על הופכיות וטרנזיטיביות

שו”תקטגוריה: מחשבהעל הופכיות וטרנזיטיביות
שואל שאל לפני 4 שנים

שלום וברכה לרב,
 
 
בשיעור בעניין הכרעת רוב בהלכה הועלתה תמיהתו של הרב האם קיים “דבר שאין לו היפך”. אני מבקש להציע דוגמא נוספת לזו שהועלתה – 
 
 
עבור כל חלוקה לשני חלקים שווים ההיפוך (לפחות עפ”י ההגדרה הפשוטה של – “ניתן לזה את החלק של זה ולזה את החלק של זה”) ייתן את פונק’ הזהות.
כמובן שניתן לתהות האם דוגמה כזו תקפה לתכונות ולא רק לעצמים (ואז בסך הכל נתתי מקרה פרטי של הדוגמה מההרצאה), הרי קשה לקבל אמירה על אדם שהוא “חצי אוהב חצי שונא”. לרוב אמירות כאלו מתקבלות אם הן נאמרות כדרכו של קהלת – על ציר הזמן או שהן נפטרות כדמיונות של משורר, מעין דברי רחל – “סער ודמי, צהל ובכה, / פצע וצרי, נחת ודווי”. אלא שמצב זה אפשרי כשמדברים על ציבור ומנסים לנתח את עמדתו. הדבר מוביל אותי לדוגמה נוספת והיא כל יחס העדפות על יותר משתי אופציות. הניסיונות שעשיתי עד עכשיו להגדיר על n-יית העדפות היפוך הובילו אותי, או לסתירה או לצורך להגדיר היפוך בדרך הרחוקה מאוד מן הדרך האינטואיטיבית (וגם אז, חוששני שהיפוך לא יתאפשר).

השאר תגובה

1 Answers
מיכי צוות ענה לפני 4 שנים

שלום רב.
1. חלוקה לשני חלקים שווים לא נותנת יחס זהות. הדבר נובע מכך שהחלקים אמנם שווים בתכונותיהם אבל עדיין הם שניים, והחלפת האחד באחר אינה פעולת זהות. לפי לייבניץ קיים עקרון זהות הבלתי נבדלים, אבל בספרי שתי עגלות בשער השני עמדתי על כך שלייבניץ טועה. יכולים להיות שני עצמים בעלי אותו סט של תכונות ועדיין הם יהיו שניים.
2. לדעתי ייתכן מצב של אהבה שנאה בו זמנית. אולי האהבה פונה לאספקט אחד של הנאהב והשנאה לאספקט אחר, אבל איני שולל את האפשרות שתהיה אהבה ושנאה לאותו אדם בלי קשר לאספקטים שונים (השאלה האם יחס כמו אהבה או שנאה הוא תלוי בהיבטים כלשהם או שהוא פונה למכלול).
את סוף דבריך לא הבנתי.
——————————————————————————————
שואל:
הועלתה התמיהה בתחילת ההרצאה האם קיימים במציאות יחסים שאינם טרנזיטיביים.
לענ”ד קיימים רבים –
יחס ההעדפה הקבוצתית, באופנים רבים שבהם מגדירים בחירה חברתית – אינו טרנזיטיבי, דבר שידוע כ”פרדוקס ההצבעה”.
יחס “חבר של” אינו בהכרח טרנזיטיבי (אם ראובן חבר של שמעון ושמעון חבר של לוי – אין לנו דרך לדעת דבר על ראובן ולוי). באופן דומה גם היחס “אויב של” אינו טרנזיטיבי. גם היחס “מכיר את”.
ניתן להגדיר על אובייקטים מתמטיים (או על שורת בתים ברחוב) יחס של “צמוד ל..” שלא יהיה טרנזיטיבי.
ועוד רבים על זה הדרך.
——————————————————————————————
הרב:
ברור. וכי אמרתי אחרת? (אני כבר לא זוכר) התהייה נוגעת רק ליחסים שנראים כיחסי סדר.
הספר החמישי בסדרת לוגיקה תלמודית עוסק בטיפול בחוסר טרנזיטיביות.
——————————————————————————————
שואל:
 
1. ייתכן שאנו נשענים על הגדרות שונות של המונח “זהות”. או, ליתר דיוק, אני נשען כנראה על הגדרה מקילה מאוד שנובעת מהיכרות עם המושג בהקשר המתמיטי.
להבנתי, הפונקציה X+X^2 ופונקציית האפס זהות בשדה בין שני איברים (כאשר השדה הוא גם התחום וגם הטווח). הזהות הזו נובעת מכך שאני מגדיר פונקציה כתת-קבוצה של מכפלה הקרטזית וכו’ (הגדרה מקובלת, לדעתי).
כמובן שאם הגדרת הפונקציה תכלול, לדוגמא, את ייצוגה של הפונק’ “על הנייר” לא תהיה כאן זהות. כמו כן, ברור שאם היינו דנים בפולינומים, שמוגדרים על ידי מקדמיהם, שתי הדוגמאות לעיל לא היו מקיימות יחס זהות.
מסתבר שהרב מתייחס למושג הזהות במובן מחמיר יותר.
את עקרון זהות הבלתי נבדלים אני מכיר באופן רופף מקורס בנושא סימטריה (בוזגלו) שלא היה מתמיטי לגמרי וגם לא פילוסופי לגמרי. על כל פנים לא למדתי שם הפרכה לעקרון זה (אך כן הזכרנו, כבסיס לעקרון, את עקרון הטעם המספיק ודומני שמשם יכולה להגיע הפרכה). את ספרו של הרב לא קראתי ואת משנתו אני מכיר מ-youtube. צר לי.
 
לעניין שבו עסקנו – לענ”ד גם אם אין זהות בין, לדוגמא, “חצי חכם חצי טיפש” ו-“חצי טיפש חצי חכם” האם היפוך יש כאן? לדעתי לא. 
 
 
2. יחס העדפות על יותר משתי אופציות הוא לדוגמא העמדת שלושה מועמדים לבחירות – אראל, בנימין וגילה.
אם הציבור בוחר (נשים כרגע בצד את שאלת דרך הבחירה על אף שהיא יכולה להיות רלוונטית לסוגיית ההיפוך) את וקטור ההעדפות – 0.3, 0.2, 0.5 – האם יש לו היפוך? כיצד הוא יוגדר? “כל מי שתמך בבנימין עכשיו מתנגד לו”? היפוך כזה אינו מוגדר היטב ואף אינו מקיים תכונות שהגיוני לדרוש מהיפוך כמו – יחידות או הרכבה של ההיפוך מספר זוגי של פעמים היא הזהות.
האם היפוך ייחשב שינוי סדר של ההעדפות? הבעיות כאן יוותרו בעינן.
לדעתי, למעט מקרי קצה (לדוגמא – שניים מהמועמדים מתחלקים בכל הקולות והשלישי מקבל 0) יהיה קשה להגדיר כאן היפוך.
——————————————————————————————
הרב:
איבדתי אותך.
כל מה שכתבת נראה לי נכון, ועדיין איני רואה את הקשר לדבריי. ברור שדברים שנדונים בלוגיקה עמומה (fuzzy) או מרובה (multi-valued) אין להם היפך יחיד במובן של שלילה. הרי זה נובע מההגדרה של הלוגיקה שם. מה לזה ולדבריי?
הוא הדין ליחס העדפה של יותר משתי אופציות. אגב, עסקתי בו כמעט בכל הטורים שלי באתר (חשיבה מורכבת. בעיקר בטור הראשון אבל כמעט בכל האחרים). אבל מה לזה ולדבריי?

השאר תגובה