חישוב התוחלת לקיום מצווה

תוחלת הסתברותית. שאלתי היא האם מבחינה מתמטית, מוצדקת העדפתה של הגמרא באחת משתי האפשרויות.

לא מבין את השאלה. האפשרות שבמשנה מאפשרת לפתור את הבעיה לגמרי. לעומת זאת, באפשרות שבגמרא ברור שחלק מהייבומים לא נעשו ליבמה הנכונה. מה זה קשור להבדל בהסתברויות? הסתברות למה?

יש שני אפשרויות קצה:
א. שאחד מהאחים 'ייבם' כל אחת מהנשים ושאר האחים יחלצו לכל אחת מהנשים, כך ש*רק אחד* מהאחים (המייבם) יקיים *לבטח* מצוות ייבום (במי מהנשים שהיא יבמתו).
ב. כמתואר במשנה, כך ש*ייתכן* ש*כל אחד* מהאחים יקיים מצוות יבום.

כך שניתן לחשב עבור כל מהאפשרויות את התוחלת לקיום מצוות היבום, כך יתברר אם העדפתה של המשנה את האפשרות השנייה מוצדקת מבחינה הסתברותית.

הסברתי למעלה מדוע זה לא נכון, ואחזור שוב. הגמרא אומרת בפירוש מה השיקול שלה להעדיף את הדרך של המשנה וזה לא קשור להסתברויות. בדרך של המשנה ייתכן מצב שכולם ייבמו את האישה הנכונה (וייתכן שלא), בלי שום קשר להסתברות שזה יקרה. בדרך שבגמרא זה לא ייתכן, ולכן היא נפסלת. לא עושים כאן השוואת תוחלות של מספר ייבומים נכון בכך אחת מהדרכים. זה דומה למה שהגמרא בריש ב"מ אומרת "החלוקה יכולה להיות אמת".

בכל זאת עניין אותי לדעת מה התוחלת של כל אחת מהאפשרויות, אודה לך אם תוכל לכתוב החישוב

אם נוקטים בדרך של המשנה אזי כל אח מייבם אישה אחרת. כעת צריך להחליט מה השאלה ששואלים: כמה בממוצע ייבמו את האישה הנכונה או מה הסיכוי שכולם ייבמו נכון. אלו שאלות שונות. השאלה השנייה אינה רלוונטית להצעה של הגמרא כי שם הסיכוי לכך הוא 0.
לגבי השאלה הראשונה, במתווה של הגמרא התשובה היא כמובן 1. לגבי המשנה, התשובה אינה פשוטה (זו התפלגות של נקודות שבת). אם מעניין אותך, תוכלי לראות כאן:
https://he.wikipedia.org/wiki/%D7%91%D7%9C%D7%91%D7%95%D7%9C_(%D7%A7%D7%95%D7%9E%D7%91%D7%99%D7%A0%D7%98%D7%95%D7%A8%D7%99%D7%A7%D7%94)

בעצם לגבי התוחלת של הפגיעות התשובה היא כן פשוטה: 1.
ראי כאן הסבר: <a href="https://math.stackexchange.com/questions/783623/fixed-points-in-random-permutation&quot; rel="nofollow">https://math.stackexchange.com/questions/783623/fixed-points-in-random-permutation</a&gt;
שימי לב שזו התוצאה גם להצעה של הגמרא. זה כמובן מחזק את הטענה של הגמרא שרואה בשתי אלו אפשרויות שקולות, וההעדפה של המשנה היא רק בגלל שזה יכול להתקיים לגמרי.

המשך מהמייל:
בהמשך לדיון באתר, מצ"ב הגרף.
תוחלת מספר הייבומים בשני האפשרויות הוא 1. האם יש לך הבנה (מעבר לנימוק הגמרא) מה עומד בבסיס העדפת חז"ל את האפשרות המסופקת?

זהו הגרף:

https://drive.google.com/file/d/1EMdf2evwylsp4JNLMpFansrosyqag27a/view?usp=sharing

לא הסתכלתי בפרטים, אבל למה זה משנה? הגמרא הסבירה היטב את ההעדפה שלה. מעבר לזה, הגרף כאן אינו הגרף הרלוונטי, אלא הנגזרת (או גרף ההפרשים, במקרה דיסקרטי) שלו. הגרף הרלוונטי הוא כמה ייבומים לפחות יש בכל מצב (שזה השטח מתחת לגרף הזה). כך למשל הסיכוי לארבעה ייבומים הוא 0, אבל לא בגלל שאין מצב של ארבעה ייבומים אלא בגלל שאם ארבעה קלעו אז בהכרח גם החמישי קולע, ולכן אין מצב של ארבעה בדיוק. הגרף הרלוונטי הוא מונוטוני יורד כמובן.

תודה על ההערה. מבחירת חז"ל באפשרות המסופקת לעומת האפשרות הודאית, למרות שלשתיהן תוחלת שווה, לא ניתן להסיק כי הם מעדיפים סיכונים?

לא הבנתי. הם בחרו באפשרות שיכולה להיות מלאה אבל אין שם ודאות.

אולי התכוונת לומר שעדיף לפעול באופן שנשיג את הההישג המלא למרות שיש חשש שאף אחד מהם לא מייבם נכון על פני האפשרות שוודאי יהיה ייבום נכון אחד אבל אי אפשר שכולם יתייבמו נכון. זה ודאי קיים כאן.

גישה שמרנית יותר הייתה להסתפק בייבום אחד בודאות, מאשר הגישה המתירנית בה ביותר מ- 1/3 מהמקרים אין ייבום. משמע שגישת חז"ל היא לקיחת סיכונים.

בכדי לוודא את הערתך לגבי הגרף, אתה טוען שעדיף להציג את הגרף:

Σp(i)-Σp(i+1)
כאשר:
i = 0, 1, …, N-1
כאשר N הוא מספר הנשים

זוהי מסקנה גורפת מדיי.
לגבי הנוסחה, לא התכוונתי לזה. להיפך, הסיכוי שיהיו לפחות 3 ייבומים הוא הסכום שיהיו 3 , 4, ו-5. בגרף p(n) מתאר את הסיכוי ל-n מדויק ולא הסיכוי ללפחות n. זה לא מספר רלוונטי לדיון שלנו. ההפרש שאת כתבת כאן לדעתי לא נותן שום דבר רלוונטי.