אפלטוניזם מתמטי ובכלל (טור 435)

בס"ד

בטור הקודם עסקתי בשאלה האם המתמטיקה היא המצאה או גילוי. בתוך דבריי שם הבחנתי בין שלוש טענות/שאלות שונות:

1. כל תורה מתמטית היא אמת אובייקטיבית, במובן הזה שאם יהיה בעולם תחום שבו מתקיימות ההנחות שלה (הוא מהווה מודל עבורה), אז הוא יתנהל לפי חוקיה. לכן ברור שמתמטיקה אינה המצאה אנושית אלא גילוי. זה לא אומר שהיישים שלה קיימים או שיש מלאכים שמחוללים את היחסים שהיא קובעת, אבל היחסים הללו הם הכרחיים גם בעולם האמיתי שלנו.
2. ומכאן שהתורה המתמטית עצמה, גם אם אין לה שום מימוש בעולם, כלומר שלא מצאנו (עדיין?) תחום שיהווה מודל עבורה, היא אמת במובן אפלטוני אובייקטיבי. זוהי אמת שעוסקת ביחסים שונים בעולם רעיוני. זוהי אמת אובייקטיבית במובן הזה שאלו הם היחסים ההכרחיים בין היישים שנדונים בה, ואין אפשרות להתווכח על כך.
3. השאלה האם בפועל קיים או לא קיים עולם רעיוני מופשט כזה, זו שאלת האפלטוניזם. אני אישית נוטה לחשוב שכן, מפני שלדעתי האמיתות המתמטיות הן תוצרים של תצפית שלנו בעולם האידאות האפלטוני (כך הוא לדעתי ביחס לרבים מהמושגים שלנו. אני אסנציאליסט ולא קונוונציונליסט. ראו בסוף הטור). אבל כאן יכול להיות מקום לוויכוח. אחרים יטענו שהיישים והיחסים הללו משקפים מבנים ויחסים הכרחיים בין יישים, ולא מציאות שקיימת לעצמה.[1]

מסקנתי שם הייתה שלשתי השאלות הראשונות יש תשובה ברורה ואיני רואה הרבה מקום לדון לגביהן. לגבי השאלה השלישית, בהחלט יש מקום לדון, וכפי שהערתי עמדתי היא אפלטוניסטית. ההנמקה לכך מצויה במישור הפילוסופי (כלומר לא המדעי ולא המתמטי) ובהחלט ניתן להתווכח עליה. באחד הטוקבקים נשאלתי לגבי ההנמקה הזאת ועניתי שבטור ההוא התכוונתי בעיקר לעשות סדר בדיון ובמושגים, ולא  לבסס עמדה משלי. הוספתי שאולי אכתוב על כך טור נפרד, אז הנה הוא לפניכם.

והנה, הבוקר שלח לי ידידי שמואל קרן עוד סרטון בנושא, וראיתי שהוא באמת מתמקד בעיקר בשאלה 3 (אם כי גם בו תוכלו למצוא מעט מהערבובים שתיארתי בטור הקודם). כבר כאן אומר שעדיין לא מצאתי את שאהבה נפשי, אבל בסרטון הזה אגע בסוף הטור. בכל אופן, החלטתי שכדאי להוסיף עוד טור שמנסה לגעת בשאלה 3 (שאלת האפלטוניות).

לאחר הכתיבה נזכרתי שכבר הייתה לי סדרת טורים על האפלטוניזם (383–385) שהסתיימה בדיון על משמעותו במדע ובמתמטיקה (385). הטור האחרון שם עסק ממש באותם נושאים, אבל החלטתי להשאיר את הטור הזה משום חידושים שעלו בו.

בטור הקודם הצגתי שתי עמדות בשאלת האפלטוניות, והשאלה היא מי משתיהן נכונה. כדי להבין טוב את השאלה עלינו להבין היטב את שתי העמדות, ואז נוכל לנסות ולדון בה.

העמדה האפלטונית

בשתי הטענות הראשונות הראיתי שהמתמטיקה היא אמת במובן אפלטוני, גם בלי שיש לה מודל כלשהו שמממש אותה בעולם הממשי. טענתי שכולם מסכימים לכך שכל התממשות של ההנחות בכל עולם שהוא (כולל זה שלנו כמובן) תגרור בהכרח את התקיימות התיאורמות. ולכן התורה המתמטית היא אמיתית גם בלי שהיא מתממשת בפועל. במינוח ישיבתי ניתן לומר שזוהי סברא בלי נפ"מ (או נפ"מ לקידושי אישה). עד כאן זה אמור להיות מוסכם לגמרי. הוויכוח הוא בשאלה האם התורה המתמטית גם קיימת במובן כלשהו או שהיא מבנה הגיוני גרידא.

אבל כאן עלינו להבחין בן המושגים המתמטיים (מספר, אובייקט גיאומטרי – כמו משולש או אליפסה וכדומה) לבין העקרונות שהם מקיימים (החוקים המתמטיים). במישור המושגים עצמם, ההופעה הספציפית היא רק מימוש של האידאה, ואין לה קיום מצד עצמה. זוויות במשולש ישר זווית מקיימות את משפט פיתגורס. זווית היא יש מתמטי, אבל הזוויות של המשולש המסוים הזה אינן יש מתמטי. הן מימוש אפשרי של האידאה 'זווית'. זה באשר למושגים המתמטיים. אם נתבונן ביחס בין הזוויות הללו, גם אם יש לו שורש בעולם אידאלי כלשהו הוא ודאי אינו יש. משפט פיתגורס הוא יחס בין צלעות וסכום הזוויות הוא יחס בין זוויות, אבל היחסים הללו אינם אובייקטים. העמדה האפלטונית אומרת שהיישים האפלטוניים מקיימים יחסים כאלה ביניהם, ולא שהיחסים הללו הם יישים קיימים. ניתן כמובן לומר שהיחסים המתמטיים 'קיימים' בעולם האידאות, באותו מובן שמהירותה של המכונית קיימת בעולם שלנו (המהירות היא יחס בין המכונית לכביש). המהירות אינה יש אבל היא גם לא פיקציה מלאכותית. במובן הזה היא קיימת.

ומה על הטענה שאין מספר ראשוני הכי גדול (בניסוח מתמטי מדויק יותר: עבור כל מספר ראשוני יש מספר ראשוני אחר גדול ממנו. מכאן יוצא שלמעשה יש אינסוף כאלה). זהו משפט במתמטיקה, שנוגע ליחסים בין מספרים ראשוניים. הוא טוען טענת אי קיום על עולם האידאות האפלטוני (לא תמצאו בו יש X שמקיים את התכונה של הראשוניות ושיש שם יש אחר Y גדול ממנו שמקיים את אותה תכונה). נניח שהיה משפט שקיים מספר ראשוני שהוא הכי גדול, אז הייתה כאן טענת קיום על עולם האידאות: קיים מספר X שהוא ראשוני שאף מספר ראשוני אחר אינו גדול ממנו. מדובר בטענה על יישים אפלטוניים, אבל הטענה עצמה אינה יש אפלטוני.

