הפוליגרף הלוגי: על שקרנים ובני אדם (טור 200)

בס"ד

בסימן טוב ובמזל טוב הגענו לטור 200. הטור הראשון נכתב בסוף 2015, לפני קצת מעל שלוש שנים, כך שהקצב הממוצע (כשישים וחמישה טורים בשנה) הוא מעבר ליעד של כטור בשבוע שלקחתי על עצמי. יישר כוחי.J

בטור 197 עסקנו בחידה על שודדים שקשורה לתורת המשחקים. בין היתר עסקתי שם בשאלה האם תורת המשחקים צריכה לתאר את אופן ההתנהגות האנושי (כלומר האם היא ענף של הפסיכולוגיה) או שהיא רק מורה לנו כיצד נכון להתנהג בהינתן פונקציית תועלת מסוימת של האדם (כלומר היא ענף של המתמטיקה). זה הזכיר לי סוגיה אחרת שגם בה ניתן להיווכח במתח בין התיאוריה הלוגית-מתמטית לבין המציאות מזווית אחרת. אני מכנה אותה "הפוליגרף הלוגי". אמנם זה לא דיון בתורת המשחקים אלא בלוגיקה, ועדיין יש כאן מתח מעניין בין השיקול המתמטי לבין ההתנהגות האנושית.

כיצד לחלץ הוראות מספק שקרן? ספק דאיקבע איסורא[1]

once upon a time כשלימדתי נוער שוחר מדע באוניברסיטה, עסקנו בלוגיקה ובמשמעותה. הצגתי בפני הזאטוטים מאמר קצר של יעל כהן (מהאוניברסיטה העברית), שנקרא "כיצד להוציא את האמת מכל שקרן".[2] המחברת מציעה שם אלגוריתם לוגי שמאפשר להוציא את האמת מכל אדם, בלי תלות בשאלה האם הוא שקרן או דובר אמת.

היא מתחילה את המהלך בחידה הידועה[3] על אדם שהולך בדרך לגן עדן.[4] הוא מגיע לצומת דרכים, האחת מובילה לגן עדן והשנייה לגיהינום. בתחילת כל דרך עומד שומר, כאשר אחד משניהם הוא שקרן והשני דובר אמת. ההלך כמובן לא יודע מי שקרן ומי דובר אמת, והוא יכול לשאול את אחד מהם שאלה אחת של כן/לא כדי לברר לאן עליו לפנות. מה עליו לשאול?

התשובה ידועה. הוא בעצם צריך לשאול את אחד מהם:

א. מה היה עונה השני לו הייתי שואל אותו האם הדרך הימנית מובילה לגן עדן?

משקיבל תשובה עליו לעשות את ההיפך כמובן. בדקו ותראו שללא תלות בטיבו של הנשאל (אם הוא שקרן או דובר אמת) ההלך שינהג כך תמיד יגיע לגן עדן.

כיצד להוציא את האמת מספק שקרן? ספק דלא איקבע איסורא

גרסה אחרת (זו כנראה הייתה הגרסה המקורית של גודמן) מדברת על שבט שמורכב מדוברי אמת ושקרנים. אחד מהם שומר בצומת, וההלך לא יודע אם הוא מהשקרנים או מדוברי האמת. עליו לשאול אותו שאלת כן/לא אחת ולגלות את הדרך הנכונה לגן עדן. מה עליו לשאול?

גם כאן תשובה די דומה:

ב. מה היית עונה לי לו הייתי שואל אותך האם הדרך הימנית מובילה לגן עדן?

אם תבדקו תראו שכאן עליו לעשות בדיוק את מה שנאמר לו (לא את ההיפך, כמו בדוגמה הקודמת), וללא תלות מיהו הנשאל (האם הוא שקרן או דובר אמת) אם ינהג כך הוא יגיע לגן עדן.

