הלוגיקה של קל וחומר: א. רלוונטיות (טור 735)

בס"ד

לבתי רבקה, שהדיון הזה התנהל איתה בשבת האחרונה

קל וחומר

שיקולי קל וחומר בתלמוד בנויים על שלוש הנחות הלכתיות שידועות לנו שמהן אנחנו גוזרים מסקנה הלכתית לגבי מצב שאינו ידוע (לאקונה בהלכה). לדוגמה (מסוגיית ב"ק כה): אם שן ורגל שפטור ברשות הרבים חייב בחצר הניזק, אזי קרן שחייבת ברשות הרבים אינו דין שתהיה חייבת בחצר הניזק?!

ניתן להציג את ככל ההנחות שמעורבות בשיקול הזה בטבלה הבאה (0 משמעותו פטור, ו-1 משמעותו חיוב):

טבלה 1: קל וחומר רגיל

שלושת הנתונים שמופיעים בטבלה שהם דינים שידועים לנו, ומהם אנחנו ממלאים את המשבצת החסרה (הלאקונה ההלכתית) ומסיקים שגם בקרן ברשות הרבים יש חיוב (כלומר התוצאה היא 1).

להשלמת התמונה אוסיף שגם אם הטבלה הייתה שונה מעט, עדיין ניתן היה למלא את המשבצת החסרה (לצורך הדיון אניח כאן ששן ורגל חייבת גם ברשות הרבים):

טבלה 2: בניין אב רגיל

השוני הוא בחיוב שן ורגל ברשות הרבים שכאן אני מניח שחייבים. במצב כזה שוב אפשר למלא את המשבצת החסרה ב-1, אלא שהפעם זהו בניין אב ולא קל וחומר. אין כאן היררכיה של חומרא וקולא, אבל אנחנו מדמים את הרשויות זו לזו ו/או את המזיקים זה לזה.

פלפול בצורת קל וחומר

כמה פעמים בעבר הבאתי את הפלפול שמחייב משקוף בציצית (ראו למשל בטור 52 ועוד), שהולך כך: ומה בגד של ארבע כנפות שפטור ממזוזה חייב בציצית, משקוף שחייב במזוזה אינו דין שיהיה חייב בציצית?! זוהי דוגמה לפלפול לפי הגדרתו בטור הנ"ל, שכן יש כאן טיעון שנראה על פניו משכנע אבל מסקנתו נראית אבסורדית. הסברתי שם שפלפול הוא סוג של חידה, כמו פרדוקס, שכן הוא מאתגר אותנו למצוא את הפגם בטיעון. כשמסתכלים על הטיעון הזה הוא נראה כמו כל קו"ח אחר בש"ס, ולכן קשה לשים את האצבע על הפגם שיש בו, ממש כמו בפרדוקס.

בעבר (ראו בטור 601 ועוד) עמדתי על אפשרות נוספת להתייחס לפרדוקסים שאנחנו נוטים להתעלם ממנה: להסיק שבאמת אין פגם בטיעון, והמסקנה שלו, למרות שהיא נראית לנו מופרכת, אכן נכונה. זו גם אופציה שיש לקחת אותה בחשבון. אבל במקרה שלנו, אם נתחשב בכך שאין פוסק ביקום שמחייב משקוף בציצית, כנראה בכל זאת המסקנה ההלכתית שגויה, ולכן נותרת לנו המשימה להצביע על הפגם בטיעון שמוביל אליה.

הקל וחומר ההפוך ומשמעותו

בשיקול דומה ניתן ללמוד חיוב של בגד ארבע כנפות במזוזה: מה משקוף שפטור מציצית חייב במזוזה, בגד של ארבע כנפות שחייב בציצית אינו דין שיתחייב במזוזה?!

לכאורה השיקול הזה לא סותר את קודמו אלא מוסיף עליו. אבל כשבוחנים אותו ביתר דיוק רואים שבכל זאת יש כאן בעיה. השיקול הראשון הסתמך על ההנחה שבגד ארבע כנפות פטור ממזוזה, אבל מהשיקול כאן יוצא שהוא חייב. וכן לאידך גיסא, השיקול הזה מניח שמשקוף פטור מציצית, אבל מהשיקול הקודם יוצא שהוא חייב. אם כן, לכאורה אלו שני שיקולים שסותרים זה את זה.

אבל מבט נוסף מעלה שהדבר אינו כן. נניח שבאמת משקוף חייב בציצית. עדיין ניתן ללמוד לחייב בגד במזוזה. אלא שהפעם זה יהיה בניין אב ולא קל וחומר (כמו בטבלה השנייה למעלה). כלומר גם אם מבצעים את שני השיקולים, זה אמנם לא יהיה קל וחומר אבל עדיין הדין הנלמד יהיה נכון מכוח בניין אב. אם כן, שני השיקולים הללו אינם סותרים זה את זה.

למה לא נלמד חומר וקל?