יש עוד נקודה חשובה. העמדה האפלטונית אומרת שהמושגים המתמטיים הם סוג של יישים שקיימים בעולם האידאות, לא במרחב ובזמן שלנו כמובן. מעבר לזה, הם גם לא יוצרים אינטראקציה עם יישים שקיימים ופועלים בחלל-זמן שלנו. אני מוסיף זאת מפני שקיימים יישים או תופעות פיזיקליים שרוב הלא אפלטוניסטים יסכימו שהם קיימים למרות שאינם נמצאים בחלל-זמן, מפני שהם יוצרים אינטראקציה עם היישים הפיזיקליים הרגילים (אלו שכן קיימים בחלל-זמן).

טלו כדוגמה פוטון. פוטון בהגדרה המקובלת בתורת הקוונטים הוא אובייקט שיש לו אנרגיה מוגדרת ולכן לפי עקרון אי הוודאות הוא אינו קיים ברגע זמן כלשהו. בנוסף, יש לו תנע מוגדר, ולכן לפי אותו עיקרון הוא אינו קיים בנקודה כלשהי במרחב. לפוטון גם אין מסה (מה שקרוי "מסת מנוחה 0"), ולכן היה מקום לכאורה לטעון שהוא יש אפלטוני. מה שהופך אותו ליש פיזיקלי הוא העובדה שהוא מקיים אינטראקציות עם היישים המוחשיים. אטום יכול לבלוע או לפלוט פוטון, ומצבו ישתנה בעקבות זאת. מה עוד שניתן לומר שהפוטון כן קיים בחלל-זמן אבל לא בנקודה מסוימת שלהם. הוא פרוס על פני כל ציר הזמן וכל המרחב.[2] ניתן גם לדבר על מושגים כמו אנרגיה או תנע, אבל נראה שאלו יותר תופעות מאשר מושגים (זכרו את דוגמת מהירותה של המכונית מהטור הקודם). מושג המהירות (להבדיל מהמהירות של מכונית מסוימת) ומושגי התנע הם אידאות אפלטוניות. פונקציית גל קוונטית של אלקטרון, שדה כלשהו, או פוטנציאל של השדה הזה, הן גם תופעות שקיימות באותו מובן, ומושגיהם העקרוניים יכולים להיות אידאה אפלטונית.

העמדה הלא-אפלטונית

מה אומרת העמדה המנוגדת? כאמור, היא מסכימה לשתי הטענות הראשונות. היא רק חולקת ביחס לשאלה 3, וטוענת שיישי המתמטיקה הם המצאה שלנו ולא קיימים בשום מקום. אם לא היינו ממציאים אותם הם לא היו קיימים. ומה לגבי היחסים ביניהם? דומני שגם הם יסכימו שאלו יחסים הכרחיים בין היישים (הפיקטיביים) הללו, אלא שמכיוון שהיישים עצמם אינם קיימים בשום מקום ובשום מובן, אזי גם היחסים ביניהם לא קיימים. אלו יחסים בין קונסטרוקטים מחשבתיים, ולכן אי אפשר לומר שהקונסטרוקטים הם המצאה מלאכותית אבל היחסים ביניהם כן קיימים (אפילו לא במובן הקיום של יחסים, כמו מהירות של מכונית). לפי עמדה זו, ההמצאה של היישים עצמם כוללת גם את היחסים ביניהם. היחסים הללו הם חלק מהגדרת המושגים עצמם והומצאו ביחד איתם, ועדיין הם יחסים הכרחיים שאי אפשר לחלוק לגביהם.

מתודולוגיה

איך ניתן בכלל לגשת לבירור שאלה 3? לכאורה מדובר בוויכוח על קיומם של עולמות שלא נגישים לנו ולא יוצרים אינטראקציה עם שום דבר מסביבנו. שאלה כזאת מעצם טבעה, לא מוכרעת על בסיס עובדות מדעיות ולא על בסיס עובדות מתמטיות. כאמור למעלה, עמדה בשאלה כזאת יכולה להתגבש, אם בכלל, רק על בסיס טיעונים פילוסופיים ואינטואיציות. אין פלא שקשה להגיע להכרעה מוסכמת לגביה (בניגוד לשתי השאלות הראשונות). ובכל זאת, כפי כתבתי אני נוטה לאפלטוניזם, ומטרתי בטור הזה להסביר מדוע (בטור 383 כבר עמדתי על כמה מהנקודות הללו).

הגדרות דרך ההיקף ודרך התוכן-המהות

כדי להתקדם ברצוני להניח את השאלה בקונטקסט רחב יותר. שאלת האפלטוניות נוגעת לכל מיני מושגים, לאו דווקא מתחום המתמטיקה. גם לגבי אידאות כמו הסוסיות, הדמוקרטיה, או היהדות, ניתן להתווכח האם מדובר בקונסטרוקטים מחשבתיים (אריסטו) או באידאות קיימות (אפלטון). אריסטו ראה בכל אלו הפשטות. אנחנו מתבוננים בעצמים מוחשיים ויוצרים מהמאפיינים המשותפים של תת קבוצות שונות מתוכם קטגוריות שונות. לפי אריסטו, התבוננות בסוסים יוצרת את אידאת הסוסיות דרך הפשטת התכונות הלא רלוונטיות והשארת אוסף התכונות המשותפות להם. זאת לעומת אפלטון, שלדעתו אנחנו פועלים בדיוק הפוך: מתוך הכרת אידאת הסוסיות אנחנו מזהים שיש מולנו סוס, ומתוך כל הסוסים נוצרת קבוצת העצמים המוחשיים שקרויים סוסים.

גם משולש, עיגול, או מספר, הן אידאות שניתן ליישם לגביהן את אותה מחלוקת: לפי אריסטו אלו הפשטות שנוצרו מתוך התבוננות במציאות. אנחנו רואים כמה עצמים שונים בעלי צורה משולשת, מזהים שיש להם משהו משותף ומכנים אותו "משולשות". הוא הדין לגבי אוסף הקבוצות עם חמישה איברים, שהמשותף לכולן יוצר את הקטגוריה "חמש", שמסומנת אצלנו כך: 5. כך נוצרת קטגוריה מופשטת, אבל היא עצמה פיקציה מחשבתית. לעומת זאת, לפי אפלטון אנחנו מבינים שיש קטגוריה 5, ומתוכה ועל פיה אנחנו מזהים את הקבוצות שמכילות חמישה איברים, ורואים שיש משהו משותף ביניהן. הוא הדין למשולשים.

