איכות וכמות: מבט נוסף על בנט וביבי (טור 400)

בס"ד

במסגרת המרוץ הנואש שלי אחרי רייטינג, החלטתי הפעם לרכב על הגל המנצח של הטור הקודם, ולכתוב עוד טור בעל אופי פילוסופי-הלכתי. אם הגעתם לפחות עד כאן, אז כנראה הכותרת שבחרתי עשתה את העבודה. בכל זאת, ודאי תסכימו שלא נאה להשאיר את טור 400 החגיגי (מי כאן אמר שיארגן מסיבה לכבוד הטור הזה?) ללא קוראים.

מבט ראשוני על איכות וכמות[1]

בשפה המדוברת משתמשים באופן די תדיר במונחים 'איכות' ו'כמות', ובדרך כלל הם נתפסים כמתארים שני סוגי גדלים שזוקקים שתי צורות מדידה שונות. ישנן תכונות שמתארות איכויות של דברים, וישנן תכונות שמתארות מאפיינים כמותיים. כמובן שגם בהלכה עולה ההבחנה בין איכות לכמות בכמה הקשרים, כלומר יש הנחה שהמונחים הללו מוגדרים היטב וניתן לדון בהם.[2]

דיון כזה לדוגמה נערך ביחס למחלוקת בין דיינים בבית דין. על פי ההלכה בבית דין רגיל יושבים שלושה דיינים. פסק הדין בבית דין נקבע על פי דעת הרוב, כפי שלומדים מן הפסוק "אחרי רבים להטות". לא כל הדיינים צריכים להיות בעלי אותה רמת מומחיות וחכמה. לפחות בממונות, יכול להיות מצב של בית דין אשר מורכב מדיין גמיר (למדן, תלמיד חכם) אחד, ולצדו עוד שני דיינים הדיוטות (שלפחות מבינים מה שמסבירים להם). מה עושים כשיש חילוקי דעות ביניהם? ישנן דעות בפוסקים (ראה למשל ספר החינוך מצווה עח בעקבות ר' האי גאון) שהרוב בו מדובר איננו רוב מספרי של הדיינים אלא רוב החכמה והמומחיות, ולכן כאשר הדיין הגמיר חולק על שני ההדיוטות – הדין צריך להיפסק כמותו. לעומתם, הרמב"ן בחידושיו למסכת יומא סובר שתמיד הרוב הקובע הוא הרוב המספרי של הדיינים.[3] יש אחרונים שמנסחים את הצדדים במחלוקת הזאת כמחלוקת בשאלה האם מה שקובע היא הכמות או האיכות של הדיינים. לפי ספר החינוך האיכות היא הקובעת, ולפי הרמב"ן, לעומת זאת, הולכים אחר הרוב הכמותי.[4]

לעצם הבעייתיות

כאשר נתבונן יותר לעומק נראה שהתיאור הזה איננו כה חד משמעי. לכאורה אפשר לומר שגם ספר החינוך דורש רוב כמותי ולא איכותי, אלא שהרוב הנדרש לשיטתו הוא של כמות החכמה ולא של כמות הדיינים. מהפסוק למדנו שלהלכה פוסקים לפי דעת הרוב, ועדיין נותרת השאלה האם לבחון את הרוב הזה באמצעות מספר הדיינים או באמצעות איכותם (בניסוח גס יותר: האם סופרים רגליים או ראשים). לפי החינוך, הרוב הנדרש איננו רוב של דיינים אלא רוב של חכמה, כלומר גם הוא דורש רוב כמותי, אבל כמות של גודל שונה מהרוב שנדרש לפי הרמב"ן. מה שקראנו קודם 'איכות הדיינים' אנו קוראים לו כעת 'כמות החכמה שלהם'.

