עוד על היחס בין התיאוריה למציאות: משמעותן של הלוגיקה והמתמטיקה (טור 50)

בס”ד

בשני הטורים הקודמים עמדתי על היחס בין התיאוריה למציאות. ראינו שם שעיקר חשיבותה של תיאוריה היא במתן תובנות עקרוניות, לפעמים לא טריוויאליות, אבל השימוש בה זוקק זהירות רבה. התיאוריה היא אכן פשטנית מעצם טיבה, אבל זו לא האשמה. זה טיבן של תיאוריות, זו עוצמתן וזו גם חולשתן. ההאשמה בפשטנות רלוונטית ומוצדקת כשהיא מופנית כלפי מי שחושב שהתיאוריה מתארת אל נכון את המציאות וניתנת ליישום מעשי פשוט לגביה. הפשטנות היא התפיסה או ההנחה שהתיאוריה תפתור כל קושיות ובעיות. בטור זה ארחיב מעט את היריעה לגבי היחס בין הלוגיקה למציאות.

טיעונים וטענות: על לוגיקה ועובדות

תיאוריה היא מושג שמשמש בתחומי המדע, ועניינה הוא תיאור לכיד וקוהרנטי של העובדות במסגרת מושגית ולוגית אחת. כך התיאוריה של הגרביטציה מסבירה אוסף שלם של תופעות (גאות ושפל, מסלולי הכוכבים, נפילת עצמים לכדור הארץ) בכך שהיא מכניסה את כולן למסגרת מושגית ולוגית אחת: כל שני גופים בעלי מסה מושכים זה את זה בכוח שפרופורציוני למכפלת המסות ופרופורציוני הפוך לריבוע המרחק ביניהם. התיאוריה הזאת מצליחה להסביר את כל העובדות שהזכרתי למעלה (ועוד הרבה אחרות). אבל העובדה שיש לתיאוריה הזאת מבנה לוגי ושהיא משתמשת בשפת המתמטיקה, לא אומרת שמדובר בלוגיקה. הלוגיקה היא חסרת תוכן עובדתי מצד עצמה, שכן היא עוסקת בקשרים שונים בין העובדות ולא בעובדות עצמן. בעובדות עוסק המדע, ושם הלוגיקה והמתמטיקה הן לכל היותר שפות.

טיעון לוגי יכול לטעון את הדבר הבא: אם כל השולחנות הם בעלי רגליים, והעצם שלפניי הוא שולחן, כי אז לעצם שלפניי יש רגליים. הטיעון הזה לא אומר שלכל השולחנות יש רגליים, וגם לא שלעצם שלפניי יש רגליים. הוא רק טוען שיש קשר בין שתי הטענות הראשונות (ההנחות) לבין השלישית (המסקנה): היא  נובעת מהן בהכרח. כלומר אם הן נכונות אז בהכרח גם היא נכונה (לא ייתכן שהן נכונות והיא לא). בה במידה ניתן להעלות את הטיעון הלוגי הבא: אם כל השולחנות הם טובי לב, והכיסא שלידי הוא שולחן, כי אז הכיסא שלידי הוא טוב לב. שלוש הטענות שמשתתפות במסיבת התה המשוגעת הזאת שגויות כמובן, ועדיין הטיעון שהן מרכיבות הוא תקף, שכן המסקנה שלו נובעת בהכרח מההנחות (לא ניתן לקבל את ההנחות שלו ולדחות את המסקנה).

טענה עוסקת בעובדות ונבחנת במושגים של אמת ושקר. לעומת זאת, טיעון לוגי עוסק בקשר בין טענות, ונשפט במונחי תקף (=המסקנה שלו נובעת בהכרח מההנחות) ובטל (=לא תקף). כמעט אין קשר בין אמתיות ושקריות של טענות לבין תקפות או בטלות של טיעון שהן מרכיבות.[1] באמתיות ושקריות של טענות עוסק המדע (והתצפית בכלל), ואילו בתקפות ובטלות של טיעונים עוסקת הלוגיקה (והמתמטיקה. ראה להלן). לטיעון לוגי אין תוכן עובדתי. הוא ריק מתוכן עובדתי, שכן הוא עוסק רק בקשר בין עובדות ולא באמתיות והשקריות שלהן עצמן. טענות כאלה שריקות ממידע עובדתי ואמתותן נובעת מהמבנה הלוגי שלהן קרויות טאוטולוגיות. התוכן העובדתי מצוי בטענות שמרכיבות את הטיעון, וכאמור מי שעוסק בו הוא המדע.

המתמטיקה והחיים

הוכחה מתמטית היא טיעון לוגי. היא יוצאת מהנחות כלשהן (אקסיומות) ומראה שמי שמאמץ אותן לא יכול לדחות את המסקנה שמוכחת על בסיסן. לכן לפחות במובן הזה המתמטיקה שייכת ללוגיקה.[2] גם היא עוסקת בטיעונים שנכונים בהכרח, וגם הם נטולי תוכן מדעי. לכן מי שעוסק בה הוא לא המדען אלא המתמטיקאי. בהסתכלות הזאת, המשפט שסכום הזוויות במשולש הוא 180 מעלות, הוא נטול תוכן עובדתי. מה שהוא אומר אינו שהסכום הוא אכן 180, אלא שאם תאמצו את ההנחות של הגיאומטריה האוקלידית כי אז בהכרח עליכם לקבל את המסקנה שסכום הזוויות במשולש הוא 180. אתם יכולים להתכחש להנחות ובכך אתם פטורים מעולה של המסקנה.

עדיין יש לטיעון המתמטי הזה חשיבות מעשית רבה מאד. אם אכן נשתכנע שהאקסיומות של הגיאומטריה מתארות נכון את העולם שלנו, כי אז בהכרח יהיה עלינו להסיק שבכל משולש שנצייר בעולם הזה סכום הזוויות יהיה 180. כאן עברנו מהלוגיקה לחיים, שהרי כעת מדובר בטענות בעלות תוכן עובדתי. אבל חשוב להבין שלא למדנו את המסקנה הזאת מהלוגיקה בלבד. היה עלינו להשתכנע תחילה באמיתות ההנחות (האקסיומות), ורק הצירוף של האקסיומות עם ההיסק המתמטי-לוגי מביא אותנו למסקנה הנ”ל.

אם כן, אדם יכול להתכחש לכך שסכום הזוויות במשולש בעולם כלשהו הוא 180, אבל כדי להישאר עקבי לוגית יהיה עליו להתכחש גם לאחת לפחות מהאקסיומות של הגיאומטריה האוקלידית. ואכן במאה התשע-עשרה נוצרו גיאומטריות אחרות (לא אוקלידיות) שמניחות הנחות אחרות ועדיין שומרות על עקביות. במובן המתמטי-לוגי הן נכונות לא פחות מזו האוקלידית, אבל לשאלה מי מהן מתארת את העולם שלנו יש רק תשובה נכונה אחת. השאלה לגבי הנכונות, כמו גם התשובה, שייכת לפיסיקה ולא למתמטיקה או ללוגיקה. התצפית תכריע לגביה, והמתמטיקה לכל היותר תסייע לנו לתאר את הממצאים התצפיתיים שלנו. בשולי הדברים, מעניין לציין שבעקבות תורת היחסות הכללית של איינשטיין מתברר שהעולם שלנו דווקא לא ממש אוקלידי (אלא רק בקירוב. הסטייה מהמבנה האוקלידי שלו היא קטנה, ובד”כ זניחה לגמרי).

דוגמה לתפקידה של הלוגיקה במדע: הברירה הטבעית

אם נשוב כעת לדוגמה של הגרביטציה שנדונה למעלה, גם שם המתמטיקה היא השפה שבהם כותבים את התיאוריה. תיאורו של כוח המשיכה הגרביטציוני נתון בנוסחה מתמטית, אבל המקור ממנו שאבנו את המידע שהחוק הזה מתאר נכון את המציאות שלנו הוא התצפית ולא הלוגיקה או המתמטיקה. המתמטיקה היא רק השפה שבה אנחנו מנסחים את הממצאים האמפיריים הללו.

המסקנה היא שיש ממדים לוגיים מתמטיים בחשיבה שלנו על המציאות, אבל זה רק מרכיב אחד, הכרחי ולא מספיק, של תיאוריה מדעית. היא כמובן צריכה להיות עקבית לוגית, אבל העקביות, כמו גם הלוגיקה בכלל, לא אומרת שהיא נכונה. יש תיאוריות עקביות רבות, גם במקום שבו רק תיאוריה אחת היא נכונה (ראה דוגמת הגיאומטריות בסעיף הקודם).

הברירה הטבעית היא דוגמה טובה מאד לערבוב הזה. בספרי אלוהים משחק בקוביות טענתי שהברירה הטבעית היא טאוטולוגיה לוגית, כלומר טענה לוגית נכונה בהכרח וריקה ממידע עובדתי.[3] ניתן לגזור אותה אפריורי מההיגיון בלבד ללא צורך בתצפית. בשפה אחרת ניתן לומר שהיא ענף של המתמטיקה ולא של המדע. זו היתה אחת הטענות שעוררה הכי הרבה התנגדות וכעס אצל הקוראים, ועדיין אני עומד בתוקף על כך שהיא נכונה (בהכרח).

