מהי נקודה

שלום הרב
במתמטיקה עוסקים רבות במושג הנקודה. משיעורי מת' בתיכון בהנדסה אנליטית, ועד תורת הקבוצות האומרת כי עוצמת הנקודות בין 0 ל1 על הישר היא בעלת עוצמה "א", להבדיל מעוצמת "א0". 
אשמח להבהרה מהי אותה נקודה. הרי אם נחלק קטע למספר סופי של חלקים, כל חלק יהיה בגודל מסוים, שגדול מ0.  אם נחלק "אינסוף" פעמים, נקבל "אינסוף" נקודות, שכל נקודה גודלה 0. אבל במציאות אין דבר כזה לחלק אינסוף פעמים, כי אינסוף זה לא מספר . אלא זה רק אומר שככל שנחלק למספר יותר רב של חלקים נקבל חלק קטן יותר.
אם כן, להבדיל מקטע, שאותו אני רואה וחווה והוא כן קיים, אין באמת דבר כזה 'נקודה'. לכל אורך שהוא שאחלק את הישר יש גודל גדול מ0. אם כן, מהן אותן 'נקודות' עליהן דנים המתמטיקאים? האם הן "יש"?