פרדוקס בוחן הפתע: המשך (טור 603)
בס"ד
מוקדש לילדיי: שלומי, יוסף ורבקה
בטור 601 עסקתי בפרדוקס בוחן הפתע, ומסקנתי הייתה שהטענה שאותה הוא תוקף באמת אינה נכונה. מתוך כך יצאתי להבחין בין שני סוגי פתרונות לפרדוקסים, דחיית הטיעון ודחיית הטענה, והמסקנה של הטור הייתה שחשוב לקחת בחשבון את האפשרות שהטיעון נכון ועמדתנו אינה נכונה. זהו לקח נגד נטייתנו לדוגמטיות. אציין כי שמחתי מאד לקבל אתמול שאלה שעושה שימוש בהמלצה הזאת.
והנה, באחד הטוקבקים לטור ההוא דוד העלה שאלה שלא נתנה לי מנוח. היא חייבה אותי ליישם את המלצתי מהטור ההוא ולא להתבצר בהצעה שלי. התברר לי שעליי לחזור שוב לפתרון שהצעתי שם לפרדוקס, שכן הבנתי שהטיפול שלי בו היה לכל היותר חלקי. בטור הזה אני ממלא את חובתי זאת.
הפרדוקס והפתרון מהסוג השני
המורה מגיע לתלמידיו ומודיע להם שבאחד הבקרים בשבוע הקרוב יהיה בוחן פתע. התלמידים מתחילים לחשוב על ההודעה הזאת ומגיעים למסקנה שלא ייתכן בוחן כזה. בשבת הוא ודאי לא יכול להתקיים, שהרי אם הוא לא קרה עד יום שישי, אזי ביום שישי בלילה הם כבר יידעו שהוא יתבצע למחרת וזה לא יפתיע אותם. אם כך, בשבת זה ודאי לא יכול להתרחש. אלא שאז חזרנו לאותה בעיה והפעם במשך ששה ימים, ושוב חוזר אותו טיעון: אם הוא לא קרה עד יום חמישי, אזי באותו ערב אני כבר יודע שהוא יקרה למחרת, ביום שישי. לכן גם ביום שישי לא יכול להיות תרגיל פתע. וכן הלאה לגבי יום רביעי, שלישי, שני וראשון. בקיצור, לא ייתכן לבצע בוחן פתע.
כתבתי שנטייתי הראשונית הייתה לחפש פגם בטיעון, שכן היה ברור לי שבפועל יש בחני פתע. הטענה ודאי נכונה וכנראה שיש כשל כלשהו בטיעון. אלא שלא מצאתי. הפתרון שאותו מציעים בדרך כלל ואותו אימצתי שם היה שבמשמעות שמניח הפרדוקס באמת אין בוחן פתע. אין בוחן שיכול להפתיע אותנו בכל אחד משבעת הימים. לאחר מכן מקובל להציע פשר לאינטואיציה שמורה לנו שבפועל יש בחני פתע: כנראה כוונתו של המורה היא לומר שייערך בוחן בשבוע הקרוב, והוא עלול (אבל לא חייב) להפתיע אותנו. זה מאפשר לנו לערוך את הבוחן גם בשבת (אמנם לא בהפתעה), וממילא הטיעון שתוקף את אפשרות בוחן הפתע לא מתחיל.
שאלתו של דוד ופשרה
אלא שדוד בשאלתו הנ"ל העלה ניסוח מפתיע לפרדוקס:
אשמח לשמוע את דעתך על הניסוח הבא של המורה – ״בחרתי יום בשבוע הבא לבחון אתכם, והבוחן בוודאות יפתיע אתכם״. מצד אחד ניתן לשלול כל יום, מצד שני, המורה יכול לבחור את אחד מהימים הראשונים ולהפתיע. האם כאן הטיעון (השולל את האפשרות הבוחן) לא נכון, העובדה (שבוחן כזה אפשרי) לא נכונה או שקיים פרדוקס?
בפועל אם המורה יבחר את אחד מששת הימים הראשונים הוא אכן יפתיע אותנו. לכאורה זה ממש שקול לפתרון הרגיל שהוצג בטור הראשון. אבל שימו לב שכאן אין צורך להניח שיכול להיערך בוחן (לא מפתיע) גם בשבת. גם בלי ההנחה הזאת, עדיין ניתן לערוך בוחן פתע באחד מששת הימים הראשונים (ביום האחרון זה כמובן לא יפתיע אותנו). שימו לב שהניסוח של הודעת המורה לא נראה שונה מהניסוח שבו אני השתמשתי. בעצם לא השתנה כאן שום דבר משמעותי, ובכל זאת מתברר שיש בוחן פתע גם בלי להניח את האפשרות לערוך בוחן בשבת. אבל אז לא ברור מדוע הטיעון אינו נכון? הרי אם בשבת לא ניתן לערוך את הבוחן אז הטיעון לכאורה מוכיח שאי אפשר לערוך בוחן פתע באף אחד מהימים.