הברירה הטבעית בעצם אומרת את הדבר הבא: בהינתן כמה סוגי יצורים (מוטציות), חלק מהם ייכחדו בגלל אילוצים ונסיבות קשות. אלו שישרדו הם העמידים יותר בפני הנסיבות הללו. ומכאן: שאלו שיעברו לדור הבא יהיו העמידים (משוכללים, או מוצלחים) יותר. זהו עקרון הישרדות השרידים. אם משהו שרד אז ברור שהוא שריד, ולכן השריד שרד. אם היה משהו שלא שריד ושרד – אות הוא שהוא כן שריד (טעינו בהנחה). אם היה משהו שריד שלא שרד – המסקנה היא שהוא לא באמת שריד (טעינו בהנחה). אבל הטענה שהשריד שורד היא טאוטולוגיה, כלומר שייכת ללוגיקה ולא לפיסיקה. להלן אפרט זאת מעט יותר.

תפקידם של מבחני ההפרכה

הלוגיקה והמתמטיקה לעולם לא עומדות למבחני הפרכה אמפיריים. אף אחד לא יכול להפריך את הטיעון 2+3=5, או את הטיעון שבמרחב אוקלידי סכום הזוויות הוא 180 מעלות. לעומת זאת, תיאוריה מדעית אמורה לעמוד למבחני הפרכה. יתר על כן, היא מדעית רק אם עקרונית ניתן להעמיד אותה במבחנים כאלה. אם היא תעמוד בהם אז היא תיאוריה מדעית מאוששת (או לדעת הממעיטים: תיאוריה שטרם הופרכה), ואם לא – אז היא תיאוריה מדעית לא נכונה (תיאוריה שהופרכה).

כעת חשבו האם וכיצד ניתן להפריך את התיאוריה שסכום הזוויות במשולש הוא 180 מעלות? לכאורה התשובה פשוטה: עלינו לצייר משולש, למדוד את הזוויות ולסכם. אם קיבלנו 180 אוששנו את התיאוריה, ואם לא – הפרכנו אותה. מה יקרה אם נצייר משולש כזה ואכן נקבל שהסכום הוא 317 מעלות? התיאוריה הופרכה. אבל מדובר במתמטיקה (גיאומטריה) ולא במדע, אז איך אפשר להפריך אותה אמפירית? טעות. לא מדובר בגיאומטריה אלא בפיסיקה. לא הפרכנו את הטענה המתמטית שבמרחב אוקלידי סכום הזוויות במשולש הוא 180, אלא את הטענה הפיסיקלית שהחלל בעולם שלנו הוא אוקלידי. זו טענה בפיסיקה וככזו אין פלא שהיא צריכה לעמוד למבחני הפרכה.

פעם כשלימדתי מכניקה שאלתי את הסטודנטים האם הם יכולים להציע ניסוי שיעמיד את התיאוריה 2+3=5 למבחן הפרכה אמפירי. היו שענו: טול 2 תפוזים והכנס לקערה. טול עוד 3 והכנס גם אותם לקערה. כעת ספור את מספר התפוזים הכולל בקערה. אם קיבלת 5 – התיאוריה אוששה, ואם לא (למשל אם ספרת וקיבלת 8) – היא הופרכה. המסקנה היא שלכאורה התיאוריה 2+3=5 היא לא מתמטית אלא מדעית, שהרי היא עומדת להפרכה.

אלא שגם כאן מדובר בטעות. נסו לדמיין מצב (בלתי אפשרי לחלוטין כמובן) שעשיתם את הניסוי, ואכן אתם אמנם משפשפים עיניים בתדהמה אבל סופרים שוב ושוב 8 תפוזים בקערה. האם כעת תאמרו לעצמכם שצריך לפתח אריתמטיקה חדשה (כי הישנה הופרכה)? ברור שלא. אתם ודאי תחפשו מה קרה שם, אולי עוד מישהו הכניס תפוזים לסל. אולי כבר היו בו תפוזים ולא שמתם לב וכדומה (טעות בניסוי). נניח שלא תמצאו הסבר. יש מצלמה שעוקבת אחרי הקערה ורואים שהיא היתה ריקה ושאף אחד אחר לא ניגש אליה. מה אז? טוב, אפשר גם לומר שהמצלמה התקלקלה/הוחלפה וכדומה. שללנו גם את זה, מה נאמר אז? האם נוותר על התיאוריה 2+3=5. ודאי שלא. אנחנו נוותר לכל היותר על ההנחה הפיסיקלית שהוספת תפוזים לסל מתוארת/מיוצגת היטב על ידי חיבור אלגברי. ההנחה הזאת היא טענה פיסיקלית ולא מתמטית, וככזו היא עומדת למבחני הפרכה אמפיריים (כמו טבעו האוקלידי של העולם בדוגמה שלמעלה).[4]

הדיון עם הסטודנטים נערך כהקדמה ללימוד של חשבון הווקטורים, שהוא החשבון שמתאר הוספת כוחות, מהירויות, או תאוצות במכניקה. אמרתי לסטודנטים שם, טלו גוף נקודתי. הפעילו עליו כוח של 10 ניוטון (יחידת הכוח המקובלת במכניקה היא ניוטון) צפונה ועוד כוח של 10 ניוטון מזרחה. מה סך הכוח שפועל על הגוף? לא כולם ידעו את התשובה, אבל כולם הבינו שזה לא 20 ניוטון. התשובה היא 14 ומשהו (2√10). האם הפרכנו את החוק האריתמטי 10+10=20? בהחלט לא. הפרכנו את ההנחה הפיסיקלית שהוספת כוחות בפיסיקה מתוארת על ידי חיבורי אריתמטי. התיאור הנכון הוא חיבור ווקטורי.

המסקנה היא שהפיסיקה היא שמכריעה איזו לוגיקה או איזו מתמטיקה מתארת נכון את העולם. אין שום טענה על העולם שיש לה תוקף מתמטי. יש רק טיעונים מתמטיים או לוגיים שישימים לעולם: שאם הוא אוקלידי (כלומר מקיים את הנחות הגיאומטריה האוקלידית) אז סכום הזוויות במשולש שנצייר בו הוא 180. רק ה”אם-אז” הוא בעל תוקף לוגי וודאי, אבל המסקנה לעולם לא. השימוש בשפה המתמטית אין פירושו שמדובר במתמטיקה. גם הפיסיקה משתמשת בשפת המתמטיקה.[5]

בחזרה לברירה הטבעית

כעת נוכל לבחון האם ניתן להפריך את הברירה הטבעית. אם מדובר בתיאוריה מדעית היא אמורה לעמוד למבחני הפרכה אמפיריים. אמנם רבים טוענים שהיא אכן מדעית וניתנת לפריכה אמפירית, אבל אני לא השתכנעתי. נניח שעשינו את הניסוי הבא: לקחנו שני עצמים, A ו-B, כש-A שריד יותר מ-B. הנחנו אותם בסיטואציה נתונה זהה, וקיבלנו שדווקא B שרד ו-A נכחד. לכאורה הפרכנו את תיאוריית הברירה הטבעית (שהשריד יותר שורד). שוב טעות. מה שהפרכנו הוא את ההנחה ש-A יותר שריד מ-B (או באופן כללי יותר את הגדרת השרידות בה השתמשנו). אם A יותר שריד מ-B אז בהכרח הוא אמור לשרוד טוב ממנו (בנסיבות הנתונות הללו כמובן). ואם B שרד טוב יותר אז ברור שהוא גם השריד יותר.

המסקנה היא שכל עוד לא יצקנו תוכן במונח “שריד”, לא אמרנו מאומה מעבר לטאוטולוגיה לוגית. מה ששריד ישרוד ומה שלא לא. התיאוריה הזאת הופכת למדעית אך ורק כשהיא יוצקת תוכן קונקרטי (שניתן להפרכה אמפירית) במונח “שריד”. אם מישהו יטען שמי שבעל שרירים חזקים יותר הוא שריד יותר, כעת ניתן להעמיד את הברירה הטבעית למבחן אמפירי ולראות האם אכן התזה הזאת תופרך או תאושש. אם בעל השרירים החזקים יותר ייכחד אות הוא שהטענה ששרירים נותנים לי יותר שרידות אינה נכונה. אבל גם עתה השריד לעולם שורד, אלא שיש לעדכן את התוכן האמפירי שיצקנו במושג “שריד”.

אז מה החשיבות של תיאוריה טריביאלית כזאת אם היא לא ניתנת להפרכה? מדוע בכלל אמירות טאוטולוגיות כאלה מועילות לנו? מפני שהן נותנות לנו מסגרת תיאורטית שבה ניתן לחשוב, לחקור ולהתקדם. זה נעשה על ידי מבחני הפרכה. אחרי שהבנו את העיקרון האבולוציוני שהשריד שורד, כעת ניתן לשאול מהן תכונות שמועילות לשרידות ולבחון אמפירית את התשובות השונות (להעמיד אותן למבחני הפרכה). התובנה שנתנה לנו הטאוטולוגיה הזאת היא חשובה מאין כמוה. אבל צריך להיזהר מלראות אותה כטענה מדעית. בה במידה חשוב לא פחות לא לזהות את הטענות המדעיות עם הלוגיקה שביסודן.