ניתן לסכם זאת כך: יש בלוגיקה שני סוגי הגדרות למושגים: הגדרה דרך מהות-תוכן והגדרה דרך היקף. הגדרה מהותית מתארת את תוכן המושג, ומתוכה נוכל לאבחן מי מהאובייקטים ראוי להיקרא כך ומי לא. הגדרה דרך ההיקף מגדירה מושג דרך אוסף כל האובייקטים שמממשים אותו. לדוגמה, המושג דמוקרטיה יכול להיות מוגדר דרך התוכן כך: ממשל שנוצר על ידי הצבעה של האזרחים כל כמה שנים, יש בו הפרדת רשויות וזכויות אזרח וכו'. מתוך כך נוכל להבין שאנגליה וישראל הן דמוקרטיות אבל צפון קוריאה לא. אבל אפשר להגדיר דמוקרטיה דרך ההיקף, כלומר על ידי הצגת רשימה של כל המדינות הדמוקרטיות. במינוח הזה, נראה שאריסטו משתמש בהגדרות דרך ההיקף ואפלטון דרך התוכן. אמנם אצל אפלטון התוכן המהותי של המושג משקף אידאה שגם קיימת, אבל סביר מאד לראות זאת כהשלכה מתבקשת של המהותנות. אם יש מהות למושג, בפשטות נראה שטמונה כאן הנחה שהוא קיים. אחרת באיזה מובן המאפיינים הללו מהותיים לו ואחרים לא?! הבחנה במאפיינים המהותיים של המושג נעשית דרך התבוננות אידאית (מונח של הוסרל) במושג, או באידאה, והבחנה בין מאפיינים שמופיעים בה לבין מאפיינים שמופיעים במימושים (הסוסים) השונים אבל לא באידאה (הסוסיות).

אסנציאליזם וקונוונציונליזם

שתי דרכי ההגדרה הללו מאפשרות לנו לקבוע לגבי כל מדינה שתבוא בפנינו, האם היא דמוקרטיה או לא. בדרך הראשונה נצטרך לבחון את המאפיינים שלה ולהשוות להגדרה המהותית-תוכנית, ובדרך השנייה נצטרך לעבור על הרשימה ולאתר האם המדינה הזאת נמצאת בה או לא.

כעת מתבקשת השאלה כיצד אריסטו יוצר את הרשימה המכוננת שלו? כיצד הוא יודע שכל האובייקטים המסוימים הללו הם סוסים? האם זוהי סתם הגדרה שרירותית? אז למה הוא לא מצרף את הסוס יענקל עם העץ בחצרי והענן שמעל ראשי לקבוצה אחת ונותן לה שם משלה ויוצר ממנה קטגוריה? נראה לו משום מה שבין הסוסים יש משותף שרלוונטי לכנות אותו בשם משלו, ואילו בקבוצה הזאת לא. מדינות בעלות מאפיינים מסוימים ראויות לקטגוריה משלהן (מדינות דמוקרטיות), אבל מדינות באורך של מעל 200 ק"מ לא מהוות קטגוריה. מדוע מאפיינים אלו מהווים קטגוריה ואחרים לא? על סמך מה קובעים זאת?

חשוב להבין שלפי אפלטון השאלה אינה עולה: התבוננות באידאה מניבה את הקטגוריות היסודיות (סוסיות, מספר, אליפסה, 5, צבע אדום וכו'), והמיון של האובייקטים נעשה לפי השוואה בינם לבין האידאות הללו. אבל אצל אריסטו אנחנו אלו שיוצרים את האידאות/קטגוריות, אז כיצד כל התהליך הזה מתחיל? תיאוריו של בורחס שהובאו בטור 383 ממחישים יפה את הבעיה הזאת.

האריסטוטליים כנראה יאמרו שזו החלטה שרירותית. נכון יותר, זה נקבע לפי המבנים המוחיים שלנו שמשום מה רואים משותף בין כל הסוסים או כל הקבוצות בעלות חמישה איברים, אבל לא בין שלושת האובייקטים שתיארתי למעלה (הענן פלוני, הסוס אלמוני והעץ פלמוני). אולי ניתן גם לומר שיפעלו גם שיקולי יעילות: מיון פורה יותר (שמניב מסקנות רבות ומשמעותיות יותר) הוא המיון שבו נשתמש. מיונים אחרים אינם פחות נכונים, אבל אין טעם להשתמש בהם. השאלה האם זה סביר בעיניכם, ששלושת העצמים שתיארתי הם קטגוריה בדיוק כמו המדינות הדמוקרטיות? או שהקטגוריה בני אדם היא בעלת תוקף בדיוק כמו אוסף שרירותי כלשהו של עצמים, אם או בלי מכנה משותף כלשהו. בעיניי לא ממש.

נדמה לי שכבר הבאתי כאן בעבר את ההשוואה בין המיון העתיק של היסודות לארבעה: אש, רוח (אוויר), מים, עפר (אדמה), המכונים בקיצור ארמ"ע, לבין המיון המודרני של הטבלה המחזורית. האם יש כאן נכון ולא נכון? לא בהכרח. המיון המודרני משתמש במערכת צירים מסוימת, והמיון העתיק במערכת צירים אחרת. אבל שניהם צודקים באותה מידה. המיון העתיק לא בהכרח מתכוון לומר משהו מעשי: שכדי ליצור צמח צריך תמהיל מסוים של ארבעת היסודות הללו. אולי היו שחשבו כך, אבל ניתן לראות זאת כצורת תיאור עקרונית: בצמח יש מידה של שאיפה למעלה (כמו אש או רוח), הוא פחות כבד (ולכן יש בו פחות עפר) וכדומה. בעניין הזה גם אני נוטה להסכים, אם כי די ברור לי שהיסודות הכימיים אכן קיימים (זו קטגוריה ריאלית) ואילו ארמ"ע לא.

ברור שאדם בעל צורת חשיבה או מבנה מוחי שונה, ישתמש בקטגוריות אחרות וימיין אחרת את האובייקטים בעולם. אם למישהו נוח יותר לחשוב על האובייקטים במונחי ארבעת היסודות העתיקים הוא יתאר אותם כך, ואם מישהו חש טוב יותר (או פורה יותר) עם המיון המודרני הוא ישתמש בו. לכן האריסטוטליים טוענים שאין כאן אידאות קיימות אלא פיקציות שהן יצירה מלאכותית שלנו. אבל התפיסה האפלטונית מבוססת על התחושה שיש כאן משהו מעבר לנוחיות או מבנה שרירותי של המוח שלנו. זוהי תפיסה אסנציאליסטית (מהותנית), שלפיה ההגדרה מתארת את המהות שקיימת באובייקטים ומרכיבה את האידאה שלהם. על פי אריסטו המושגים נבנו בדרך של קונוונציות (מוסכמות). אין להם בסיס בעולם האובייקטיבי עצמו, שכן הוא ניתן לתיאור בכל מיני צורות. הכל תלוי במתבונן (=בנו).

ניסוח מחדש של השאלה

בסופו של דבר, שאלת האפלטוניות מתרחבת כאן אל מעבר למתמטיקה. השאלה מדוע אני אפלטוניסט במתמטיקה מתרחבת לשאלה מדוע אני אפלטוניסט ביחס למושגים בכלל, כלומר למה לדעתי למושגים יש מהות (essence) אובייקטיבית והם לא רק קונוונציות.[3] המושגים המתמטיים הם רק מקרה פרטי של השאלה הרחבה יותר.

