בינה מלאכותית – שיעור 12 – הרב מיכאל אברהם

[הרב מיכאל אברהם] טוב. אז בפעם הקודמת סיימנו פחות או יותר את המבוא הכללי, הפילוסופי, שעסקנו בו בשאלה מה זאת חשיבה, מה זה אדם. עד כמה שאפשר להגדיר את הדברים האלה או להמחיש או להנהיר את הדברים האלה, כי להגדיר זה מילה קצת חזקה מדי. אני רק רוצה להזכיר לכם נקודה מאוד חשובה להמשך, שגם עוררה ויכוחים ותפסה לנו קצת זמן. זה שכשאנחנו מדברים על חשיבה או על יצור חושב, אנחנו צריכים לדרוש, לטעמי לפחות, צריכים לדרוש איזשהו סוג של הפעלת שיקול דעת, מודעות וכדומה. וללא הדברים האלה יכול להיות שנעשות איזה שהן פעולות שסינטקטית הן פעולות חשיבה, כן, מבנית צורנית הן פעולות של חשיבה, אבל לא היינו קוראים לדברים האלה חשיבה. הדוגמה שהשתמשתי בה זה מים. כן, שכשאנחנו מתארים את התנועה של מים אנחנו משתמשים במשוואות נאבייה סטוקס, משוואות מאוד מסובכות לפתרון. אגב, לא מזמן ראיתי משהו שאי איי עשה איתם משהו, אני כבר לא זוכר מה. והמים לכאורה פותרים את המשוואות האלה, זאת אומרת, תיאור הזרימה שלהם הוא בעצם פתרון של המשוואות. ואני מניח שאף אחד מאיתנו לא היה מתייחס למים כישות חושבת. ולכן זאת נקודה שתהיה מאוד חשובה להמשך כשנרצה לעבור למחשבים, לבינה מלאכותית, ולשאול האם באמת מה שקורה שם הוא פעולת חשיבה. אבל זה רק תזכורת למה שראינו בפעמים הקודמות. אני רוצה עכשיו להתחיל להיכנס באמת לעניינים הטכניים. אני כמובן לא אעשה פה קורס במחשבים ואני גם לא בר הכי, אבל אני כן ארצה לנסות ולהדגים מה המשמעות של היצור הזה, מחשב, כי בעיניי זה מאוד חשוב להבין את זה, להבין את זה באופן מוחשי לפני שנכנסים לכל מיני דיונים עיוניים ופילוסופיים. כי אני חושב שאחרת הדיונים האלה מרחפים באוויר. ולכן אני אקדיש את השיעור של היום וכנראה גם את השיעור הבא לכמה עניינים טכניים. אז אני אתחיל אולי עם הקדמה קטנה מאוד לגבי לוגיקה. כן, הקשר בין לוגיקה לבין מחשב הוא מן המפורסמות, אבל אני ארצה עכשיו להמחיש אותו. אז הלוגיקה הקלאסית מטפלת בהסקים. זאת אומרת יש לי הנחות מסוימות ומההנחות האלה אני גוזר מסקנה או מסקנות. הכלים שבהם אני משתמש כדי לגזור את המסקנות הם כלים לוגיים. כן, נגיד אם אני אומר כל בני האדם הם בני תמותה, זאת הנחה. סוקרטס הוא בן אדם, עוד הנחה. מסקנה סוקרטס הוא בן תמותה. אוקיי? אז את המסקנה גזרתי משתי ההנחות. יש כלים לוגיים שעוזרים לי לתאר או לבטא את התהליך הזה של המעבר מההנחות אל המסקנה. אוקיי? עכשיו הכלים האלה הם מניחים שההנחות והמסקנה מוצרנות, מפורמלות. כי פורמלייזינג זה להצרין. להצרין מלשון צורה. ופורם זה צורה באנגלית. אנחנו מדברים על להצרין, פירושו טו פורמלייז, כן? לפרמל. אז אנחנו רוצים להצרין פסוקים בשפה. עכשיו כדי להצרין פסוקים בשפה מה שאנחנו בעצם אמורים לעשות זה להתחיל מכמה אטומים בסיסיים ולנסות ולבנות מהאטומים האלה את הייצוג של פסוקים מורכבים יותר. אז למשל אני רוצה לטפל בפסוק: גם סוקרטס בן תמותה וגם ינקל'ה הוא בן תמותה. אוקיי? אז אני אצטרך לומר שסוקרטס בן תמותה נגיד נסמן אותו בתור איי. ינקל'ה הוא בן תמותה נסמן אותו בתור… וגם בי ובשביל לייצג את הפסוק המורכב שתארתי כאן אני צריך גם להשתמש במה שנקרא קשר לוגי. במקרה הזה את הקשר וגם, בסדר? קוניונקציה. זאת אומרת ה-איי וגם בי זה ייצוג של המשפט, הייצוג הלוגי של המשפט שאמרתי קודם, כן? גם סוקרטס הוא בן תמותה וגם איי הוא בן תמותה, אז האטומים שלי זה סוקרטס הוא בן תמותה, זה טענה אטומית. יענקל'ה הוא בן תמותה זה טענה אטומית אחרת. הראשונה אני מסמן בתור איי, השנייה אני מסמן בתור בי. המשפט המורכב יסומן כאיי וגם בי. עכשיו, שאני שואל את השאלה כמה קשרים לוגיים יכולים להיות? לכאורה אין סוף, נכון? ככל שהדמיון הפרוע שלנו, למשל יש גם, למשל יש או. או שסוקרטס הוא בן תמותה או שיעקב הוא בן תמותה. יכול להיות גם אם סוקרטס הוא בן תמותה אז יענקל'ה הוא בן תמותה, זה כן, זה הקשר של הגרירה, האם-אז, אוקיי? אז יכולים להיות כל מיני קשרים, והשאלה היא אם אני יכול להגיד משהו על כמה קשרים בכלל יכולים להיות. זה מאוד חשוב כשאנחנו באים לטפל בפורמליזציה, כי אנחנו רוצים לראות שיש לנו דרך לייצג את כל המשפטים בשפה. אוקיי? אז אני רוצה קודם כל לאתר איזה סוגי משפטים בכלל יכולים להיות. וכיוון שאת המשפטים המורכבים אני בונה באמצעות קשרים לוגיים, אז השאלה הראשונה שאותה אני צריך לשאול זה כמה קשרים לוגיים יש. אוקיי? עכשיו הקשרים, כדי לענות על השאלה הזאת, בואו נסתכל רגע על תיאור יותר פורמלי של העניין. אז תסתכלו. ניקח למשל, אשתף רגע קובץ. אוקיי, תתעלמו מכל המלל, זה מלל בשבילי, אבל הצלצול הוא רק בשבילי כמו שנאמר, אבל תסתכלו רגע על הטבלה. בסדר? אז בטבלה יש לנו בעצם שתי טענות, פי וקיו, אלה האטומים שלנו, ואתם רואים פה יש לנו פי או קיו, נכון? הסימון הזה זה או, זה קשר לוגי שאנחנו מסמנים אותו בתור או. אז פי או קיו. אוקיי? עכשיו אני בונה מה שנקרא טבלת אמת. מה זה