עד כאן הנחנו שהמושגים 'איכות' ו'כמות' מוגדרים היטב, והקושי הוא רק לגבי היישום שלהם במציאות. אלא שניתן כעת להרחיב את השאלה ולטעון שהמושגים 'איכות' ו'כמות' עצמם אינם מוגדרים היטב, ולמעשה אינם באמת שונים זה מזה. איכות של דבר מסוים תמיד ניתנת לתיאור ככמות של משהו אחר. כמו שראינו שאיכות של דיין היא בעצם כמות חכמתו, ניתן לעשות תרגיל דומה לכל גודל איכותי. בניסוח הזה של השאלה כבר ישנו ערעור על עצם ההפרדה בין המושגים 'איכות' ו'כמות', ולא רק על היישום שלהם לבעיה קונקרטית זו או אחרת. האם יש בכלל משמעות מובחנת להבדל בין המושגים 'איכות' ו'כמות'?

אמנם ברור ששום מושג בסיסי לא ניתן להגדרה מדויקת. בבואנו להגדיר מושג, אנחנו בהכרח משתמשים במושגים אחרים, בסיסיים ומובנים יותר ממנו. לכן בתחילת המבנה המושגי כולו חייבים להימצא אוסף מושגים בסיסיים שלא ניתנים להגדרה על בסיס מושגים יסודיים יותר מהם. מכאן עולה האפשרות לטעון שהמושגים 'איכות' ו'כמות' הם בסיסיים, ועל כן לא ניתנים להעמדה על מושגים יסודיים יותר. רוברט פירסיג, בספרו זן ואמנות אחזקת האופנוע, מדבר על ניסיון של מרצה לרטוריקה בשם פיידרוס להגדיר באופן מדויק ושיטתי מהי איכות של חיבור או איכות בכלל, וכמובן ללא הצלחה.[5] מסקנתו היא שהיוונים הרשעים הכניסו עמוק לתוך התרבות שלנו את ההנחה הפוזיטיביסטית שלפיה כל מושג צריך להיות מוגדר במדויק כדי שנוכל להשתמש בו. אם משתחררים מתביעה דרקונית זו ומניחים להבנה האינטואיטיבית של המושגים לפעול באופן טבעי, אנחנו חוסכים לעצמנו סיבוכים מיותרים.

אבל גם זה לא מענה מספק לקושי, מפני שהבעיה שלנו אינה נעוצה רק בשאלת ההגדרה של כל אחד משני המושגים הללו לבדו, אלא בשאלה האם בכלל יש הבדל בין שניהם. האם אלו בכלל שני מושגים שונים? קושי כזה בהחלט דורש מענה. אציע כאן שלושה פתרונות כושלים, ולבסוף פתרון רביעי שיאיר מחדש את שלושתם באור אחר.

הצעה ראשונה לפתרון

שלמה מימון, בספרו גבעת המורה, על מורה נבוכים חלק א פרק עד, עוסק בהגדרת האיכות והכמות ומציע את ההגדרה הבאה: על ידי תוספת כמותית לא תתרבה האיכות. ובדוגמה שלנו, הנטייה הטבעית להתייחס לחכמה של הדיינים כאיכות ולא ככמות נובעת מן העובדה שאם נוסיף כמה דיינים בעלי רמת חכמה X נקבל עדיין (בסדרי גודל) את אותה רמת חכמה כוללת. רמה זו נמוכה מרמת החכמה של הדיין הבודד הגמיר, ולכן טוען החינוך שבמקרה של מחלוקת הלכה כמותו. זהו מצב שכמותם של הדיינים השתנתה, ואיכותם לא. אם כן, לכאורה יש לנו הגדרה להבדל בין איכות לכמות: הפרמטר שאיננו משתנה כאשר מוסיפים כמויות (החכמה) הוא פרמטר איכותי. הפרמטר שמשתנה (מספר הדיינים) נקרא פרמטר כמותי. דוגמא נוספת, הוספת מים בטמפרטורה מסוימת לעוד כמות של מים באותה טמפרטורה לא תשנה את איכות המים (הטמפרטורה שלהם), אלא רק את כמותם (המסה הכוללת). לכן מסת המים היא פרמטר כמותי אבל החום הוא פרמטר איכותי. [6]

הגדרה זו נראית לכאורה ברורה ואינטואיטיבית. לפחות ביחס לשאלה השנייה (הניסוח הקיצוני המערער על עצם ההבדל בין המושגים) לכאורה ניתן כאן מענה ציוני הולם: החכמה היא איכות ומספר הדיינים זו כמות. אמנם אין כאן פתרון לשאלה הראשונה שהעלינו: האם החינוך טוען שנדרש רוב כמותי של חכמה או רוב איכותי של דיינים. ניתן אולי לומר שגם הבעיה הזאת נפתרת. אם אכן חכמה היא פרמטר איכותי ולא כמותי, אז בהכרח הרמב"ן דורש איכות ולא כמות.

