מבט על ההימור של פסקל ושיקולי תוחלת (טור 408)

בס"ד

לא פעם בעבר עסקתי בשיקולי תוחלת ובפונקציית תועלת. כאן רציתי ליישם את הדברים על הטיעון הידוע בשם 'ההימור של פסקל', שלדעתי רבים מאלו שמתייחסים אליו מפספסים את העוקץ שלו. הוא לא כל כך מטופש כמו שהוא נשמע לחלק מהאנשים, אבל גם לא כל כך משכנע כמו שהוא נשמע לאחרים.[1]

פסקל וההימור שלו

בלֶז פסקל היה מי שכתב את המכתב הקצר להפליא: "לא היה לי זמן לכתוב לך מכתב קצר יותר."[2] הוא היה מתמטיקאי וסטטיסטיקאי, פיזיקאי, תיאולוג ופילוסוף צרפתי ידוע מאוד, בן המאה השבע-עשרה. אף על פי שחי רק שלושים ותשע שנים (יש לזכור שזה היה גיל סביר ביחס לתוחלת החיים בזמנו), הוא נחשב אחד מהגאונים הגדולים שהולידה האנושות מקרבה. פסקל השפיע על לא מעט תחומי עיון והגות, הן תיאורטיים והן מעשיים. בהיותו בן שלושים ואחת חווה פסקל חוויה דתית רבת עוצמה, ובעקבותיה הוא החל לעסוק בתיאולוגיה, ובמסגרת עיסוקו בה הוא העלה את הטיעון הידוע שלו שמנוסח כהימור. בעצם זהו שיקול סטטיסטי שמבוסס על חישוב תוחלת רווח.

ההימור של פסקל מנסה לשלב שני מרכיבים משמעותיים בחייו, ההסתברות מחד, והתיאולוגיה מאידך, אך קשה להתרשם מן התוצאה. זוהי עוד הוכחה, אם בכלל דרושה כזו, לכך שיכולת מתמטית אין פירושה בהכרח עומק פילוסופי ותיאולוגי, וכפי שנראה בהמשך לא נכון לצפות לקבלת החלטות רציונלית בזכות יכולת זו. מה שמפתיע הוא שהכשל בטיעון שלו לא נעוץ בתחומים שבהם הוא היה חובב אלא דווקא בתחום שלגביו הוא היה מומחה, בעצם אחד מהאבות המייסדים שלו: ההסתברות.

הטיעון של פסקל

טיעון ההימור הוצג על ידי פסקל כחלופה להוכחה בדבר קיומו של אלוהים. הוא ניסה באמצעותו לעקוף את הצורך בהוכחות, ולהניע אותנו להאמין או לקיים מצוות גם בלי שנשתכנע בקיומו של אלוהים, רק באמצעות טיעון הסתברותי. כאמור, הטיעון הוא בעייתי, אך בכל זאת יש טעם לבחון אותו, ולו רק כדי לראות את ההבחנה החשובה כל כך בין חישוב הסתברותי ובין מסקנות פילוסופיות ותיאולוגיות.

דוקינס מציג את הטיעון של פסקל כך (יש אלוהים?, עמ' 155):

גם אם הסיכויים שאלוהים אינו קיים הם גדולים מאד, יש אסימטריה גדולה עוד יותר כשחושבים על חומרתו של העונש אם יתברר שהניחוש שגוי. עדיף שתאמינו באלוהים, כי אם הצדק איתכם, יש סיכוי שתזכו באושר לנצח-נצחים, ואם טעיתם ממילא זה לא משנה. לעומת זאת, אם לא תאמינו באלוהים ויתברר שטעיתם, תהיו ארורים בגיהינום לנצח, ואם תימצאו צודקים, זה לא ישנה שום דבר. על פניו ההחלטה היא ברורה: האמינו באלוהים.

פסקל כאיש הסתברות מובהק טוען כאן טיעון שמבוסס על תוחלת רווח (רווח ממוצע). תוחלת הרווח, כפי שיודע כל סטטיסטיקאי, היא מכפלה של התועלת/הרווח בסיכוי לזכות בו. הוא מחשב את הרווח הממוצע של קיום מצוות ואי קיום מצוות, ומגיע למסקנה שהרווח של קיום מצוות עולה בהרבה על הרווח שבאי קיומן, וזאת בלי להכריע האם יש או אין אלוהים (לכן נזקקים כאן לחישובי תוחלת).