חוק וונדרוולדה

אחת ממידות הדרש היא הקל וחומר. היסק של קל וחומר מופיע כמה פעמים גם במקרא עצמו. לדוגמה: “הן בני ישראל לא שמעו אלי ואיך ישמעני פרעה”, כלומר אם עם ישראל לא שומע לפרעה אז פרעה ודאי לא ישמע אליו. קל וחומר מבוסס על הנחה של יחס קולא וחומרא בין הלמד למלמד. ישראל אמורים להיות ממושמעים יותר מפרעה, ואם הם לא שומעים אל משה אז פרעה ודאי לא ישמע לו. אבל קל וחומר ניתן לפריכה על ידי העלאת שיקול נגדי. לדוגמה, טיעון שיסביר מדוע דווקא פרעה יכול להימצא צייתן יותר מעם ישראל מסיבה כלשהי. אם כן, קו”ח אינו טיעון לוגי, שכן אין לנו וודאות מלאה בתקפותו. ניתן לאמץ את ההנחות שלו ולדחות את המסקנה. כמובן שאם נאמץ את ההנחות שעם ישראל לא שמע בקול ה’, וגם את ההנחה שפרעה פחות צייתן מישראל, המסקנה שפרעה גם הוא לא יציית נובעת בהכרח. אבל ברור שההנחה שהוא פחות צייתן פתוחה לפרשנויות, שהרי ייתכן שבנסיבות מסוימות הוא דווקא יציית יותר.

בעלי הכללים עומדים על כך שיש סוג מיוחד של קו”ח שנקרא אצלם “בכלל מאתיים מנה”, כלומר קו”ח כמותי, שבו לא ניתן לפרוך את הקו”ח. אלו מקרים שבהם הלמד מוכל במלמד, ולכן שם המסקנה היא הכרחית. כך, לדוגמה, יש פסוק שעוסק בחיוב אדם על נזקי בורו ברשות הרבים: “כי יפתח איש בור או כי יכרה איש בור”. המכילתא דורשת מכאן “אם על הפתיחה חייב על הכרייה לא כל שכן”. כלומר די היה שהפסוק יכתוב חיוב על הפתיחה (הורדת כיסוי מבור מכוסה) ונלמד מכאן חיוב על הכרייה (חפירה שיוצרת את הבור). מדוע? לא רק מפני שפתיחה קלה מכרייה (כמו בקו”ח רגיל), אלא מפני שפתיחה כלולה בכרייה בבחינת בכלל מאתיים מנה (שני מנים כוללים בוודאות מנה אחד). אם יש חיוב על הפתיחה, אזי בהכרח יהיה חיוב על הכרייה לא כי הכרייה חמורה יותר  מפתיחה אלא מפני שבכל כרייה יש בפרט גם פתיחה (כשאנחנו כורים בור, כחלק מהתהליך הזה בפרט אנחנו גם מסירים את השכבה העליונה שמכסה אותו). לכן אפשר לחייב על הכרייה מצד הפתיחה שיש בה. זהו היסק הכרחי, שכן מה שמוטל על הפותח ודאי מוטל על הכורה כי כל כורה הוא בפרט גם פותח.

קל וחומר כזה נחשב על ידי כמה מבעלי הכללים כדדוקציה לוגית, כלומר כטיעון שלא ניתן להפרכה. לכן יש מהם שכתבו שאם יש דין שנלמד בקו”ח כזה ניתן לענוש את מי שעובר עליו, למרות שבהלכות שנלמדות מקו”ח רגיל לא עונשים (אין עונשין מן הדין). הסיבה לכך היא שלא עונשים בגלל החשש שמא יש פירכא,[6] אבל בקו”ח מטיפוס “בכלל מאתיים מנה” אין חשש לפירכא ולכן אפשר לענוש.

אבל מתברר שזה לא המצב. אמנם המבנה הלוגי הזה לא ניתן להפרכה, אבל כאשר מדובר על יישומים שלו בעולם הם פתאום כן ניתנים לפריכה. חיים פרלמן, פילוסוף יהודי בלגי של המשפט, מביא לכך את הדוגמה הבאה. היה בבלגיה חוק שקרוי חוק וונדרוולדה (שם של מקום). החוק אסר למכור בבתי מרזח כמות של שני ליטר יין. הסיבה לכך היא שהמחוקק רצה שהפועלים יביאו את משכורתם השבועית הביתה ולא יוציאו את הכסף בבית המרזח. והנה, בא פועל מתחכם למוזג וביקש ממנו לא פחות מעשרה ליטר יין. המוכר סירב בטענה שזה לא חוקי. העניין הגיע לבית המשפט, ולכאורה היינו מצפים שיד המוכר תהיה על העליונה. שימו לב שמדובר כאן בקו”ח של “בכלל מאתיים מנה”. כפי שראינו, לכאורה זוהי לוגיקה צרופה (דדוקציה): הרי מכירת עשרה ליטר היא בפרט מכירה של שני ליטר, אלא שמוכרים עוד שמונה ליטרים. וכי הוספת עוד שמונה ליטרים תתיר את מכירת שני הליטרים הראשונים?

אתם כבר יכולים לשער שלמרבה הפלא השופט הכריע לטובת הקונה. נימוקו היה שהחוק אמנם אוסר למכור שני ליטר כדי שהמשכורת תגיע הביתה, אבל החוק לא אוסר על אדם להשקיע את ממונו ביין למסחר. ברור שמותר לפועל להחליט שחוץ מעבודתו הרגילה הוא רוצה גם להיות סוחר יין (חוק יסוד חופש העיסוק). לכן קניית כמויות שמעבר למשכורת שבועית של פועל אינה אסורה.

מסקנות

הטיעון הזה אינו אלא פירכא על קו”ח מטיפוס “בכלל מאתיים מנה”. איך קורה נס כזה? כיצד ניתן לפרוך היסק לוגי תקף? התשובה היא שלא פרכו את הלוגיקה אלא את התוכן המשפטי שנוצק לתוכה. אמנם במישור הפיסי שני ליטר ודאי מוכלים בעשרה ליטרים, אבל משפטית לא. במישור המשפטי יש בשניים משהו שאין בעשרה. זוהי עוד דוגמה לכך שגם היסקים וטיעונים שנראים לנו לוגיקה צרופה, כאשר אנחנו באים ליישם אותם בעולם, הם מאבדים את וודאותם וההכרחיות הלוגית שלהם. המבנה הלוגי הוא כמובן חסין מטעויות ומפירכות, אבל יישומו בעולם כרוך בהנחות שמעבר ללוגיקה, והנחות אלו (שהן משפטיות או פיסיקליות) לעולם ניתנות לפריכה.

משמעות הדברים היא שהשימוש בלוגיקה ביחס לחיים ולמציאות תמיד מכיל עוד רכיבים מעבר ללוגיקה. הלוגיקה היא חלק הכרחי אך לא מספיק של התיאוריה המדעית ושל התובנות שלנו לגבי המציאות. המבנה הלוגי של התיאוריה מהלך עלינו קסם ונראה לנו הרמטי, וודאי ובלתי ניתן להכנעה. לא בכדי אנחנו מדברים על “מדעים מדויקים”. אך לא היא. הוודאות והמוחלטות אמנם מאפיינות את הלוגיקה בעולמות אפלטוניים מופשטים, אבל בחיים המצב לעולם מורכב יותר ופחות וודאי ונחרץ.

בשני הטורים הקודמים דיברתי על כך שהמציאות מגלה סרבנות ביחס לכל תיאוריה, מדעית או אחרת. כאן ראינו היבט מרחיק לכת הרבה יותר: המציאות מעיזה את פניה גם כלפי הלוגיקה והמתמטיקה, על אף שטיעוניהם נתפסים, ובצדק, כוודאיים. עצם היישום של הלוגיקה והמתמטיקה על המציאות די בו כדי להוציא אותן מכלל לוגיקה ולפגום בוודאות ובתקפות שלהן.

הוא אשר אמרנו: הלוגיקה היתה יכולה להיות מושלמת אם העובדות לא היו

[1] הקשר היחיד בין תקפות של טיעון לבין אמתיות של הטיעונים שמרכיבים אותו הוא הבא: אם הטיעון הוא תקף, אזי אם שתי הטענות הראשונות (ההנחות) אמתיות אזי בהכרח השלישית גם היא אמתית.

[2] זאת בלי להיכנס לשאלה הקונטרוברסלית האם ניתן להעמיד את המתמטיקה על הלוגיקה, שאלה ששנויה במחלוקות קשות במאה השנים האחרונות.

[3] ספרי שתי עגלות מוקדש כמעט כולו לקשר בין הוודאות לוואקום האינפורמטיבי.

[4] בספרי אלוהים משחק בקוביות התייחסתי לטענה הזאת כטאוטולוגיה פרקטית. סביר להניח ששום דבר לא יגרום לנו לחשוב שהוספת תפוזים לסל אינה מתוארת על ידי אריתמטיקה פשוטה. דומני שגם אם לא יימצא  הסבר נניח שקיים הסבר כזה שנעלם מאתנו. לעולם לא נסכים לוותר על ההנחה שהוספת תפוזים לקערה מתוארת על ידי חיבור אריתמטי, למרות שמדובר בהנחה פיסיקלית (כלומר הנחה שטוענת טענה על העולם, ולא רק קושרת בין טענות).

[5] זו נחשבת אחת החידות הפילוסופיות הגדולות מאז היווסדו של המדע המודרני. כיצד המתמטיקה שלא מתארת את העולם אלא את צורת החשיבה שלנו, נמצאת כלי מצוין לתאר את העולם עצמו. כיצד קרה הנס ש”היקום כתוב בשפת המתמטיקה”.

[6] ההסבר הזה לא מוסכם, ולדעתי הוא לא נכון. אבל כאן זו רק דוגמה.