אתם שוב נוכחים לראות שהדיון על המתמטיקה הוא דיון על פילוסופיה. השאלה היא האם פילוסופיה שעוסקת במושגים מופשטים (צדק, קולקטיב, מוסר, מדינה, מושגים, טענות, הגדרות וכו' וכו'), עוסקת במציאות או בקונסטרוקטים מלאכותיים שלנו. הדברים מתחדדים לאור מסקנתי מהטור הקודם, שלפיה המתמטיקה היא ענף של הפילוסופיה. שתיהן עוסקות בהתבוננות במושגים, כלומר בניתוח והסקת מסקנות מההתבוננויות הללו. השאלה האם אנחנו מתבוננים בנו עצמנו – כפי שטען אריסטו, או במציאות אידיאלית כלשהי מחוצה לנו – כשיטת אפלטון.

ברגע שהרחבנו את השאלה נוכל לדון בה כעת באופן כללי יותר.

שני סוגי הגדרה

בטור 108 (ראו גם בכל הסדרה שם) הבחנתי בין הגדרות מכוננות להגדרות מכוונות. מתמטיקאים רבים יאמרו לכם שהגדרה היא עניין שרירותי. ניתן להגדיר מושגים כרצוננו, ואין כאן נכון ולא נכון. זה כמובן מצב אפשרי, אבל השאלה היא האם כל ההגדרות הן כאלה. סביר מאד שלא כל המושגים שלנו יסודם באידאות קיימות, וגם אפלטוניסט יסכים שיש לנו יכולת להגדיר מושגים באופן מלאכותי רק לצרכינו. השאלה האם זה תמיד כך או שיש גם הגדרות אחרות. בפרט הדברים אמורים לגבי ההגדרות של מושגי המתמטיקה. השאלה היא האם ההגדרות שם הן יצירות שלנו, או שהן מנסות ללכוד משהו שקיים מחוצה לנו. כעת קל לראות את הקשר לדיון שלנו על האפלטוניות.

אם כל ההגדרות הן שרירותיות, כי אז אין אפשרות לדבר על הגדרה נכונה או לא נכונה. לכל היותר נוכל לדבר על הגדרה שתואמת למילון פלוני או לשימוש המקובל, או שאינה תואמת להם. אבל אם יש הגדרות נכונות ושאינן נכונות, כלומר הגדרות שלגביהן זו אינה שאלה מילונית (מה מופיע במילון), אז הגדרה של מילון לא תשכנע אותי שאני טועה רק מעצם זה שהיא מופיעה בו כך. מבחינתי ההגדרה המדוברת מנסה ללכוד משהו אובייקטיבי, ואם לא לכדתי אותו אז אני טועה, גם אם זה מתאים לקונוונציה מקובלת. בעצם ה"קונוונציה" משקפת את התצפית באידאה, שאם לא כן היא לא הייתה נקלטת בשימוש, ואולי אפילו לא הייתה מובנת לכולנו באותה צורה.

חשוב להבין שאיני מדבר כאן על שאלה של מינוח גרידא. נניח שלדעתי הגדרת משולש היא עצם בעל שלוש זוויות שמסתכמות ל-180. מישהו אחר יאמר שמדובר בעצם בעל ארבע זוויות. במצב כזה אין בינינו ויכוח. הוא משתמש במילה "משולש" כדי לתאר את מה שאני מכנה "מרובע". אבל אם הוא יאמר שמשולש הוא עצם בעל שלוש זוויות שמסתכמות ל-250 מעלות אז הוא טועה. הטעות אינה רק בגלל שניתן להוכיח שסכום הזוויות הוא כזה ולא אחר, אלא קודם כל מפני שלא זה מה שמסתתר תחת המונח 'משולש'. זהו בעצם משל הפיל של הרמב"ם. כאשר אדם משתמש בהגדרה שיש בה שוני במאפיין מהותי (למשל מגדיר פיל כיצור בעל כנפיים), הקונוונציונליסט יאמר שהוא לא מתווכח איתי אלא פשוט מדבר על אובייקט אחר. האסנציאליסט יאמר שהוא כן מתווכח איתי והוא טועה.

טענות מן התחושה

נדמה לי שלרובנו (ואולי לכולנו) יש לפעמים תחושה מאד ברורה שהגדרה מסוימת היא טעות. לא טעות מילונית-סמנטית אלא טעות במציאות. ניתן להביא לזה שתי אינדיקציות: ויכוחים על הגדרה (ראה על כך בטור 251 ובהפניות שם) ושינויים בהגדרה.

כאשר יש אצלנו ויכוח על הגדרת מושג, למשל מיהו יהודי, לכאורה ניתן היה לפתור זאת בהמצאת מונח נוסף וחלוקה מחדש של המונחים. אני אקרא למושג שלי 'ישראלי' ואתה לשלך תקרא 'יהודי', וניפרד כידידים. מדוע להתכתש על השימוש במילה ('יהודי')?! שימו לב שבלי להיכנס לשאלה מי משנינו צודק, עצם העובדה שאנחנו מתווכחים אומרת שלכל אחד משנינו יש תחושה ברורה שהוא צודק והאחר טועה. כלומר שנינו מסכימים שיש צודק וטועה בהגדרת המושג 'יהודי'. החילוני יאמר שהממשיך האמיתי של אברהם אבינו הוא מי שמדבר עברית, קורא עמוס עוז ומשרת בצבא, והדתי יאמר שזה מי שמקיים מצוות. האם יש כאן ויכוח? אני, כאפלטוניסט, טוען שכן. אי אפשר להיפרד בכך שאני אקרא למושג שלי 'ישראלי' ואתה לשלך 'יהודי'. יש כאן ויכוח על מושג ושנינו מדברים על המושג הזה (ולא על שני מושגים שונים), והמונח שמבטא אותו אינו העניין.

שימו לב, מושג, להבדיל ממונח, אינו עניין לשוני אלא תוכני. גם אם מישהו יחליט לקרוא לדמוקרטיה בשם אחר, זה עדיין אותו מושג אלא שהוא מבוטא במונח לשוני אחר (זה מה שקורא בתרגום לשפה אחרת למשל). אבל אם יש לנו ויכוח האם דמוקרטיה יכולה לאפשר זהות דתית של מדינה, איננו מדברים על מושגים שונים אלא מתווכחים. הקונוונציונליסט בעצם אמור להתייחס לכל הוויכוחים הללו כבלבולים בעלמא. קרא אתה למודל שלך 'דמוקרטיה' ואני אקרא לשלי 'דתוקרטיה'. בשביל מה להתווכח?! עצם קיומו של הוויכוח מעיד ששני הצדדים מסכימים שיש כאן צודק וטועה. יש הגדרה נכונה ולא נכונה למושג הזה. פירושו של דבר שלא מדובר רק בקונוונציה. שנינו מדברים על אותו מושג עצמו, והשאלה שבוויכוח היא מי מאיתנו קולע למשמעותו האמיתית של המושג דמוקרטיה. המושג הזה נמצא במקום כלשהו בעולם האובייקטיבי, ולא רק בתוכנו (אחרת אין כאן ויכוח).[4]

עד כאן לגבי וויכוחים על מושגים והגדרותיהם. ישנה עוד תופעה שמעידה על תחושה אפלטוניסטית ביחס למושגים, והיא תהליכים של שינוי בהגדרתו של מושג עם הזמן. עסקנו בוויכוח על מיהו 'יהודי', וכעת אתבונן עליו מזווית אחרת. החילוני עצמו מסכים גם הוא שפעם המושג יהודי לא הוגדר באופן שהוא מציע. גם הוא צריך להודות שבעבר ההגדרה הייתה דתית. הרי לא הייתה אז מדינה, לא צבא וגם לא ספרות עברית וכו'. לכן גם לא רלוונטי לתקוף את הצעתו דרך הדגמות של ההגדרה הזאת מהעבר (לומר שבעבר זה היה דתי). גם הוא מסכים לזה, אלא שהוא טוען שההגדרה השתנתה עם הזמן.