כיצד נעשה החישוב הזה? נניח שאנחנו בספק שקול, כלומר שהסיכוי שאלוהים קיים הוא 50%. אם אני מקיים מצוות, אזי אם אלוהים קיים הרווח שלי הוא אדיר, בעצם אני זוכה בשכר נצחי בעולם הבא, כלומר רווח אינסופי. לעומת זאת, אם אלוהים לא קיים יש לי הפסד קטן (חייתי חיים מוגבלים קצת, בטח בהקשר הנוצרי ששם אין הלכה, בלי הצדקה). לכן, בשורה התחתונה הרווח הממוצע מקיום מצוות הוא חיובי, ובעצם אינסופי. זה אם אני מחליט לקיים מצוות. לעומת זאת, אם החלטתי לא לקיים מצוות, שוב עליי לחשב את הרווח הממוצע הצפוי לי: אם אלוהים קיים – אני נדון בגיהינום לנצח, כלומר רווח שלילי אינסופי. אם אלוהים לא קיים – הרווחתי משהו (חייתי חופשי), אבל לא מאד משמעותי. בסה"כ הרווח הממוצע לאי קיום מצוות הוא שלילי לאינסוף. השוואה בין שתי האופציות אומרת שתוחלת הרווח של קיום מצוות היא ענקית, והתוחלת של אי קיום מצוות היא שלילית ענקית. המשמעות ברורה מאליה: הרבה יותר הגיוני ומשתלם לקיים מצוות. אציין כאן שהחישוב לא משתנה משמעותי גם אם אני מניח (כמו דוקינס עצמו) שהסיכוי לכך שאלוהים קיים הוא קטנטן. עדיין המכפלה של הסיכוי הזה בשכר נותרת אינסופית. וכך גם לגבי העונש הענק הצפוי לי מאי קיום מצוות.

אם כן, הפער ברווחים בין קיום מצוות לאי קיום מצוות בהיעדר ודאות באשר לאמונה הוא חיובי ענק, ולכן כל אדם רציונלי אמור לקיים מצוות. לכאורה הטיעון הזה הוא תקף, שהרי מדובר בחישוב הסתברותי פשוט (כמובן, אם מאמצים את ההנחות שאכן המחיר של אי-קיום מצוות הוא עד כדי כך נורא ושהערך של קיום מצוות הוא כה עצום).

רוב אלו שתקפו את הטיעון הזה ולגלגו עליו, עשו זאת משיקולים תיאולוגיים שונים. כמעט איני מכיר ערעור על תקפותו המתמטית/הסתברותית. אבל כפי שאנסה להראות כאן, לדעתי המצב הוא בדיוק הפוך: במישור התיאולוגי ניתן אולי להגן על הטיעון הזה בצורה סבירה, אבל יש בו כשל מהותי דווקא במישור ההסתברותי, או לפחות במישור קרוב אליו (=קבלת החלטות על בסיס הסתברות).

המתקפה מכוח ריבוי אמונות

יש שתקפו את הטיעון הזה מכוח ריבוי האמונות. גם אם יש אלוהים, מיהו? נוצרי, יהודי, מוסלמי, הינדי, או פגאני? אם האלוהים שקיים הוא נוצרי אז היהודי, גם אם יקיים באדיקות את כל מצוות היהדות, נדון לעונשי גיהינום נצחיים, ולהיפך. לכן יש לחלק את תוחלת הרווח במספר האמונות ולהוסיף הפסדי ענק לכל אופציה. אבל למרות הטעון הזה, עדיין ניתן לטעון שהאופציה הגרועה ביותר היא האתאיזם, שכן מספר האמונות הוא גדול וכל אחת מהן לפחות נותנת סיכוי לשכר ענק ולהימלטות מעונש נורא. האתאיזם הוא היחיד שמשאיר אותנו עם תוחלת רווח או הפסד קטנות למדיי, ולכן הוא האופציה הכי גרועה. תשאלו: גם אם אתה צודק, באיזה אלוהים עליי לבחור? אענה לכם שתעשו הגרלה או שתבחרו באלוהים שאתם הכי נוטים להאמין בו (שהסיכוי שאתה נותן לקיומו הוא הגבוה ביותר).

אבל צריך להבין שכאן כבר נכנס השיקול של האמונות הבסיסיות שלי (נקודת המוצא). אם אני אתאיסט שרואה סיכוי קטנטן לכך שיש אלוהים, התוצאה של החישוב הזה משתנה מאד כמובן. כאן כבר לא ברור האם התוצאה היא חד משמעית לטובת להגריל שרירותית אמונה.

אמנם, אני טוען שלפחות בהקשר היהודי אלוהים הוא טוב ולכן אינו בא בטרוניה עם בריותיו. אדם שעשה את המיטב שהוא יכול, לא יקבל עונש (וכנראה גם יזכה לשכר לפום צערו ומעשיו). אם זה נכון גם לגבי אלוהים הנוצרי והמוסלמי וכל האחרים (ולהבנתי הסברא שלי קיימת גם לגביהם), אזי עליי להתחשב בהנחה שאלוהים הוא טוב ושוב החישובים משתנים מאד. אני כבר לא צפוי לעונש נורא על טעויות שאעשה.