42 תגובות בנושא “עוד על היחס בין התיאוריה למציאות: משמעותן של הלוגיקה והמתמטיקה (טור 50)

  1. אורן

    הנושא הזה הזכיר לי את הספר “דווקא החלשים שורדים” של ד”ר שרון מועלם. מסתבר שיש תופעות בטבע שמחלות וחיידקים משתמשים בנשא שלהם (בני אדם) כדי לעבור לדורות הבאים ע”י זה שהם מעניקים לו יתרון מסוים בהנחלת הגנים שלו הלאה. כך יוצא שבני אדם שיותר רגישים למחלות וחיידקים מסוימים (דהיינו “חלשים” יותר), דווקא יקבלו יתרון שרידותי על פני אלו שלא. זאת גם אחת מהסיבות שמחלות מסוימות שורדות לאורך זמן רב, למרות שלכאורה היה מצופה שתיאוריית ה”חזק שורד” תביא לכך שכל המחלות ייכחדו.

    1. מיכי מאת

      יש המון דוגמאות כאלה, ובספרי הבאתי אותן כדי להראות את אי הינתנותה להפרכה של הברירה הטבעית. תמידד כשמיו סותר אותה מסבירים שדווקא התכונה החלשה היא בעלת הערך השרידותי. אגב, אין לי טענה שהרי הדחיות הללו הן לגמרי נכונות. טאוטולוגיה חייבת לעבוד. היותה לא ניתנת להפרכה לא אומרת שהיא לא נכונה כמובן. במקרה זה ההיפך הוא הנכון: היא לא ניתנת להפרכה כי היא נכונה בהכרח (ולכן לעולם לא תופרך. כמו משפט מתמטי).

  2. אילון

    טיעון לא תקף הוא גם סוג של טענה לא נכונה.לא נכון שטענות מסוימות גוררות טענה מסוימת אחרת.זאת משום שטעיון הוא סוג של טענה על טענות.לנו יש תחושה אינטואיטיבית שטיעון לא תקף הוא לא נכון. כלומר העולם מולו נבחנת הטענה הזו על הטענות המסוימות האלו נמצא בתודעה שלנו.לא בחוץ .אבל גם זה חלק מהעולם הגדול (החיצוני לנו + הפנימי (התודעה))

    1. מיכי מאת

      אילון, זו סמנטיקה. ברור שאפשר להפוך כל טיעון לטענה. לדוגמה, הטיעון:
      הנחה א: A
      הנחה ב: B
      מסקנה: C
      ניתן להיכתב כטענה מורכבת: (A וגם B ) גורר C.
      אבל אם יש קשר לוגי תקף בין A ו-B ל-C הטענה המורכבת היא טאוטולוגיה.

    2. אילון

      וודאי.זו אכן סמנטיקה.אבל זה קצת צורם את אזניי לומר שטאוטולוגיות אינן אמיתות.הן אמיתות טריוויאליות.גם בין המתמטיקאים קוראים להן ככה (אמיתיות בכל עולם).אני יודע שהרב לא כ”כ מחשיב את דעתם (ודקדקנותם) בעניין זה ,אבל אני לא חושב שהשפה פה היא מקרית.אגב ,שים לב שניתן לראות את דמיון הטאוטולוגיות
      (י בשורוק) שבטיעון של מודוס פוננס לזה של שרידות השורד , אם ננסח אותו כטענה בתוך השפה ,כלומר

      ((A גורר את B) וגם A ) גורר את B.

      אזי אם נשים לב מדוע זו טאוטולוגיה נראה שזה נובע מאופי קשר הגרירה.מה שהטיעון הזה בעצם אומר הוא שאם A גורר את B אז A יגרור (גורר) את B.שזה בעצם מופע של A גורר את A.שהוא אומר (במטא שפה) שאם A נכון אזי A נכון.

  3. עוזיה

    הברירה הטבעית אינה טאוטולוגיה באופן שאתה מציג אותה, כי יש בה טענה עובדתית על העולם: ישנם משאבים מוגבלים. בלי טענה זו (שמכיוון שהיא עובדתית היא ברת-הפרכה), אין שום משמעות לשאלת השרידות. שישרדו כולם ויהנו.
    חידושו של דרוין הוא (בין השאר) ראיה כזו של העולם, ולא למשל תמונת עולם הטבע של “ברכי נפשי”, שיש בה מספיק לכולם.
    את ספרך (אלוהים משחק בקוביות) קראתי ולמיטב זכרוני גם שם לא התייחסת לכך.

  4. מיכי מאת

    עוזיה,
    אכן ההנחה היא שיש אילוצים (אתגרים), אבל אם זה תוכנה האמפירי של התיאוריה אז מדובר בתוכן אמפירי מאד בנאלי. בה במידה יכולת לומר שיש בתיאוריה הזאת הנחה שקיים משהו בעולם. גם זו הנחה עובדתית שמוציאה אותה מכלל טאוטולוגיה, אבל היא בנאלית. לא בזה עסקינן.
    מעבר לזה, בניסוח מדויק יותר הברירה הטבעית בעצם אומרת: שאם רק מישהו אחד (או רק חלק) שורד זה יהיה החזק (השריד). או נכון יותר, אם מישהו נכחד זה החלש.

    1. עוזיה

      זה לא בנאלי בכלל, ולכן הבאתי את הדוגמה של ברכי נפשי. תמונת העולם של בני האדם במשך כל הדורות היתה בדיוק כזו. גם היום, המבט האינטואיטיבי שלנו על הטבע הוא שכל חיה מקבלת בסך הכל מה שהיא צריכה ויש הרמוניה מופלאה.
      לטעון שזה לא כך הוא הברקה מהפכנית, שהופכת את נקודת המבט וכעת מאפשרת טאוטולוגיות כמו הברירה הטבעית.
      אם יש בנאליות בטענה, היא בנאליות מהסוג המאפיין גאונות – טענה שאחרי שאומרים אותה היא טריוויאלית, אבל אף אחד לא חשב עליה קודם.

    2. הברירה התובענית וברירת ברוריה

      בס”ד כ”ח בטבת ע”ז

      לא כולם שורדים ב’ברכי נפשי’ (תהלים קד). יש הפסד: ‘תסף רוחם יגועון ואל עפרם ישובון’, ויש התהוות: ‘תשלח רוחך יבראון ותחדש פני אדמה’.

      לא בהכרח שהחזק דווקא הוא השורד. אף הכפירים השואגים לטרף נזקקים ‘לבקש מא-ל אכלם’, ומבני האדם נדרש יותר מזה: לא רק לבקש ולהתפלל אלא גם לפעול ולעבוד: ‘יצא אדם לפעלו ולעבדתו עדי ערב’, ולשמור את דרכי ה’ כדי שלא יהיו ח”ו בגזירת ‘יתמו חטאים מן הארץ ורשעים עוד אינם’. וכייעודו בעולמו: ‘לעבדה ולשמרה’

      והטובה ביותר היא ברירתה של ברוריה, המאפשרת לאדם ליצור בעצמו ‘מוטציה’ משפרת, המוציאה את העולם מהמעגליות של טורפים ונטרפים אל עולם הרמוני שבו ‘ייתמו חטאים ולא חוטאים’!

      בברכה, ש.צ. לוינגר

    3. מקפיטליזם לאבולוציה - תחרות המטיבה עם כולם וסייגיה

      תיאוריית האבולוציה לא צמחה בחלל ריק. היא באה כתוצאה מנסיון האנושות במאות השנים שמתקופת הרנסאנס על למאה ה-19, בהן התברר שהעולם אינו סטטי, אלא מתפתח ומשתכלל, רעיונות חדשים ותגליות חדשות מעשירים את הידע והרווחה של האנושות.

      בהמשך התחדשה התובנה שהתעשרות האדם והאומה אינה באה על חשבון המשאבים המוגבלים. אלא להיפך, השאיפה להתעשר מביאה את האדם הנמרץ לפתח את העולם. הוא מביא ממרחק חומרי גלם חדשים, מפתח שיטות עבודה יעילות וחסכוניות ונותן תעסוקה ליותר עובדים. התחרות החופשית מביאה גם את האחרים לצורך להשתכלל להתחדש ולהתפתח, והעולם כולו מתפתח.

      מה שעשה דרווין הוא להשליך תופעה זו גם לעולם החי והצומח, ולטעון שהתחרות המתמדת מחייבת את כל ה’מתחרים’ להתפתח ולהשתכלל כדי להמשיך ולהתקיים, כי ‘כשלא עולים – יורדים’..

      וכמו בעולם האנושי, גם בטבע – ההצלחה לא תלויה בכוח בלבד, אלא במידה שהתגברות הכוח לא תערער את האיזון שבטבע. הרי אם האריה יטרוף את כל הזברות והאנטילופות, ואם הן יכלו את כל העשב – הרי כולם יגוועו ברעב. הניצחון של החזק תלוי בשמירת מרחב מחיה נאות גם לחלש ממנו, וכך ניתן לכולם להתקיים ולהשתכלל.

      ומכאן יש לחזור אל האנושות, ולטעון שאכן התחרות החופשית מטיבה עם כולם, אך כשם שהתחרותיות מגדילה ב’סופו של יום’ את העושר והרווחה החומרית – כך צריכה לבוא תחרותיות בהשגת ערכי מוסר ושכלולם, וככל שנשאף להיות טובים יותר, נטפח בעולם ‘קנאת סופרים’ שבה ישאף כל אחד להוכיח את עצמו ברגשות ומעשים טובים יותר, ו’בסופו של יום’ נהיה כולנו טובים יותר!.