לכאורה ניתן ללמוד כאן גם חומר וקל, אלא שזה כבר ממש מוביל למסקנות הפוכות. למשל, לפטור בגד מציצית: ומה משקוף שחייב במזוזה פטור מציצית, בגד שפטור ממזוזה אינו דין שיהיה פטור מציצית?! וכן לפטור משקוף ממזוזה: ומה בגד שחייב בציצית פטור ממזוזה, משקול שפטור מציצית אינו דין שיהיה פטור ממזוזה?!

לגבי שני השיקולים האחרונים שהוצגו כאן קל להבין היכן הפגם. התורה עצמה אומרת שמשקוף חייב במזוזה ובגד חייב בציצית, וקל וחומר כזה אינו יכול לשנות זאת. קל וחומר ובניין אב הם מידות דרש שיכולות ללמד אותנו דין שלא מופיע בתורה, אבל הן לא משנות דינים שמופיעים בה בפירוש. אלא שזה כמובן לא רלוונטי לצמד השיקולים הראשון. שם הם באמת ממלאים לאקונה שקיימת בתורה ולא משנים דין שכתוב בה (בתורה לא כתוב שבגד פטור ממזוזה ושמשקוף פטור מציצית. התורה רק לא חייבה זאת בפירוש. זוהי לאקונה).

רמז לבעייתיות

ההערות הללו כבר נותנות לנו רמז לבעייתיות כלשהי בצמד השיקולים הראשון. בדיוק כמו שהמשבצת שאותה ממלאים צריכה להיות ריקה (כלומר לבטא לאקונה מבחינת מה שכתוב בתורה), כך שלוש המשבצות שעליהן מסתמכים בשיקולים הללו צריכות להיות מלאות, כלומר צריך להופיע בהן דין שכתוב בפירוש בתורה. יתר על כן, כללי הדרש אומרים שאנחנו לא לומדים קל וחומר מהלכה (למשה מסיני. ראו נזיר נז ע"א), כלומר שלוש משבצות הנתונים חייבות להיות דין שכתוב בפירוש בתורה.[1] כך למשל בדוגמה שמופיעה בתחילת הטור לגבי נזקי קרן בחצר הניזק, שם שלוש המשבצות המלאות הן דינים שכתובים בתורה.

האם זהו המצב בשני השיקולים הראשונים של הפלפול שהובאו למעלה? בהחלט לא. אם נציג את הדינים שכתובים בתורה לגבי השיקול הזה הטבלה תיראה כך:

טבלה 3: פלפול קל וחומר

שימו לב שיש כאן שתי משבצות שמייצגות דינים שכתובים בתורה (ולא שלושה, כמו בקל וחומר רגיל) ועוד שתי משבצות לאקונה (ולא רק אחת), ולגבי שתי הלאקונות אין בתורה שום דין, לא לחיוב ולא לפטור. משמעות הדבר היא שהשיקולים לחייב משקוף בציצית ובבגד במזוזה מתבססים על שני נתונים מקראיים ולא על שלושה. את השלישי אנחנו מקבלים על ידי כך שאנחנו ממלאים בעצמנו משבצת של לאקונה. הטענה היא שבמצב שבו יש שתי לאקונות כמו בטבלה 3 של הפלפול אי אפשר למלא אף אחת משתי הלאקונות, ועל הטבלה להישאר כפי שהיא.

אמנם על פניו לא ברור מדוע. אמנם התורה לא כותבת שמשקוף פטור מציצית אלא רק לא מחייבת אותו בציצית. אבל להלכה באמת משקוף פטור מציצית, אז בפועל באמת אפשר למלא את המשבצת גם אם הדין לא כתוב בפירוש בתורה. אם כך, למה שלא נבצע שיקול קל וחומר? הרי בפועל יוצא שבגד חמור ממשקוף (מהטור הימני), אז למה שבטור השמאלי לא נמלא 1 כדי לשמור על יחס החומרה, כמו בכל קל וחומר? אמנם כך גם ניתן לעשות לאידך גיסא, למלא את משבצת המשקוף בציצית בטור הימני ב-1. זה כבר משנה את המילוי שעשינו מתוך הלאקונה בתורה (למרות שהיא לא מחייבת משקוף בציצית מסקנתנו היא שהוא חייב בציצית). לחלופין, אכן נתעלם מהלאקונה ונמלא את שתי המשבצות על ידי קל וחומר או בניין אב ונקבל טבלה שכולה 1. זה אמנם לא קל וחומר אלא בניין אב, אבל גם בניין אב היא מידת דרש לגיטימית. אבל אנחנו לא עושים זאת בפועל, שהרי להלכה משקוף פטור מציצית ובגד פטור ממזוזה. משהו כאן עדיין לא ברור.