בקיצור, כמו שההגרלה של פסקל לא מתעלמת מעמדותיו האפריוריות של האתאיסט או המאמין, כך היא גם לא מתעלמת משיקולים אפריוריים שיש לי לגבי מיהו האלוהים הנכון, והאם הוא טוב או רע (בא בטרוניה עם בריותיו או לא).

המתקפה של דוקינס: פרגמטיזם

דוקינס תוקף את הטיעון הזה כך (שם):

אמונה היא לא משהו שאפשר להחליט לבצע אותו כמדיניות פעולה. לכל הפחות זה לא משהו שאני יכול להחליט לעשות כפעולה של רצון. אני יכול להחליט ללכת לכנסייה ואני יכול להחליט לדקלם את ההלכה הניקיאית, ואני יכול להחליט להישבע על ערימה של ספרי תנ"ך שאני מאמין לכל מילה שכתובה בהם. אבל שום דבר מכל אלו לא יגרום לי להאמין באמת אם אינני מאמין. ההימור של פסקל יכול לשמש – אם בכלל – טיעון בזכות העמדת פנים של אמונה באלוהים. ומוטב שאותו אלוהים שאתה טוען שאתה מאמין בו לא יהיה מהטיפוס של אל כל-יודע, כי הוא יגלה מייד את העמדת הפנים שלך.

דוקינס לכאורה צודק באופן בסיסי. אדם שאינו מאמין לא יכול להביא את עצמו להיות מאמין מכוח החלטה תועלתנית (=כדי לזכות ברווח). הסיבה לכך היא שאמונה היא מצב עובדתי. אם אני מאמין באלוהים, פירוש הדבר שהשתכנעתי שהוא קיים. אם הדבר מועיל לי או לא, זה לא אמור לשנות את אמונותיי. הכפפת האמיתי למועיל היא פרגמטיזם במובנו הירוד והטיפשי.[3]

מאותה סיבה, כפי שכתבתי לא פעם, לא תיתכן סמכות פורמלית לגבי טענות עובדה. אי אפשר לחייב אותי לאמץ טענת עובדה רק מעצם העובדה שמישהו אמר זאת. אם זה שכנע אותי שהוא צודק (כי הוא חכם גדול) – ניחא. אז השתכנעתי. אבל אם מדובר בדרישה מכוח סמכות פורמלית של מישהו, אדם או מוסד, כי אז אני נדרש לשנות את תפיסותיי לגבי עובדות בלי שהשתכנעתי. את זה פשוט לא ניתן לעשות. כל עוד לא השתכנעתי זה לא מה שאני חושב. אי אפשר לדרוש ממני לחשוב משהו שאיני חושב. אפשר כמובן לדרוש ממני לפעול באופן שלדעתי אינו נכון (זו בדיוק המשמעות של סמכות פורמלית), וזה בדיוק מה שטוען כאן דוקינס. הימור תועלתני יכול להביא אותי לנהוג באופן מסוים (גם אם איני חושב שהוא נכון), אבל לא לחשוב באופן מסוים.

דחיית המתקפה הפרגמטית

ניתן לדחות את המתקפה בטענה שההימור של פסקל אינו בא לשכנע אותי להאמין, אלא לקיים מצוות. לגבי זה, גם דוקינס מסכים שהחישוב הוא נכון ותוחלת הרווח יש לה משמעות.

אמנם ישנה כאן הנחה שלקיום מצוות יש ערך עצמי, גם בלי רקע של אמונה. כלומר יכול אדם להיות אתאיסט בתפיסותיו ולקיים מצוות והוא יזכה למלוא השכר ויימלט ממלוא העונש. זו תפיסה שלדעתי היא מאד בעייתית. במאמר שכתבתי עמדתי על כך שאין משמעות לקיום מצוות במישור הטכני. קיום מצוות אין פירושו עשיית סט מסוים של מעשים אלא פעולה מתוך מחויבות לצו האלוקי. ושוב, לדעתי זה נכון לכל הדתות, ולכל הפחות אני לא מוכן לקחת בחשבון את האפשרות של דת שלא מתייחסת באופן כזה (סבירותה בעיניי היא אפסית).

אבל ישנו עוד כשל בטיעונו של דוקינס. הוא מניח במובלע שמצב של אמונה או אי-אמונה הוא בינארי: או שאתה לגמרי מאמין או שאתה לגמרי לא מאמין. אולם בפרק השני בספרו הוא עצמו מונה שבע רמות שונות על הרצף של רמת הוודאות כלפי אמונה או אתיאיזם (וממקם את עצמו ברמה 6. גם הוא מבין שאין הוכחה לכך שאין אלוהים). סביר מאוד שרוב האנשים נמצאים ברמה כלשהי באמצע. כעת עולה השאלה מה אמור לעשות מי שיש לו ספק ברמה כלשהי כלפי האמונה? פסקל טוען שגם במצב כזה עליו לקיים מצוות, כמעט בכל רמה של ספק (אלא אם עוצמת הספק היא נמוכה כל כך שמכפלתה בתועלת העצומה היא עדיין קטנה). לטענתו, תוחלת הרווח של קיום המצוות היא עדיין ענקית. במצב כזה שיקולי רווח והפסד בהחלט יכולים להיות רלוונטיים.