      בברכה, ש.צ. לוינגר

    4. 'ברכי נפשי' המסודר (קד) ו'ברכי נפשי' הסוער (ג)

      בס”ד ב’ בשבט ע”ז

      מזמור קד הוא ביאור ופירוט סיפור הבריאה שבתורה, כפי סדר ששת ימי המעשה.

      החל ביום הראשון: ‘עטה אור כשלמה’; המשך ביום השני: ‘נוטה שמים כיריעה המקרה במים עליותיו…’. מקום מרכזי ניתן ליום השלישי, שבו ‘יסד ארץ על מכוניה’ ןהמים נסים מפני גערת ה’ ‘אל מקום זה יסדת להם גבול שמת בל יעברון בל ישבון לכסות הארץ’. ועם זאת ניתן למים לבוא לתחום הארץ לברכה, להשקות את הארץ ויושביה – פראים ועוף השמים, בהמות ואנשים.

      הדברים הגדולים שבארץ, אינם עניין לעצמם, אלא לתת מחסה לקטנים ולחלשים מהם: ארזים וברושים – לצפרים ולחסידות; הרים הגבוהים ליעלים וסלעים מחסה לשפנים. אף למאורות הגדולים שנבראו ביום הרביעי, אין ערך עצמי.. תכליתו של הירח – למועדים; השמש הבאה אחר הירח, נועדה לסמן את חילופי המשמרות בין הכפירים המבקשים את מזונם בלילה, ובין האדם היוצאת לעבודתו ביום.

      אף בים הגדול ורחב הידים יש מקום לכולם. ‘שם רמש ואין מספר חיות קטנות עם גדלות’. לבני אדם יש ייצוג בים, ‘שם אניות יהלכון’. וגם בממלכת היום אין יתרון ללויתן האימתני, שאינו אלא כלי משחק בידי בוראו.

      קטון וגדול שוים לפני ה’. ‘כלם אליך ישברון לתת אכלם בעתו’. כולם חלים ונבהלים מהסתרת פני בוראם, וכולם נבראים מחדש ברצונו. באותה הרמוניה אלקית העשויה בחכמה, אין מקום למפירי הסדר האלקי, ‘יתמו חטאים מן הארץ ורשעים עוד אינם’, כהדרכת החכמה: ‘הנפש החוטאת…’. זה סדרו של עולם.

      אך’תשובה קדמה לעולם’, ול’ברכי נפשי’ שבמזמור קד, קודם ‘ברכי נפשי’ שבמזמור קג, העומד כולו בסימן של סערת נפילה וקימה, האדם חוטא ונופל, נעשק על ידי חטאו, אך ה’ הודיע למשה דרכי חסדו, שהוא ‘רחום וחנון ארך אפים ורב חסד’. דוקא הכרת חולשתו ואפסתו של האדם ‘כי הוא ידע יצרנו זכור כי עפר אנחנו’, ממביאה את ה’ לעשות חסד עם האדם, ולסלוח לו על חטאיו, לרפא כל תחלואיו, לגאול משחת חייו ולעטרו חסד ורחמים.

      בעל התשובה זוכה לברך את בוראו, יחד עם ‘מלאכיו גבורי כח עשי דברו’, יחד עם ‘צבאיו עשי רצונו’ ויחד עם ‘כל מעשיו בכל מקמות ממשלתו’. שהרי גילה האדם את גבורתו להתגבר על נפילתו ולהעלות את עצמו מבירא עמיקתא לאיגרא רמא.

      בברכה, ש.צ. לוינגר

  5. מיכי מאת

    עוזיה היקר, אני לא מצליח להבין מה לא ברור כאן, אבל אסביר שוב.
    כל אחד מבין שיצורים נכחדים, גם מחמת אילוצים וגם מחמת חוסר משאבים. הבינו זאת מאז ומעולם, ושום מזמור של ברכי נפשי לא אומר ולא חלם לומר אחרת. וכי היה מישהו אי פעם שחשב שאין יצורים שנכחדים בגלל בעיות? אלו דברי הבל במחילה. לא זה חידושו של דרווין. בשביל החידוש הקטנטן הזה שכל דרדק מבין לא צריך מהפכות מדעיות ומוחות גאוניים.
    לעומת זאת, אתה בהחלט צודק, וכך גם כתבתי לא פעם (וגם בספרי), שלפעמים טאוטולוגיה היא גאונית. כל משפט מתמטי הוא טאוטולוגיה והוא גאוני. בנוסף, אתה גם צודק שיש טאוטולוגיות שאחרי שהן נאמרות הן נראות מובנות מאליהן (מה שלא נכון לרוב המשפטים המתמטיים) אבל קשה לעלות עליהן. בהחלט נכון. אז מה? וכי אמרתי משהו אחר?
    לא אמרתי שדרווין לא היה גאון וגם לא אמרתי שהוא לא חידש כלום. אני אומר את היפוכן של שתי הטענות. טענתי היא משהו אחר לגמרי: מדובר בטענה שלא ניתנת להפרכה, כלומר בטאוטולוגיה. הא ותו לא. הברירה הטבעית היא טאוטולוגיה בדיוק כמו השערת פרמה, ובדיוק כמותה אחרי שהוכחה היא טאוטולוגיה ועדיין צריך להיות גאון כדי לנסח ובוודאי כדי להוכיח אותה.

    1. עוזיה

      את דבריך על הגאוניות שבטאוטולוגיה הבנתי מהספר (ומהאשכול שהקדים אותו בעצכ”ח).
      אני טוען שמה שאתה סבור ש”כל אחד מבין”, דווקא ממש לא הבינו, ושמזמור ברכי נפשי ודומיו חלם וגם אמר אחרת. דוגמה מהשרוול, יש ראשונים שטענו שהקב”ה משגיח על בעלי חיים “קיום המין”. היה להם פשוט שגם אם עכביש או ציפור מתים או נטרפים, בסך הכל מישהו שם למעלה דואג לכלליות המין ולכן לכולם טוב בסופו של דבר.

    2. מיכי מאת

      מה זה משנה אם הוא נטרף לטובת המין או מכל סיבה אחרת. אם צריך שייטרף אחד לטובת המין אז זה אומר שלא יכול כל המין לשרוד. אף אחד בעולם ומעולם לא הכחיש שיצורים לא שורדים מסיבות שונות, בין אם ברכי נפשי ובין אם לאו. אני ממש לא מבין מה לא ברור ומה אתה טוען. מבחינתי זה ממש סינית.

    3. עוזיה

      (אני מגיב כאן כי אין אפשרות להוסיף תגובה למטה)
      לא ברור לי מה לא מובן. תמיד ראו זברה נטרפת או עכביש נרמס, אבל היה ברור שבאופן בסיסי “לא צריך לדחוף, יש מספיק לכולם”. יהיה מספיק גזר גם לארנבות וגם לפילים, ומספיק זברות גם בשביל האריות וגם בשביל התנינים, וגם בשביל שיישאר עודף. נכון שהזברה הצולעת תיטרף ראשונה, אבל לא יעלה על הדעת שקיומן של כל הזברות אינו מובן מאליו.
      זו לא תמונת העולם האינטואיטיבית של כולנו?
      התפיסה הייתה שהמינים קבועים מששת ימי בראשית, ובכלל לא שייך לדבר על האפשרות שהם מתחרים זה בזה על משאבים מוגבלים. מי שברא אותם ידאג לזון אותם, מקרני ראמים ועד ביצי כינים.
      החידוש הבכלל-לא-טריוויאלי הוא שזה לא ככה, אלא באופן מהותי אין מספיק לכולם, ומי שידחוף יקבל ומי שלא ידחוף יעלם. הזברות לא רק מתחרות בינן לבין עצמן (מי רצה יותר מהר ותינצל ומי תפגר מאחור ותיטרף), אלא *כל* בעלי החיים בעצם מתחרים זה עם זה על משאבים מוגבלים.
      עכשיו זה יותר ברור?

    4. מיכי מאת

      ממש לא ברור יותר. אבל אני מתחיל להתייאש. אנסה פעם אחרונה ואם זה לא יילך אני מציע שניפרד כידידים.
      יש יצורים שנכחדים. זה ברור לכל אחד מששת ימי בראשית. ההיכחדות יכולה להתרחש מכל מיני סיבות: חוסר במשאבים, טריפה, אסונות טבע וכדומה. לאבולוציה ממש לא משנה מדוע נכחדים, רק חשוב שנכחדים מסיבה כלשהי. הסיבה המכחידה יש לה מאפיינים מסוימים, ומי שעמיד בפניה לא ייכחד. מי שלא – ייכחד. זו הברירה הטבעית וכל השאר ממש לא חשוב. וזה היה ידוע מאז ומעולם. מה שדרווין שם לב הוא שההיכחדות הזאת יכולה להביא לשינויים מונוטוניים וכיווניים, וכך החיים יכולים להתפתח. זה ורק זה חידושו. שום קשר למשאבים מתכלים, ברכי נפשי ושאר ירקות. אין שום בדל קשר.

    5. מיכי מאת

      עוזיה כתב (בטעות נכתב למעלה):
      גם אני התייאשתי. אבל כדי שניפרד לא רק כידידים אלא מתוך דבר הלכה, אפנה את כת”ר לעיין מעט בפרק השלישי של מוצא המינים, שם ניתן לראות כיצד מרן זיע”א עצמו מציע את חידושו, ומהו בדל הקשר לברכי נפשי ושאר הירקות האמורים בפרשה.