הנחת הרלוונטיות

להבנתי, ההסבר לכך שאיננו עושים אף אחד משני השיקולים הללו הוא שאנחנו מניחים שמשקוף אינו פטור מציצית אלא שהיא כלל אינה רלוונטית לגביו. והוא הדין לגבי מזוזה בבגד (הוא לא פטור ממנה, אלא מזוזה אינה רלוונטית לבגדים). משמעות הדבר היא שבכל משבצת בטבלת נתונים כזאת יש שלוש אפשרויות מילוי, ולא שתיים: 0 – פטור, 1 – חיוב, ו-X – אינו רלוונטי. לפי זה, הטבלה שבפנינו היא בעצם הבאה:

טבלה 4: הסבר אפשרי לפלפול הקל וחומר (אירלוונטיות)

כשאנחנו אומרים שהחיוב בציצית אינו רלוונטי לגבי משקוף, הטענה היא שאין כאן פטור ולא חיוב. חשבו על טענה כמו "המידה הטובה היא משולשת". האם זה משפט נכון או לא נכון? לא זה ולא זה. זהו משפט חסר מובן, שכן המידה הטובה אינה חלק מהשדה הסמנטי של צורות גיאומטריות. אי אפשר לתאר אותה באמצעותן. הוא הדין לגבי משקוף וציצית. משקוף אינו בשדה הסמנטי של הדברים שחייבים בציצית.

כדי להבין זאת טוב יותר, ניטול את הדוגמה הבאה. הגמרא מביאה בכמה מקומות גזירה שווה שמדמה עבד לאישה. אחת ההשלכות היא שהוא חייב במצוות כאישה. רעק"א טוען שהבבלי והירושלמי נחלקים בשאלה האם ההשוואה היא לחומרא או לקולא, כלומר האם עבד בסיסית פטור מכל המצוות כגוי, והגז"ש מלמדת שהוא בכל זאת חייב במצוות שאישה חייבת בהן (עבד הוא גוי משודרג), או שהוא בעצם חייב בכל המצוות כגבר יהודי, והגז"ש בכל זאת פוטרת אותו מהמצוות שאישה פטורה מהן (עבד הוא יהודי מופחת). שימו לב ששתי הטענות הללו אינן שקולות. הנפ"מ היא לגבי איסור כמו הקפת הראש. אישה אינה פטורה מהאיסור הזה, אלא הוא פשוט לא שייך לגביה (כי בפועל לא גדלות אצלה פאות). אם עבד חייב בכל מה שאישה חייבת, הוא לא יהיה חייב באיסור הקפת הראש כי  אישה אינה חייבת בו. אבל אם הוא פטור ממה שאישה פטורה ממנו, הרי אישה אינה פטורה מהקפת הראש. זה רק לא שייך לגביה, אבל בעבד זה כן שייך. לפי הצד הזה עבד יהיה חייב באיסור הקפת הראש. משמעות הדבר היא שיש הבדל בין האמירה שאישה פטורה מאיסור הקפת הראש לבין האמירה שהיא אינה שייכת בה או אינה רלוונטית לגביה. הבחנה כזאת בדיוק עשיתי לגבי ציצית במשקוף. השאלה האם המשקוף פטור מהציצית (0) או שציצית כלל אינה שייכת לגביו (X).

אם כך, הבנו את משמעותו של X בטבלה שלמעלה. הוא מייצג אירלוונטיות. כעת ברור שבהסתכלות הזאת אי אפשר לגזור מהעמודה הימנית בטבלה 4 היררכיית חומרה של בגד מול משקוף, מפני שמשקוף אינו פטור מציצית אלא בלתי רלוונטי לגביה. לכן אין להוכיח מכאן שהוא קל יותר מבגד. כמובן שאותו דבר ניתן לומר על השורה העליונה בטבלה 4, שגם ממנה לא ניתן לגזור היררכיית חומרה של מזוזה מול ציצית. וכך גם לא ניתן לגזור מהשורה התחתונה היררכיית חומרה הפוכה של ציצית מול מזוזה, ומהעמודה השמאלית היררכיית חומרה של בגד מול משקוף. כל המסקנות הללו לגבי היררכיות חומרה אינן נכונות אם המילוי בשתי המשבצות הללו הוא X ולא 0.

מה שעומד מאחורי בעיית הרלוונטיות הוא העניין הבא: כשאנחנו מסתכלים על העמודה הימנית אנחנו רוצים ללמוד ממנה לעמודה השמאלית. ההנחה כאן היא שיש לשתיהן משהו משותף, והמינון שלו בשמאלית גבוה יותר ולכן היא יותר חמורה. אבל לאור התמונה שהצעתי כאן, אין שום דבר משותף בין העמודות ו/או בין השורות, ולכן אין להסיק מזו על זו. ואם באחת יש היררכיה כלשהי זה לא אומר שהיא תופיע גם בשנייה.