אומר? טבלת אמת בעצם אומרת לי בנתן ערכי האמת של הפסוקים האטומים, פי וקיו, אני רוצה לדעת מה ערך האמת של הפסוק המורכב. אוקיי? עכשיו אם נגיד שגם פי וגם קיו אמיתיים, אמת ושקר זה א' וש', כן? אז אם שניהם אמיתיים, אז מה הערך של פי או קיו? גם הוא אמיתי, נכון? אם אני, נגיד שאני אומר לכם או שסוקרטס הוא בן תמותה או שיענקל'ה הוא בן תמותה. עכשיו האמת היא ששניהם בני תמותה, אז מה אתם אומרים על המשפט או שסוקרטס או שיענקל'ה? ברור שגם הוא אמיתי, נכון? אם כל אחד מהם אמיתי גם הוא אמיתי. אבל הוא יהיה אמיתי גם רק אם, גם במצב שבו רק אחד מהם הוא אמיתי, נכון? למשל, אם סוקרטס הוא, תסתכלו על השורה הזאת. אם סוקרטס הוא בן תמותה, זה פי. אז פי הוא א', אמת, כן? וקיו, יענקל'ה הוא בן תמותה, לא נכון, זה שקר. מה הערך של פי או קיו? עדיין אמת, נכון? כי אני אומר שאו זה אמיתי או זה אמיתי, אז מספיק שאחד מהם יהיה אמיתי בשביל שהמשפט המורכב יהיה גם הוא אמיתי. נכון? אותו דבר פה. אם במקרה הזה סוקרטס לא בן תמותה אבל יענקל'ה הוא כן בן תמותה, זאת אומרת פי הוא שקרי אבל קיו הוא אמיתי. אז מה ערך האמת של המשפט המורכב פי או קיו? אמיתי. אותו דבר, נכון? אם אחד מהם הוא אמיתי, אז הערך של פי או קיו גם הוא אמיתי. המצב היחיד שפי או קיו הוא שקרי זה המצב האחרון, הרביעי, שבו גם פי וגם קיו הם שקריים. אוקיי? אם גם פי וגם קיו הם שקריים, אני אומר או שזה נכון או שזה נכון, זה משפט שקרי, נכון? כי אף אחד מהם לא נכון. אוקיי? אז זה סתם דוגמה שלקחתי לקשר לוגי מסוים, או, ואתם רואים שאת הקשר הזה אפשר לייצג על ידי טבלת אמת. אוקיי? זאת אומרת טבלת האמת בעצם אומרת לי בנתן ערכי האמת של שני הפסוקים האטומים. אני רוצה לדעת מה ערך האמת של הפסוק המורכב. זה מה שעושה הטבלה. אוקיי? בטבלה הזאת תמיד יהיו ארבע שורות, נכון? כי איזה קומבינציות יכולות להיות? או ששניהם אמיתיים, או שזה אמיתי וזה שקרי, או שזה שקרי וזה אמיתי, או ששניהם שקריים. אין עוד אופציה, נכון? בפי וקיו. אז אין, אין עוד אופציה לפי וקיו. לכן בעצם קשר, קשר דו-מקומי במקרה הזה, כי זה קשר שקושר רק שני פסוקים אטומיים, הוא בעצם טבלת אמת שמיוצגת על ידי ארבע שורות ושלוש עמודות. בסדר? שתי העמודות השמאליות, שתי אלה, זה עמודות הקלט. היא מקבלת בתור קלט את פי ואת קיו, וזאת עמודת הפלט. זאת עמודת הפלט. העמודה הזאת אומרת לי מה בעצם הקשר הלוגי, מה התוצאה של הקשר הלוגי. אוקיי? לכן זה נקרא פלט. אתם כבר יכולים להתחיל לראות למה זה קשור למחשבים הדבר הזה, אבל נגיע לזה עוד רגע. אז זה למשל הדוגמה של פי או קיו. עכשיו בואו נסתכל על עוד כמה קשרים. אז תראו את הטבלה הזאת. אתם רואים? פי או קיו את זה תיארתי למעלה, נכון? זה מה שראינו למעלה. עכשיו פה אני לוקח, אמרתי שבכל הטבלאות האלה יש ארבע שורות, נכון? זה נקבע על ידי שני הקלטים, נכון? אלה ארבעת הקומבינציות האפשריות. תעצרו אותי אם אני אם אני לא ברור או שאני הולך מהר מדי. לחלק מכם זה ודאי לאט מדי, אז פה אני קצת מתמרן בין אנשים שיש להם רקע לאנשים שאין להם רקע, אז תעצרו אותי אם אני טועה או לא עושה את זה כמו שצריך. אז יש לנו בעצם ארבע שורות שנקבעות על ידי ארבעה קלטים אפשריים שונים, וכל טור כזה הוא קשר. אז פה הטור הזה זה בעצם הקשר או. הוא אומר לי מה מה התוצאה אם המשפט המורכב זה פי או קיו. בואו נסתכל על זה. זה הקשר גם. פי וגם קיו. אתם רואים ה-וי התהפכה פה, אתם רואים? זה הסימון של הגם, מה שנקרא הגם זה קוניונקציה והאו זה דיסיונקציה, נקרא לזה השמות הלועזיים, לא משנה. אז תסתכלו איך בניתי את הטור הזה? אז בואו נסתכל. כשאני אומר שגם פי וגם קיו אמיתיים, מתי המשפט המורכב הזה הוא אמיתי? אז אם פי אמיתי וגם קיו אמיתי, קחו את השורה הזאת. כן? אם גם פי אמיתי וגם קיו אמיתי, אז התוצאה היא כמובן שפי וגם קיו גם הוא אמיתי, נכון? אבל בכל מצב אחר התוצאה תהיה שקר. למה? כי כשפי אמיתי וקיו שקרי, לא נכון לומר שגם פי אמיתי וגם קיו אמיתי. נכון? וכשפי שקרי וקיו אמיתי, גם לא נכון לומר את זה. וכשפי שקרי וגם קיו שקרי, כמובן לא נכון לומר שגם פי וגם קיו. אוקיי? אז כך בניתי את הקשר של הגם. אוקיי? זה הטור הזה. עכשיו נעבור רגע לפה, זה יותר קל לי. זה הקשר של השקילות. מה זה אומר? פי שקול לקיו. אתם רואים הסימון הוא השלושה קווים האלה, זה סימון שוויון עם עוד קו. אוקיי? זה לא שווה, אלא שקול. שקול זה בלוגיקה ושווה זה במתמטיקה. אוקיי? אז הטור הזה שמסמן את קשר השקילות, בואו נראה למה למה הוא בנוי בצורה הזאת? תראו, אם פי וקיו שניהם אמיתיים, אז יש להם שקילות לוגית, נכון? זה אמיתי וגם זה אמיתי. אם פי אמיתי וקיו שקרי, אז הם לא שקולים, נכון? כי פי אמיתי וקיו שקרי. אותו דבר אם פי שקרי וקיו אמיתי, אז גם כן, אתם רואים? התוצאה היא שקרית. ואם שניהם שקריים, התוצאה היא אמיתית, נכון? כי הם שקולים. זאת אומרת, השקילות מקבלת ערך אמת בשורה הראשונה והרביעית, אבל היא שקרית בשתי השורות האמצעיות. אוקיי?