      ואנוכי הקטן עניתי:
      וכדי שלא להשאיר הגיליון חלק ולגודל חביבותיה דמר, רק אוסיף שדבריי אינם תלויים במש”כ הדר”ג רשכבה”ג זצ”ל בפ”ג מספרו, שכן מה שחשוב הוא לא מה דרווין חשב שהוא מחדש אלא מה הוא באמת חידש. את זה שיש משאבים מוגבלים ושיש בע”ח שנכחדים מסיבות שונות – לא הוא חידש, דזיל קרי בי רב הוא. אני בטוח שכבר בחיידר של ר”ע כל הילדים שסביבו ידעו זאת.

  6. ישראל

    שלו’ ותודה על הטורים המעניינים.
    התוכל להרחיב בביאור מה שכתבת : [5] זו נחשבת אחת החידות הפילוסופיות הגדולות מאז היווסדו של המדע המודרני. כיצד המתמטיקה שלא מתארת את העולם אלא את צורת החשיבה שלנו, נמצאת כלי מצוין לתאר את העולם עצמו. כיצד קרה הנס ש”היקום כתוב בשפת המתמטיקה”.
    לכאורה איני רואה מה נס יש באפשרתנו לתאר את העולם במילים וביחסים.
    אם נס יש כאן אולי הוא נמצא בתבונת האדם היכולה לתפוס דברים גשמיים באופן מופשט.

    1. מיכי מאת

      גליליאו כבר התפעל מזה שספר הטבע/היקום כתוב בשפת המתמטיקה.
      ראשית, זה בהחלט פלא שאנחנו יכולים לתאר את העולם במילים וביחסים. בהחלט יכול היה להיות מצב שלא היו לנו הכלים לעשות זאת (כמו שנמלים כנראה לא מצליחות לעשות זאת). שנית אנחנו מצליחים להשתמש במתמטיקה ביעילות מפליאה. הדבר דורש אריכות רבה, ואולי אכתוב על כך פעם. בינתיים ראה לדוגמה כאן: http://www.sciam.co.il/archive/archives/4647

  7. אתולוגיקה

    אם יורשה לי, אשנה מעט את אחת מפסקאות המפתח בדבריך (זאת שפותחת במילים “הברירה הטבעית בעצם אומרת את הדבר הבא”):

    תורת היחסות בעצם אומרת את הדבר הבא: בהינתן כמה גופים בעלי מסה, הם יעקמו את מרחב החלל-זמן באופן פרופורציונלי למסה שלהם. העקמומיות של מרחב החלל-זמן תגביל לכיוונים מסוימים בלבד את התנועה של גופים בחלל-זמן. ומכאן: שגופים שינועו בחלל-זמן יוכלו לנוע רק בכיוונים מסוימים בלבד. זהו עקרון הגבלת התנועה המוגבלת. אם משהו מוגבל בכיווני תנועתו אז ברור שכיווני תנועתו מוגבלים, ולכן המוגבל בכיווני תנועתו תנועתו מוגבלת. אם היה משהו שלא מוגבל בתנועתו ותנועתו מוגבלת – אות הוא שהוא אכן מוגבל בתנועתו (טעינו בהנחה). אם היה משהו מוגבל בתנועתו שתנועתו לא מוגבלת – המסקנה היא שהוא לא באמת מוגבל בתנועתו (טעינו בהנחה). אבל הטענה שהמוגבל בתנועתו תנועתו מוגבלת היא טאוטולוגיה, כלומר שייכת ללוגיקה ולא לפיסיקה. ולכן, תורת היחסות היא טאוטולוגיה (לוגית, פרקטית או כל מובן אחר שבא לך לחשוב עליו).

    יצוין שאני די בטוח שביכולתי לעשות שינויים אנלוגיים לפסקה הזאת לכל תיאוריה מדעית שאני מכיר. האם תורת היחסות היא טאוטולוגיה (במובן כלשהו)? לחילופין, אולי האבסורד לעיל רומז בחוזקה שעשית טעות איפשהו? או שמה, אני עשיתי טעות איפשהו בדוגמא לעיל? מה דעתך?

    1. מיכי מאת

      שלום רב. דעתי היא שאתה עשית טעות איפשהו, ואסביר לך בקצרה היכן.

      ההבדל ה”קטן” בין הדוגמה שלך (תורת היחסות) לטענה שלי על הברירה הטבעית הוא שהטענות היסודיות של תורת היחסות אינן טאוטולוגיות. אתה כמובן יכול להניח אותה ואז היא תצא כטאוטולוגיה. לעומת זאת, הברירה הטבעית בעצמה היא טאוטולוגיה. דומני שההבדל הזה לא ממש מסובך, אבל בכל זאת אפרט.

      תורת היחסות קובעת את המשפט: (א) הימצאות מסה מעקמת את המרחב.
      הברירה הטבעית קובעת את המשפט: (ב) השריד שורד.
      המשפט הראשון הוא משפט מלא תוכן אמפירי, והוא כמובן רחוק שנות אור מלהיות טאוטולוגי. לעומת זאת, השני הוא טאוטולוגיה פשוטה שנובעת מתוך משמעות מושגיה.

      כמובן שאחרי שתניח שהימצאות מסה אכן מעקמת את המרחב (כפי שעשית בדוגמה שלך) – המסקנה שהמרחב עקום או שהתנועה בו מוגבלת הופכת להיות טאוטולוגיה. אז מה? גם אם תניח שכל המסות נופלות לארץ אז המסקנה שמסה כלשהי תיפול לארץ היא טאוטולוגיה. וכך גם אם תניח שכל הצפרדעים הן טובות לב תוכל לגזור זאת באופן טאוטולוגי. אם אתה מניח X אז X הוא טאוטולוגי (שהרי X גורר X הוא טאוטולוגיה).
      אבל מה לשטות הזאת ולמה שכתבתי לגבי הברירה הטבעית? הטאוטולוגיות של הברירה הטבעית לא נובעת מכך שמניחים אותה וגוזרים אותה מעצמה. מה שטענתי הוא שהקביעה היסודית שלה עצמה (משפט ב) היא טאוטולוגיה.
      ומזווית אחרת: כדי לקבוע את תורת היחסות נדרשנו לתצפיות. גם אחרי שמישהו לומד אותה היא ממש לא מובנת. לעומת זאת, את הברירה הטבעית אני יכול ללמד כל חייזר ברגע אחד אפריורית, בלי להראות לו מאומה במישור האמפירי. וכמובן כוונתי רק לרכיב של הברירה הטבעית מתוך התמונה הניאו-דרוויניסטית (לא הגנטיקה או היווצרות המוטציות שגם הם רכיבים נדרשים בה).
      שוב אבהיר שאין בכוונתי לטעון שאין בתזה של הברירה הטבעית תועלת, או שהיא לא חכמה. טענתי היחידה היא שמדובר בטאוטולוגיה, אם כי בהחלט מאירת עיניים וחכמה מאד.

    2. אתולוגיקה

      שלום מיכי.

      אם כך, כל מה שעלי לעשות הוא להזים את הטענה שהברירה הטבעית היא טענה מסוג “השריד שורד”, ואז תסכים שהברירה הטבעית אינה טאוטולוגיה (לוגית)? במילים אחרות, עלי להראות שהדבר שאתה מתאר כ”הברירה הטבעית” אינו הדבר שביולוגים אבולוציוניים מדברים עליו כשהם מדברים על “הברירה הטבעית”, ומה שהם מתארים אינו טאוטולוגיה (לוגית)?

      test

    3. אלחנן

      נראה לי שצריך לחדד את עניין “השריד שורד”. האבולוציה אומרת שתכונה מסוימת תגרום לנושא שלה לייצר יותר צאצאים שיגיעו לבגרות וייצרו צאצאים משל עצמם, ומי שמתרבה יותר ומת פחות ישרוד יותר ממי שמתרבה פחות או מת יותר. זה טאוטולוגיה כי לא ניתן לחשוב על עולם שבו זה לא יהיה המצב. אבל יש טענה אחרת חשובה שהיא ודאי לא טאוטולוגית, והיא נקראת עץ החיים, אבל זה יותר ארכאולוגיה מביולוגיה.

    4. מיכי מאת

      אתולוגיקה,
      אכן, זה מה שתצטרך לעשות (אבל להערכתי לא תצליח, יען כי זו בדיוק ההגדרה לברירה טבעית במילים אלו או אחרות בכל מקום, מדרווין עצמו ועד ימינו).
      אבל לא כאן המקום להיכנס לפרטי הדיון הזה. הברירה הטבעית היתה כאן רק דוגמה צדדית לטאוטולוגיה (מעבר לזה, דומני שכבר ניהלנו פעם את הוויכוח הזה).

      אלחנן,
      יש עוד הרבה טענות שאינן טאוטולוגיה. אבל כאן עסקתי רק בברירה הטבעית.

    5. אתולוגיקה

      שלום שוב, מיכי.

      לדעתי, לא רק שאני יכול להראות שהברירה הטבעית אינה טאוטולוגיה מהצורה “השריד שורד”, אלא שזה די קל.

      להלן תיאור (מעתה ואילך “התיאור”) בסיסי של הברירה הטבעית מתוך ספר מבוא די סטנדרטי בביולוגיה אבולוציונית (Evolution של Ridley, מהדורה שלישית, פרק 4.2). בבקשה קרא אותו בעיון.