השאלה היא מניין אנחנו יודעים שלאקונה כזאת מבטאת חוסר רלוונטיות (X) ולא פטור (0)? איך החלטנו שמשקוף אינו פטור מציצית אלא שהיא אינה רלוונטית לגביו? ומזווית אחרת: למה שלא נאמר אותו דבר לגבי המשבצת של שן ורגל ברשות הרבים (ונפרש שהחיוב אינו רלוונטי ולא שיש שם פטור)? ישנה אינטואיציה שבמשקוף וציצית זה באמת חוסר רלוונטיות, אבל זה דורש עיגון. יתר על כן, יש כאן סוג של דרישת טעמא דקרא, מה שאיננו אמורים לעשות כשאנחנו מפרשים פסוקים. בקיצור, עלינו להבין מדוע בטבלה של משקוף ובגד אנחנו ממלאים X ולא 0.

כדי להסביר זאת, אקדים הסבר מעט פורמלי לגבי דרך ההיסק של קל וחומר רגיל.

הנהרת היסק הקל וחומר

אחד המאמרים הראשונים שלי עסק בקל וחומר ובבחינת היחס בינו לבין סילוגיזם לוגי (טיעון לוגי תקף). הראיתי שם שקל וחומר אינו טיעון לוגי תקף, והאינדיקציה לכך היא אפשרותן של פירכות. על טיעון תקף אין ולא יכולות להיות פירכות. לכל היותר ניתן להצביע על טעות בטיעון. פירכא אינה מצביעה על טעות בטיעון אלא על כך שהטיעון לא מוביל למסקנה הנכונה. מכאן שמדובר בטיעון שאינו הכרחי, כלומר זה איננו טיעון לוגי תקף.

בספר הראשון בסדרת לוגיקה תלמודית (הוא מובא כאן באתר בצמד מאמרים ארוכים מכתב העת בד"ד: הראשון והשני) המשכנו להעמיק בנושא, ופיתחנו לוגיקה פורמלית שלימה שעוסקת בטיעונים לא דדוקטיביים. הבסיס היה קל וחומר, בנייני אב, הצד השווה והפירכות עליהם, אבל התברר לנו שכל טיעון לא דדוקטיבי בכל תחום ניתן עקרונית להצגה כמבנה שמורכב מאבני הבניין הללו. הופתעתי כעת לגלות שאיני מוצא באתר הצגה מסודרת של הבסיס לתמונה הלוגית הזאת, ואנצל את ההזדמנות לעשות זאת כאן.

לשם כך, נשוב לטיעון הקל וחומר שמוצג בתחילת הטור לגבי קרן בחצר הניזק. ראינו שם שאם נתונות לנו שלוש ההלכות שבטבלה ניתן להסיק מהן את הרביעית (כלומר לרשום 1: שקרן חייבת בחצר הניזק). מדוע באמת זה כך? מה שולל את האפשרות שקרן דווקא פטורה שם? לפני שאסביר זאת אשאל עוד שאלה.

תחילה אחזור למה שכבר רמזתי למעלה, שניתן להציג כל טיעון של קל וחומר בשתי צורות: של עמודות ושל שורות:

• קל וחומר של עמודות מתבונן על העמודה הימנית בטבלה, מוצא שם היררכיה שלפיה השורה השנייה (שממולא בה 1) חמורה מהראשונה (שממולא בה 0), ואז מיישם זאת על העמודה השמאלית. ההנחה היא שגם שם השורה השנייה (המשבצת הריקה עם סימן השאלה) חמורה מהראשונה (שממולא בה 1), ולכן המילוי המתבקש הוא 1.
• קל וחומר של שורות עושה בדיוק אותו דבר אבל בסיבוב של 90 מעלות, כך שבמקום העמודות בטבלה אנחנו מסתכלים על השורות. תחילה מתבוננים על השורה העליונה, ומוצאים שם היררכיה בין העמודות (שהשנייה חמורה מהראשונה), וכעת מיישמים זאת לשורה התחתונה, ולכן אם בעמודה השמאלית בה יש 1 אזי בעמודה הימנית ודאי שיהיה 1.

במאמר הראשוני שלי הראיתי שכל אחד משני הטיעונים הללו אינו דדוקציה, כלומר לא מדובר בטיעון לוגי תקף. למשל, בטיעון העמודות מהתבוננות בעמודה הימנית מוצאים היררכיה (קרן חמורה משן ורגל ברשות הרבים). כעת באה הכללה לכלל הרשויות: קרן חמורה משן ורגל בכל רשות שהיא. רק כעת ניתן להסיק מסקנה שקרן חמורה משן ורגל גם בחצר הניזק. מסקנת הביניים (הלא הכרחית. מדובר בהכללה) שעליה מבוסס הטיעון הזה היא שקרן חמורה משן ורגל בכל הרשויות. לעומת זאת, בטיעון השורות מסקנת הביניים היא שונה: שחצר הניזק חמורה מרשות הרבים לגבי כל המזיקים.