אפשר כמובן לתהות האם יש ערך למצוות שמקיים אדם ששרוי בספק. אבל כאן התשובה הסבירה היא חיובית בהחלט. וכי למי אין ספק כלשהו בחייו?! אם רק מי שמשוכנע ללא ספק בקיומו של אלוהים הוא בר-קיום מצוות וכל האחרים מעשיהם חסרי ערך דתי, כי אז נדמה לי שמדובר כמעט בקבוצה ריקה. גם מי שמצהיר שהוא מאמין בוודאות אני לא מאמין לו (או שהוא משקר, או שהוא שחצן חסר כיסוי, או שאינו מבין מהי וודאות). אין לנו וודאות בשום תחום (בדיוק בגלל זה אנחנו נדרשים לחישובי תוחלת הסתברותיים), ולכן בשום תחום בחיים בני אדם לא מאמצים רק טענות או התנהגויות שהן ודאיות לגמרי בעיניהם. כולנו פועלים ברמה כלשהי של אי-ודאות בכל הקשר בחיינו, ולכן כמעט תמיד עלינו לקבל את ההחלטות שלנו בתנאי אי-ודאות. אין סיבה ו/או הצדקה להוציא את התחום הדתי מכלל זה. נדמה לי שהערעור מכוח הפרגמטיזם (אד-פרגמטיום) אינו מחזיק מים.

ניתן אולי לטעון שגם אם אדם נמצא בספק עליו לקבל החלטה. אם אדם כלשהו קיבל החלטה שההסתברות לכך שיש אלוהים לא מספיק גבוהה מבחינתו כדי להחליט שאלוהים קיים, כי אז הוא אתאיסט, ולמצוות שמקיים אדם כזה אין שום ערך. לעומת זאת, אם אדם מחליט שהסבירות מספיקה מבחינתו כדי להחליט על מחויבות לאלוהים – או אז למצוותיו יש ערך. הרף המספיק משתנה מאדם לאדם כמו בכל תחום, אבל עדיין הערך של המצוות תלוי בהחלטה שהאדם עצמו מקבל לפי הקריטריונים שמקובלים עליו.

זהו טיעון אפשרי, ואני אישית אפילו נוטה מאד לחשוב שהוא נכון, אבל המתקפה על פסקל שמבוססת עליו כבר נראית חלשה למדיי. זוהי סברה, ופסקל יכול לטעון שהוא אינו מקבל אותה. הוא יאמר שמבחינתו אין משמעות לרף הסובייקטיבי הזה, וכל אדם שמקיים מצוות, לפחות כל עוד הוא לא נמצא בדרגה 7 בסולם של דוקינס (אתאיסט גמור ומוחלט, אפילו יותר מדוקינס עצמו), אזי יש ערך למצוותיו. זו עמדה קבילה, והמתקפה עליה תלויה בסברות לפה או לשם, והיא ממש לא מוחצת כפי שמציגים אותה בדרך כלל.

הערעור ההסתברותי: מבט ראשוני

הזכרתי כבר שרוב המתקפות על הטיעון של פסקל עוסקות בו במישור התיאולוגי (תוקפות את ההנחות התיאולוגיות שלו). אני טוען שהמתקפות הללו לא מחזיקות מים, והן בוודאי לא מוחצות. הכשל היסודי בטיעון של פסקל הוא דווקא במים הטריטוריאליים שלו, כלומר במישור ההסתברותי. התייחסות רצינית לחישוב של פסקל מצביעה על אי-הבנה הסתברותית. אצל פסקל זה עוד נסלח למרות היותו מאבות התחום, שכן האי-הבנות הללו נדונו רק הרבה שנים אחרי מותו. אולם מאיש מדעי הטבע בן זמננו, כמו דוקינס, הייתי מצפה להבנה טובה יותר.

חישוב התוחלת של פסקל, תחת ההנחות שהוא מניח, הוא סביר. אין לי ביקורת עליו במישור הטכני. הביקורת שלי היא על הנחה אחרת שפסקל מניח במובלע, והיא שההתנהגות הרציונלית הנדרשת מאיתנו היא לפעול על פי מיקסום תוחלת הרווח (הרווח הממוצע), כלומר שהחישוב שהוא עושה הוא אכן הקריטריון הרלוונטי לקבלת ההחלטה האם לקיים או לא לקיים מצוות.