חוסר הנוחות ביחס להגדרה ולפתרון שמציע שלמה  מיימון, נובעת מכך שמהתבוננות נוספת עולה שגם הבעיה השנייה לא באמת נפתרה. אם למשל הייתי מוסיף באופן כלשהו חכמה לאחד מהדיינים או לכמה מהם (הייתי מעביר אותם סדנת דיינות), אבל לא הייתי משנה את מספרם, אזי דווקא מספר הדיינים הוא הפרמטר שלא משתנה ודווקא החכמה הייתה משתנה. אז האם חכמה היא באמת פרמטר איכותי? האם הגדרתו של שלמה מיימון נותנת לנו קריטריון להבחנה הזאת? גם בדוגמת המים נראה שבהחלט ניתן לחשוב על חימום נוסף של אותה כמות מים. זוהי הוספת חום ללא שינוי כמות המים, ולפי הגדרתו של בעל גבעת המורה החום הוא הפרמטר הכמותי, וכמות (!) המים היא הפרמטר האיכותי. המסקנה היא שאין כאן הצעה שפותרת את הבעיה. ההגדרה מה משתנה ומה לא תלויה בשאלה מהו תהליך ההוספה. התהליך הזה הוא שקובע מה יקרא איכות (מה שלא משתנה בתהליך ההוספה) ומה תיקרא כמות (מה שכן משתנה בתהליך זה).

על אף כל האמור, לכולנו ברור ש'כמות' ו'איכות' הם מושגים מובחנים. יתר על כן, גם בדוגמת הדיינים נראה ברור אינטואיטיבית שהחכמה היא איכות ומספר הדיינים הוא כמות. השאלה היא האם ניתן להגדיר בבירור את שני המושגים הללו ואת ההבדל ביניהם.

הצעה שנייה לפתרון

ניתן אולי לומר שההבדל נעוץ בסוגם של הדברים אותם אנחנו מודדים. כאשר מודדים מושג מופשט (כמו חכמה, או חום) אזי נאמר שמדובר על איכות. לעומת זאת, כאשר מודדים עצמים קונקרטיים ומוחשיים (כמו דיינים, או ליטרים של מים) אזי נאמר שהתוצאה היא כמות. לפי זה לא ניתן לדבר על כמויות בהקשר של מושגים מופשטים.

אבל גם זה לא עומד במבחן הביקורת. במקרים רבים אנחנו מודדים דברים מופשטים, ועדיין התחושה היא שמדובר במדידת כמויות ולא איכויות. למשל, כשנמדוד משך זמן כלשהו, שם המדידה היא של כמות (כמה שניות, שעות, או ימים תהליך כלשהו נמשך) למרות שהדבר שנמדד הוא מופשט (זמן). או כשנמדוד כמה רעיונות חדשים יש במאמר (פשוט נספור אותם), גם זה נראה כמו מדידה כמותית, למרות שהדברים שנמדדים כאן הם מופשטים. אם כן, גם ההצעה הזאת לא פותרת את הבעיה.

הצעה שלישית לפתרון

אמרתי שמספר הרעיונות במאמר הוא פרמטר כמותי. אם, לעומת זאת, נשאל מה מידת החדשנות של המאמר, כאן נראה בבירור שאנחנו עוסקים במדידת איכות ולא כמות. מהו ההבדל? זה עוד יותר קשה אם זוכרים שמידת החדשנות במאמר תלויה בין היתר גם במספר הרעיונות החדשים שבו (אבל לא רק בזה כמובן. חשובה גם מידת החדשנות של כל רעיון).