מניין לנו שאלו לא שני ניסוחים שונים של אותו טיעון? קודם כל, מפני ששני הטיעונים הללו מבוססים על הנחות שונות. כדי לראות זאת באופן חד יותר, אפשר פשוט להתבונן על פירכא.

משמעותה של פירכא

כאשר מעלים פירכא נגד טיעון קל וחומר, בעצם מוסיפים שני נתונים לשלושת הקיימים. לדוגמה:

טבלה 5: קל וחומר רגיל עם פירכת עמודה

נניח שיש רשות (הירח) שבה שן ורגל חמורים מקרן. זוהי פירכת עמודה על הקל וחומר. מדוע? מפני שרואים שההיררכיה שהנחנו בין קרן לבין שן ורגל אינה נכונה, או לפחות אינה כללית. ההכללה שלפיה מהעמודה הימנית ניתן להסיק שקרן לעולם חמורה משן ורגל, בכל רשות שהיא, אינה נכונה. זה אמנם קיים ברשות הרבים, אבל על הירח לא. כעת ניתן לתהות האם בחצר הניזק ההיררכיה הזאת קיימת (כמו ברשות הרבים) או לא (כמו בירח). הפירכא מראה שאי אפשר להסיק מסקנה ברורה לגבי חיוב קרן בחצר הניזק.

מה לגבי קל וחומר השורות? ראינו שהוא מניח הכללה שמובילה למסקנת ביניים שונה בתכלית: שחצר הניזק חמורה מרשות הרבים לגבי כל המזיקים. האם העמודה הנוספת בטבלה 5 פורכת את מסקנת הביניים הזאת? ממש לא. אם כן, לכאורה הקל וחומר של השורות נותר בעינו גם אחרי הפירכא. כדי לפרוך אותו עלינו למצוא בהלכה שורה שלישית, שבה מתהפכת ההיררכיה שבין הרשויות, לדוגמה:

טבלה 6: קל וחומר רגיל עם פירכת שורה

מצאנו מזיק שלישי (זנב) שחייב ברשות הרבים ופטור בחצר הניזק. זה כמובן מפיל את מסקנת הביניים של טיעון השורות, שלפיה חצר הניזק חמורה תמיד (לגבי כל המזיקים) מרשות הרבים.

אלא שעיון בתלמוד מעלה מסקנה מפתיעה: כאשר מוצגת פירכא אחת, שורה או עמודה, הקל וחומר נדחה וזהו. אף אחד מחכמי התלמוד בשום מקום לא מעלה בדעתו לסובב את הקל וחומר ולהשתמש בניסוח השני. אם הופרך טיעון העמודות לעולם לא משתמשים בטיעון השורות וגם לא להיפך.[2] זוהי תעלומה שהטרידה אותי לא מעט זמן, שכן היא רומזת לכך שלמרות מה שראינו שני הטיעונים הללו הם דווקא כן שני ניסוחים שונים של אותו טיעון. לכן בנפול האחד נפל גם השני. השאלה מה לא נכון במה שתיארתי עד כאן? כפי שראינו, לכאורה מדובר בשני טיעונים שונים, שכן כל אחד מהם מניח הנחה שונה מחברו.

לוגיקה לא דדוקטיבית: קל וחומר

כאן אנחנו מגיעים לניתוח הלוגי של טיעון הקל וחומר ששימש לנו בסיס לפיתוח הלוגיקה הלא דדוקטיבית כולה. נתבונן שוב בטבלת קל וחומר רגילה כמו זו שראינו:

טבלה 1: קל וחומר רגיל

נתחיל מטיעון העמודות. הוא נפתח בכך שיש חומרה בקרן מעבר לשן ורגל. סביר שהחומרה הזאת מבוססת על תכונה כלשהי שנסמן ב-α, שבקרן יש אותה ברמה של 2 יחידות ובשן ורגל ברמה של יחידה אחת. כלומר לקרן יש את התכונה הזאת בעוצמה של 2α ולשן ורגל בעוצמה α. אלא שלא די בזה כדי להסיק את המסקנה לגבי העמודה השמאלית. כדי לעשות זאת, עלינו להניח שהתכונה α ששולטת על ההיררכיה בעמודה הימנית (חיוב ברשות הרבים), היא התכונה הרלוונטית גם לגבי ההלכות שבעמודה השמאלית. כלומר חומרה של מזיק בתכונה α תגרום גם לחיוב שלו בחצר הניזק. זוהי בעצם ההכללה שלנו שהחומרה הזאת קיימת בכל הרשויות. אבל שימו לב מה אומרת ההנחה הזאת: שאם ברשות הרבים נדרשת עוצמה של 2α כדי לחייב (לכן רק קרן חייבת ולא שן ורגל), הרי שבחצר הניזק די לנו בעוצמה של α (שהרי שם גם שן ורגל חייבות). ומכאן נוכל להסיק שבקרן שיש בה עוצמה של 2α ודאי תהיה חייבת בחצר הניזק.

