תורת הקטגוריות ומעמדה של המתמטיקה בתיאור המציאות
שלום לכבוד הרב.
ברצוני לשאול לגבי שאלה שמטרידה אותי זה זמן רב.
כידוע, המתמטיקה יסודה במספר סופי של הנחות ראשוניות (הקרויות \"אקסיומות\"). לפי משפטי אי-השלמות של גדל, לעולם לא תיתכן מערכת אקסיומטית עקבית שהיא גם שלמה. כלומר תמיד ייתכנו עוד טענות מתמטיות אשר לא ניתנות להוכחה בתוך המערכת.
שאלתי היא בנוגע לקיום מערכות מתמטיות נוספות ומקומן בתיאור המציאות.
תחילה, אם נניח כי נדרש מספר סופי של טענות מתמטיות על מנת לתאר את עולמנו באופן הולם (ע\"ע \"תיאוריה הסופית\"), נקבל כי יש צורך במספר סופי בלבד של מערכות מתמטיות על מנת לתאר את המציאות. נזכיר כי העובדה שיש צורך ביותר ממערכת מתמטית אחת לתיאור המציאות – אינה מפתיעה, משום שכבר היום ידוע לנו על מערכת שכזו (ע\"ע הגיאומטריה הלא-אוקלידית ומקומה בתורת היחסות הכללית של איינשטיין).
אך גם במקרה כזה, יש לעיין בסוגייה בנוגע לטענות מתמטיות כלליות, אשר כוונתן לא לתאר את המציאות. (כידוע, המתמטיקה אינה מצומצמת לתיאור עולמנו בלבד..)
בזאת כיסינו את המקרה בו נדרשת מערכת אחת בלבד בעלת סט סופי של אקסיומות (לאחר שאיחדנו את המערכות המתמטיות השונות) על מנת לתאר את המציאות, אך מה בנוגע למקרה בו אין סוף למספר המערכות המתמטיות הדרושות לתיאור העולם? האם מצב כזה הוא בכלל הגיוני?
בנוסף, תהיתי אם יש לך ידע בתורת הקטגוריות על מנת להבהיר לי אם אכן קיים קשר בין תורה זו (אשר לעיתים קרויה \"המתמטיקה של המתמטיקה\") לבין הסוגיה שהעליתי. יש לי הרגשה חזקה שכן, אך לצערי אין לי את הרקע המתמטי הדרוש על מנת ללמוד את הנושא לעומק, והדף בויקיפדיה אינו מועיל (אם כי מחזק את האינטואיציה שלי בדבר הרלוונטיות של נושא זה).
לסיכום,
אשמח אם תביע את דעתך, ואשמח אף יותר לאי-אילו תיקונים, הערות וכד\'. תודה.
לגלות עוד מהאתר הרב מיכאל אברהם
Subscribe to get the latest posts sent to your email.
לגלות עוד מהאתר הרב מיכאל אברהם
Subscribe to get the latest posts sent to your email.
צודק, לא הייתי ברור.
לפי האפלטוניזם, כל תורה מתמטית היא אמת אובייקטיבית. אך הסכמנו שיכולות להיות מערכות אקסיומטיות (="תורות מתמטיות") סותרות, לכן זה פותח צוהר לשאלה: האם יכולה להיות חוסר עקביות "בעולם האפלטוני"?
בנוסף, עוד שאלה רלוונטית: מה הוא "תנאי הסף" עבור תורה מתמטית על מנת "להיכנס" לעולם האידיאות האפלטוני? האם חובה שיהיה בעולם תחום שבו מתקיימות האקסיומות שלה? אם לא – הרי בוודאי יש מערכות אקסיומטיות סותרות, ולכן בוודאי שיש חוסר עקביות ב"עולם האפלטוני". אם כן – עדיין נותר לבדוק, האם ייתכן מצב בו יש שתי מערכות אקסיומטיות סותרות שמתארות נאמנה את העולם, או לפחות חלק מהעולם.
הסתבכתי, אשמח שתעזור לי לעשות פה קצת סדר. תודה.
אני חושב שאתה צריך לעשות סדר בשאלות לפני שאתה ניגש לחפש תשובות.
תורות מתמטיות סותרות הן תורות שמתארות עולמות שונים. העובדה שיש עולם עגול לא סותרת את העובדה שיש עולם אחר מרובע. לכן סתירה בין תיאורים ובין עולמות לא אמורה להטריד אותך.
תנאי הסף הוא עקביות ותוכן. לא בטוח שכל מי שמקיים את תנאי הסף הזה ייכלל בעולם האפלטוני, אבל בלעדיו כנראה שלא.
השאר תגובה
Please login or Register to submit your answer