      Natural selection is easiest to understand, in the abstract, as a logical argument, leading from premises to conclusion. The argument, in its most general form, requires four conditions:

      1. Reproduction. Entities must reproduce to form a new generation.

      2. Heredity. The offspring must tend to resemble their parents: roughly speaking, “like must produce like.”

      3. Variation in individual characters among the members of the population. […]

      4. Variation in the fitness of organisms according to the state they have for a heritable character. In evolutionary theory, fitness is a technical term, meaning the average number of offspring left by an individual relative to the number of offspring left by an average member of the population. This condition therefore means that individuals in the population with some characters must be more likely to reproduce (i.e., have higher fitness) than others. […]

      If these conditions are met for any property of a species, natural selection automatically results. And if any are not, it does not. […] But when the four conditions apply, the entities with the property conferring higher fitness will leave more offspring, and the frequency of that type of entity will increase in the population.

      הברירה הטבעית מתוארת כאן כמנגנון שגורם לשינוי אבולוציוני – ארבעה תנאים שאם הם מתקיימים יתרחש שינוי בתדירות של תכונות בקרב אוכלוסיה לאורך דורות של צאצאים.

      נשווה בין התיאור הזה לתיאור שלך לברירה הטבעית. התיאור שלך התחיל כך:

      הברירה הטבעית בעצם אומרת את הדבר הבא: בהינתן כמה סוגי יצורים (מוטציות), חלק מהם ייכחדו בגלל אילוצים ונסיבות קשות. אלו שישרדו הם העמידים יותר בפני הנסיבות הללו. ומכאן: שאלו שיעברו לדור הבא יהיו העמידים (משוכללים, או מוצלחים) יותר. זהו עקרון הישרדות השרידים.

      אתה מתאר את התוצאה של הברירה הטבעית במונחים של “שרידות”, “היכחדות” ו”עמידות”. הניסוח שלך הוא באמת “השריד שורד”, אבל הוא מעשה ידיך. הוא לא מופיע בתיאור לעיל. שם התוצאה של התהליך היא שינוי בתדירות של תכונות באוכלוסיה. התוצאה נגרמת, בין השאר, בשל שונות בכשירות (fitness). הכשירות לא מוגדרת על ידי “שינוי בתדירות של תכונה באוכלוסיה”. התוצאה מובחנת היטב מהסיבה, הגם שנגררת ממנה לוגית. זאת לא טענה מסוג “השריד שורד”, לא סמנטית ולא לוגית.

      מכל זה ברור שאם נמשיך לדבר על הטאוטולוגיות של הברירה הטבעית, חובה עלינו לנסות לתרגם את הטענות שלך לשפה שביולוג אבולוציוני יזהה כמדברות על הברירה הטבעית. אתה טענת:

      (1′) אם משהו שרד אז ברור שהוא שריד, ולכן השריד שרד.
      (2′) אם היה משהו שלא שריד ושרד – אות הוא שהוא כן שריד (טעינו בהנחה).
      (3′) אם היה משהו שריד שלא שרד – המסקנה היא שהוא לא באמת שריד (טעינו בהנחה).

      ובתרגום למונחים המתאימים נקבל:

      (1) אם גדלה תדירותה של תכונה כלשהי באוכלוסיה – אזי ברור שהתכונה מקנה כשירות גבוהה יותר לפרטים שאוחזים בה לעומת אלו שלא אוחזים בה.
      (2) אם גדלה תדירותה באוכלוסיה של תכונה שמקנה לפרטים האוחזים בה כשירות נמוכה יותר מכשירותם של פרטים שלא אוחזים בה – אות הוא שהתכונה הזאת מעלה את הכשירות של פרטים באוכלוסיה.
      (3) אם קטנה תדירותה באוכלוסיה של תכונה שמקנה לפרטים האוחזים בה כשירות גבוהה יותר מכשירותם של פרטים שלא אוחזים בה – המסקנה היא שהתכונה הזאת מורידה את הכשירות של פרטים באוכלוסיה.

      לאוזני ביולוגים אבולוציוניים – טענות (1), (2) ו(3) נשמעות מוזרות לחלוטין. הן לא נובעות מהתיאור לעיל ולא רמוזות בו. יותר מזה, מי שבקי בביולוגיה אבולוציונית יודע שטענות (1), (2) ו(3) שגויות עובדתיות – הן ידועות כלא נכונות. הסיבות לכך נסקרות בספר ממנו הבאתי את התיאור. אתה מוזמן לעיין בו. יש שם פרקים שלמים שמוקדשים לכך. בכל מקרה, אפשר לומר הרבה דברים על התיאור הזה. לומר שהוא טיעון מסוג “השריד שורד” – לא אחד מהם.

      כל זה מוביל לשאלה שכה עניינה אותך. מה בדיוק החידוש של הברירה הטבעית? התיאור לעיל הוא ניסוח לוגי, במילים, של הברירה הטבעית – מנגנון שמסוגל ליצור שינוי אבולוציוני, שינוי בתדירות של תכונות לאורך הדורות. אפשר לנסח את המנגנון הזה גם באופן מתמטי. בכל אחד מהניסוחים הללו, החידוש הוא שהניסוחים נועדו לתאר אספקט מסוים בטבע. ספציפית, החידוש הוא שהמנגנון המתואר לעיל, הברירה הטבעית, מסוגל ליצור אדפטציות (התאמות בין אורגניזם לסביבתו) וגם אכן היה מעורב באבולוציה שלהן במהלך ההיסטוריה של החיים על פני כדור הארץ. התקפות הלוגית של הניסוח הלוגי שבתיאור לא תקבע האם החידוש הזה אכן מדויק, גם אם תוכל ללמד חייזרים שהתיאור הזה אכן תקף לוגית. את זה ביולוגים אבולוציוניים יודעים בגלל הראיות שהם אספו לאורך השנים.

      אם יש לך התנגדויות – אשמח לשמוע. אם אתה רוצה שנחזור לדבר קצת על האנלוגיה לתיאוריית היחסות – בכיף. רוצה שאכנס לסיבה שאני חושב שזאת שיחה שקריטית דווקא למאמר הזה – בשמחה. רוצה להמשיך גם בלי שאסביר את זה – אפילו יותר בשמחה. זאת שיחה מעניינת. כך או כך, חפרתי מספיק ליום אחד. הזמן קצר והמבחנים מרובים.

      עלה והצלח. התחלתי לקרוא מעט באתר ואני די נהנה מהחומר. שאפו. הלוואי עלי זמן פנוי לעשות דברים כאלו.

    6. מיכי מאת

      שלום רב.
      כאמור, אני לא חושב שכאן מקומו של הדיון הזה. אני גם די סקפטי לאור ניסיון העבר (המתיש למדיי, אני חייב לומר) לנסות ולשכנע מישהו לגביו. אני סבור שאתה טועה. ומניסיוני הדיונים הארוכים והמפותלים מהסוג הזה בד”כ רק מעמעמים את הנושא ולא מבהירים אותו.
      כפי שצפיתי מראש (לאור ניסיון העבר), ההגדרות שהבאת פשוט משרבבות לתוך הברירה הטבעית רכיבים נוספים מתורת האבולוציה (גנטיקה, מוטציות וכו’), וכבר כתבתי שבדבריי על הטאוטולוגיות אני מתייחס רק לרכיב הזה בתיאוריה. זה מה שתיארתי לעצמי שיקרה, כי זה מה שקרה תמיד בדיונים כאלה בעבר. כבר המאפיין הראשון שהבאת מדבר על תורשה, ובכך ברור שהוא חורג מטאוטולוגיה. מה החידוש בזה?!
      במקום זאת תוכל לראות בכל טקסט בסיסי (אפילו ויקיפדיה, סליחה על הבנאליות) שמגדיר את המושג ברירה טבעית ותיווכח שניתן לתרגם אותו בקלות למה שכתבתי. דומני שלא תמצא ולו מקור אחד בגוגל שלא יתורגם בדיוק להגדרה שלי.
      לסיום אעיר שאין לדיון הזה שום חשיבות מעשית. העובדה שמדובר בטאוטולוגיה נאמרת לשבחה של הברירה הטבעית ולא לגנותה. בגלל הטאוטולוגיות שלה היא בהכרח נכונה. אז בשביל מה להתפלפל על זה?! והשאלה האם הרכיב של ברירה טבעית כולל ממדים של תורשה או לא היא שאלה מתודולוגית לא חשובה. ברור שיש רכיב מובחן כזה, והוא טאוטולוגי. אז אם תחלק את תחום הדיון בחלוקה שונה ותעמעם את זה שמדובר בטאוטולוגיה לא עשית מאומה.
      דומני שדי בזה להראות את אי ההבנה בטיעון שלך, ולכן אני מקווה שתסלח לי אם לא אכנס לזה כאן ביתר פירוט.

    7. אתולוגיקה

      שלום מיכי.
      הסוגיה הזאת מאד מעשית. ראשית, תיקון אי-הבנות נפוצות של מדע זה מאד מעשי בכלליות. שנית, האמת משנה גם למאמר הזה: לשיטתי, הברירה הטבעית היא דוגמא נפלאה למנגנון “הגיוני” שידוע שהוא לאו דווקא “מחזיק” במציאות.