שימו לב מה קיבלנו: שאם מניחים היררכיה ביחס לפרמטר α בין השורות בעמודה הימנית, עלינו להניח באופן סמוי אותה היררכיה בין העמודות. אם מניחים שיש פרמטר α שמאפיין את המזיקים, אותו פרמטר בהכרח צריך לאפיין גם את הרשויות. כדי לבצע את טיעון העמודות לא די לנו בהנחת היררכיה בין השורות (בעמודה הימנית ובהכללה לכל הרשויות), אלא במובלע אנחנו מניחים גם היררכיה בין העמודות (בשורה העליונה ובהכללה לכל המזיקים). ההיררכיה בין המזיקים היא חומרתו של המזיק. ככל שעוצמת ה-α שלו גדולה יותר כך הוא חמור יותר. בין הרשויות המצב הוא הפוך: ככל שעוצמת ה-α של הרשות גדולה יותר, זה אומר שקשה יותר לחייב בה (נדרשת עוצמת α גדולה יותר של המזיק כדי לחייב שם).

הרי לכם שטיעוני קל וחומר של שורות ושל עמודות הם בעצם שני ניסוחים שונים של אותו טיעון, שמניח היררכיה לגבי הופעה של אותה תכונה גם בין השורות וגם בין העמודות. שתי ההנחות נדרשות כדי לבצע את טיעון השורות ושתיהן נדרשות גם כדי לבצע את טיעון העמודות. אין פלא שפירכת עמודה או פירכת שורה שכל אחת מהן מפילה את אחת ההיררכיות (של העמודות או השורות בהתאמה), מפילה את שני הניסוחים. לכן צודק התלמוד שלעולם אינו מסובב קל וחומר כדי להצילו מפירכא. הסיבוב לא יועיל ולא יציל את הקל וחומר.

בניסוח אחר, כשאנחנו בוחנים טבלה כמו זו של המזיקים, אנחנו שואלים את עצמנו מהו ההסבר לשלושת הנתונים הידועים בטבלה 1. ההסבר המוצע הוא הבא:

מודל 1: הסבר לקל וחומר רגיל

אתם יכולים לראות מדוע באמת חצר הניזק חמורה מרשות הרבים (כי כדי לחייב בה נדרשת עוצמה פחותה של מזיק), ומדוע חומרת המזיק של קרן היא יותר מזו של שן ורגל (כי העוצמה שלה היא 2α). אבל כאמור שתי ההנחות הללו נדרשות כדי לבצע את טיעון העמודות ושתיהן נדרשות גם כדי לבצע את טיעון השורות, ולכן בעצם מדובר בשני ניסוחים של אותו טיעון עצמו.

לוגיקה לא דדוקטיבית: פירכא על קל וחומר

מה קורה כשיש פירכא? מתברר שבמצב כזה לא תצליחו למצוא מודל של עוצמות שמורכב מפרמטר בודד. התבוננו למשל בטבלה 5 למעלה של פירכת עמודה.

טבלה 5: קל וחומר רגיל עם פירכת עמודה

מה המודל שיכול להסביר את הטבלה הזאת? קל להיווכח בכך שאין מודל עם פרמטר בודד שיכול להסביר את חמשת הנתונים שבטבלה. הסיבה לכך היא ההיררכיה ההפוכה שקיימת בעמודה השמאלית לעומת הימנית. זה מראה שיש כאן ברקע לפחות שני פרמטרים שונים. כשתנתחו את הטבלה ותחפשו את המודל שמסביר אותה תוכלו להגיע לכמה מודלים שונים, אבל כולם עם לפחות שני פרמטרים. לדוגמה:

מודל 2: הסבר לקל וחומר רגיל עם פירכת עמודה

שימו לב שכאן כבר לא תוכל לקבוע היררכיה בין קרן לשן ורגל, וגם לא בין חצר הניזק לרשות הרבים.

לכן המילוי של המשבצת החסרה (הלאקונה) אינו חד משמעי. ניתן למלא שם 0 או 1, ושניהם יתאימו למודל שהצענו כאן. זה תלוי בשאלה מה היחס בין α לבין β. ולכן בנוכחות פירכא אין לנו דרך להסיק מהנתונים את הדין לגבי קרן בחצר הניזק.

שאלת היחידות של המודל: קל וחומר

אמנם גם בטבלה 1 של הקל וחומר הרגיל ניתן למצוא הסבר אחר לשלושת הנתונים. לדוגמה:

מודל 3: הסבר אלטרנטיבי לקל וחומר רגיל

אם תתבוננו בטבלה 1 תראו שהמודל הזה מסביר היטב את שלושת הנתונים שבה. אלא שכעת המילוי של הלאקונה הוא 0 ולא 1 (שכן לפי המודל הזה לקרן יש תכונה β אבל כדי לחייב בחצר הניזק דרושה דווקא התכונה α). לעומת זאת, לפי הצעת מודל 1 לטבלת קל וחומר, המילוי המתבקש הוא 1. אז למה בקל וחומר אנחנו ממלאים את הלאקונה דווקא ב-1?