[Speaker C] זה עונה על השאלה

[הרב מיכאל אברהם] אם הם שווים?

[Speaker C] לא שומע. זה עונה על השאלה אם הם שווים? וזה המילה שקילות?

[הרב מיכאל אברהם] כן. אמרתי, במתמטיקה קוראים לזה שוויון, בלוגיקה קוראים לזה שקילות. בסדר? אז הטענה היא בעצם נגיד נגיד שהמתג מופעל, נגיד המשפט פי זה שהמתג מופעל, המתג מופעל, כן? הוא מורם. משפט קיו זה שהאור דולק. אז פי לא שווה לקיו. המשפטים הם משפטים במשמעות שונה. נכון? המתג מורם והאור דולק זה שני משפטים שאין שום קשר ביניהם מבחינת התוכן, אבל הם נחשבים שקולים לוגית כי תמיד כשזה אמיתי גם זה אמיתי וכשזה שקרי גם זה שקרי. אבל אם המתג מורם אז האור דולק, ואם המתג לא מורם אז האור לא דולק. אוקיי? אז לכן המתג מורם והאור דולק זה משפטים שקולים. הם לא שווים, הם לא זהים, הם לא, כן, התוכן שלהם שונה לחלוטין, אבל מבחינה לוגית הם שקולים. שקילות פירושו שאם זה אמיתי גם זה אמיתי. זה נקרא שקילות לוגית. בסדר? ואם זה שקרי גם זה שקרי. אוקיי? אז זה הטור הזה. עכשיו הטור הזה השארתי אותו לסוף, תמיד דברים טובים נשארים לסוף. הטור הזה הוא טור בעייתי. בואו ננסה לחשוב למה. תראו, הטור הזה בעצם אומר לי אם פי אז קיו. אתם רואים את החץ של הגרירה? קוראים לזה גרירה, כן? אם פי אז קיו. פי זה הרישא של הגרירה וקיו זה הסיפא של הגרירה. אוקיי? עכשיו איך אני ממלא את טבלת האמת הזאת? אז נגיד שפי אמיתי וקיו אמיתי, מה תתעלמו ממה שכתוב פה, בסדר, מה הייתם שמים פה? לא יודע שפי אמיתי וקיו אמיתי, אם אני יכול להגיד שפי גורר את קיו גם הוא אמיתי. לא הבנתי

[Speaker D] מה זה גורר את קיו.

[הרב מיכאל אברהם] גורר הכוונה שאם זה נכון אז זה נכון. למשל עם המתג. אם המתג מופעל אז האור דולק.

[Speaker D] אז פה זה נכון, בטח שזה נכון. אז

[הרב מיכאל אברהם] בואו ניקח דוגמה. למשל, נשיא מדינת ישראל זה בוז'י הרצוג, זה המשפט פי. אוקיי? המשפט קיו זה עכשיו לילה. אוקיי? עכשיו אני אומר אם בוז'י הוא נשיא מדינת ישראל אז עכשיו לילה. עכשיו תעזבו את הלוגיקה, מה הייתם אומרים על המשפט הזה? סתם נונסנס. נכון, מה הקשר בכלל? או במילים אחרות, מה שזה אומר זה שמשפט הגרירה הוא חריג מכל הקשרים שראינו עד עכשיו. ולמה? בגלל שהוא נקבע על ידי התוכן של פי וקיו. לא מספיק לדעת את הצורה ואת ערכי האמת, אני צריך גם לדעת את התוכן. נגיד אם פי וקיו היה המתג מורם והאור דולק, אז פי גורר את קיו באמת היה נכון עם שניהם נכונים. אוקיי? אבל אם זה בוז'י נשיא מדינת ישראל ועכשיו לילה, אז אי אפשר להגיד שאם בוז'י נשיא מדינת ישראל אז עכשיו לילה זה משפט אמיתי, כי אין שום קשר. ה\"אם\" לא גורר את ה\"אז\", נכון? זאת אומרת שלא מספיק לי לדעת את ערכי האמת של פי וקיו כדי לדעת מה יהיה ערך האמת של פי גורר את קיו. זה תלוי מי הוא פי ומי הוא קיו. זה תלוי בתוכן. אתם שמים לב שבארבעת הטורים האחרונים שעברנו זה לא היה תלוי בתוכן. נגיד אם הייתי אומר \"גם בוז'י נשיא מדינת ישראל וגם עכשיו לילה בחוץ\", זה משפט אמיתי, נכון? אם שניהם אמיתיים. לא צריך להיזקק לתוכן של פי ושל קיו כדי לקבוע אם המשפט הוא אמיתי. זה נקבע רק על ידי הצורה או ערכי האמת. אם אתה יודע את ערכי האמת של הקלטים פי וקיו, אתה יודע את ערך האמת של הפלט, של התוצאה. פה בטור הזה זה לא נכון.