ייתכן שהתשובה נעוצה בכך שאפשר לספור את כמות הרעיונות במאמר (לא תמיד זה קל כמובן), אבל אי אפשר למדוד בצורה כמותית את מידת החדשנות שבו (לקבוע מספר שמציין את מידת החדשנות). מתוך כך מתבקש לטעון שפרמטר איכותי הוא פרמטר שלא ניתן לכימות. אבל גם הצעה זו, על אף שהיא נשמעת הגיונית ואינטואיטיבית למדיי, אינה מספקת לנו פתרון לבעיה. ישנם פרמטרים שנראים איכותיים ובכל זאת הצליחו להצמיד להם מספר כמותי. לדוגמה, האינטליגנציה של אדם נמדדת כיום במדד IQ, שהוא מדד כמותי. הקשר בין מידת האינטליגנציה למספר הזה באמת אינו טריוויאלי, ועדיין יש מספר כזה. גם אם נקבל את הערעורים על המדד של ה-IQ, אין בכך כדי לדחות את ההצעה הזאת, שכן הערעור רק מצביע על כך שהמדד אינו מוצלח, אבל לא בהכרח שלא ניתן לייצר מדדים מוצלחים יותר. לפי הטענה שמוצגת כאן, אין ולא יכול להיות מדד כמותי לאינטליגנציה (לכן הנחנו בדוגמה למעלה שחכמה של דיין היא פרמטר איכותי). זה לא סביר. יתר על כן, הרי את הטמפרטורה אנחנו מודדים בסקלה מספרית מוגדרת היטב (מעלות). האם זה אומר שטמפרטורה היא כמות? למעלה האינטואיציה שלנו הורתה לנו שמדובר באיכות (זה לא משתנה כשמגדילים את כמות המים).

ובכל זאת, ישנה תחושה שיש משהו נכון מהותית בהצעה השלישית, כמו גם בשתי קודמותיה. האיכותיות של פרמטר נראית קשורה בדרך כלשהי לקושי ולמורכבות של המדדים הכמותיים שמייצגים אותו. כעת אטען שניתן להשתמש בשלושת ההצעות הקודמות כדי לגבש הגדרה חדה וברורה יותר להבדל בין איכות לכמות. לאחר זמן רב של תהייה בנושא האיכות והכמות, הגעתי למסקנה שההבדל בין כמות לאיכות קשור להבחנה המתמטית בין מספרים מונים וסודרים, ולהבחנה בפיזיקה בין גדלים אקסטנסיביים ואינטנסיביים. כאמור, הצעה זו תשפוך אור על שלוש ההצעות הקודמות, שכל אחת מהן נראית קשורה להבחנה בין איכות לכמות, גם אם היא לא ממצה אותה.

מתאבן הלכתי

ניתן אולי להתחיל את ההסבר בשאלה הלכתית (שמעתי אותה לפני הרבה שנים בשיעורון הלכתי שנתן הרב בליל שבת בבית הכנסת בירוחם). ישנו איסור למדוד דברים שונים בשבת. מקובל להסביר זאת בכך שהמדידה היא פעולה שקשורה למסחר ומשא ומתן. ובכל זאת, הרב הנ"ל הביא פוסקים שסוברים כי ניתן למדוד חום על ידי מד-חום בשבת.[7] הוא תהה על יסודו של ההיתר הזה, שהרי כל מדידה אסורה. הוא הציע את ההסבר שחום הוא מושג מופשט, ולכן מדידתו אינה נחשבת כמדידה אסורה בשבת. יש לזכור שיסוד האיסור על מדידה בשבת הוא בשקילה של סחורה, שהיא מדידה של חפצים פיזיים קונקרטיים. אבל הוא עצמו דחה את ההסבר הזה, שכן זמן הוא מושג מופשט לא פחות, ובכל זאת הפוסקים אוסרים מדידת זמן בשבת.[8] תוך כדי השיעור נפל לי האסימון, וחשבתי שאני מבין את התשובה, והיא מיד התקשרה אצלי גם להבחנה בין איכות לכמות.