כיצד להוציא את האמת מספק שקרן ללא פסוקים נוגדי מציאות

אמנם השאלות הללו משתמשות בפסוקים נוגדי מציאות (counterfactual: מה היה קורה אילו… ), ופילוסופים אנליטיים סבורים שאלו פסוקים בעייתיים. לכן גודמן תוהה האם ניתן להוציא את האמת מהשומר בצומת באמצעות שאלה אחת שלא משתמשת בפסוקים בעייתיים שכאלה. הוא מחפש שאלה שמבוססת על משפט מורכב וקַשרים לוגיים בלבד. מתברר שגם כאן התשובה היא חיובית. אפשר לשאול את השומר את השאלה הבאה:

ג. האם אתה שקרן אם ורק אם הדרך הימנית מובילה לגן עדן?

כאן על ההלך לעשות את ההיפך ממה שנאמר לו, במובן הבא: אם הנשאל עונה "כן" עליו לפנות שמאלה, ואם הוא עונה "לא" עליו לפנות ימינה.

הניתוח הולך כך: המשפט (=הפסוק) הזה הוא הרכבה של שני משפטים אטומיים (=פסוקיות)[5]: (A) "אתה שקרן". (B) "הדרך הימנית מובילה לגן עדן". הקַשר שמרכיב אותם הוא קַשר השקילות (אם ורק אם, שמסומן: =).[6] לכן ההצרנה של המשפט היא: A=B. הגדרת קַשר השקילות בלוגיקה היא שהפסוק המורכב הוא אמתי אם ורק אם שתי הפסוקיות הן בעלות אותו ערך אמת (או ששתיהן שקריות או ששתיהן אמתיות).[7]

אני שואל את השומר האם A=B? התשובה לשאלה הזאת היא "כן" אם ערך האמת של הפסוק המורכב הוא אמת, ו"לא" אם ערך האמת הוא שקר. אבל כמובן אם השומר שלנו הוא שקרן אזי הוא יענה את ההיפך ממה שעליו לענות (אם התשובה הנכונה היא "כן" שומר שקרן יענה "לא" ולהיפך).

כדי לראות מדוע שאלה כזאת מוציאה את האמת מכל אדם, עלינו לחלק את הדיון למצב שבו הנשאל הוא שקרן או דובר אמת:

• השומר שקרן. במצב כזה הפסוקית A היא אמתית. לכן אם הדרך הימנית מובילה לגן עדן אזי גם הפסוקית B אמתית, ולכן ערך האמת של הפסוק המורכב הוא אמת (כי יש זהות בין ערכי האמת של שתי הפסוקיות). אבל כשקרן הוא יענה כמובן "לא". אם הדרך הימנית לא מובילה לגן עדן, אזי הפסוקית B שקרית, ולכן הפסוק המורכב כולו שקרי. אבל הוא כשקרן יענה כמובן "כן". לכן אם הוא שקרן אזי כשהתשובה היא "לא" על ההלך לפנות ימינה, ואם התשובה היא "כן" עליו לפנות שמאלה.
• השומר דובר אמת. במקרה כזה הפסוקית A שקרית. אם הדרך הימנית מובילה לגן עדן אזי הפסוקית B אמתית ולכן הפסוק המורכב כולו שקרי (כי אין זהות בין ערכי האמת של שתי הפסוקיות). דובר האמת יענה כמובן "לא". ואם הדרך הימנית לא מובילה לגן עדן, אזי הפסוקית B היא שקרית, ולכן ערך האמת של הפסוק המורכב הוא אמת, והנשאל שהוא דובר אמת יענה "כן". לכן גם במקרה כזה על ההלך לפנות שמאלה אם התשובה היא "כן", וימינה אם התשובה היא "לא".

בשני המקרים על ההלך לעשות אותו דבר. לכן בלי תלות בטיבו של השומר שנשאל, אם התשובה היא "כן" – על ההלך לפנות שמאלה, ואם היא "לא" – ימינה. אם כך, לא משנה מה טיבו של השומר שלפניו יש להלך הנבוך שלנו דרך ברורה להוציא ממנו את האמת, והפעם אפילו בלי שימוש בפסוקים נוגדי מציאות.

אבל אולי השומר לא יודע לוגיקה?

ומה אם השומר לא יודע לוגיקה ולא מבין את משמעותו של קַשר השקילות? הרי אדם רגיל לא יעלה בדעתו לענות על השאלה הזאת שום דבר. הוא בכלל לא יבין אותה, וכנראה יסתפק במתן אגרוף שיכוון ישירות ללסתו השמוטה של ההלך התם שלנו שמציק לו בשאלות חסרות מובן.