כיצד ייתכן שינוי של ההגדרה עם הזמן? בהסתכלות הקונוונציונליסטית, אין שום טעם לשנות הגדרה של מושג. תמציא מושג חדש ותן לו את המשמעות הזאת. באיזה מובן המושג שמתואר בהגדרה החדשה הוא אותו מושג כמו זה הקודם? אם ההגדה השתנתה אזי לא מדובר באותו מושג, שהרי ההגדרה היא זו שקובעת את המושג. יתר על כן, גם מבחינה מעשית, אם המושג הקודם הוגדר בצורה מסוימת, אין סיבה לא להשאירו על מכונו ולהגדיר מושג חדש. בדיוק כמו בדיון הקודם על מחלוקות, גם בשאלת שינויים בהגדרות המוצא המתבקש לצורך כזה בתמונה הקונוונציונליסטית הוא לא לשנות אלא להשאיר את המונח 'יהודי' במשמעותו המקורית (שכוללת היבט דתי), וליצור מושג חדש, למשל 'ישראלי', שיהיה חילוני באופיו. כמו שאין טעם להתווכח על משמעותו והגדרתו של מושג, כך גם אין טעם לשנות ולעדכן הגדרות כאלה. האפלטוניסט כמובן יאמר שגם אחרי השינוי מדובר באותו מושג. אותה אידאה מופיעה בעולם העכשווי באופן אחר. מה שמשותף בין המושג הקודם להגדרתו החדשה היא שהם עוסקים באותה אידאה (הם מכוונים כלפי אותו אובייקט).

הקונוונציונליסטים מציעים הסברים מפותלים בכדי להצדיק את קיומם של ויכוחים ושל שינויים בהגדרה, ואני מניח שיהיו כמה כאלה שיעלו בטוקבקים (אם מישהו בכלל קורא את הטורים הללו), אבל אף אחד מהם לא נראה לי באמת משכנע. לדעתי הם רק מנסים להציע רציונליזציה בדיעבד, כאשר תחושתם האינטואיטיבית היא בדיוק כמו שלי: יש נכון ולא נכון בהגדרות של מושגים, ולכן אנחנו מתווכחים עליהם. כששומעים ויכוח לגבי דמוקרטיה, הרושם הברור הוא שאין כאן ויכוח סמנטי אלא ערכי. פירושו של דבר ששניהם מדברים על אותו מושג ולכן גם משתמשים באותו מונח, אלא שיש ביניהם ויכוח באשר לאופיו של המושג הזה ולכן גם ביחס להגדרתו.

בקיצור, כשאנחנו שומעים מישהו שמציע הגדרה שאינה מקובלת עלינו, לפחות בחלק מהמקרים הטענה שלנו כלפיו לא מבוססת רק על המילון והשימוש המקובל, אלא על תחושה ברורה שהוא טועה. לדעתנו בתצפית שהוא ערך על המושג הוא לא לכד נכון את משמעותו. כך קורה גם בהקשר המתמטי. כאשר מישהו מציע שם הגדרה למושג כלשהו, כמו קבוצה, חבורה, קמירות וכו', מי ששומע את ההגדרה מבין שנלכד כאן מושג שיש לו מהות, שיש טעם לעסוק בו. זו לא סתם הגדרה שרירותית שבמקרה נמצא לאחר מכן פורייה. כבר מהתחלה נראה שיש בה ממשות. שלכדנו כאן משהו. יתר על כן, לפעמים יש ויכוח על ההגדרה, וזו לא רק שאלה של פוריות אלא של אמת.

יתר על כן, בהקשר המתמטי ניתן להראות זאת בדרך נוספת. הרי ניתן היה להגדיר אינספור מערכות מושגים או מערכות של תכונות ולהצמיד לכל אחת מהן מונח לשוני. אבל ברוב המקרים המערכות הללו לא משמעותיות, ולא ניתן יהיה להוכיח שום משפט מעניין לגביהן. אם הבחירה שלנו במערכות המאפיינים והמושגים (חבורה, קבוצה, מרחב, חוג וכדומה) הייתה שרירותית, אזי רק במקרים מעטים מאד היינו קולעים למערכת פורייה. מספר המערכות הפוריות מבין אלו שהיינו מנסים היה אפסי. יתר על כן, איני מכיר ניסיונות רבים ליצור מערכות מתמטיות שלא צלחו. אני לא חושב שיש הרבה כאלה. המסקנה היא שההצלחה של המתמטיקה כנראה מבוססת על תחושה ראשונית שמערכת תכונות או מאפיינים מסוימת כנראה תהיה פורייה, וזאת עוד לפני שניתחנו אותה והצלחנו להראות זאת. האפלטוניסט יאמר שהתחושה הזאת יסודה בתצפית אידיתית על המערכת הזאת. לכן סביר שזהו גילוי ולא המצאה, ויסוד הגילוי הוא בתצפית על מציאות אפלטונית כלשהי בעולם האידאות. זהו טיעון דומה למה שהעליתי למעלה לגבי בורחס, וגם לטיעון מהגרף שהובא בטור 426.

חשוב להבין שהטיעון הזה שונה מטיעונו של ויגנר שנדון בטור הקודם. ויגנר (ורבים אחרים) טען שההצלחה של המתמטיקה בהסבר תופעות פיזיקליות שונות היא אישוש לאפלטוניזם. דחיתי את דבריו בטענה שזה רק אומר שהמתמטיקה היא אובייקטיבית (טענות 1-2) אבל לא בהכרח קיימת במובן האפלטוני (שאלה 3). לכאורה כאן אני טוען דבר דומה: ההצלחה של הבחירות שלנו במערכת מאפיינים או מושגים מצביעה על כך שהבחירה הזאת נעשית על ידי תצפית ולא בדרך של המצאה שרירותית. אבל יש הבדל גדול בין הטיעונים. לגבי ויגנר ניתן היה לטעון שמתוך המערכות המתמטיות שפותחו כבר, יש הסתברות סבירה לכך שכמה מהן יימצאו מתאימות לתיאור המציאות. בפרט שהפיתוח של המערכות הללו נעשה מתוך זיקה למציאות (כי אנחנו חיים במציאות). אבל ביחס לטיעון שלי המצב שונה. בחירה שרירותית של מערכת מושגים/מאפיינים לא הייתה אמורה להניב מאומה, שכן התנובה שבה מדובר כאן היא תנובה אינטלקטואלית (=משפטים מעניינים במתמטיקה) ולא תנובה מדעית-אמפירית כמו אצל ויגנר. איני רואה סיבה לכך שבחירה שרירותית או המצאה יצליחו לקלוע למערכות פוריות בסיכוי כה גבוה.