מספרים סודרים ומספרים מונים

במתמטיקה מבחינים בין שני תפקידים שונים של מערכת המספרים: מנייה וסידור.[9] כאשר אנחנו מונים חפצים ואומרים שמונחים בפנינו חמישה חפצים, כוונתנו לתאר את כמות החפצים, שהיא יותר מארבעה ופחות משישה. ניתן לומר שכאן המספרים משמשים כ'מספרים מונים'. כל חפץ שנספר מוסיף אחד למניין הכללי. חפץ שיורד מן המניין הכללי, מוריד את ערכה של התוצאה באחד. בספירה כזאת ישנה משמעות לכל יחידה, וסך כל היחידות נותן את המניין הכללי. לעומת זאת, כאשר אנו מודדים אינטליגנציה, כמו במבחני IQ למשל, המספר שמייצג את האינטליגנציה הוא סודר ולא מונה. המספר הזה לא נוצר מהוספת יחידות בודדות עד שמגיעים למניין הכללי. לא ניתן להצביע על יחידת ה-IQ השמונים ושלוש מתוך המאה, מפני שאין יחידה כזאת. לכן גם לא ניתן לקחת יחידת IQ ולהוסיף אותה למניין שנצבר עד כה, או להפחית אותה ממנו. המספרים במקרה זה הם 'מספרים סודרים'. כלומר, המספר הכולל מייצג את רמת ה-IQ של האדם, וממקם אותו במקום כלשהו בסולם שמסדר את רמות האינטליגנציה זו מעל זו. יש משמעות (סידורית) למספר הכולל, אבל הוא לא מייצג כמה יחידות בודדות מצויות באוסף שלנו. זוהי בדיוק המשמעות של פעולת סידור, בניגוד למנייה. כאשר אנחנו אומרים שלאדם כלשהו יש אינטליגנציה של IQ100, אין הכוונה שיש לו מאה יחידות בודדות של IQ, אלא שרמת ה-IQ שלו נמצאת על הסולם הכללי במקום שמעל 99 ומתחת ל-101. הוא נמצא במקום ה-100 בסולם. המספר הזה מסדר אותו במסגרת סולם סדר נתון, אבל לא מונה שום דבר. ניתן כמובן ללמד אדם כלשהו ולשפר את הישגיו כך שבמדידה הבאה הוא יעמוד במקום גבוה יותר בסולם (105 במקום 100). אבל אין כאן חמש יחידות מובחנות שנוספו לו. אחרי הפעולה הזאת הוא התקדם בסולם ומקומו בסידור הכללי השתנה. יש שיאמרו שמנת המשכל המולדת שלו לא ניתנת לשינוי, והלמידה רק שיפרה את יכולתו להצליח במבחן. המסקנה היא שהמבחן אינו מדד טוב לקביעת הכישרון המולד והטבעי של האדם. לענייננו, כל זה רק מצביע על כך שמדידת כישרון של אדם אינה פעולה של ספירה/מנייה אלא של סידור.

מה שגורם לאנשים לא להבחין בין שני סוגי התפקידים הללו של המספרים, הוא שברוב המקרים יש מיפוי פשוט ביניהם. נניח שיש לי מערכת סודרת (כמו ה-IQ), שמאפשרת לי לסדר אובייקטים לפי הסדר הזה. ברגע שעומד בפניי אוסף אנשים שמסודרים לפי סדר האינטליגנציה שלהם, אני יכול למנות את כל אלו שנמצאים לפני ראובן וכך להבין את מקומו בסדרה. זוהי פעולת מנייה שנותנת לנו את מקומו הסידורי, כלומר בעקיפין היא עושה פעולה של סידור. וכמובן אפשר גם לסדר דברים לפי הסדר הכמותי שלהם, וכך למנות באמצעות סידור. אבל זה רק דמיון טכני. התפקוד של המספרים בשני ההקשרים הללו שונה בתכלית.[10]

בחזרה לאיכות וכמות

ניתן להסיק מכאן באופן כללי, ש'איכות' היא פרמטר שנמדד במספרים סודרים, ו'כמות' היא פרמטר שנמדד במספרים מונים. שאלת רוב החכמה מול רוב המניין לגבי דיינים נמצאת כעת מובנת יותר. חכמה מקבילה לאינטליגנציה, וכפי שראינו היא ניתנת לכל היותר לסידור ולא למנייה. לכן החכמה היא איכות, בעוד מספר הדיינים הוא כמות (כי כאן אנחנו פשוט סופרים – ספירה מונה).