כמובן שבה במידה יכולנו להקשות אולי השומר לא יודע עברית, או שהוא לא יודע מה פירוש המילה 'גן עדן'. אלו לא שאלות מטרידות, שכן מדובר בבעיה טכנית בלבד. לכל היותר נלמד אותו עברית ואת המונחים שבהם משתמשים, והבעיה הלוגית מוגדרת היטב. אם כן, הוא הדין לגבי הבעיה של ידיעת לוגיקה. במקרה כזה על ההלך שלנו ללמד את השומר פרק בלוגיקה ולהבהיר לו את משמעותו של הקַשר הזה, ואז לחזור ולשאול אותו. לצורך הדיון הלוגי, ההנחה היא שהשומר שלנו מבין מה שמדברים איתו, כלומר מכיר את השפה. כמו שאנחנו מניחים שהוא דובר עברית, אין מניעה להניח שהוא מבין גם את משמעותו של קשר השקילות. בהמשך נראה את חשיבותה של השאלה הזאת לענייננו.

ומה אם השומר אינו עקבי?

עד כאן עסקנו בברנשים עקביים, או תמיד משקרים או תמיד מדברים אמת. עם החבר'ה הללו קל להסתדר. מתברר שברנש לא עקבי מהווה אגוז הרבה יותר קשה לפיצוח (ראו על כך בטור 9). נניח כעת שבנו של אותו הלך מגיע לאותה  צומת, ושם ניצב אחד מצאצאיו של אותו שבט שפגש אביו. כעת יש לנו בצומת שומר, וההנחה היא שבגלל נפלאות הגנטיקה הוא עלול להיות דמות מורכבת, כלומר אדם חסר עמוד שדרה מוסרי. הבחור בהחלט עלול להיות לא שקרן ולא דובר אמת, אלא מישהו שבכל פעם מחליט מחדש האם לומר אמת או לשקר. האם גם מברנש מפוקפק כזה ניתן לחלץ את ההוראה הנכונה בשאלה אחת של כן/לא?

לכאורה במצב כזה ניתן להשתמש בשאלה האחרונה (ג), שהרי כפי שראינו בין אם הוא ישקר ביחס אליה ובין אם יאמר את האמת תשובתו צריכה להיות זהה. אבל זה לא מדויק. חשבו מה ערך האמת של הפסוקית A במקרה שלנו? הברנש אינו שקרן וגם לא דובר אמת. הבעיה היא שכאן יש שלוש אפשרויות ולא רק שתים כמו קודם (או שהוא שקרן או שהוא דובר אמת או שהוא לא עקבי).

מה שאפשר לעשות הוא וריאציה קלה של שאלה ג, כלומר לשאול אותו:

ד. האם תשקר בתשובה לשאלה זו אם ורק אם הדרך הימנית מובילה לגן עדן?

כאן לא שאלנו אם הוא שקרן אלא האם הוא משקר כעת. במצב כזה יש רק שתי אפשרויות (ולא שלוש): או שהוא משקר כעת או שלא. לא משנה לי אם במהלך כל חייו הוא עקבי או לא כי איני שואל אותו את זה.[8]

בעיית הפוליגרף הלוגי

כהן מעלה שם את השאלה, מדוע לא להשתמש בנוסח כזה כדי להוציא את האמת מכל שקרן. לדוגמה, אישה שחושדת כי בעלה בוגד בה, יכולה לשאול אותו:

ה. האם תשקר לשאלה זו אם ורק בגדת בי?

גם המשטרה שחוקרת פושעים יכולה להשתמש בפוליגרף הלוגי שהוצג כאן. נאמר שחוקרים אדם בחשד לגניבה. כל מה שצריך לשאול אותו הוא:

ו. האם תשקר בתשובה לשאלה זו אם ורק אם גנבת את החפץ הזה מפלוני?

אם הוא יענה "כן" ברור שלא גנב, ולהיפך.