תגובתי הראשונית הייתה שזה אינו פתרון לפרדוקס. לכל היותר יש כאן הוכחה שיש בוחן פתע, מה שכבר ידעתי. עדיין נותרת השאלה מה הכשל בטיעון? כל עוד לא הצבעת על כשל בטיעון הפרדוקס עומד בעינו. אבל זו גופא טענתו של דוד. הוא לא מציע פתרון לפרדוקס אלא טוען שהפתרון שלי לא פותר אותו. מתברר שאכן בפועל יש בוחן פתע, כלומר הטענה שאותה דחינו דווקא כן נכונה. זה אומר שחייבים לחפש את הכשל דווקא בטיעון (פתרון מהסוג הראשון), לא כמו שכתבתי.
זה עדיין משאיר את הפתרון מהסוג השני, שכן המשמעות הרגילה של בוחן פתע, בוחן שיכול להפתיע אותנו בכל אחד משבעת הימים, באמת נשללה. לכל היותר יש כאן הצעה של משמעות אלטרנטיבית לבוחן פתע. בוחן שיכול להפתיע אותנו בכל אחד מששת הימים הראשונים. כאן נראה שאין צורך להניח קיום בוחן לא מפתיע ביום השביעי, לא כפי שכתבתי בטור הראשון. אבל בשורה התחתונה בכל זאת מקבלים כאן משהו חדש: מורה יכול להודיע לתלמידיו על בוחן פתע ובאמת להפתיע אותם (באם יבחר באחד מששת הימים הראשונים).
אבל שימו לב שהמשמעות האלטרנטיבית הזאת חשופה גם היא לטיעון הפרדוקסלי: בשבת זה ודאי לא יכול להתרחש. ממילא גם ביום שישי לא, וכן הלאה לכל ימי השבוע. דוד הראה לנו שלפחות בניסוח הזה איננו יכולים לומר שהטענה לא נכונה, שהרי ברור שבפועל הבוחן יפתיע אותנו. אם כן, חזרנו לפרדוקס, ולפחות לגבי הניסוח הזה נראה שעלינו לחפש לו פתרון מהסוג הראשון. משהו פגום בטיעון. אבל מה?
פתרון דה-פקטו
בטור הקודם כתבתי שהדבר הראשון שעלה בדעתי למשמע הפרדוקס הזה הוא פתרון דה-פקטו: אחרי שהוכחנו שכל אחד מהימים אינו אפשרי שוב חזרה האפשרות להפתיע. שהרי כעת אין לתלמידים שום דרך לדעת באיזה יום ייערך הבוחן. לכן יש בוחן פתע. אלא שעל פניו זה אינו פתרון אלא ניסוח של הפרדוקס: מחד בפועל ניתן לערוך בוחן פתע, אבל מנגד יש טיעון תקף שמוכיח לא כך. כל עוד לא הצבענו על הפגם בטיעון לא פתרנו את הפרדוקס.
טענתי שם שיש כאן גם פתרון, כלומר יש פגם בטיעון. הפגם הוא שהטיעון לא מסתיים בשלילת האפשרות לבוחן פתע בכל הימים, אלא עלינו להמשיך אותו הלאה ולומר שאחרי ששללנו את כל אלה שוב חזרה האפשרות לערוך בוחן פתע (כי כל הימים שווים). ואם נחזור שוב ונוכיח שלא (באותה צורה), אזי זוהי שרשרת אינסופית של הוכחות לסירוגין שיש ושאין בוחן פתע. ומכיוון שאין לנו דרך לעצור את השרשרת הזאת, ההנחה היא שהיא ממשיכה ללא סוף. במצב כזה התלמידים באמת לא יכולים לדעת האם ומתי ייערך בוחן, ולכן ברור שניתן להפתיע אותם (הפניתי לטיעון דומה בטור 407). זהו פגם בטיעון המקורי, שכן הוא עצר מוקדם מדיי. אם ממשיכים אותו בלי לעצור מגיעים למסקנה שאכן יש בוחן פתע. בניסוח של תורת החישוביות ניתן לומר שמכונת טיורינג שמחשבת את תאריך הבוחן לא עוצרת. יש לה מצבי ביניים שבהם יש תשובה כזו או אחרת, אבל זה ממשיך הלאה ומשנה את התשובות בלי לעצור. לכן בפועל אין לנו חישוב שייתן לנו סופית את תאריך הבוחן, וממילא בכל אחד מששת הימים הראשונים הוא יפתיע אותנו. לכאורה זהו פתרון מהסוג הראשון, שכן מצאנו פגם בטיעון.
מה על מקרה של משך קצר יותר?