[Speaker B] בטור הזה זה לא נכון.

[הרב מיכאל אברהם] בטור הזה לא מספיק לדעת את ערכי האמת של הקלטים כדי לדעת את ערך האמת של הפלט. והסיבה לזה היא כי ערך האמת של הפלט תלוי בתוכן של הקלטים ולא רק בערך האמת שלהם. לא מספיק לדעת ששניהם אמיתיים כדי לדעת שיש קשר של גרירה ביניהם. יכולים להיות שניהם אמיתיים אבל אין שום קשר ביניהם, אז אי אפשר לדבר על גרירה. אוקיי? לכן זה קשר מאוד בעייתי, קשר הגרירה. ומה שעושים בדרך כלל, מאמצים בלוגיקה כדי להפוך את זה לקשר צורני שתלוי רק בערכי האמת ולא בתוכן של הפסוקים, מאמצים את המשמעות המינימלית של הגרירה. קוראים לזה גרירה מטריאלית חומרית, אימפליקציה מטריאלית. אימפליקציה זה גרירה. אז זה בעצם גרירה מטריאלית. מה זה אומר? זה אומר מה המינימום שאני דורש ממשפט גרירה. משפט הגרירה אומר לי כמינימום את הדבר הבא: לא ייתכן שפי יהיה אמיתי וקיו יהיה… קיו יהיה שקרי. אוקיי? זאת הטענה. זאת אומרת, זה נכון שזה לא מספיק כדי לתאר את קשר הגרירה, אבל זאת הדרישה המינימלית, זה חייב להתקיים. זאת אומרת, לא ייתכן שפי אמיתי וקיו שקרי. אם פי אמיתי, אז בהכרח גם קיו אמיתי. בסדר? זה בעצם להגיד את אותו דבר. להגיד שאם פי אמיתי אז קיו אמיתי, מה זה אומר? שאם פי אמיתי, אז לא ייתכן שקיו הוא שקרי. נכון? זה להגיד אותו דבר. לכן זה הפירוש המינימלי שנותנים לקשר הגרירה כדי להפוך אותו לקשר פורמלי, לקשר של לוגיקה צורנית, שלא נכנס לשאלה מיהו פי ומיהו קיו, אלא רוצה להסתפק אך ורק בערכי האמת שלהם. אוקיי? ועכשיו אני ממלא ככה: אז אם פי וגם קיו אמיתיים, אז באמת לא קרה פה מצב שפי אמיתי וקיו שקרי. לכן התוצאה היא אמיתית לפי הדרישה המינימלית שהצבתי. המקום היחידי שבו התוצאה תהיה שקרית זה הטור השני. כי אתם רואים פה בטור הזה מה קורה? פי הוא אמיתי, אבל קיו הוא שקרי. אבל זה הרי לא יכול להיות. לא ייתכן שפי אמיתי וקיו יהיה שקרי. לכן פה אנחנו מסמנים שקר על הגרירה. אוקיי? כל שאר העמודות זה אמת. שימו לב, גם שקר גורר שקר. מה שתגיד לכם המורה בכיתה ב', אז כן, שקר גורר שקר, היא לקחה את זה מלוגיקה. אוקיי? ואותו דבר שקר יכול לגרור אמת. זאת אומרת, אם יש לכם משפט שקרי, כל משפט שתשימו בקצה לא ישנה את קשר הגרירה. הוא תמיד יהיה אמיתי. ברגע שהרישא היא שקרית, לא משנה מה יש בסיפא, התוצאה היא תמיד אמת לפי הפירוש המטריאלי. אנחנו מאמצים את הפירוש המטריאלי לקשר הגרירה, שזה בעצם הפירוש הזה. אוקיי? אוקיי, עכשיו יש כמובן עוד הרבה קשרים אחרים. נכון? פה הצגנו ארבעה, חמישה, סליחה. אבל באופן עקרוני יכולים להיות המון קשרים. גרירה, אם אז, שקילות, או, גם, כל מיני דברים. עכשיו, בוא ננסה לחשוב עכשיו על השאלה ששאלתי קודם. עכשיו כבר יש לכם את הכלים לענות עליה. כמה קשרים יש סך הכל? 16. נכון. 16.

[Speaker E] יש לך בעצם בכל שורה שתי אופציות, שתיים ברביעית זה 16.

[הרב מיכאל אברהם] אז שימו לב, כל קשר הוא בסך הכל טור כזה של ארבעה ערכים, נכון? זה נקרא קשר. תנו לי את הטור הזה, הטור הזה מגדיר קשר. אוקיי? עכשיו כמה סוגי שורות כאלה יכולים להיות? יש לנו ארבעה ערכים, זה וקטור באורך ארבע שכל מרכיב שלו יכול להיות עם שני ערכים, אמת או שקר, אז זה בעצם שניים כפול שניים כפול שניים כפול שניים, 16. יש פה 16 טורים שונים. תגיד אמת אמת אמת אמת, שקר שקר שקר שקר, שקר אמת אמת אמת, אמת שקר אמת אמת, אמת אמת שקר אמת וכן הלאה, יש 16 טורים כאלה, אין יותר. עכשיו זו תוצאה מפתיעה שלא היינו יכולים להגיע אליה בלי ההצרנה. אנחנו יודעים שלא משנה איזה מילים תשתמשו בשפה, אין יותר מ-16 קשרים. זהו, יש 16 קשרים. אוקיי? כל קשר בעצם מתואר על ידי טבלה כזאת כמו שראינו פה, הטבלה הזאת. זה קשר. למה? תראו, תנו לי את שני האינפוטים וזה הקלטים וזה הפלט שיוצא. ברגע שהגדרתם לי את כל שורות הפלט, הגדרתם קשר. במקרה הזה זה קשר ה\"או\". אוקיי? אבל הגדרתם קשר. כל קשר יש לו טבלה כזאת. הטבלה הזאת היא בסך הכל הצגה מקוצרת של חמישה קשרים, אבל זה אותו רעיון. קחו את השלושה האלה, זה הקשר \"או\". השניים האלה ביחד עם זה, זה הקשר \"גם\", נכון? השניים האלה ביחד עם זה, זה הקשר גרירה. וכאן זה הקשר של שקילות. אוקיי? הטבלה הזאת פשוט אוספת כמה טבלאות מהסוג של למעלה, זה הכל. אז יש 16 טבלאות שונות כאלה ולכן יש רק 16 קשרים, שזה בשורה טובה. למה זה בשורה טובה? כי אז אנחנו יכולים לצפות שיהיה לנו דרך לטפל באופן לוגי בפסוקים בשפה. אם אני רוצה לתרגם כל פסוק בשפה לסימול לוגי, אז אני רוצה לראות שיש לי דרך לתרגם כל פסוק. עכשיו הנה, אם יש רק 16 סוגי פסוקים אפשריים, אז כל מה שאני צריך זה בסך הכל 16. שישה עשר סימונים, שישה עשר קשרים. אוקיי?