אז למה אנחנו מסתבכים כל כך בבניית פוליגרפים (שלא מוכרים כיום כראיה משפטית), בחקירות מסובכות ובחיפוש ראיות? עלינו פשוט לחייב את הנאשם לענות על שאלה אחת בחדר החקירות, ותו לא. אפילו לא צריך עינויים בשביל זה. כל מה שצריך הוא רק לשלול ממנו את זכות השתיקה, כלומר לקבוע בחוק שאם הוא לא יענה – השתיקה תשמש נגדו והוא יורשע בדין.

הערה הלכתית ראשונה[9]

כדי שלא נחטא חס ושלום בביטול תורה, אעיר הערה הלכתית (הפוך בה והפוך בה דכולא בה). יש  לדון האם אמצעי חקירתי כזה מנוגד לכלל "אין אדם משים עצמו רשע", שהרי אנחנו מרשיעים אותו על פי עדותו. ראשית, גם אם זה נכון אז לפחות במשפט האזרחי (דיני ממונות) אפשר לעשות בזה שימוש, שהרי שם הודאת בעל דין כמאה עדים דמי.

אבל נדמה לי שגם בדין הפלילי אין בעיה במקרה כמו שלנו. במקרה זה תשובתו של החשוד לשאלה מגלה לנו את האמת כראיה עקיפה ולא בגלל עדות שיוצאת מפיו שמפלילה אותו עצמו. הרי הוא יכול אפילו לשקר, ולא תהיה לנו שום בעיה (גם אם הוא  משקר נגלה את האמת בדרך זו). אין איסור הלכתי להשתמש בראיה שיוצאת מפיו של אדם, אלא רק בעדות שבה הוא מפליל את עצמו. זה לא המצב כאן. אגב, מכאן עולה שגם בדין האזרחי לא יהיה להודאה כזאת מעמד של הודאת בעל דין שהיא כמאה עדים (אלא לכל היותר ראיה כמו חזקה), שהרי לא מדובר בהודאה אלא בראיה שמחולצת מדיבור בעלמא.

הכללה

בעצם יש כאן אמצעי להוצאת האמת מכל אדם. אם אתה רוצה לדעת האם X או לא, עליך לשאול את מי שמחזיק במידע הזה:

ז. האם תשקר בתשובה לשאלה זו אם ורק אם X?

בלי קשר לשאלה האם הוא מחליט לשקר לי או לומר אמת, אם הוא עונה "לא" – אני יודע ש-X נכון, ואם הוא עונה "כן" – אני יודע ש-X לא נכון. כמובן שכפי שראינו למעלה עלינו לוודא שהנשאל יודע את השפה הלוגית, ובפרט את משמעותו של קַשר השקילות. אם הוא לא יודע נלמד אותו קורס קצר בלוגיקה. זה עדיין זול ויעיל יותר מהחזקת מנגנוני חקירה מסובכים, יקרים ולא בהכרח אמינים. ההצלחה מובטחת.

השאלה המעניינת היא כיצד ייתכן שניתן להוציא מכל אדם כל מידע באמצעים לוגיים בלבד. אני מניח שתסכימו שזה בלתי סביר בעליל.

התייחסות עצמית

אבל לפני שנגיע לשאלה הזאת, שימו לב שיש כאן בכל זאת בעיה. בעצם מדובר בטענה שמתייחסת לעצמה, ולכן הניתוח לגביה מורכב יותר מזה שערכנו למעלה. כדי לראות זאת, עלינו לתרגם את התשובה "כן" לטענת חיווי. האדם שעונה לשאלה ז ב"כן" בעצם טוען:

ח. אני משקר כאשר אני טוען ח אם ורק אם X.

זה כבר ממש כמו פרדוקס השקרן, שהרי הוא טוען שהוא משקר בטענה זו עצמה. יש כאן טענה עם התייחסות עצמית (ראה על  כך בטורים 195–196).

באותו אופן, כאשר אדם עונה "לא" הוא בעצם טוען:

ט. אני משקר כאשר אני טוען ט אם ורק אם לא X.[10]

גם כאן יש הוראה עצמית מסוגו של פרדוקס השקרן. הקורא המיומן שצלח את הטורים 195-196 ודאי יכול כבר לבנות את הטענות האנטי פרדוקסליות המקבילות.