בהמשך אותו קטע בחנתי את אותו פרדוקס על יומיים ושלושה ימים. בואו נבדוק לגבי יומיים. המורה מודיע שמחר או מחרתיים ייערך בוחן פתע. במצב כזה היום השני (מחרתיים) נשלל, ולכן ברור שהוא ייערך מחר. ומה אם יש שלושה ימים? במצב כזה יש שני ימים שונים שבהם הבוחן יכול להיערך (מחר או מחרתיים), ולכן לכאורה כאן כן יכולה להיות הפתעה. אבל כתבתי שם שגם זה לא נכון, שהרי ביום השלישי זה ודאי לא יכול להיערך. ממילא גם ביום השני לא (כי אם זה לא נערך ביום א ברור לי שזה יהיה ביום ב) ולכן בהכרח צריך להתכונן ליום הראשון, ואז שוב זה לא מפתיע אותי.
אלא שכעת ננסה לבדוק את המקרה של יום בודד. המורה מודיע: מחר ייערך בוחן פתע. בטור ההוא הנחתי שזה אוקסימורון, שהרי ברור שהוא לא יפתיע אותנו. אבל כעת שימו לב שזה אינו פשוט כל כך. אם זה אוקסימורון, אזי מחר הוא לא יכול להיערך כי הוא לא יפתיע אותנו. מה, אם כן, מפריע למורה להפתיע אותנו ולערוך אותו בכל זאת? כלומר ההפתעה יכולה להתרחש דווקא בגלל שיש לנו הוכחה שזה לא יכול לקרות מחר ולהפתיענו. זו כבר ממש הפתעה: מתברר שאפילו במקרה של יום אחד יכול להיערך בוחן פתע. כמובן שכעת ברור שגם במקרה של יומיים, שלושה או שבוע, זהו המצב. הבוחן יכול להיערך דווקא בגלל שיש לנו הוכחה שהוא לא יכול להיערך. ההוכחה הזאת מרגיעה אותנו שזה לא ייתכן, ואז נוחתת עלינו ההפתעה שזה בכל זאת נערך.
אז איפה הטעות בטיעון? לגבי יום אחד, הטעות היא בכך שהנחנו שאם זה חייב להיערך מחר זה לא יפתיע אותנו. זה כן יכול להפתיע אותנו, כי מול זה לא עומדות רק האפשרויות של ימים אחרים אלא גם האפשרות שזה לא אפשרי בכלל. מול האפשרות הזאת תמיד ניתן להפתיע אותנו. הוא הדין לגבי יומיים ושלושה ימים. ההפתעה אינה מול יום אחר אלא מול האפשרות שזה כלל אינו אפשרי.
כלומר הניסוח שהצעתי למעלה לכשל בטיעון, שבגלל ההוכחה כל הימים הם שווי מעמד ולכן בכל זאת ניתן להפתיע אותנו, אינו מדויק. הכשל אינו בגלל שהימים שווים זה לזה, אלא מפני שיש עוד אפשרות שלא לקחתי אותה בחשבון: שלא ייתכן בוחן פתע. זוהי האפשרות שעומדת מול כל יום ויום, והיא שיוצרת את ההפתעה.
שימו לב שכעת למרבה ההפתעה, הבוחן יכול להיערך גם ביום השביעי. שהרי כשנגיע ליום שישי בערב נהיה משוכנעים שמחר זה לא יתרחש כי זו לא תהיה הפתעה. לכן נגיע למסקנה שהמורה טעה והוא לא יוכל לעשות לנו בוחן פתע. נלך לישון בשלווה בלי להתכונן, ואז למחרת המורה ינחית עלינו בהפתעה את הבוחן. טראח!!!
נמצאנו למדים שהפתרון שהציע דוד שקול לפתרון שאני הצעתי. אני דיברתי על בוחן שיכול להפתיע בכל אחד מששת הימים בתנאי שהוא יכול להיערך בלי הפתעה גם ביום השביעי. הוא דיבר על בוחן שיכול להפתיע בששת הימים אפילו אם לא יכול להיערך בשביעי. אבל שנינו טועים: הוא יכול להיערך ביום השביעי ועדיין להפתיע אותנו. אין צורך לשנות מאומה בהודעת המורה. הבוחן ייערך בכל אחד משבעת הימים ויפתיע אותנו בכל אחד מהם.
כמובן שכעת ניתן לטעון שאם נגיע ליום שישי ונחשוב שהבוחן לא אפשרי, אז עלינו לקחת בחשבון גם את האפשרות שהוא בכל זאת ייערך ויפתיע אותנו, ולכן עלינו להתכונן. אבל אז באמת אי אפשר לערוך אותו בכלל, ממילא אין טעם להתכונן אליו. הגענו לפרדוקס השקרן: אם אפשר לערוך את הבוחן בשבת, אז ביום שישי בערב ברור לנו שהוא ייערך ואז לא נופתע. אבל זה עצמו אומר שהוא לא ייערך (שהרי הבטיחו לנו בוחן פתע), ולכן אנחנו לא נתכונן. אבל כעת אם הוא יערך אנחנו נופתע, ולכן כן יכול להיערך בוחן פתע בשבת, וחוזר חלילה. בשורה התחתונה, בגלל שהלולאה אינה נעצרת בוחן שייערך בשבת אכן יפתיע אותנו (במובן הזה שאין לנו ודאות מראש שהוא ייערך ולא שלא ייערך).
