץ ספציפי) ואי אפשר להתחיל את אלגוריתם החלוקה בחלקים החיצוניים שעליהם כביכול אין ויכוח

    הגב

להגיב על שלמהלבטל

© Copyright 2026,כל הזכויות שמורות  | 
Back to top button