ניתוח

אז איך מנתחים לוגית את הטענה המסובכת הזאת? מה עושים עם ההוראה העצמית? כהן מציעה ניתוח באמצעות טבלת ערכי אמת. לשם כך עלינו להגדיר את הפסוקית[11] הבאה, שנכנה אותה י:

י. אני משקר כאשר אני טוען ח.

כשמתבוננים בפסוקית י, רואים מיד שיש קשר בין ערך האמת של י לערך האמת של ח: אם ח אמתי – י שקרי ולהיפך.

כעת נבנה טבלה שמייצגת את ערכי האמת של הפסוקיות והפסוקים הרלוונטיים (False – שקר, True – אמת):

כיצד בנינו את הטבלה? שני הטורים הראשונים (1-2) סוקרים את כל האפשרויות שקיימות כאן. ח יכול להיות אמתי או שקרי. אבל בהינתן ערך האמת של ח נקבע ערך האמת של י, שכן כפי שראינו הם חייבים להיות הפוכים. בכל אחת משתי האפשרויות הללו אנחנו יכולים להניח את האפשרות ש-X אמתי או שקרי, וזהו טור (3). ערך האמת של הטור האחרון, (4), נקבע על פי קַשר השקילות בין X ל-י, כלומר בין טור 2 ו-3: אם ערכי האמת שלהם זהים יש שם T ואם לא – אז יש שם F.

אלא שכעת עלינו לזכור שהטור (4) אינו אלא ח, ולכן ערך האמת בו חייב להיות זהה לטור (1). פירוש הדבר הוא שבטור (4) מבין שתי האפשרויות בכל שורה רק שתי התחתונות עקביות, בשני המקרים האחרים אנחנו מגיעים לסתירה מול טור (1). לכן ברור שבשני המקרים ערך האמת של X הוא F.

זוהי צורה לנתח את המשפט למרות ההודאה העצמית שיש בו. בניגוד לפרדוקס השקרן, כאן ניתן להצמיד לפסוק הזה ערך אמת (למרות שיש בו רכיב של הוראה עצמית). אם כן, הוכחנו כאן שאם הנשאל טוען את הטענה ח, בין אם הוא משקר ובין אם הוא דובר אמת, ערך האמת של X הוא F, כלומר X שקרי. חילצנו ממנו את האמת בלי תלות באופיו המוסרי. אותו ניתוח מראה שכשהנשאל טוען ט בהכרח X הוא אמתי, ושוב בלי תלות באופיו המוסרי.

אז למה באמת לא להשתמש בפוליגרף הלוגי הזה שאמינותו מוחלטת, במקום לבנות מנגנוני חקירה ולהסתכן בכישלון, עלות, כמו בעוד סיבוכים אנושיים שונים?

האם ייתכן פוליגרף לוגי?

ההוכחה שאם הנשאל עונה "כן" בהכרח X שקרי נסמכה על זה שאם X היה אמתי הנשאל היה מסתבך בפרדוקס, שכן במצב כזה אותו פסוק עצמו מקבל ערכי אמת שונים, בטורים (1) ו-(4) בטבלה. ברקע כנראה "ברור" לנו שהנשאל מאד לא רוצה להסתבך בפרדוקס. אבל בעצם למה לא? מה מונע ממנו לענות "כן" גם אם X אמתי. העובדה שזה יוצר פרדוקס היא עובדה לוגית, אבל אין שום דבר שימנע ממנו מלהניע את שפתיו באופן שהוא אומר את המילה "כן". האם שפתיו לא ינועו? כשאנחנו נשמע תשובה כזאת ניכנס ללופ, אבל זה לא ממש חייב לעניין את החשוד שלנו. הוא לא בהכרח אוהד את חוקריו, ולא בהכרח רוצה למנוע מהם (וגם מעצמו) הסתבכות בפרדוקסים. אם זה מה שיציל אותו מהכלא אז ודאי שזה מה שהוא יעשה.