כעת נוכל גם להסביר מדוע מדידה של זמן שונה ממדידה של חום. כשאנחנו מודדים זמן אנחנו בעצם סופרים (מונים) כמות של יחידות זמן (למשל שניות). לכן זו ספירה כמותית, למרות שזמן הוא דבר מופשט. המנייה בוחנת כמה יחידות יש לנו בכמות הכללית. במקרה זה יש קיום לכל יחידה לעצמה והספירה רק מסכמת את כמות היחידות, לכן זו מנייה ולא סידור. לעומת זאת, חום נמדד במעלות. למעלה בודדת אין שום משמעות. אנחנו לא מוסיפים לכמות נתונה של מעלות עוד מעלה וכעת יש לנו כמות גדולה באחד. אנחנו גם לא יכולים להצביע על המעלה ה-21 מתוך ה-40 שיש לנו. חימום אין פירושו להוסיף עוד מעלה או שני מעלות למערכת ולהגדיל את כמות המעלות הכללית, אלא להביא את המערכת לטמפרטורה הבאה בהיררכיה. המסקנה היא שמספרים שמודדים מעלות הם סודרים ולא מונים. המעלות מיוצגות במספרים שמסדרים את מידות החום לפי סדר היררכי ולא סופרים כמה מעלות בודדות יש לנו בסך הכל. לכן כאשר אנחנו מודדים חום, מדובר בפעולה סודרת ולא מונה. אם כן, גם אם אסור בשבת למדוד גדלים מופשטים כמו זמן, גדר האיסור הוא מדידה מונה, שהרי זה מה שקורה במסחר. המסקנה היא שמדידה שהיא במהותה סידור ולא מנייה מותרת בשבת.[11]

אקסטנסיבי ואינטנסיבי בפיזיקה

למרות האמור למעלה לגבי מדידת טמפרטורה, מדידת חום ביחידות של אנרגיה (קלוריות או ג'אולים) היא כן מדידה מונה ולא סודרת. אני סופר את כמות יחידות האנרגיה שיש באובייקט, וכל יחידת אנרגיה היא תוספת. אם תאכל עוד מאכל כלשהו זה יוסיף לגוף עוד קלוריה או כמה קלוריות, תלוי בכמות הקלוריות שבמאכל (כמובן יש לכפול זאת בספיגה, ואכ"מ). אם כן, יש לנו שני מדדים לחום של גוף, האחד מונה (אנרגיה) והשני סודר (טמפרטורה). יש קשר ביניהם ועדיין נכון לומר שהאחד מונה והשני סודר.

אחת האינדיקציות להבדל הזה הוא מה שפיזיקאים מכנים היותו של גודל פיזיקלי אקסטנסיבי או אינטנסיבי. בגודל כמו טמפרטורה אין שום אפשרות להגדיר טמפרטורה ליחידת חומר (לגרם) או ליחידת נפח (סמ"ק). טמפרטורה היא גודל פיזיקלי שלא פועל מול נפחים וכמויות. הוא מאפיין את המכלול ולא את חלקיו. לעומת זאת, אנרגיה בהחלט יכולה להיות מוגדרת ליחידת נפח או מסה, והאנרגיה הכוללת של הגוף יכולה להתקבל על ידי סיכום של האנרגיות של כל יחידת מסה או נפח בנפרד.[12] לענייננו, גדלים אינטנסיביים מייצגים איכות וגדלים אקסטנסיביים מייצגים כמות.

הקשר לשלוש ההצעות הקודמות

כעת קל לראות את הקשר לשלוש ההגדרות הקודמות שהצגתי כאן להבדל בין איכות לכמות. אם נגדיל את כמות החומר לא ישתנו הגדלים האינטנסיביים, לכן גדלים כאלו הם איכותיים. לעומת זאת, גדלים אקסטנסיביים בהחלט פרופורציונליים לכמות החומר, ולכן הם מבטאים כמויות ולא איכויות. מכאן עולה באופן טבעי ומתבקש הגדרתו של שלמה מיימון שהוצגה למעלה (בהצעה הראשונה). אמנם ראינו שאין די בה, אבל לאחר שהצגתי את ההסבר המלא מתברר שגם היא לכדה אלמנט מהותי של ההבחנה בין פרמטרים איכותיים לבין פרמטרים כמותיים.