      אחזור על בסיס שגיאתך. בפישוט למשפטון, תמצית התיאור של הברירה הטבעית בספר הנ”ל היא “תעלה תדירותה באוכלוסיה של תכונה שמעלה כשירות של הפרט”. התוצאה מובחנת היטב מהגורם לה. זה רחוק שנות אור מ”השריד שורד” טאוטולוגי.

      בתגובה, טענת שהתיאור מוסיף את רכיב התורשה כרכיב לא טאוטולוגי. אכן, תורשה דרושה כדי להבין איך מתקבל שינוי בתדירות התכונה באוכלוסיה. אך כפי שברור מדבריי לעיל, לא זאת הסיבה שבלב הברירה הטבעית אין טענת “השריד שורד” והסיבה נותרה ללא תשובה. למרות זאת, טענת עכשיו בדומה למקודם שניתן לתרגם כל “טקסט בסיסי” לצורת “השריד שורד” שלך. בבקשה. נסה כוחך. הראה נא איפה בתיאור הנ”ל מובע “השריד שורד”. בצע את התרגום. כולי אוזן.

  8. יואב

    קל וחומר מסוג בכלל מאתיים מנה אינו תמיד חופף להיגיון המשפטי, כדבריך, אבל בהיגיון התורני הוא תקף. מעשה האיסור הוא מוחלט ולא תלוי הקשר, תפקידו העיקרי אינו סידור התנהגותי אלא סידור מהותי.

    1. מיכי מאת

      יואב, לא הבנתי. קו”ח מכל סוג שהוא בהיגיון התורני אינו שונה מתפקודו בכל מקום אחר. גם בהיגיון התלמודי הקו”ח של בכלל מאתיים מנה הוא לא תקף בדיוק כמו בכל מקום אחר. הבאתי לכך דוגמאות בכמה מקומות.
      אחת מהן היא הכלל אין עונשים מן הדין. אפשר לטעון שגם אם לומדים את B מ-A בקו”ח של בכלל מאתיים מנה (כלומר ש-A כלול ב-B), וגם אם העובר על A חייב עונש X, עדיין יש מקום לפטור מעונש את מי שעובר על B. הסיבה היא שאולי חומרתו של B מחייבת עונש אחר מ-X, חמור יותר. וכידוע כך הסבירו כמה מהאחרונים את הכלל אין עונשים מן הדין. הסבר זה הוא עצמו פירכא על קו”ח של בכלל מאתיים מנה (שמכוחו רצינו ללמוד את חיובו של העובר על B בעונש X). הרי לך שלמרות ש-A כלול ב-B, העובר על B לא חייב בעונש שמוטל על מי שעובר על A. מש”ל.

    2. מיכי מאת

      אלחנן, הבאת דוגמה מעניינת. אבל תחושתי היא שהיא לא כל כך מוצלחת. נכון שמודה במקצת כלול בכופר הכל, אבל חיובו בשבועה הוא דווקא בגלל היותו מודה במקצת ולא למרות זאת. לכן האנלוגיה לקו”ח של בכלל מאתיים מנה אינה במקומה. ראה את הדוגמה שהבאתי כאן למעלה מענישה מן הדין. היא ממש מראה זאת (כי העונש אינו בגלל קולת העבירה אלא למרות קולתה).

    3. יואב

      מיכי, במאמר התבססת על הסברא שאין עונשין מן הדין שמא ישנה פירכא, ומובן מדוע כאשר בכלל מאתיים מנה ניתן לענוש מן הדין.
      בתגובה התבססת על סברא אחרת, שהיא באמת פורכת את ההיגיון היסודי של קל וחומר, לפחות בנוגע לעונשים, והיא באמת פורכת גם את ההיגיון של בכלל מאתיים מנה. דרך זו באמת מכריחה כדבריך, שקל וחומר אינו היסק לוגי מוכרח. אלא נטען שהתורה נכתבה באופן המתאים לסוג דרשה זה.

  9. מיכי מאת

    יואב שלום.
    לא הבנתי לאן אתה חותר. האם אתה טוען שיש סתירה בדבריי (ביחס להסבר הכלל אין עונשים מן הדין)?
    כפי שכתבתי בפירוש, הסברא שמא יש פירכא אינה נכונה לדעתי (כי על פרשנויות יותר ספקולטיביות מאשר מדרש קו”ח לא חוששים שמא יש פירכא). אבל בכל זאת השתמשתי בה כדי להדגים אפשרות של פירכא על קו”ח של בכלל מאתיים מנה. הסברא השנייה (שאולי העונש לא מספיק חזק) היא היא הפירכא. לכן אין כאן שום סתירה.

  10. אריה

    לא השתכנעתי מהדוגמה הבלגית שניתן לפרוך ק”ו כמותי.
    מה שעשו במשפט זה אוקימתא של החוק כולו: החוק לא אוסר לקנות 2 ליטר, אלא אוסר לבזבז ממון רב בבית המרזח.
    גם אם הברנש היה קונה 2 ליטר בדיוק, היה יכול לטעון את טענתו ולצאת זכאי, כך שאין קשר לק”ו למיטב הבנתי.

    1. מיכי מאת

      מה שקראת “אוקימתא” זוהי פירכא. כך בדיוק נראית פירכא על קו”ח של בכלל מאתים מנה. אתה לא מצפה שפירכא כזאת תוכיח שמאה גדול ממאתיים (או לא מוכל בהם). פירכא לעולם תראה שהיחס ביניהם הוא לא על הציר הרלוונטי, כלומר תעשה מה שכינית “אוקימתא”.

    2. אריה

      אם האוקימתא היתה מראה ש- 2 ליטר נשאר אסור אבל 10 ליטר מותר, החרשתי.
      אחרי האוקימתא, גם 2 וגם 10 ליטר מותרים להשקעה אבל אסורים לשתייה, ולכן לדעתי אין כאן פירכא של הק”ו.

      כדי להבהיר את דעתי, אתן דוגמא לפירכא טובה בעיני:
      החוק אוסר לשתות יותר מכוס ויסקי אחת (כדי למנוע מאנשים להשתכר).
      אדם שתה עשרים כוסות, ולא זו בלבד שלא השתכר אלא שגם הוכיח (פיזיולוגית) שגרף השכרות לא עולה מונוטונית עם השתייה אלא מתחיל לרדת אחרי הכוס החמישית ומגיע לאפס אחרי 20 כוסות.

    3. מיכי מאת

      אני לא רואה שום הבדל בין הדוגמאות. בדוגמה שלך אם יהיה מי שישתה כוסית ולא ישתכר זה גם יהיה מותר. אבל הדיון הזה נראה לי מיותר. שנינו מסכימים שיש פירכות על קו”ח של בכלל מאתיים מנה. קח את הדוגמה הזאת או זאת כרצונך.

  11. הפרכת ההגיון או מערכת מורכבת של שיקולים הגיוניים?

    בס”ד ד’ שבט ע”ז

    אינני חושב שנכון לומר שהמציאות מפריכה את הלוגיקה, אלא שמצד ההגיון יש מערכת שיקולים נכונים המחייבת התחשבות בהם, תוך נתינת מקום שבו כל אחד יבוא לידי ביטוי. ההגיון מחייב להגביל מכירת יין לפועלים השותים כדי להשתכר, ובזה ברור שעשרה ליטר חמורים משני ליטר, וההיגיון מחייב לאפשר לסוחר יין לקנות כמויות. ולשני השיקולים ההגיוניים יש מקום לחול. הסיטונאי יוכל למכור לסוחר קמעונאי יין בכמות, הדרושה לו, אך מי שקונה בבית מרזח, או בחנות מכולת – חזקה עליו שהוא קונה לשימוש אישי ולא למטרות מסחר!

    בברכה, ש.צ. לוינגר

    1. מיכי מאת

      ודאי שהמציאות לא מפריכה את הלוגיקה שכן הלוגיקה לא עומדת להפרכה. זה לא מדע אלא מתמטיקה (תחום אפריורי). אלא שהלוגיקה הנכונה לא פועלת במציאות. מה שהופרך הוא המודל הלוגי עבור המציאות (כמו בדוגמה שהבאתי מחשבון הווקטורים. ברור שהאריתמטיקה לא הופרכה אבל היא לא מתאימה לתיאור כוחות בפיסיקה).

  12. ג

    הנה טיעון מעניין: נניח שאנו מוצאים רובוט בעל מאפיינים של יצור חי: כלומר משתכפל ומכיל חומר אורגני. האם במקרה זה נטען כי הוא התפתח בתהליך טבעי? לפי ההגיון האבולוציוני התשובה היא כן, כיון שהוא מכיל מאפיינים של יצור חי. אבל ככל הידוע לנו זה בלתי אפשרי. בנוסף, אין הדרגה פונקציונלית בדרך להווצרות רובוט. רק מנגנון תנועה מינימלי ידרוש מס’ רכיבים בו זמנית.

    1. מיכי מאת

      איבדתי את ההקשר. אבל זה לא נכון. אין דבר כזה היגיון אבולוציוני, ואני לא מכיר היגיון שיסיק מתוך דבר כלשהו האם הוא התפתח באופן טבעי או מלאכותי. דרווין לא הסיק את האבולוציה מתוך כך שיש יצורים חיים שמשתכפלים. האבולוציה היא תוצאה של שיקול הגיוני (ברירה טבעית: השריד שורד) שמצטרפים אליו גנטיקה והיווצרות מוטציות, ולבסוף הוא מיושם על ממצאים אמפיריים.

השאר תגובה