ניסוח לוגי: לוגיקה תלת-ערכית
הלוגיקן הפולני יאן לוקשביץ פיתח לוגיקה תלת ערכית, שבה כל טענה יכולה לקבל שלושה ערכי אמת: אמת (T), שקר (F), ופרדוקס (P). יש שרצו לראות בלוגיקה שלו סוג של פתרון לפרדוקסים, שכן כעת לטענה כמו זו של פרדוקס השקרן "משפט זה הוא שקרי", אמנם ניתן להצמיד ערך אמת מתוך שני הרגילים (T או F)אבל זה מפני שערך האמת שלה הוא P. ובא לציון גואל. זו כמובן שטות. העובדה שנתנו שם למצב כזה אינה פותרת אותו בשום צורה. אבל שימו לב שאצלנו הלוגיקה הזאת דווקא כן עובדת.
בעצם מה שהצעתי למעלה הוא שהטענה "ייערך בוחן פתע בשבת" יכולה לקבל שלושה ערכי אמת ולא רק שניים. אנחנו עשינו את החשבון בהנחה שהיא או אמתית או שקרית, אבל מתברר שהיא לא זה ולא זה. היא פרדוקסלית (ערך אמת לא מוגדר – אם אמתית שקרית ואם שקרית אמתית). משמעות הדברים היא שפרדוקס בוחן הפתע אינן פרדוקס תוכני אלא לוגי, ממש כמו פרדוקס השקרן (זו טענה שאם היא אמתית היא שקרית ואם היא שקרית היא אמתית). אבל למרבה הפלא, כאן דווקא היותה של הטענה פרדוקסלית פותר את הפרדוקס, שכן הפרדוקסליות של הטענה הזאת היא שיוצרת לנו את ההפתעה. בגלל שמדובר בהפתעה, אזי העובדה שהטענה הזאת היא פרדוקסלית לא צריכה להטריד אותנו. ערך האמת של הטענה "יכול להיערך בוחן פתע בשבת" הוא P או אם תרצו להשתמש בלוגיקה בינארית רגילה אז אמרו שהוא אינו קיים, אבל בדיוק בגלל זה במציאות בוחן בשבת יכול להפתיע אותנו. ניתן אולי לדבר כאן על הפתעה מסדר ראשון, שני וכן הלאה, או על ערכי אמת של הטענה הזאת מכמה סדרים. בפרדוקס השקרן הבעיה היא ערך האמת של הטענה, ולכן שם לוגיקה תלת ערכית אינה פתרון. אבל אצלנו הבעיה היא תופעה בעולם ולא ערך אמת של טענה, ולכן כאן העובדה שהטענה היא פרדוקסלית אינה מפריעה. להיפך, היא זו שעומדת בבסיס הפתרון. יש כאן פשר נוסף להבחנה של בני שלומי שהוזכרה בטור 601 בין 'שכל מתמטי' (או לוגי) לבין 'שכל לחיים'. כפי שראינו כאן, הלוגיקה לא בהכרח מתארת את החיים, ולפעמים הם מתנהלים לפי עקרונות שונים.
מתברר כאן שישנה תופעה בעולם שלא ניתנת לתיאור מילולי באמצעות טענות שמקבלות ערכי אמת מוגדרים (בינאריים). בפרדוקס בוחן הפתע מה שחשוב הוא ההפתעה ולא ערך האמת של הטענה, ולכן שם אין לי בעיה עם ערך אמת פרדוקסלי. אם כן, בוחן פתע בהחלט יכול להיערך בעולם, ובכל זאת הטענה "מחר יהיה בוחן פתע" (או ביומיים הקרובים או בשבוע הקרוב) שמתארת את העובדה הזאת היא פרדוקסלית. זוהי מסקנה מרתקת לגבי הקשרים בין השפה לעולם, ויש שיאמרו שהיא מלמדת על מגבלות השפה שלנו (הזכרתי בטור הראשון שפילוסופים אנליטיים סבורים שכל הפרדוקסים הם שיקוף של פגמים בשפה, שכן בעולם עצמו לא ייתכנו פרדוקסים).