למעלה שאלתי מה עושים אם החשוד שלנו לא יודע לוגיקה. עניתי על כך שזו רק בעיה טכנית שכן ניתן ללמד אותו את השפה הרלוונטית. אבל כעת אני מדבר על חשוד שיודע לוגיקה ומבין את משמעות קשר השקילות, ועדיין עונה תשובה שמסבכת אותנו ואותו עצמו בפרדוקס רק כדי לא להיתפס בעבירה. זו כבר בעיה מהותית ולא טכנית בלבד, שהרי זה גופא החשש שלנו – שהעבריין יאמר משהו כדי לא להיתפס בכף. את זה רצינו למנוע, לא לתת לו אפשרות לומר משהו שיסתיר מאיתנו את האמת. בפועל כמובן לא הצלחנו בכך. פוליגרף לוגי לא יכול לעשות את העבודה, מפני שהלוגיקה קובעת ערכי אמת וקשרים בין טענות אבל לא בהכרח מה יעשו או יטענו אנשים בשר ודם. גם אם יודעים את התורה (הלוגית) ורציונליים לעילא, עדיין הם יכולים לומר מה שלא  צפוי מהם בניתוח הלוגי. להיפך, דווקא אם הם רציונליים הם יאמרו בדיוק  את זה במקרה שהם אשמים או רוצים להסתיר את המידע.

ועוד הערה הלכתית

ניתן לשאול האם כשהנשאל עבר את העבירה ובכל זאת עונה ב"כן" (כדי לגרום לנו לחשוב שלא עבר את העבירה), הוא עבר על מדבר שקר תרחק? יש מקום לטענה שלא. הוא לא ענה על השאלה האם הוא עבר עבירה. הוא ענה על שאלה אחרת, ורק בכך גרם לנו לחשוב שהוא לא עבר את העבירה. לכן הוא לא באמת שיקר בעדותו.

אמנם ניתן לטעון שעל השאלה עצמה הוא כן שיקר, שהרי אם הוא עבר את העבירה – אזי התשובה לשאלה ח צריכה להיות "לא" והוא ענה "כן". אבל גם זה לא מדויק, שהרי זו לא התשובה לשאלה ח אלא זו התשובה ל-ח שלא מסבכת אותו ואותנו בפרדוקס. לשאלה עצמה ספק אם יש מובן ברור, כמו שראינו לגבי הטענה של פרדוקס השקרן (ראה טורים 195–196). מעבר לזה, ברור שאין כאן שקר בעדות אלא לכל היותר שקר בעלמא. בפשטות אין איסור הלכתי על שקר בעלמא אלא רק בבית דין.[13]

אגב, ההערה ההלכתית הזאת כמו גם הקודמת מלמעלה קשורות בטבורן להבחנה שעשיתי בסעיף הקודם בין הלוגיקה לבין התנהגות של אדם בפועל. אין אדם משים עצמו רשע, או שקר, אלו מושגים שעוסקים במה שהאדם עושה ובמשמעות של טענותיו, ואילו כאן אנחנו עוסקים אך ורק בניתוח לוגי של טענותיו ובמה שעולה מהן. כפי שראינו חשוב להבחין בין שני המישורים הללו.[14]

סיכום: בחזרה לחמורו של בורידאן ולשאלת הרציונליות

ראינו כאן דוגמה נוספת לכך שניתוח לוגי לא בהכרח מסייע לנו להבין בני אדם ולנבא את התנהגותם או לגזור ממנה מסקנות. הסיבה לכך היא שאדם אינו בהכרח רציונלי ולוגי, ולכן ניתוח של טענותיו לא בהכרח מלמד על עמדתו ומה שהוא חושב. אגב, כפי שכבר הערתי, בעצם כאן הוא אמנם לא לוגי אבל כן רציונלי. חשוד רציונלי אמור לומר את מה שימלט אותו מהרשעה בדין, וזה בדיוק מה שהוא עושה.

זה כמובן מחזיר אותנו לטור 196 לדיון על חמורו של בורידאן ושאלת הרציונליות. הבחנתי שם בין שני סוגים של רציונליות: רציונליות סיבתית (אדם שעושה רק פעולות שיש סיבה לעשות דווקא אותן ולא שום אלטרנטיבה אחרת) ורציונליות בורידאן (עשיית פעולות שמביאות תועלת מקסימלית). בדומה לזה גם כאן אני מבחין בין רציונליות לוגית (לטעון רק את מה שעקבי ולא סתירתי במישור הלוגי) לבין רציונליות תועלתנית (לטעון את מה שמביא לי מקסימום תועלת).