חוקרי רציונליות כבר עמדו על כך שלא תמיד נכון לפעול על פי תוחלת הרווח. לדוגמה, נניח שבא אדם כלשהו ואומר לנו שבאי מסוים באוקיאנוס השקט מצוי אוצר אדיר של כסף. האם נלך מיד לחפור שם? נניח שלהערכתנו הסיכוי לכך הוא אחד למיליון, אבל הוא אומר לנו שערך האוצר הוא מיליארדי מיליארדים רבים של דולרים, כך שתוחלת הרווח ודאי שווה את המאמץ. האם באמת אמור כל אדם רציונלי לצייד ספינה במחיר של כמה מיליוני דולרים וללכת לחפור שם? תוחלת הרווח של צעד כזה היא חיובית (הכפילו את הסיכוי ברווח הצפוי, והפחיתו מזה את מחיר המסע. התוצאה תהיה חיובית בענק). למעשה, גם בלי שיגיע אלי אדם כלשהו ויאמר לי שטמון שם אוצר, עדיין יש היגיון בטענה שישנו סיכוי מסוים לכך שיש שם אוצר, קלוש ככל שיהיה. אם נכפיל את הסיכוי בשוויו האדיר של האוצר המדומיין הזה, נגיע לתוחלת רווח שבהחלט שווה לעבוד בעבורה. האם די בזה כדי לצאת לדרך?[4]

אז מה בעצם לא בסדר כאן? למה אף אחד מאיתנו לא היה עושה זאת? מתברר שקבלת החלטות במצבים מסוימים לא אמורה להתבסס אך ורק על התוחלת אלא על ההתפלגות כולה. חשבו על אדם שמציע לכם הצעה שאי אפשר לסרב לה. יש לנו מטבע לא הוגנת. הסיכוי שהיא תיפול על 'עץ' הוא 1 למיליארד, והסיכוי ל'פלי' הוא המשלים (כמעט 1). כעת מוצע לכם לקנות כרטיס למשחק הבא: מטילים את המטבע, אם הוא נופל על 'פלי' לא תקבלו כלום. אבל אם הוא נופל על 'עץ' תקבלו מיליארד מיליארדי דולרים. תוחלת הרווח (=הרווח הממוצע) של משחק כזה היא כמובן מיליארד דולר. כמה אתם מוכנים לשלם על כרטיס השתתפות במשחק? אני מניח שרובכם לא תשלמו יותר מכמה דולרים בודדים, אם בכלל. מדוע?

מפני שאמנם תוחלת הרווח היא ענקית אבל הסיכוי לקבל את הרווח הזה הוא פצפון. אין כמעט שום סיכוי שתקבלו משהו במשחק הזה. נכון שאם תקבלו משהו זה יהיה סכום ענק, אבל בעצם אתם זורקים לפח את הסכום ששילמתם עבור ההשתתפות במשחק (כי זה לעולם לא יקרה). מעשים שבכל יום שאנחנו מהמרים על חיינו בכך שאנחנו נוהגים במכונית או חוצים כביש (גם במעבר חציה). כיצד אנחנו עושים זאת? מפני שאמנם ההימור הוא על כל הקופה (החיים שלנו), אבל הסיכוי להיפגע הוא קטן מאד. תוחלת ההפסד היא גדולה מאד, אבל הסיכוי שזה יקרה הוא פצפון. סיכון כזה לוקח כל אדם רציונלי.

בטור 252 הדגמתי את הבעיה דרך פרדוקס סנקט פטרסבורג. זהו הימור שבו תוחלת הרווח היא אינסופית ובכל זאת אין שום היגיון רציונלי לשלם על כרטיס השתתפות בו יותר משקלים בודדים. ראו את פרטי החישוב שם.

הערעור ההסתברותי: מהי תוחלת?

מדוע באמת במצבים כאלה לא נכון לקבל החלטות על פי קריטריון של תוחלת רווח? מפני שההימור שאנחנו משתתפים בו נערך פעם אחת. חוק המספרים הגדולים אומר שאם נעשה אינסוף ניסיונות הרווח שיישאר לנו פר משחק הוא תוחלת הרווח.[5] לדוגמה, אם נטיל מטבע, הפעם הוגנת (הסיכויים ל'עץ' או 'פלי' הם חצי-חצי), המון פעמים, כאשר על 'עץ' נקבל 100 ₪ ועל 'פלי' נשלם 50 ₪, תוחלת הרווח היא רווח של 25 ₪. מה זה אומר? במשחק בודד או שנקבל 100 או שנפסיד 50, אבל ברור שלא נרוויח 25. 25 ₪ היא בכלל לא תוצאה אפשרית להימור בודד. משמעותה של תוחלת הרווח היא שאם נחזור על ההימור הזה המון פעמים בסופו של דבר יישאר בידינו רווח של 25 ₪ כפול מספר המשחקים. כלומר הרווח הממוצע למשחק הוא 25 ₪. שלא תטעו, זה אינו הרווח המצטבר מכל המשחקים אלא הרווח למשחק אחד. אבל עדיין המספר הזה משקף מה שיקרה אחרי המון ניסיונות. בניסיון בודד אין הרבה משמעות לתוצאה הזאת.