מבט נוסף על לוגיקה והחיים
המסקנה שאליה הגענו כעת לזכירה לי את הדיון שנערך בטור 200, לגבי מה שכיניתי הפוליגרף הלוגי. ראינו שם ניתוח לוגי שמעלה כי ישנה שאלה שדרכה ניתן לחלץ את האמת מכל אדם. נניח שאני רוצה לדעת האם X נכון (למשל, האם הוא גנב כסף מפלוני). אני שואל אותו את השאלה הבאה: "האם תשקר בתשובה לשאלה זו אם ורק אם X?". אם הוא עונה 'כן' – בהכרח X שקרי. ואם הוא עונה 'לא' – בהכרח X אמתי. את הניתוח הלוגי עשיתי שם, ולא אחזור עליו כאן. מתוך כך עלתה שם השאלה מדוע שלא נשתמש בזה ככלי חקירתי במשטרה? למה צריך להתאמץ כל כך לחפש ראיות ולבדוק הודאות וכו'? התשובה היא שאמנם הניתוח הלוגי מראה שאם X נכון אז בהכרח עליו לענות לשאלה זו 'לא', אחרת הוא נקלע לסתירה, אבל בפועל אין שום דבר שימנע ממנו בכל זאת לענות 'לא'. כל עוד אין לו אובססיה לוגית והוא לא ממש מפחד מאמירת טענות סתירתיות, שום דבר לא יעצור את שפתיו מלנוע באופן הזה.
הסברתי שם שמשמעות הדבר היא שניתוח לוגי של טענות לא מחייב את התנהגותם של בני אדם. אם אני אומר משפט כלשהו שהוא סתירתי לא קורה לי שום דבר. בסך הכל יצרתי בעיה לשומע שלא יוכל להבין מה אמרתי או להוציא מכך מידע כלשהו. אבל אין שום מניעה מאמירת משפט כזה. הסתירות קיימות במישור הלוגי, אבל הן לא עוצרות את האדם מלומר אותן. בניסוח אחר ניתן לומר שהמורה לא אמר מאומה (לפחות מבחינת השומע באותו רגע). הוא לא העביר לתלמידיו מידע, ובדיוק בגלל זה הם הופתעו. זה כמו שהם היו מופתעים אם הוא היה עורך בוחן פתע ללא שום הודעה מראש. בעצם זהו בדיוק המצב גם כאן, שכן כפי שראינו לא הייתה פה שום הודעה מראש.
בחזרה לבוחן הפתע: השלכות ומבטים נוספים
זה בדיוק מה שראינו בניתוח של פרדוקס בוחן הפתע. המורה אמנם אמר משפט סתירתי, אבל עדיין הוא אמר אותו. אין מה שמונע אדם מאמירת משפט סתירתי. מה שמיוחד כאן הוא שהסתירתיות של המשפט היא זו שפותרת את הפרדוקס, שכן כפי שהסברתי אני לא שואל האם עובדה כלשהי נכונה אלא האם אדם יופתע במצב מסוים. אם המשפט שמתאר את המצב הוא סתירתי, אזי כל מה שיקרה במצב הזה יפתיע אותו. ההשפעה של המשפט על האדם לא נוצרת דרך ערך האמת שלו, ולכן אין הכרח להיצמד כאן ללוגיקה בינארית. המשפט הזה אינו טענה במובן המקובל (שכן הוא לא מקבל רק שני ערכי אמת), אבל עדיין אמירתו היא בעלת משמעות ויש לה השפעה על השומעים. במובן הזה אמירה כזאת דומה לשיר. בסדרת טוריי על שירה הסברתי שגם שיר פועל על השומעים לא דרך תוכנו (המילולי) אלא דרך מסרים שעוברים באמצעות המבנה הצורני שלו. המילים הן רק תווך שדרכו עוברים המסרים הללו. הוא הדין לטענות סתירתיות כגון זו.
בניסוח אחר ניתן לומר שבעצם המורה לא אמר כלום. הטענה שלו לא מכילה מידע. אבל בכל זאת יש לדבריו משמעות כלשהי, והמשמעות הזאת פועלת בעולם. היא גורמת להפתעה. זו מסקנה מעניינת שכן יוצא מכאן שלפסוקים שאיני יודע האם הם אמתיים או שקריים, כלומר אין להם ערך אמת מוגדר, יכול להיות תוכן ומשמעות. אי אפשר לומר שמשפטים כמו "מחר יהיה בוחן פתע", או "בשבועה הבא יהיה בוחן פתע", הם חסרי משמעות. הם אומרים לי משהו מאד ברור: שמחר יהיה בוחן פתע. אני לא יכול לדעת האם הם אמתיים או שקריים אבל עדיין יש להם משמעות.
