המתמטיקה

אני אכן חולק בתוקף על הטענה הזו. מתמטיקה אינה מדע אמפירי (ניסויי), והמשפטים שלה אינם תוצאה של תצפיות על העולם.

נכון שכאשר אנו מלמדים ילדים חשבון, אנו עשויים לקחת תפוח ולהוסיף לו עוד תפוח כדי להראות שיש בסך הכל שניים, או להשתמש בחרוזים ובדידים. אבל זהו אך ורק אמצעי עזר פדגוגי ודידקטי, ולא מקור האמת. הפילוסוף סול קריפקה טען אמנם שאנו לומדים אריתמטיקה מהניסיון האפוסטריורי, אך לדעתי הוא מערבב קטגוריות; הניסוי בעולם החומרי רק עוזר לילד לחדד את ההבנה, אך ברגע שהאדם מבין את המושגים – מה זה "אחד", מה זה "ועוד", מה זה "שווה" ומה זה "שתיים" – הוא מבין את האמת הזו מתוך עצמה, במנותק מהניסיון. ההדגמה היא רק אמצעי דידקטי.

כדי להבין מדוע זו אינה טענה אמפירית, כדאי לחשוב על מבחן ההפרכה (כפי שהסברתי בספרי "אלוהים משחק בקוביות" ובמקומות נוספים). נניח שתיקח שני תפוזים ותכניס אותם לסל, לאחר מכן תוסיף עוד שלושה תפוזים, ולבסוף תספור ותגלה שיש בסל שישה תפוזים. האם תסיק מכך שהופרכה התיאוריה ש-2+3=5? האם מעתה תאמין ש-2+3=6? ברור שלא. המסקנה המיידית שלך תהיה שהייתה טעות בניסוי: אולי טעית בספירה, אולי מישהו הגניב תפוז נוסף לסל בלי ששמת לב, או שהיה בו חור נסתר. מתמטיקה אינה עומדת למבחן הפרכה אמפירי, משום שהיא לא טוענת שום טענה עובדתית על העולם החומרי.

יתרה מזאת, לעיתים המציאות הפיזיקלית דווקא לא מצייתת לחיבור אריתמטי פשוט. למשל, במכניקה, אם תפעיל על גוף כוח של 5 ניוטון צפונה וכוח נוסף של 5 ניוטון מזרחה, הכוח השקול שיופעל על הגוף לא יהיה 10 ניוטון, אלא קצת יותר מ-7 ניוטון (לפי חשבון וקטורי). האם העובדה הזו פריכה את הטענה המתמטית ש-5+5=10? ודאי שלא. מה שהופרך כאן זו ההנחה בפיזיקה שחיבור כוחות בעולם שלנו מתואר על ידי המודל המתמטי של חיבור אריתמטי רגיל.

המסקנה היא שמשפטי המתמטיקה (כמו 1+1=2) הם משפטים אנליטיים ואפריוריים (הקודמים לניסיון). הם מבטאים קשרים הכרחיים בין רעיונות ומושגים מופשטים, ולא עובדות פיזיקליות. כאפלטוניסט, אני סבור שהישים והיחסים המתמטיים הללו קיימים באופן אובייקטיבי בעולם אידיאות, ואנו "צופים" בהם לא באמצעות החושים הפיזיים שלנו, אלא דרך אינטואיציה ועיני השכל. היישום של המתמטיקה על העולם הממשי – כלומר ההנחה שמודל מתמטי מסוים רלוונטי לתיאור פיסת מציאות מסוימת – הוא כבר בגדר פיזיקה או מדע, ורק ההנחה הזו עומדת למבחן אמפירי.