אם נחזור על החישוב הזה עבור הטלת המטבע שתוארה למעלה, תוחלת הרווח שחישבנו למקרה ההוא היא מיליארד דולר. פירוש הדבר שהרווח שיישאר בידינו אחרי המון משחקים יהיה מיליארד דולר כפול מספר המשחקים, כלומר הרווח לכל משחק בודד הוא מיליארד דולר. אבל זה לא באמת הרווח שיהיה לנו אם נשחק משחק בודד. אם נשחק משחק בודד הסיכוי שנישאר עם 0 הוא כמעט 1. אין שום סיכוי להרוויח ולכן לא שווה להשקיע במשחק כזה אפילו אגורה. הרי לכם על רגל אחת מדוע קריטריון של תוחלת הוא בעל משמעות מוגבלת למצבים שבהם יש לנו רק ניסיון אחד.

שימו לב שהקריטריון הזה רלוונטי יותר כשמדובר בהימור של מטבע הוגנת. אבל הוא הרבה פחות רלוונטי כאשר התפלגות התוצאות אינה סימטרית, כלומר כשהסיכוי שלנו לקבל רווח בגובה בערך של התוחלת הוא אפסי (כמו במקרה של המטבע הלא הוגנת, להבדיל מהמטבע ההוגנת). כאשר התוצאה הממוצעת אינה התוצאה הצפויה (השכיחה), כי אז קריטריון התוחלת הוא בעל משמעות קטנה מאד.

הקשר ל"חוק המספרים הקטנים" 

דיברתי לא פעם בעבר על מה שכיניתי "חוק המספרים הקטנים" (ראו למשל בטור 38). כאשר בודקים מספר קטן של מקרים נוכל לקבל תוצאות מאד לא שכיחות (נס סטטיסטי). התוצאות מתכנסות לתוצאה הממוצעת רק כאשר אנחנו עושים מספר גדול של ניסיונות. במקרה של פרדוקס סנקט פטרסבורג צריך ממש מספר עצום של ניסיונות כדי לקבל סכום נורמלי. במקרה של המטבע הלא הוגנת צריך סדר גודל של מיליארד הטלות כדי לקבל פעם אחת את הרווח המצופה (מיליארד מיליארדים). אם מציעים לכם לקנות כרטיסים למאה מיליארד הימורים כדאי לקנות (ולשלם טבין ותקילין לכל הימור. לקנות כרטיס לכל הימור במחיר שהוא עד ערך התוחלת). אבל להימור בודד –אין שום סיבה לעשות זאת.

כפי שהראיתי בטור הנ"ל, על זה מבוססות המון הטעיות בחיי היומיום שלנו. ההטיה לפעול ולקבל החלטות על פי התוחלת, דומה במידת מה להטיות של יציגות ולהיטפלות לדוגמאות בודדות (שבהן פגשנו או שעליהן אנחנו חושבים) כאילו הן היו מדגם מייצג. חוק המספרים הגדולים אומר שבמספר קטן המדגם בדרך כלל אינו מייצג, ואין ללמוד ממנו על מה שיקרה במצב של ניסיונות מרובים.

משמעותה של הטעות של פסקל

אם כן, פסקל לא טעה בחישוב ההסתברותי שלו. זהו חישוב תוחלת פשוט מאד והוא לא המוקד של הטיעון. הטעות של פסקל נעוצה בקבלת ההחלטות על בסיס החישוב הזה. בניגוד לרושם שנוצר אצל אנשים רבים, שיקול הסתברותי לעולם לא עומד באופן עצמאי. תמיד יש ביסודו הנחות וצריך להניח עוד הנחות כדי לקבל החלטות על בסיסו.

ניתן לנסח זאת כך: טעותו של פסקל היא שהוא הפנה את הטיעון שלו לאתאיסט. הוא טוען כלפיו שגם אם לדעתו הסיכוי לקיומו של אלוהים הוא פצפון, חישוב התוחלת אמור להביא אותו לקיום מצוות. אבל זה לא נכון. אם אכן הסיכוי לקבל את התועלת הענקית או הנזק הנורא הוא פצפון (כי הם יופיעו רק אם אלוהים קיים), אזי גם אם התוחלת היא ענקית אין כאן סיבה לקיים מצוות, בדיוק כמו ההימור הנ"ל על המטבע הלא הוגנת. בסופו של דבר העניין תלוי בנקודת המוצא שלנו, וטיעונו של פסקל פונה למשוכנעים (או לפחות לאלו שמסופקים בסיכויים בערך שווים).