התשובה היא שמודל 1 (שהוא חד פרמטרי. יש בו רק את α) הוא פשוט יותר ממודל 3 (שיש בו שני פרמטרים, α ו- β). ההנחה היא שהמודל שבו בוחרים כדי להסביר טבלה נתונה הוא המודל הפשוט ביותר שמציע לה הסבר (זוהי בעצם גרסה של עקרון התער של אוקאם. ראו עליו בטור 426).

ניסוח אלטרנטיבי לטיעון קל וחומר רגיל

כעת נוכל לנסח את הלוגיקה של טיעון הקל וחומר כך: נתונה טבלה 1 ובה שלושה נתונים, וברצוננו לדעת מהו המילוי של משבצת הלאקונה (0 או 1). כדי לבדוק זאת, נמלא שם 0 ונמצא את המודל הפשוט ביותר שמסביר את הטבלה שהתקבלה. לאחר מכן נמלא שם 1 ונמצא את המודל הפשוט ביותר שמסביר את הטבלה שהתקבלה. אם אחד משני המודלים הוא פשוט יותר, אזי הנחתנו היא שהוא הנכון, ולכן המילוי שמתחייב ממנו הוא המילוי הנכון של הלאקונה.

ניישם זאת כעת על קל וחומר. הנתונים מופיעים בטבלה 1. אם ממלאים את הלאקונה ב-1 מקבלים:

טבלה 7: קל וחומר רגיל במילוי 1

המודל הפשוט ביותר שמסביר את ארבעת הנתונים בטבלה הזאת הוא כמובן מודל 1:

מודל 1: מודל לקל וחומר רגיל במילוי 1

אם ממלאים את הלאקונה בטבלה 1 במילוי 0, מתקבלת הטבלה הבאה:

טבלה 8: קל וחומר רגיל במילוי 0

קל לראות שאין לנו כאן אפשרות להסביר את ארבעת הנתונים באמצעות מודל של פרמטר אחד. המודל הפשוט ביותר שמתקבל כאן הוא כמובן מודל 3:

מודל 3: מודל לקל וחומר רגיל במילוי 0

ההשוואה בין שני המודלים הללו מעלה שטבלה 7 פשוטה יותר מ-8, ולכן על פי עקרון התער של אוקאם המילוי של הלאקונה בקל וחומר רגיל הוא 1.

הסבר מזווית אחרת: בחזרה לרלוונטיות

מה שעומד מאחורי הניתוח הזה הוא שכדי לבצע שיקול של קל וחומר עלינו להניח קשר בין הנתונים בטבלה, כלומר שכולם נשלטים על ידי אותם פרמטרים. אי אפשר לבנות היררכיה בעמודה אחת על בסיס פרמטר α, ולהסיק מכאן מסקנה לגבי עמודה אחרת אם היא נשלטת על ידי פרמטר אחר, β.

המסקנה העולה מכאן היא שמאחורי טבלת הקל וחומר, ובעצם כל טבלת נתונים שנרצה להסיק ממנה מסקנות, נמצאת הנחה שכל הנתונים הללו שייכים לאותו שדה סמנטי, כלומר שכל ההלכות שבטבלה נשלטות על ידי אותו פרמטר. רק בגלל זה ניתן להסיק מהיררכיה שקיימת בשורה או בעמודה כלשהי שאותה היררכיה תתקיים גם בעמודה או שורה אחרת.

חשבו למשל על הדוגמה הבאה. אם ראובן קיבל ציון גבוה יותר משמעון במתמטיקה, האם נכון להסיק מכאן שהוא גם יהיה טוב ממנו בספרות? אם נסמן את הכישרון במתמטיקה ב-α אזי הכישרון בספרות הוא שונה ויסומן ב-β. מי שניחן ביותר מהתכונה α לא בהכרח ניחן ביותר מהתכונה β. זוהי בעצם הרלוונטיות שעליה דיברתי למעלה. כדי להסיק מנתונים כלשהם מסקנה לנתון אחר, צריך שהם יהיו רלוונטיים למסקנה הזאת, כלומר שהם ייקבעו על ידי אותם פרמטרים ששולטים גם על המסקנה. אז אולי מההיררכיה בין תלמידים במתמטיקה ניתן להסיק מסקנות לגבי ציוניהם בפיזיקה, כי הכישרון בפיזיקה דומה לזה שבמתמטיקה (לא בהכרח, אבל זה סביר יותר), אבל לא לגבי ספרות (שם מדובר בכישרון שונה לגמרי).

כעת נוכל לשוב לפלפול הקל וחומר (על משקוף וציצית) ולנסות להסביר את הפגם בטיעון.