[Speaker F] למה קשר מוגדר על ידי טבלת האמת שלו? למה לא יכול להיות כמה קשרים שונים עם אותה טבלת אמת?

[הרב מיכאל אברהם] אז זה המשמעות, אז הם לא שונים.

[Speaker F] למה? זה אומר או, זה אומר… יכול להיות שהיו מאה…

[הרב מיכאל אברהם] אתה צודק שיכולים להיות כמה סוגים של קשרים, למשל, למשל בואו נסתכל על… רגע, תסתכלו רגע על… לא, אין לי פה דוגמה פשוטה… טוב, בואו אני אקח דוגמה פשוטה אחרת. בואו ניקח את הקשר שנקרא קסור. מה זה קסור? קסור פירושו זה אקסקלוסיב-אור. כן, זה או, או. זה האו, האו. מה זה קסור? האו אומר שהוא אמיתי אם לפחות אחד משני הקלטים שלו אמיתי. נכון? לפחות אחד משניהם אמיתי. רק כאן זה לא מתקיים, לכן רק כאן זה שקרי, בשורה הרביעית. כל שאר השורות לפחות אחד מהשניים הוא אמיתי. אוקיי? אקסקלוסיב-אור אומר שזה או שרק אחד משניהם אמיתי, לא לפחות אחד משניהם אמיתי. זה אקסקלוסיבלי, זאת אומרת זה או זה או זה. בסדר? לא יכול להיות ששניהם אמיתיים. זה או זה אמיתי או זה אמיתי. ההבדל היחידי יהיה שפה זה יהפוך לשקר, נכון? כי פה שניהם אמיתיים ואני רוצה שרק אחד יהיה אמיתי. בסדר? אז זאת עכשיו הטבלה של אקסקלוסיב-אור. אוקיי? אתם רואים את הקשר לטבלה הזאת? תראו, תסתכלו על זה. זה פשוט

[Speaker B] נוט, לא? ועל זה.

[הרב מיכאל אברהם] רואים את הקשר בין שני אלה?

[Speaker B] הפוך פשוט.

[הרב מיכאל אברהם] הפוך. אבל בעצם, אז אם הייתי שם שלילה על הדבר הזה, הייתי מקבל את הדבר הזה, נכון? אז הנה אתם רואים שבעצם יש לנו, אבל להגיד לא נכון שאו פי או קיו זה לא אותו דבר סמנטית להגיד שפי שקול לקיו. זה אמירות שונות, אבל יש להם את אותו טור. אז לכן מבחינתי זה אותו קשר. ברמה הלוגית זה אותו קשר. אני יכול לתרגם את המשפט, אם מישהו אומר לי: לא נכון שאו שסוקרטס הוא בן תמותה או שינקל'ה הוא בן תמותה. אוקיי? או אני מתכוון באקסקלוסיב-אור, כן? לא נכון שאו שינקל'ה הוא בן תמותה או שסוקרטס הוא בן תמותה, הוא בעצם אומר לי: אם סוקרטס הוא בן תמותה, זאת אומרת סוקרטס הוא בן תמותה אם ורק אם יעקב הוא בן תמותה. שימו לב, זה שני משפטים שונים לגמרי מבחינת השפה הרגילה שלנו. אבל התרגום הלוגי מראה לנו שזה בעצם אותו משפט במילים אחרות. לכן אני קורא לזה אותו קשר. אוקיי? והלוגיקה מטפלת רק, מבחינתה הקשר הוא לא קשור למשמעות הסמנטית שאנחנו נותנים לביטויים האלה, לסימונים האלה, כן? השקילות או הגרירה או הגם וכן הלאה, אלא כל אחד מאלה מיוצג על ידי טבלת אמת. על ידי וקטור כזה של ארבעה ערכים, והווקטור הזה הוא הקשר מבחינתי. ואם יש צורה אחרת להגיד בשפה את אותו דבר, אבל לצורה הזאת גם כן יש את אותו וקטור של ערכים, אז מבחינתי זה משפט שקול, זה אותו משפט. אוקיי?

[Speaker G] עכשיו, בעצם הקשר הוא אדיש לתוכן.

[הרב מיכאל אברהם] מה?

[Speaker G] בעצם הקשר הוא כאילו הוא אדיש לתוכן, לא מעניין

[הרב מיכאל אברהם] אותו בעצם מה המשמעות של זה במציאות. בדיוק, במובן הלוגי לא מעניין אותו התוכן. מה שמעניין אותו זה הקשר בין הקלט לפלט. זאת אומרת אם אותם קלטים נותנים לי את אותו פלט, אז זה אותו קשר.

[Speaker H] למרות שהמשמעות של הקשר תהיה יכולה להיות מאוד מאוד שונה תיאורטית.

[הרב מיכאל אברהם] נכון, זה מה שהראיתי קודם ועל זה עניתי, כן, נכון. זאת אומרת בעברית כשאתה אומר שסוקרטס הוא בן תמותה זה שקול לינקל'ה הוא בן תמותה, זה לא אותו משפט כמו להגיד לא נכון שאו שינקל'ה או אקסקלוסיבלי כן ינקל'ה או שסוקרטס הם בני תמותה. זה להגיד משפט אחר מבחינת הסמנטיקה, מבחינת המשמעות של המשפטים. אבל מבחינה לוגית אלה טענות שקולות. יש להם את אותה טבלת אמת. עכשיו ברגע שהגענו למצב הזה, אז אנחנו מבינים שיש שישה עשר קשרים. זאת אומרת ברמה העקרונית יכולנו להמציא עכשיו שישה עשר סימונים כאלה, כל סימון כזה מייצג טור כזה של ארבעה ערכים, נכון? הסימון שקילות מייצג את זה, הסימון גרירה מייצג את זה, הסימון גם מייצג את זה, וככה היינו עושים ל-16 העמודות האפשריות, היינו מייצרים 16 סימונים. ברגע שיצרנו את 16 הסימונים, אנחנו יכולים בעצם להצרין כל משפט בשפה. תנו לי את האטומים, P ו-Q, ואני יכול לכתוב לכם את הצורה של המשפט המורכב מהאטומים האלו. אוקיי? עכשיו כמובן יכולות להיות גם הרכבות עוד יותר מורכבות, נגיד לוקחים את זה.