גם כאן ניתן להתווכח ולטעון שהתחושה הזאת יסודה בתצפית על עצמנו. מה שאנחנו מצליחים לפתח תלוי ביכולות ובצורות החשיבה שלנו, ולכן אין פלא שיש לנו אינטואיציה ראשונית לגבי פוריות של מערכת. דומני שהתחושה הברורה של מי שעוסק בתחומים הללו אינה כזאת, אבל כאמור על שאלת האפלטוניות בהחלט יש מקום להתווכח.

היחס לאינטואיציה

אומר יותר מכך. אני חושב שאינטואיטיבית, אם היינו מצליחים להתעלם מהתרבות הרציונליסטית שלנו, יש לכולנו תחושה אפלטונית מאד ברורה. הנטייה של אנשים לסלוד מאפלטוניות (כסוג של מיסטיקה) היא בגלל שזה נשמע להם חסר בסיס. אם זה לא נתפס בחושים אז אין מקום לראות זאת כתצפית. טענתי היא שהתצפית האידיתית היא הסבר סביר לכך, והוא מתאים לתחושות האינטואיטיביות שלנו, ולכן אין סיבה לזנוח אותן. יש לנו יכולת לקלוט דברים על העולם שלא באמצעות החושים (ראו על כך שוב בטור 426 ובמקורות שהפניתי שם).

דוגמה לדבר היא הבעיה הקרויה 'הערמון של הפילוסופים' (שנדונה כאן באתר כמה פעמים. ראו למשל בטורים 251, 99 ועוד). האם כשאתה ואני מדווחים על ראיית עצם בצבע אדום שנינו מתכוונים לאותו צבע? ייתכן שכשאתה מדבר על צבע אדום אתה מתכוון לצבע שמכונה אצלי ירוק, אלא שמלידתך התרגלת שלצבע הזה כולם קוראים אדום, ולכן גם אתה מכנה אותו כך. אין שום אפשרות לבדוק סינכרון בין התמונות הפנים הכרתיות של אנשים שונים. האמונה שאנחנו אכן מתכוונים לאותו צבע מבוססת על אינטואיציה, שכן אין לנו דרך תצפיתית לאשר או לפרוך את זה. זה נכון כמובן לגבי כל מונח שאנחנו משתמשים בו, ולא רק לצבע. ניתן היה ללכת הרבה יותר רחוק, ולומר שכשאתה מדבר על צבע אדום אתה בעצם חווה את מה שאני מכנה שמיעה של הקונצ'רטו לחליל של מוצרט, או בכלל חווה חוויה שאינה מוכרת לי). הסינכרון בינינו בכל זאת גורם לנו לחשוב שהוא אמיתי, כלומר שכשאנחנו מדברים על אותו דבר אנחנו גם חווים את אותו דבר. כל סינכרון של מושגים ותובנות הוא כזה. אם לא היה משהו בחוץ שעומד בבסיס המושגים שלנו, קשה להבין על מה מבוססת ההנחה שיש סינכרון בינינו. איך בכלל נוכל להניח סינכרון כזה. מתבקש לטעון שסינכרון כזה מבוסס על תצפית במשהו אובייקטיבי מחוץ לשנינו ולא על המצאה.

מה שמחזק את הטענה הזאת הוא הטיעון של ויטגנשטיין לגבי עקיבה אחרי כללים (following a rule. ראו עליו כאן בפרק ב). יסוד הדברים הוא בקושי להבין כיצד אנחנו מצליחים לפעול לפי כללים, או כיצד יכול ראובן להסביר לשמעון את משמעותו של כלל כלשהו. עמדתי על כך בטור 83 ובטור 385 שכבר הוזכר. הראיתי שם שההסבר שמציע ויטגנשטיין, כאילו מדובר במשחק שכולנו מבינים אותו כי אנחנו בנויים באותה צורה, לא באמת נותן מענה סביר. כך לדוגמה יוצא לשיטתו שאין דבר כזה אדם חכם וטיפש (ראו שם את הדוגמה על פתרון לסדרה במבחן פסיכומטרי). האלטרנטיבה הסבירה יותר היא לראות את העקיבה אחרי כללים כתוצר של תצפית על הכללים ב'עיני השכל' (כלומר תצפית על עולם אפלטוני של יישים ועל היחסים שמתקיימים שם ביניהם). התצפית הזאת מסנכרנת את כולנו ומאפשרת לנו לדבר על הכללים ולהניח שאנחנו מבינים אחד את השני, להעביר אותם מאחד לשני (ללמד אותם) ולעקוב אחריהם. הבעיה שמעלה ויטגנשטיין (שהובילה אותו לתזת משחק השפה, שממש אינה סבירה) בעיניי אומר שיש לתפוס את המתמטיקה באופן אפלטוני.

כעת אוכל להתייחס בקצרה לטענות שעולות בסרטון שהזכרתי בתחילת הטור.

ביקורת על הטענות שבסרטון

הסרטון הוא חלק מהסדרה closer to truth, שעורך ומגיש בנקאי ההשקעות רוברט לורנס קוהן, שעוסק לא מעט בשאלות אינטלקטואליות (זהו סרטון 409 בסדרה. באתר שלו יש מעל 4000 סרטונים). הסרטונים מראיינים חוקרים והוגים בתחומי דעת והגות שונים, וכאן מטבע הדברים מדובר בראיונות עם מתמטיקאים, פיזיקאים ופילוסוף.

אקדים ואומר שרוב התשובות כאן בעיקר הביעו תחושות, יותר מאשר הציגו טיעונים. זו לא בהכרח ביקורת, שכן כפי שהראיתי בטור כאן המקור שממנו ניתן לגבש עמדה בסוגיה זו הוא בעיקר האינטואיציה. אבל מעבר לכמה הבחנות שתורמות לדיון, רוב הטיעונים היו לא משכנעים ולפעמים ממש מוטעים (חלקם חזרו על הבלבולים שתוארו בטור הקודם). אתייחס כאן בקצרה לטיעונים העיקריים.

הסרטון מתחיל, איך לא?!, עם רוג'ר פנרוז. פנרוז מציג עמדה אפלטוניסטית, ומבסס זאת על הטענה שהתיאור המתמטי של העולם הוא מדויק להפליא (הוא נותן שם מספרים שאיני מבין עד הסוף מניין הם שאובים ולמה הם מתייחסים). אני לא בטוח שהבנתי את טענתו. אם היינו משתמשים בשפה העברית לתאר את המציאות זה מעיד משהו על השפה שלנו? המציאות מכתיבה את התוצאה, והשפה היא רק כלי הביטוי שבו אנחנו משתמשים. צורת התיאור היא פונקציה של צורות החשיבה שלנו, ולכן סביר מאד שהחשיבה היא הכלי שבו אנחנו משתמשים בכדי לתאר את העולם. משמעותה של שאלת הדיוק לא ברורה לי. ראשית, אם התיאור אינו לגמרי מדויק אזי לכאורה פירוש הדבר שהתיאור אינו נכון אלא רק קירוב סביר. זה דווקא מפחית את האמון שלי באפלטוניזם, ונותן תחושה שהמדע הוא תוצאה של שימוש טוב בצורות החשיבה שלנו (אולי האבולוציה מסבירה מדוע יש לנו כלים כה טובים להבנת המציאות). ייתכן שהוא מתכוון לומר שזה לגמרי מדויק אלא שמה שאנחנו בדקנו הוא עד רמה של 10 בחזקת (14-). וגם אז איני רואה כיצד זה מעיד על אפלטוניות. זה רק אומר שיש לנו כלים טובים לטפל במציאות. כיצד ניתן להגיע מכאן לטענה שהיישים המתמטיים קיימים באופן אפלטוני כלשהו?!