בחזרה למשקוף

נתבונן כעת על טבלה 3 שמייצגת את פלפול הקל וחומר:

טבלה 3: פלפול קל וחומר

השאלה היא מה למלא בשתי משבצות הלאקונה. אם נניח שבעליונה מימין יש 0 נקבל משיקול קל וחומר שהשמאלית התחתונה היא 1. כך גם להיפך: אם נניח שהשמאלית התחתונה היא 0 אזי משיקול קל וחומר דומה נקבל שהימנית עליונה תהיה 1. זה בדיוק מה שעושים בפלפול: ממלאים כל פעם באחת מהן 0 ואז מסיקים שהשנייה היא 1.

אבל אם מתבוננים רק על הנתונים שיש לנו מהתורה, אזי כפי שראינו בשתי המשבצות הללו עלינו למלא 0. אם זה כך, אזי קיבלנו משהו דומה מאד לטבלה 8. מה זה אומר? שהמודל שמסביר את הטבלה הוא מודל 3 (כמו קל וחומר במילוי 0), כלומר שכל שורה נשלטת על ידי פרמטר אחר וכך גם לגבי כל אחת מהעמודות. משמעות העניין היא שאין כאן רלוונטיות, כלומר שאין להסיק מסקנות מעמודה אחת לחברתה או משורה אחת לחברתה. וזה בעצם אומר שהמילוי הנכון בשתי המשבצות הללו אינו 0 אלא X (ראו בטבלה 4). במילים אחרות, עצם המבנה של הטבלה של פלפול הקל וחומר, כלומר עצם העובדה שיש בה רק שני נתונים וכל האלכסון שלה ריק (שתי לאקונות), מלמדת אותנו שלא מתקיימת כאן רלוונטיות בין העמודות או השורות, ולכן אסור לנו להסיק מסקנות מהנתונים בעמודה/שורה אחת לעמודה/שורה אחרת.

אז למה בטבלת קל וחומר רגיל (טבלה 1) אנחנו מניחים שיש רלוונטיות? למה אנחנו ממלאים במשבצת הימנית עליונה 0 ולא X? מפני שזהו נתון שכתוב בתורה. יש כאן שלושה נתונים ולא שניים. התורה עצמה אומרת שמדובר בפטור ולא באירלוונטיות. אבל כשיש שתי משבצות לאקונה אין לנו דרך לדעת איזו משתיהן למלא ב-0, ולכן שאלת הרלוונטיות נותרת פתוחה. יש אפשרות ששתיהן 0, וכפי שראינו כששתיהן 0 פירוש הדבר שזה אינו 0 אלא X, כלומר שאין למשקוף פטור מציצית אלא שהיא אינה רלוונטית לגביו. וכך גם לגבי מזוזה בבגד ארבע כנפות. ויש אפשרות ששתיהן 1 (משני הקלים וחמורים של הפלפול). במצב כזה אנחנו מחליטים שמדובר באירלוונטיות (אחרת נקלעים לפרדוקס שהמילוי של שתי המשבצות ב-0 יניב מכוח קל וחומר דו כיווני תוצאה סותרת: שבשתיהן יש להציב 1).

המסקנה היא שבניסוח של המודל הלוגי שלנו למשקוף אין בכלל את התכונה α שאחראית על חיוב בציצית, אלא רק את התכונה β שאחראית על חיוב במזוזה. וכך גם לגבי בגד ארבע כנפות. יש לו את התכונה α שאחראית על חיוב בציצית אבל לא את התכונה β שאחראית על חיוב במזוזה. אין שם רלוונטיות והמילוי של שתי משבצות הלאקונה הוא X ולא 0. שימו לב, זה לא שהתכונה האחרת מופיעה אצל האובייקט הזה ברמה נמוכה יותר, אלא אין לו בכלל את התכונה הזאת. היא אינה רלוונטית לגביו.

לא בכדי כתבו בעלי הכללים שניתן ללמוד קל וחומר רק אם יש לנו שלושה נתונים מקראיים. אם יש לנו רק שני נתונים, יש להותיר את המצב כפי שהוא (לפי ההסבר שהצעתי, הסיבה לכך היא שמדובר באירלוונטיות ולא בפטור). אגב, הדוגמה של משקוף בציצית אינה שלי. זוהי דוגמה שמובאת אצל כמה מבעלי הכללים בכדי להמחיש את הרעיון הזה.

[1] אמנם יש גם מגבלות על "למד מן הלמד", בסוגיית זבחים נ וסביבה, אבל שם נראה שישנם מקרים שבהם ניתן ללמוד קל וחומר מדין שבעצמו נלמד מדרשה ולא כתוב בפירוש בתורה.

[2] ישנם שני חריגים בתלמוד (בב"ק ובנידה) שבהם התלמוד כן מסובב את הקל וחומר, אבל בשניהם הטבלה מורכבת יותר מזו שראינו כאן (אלו מקרים של 'דיו', כלומר שאחת המשבצות שאצלנו מופיע בה 1 ממולאת ב-0.5 למשל).