[Speaker H] מה בעצם אנחנו לא אומרים שיש רק 16 קשרים, אלא שאנחנו יכולים לתרגם את כל הקשרים האפשריים ל-16 טבלאות אמת?

[הרב מיכאל אברהם] ברמה הלוגית זה מה שנקרא קשר. אם נסתכל על קשר כמשהו בשפה, אז בשפה זה נכון, יש יותר, אבל מבחינתי הקשר זה העניין הלוגי. עכשיו תראו למשל את המשפט הזה. אתם רואים? גם זה משפט מורכב בשפה. בסדר? זה משפט מורכב בשפה שאני משתמש בשני קשרים כדי לתאר אותו. למשל אני אומר, אם סוקרטס הוא בן תמותה או יאנקה הוא בן תמותה, אז סוקרטס הוא בן תמותה. אגב, זה כמובן נכון. הדבר הזה יהיה מה שנקרא טאוטולוגיה. טאוטולוגיה זה טור כזה שכולו אמת. זאת אומרת, שלא משנה מה קורה עם P ו-Q, התוצאה היא תמיד אמיתית. אם תבנו את טבלת האמת של הדבר הזה, אתם תגלו שהטור שמייצג אותה זה א-א-א-א. בסדר? הנה תראו, למשל ניקח את P ו-Q שניהם א, כן? אז P או Q מהו? רגע, אני אחזיר את זה חזרה לאיתנו. מה הוא עושה פה? אוקיי, אז תסתכלו עכשיו, בוא ננסה לנתח את המשפט המורכב הזה. אוקיי? P או Q בשורה, אני מסתכל עכשיו על השורה הראשונה. אוקיי? P או Q זה א או א. לפי טבלת ה'או', אז גם התוצאה היא א, נכון? זאת אומרת, זה א. עכשיו P הוא א, אז א גורר את א. אני הולך לטבלת הגרירה. כשהרישא והסיפא של הגרירה שניהם א, גם טבלת הגרירה היא א. לכן התוצאה הסופית של כל זה היא א. תמשיכו לבדוק את זה לפי טבלאות האמת, אתם תגלו שבכל ארבעת השורות אתם מקבלים פה א. זה מה שנקרא בלוגיקה טאוטולוגיה. טאוטולוגיה זה משפט שנכון בהכרח. לא משנה אם P נכון או Q נכון, שניהם לא נכונים, לא חשוב, התוצאה של המשפט הזה תמיד נכונה. למשל תחשבו על משהו שכל אחד מכם מבין, נגיד או P או לא P. זה תמיד יהיה נכון. מסכימים? לא משנה מה תשימו במקום P. נגיד ש-P אומר עכשיו לילה. אז או שעכשיו לילה או שעכשיו יום. זה משפט נכון, כי עכשיו לילה. אם P יהיה עכשיו יום, אז אני אומר או שעכשיו יום או שעכשיו לילה. שוב פעם זה משפט נכון. אוקיי? לכן לא זה לא משנה מהו P, התוצאה היא תמיד נכונה. זה גם טאוטולוגיה. בסדר? או למשל P וגם לא P הוא תמיד שקרי. זה ההפך מטאוטולוגיה. P וגם לא P זה סתירה. P וגם לא P זה תמיד שקרי, מה שלא תשימו במקום P. כי לא יכול להיות שעכשיו גם יום וגם לא יום. וגם לא לילה, לילה וגם לא לילה. כן, זה לא יכול להיות נכון, לכן זה תמיד שקרי. וכן הלאה. אני לא רוצה יותר מדי להיכנס ל-

[Speaker I] לא, אבל אם P, אם P זה שקר ו-Q זה אמת, אז ייתן לך אמת גורר שקר, ואז זה שקר.

[הרב מיכאל אברהם] לא, אם P הוא אמת ו-Q שקר זה שקר. אם P הוא שקר ו-Q אמת זה אמת.

[Speaker J] זה אמת, כן, אבל זה גורר את P שהוא שקר. נו, בסדר? אז

[הרב מיכאל אברהם] זה שקר, לא?