כשהוא מסביר את המשמעות של קיום אפלטוני הוא אומר שהטענה שאין מספר ראשוני גדול ביותר היא נכונה בלי קשר אלינו והייתה נכונה עוד קודם. טענתו היא שלא אנחנו כופים את המבנים הללו על המציאות. הם שם. זה נכון, אבל זה רק אומר שהיחסים בין הרעיונות הם אמיתיים אובייקטיבית, וזה נוגע לטענות 1-2 אבל לא בהכרח אומר משהו על שאלה 3.

כריאקציה לפנרוז האפלטוניסט, הוא מראיין את מארק בלגר, פילוסוף של המתמטיקה. על השאלה כיצד ייתכן שהמבנים המתמטיים המופשטים נמצאים אפקטיביים בתיאור מדעי של העולם, הוא עונה שישנן המון מערכות מתמטיות ומתוכן רק מיעוט קטן מועיל לנו במדע. זה אמנם עוסק בטענות 1-2 אבל ההשלכות לשאלה 3 הן ברורות. גם אם המתמטיקה כולה המצאה, ההצלחה היא עניין מקרי סביר של מערכת אחת מתוך כמה וכמה. לזה כבר התייחסתי בדבריי למעלה, וטענתי היא שמספר המערכות הוא גדול מדיי בשביל שזה יהיה רק מקרה מוצלח. מעבר לזה, כשאנחנו מתעניינים בשאלה 3, השאלה החשובה היא הפוריות של המערכות ולא האפקטיביות המדעית שלהן, וכפי שהסברתי זה נכון כמעט לכל המערכות המתמטיות ולא רק לחלק מהן.

לאחר מכן הוא מחלק את העמדות בשאלת האפלטוניות לארבע: 1. הקיום של המתמטיקה הוא בעולם הפיזי. את זה לא הצלחתי להבין (אולי כוונתו ליישומים, אבל זו לא מתמטיקה אלא פיזיקה. ראו בטורים 50, ו-318). 2. הקיום שלה הוא בספירה המנטלית. זו הגישה האריסטוטלית. 3. יש לה קיום אפלטוני, כזה שלא בחלל-זמן ולא יוצר אינטראקציה עם המציאות הפיזיקלית. 4. היא פיקטיבית. אין לה קיום כלל. לא הבנתי מה בין עמדה 4 לבין 2. נראה שכדרכם של פילוסופים הוא ממיין עמדות ומאד נהנה להציג מפה עשירה, גם אם העושר הזה הוא פיקטיבי. הדבר דומה לשיעור עיון בישיבות שמוצגות בו שיטות שונות של מפרשים, ועושים ביניהם חילוקים כדי להעשיר את המפה, גם אם במקרים רבים מדובר בניסוחים שונים של אותה שיטה עצמה.

בסופו של דבר הוא מציג זו מול זו את העמדה האפלטונית והעמדה הפיקטיביסטית, וטוען שאין אפשרות להכריע ביניהן. כשקוהן שואל אותו האם הוא מסכים שזו או העמדה הזו או זו, הוא עונה שלא, שכן לדעתו אין תשובה נכונה כי אין הגדרה ברורה למושג אובייקט מופשט. כל עוד לא ברור על מה מדברים קשה לומר שיש כאן תשובה. זו טענה מעניינת, אבל אני נוטה לחשוב שהיא לא נכונה.

נניח שאין לנו דרך להכריע (בעיניי אינטואיציה היא דרך הכרעה לגיטימית) איזו משתי התשובות נכונה, אבל חוסר האפשרות להגדיר לא מונע את הטענה שאחת התשובות נכונה. אני גם לא יודע להגדיר באיזה מובן אלוקים קיים, אבל אני מאמין שהוא קיים. יתר על כן, ניתן אפילו לומר שלשיטתו הפוטון אינו קיים, שהרי אין לנו דרך להגדיר את קיומו. זה שהוא יוצר אינטראקציה עם העולם לא אומר לנו באיזה מובן הוא קיים ומהו בדיוק. ואם כך, לשיטתו אין לנו אפשרות לומר שהוא קיים. אם כן, עלינו לראות את התופעות שקשורות אליו כתופעות שאין להן מקור בעולם הממשי. אם תחשבו עוד קצת תראו שאפילו קיומו של אובייקט חומרי, כמו שולחן, אינו ניתן להגדרה (פילוסופים מגדירים קיום דרך מה שניתן לכמת מעליו. הגדרה מעגלית וחסרת תוכן בעליל). האם הוא יאמר שגם השולחן אינו קיים? קיומו של יש מופשט מוגדר בדיוק כמו קיומו של שולחן או פוטון. ההבדל ביניהם אינו באופן הקיום שלהם אלא בתכונות שונות שיש להם. לשולחן יש מיקום במרחב ובזמן, לפוטון אין. ולאידאה אפלטונית אפילו אין אינטראקציה עם המציאות החומרית. אז מה? מדוע הקיום שלה מוגדר פחות טוב מהקיום של שולחן? למושג קיום אין הגדרה אבל הוא מובן לכולנו, ולגמרי די בכך. להבנתי, כל מה שנוכח מולנו ואנחנו תופסים אותו קיים. זה לא תלוי ביכולת שלנו להגדיר אותו, ואפילו לא ביכולת שלנו להגדיר מה פירושו של אותו קיום, ביחס אליו או בכלל.

המרואיין הבא היה המתמטיקאי גרגורי צ'אייטן. הוא מתאר בעיקר תחושות אפלטוניות שיש למתמטיקאים רבים. הוא מבחין בדבריו בין תגליות שלגביהן יש למתמטיקאי תחושה שאם הוא לא היה מגלה אותן מישהו אחר היה עושה זאת, שלהן יש קיום אפלטוני, לבין תגליות שנראות כמו משחק אישי שלו (ואין אינדיקציה שגם בלעדיו מישהו אחר היה משחק בו). הוא אומר שלולא האפלטוניות המתמטיקאי בעצם מבזבז את חייו על פיקציות. אבל זה לא נכון, שהרי גם אם מאמצים את הטענות 1-2 יש כאן גילוי של משהו אמיתי, אפילו אם אין עולם אידאות אפלטוני שבו קיימים יישים מתמטיים. הוא מתוודה שתחושתו היא אפלטונית בעליל, למרות אי הנוחות שהדבר מעורר בו, שכן זה נראה לו כמו אמונה דתית ביישים מופשטים (וזה כנראה משהו שהוא אינו מקבל).