כעת גם ברורה ההצעה השנייה, שלפיה איכויות מודדות דברים מופשטים. דחינו את ההצעה הזאת בטענה שלפעמים יש מדדים כמותיים לדברים מופשטים, אבל עדיין הזיקה בין מופשטות לאיכות קיימת. אמנם יש מדידות כמותיות של איכות (כמו IQ או טמפרטורה) אבל אין בנמצא מדידות איכותיות של כמות. כמויות ניתן למדוד באופן פשוט, ואין סיבה להמציא להם מדדים איכותיים מורכבים. בגדלים איכותיים, אמנם ניתן אולי להציע מדדים כמותיים (כמו טמפרטורה או IQ), אבל הקשר בין המדד לגודל הנמדד מורכב מאד. כך, למשל, אם נרצה למדוד במדד מספרי את רמת החדשנות של מאמר, ניאלץ להגדיר מדד מאד מורכב, והוא בטח לא יהיה מוסכם (ע"ע IQ), ולכן זוהי מדידה של איכות. אבל אם נרצה לייצג את מספר הרעיונות המחודשים שמופיעים בו, יש לנו הליך מעשי פשוט ומתבקש (לספור אותם). לכן במקרה כזה אין שום סיבה להגדיר מדדים איכותיים מורכבים.

בדיון על ההצעה השלישית למעלה טענו שגודל איכותי לא ניתן לכימות. כעת ניצן לעדכן קצת ולומר שהמדדים המספריים של גדלים איכותיים מוגדרים בצורה מורכבת יותר. אין להם יחס פשוט לדבר שנמדד. הסיבה לכך היא שאלו מדדים סודרים ולא מונים, וסידור רמות של פרמטר מורכב אינו פשוט כמו מנייה של יחידות. בספירה מונה אתה סופר כמה יחידות יש לך, והמספר הכללי הוא כמות היחידות. זהו תהליך מאד פשוט, והייצוג המספרי של התוצאה הוא טריוויאלי. התוצאה היא כמות היחידות (לכן זהו גודל כמותי). לעומת זאת, להגדיר מדד מספרי כמו IQ, או טמפרטורה, זה עניין מורכב הרבה יותר. הוא לא יכול להיות בנוי כספירה פשוטה של כמויות. במקרים אלו עלינו לחפש ייצוג מספרי לרמת איכות נתונה, ולהגדיר ציר סודר שעל פניו ניתן להעמיד במסודר את כל הרמות לפי היררכיה מספרית. אין פלא שמתעוררים ויכוחים רבים על המדדים הללו.[13]

האם זוהי הגדרה?

ניתן כעת לשאול האם מה שמצאנו הוא הגדרה של איכות וכמות וההבדל ביניהם? פיידרוס טען שאי אפשר להגדיר איכות ולכאורה כאן הצעתי הגדרה שלה. אבל דומני שעיון נוסף בספר מעלה שפיידרוס חיפש מדד מספרי לאיכות ולא הגדרה של המושג עצמו. מעבר לזה, מה שצעתי כאן הוא יותר תיאור מאשר הגדרה. אני לא מתיימר לטעון שבאמצעות מה שמוצג כאן תוכלו תמיד לקבוע באופן חד ערכי האם מדובר בכמות או באיכות. זו הנהרה ולא הגדרה. כניסוי מחשבתי, חשבו על יצור שבתוכו לא טמונה ההבנה של ההבדל בין איכות לכמות. ספק רב בעיניי האם טור כזה יוכל להסביר לו את הדבר. התיאור כאן מנהיר את ההבחנה למי שההבנה לגביה כבר נמצאת בתוכו באופן פוטנציאלי אלא שהוא לא מצליח להמשיג אותה.