[Speaker J] זה לא יכול לקרות בגרירה. זה לא טאוטולוגיה, זאת הטענה כאילו. P

[הרב מיכאל אברהם] גורר את Q. P גורר את Q רק פה הוא שקרי. אה, אתה אומר P גורר את Q פה, כן? הוא גם אמיתי, אתה צודק, זה לא טאוטולוגיה. P גורר את Q יוצא אמיתי ו-P הוא שקרי, אז אמיתי גורר שקרי זה שקר. טעיתי, זה לא טאוטולוגיה, אתה צודק. בסדר, העיקרון הוא, אבל זה העיקרון, בסדר? אז בעצם מה שאני רוצה לומר זה שאם היו לנו 16 סימונים. כאלה שכל אחד מהם מייצג טור בטבלה, יכולנו להצרין את כל המשפטים בשפה. אוקיי, עכשיו למרבה השמחה, לפחות שלי, יש בעצם אפשרות לייצג את כל הקשרים באמצעות קשר אחד. זאת אומרת למשל בואו ניקח את הקשר הידוע ביותר שעושה את זה, יש כמה קשרים שעושים את זה, אבל רגע, זה מה שנקרא נאנד, נוט אנד, אוקיי? פי וגם קיו זה האנד, וזה סימון של שלילה, אז זה נוט אנד, זה נאנד, אוקיי? הנאנד, בואו נראה, פי וגם קיו זה אמת, נכון? לכן הנוט של פי וגם קיו הוא שקר, אוקיי? פי וגם קיו הוא שקר, הנוט שלו הוא אמת, שני אלה שקר, הנוט הוא אמת, שקר, הנוט הוא אמת, נכון? זה בעצם הקשר שנקרא נאנד, נוט אנד. זה גם קשר, זה עוד טור שלא ראינו אותו קודם. עכשיו מתברר, יש לזה הוכחה בלוגיקה, שעם הקשר הזה אפשר לבנות את כל הקשרים האחרים לבד, רק איתו. זאת אומרת אני נגיד אם אני רוצה לבנות את פי או קיו, אני יכול לקחת את פי וקיו, להשתמש בקשר הזה, ואז להשתמש עוד פעם בקשר הזה יחד עם פי או יחד עם קיו ובסוף אני אקבל את הטבלה שאני רוצה. זאת אומרת אני יכול לבנות הרכבה של קשרי נאנד שמייצרת לי כל קשר שאני רוצה. לכן למעשה אנחנו נמצאים במצב עוד הרבה יותר טוב ממה שחשבנו, בשביל ההצרנה של פסוקים מורכבים בשפה מספיק לי קשר אחד. נגיד אם אני מסמן אותו, את הקשר הזה בתור לא יודע מה נגיד כוכבית, בסדר? נגיד אני אומר מה יהיה עם העברית הזאת? טוב, אז הנה למשל אני מסמן את הנאנד עם כוכב, סתם בחרתי, אוקיי? ובמקום זה עכשיו אני כותב הנה, סימנתי את זה ככה, אוקיי? ועכשיו יש לנו את הקשר נאנד. עכשיו אם אנחנו רוצים לבנות קשר אחר, אז למשל אנחנו יכולים להגיד יש לנו לא יודע מה את זה, למשל משהו כזה. אתם מבינים שגם זה סוג של קשר? תנו לי את קיו ופי וזה ייתן איזושהי טבלת ערכים פה. עכשיו מתברר שאת כל ה-16 הקשרים שתיארתי למעלה, כל 16 הקשרים אפשר לבנות כקומבינציות של הקשר כוכב בכל מיני צורות מהסוג הזה, את כולם אני יכול לבנות ככה. ולכן בעצם מספיק לי הקשר הזה כדי להשתמש בו להצרין את כל המשפטים בשפה. אוקיי, עכשיו, אוקיי, זה עניינים טכניים, לא חשוב, אני לא אוכיח את זה כאן, אבל זה לא נוגע אלינו. עכשיו מה שאני בעצם רוצה לומר זה שמה אני עושה עם הטבלאות אמת האלה? מה שאני עושה כרגע, אני רוצה לבנות מכונה שעושה את החישוב הלוגי הזה שתיארתי. למשל מכונה שעושה את החישוב של וגם, אנד, אוקיי? פי וגם קיו. זאת אומרת מכונה שמקבלת את פי ואת קיו ומחשבת לי את פי וגם קיו ומוציאה לי את התוצאה. שימו לב, זה לא חישוב מתמטי, זה חישוב לוגי, אוקיי? והיא מחשבת לי את פי וגם קיו ומוציאה לי תוצאה. אז בואו אני אראה לכם מכונה כזאת. תסתכלו על מעגל חשמלי, בסדר? פה יש מעגל חשמלי, זאת סוללה, נגיד חמישה וולט לצורך הדיון, וצריך חמישה וולט כדי להפעיל את המנורה הזאת, בסדר? זאת זאת נורה. עכשיו, אלה מפסקים. יש פה שני מפסקים. אוקיי? עכשיו אני אומר ככה: בוא נניח, זאת אומרת, או לפני שנניח, מה בעצם ה- מה בעצם יקרה במעגל הזה? אז אם פה אני שם סוללה של חמישה וולט, ופה אני שם נורה, אם המעגל יהיה סגור, הנורה תידלק, נכון? אם המעגל פתוח, הנורה לא תידלק, אוקיי? עכשיו פה אני שם שני מתגים, קוראים לזה חיבור טורי. אני שם אותם בטור, בזה אחר זה בטור. אוקיי? מה צריך להתקיים כדי שהנורה תידלק?

[Speaker D] ששניהם יהיו סגורים.

[הרב מיכאל אברהם] ששניהם יהיו סגורים, נכון? ואז המעגל נסגר. ששניהם צריכים להיות סגורים. אם אחד מהם פתוח, אז הנורה לא תידלק. עכשיו בוא נניח שהנורה דולקת זה אמת, והנורה לא דולקת זה שקר, אוקיי? ו-פי ו-קיו ייכנסו אל המפסקים. זאת אומרת, יהיה פה משהו, פי. אם פי הוא אמת, המפסק הזה סגור. אם קיו הוא אמת, המפסק הזה סגור. אם קיו הוא שקר, זה פתוח. אם פי שקר, זה פתוח, אוקיי? עכשיו תראו, אם פי ו-קיו שניהם אמיתיים, אז שני המפסקים סגורים והנורה תידלק, התוצאה היא אמת, נכון? אם פי אמיתי זה סגור, ו-קיו שקרי זה יישאר פתוח, אז הנורה לא דולקת, זה שקר. אם קיו אמיתי ו-פי שקרי, אז זה סגור וזה פתוח, הנורה לא דולקת, זה שקר. ואם שניהם שקריים שניהם פתוחים, הנורה לא דולקת, זה שקר. אז אתם מבינים שהמעגל הזה הוא בעצם מחשב? זה מחשב לכל דבר. זה מחשב שמחשב את הפעולה הלוגית של גם. זאת אומרת, הוא מקבל פי ו-קיו בתור קלט, והוא עושה איתו את הפעולות החשמליות האלה, זאת אומרת, מחבר את ה-פי ואת ה-קיו אל המתגים האלה, והפלט שלי, הפלט שלי זה הנורה. אם היא דולקת זה אמיתי, אם היא לא דולקת זה שקרי, זה הפלט. בהנחה שקבעתי את הכללים האלה, שהקלט קובע את מצב המפסקים והפלט זה מצב הנורה, המעגל הזה הוא מחשב שמחשב את הפעולה הלוגית של גם. זה ברור? זה חשוב לי שתהיו איתי. בטח יש כאלה שכבר נמאס להם כי זה מוכר להם מאוד, אז סליחה, אבל פשוט אני רוצה ליישר קו עם כולם.

[Speaker D] המייצג, לא מחשב.

[הרב מיכאל אברהם] מה?

[Speaker D] הוא מייצג, לא מחשב. זה

[הרב מיכאל אברהם] נקרא לחשב.

[Speaker D] אוקיי.