גם בהימור של פסקל, אם הסיכויים האפריוריים לשתי האפשרויות הם שקולים, אזי ההחלטה הרציונלית הייתה אכן לקיים מצוות (מה שהוא מכנה: להאמין). אולם אם הסיכוי האפריורי לקיומו של אלוהים בעיני מישהו הוא נמוך מאוד, אזי אמנם עדיין נכון לומר שתוחלת הרווח נוטה לטובת הכף התיאיסטית (מפני שהרווח הוא אינסופי), כלומר אין טעות בחישוב התוחלת של פסקל, אבל מכיוון שהסיכוי להגיע לתוחלת הרווח הזאת הוא נמוך מאוד, אין להסתמך על כך כאשר מקבלים החלטה רציונלית. ההחלטה הרציונלית של כל אחד מאיתנו במקרה כזה תלויה בסבירות האפריורית שהוא נותן לשתי האפשרויות, ולא רק בתוחלת הרווח.

שימו לב, אם אדם מסופק באופן שווה בין האפשרויות שיש או אין אלוהים, טיעונו של פסקל רחוק מלהיות מופרך לגביו. הטעות של פסקל הייתה הפניית הטיעון שלו כלפי האתאיסט שמניח אפריורי הבדל גדול בין ההסתברויות. זוהי השלכה חשובה של המעבר מהערעורים המקובלים שעוסקים במישור התיאולוגי לערעור שלי שנערך במישור ההסתברותי.

תמיד כאשר אנחנו משתמשים בחישוב הסתברותי כדי לקבל החלטות צריך להיות מודעים לכך שהשימוש הזה רווי בהנחות שחשוב לבחון האם הן מוצדקות, כלומר האם החישוב הזה הוא רלוונטי להחלטה שאותה עלינו לקבל. זה סוד קסמן של המתמטיקה, הלוגיקה הפורמלית וההסתברות, ובעצם של כל השיקולים הכמותיים והפורמליים. הם נראים מוכרחים ומבוססים היטב, שהרי עם מספרים אי אפשר להתווכח. אז זהו שלא. עם מספרים אפשר בהחלט להתווכח. בדרך כלל לא עם החישוב עצמו, אלא עם המשמעויות שלו ועם הרלוונטיות שלו, ובעצם עם ההנחות שמונחות בבסיס החישוב ו/או ההצרנה (ראו על הלוגיקה בטור 50 ו-318).[6]

שתי הערות לסיום

א. הסיכוי האפריורי לקיומו או אי קיומו של אלוהים אינו תוצאה של חישוב. אין דרך לחשב אותו הסתברותית, שכן אין לנו מרחב מאורעות ומרחב מדגם. בעצם אני מדבר כאן על סבירות ולא על הסתברות. זוהי הערכה אינטואיטיבית סובייקטיבית של סבירות בתנאי אי-ודאות כמעט מוחלטת, ובעצם תוצאה של שיקולים פילוסופיים. אין כאן חישוב קשיח של הסתברות. מתברר שבמקרים רבים דווקא ההערכות הללו הן שמטות את כף ההחלטה. ועדיין יש היגיון רב להתייחס לסבירות כמו אל הסתברות (ראו על כך בטוקבק לטור 402 ובתשובתי אליו).

ב. התיאור  והחישובים שעשיתי כאן נעשו בחלל ריק, כאשר פונקציית התועלת היא פשוט סכום הכסף שמרוויחים. אבל ייתכנו מצבים שבהם יש לאדם שיקולים נוספים, ואלו עשויים לשנות את פונקציית התועלת שלו. לדוגמה, אדם שמאוים שאם לא ייתן היום למאיים מיליארד דולר, מחר הוא ימות. כעת מוצעת לו ההגרלה הנ"ל עם המטבע הלא הוגנת, שנותנת לו סיכוי קטנטן לקבל מיליארד מיליארדי דולרים. אותו אדם ודאי יקנה כרטיס בכל סכום שיש לו, שכן אם הוא לא קונה את הכרטיס הוא מת מחר בוודאות. קניית הכרטיס נותנת לו סיכויון קטנטן לחיות, וזה עדיף על מוות ודאי. פונקציית התועלת של אותו אדם אינה רק סכום הכסף אלא החיים שלו, וזה משנה את התמונה ואת החישוב שלו. או במקרה קיצוני פחות, אם אדם אוהב מאד סיכונים ויש לו המון כסף. אין לו בעיה לשלם מיליון דולר תמורת ההנאה מהסיכון והסיכוי, ואולי גם מהציפייה לתוצאות ההגרלה. הוא אוהב הימורים ויש לו הרבה כסף להשקיע בהם. אדם כזה עשוי להיות מוכן להשקיע מיליון דולר בהגרלה של המטבע הלא הוגנת הנ"ל.