[1] ההלכה מבחינה בין שני סוגים של ספק: כשיש ודאי חתיכת איסור אחת בין שתי חתיכות ולא יודעים מי מהן אסורה – זהו ספק דאיקבע איסורא. כשיש לפנינו חתיכת אחת ואיננו יודעים אם היא מותרת או אסורה – זהו ספק דלא איקבע איסורא. הספק הראשון נחשב חמור יותר (למשל, להלכה רק עליו מביאים אשם תלוי). גם אצלנו הספק לגבי השומר יכול להיות משני הסוגים: יש ודאי שומר אחד דובר אמת ואחד שקרן ואיננו יודעים מי מהם הוא מי – זהו ספק דאיקבע איסורא. שומר אחד שאיננו יודעים האם הוא שקרן או דובר אמת – זהו ספק דלא איקבע איסורא. אגב, מבחינה לוגית דווקא הספק השני קשה יותר לטיפול, וראה עליו בהמשך.

[2] עיון ל, חוברת א‎ (טבת תשמ"א) עמודים 41-47.

[3] המחבר הוא הפילוסוף והלוגיקן נלסון גודמן. גרסה ראשונית שלה הופיעה בבוסטון פוסט בשנת 1931, ולאחר עשרות שנים בספרו Problems and projects.

[4] אצלה, כופרת שכמותה, הוא הלך לעיר הבירה ולא לגן עדן. אבל הנוסח המוכר עוסק בגן עדן, ואנוכי מסורת אבותיי בידיי.

[5] בטור הבא אסביר יותר את ההבדל בין פסוק לפסוקית ואת השלכותיו ההלכתיות והאחרות.

[6] לעתים הוא נקרא קשר הזהות. שקילות וזהות הן אותו דבר במישור הלוגי (ראו בהערה הבאה).

[7] זו כמובן לא ההגדרה המקובלת של זהות בין שני פסוקים, שכן זהות בין שני פסוקים קשורה לתכנים שלהם. גם אם כעת יום בחוץ המשפט "כעת יום בחוץ" (שהוא אמיתי) אינו זהה למשפט "נתניהו הוא ראש הממשלה של ישראל", למרות ששניהם אמיתיים. אבל בלוגיקה משתמשים בהגדרות שתלויות רק בערכי האמת של הפסוקים ולא בתכנים. כך לגבי גרירה (שבדרך כלל מוגדרת באופן מטריאלי: A->B פירושו לא ייתכן ש-A אמיתי ו-B שקרי), וכך גם לגבי שקילות, שהרי השקילות A=B אינה אלא גרירה כפולה: A->B וגם B->A.

[8] אגב, מעניין לחשוב על הגרסה שכוללת פסוקים נוגדי מציאות. קל מאד לראות את הבעייתיות לענות עליה במקרה זה (הנשאל לא יוכל לענות מה הוא היה עושה אם היו שואלים אותו שאלה אחרת, שהרי הוא מקבל החלטות באופן מקומי, כל פעם באופן אחר).

[9] אני מעלה כאן נקודה מעניינת שיש לה לא מעט השלכות, ואני מתכוון להרחיב לגביה באחד הטורים הבאים.

[10] זו השלילה של טענה ח, אם מתחשבים במשמעותו של קַשר השקילות.

[11] למעשה זו לא באמת פסוקית אלא פסוק (מורכב). בטור הבא אעמוד על ההבחנה הזאת והשלכותיה ההלכתיות והאחרות.

[12] כשתקראו את הטענה ח תראו שהיא אינה אלא שקילות בין X לבין י.

[13] אמנם ראה את דברי רבנו יונה בשערי תשובה שהאריך ופירט באיסור שקר, וכן את מאמרו של הרב יובל שרלו, "מדבר שקר תרחק: קיצור הלכות שקר", בצהר וגם ברשת.

[14] כאמור, אקדיש לכך טור בהמשך.