אגב, אחרי שיעבור הזמן המדובר, הבוחן ייערך או לא ייערך, כעת כבר אוכל לומר שהמשפט הזה הוא טענה בעלת משמעות ויש לה ערך אמת: אם הופתעתי אז אכן היה בוחן פתע, והטענה אמתית. ואם לא – אז היא שקרית. אלא שכעת בעצם הגענו לעוד מסקנה מפתיעה: זו טענה רגילה לגמרי, ואין בה סתירה. יש לה ערך אמת אחד ויחיד (אמת או שקר), אלא שכעת אין לי דרך לדעת אותו. אדע זאת רק אחרי שהזמן יעבור. אני מזכיר שבסדרת הטורים שלי על הסיבתיות (459 – 466) ובסדרה על הידיעה והבחירה (299 – 304) עמדתי על כך שערך אמת של טענה אינו תלוי בזמן. כאן לכאורה רואים את ההיפך, שערך האמת כן תלוי בזמן: כעת זה פרדוקס, או לא ידוע, ובעתיד זה יהיה אמת או שקר. אך זוהי טעות. ערך האמת אכן לא תלוי בזמן. אם הטענה אמתית – כי אז היא אמתית תמיד, ואם היא שקרית – אזי היא שקרית תמיד. אלא שבזמן שקודם לאירוע אני לא יודע מהו ערך האמת הזה. החוסר הוא רק אצלי ולא בטענה כשלעצמה. במובן הזה הטענה הזאת אינה דומה לפרדוקס השקרן. ההפתעה שנוצרת אצל התלמיד לא קשורה לערך האמת האמתי (העתידי) של הטענה אלא למה שהוא יודע לגביה היום, וכיום היא נראית לו סתירתית. לכן הבוחן באמת יפתיע אותו. אחרי שהבוחן ייערך, הטענה הופכת להיות טענת אמת (שהרי באמת נערך בוחן פתע), אבל זה לא היה ידוע לו לפני עריכת הבוחן.
בחזרה לאלכסנדרוביץ ו'עגלתו של החילוני'
בטור 601 הבאתי דיון בפרדוקס בוחן הפתע מהאתר לא מדויק של גדי אלכסנדרוביץ ומהאתר אחד נגד כל הדת. הזכרתי שבדיון הם נזקקו להבחנות בין אמתיות ליכיחות ולדיון בשאלת הידיעה, וטענתי כנגדם שזה לא נחוץ לפתרון הפרדוקס. לאור מה שראינו כאן, המצב נראה לכאורה שונה. הפתרון אינו סמנטי-תוכני, כמו שטענתי בטור ההוא. כאן ראינו שאנחנו בהחלט נזקקים לדיון בפרדוקסים (כולל פרדוקס השקרן) ולניתוח לוגי. אז קודם כל אם עליי להתנצל בפניהם על האשמה לא נכונה חובה עליי לעשות זאת (לאור דרישת היושר שהובעה בטור הקודם וכאן).
אבל אחרי התנצלות על הטעות שלי בטור הקודם, עליי להוסיף שלמיטב הבנתי עדיין נכון ששניהם ניתחו את הפרדוקס באופן שגוי. שניהם מניחים את ההנחה המוטעית שבמקרה של בוחן פתע ביום אחד אין פרדוקס אלא מדובר בסתם טענה שקרית. שניהם גם מניחים שצריך להשמיט את היום האחרון שכן בו לא תהיה הפתעה. ולבסוף, שניהם גם מדברים על ידיעה מול יכיחות (משפט גדל). לאור מה שראינו כאן, כל זה עדיין אינו נחוץ. שימו לב ששניהם הגיעו למסקנה שהבוחן באמת כן יכול להיערך בשבת אך ללא הפתעה (כמו שאני כתבתי בטור הקודם, וכמו שמופיע בוויקיפדיה), אבל כפי שראינו בטור הזה נראה שזוהי טעות. יכולה להיות הפתעה גם במקרה של יום בודד וגם ביום האחרון בשבוע. אם מאמצים את הפתרון מהטור הקודם שבו הבוחן יכול להיערך בשבת (ללא הפתעה), אזי באמת אין צורך בכל הניתוח שלהם. בהנחה הזאת, הפתרון התוכני-סמנטי מהטור הקודם מספק לגמרי. אלא שבטור הנוכחי ראינו שהפתרון המהותי לפרדוקס מאפשר גם מצב שבו הבוחן ייערך בשבת ואף יפתיע אותנו. ראינו שאין שום מגבלה על שום יום, ואפילו ביום אחד ניתן לנסח את הפרדוקס באותה צורה. במצב כזה, ורק בו, אנחנו אכן נזקקים לניתוח לוגי כפי שעשיתי כאן. אבל גם כאן לדעתי אין צורך להיזקק לשאלת היכיחות והידיעה.[1]
הערה: בחזרה לדרוש ופלפול
כעת לא נותר לנו אלא לתהות האם הטור הקודם היה פלפול או דרוש? כזכור (ראו בטור ההוא), פלפול הוא טיעון נכון שמוביל למסקנה שגויה, ודרוש הוא טיעון כושל שמוביל למסקנה נכונה. לכאורה דבריי בטור הקודם היו דרוש, שכן הגענו למסקנה הנכונה (שדוגמטיות היא מידה מגונה) מכוח טיעון שגוי (מכך שפרדוקס בוחן הפתע זוקק בהכרח פתרון מהסוג השני). אבל היה בהם גם ממד של פלפול, שהרי הגענו שם גם לפתרון שהוא מסקנה לא נכונה (שאין באמת בוחן פתע במשמעות המקובלת: בוחן שיפתיע אותנו בכל אחד מהימים) באמצעות טיעון שנראה נכון. כך או כך, ברור שלא ראוי להיות דוגמטי. שני הטורים הללו גם יחד מראים זאת היטב.