אבל ההערות הללו הן בשוליים. כוונתי כאן הייתה רק להדגים את הזהירות הדרושה כאשר מסתמכים על שיקולי תוחלת ועל הסתברות בכלל.

[1] מקור הדברים בסוף הפרק השני של ספרי אלוהים משחק בקוביות. אחרי כתיבת הטור ראיתי שהתייחסתי לערעור ההסתברותי כבר בטור 252, אבל השארתי אותו כי כאן אני עוסק בהימור באופן כללי יותר, וזהו גם המוקד של הטור.

[2]  אף על פי שכמו כל פתגם טוב, פתגם זה מיוחס גם למרק טווין.

[3] העיר לי פעם חוקר פרגמטיזם שיש הגויות פרגמטיסטיות שטוענות שהתועלת היא אינדיקציה לאמת. אם רעיון כלשהו הוא מועיל, כלומר יוצר עולם טוב יותר (לפחות עבורי), זו אינדיקציה לכך שיש בו ממש. ניתן לטעון טענה כזאת על בסיס דתי (אלוהים פועל באופן שהטוב והאמיתי הוא גם המועיל), ולכן עקרונית זו טענה קבילה (גם אם בעיניי לא נכונה). מה שאני מכנה כאן 'פרגמטיזם', הוא הגישה שרואה במועיל הגדרה של האמת ולא רק אינדיקציה אליה. יסודה של הגישה הזאת בפקפוק ביכולת שלנו להגיע לאמת שמוביל להחלפתה במועיל.

[4]  ניתן אולי לטעון את הטענה הספקולטיבית שלעולם הסיכוי שיימצא שם אוצר הוא בפרופורציה הפוכה לשוויו, אך מנין לנו זאת? הרי אפשר גם לומר את ההיפך: ככל שערך האוצר גבוה יותר, כך יש סיכוי שטמנו אותו היטב במקום שמור ורחוק יותר (הן מחמת העובדה שהחשש שימצאו אותו הוא "מחיר" כבד יותר, והן מחמת העובדה שקיימת הצדקה לעבודה כה קשה רק אם אנו עוסקים בשמירה על אוצר יקר ערך). אז רוצו לחפור!

[5] חוק המספרים הגדולים אינו אוניברסלי. לא בכל התפלגות הוא מתקיים, אבל מתברר שברוב מוחלט של המקרים המעניינים הוא תקף. לכן כאן אניח אותו כמובן מאליו בלי לסייג זאת.

[6]  בסוף הפרק השלישי בספרו, עוסק דוקינס בחישובים בייסיאניים של הסתברויות, ומגלה שם שוב חוסר הבנה משווע באשר לנקודה החשובה הזאת. הוא תופס שם את ההסתברות ככלי אובייקטיבי שאינו מותנה בהערכות אינטואיטיביות. מבחינתו, תהליך הערכה שמתחיל באינטואיציות סובייקטיביות ולא בחישוב אובייקטיבי, הוא GIGO (Garbage In Garbage Out). כלומר שאם מכניסים אינטואיציה (Garbage, בעיניו) לחישוב הסתברותי או סטטיסטי, אזי התוצאה גם היא לא יותר מאשר אינטואיציה (כלומר, Garbage). הוא אינו מבין שההסתברות היא דרך לקבל החלטות רציונליות בתלות בהנחות האפריוריות שלנו (לפחות כאשר ישנה אי-ודאות). כמעט אף פעם חישוב הסתברותי אינו מתחיל בתוצאה של חישוב, אלא בהנחות יסוד, שמעצם טיבן יכולות בהחלט להיות אינטואיטיביות. לדוגמה, ההנחה שהקובייה או המטבע היא הוגנת היא הנחה ולא תוצאה של חישוב. בוודאי כשהדברים אמורים על אירועים בעולם ולא על בעיה היפותטית.

חשוב להבין שאם דוקינס היה צודק בגישתו, אזי טיעונו של פסקל היה נכון. כפי שהסברתי למעלה, בהנחה שכפות המאזניים שקולות אפריורית, טיעון ההימור הפסקלי הוא טיעון תקף ורציונלי. הסיבה שהוא אינו מוליך להכרעה הרציונלית היא אך ורק העובדה שכפות המאזניים אינן בהכרח שקולות. לכן בעיני מי שהסיכוי לקבל את תוחלת הרווח האינסופית (השכר האלוהי בעולם הבא, שהוא ה-Garbage in של הבעיה) הוא קטן מאוד, אין הצדקה רציונלית לבחור באופציה התיאיסטית.