הערה אחרונה: חומר וצורה

ישנה הבחנה עתיקה בין חומר לצורה או בין עצם למקרה. בשער השני של ספרי שתי עגלות הרחבתי לגביה, ובין היתר טענתי שכמות שייכת לחומר/עצמות ואיכות לצורה/מקרה. כל תיאור של אובייקט או מושג הוא חלק מצורתו. כל מה שאני יכול לומר על אדם, אובייקט, או מושג, הוא תיאור שלו. ומה על האמירה שהוא קיים? או האמירה שהוא אחד, או שניים? אמירות אלו מתייחסות לעצם עצמו ולא למאפיינים ולצורה שלו. כך פרכתי שם את הראיה האונטולוגית של אנסלם (ראו גם בשיחה הראשונה במצוי הראשון), כשטענתי שזה שאלוקים קיים אינו תיאור שלו ולכן גם לא חלק משלימותו. גם לא זה שהוא אחד. לא אכנס כאן לפרטי הדיון, אלא רק אצביע על כך שגם במובן הזה אמירות על כמות שונות מאמירות על איכות.

[1] מקור הדברים בדיון שערכתי בהארה 9 בספרי שתי עגלות.

[2] ראו למשל בספרו של ר' יוסף ענגיל, לקח טוב, כלל טו, שם הוא דן האם הכמות עדיפה על איכות או לא.

[3] ראו בנושא זה בפירוש מנחת חינוך על ספר החינוך שם, ובספר שער המשפט על שולחן ערוך חושן משפט, בסימן יח ובמה שהביא שם מספר שבות יעקב.

[4] ר' יוסף ענגיל שדן בשאלה של כמות מול איכות בהלכה (ראו לעיל הערה 2), משום מה לא מתייחס כלל לסוגיה זו. יש ראשונים ואחרונים שמסבירים כך את המחלוקת היסודית בין ב"ש לב"ה. ראו במנ"ח שם שמסביר שיסוד המחלוקת ביבמות יד ע"א. וגם בתוס' ביבמות שם ובב"מ נט כתבו שזהו יסוד מחלוקת ב"ש וב"ה ועוד.

[5] ראו שם החל מעמ' 147. הגדרת הבעיה בעמ' 150.

[6] ראו דיון ודוגמאות נוספות בספר מפענח צפונות לרב מנחם מנדל כשר, פרק יא סימן ט.

[7] ראו שמירת שבת כהלכתה פרק כט ה"ט (וכן פכ"ח ה"ל ופ"מ ה"ב).

[8] איני יודע אם יש פוסק מסוים שאוסר מדידת זמן ומתיר מדידת חום, אבל הוא הניח שהאיסור על מדידת זמן הוא מוסכם.

[9] בתורת הקבוצות משתמשים במונחים 'מספרים מונים' ו'מספרים סודרים', במובן מעט שונה, ביחס לקרדינלים אינסופיים (ראו למשל כאן). למיטב הבנתי ישנו קשר בין ההבחנה המתמטית להבחנה שאני עושה כאן, ואין כאן המקום לפרט.

[10] ובאמת בהקשרים של מספרים אינסופיים (קרדינלים ואורדינלים) הדמיון בין שתי המערכות אינו מלא. לכן מתמטיקאים משתמשים בהבחנה הזאת רק ביחס למספרים אינסופיים.

[11] אין כוונתי כאן לומר שהפוסקים היו מודעים להבחנה בין שני התפקידים של המספרים. אבל אינטואיטיבית בהחלט אפשרי שזה מה שעמד מאחורי הקביעה שלהם. אזכיר שוב, שאיני מכיר פוסק מסוים שאוסר מדידת זמן ומתיר מדידת חום. אבל לאור דבריי כאן אין מניעה עקרונית שיהיה פוסק כזה.

[12] גם במדידת אנרגיה של מערכת לא ניתן להצביע  על היחידה ה-8 מתוך 41 יחידות. במובן הזה אנרגיה נראית כמו גודל סודר ולא מונה. אבל זהו גודל אקסטנסיבי, כלומר ניתן להצביע במובחן על האנרגיה של יחידת החומר השלישית משמאל.  עדיין נותרות כאן שאלות פילוסופיות לאור פיזיקת הקוונטים שמעמידה בסימן שאלה  גם את הטענה הזאת שלי, ואין כאן המקום. לענייננו, מה שחשוב הוא ההגדרה ולא יישומיה בפיזיקה.

[13] אמנם לא על הטמפרטורה. אבל מי שמכיר מכניקה סטטיסטית יודע עד כמה המדד הזה מורכב, ועד כמה הוא גלובלי במהותו ולא ניתן לחישוב כסכום אקסטנסיבי על חלקי המערכת.