[1] אגב, אצל גדי אלכסנדרוביץ ישנה גם השוואה לפרדוקס דומה ללא אלמנט ההפתעה. דומני שהניתוח שעשיתי כאן מראה שהם אינם דומים, שכן מושג ההפתעה הוא מהותי לפרדוקס הזה. יכולה להיות הפתעה גם בהודעה על יום בודד, וזה רק מפאת אופיין של הפתעות.
א. לדעתי אם המורה אומר "יהיה בוחן פתע השבוע והוא בוודאות יפתיע אתכם" הבוחן לא יכול להיות בשבת, ולכן לא יכול להתקיים בכלל. הטענה שהוא יפתיע אותנו גם בשבת כיוון שאנחנו לא יודעים אם הוא בכלל יתקיים נכונה לכל שאר הימים אבל בשבת אם הוא לא יתקיים יוצא שלא יהיה בוחן בכלל, זה סותר את מה שהמורה אמר ואין סיבה להניח שאולי המורה משקר, צריך לבחון את הפרדוקס בהנחה שהוא אומר אמת, ואם ממש רוצים אפשר להוסיף את זה למשפט ולהגיד הבוחן יפתיע אתכם בוודאות והוא גם יתקיים בוודאות, גם כאן אפשר להגיד שהוא משקר אבל אז אולי הוא גם משקר בהקשר של המילה בוודאות וזה יפתיע אבל לא בוודאות. זה כבר הופך את הכל לחסר ערך.
ב. הפתרון היותר משכנע לדעתי מהסוג הראשון (שמראה על כשל בטיעון) נעוץ בנק' הזמן עליה מסתכלים ומה התלמיד יודע בכל נק' זמן. אם מסתכלים בראייה קדימה בזמן אמת כל יום התלמיד לא יודע האם הבוחן יתקיים או לא ולכן הוא יופתע (למעט היום השביעי) אם מסתכלים במבט לאחור שהתלמיד כבר יודע שהבוחן לא התקיים עד לאותו זמן איקס אז יש פרדוקס אבל הוא לא יכול לדעת מראש שכך יהיה, ולכן במציאות יש בוחן פתע.
גם בשבת זה יפתיע כי יש אפשרות שהוא לא ייערך כלל. זה אמנם סותר את מה שהמורה אמר, אבל גם אם הוא ייערך בלי הפתעה זה סותר את דבריו. לכן בכל מקרה דבריו לא עומדים לגבי שבת, ואני בדילמה האם ייערך או לא, ולכן אני אופתע.
למה הניסוח "בחרתי יום בשבוע הבא לבחון אתכם, והבוחן בוודאות יפתיע אתכם" הוא לא נונסנס? מעשית זה אכן נראה נונסנס. אני זוכר שכתלמיד, במקרים כאלה כשהיה מגיע התאריך האחרון, הייתי מגיע לביה"ס בידיעה שהיום יהיה בוחן. כלומר המשפט "יהיה בוחן בשבוע הבא" והמשפט "הוא בוודאות יפתיע אתכם" הוא סתירתי. זה כאילו שהמורה היה אומר "יהיה בשבוע הבא בוחן, אבל לא בימים ראשון עד שבת".
הסברתי כאן את העניין באר היטב. כשאתה מגיע ליום האחרון יש שתי אפשרויות: לא יהיה בוחן (המורה שיקר). יהיה בוחן ולא יפתיע (המורה שיקר). מכיוון שאינך יודע מהי הנכונה מבין השתיים, אזי אין לך וודאות מי מהן תתרחש. ולכן כשמתבצע הבוחן הוא מפתיע אותך. וכמובן כעת מתברר שבשורה התחתונה המורה בעצם לא שיקר.
אני חושב שאפשר לנסח את הפתרון שלך בצורה יותר פשוטה ופחות "מהפכנית":
אם המורה לא היה אומר לתלמידים כלום, האם הוא היה יכול לעשות בוחן פתע? בוודאי שכן.
והנה, כשהוא אומר להם "מחר יהיה בוחן פתע", זה משפט שאי אפשר להאמין לו (כי אז הוא שקרי בהכרח), וגם אי אפשר שלא להאמין לו (כי אז הוא אמיתי בהכרח, אם מניחים שהמורה לא משקר סתם). זה דומה לפרדוקס השקרן, אלא שבמקום לומר "המשפט הזה הוא שקרי", אומרים "אתה לא מאמין למשפט הזה".