בסוף דבריו הוא מעלה עוד טענה מעניינת. מתמטיקאי אמור להתייחס לעבודתו כמו מדען אמפירי. אם אתה עושה ניסוי מחשב ורואה שמשהו הוא נכון בכל המקרים שבדקת, גם אם אינך יכול להוכיח אותו מתמטית, הוא כנראה נכון. ממש כמו הכללה של תוצאות ניסוי אמפירי במדע. אמנם ישנה אפשרות שזה יופרך בהמשך, אבל לדעתו הסקה מדעית כזאת רלוונטית גם במתמטיקה. דומני שזה ביטוי מעניין לריאליות של המתמטיקה. אם היה מדובר בפיקציה, אזי כל עוד הדבר לא הוכח אין לו מעמד. באיזה מובן הוא נכון כל עוד לא הוכח? אבל אם יש מציאות שנכונה בלי קשר אליי, אז יכולות להיות אינדיקציות שונות שיתנו לי רמזים לגבי נכונותה גם לפני שהוכחתי אותה. לפעמים אטעה, כמו בהכללה מדעית, ועדיין לדעתי זהו ביטוי מעניין מאד לתפיסה אפלטונית.

המרואיין הבא היה וולפרם הידוע. פיזיקאי שהוא גם מתמטיקאי. הוא טוען שיש הרבה מתמטיקות, והמתמטיקה שבידינו היא תוצאה של התפתחות מקרית של שרשרת הניסיונות האנושית בפיתוחה. היא יכלה להיות אחרת לגמרי אם ההתפתחות הייתה שונה. מהמשך דבריו עולה שכוונתו הייתה שניתן היה להתחיל לפתח מתמטיקה מסטים אחרים של הנחות, אבל על כך כבר כתבתי למעלה. לדעתי כל הסטים הללו הם המתמטיקה. אין כאן כמה מתמטיקות וגם לא תחרות בין אלטרנטיבות. כל המתמטיקות אינן אלא חלקים של מכלול אחד. זה שאנחנו גילינו רק חלק ממנו לא אומר מאומה. בדיוק כמו שהפיזיקה שלנו וזו העתידית, או תורת הקוונטים והתרמודינמיקה, אינן כמה פיזיקות. אני לא ממש מבין את הדיבורים שלו על מתמטיקות רבות.

המרואיין האחרון הוא פרנק וילצ'ק, פיזיקאי זוכה פרס נובל. הוא טוען ששתי התשובות נכונות: מתמטיקה גם מתגלה וגם מומצאת, אבל בעיקר מתגלה. טענתו היא שהאקסיומות הן המצאה אבל גזירת התיאורמות מהן היא גילוי. מעבר לזה, שזה אינו נוגע לדיון על אפלטוניות אלא על טענות 1-2, נראה שכוונתו לומר שהאקסיומות הן שרירותיות והתיאורמות הן אמת. אבל ההבחנה הזאת נראית לי אבסורדית. ראשית, האקסיומות אינן בהכרח המצאה (אם כי מותר לו להניח זאת), ולדעתי אפילו סביר שהן גילוי (ראו את הטענה מהפוריות למעלה). שנית, הגזירה של התיאורמות לא יכולה להיות גילוי אם הן עוסקת במשמעותן של אקסיומות ומושגים שהם המצאות. זה סתם משחק מילים. אם אתה חושב שאתה מגלה יחסים בין האקסיומות או בין המושגים שבהם הן עוסקות, אז גם האקסיומות הן משהו שקיים (שאלה 3) או לפחות משהו אמיתי (טענות 1-2).

בסוף דבריו הוא אומר שאמנם גיאומטריות לא אוקלידיות הן המצאה אבל המצאות צריכות לבוא ממקום כלשהו, והיקום יכול להיות מקור להמצאה הזאת. גם אלו נראות לי טענות בעייתיות, שכן ההמצאה הזאת התרחשה הרבה לפני שמישהו העלה בדעתו שהיקום אינו אוקלידי (וכפי שהזכרתי כבר, גם זה עצמו לא לגמרי מדויק). אז קשה לומר שהיקום הוא המקור להמצאה הזאת (אלא אם הוא מניח שהייתה למתמטיקאים הללו תחושה אינטואיטיבית לא מודעת באשר לאופי היקום). אבל מעבר לזה, דווקא בהבחנה הזאת שלו אני רואה משהו משמעותי. טענתו היא שגם אם הגיאומטריה מתארת את היקום, המבנה של היקום אינו הגיאומטריה. הגיאומטריה אינה קיימת ביקום עצמו, אלא היא מבנה מופשט שמיושם על היקום. היקום הוא מודל שלו. הוא צודק בטענתו ששאלת האפלטוניות אינה עוסקת בהופעת המבנה הזה ביקום, אלא בשאלה היכן, אם בכלל, נמצא המבנה הזה עצמו (ראו על כך בטור 50 ועוד).

[1] תיקנתי את המשפט האחרון של שאלה 3. היה אי דיוק בניסוח המקורי.

[2] שאלה למחשבה, מה לגבי הקב"ה ביחס לחלל-זמן? הוא כמו פוטון (שקיים בכל החלל-זמן) או שהוא לא נמצא בכלל בחלל-זמן (צמצום כפשוטו)? לצורך המחשה, זכרו שבטור 340 דיברתי על כך שלא נכון לומר שאורכה של נקודה הוא . נכון יותר לומר שאין לה אורך. מושג האורך אינו רלוונטי לגביה (ראו קצת בטוקבקים שם, שעלתה אפשרות להגדיר את אורכה כ-0). בה במידה השאלה האם מושגי חלל וזמן אינם רלוונטיים ביחס לקב"ה או שהוא נמצא בכל החלל-זמן (לפי זה הוא פשוט כמו גוף שגודלו עצום, אבל אין בו שום דבר מיוחד). בדומה לזה הבחנתי פעם (דומני בשיעור מוקלט) בין עצם שהוא הכרח המציאות לבין עצם שקיים תמיד. רבים מבלבלים ביניהם, אבל זה ממש לא אותו דבר. הכרח המציאות קיים תמיד אבל אם עצם קיים תמיד אין הכרח לומר שהוא הכרח המציאות. עצם שקיים בהכרח מושג ההיעדר לא שייך לגביו. עצם שקיים תמיד פשוט בפועל אינו נעדר אף פעם. אגב, דומני שבאותו מקום דיברתי גם על המושג האוקסימורוני "סיבת עצמו", שגם אותו רבים מערבבים עם הכרח המציאות (בטרמינולוגיה ימי-ביניימית זה היה מאד מקובל). אבל זו סתם שיגרא דלישנא (שרק מבלבלת, כי אין לה משמעות. שום דבר אינו סיבת עצמו. נכון יותר לומר שאין לו סיבה).

[3] שימו לב, אני מניח כאן שאם למושג יש מהות אז הוא קיים במובן אפלטוני (למרות שאין זהות לוגית-מושגית בין הטענות).  אחרת קשה להבין מה יש במושג מעבר לקונוונציה. הערתי על כך למעלה.

[4] ראו בטור 371, את הדיון על טענותיו של ק"ס לואיס. הוא דומה מאד.