[הרב מיכאל אברהם] זה מחשב אנלוגי, לא דיגיטלי. תכף בהמשך אני עוד אדבר על היחס ביניהם. זה מחשב לגמרי. תסתכל, עכשיו פה, זה כמו שמים מחשבים את משוואת נבייה-סטוקס. אז המעגל הזה מחשב את גם. אוקיי? הוא פשוט מתנהג באופן כזה שהתוצאה שלו היא כמו התוצאה של גם. מה שאתה קורא מייצג, זה מה שאני קורא במחשבים לחשב. נגיע לזה כשנראה מחשב יותר ריאלי. תסתכל פה, תסתכלו פה עכשיו. זה מעגל שנקרא חיבור מקבילי, לא טורי. אתם רואים, שני המתגים פה נמצאים במקביל זה לזה, לא בטור אחד אחרי השני. מה ההבדל מהמצב הקודם? אתם רואים שפה מספיק שאחד מהם יהיה סגור בשביל שהנורה תידלק, נכון? זאת אומרת, אם זה יהיה סגור וזה פתוח, אז הזרם יזרום דרך המעגל הזה מלמטה, יעלה לפה ויסגור את המעגל ככה, והנורה תידלק. אם זה סגור וזה פתוח, אז עדיין הנורה תידלק, כי המעגל יהיה זה. אוקיי? אז הנורה תידלק. אם שניהם סגורים, גם הנורה תידלק. אם שניהם פתוחים, זה המקרה היחידי שהנורה לא תידלק. אז את מה זה מייצג? את הקשר או. בדיוק.

[Speaker B] זה פי או קיו.

[הרב מיכאל אברהם] אם או פי סגור או קיו סגור, הנורה דולקת. המצב היחידי שהנורה לא דולקת, שנותן לי שקר, זה כששניהם פתוחים. כשגם פי וגם קיו שקריים. אוקיי? אני אחזור רגע על. טבלה כדי להזכיר למי שלא איתנו. תסתכלו פה, אתם רואים את או? כשפי או קיו, אז אם פי וקיו שניהם אמיתיים זה אמת. אם אחד מהם אמיתי זה גם אמת, רק כששניהם שקריים זה שקר. זה בדיוק המעגל המקבילי שראינו עכשיו. זאת אומרת, אם המתג הזה סגור והמתג הזה סגור, הנורה דולקת. אם המתג הזה סגור והמתג הזה פתוח, הנורה דולקת. אם המתג הזה פתוח והמתג הזה סגור, הנורה דולקת. המקרה היחידי שהנורה לא דולקת זה כששני המתגים פתוחים, ואז הנורה לא דולקת. לכן חיבור מקבילי הוא בעצם מימוש, קוראים לזה מימוש, של שער או. זה בעצם שער לוגי שהוא מקבל את פי ואת קיו בתור קלט והוא מוציא את התוצאה של פי או קיו, זה הפלט שלו. והמימוש של שער וגם זה החיבור הטורי. אוקיי? זה בעצם המעגלים הבסיסיים שמייצגים פעולות לוגיות. באופן עקרוני אתם מבינים שאפשר לבנות מעגלים חשמליים כאלה לכל אחד מ-16 הקשרים. נכון? תנו לי קשרים ואני אבנה מעגל כזה שידאג לכך שאם שני המתגים פתוחים יקרה כך, אם אחד פתוח אחד סגור יקרה כך וכן הלאה. זה פשוט מימוש באמצעות מעגל חשמלי של שערים לוגיים. בסדר? זאת בעצם הטענה. זה ברור עד כאן? אם לא אז תשאלו, כי חשוב לי שתבינו את העיקרון, לא אכפת לי כרגע הפרטים ולחזיק ראש עם ההוכחות והכל, אין הוכחות. אבל להבין את הרעיון, את צורת החשיבה. אוקיי? זה בסדר? זה ברור? אוקיי. אז עכשיו, למעשה מה שאני רוצה עכשיו לעשות הלאה, זה לעבור למחשב שעושה פעולות מתמטיות, לא פעולות לוגיות. זה הצעד הבא לקראת מחשב. אני רוצה מחשב שלא יחשב פעולות לוגיות, שיחשב לי כמה זה 16 כפול 84. בסדר? נגיד פעולות אריתמטיות כרגע. איך בונים מחשב כזה? יש לכם את כל הכלים, אתם כבר יכולים לבנות מחשב כזה באופן עקרוני. מחשבון שעושה פעולות חישוביות של חיבור, חיסור, כפל, חילוק, נגיד חיבור וחיסור לצורך הדיון, אתם בעצם כבר יכולים לבנות מחשב כזה. ובשביל לעשות את זה, הקדמה קצרה, שוב פעם סליחה מאלה שזה באמת פשוט מדי. אנחנו בעולם המחשבים, אנחנו נוהגים לעבוד בבסיס שנקרא בסיס בינארי. זאת אומרת, יש רק שתי ספרות, 0 ו-1. אנחנו רגילים ביומיום להשתמש בבסיס עשרוני. יש 10 ספרות, עם האפס, כן? 0, 1, 2, 3, 4, עד 9, יש 10 ספרות. אנחנו יכולים אבל כמובן לעשות הכל גם בבסיסים שיש בהם שתי ספרות, שלוש ספרות, ארבע ספרות, לא משנה. בסיס שתיים, בסיס בינארי, יש לו שתי ספרות, 1 ו-0. אוקיי? אז למשל כשאני כותב, נגיד שאני כותב 35, כשאני כותב את המספר 35 בשפה שלנו, בבסיס העשרוני, זה אומר שיש לי שלוש עשרות וחמש יחידות, נכון? 35, שלוש עשרות, חמש יחידות. כשאני כותב את המספר 10, זה אומר לי שיש לי עשירייה אחת, אפס יחידות. נכון? עכשיו בבסיס הבינארי העשיריות הם בעצם שניימים. שניים זה 10, ארבע זה 100, כן זה 10 בריבוע זה 2 בריבוע וכן הלאה. אז למשל כשאני כותב את המספר 10 בבסיס בינארי, בעצם הכוונה היא לשתיים. יש לי אחד שניימיות ואפס יחידות, שזה שתיים. אם אני כותב את המספר 11, יש לי אחד שניימית אחת ויחידה אחת, אז זה שלוש. 11 בבסיס בינארי זה שלוש בבסיס עשרוני. אוקיי? עכשיו מה שאני רק רוצה להגיד, עזבו מכל הפרטים הטכניים, את זה לומדים ביסודי לדעתי בכיתה ו', מי שלא זוכר את זה אז באמת אנחנו במצב קשה, אבל לא חשוב, הפרטים פחות חשובים, רק שתשתכנעו שאפשר לעשות את כל.