במצב זה, המשפט אינו מספק לנו שום מידע ברור, ומבחינת הידע שלנו אנו נמצאים באותו מצב כאילו הוא לא נאמר כלל. האם במצב כזה אפשר לעשות בוחן פתע? בוודאי שכן.
גם הגרסה הזאת מופיעה בטור.
אשריך אבי מיכאל הלוואי עלי גם את המח המבריק והחריף הזה לא זכינו עדיין
אכן
היי,
קודם כל תודה רבה על ההשקעה בפוסט המפורט!
א. האם לדעתך בדוגמה של גדי (קבוצת אנשים בטור, אין אלמנט של זמן או של הפתעה), חייבים להגיע למושגים של יכיחות וידיעה?
ב. אם ידוע לנו שאכן יהיה מבחן שבוע הבא, ולאחר מכן המורה אומר ״מועד המבחן יפתיע אתכם״ – האם כאן קיים פרדוקס (או ששוב, חייבים להגיע ליכיחות וידיעה)? במקרה הזה, אם יש רק יום אחד במהלך השבוע הבא אז המשפט הוא אכן שקרי (תקן אותי בבקשה אם אני טועה).
גילוי נאות, אני לא בקיא במושגים יכיחות וידיעה.
תודה רבה!
א. כרגע איני זוכר את פרטי העניין וקשה לי להיכנס אליו.
ב. לא הבנתי. במה שונה המקרה הזה ממה שאני דנתי בו?
ב. אתה מניח שלא בטוח שיהיה מבחן (ולכן אפשר להפתיע גם ביום האחרון). אני מדבר על מקרה בו ידוע לנו בוודאות שיהיה מבחן, אבל המועד לא ידוע, והמורה רק מודיע שהמועד יפתיע את התלמידים. במקרה כזה לדעתי באמת אי אפשר לבחון ביום האחרון, ולכן לכאורה אפשר שוב לשלול את כל הימים
השאלה נשארת אותו דבר, אני אנסה להעביר את השאלה שלך לפרדוקס הידוע של "המשפט הזה הוא שקר" (או גרסה מחוזקת שלו אם מפריע לכם לראות פרדוקס מזוייף). המורה אומר "המשפט הבא שלי הוא אמת" (עכשיו את/ה מניח שהמשפט הזה נכון לא משנה מה). במשפט הבא של המורה, הוא אומר "המשפט הזה הוא שקר". האם המשפט הראשון של המורה שינה את הבעיה? לא! כי אם מסיקים שהמשפט הראשון של המורה הוא אמת, צריך להניח שהמשפט השני הוא גם אמת מה שכמובן לא מסתדר. כלומר זה פשוט בלתי אפשרי להניח שהמשפט הראשון נכון בכל מצב. אותו דבר בשאלה על הבוחן, אי אפשר להניח שהוא יתקיים בכל מצב (במקרה שלנו, המצב הוא שהוא יהיה מפתיע). היופי הוא שזה בדיוק מה שיוצר את ההפתעה של התלמידים ומאפשר את היכולת להודיע על בחני פתע מראש (כפי שמיכאל הסביר בצורה נפלאה)
לא נכון. לא ידוע לנו בוודאות שיהיה בוחן. אולי לא יהיה בגלל הטיעון שכתבתי בטור. כשתגיע ליום האחרון אז אם יהיה הבוחן הוא לא יפתיע ואז המורה שיקר. אז יש אפשרות שהוא לא יהיה כלל, שקר אחר של המורה. בקיצור, זהה לגמרי למקרה שלי.
מיכאל ויוסף, יכול להיות שיש נקודה שאני מפספס פה, אבל אני מדבר על מצב שידוע לנו (לא מתוך דברי המורה) שיש בוחן.
לדוגמה ברגע שהמורה בוחר יום בשבוע הבא לעשות מבחן, נשלחת הודעה לכל התלמידים (הודעה שתוכנה הוא ״שבוע הבא יהיה בוחן״).
כעת המצב הנתון הוא שיהיה בוחן, ועל זה אין ויכוח.
לאחר מכן המורה מודיע שמועד הבוחן יפתיע. במקרה הנ״ל, אם לדוגמה בשבוע הבא יש רק יום אחד, אז כמובן שהמורה משקר (כי הבוחן שאנחנו יודעים שיתקיים לא יפתיע אותנו).
או שהוא משקר כי לא יהיה בוחן. אם אתה טוען משהו היפותטי שאיכשהו יודעים שהוא לא משקר בזה, חזרנו למקרה של הטור הראשון (שמניח שיכול להיות בוחן בששת הימים בהפתעה או בשביעי בלי הפתעה). במצב כזה כתבתי שם שאין בעיה.