מבט על ההימור של פסקל ושיקולי תוחלת (טור 408)

בס”ד

לא פעם בעבר עסקתי בשיקולי תוחלת ובפונקציית תועלת. כאן רציתי ליישם את הדברים על הטיעון הידוע בשם ‘ההימור של פסקל’, שלדעתי רבים מאלו שמתייחסים אליו מפספסים את העוקץ שלו. הוא לא כל כך מטופש כמו שהוא נשמע לחלק מהאנשים, אבל גם לא כל כך משכנע כמו שהוא נשמע לאחרים.[1]

פסקל וההימור שלו

בלֶז פסקל היה מי שכתב את המכתב הקצר להפליא: “לא היה לי זמן לכתוב לך מכתב קצר יותר.”[2] הוא היה מתמטיקאי וסטטיסטיקאי, פיזיקאי, תיאולוג ופילוסוף צרפתי ידוע מאוד, בן המאה השבע-עשרה. אף על פי שחי רק שלושים ותשע שנים (יש לזכור שזה היה גיל סביר ביחס לתוחלת החיים בזמנו), הוא נחשב אחד מהגאונים הגדולים שהולידה האנושות מקרבה. פסקל השפיע על לא מעט תחומי עיון והגות, הן תיאורטיים והן מעשיים. בהיותו בן שלושים ואחת חווה פסקל חוויה דתית רבת עוצמה, ובעקבותיה הוא החל לעסוק בתיאולוגיה, ובמסגרת עיסוקו בה הוא העלה את הטיעון הידוע שלו שמנוסח כהימור. בעצם זהו שיקול סטטיסטי שמבוסס על חישוב תוחלת רווח.

ההימור של פסקל מנסה לשלב שני מרכיבים משמעותיים בחייו, ההסתברות מחד, והתיאולוגיה מאידך, אך קשה להתרשם מן התוצאה. זוהי עוד הוכחה, אם בכלל דרושה כזו, לכך שיכולת מתמטית אין פירושה בהכרח עומק פילוסופי ותיאולוגי, וכפי שנראה בהמשך לא נכון לצפות לקבלת החלטות רציונלית בזכות יכולת זו. מה שמפתיע הוא שהכשל בטיעון שלו לא נעוץ בתחומים שבהם הוא היה חובב אלא דווקא בתחום שלגביו הוא היה מומחה, בעצם אחד מהאבות המייסדים שלו: ההסתברות.

הטיעון של פסקל

טיעון ההימור הוצג על ידי פסקל כחלופה להוכחה בדבר קיומו של אלוהים. הוא ניסה באמצעותו לעקוף את הצורך בהוכחות, ולהניע אותנו להאמין או לקיים מצוות גם בלי שנשתכנע בקיומו של אלוהים, רק באמצעות טיעון הסתברותי. כאמור, הטיעון הוא בעייתי, אך בכל זאת יש טעם לבחון אותו, ולו רק כדי לראות את ההבחנה החשובה כל כך בין חישוב הסתברותי ובין מסקנות פילוסופיות ותיאולוגיות.

דוקינס מציג את הטיעון של פסקל כך (יש אלוהים?, עמ’ 155):

גם אם הסיכויים שאלוהים אינו קיים הם גדולים מאד, יש אסימטריה גדולה עוד יותר כשחושבים על חומרתו של העונש אם יתברר שהניחוש שגוי. עדיף שתאמינו באלוהים, כי אם הצדק איתכם, יש סיכוי שתזכו באושר לנצח-נצחים, ואם טעיתם ממילא זה לא משנה. לעומת זאת, אם לא תאמינו באלוהים ויתברר שטעיתם, תהיו ארורים בגיהינום לנצח, ואם תימצאו צודקים, זה לא ישנה שום דבר. על פניו ההחלטה היא ברורה: האמינו באלוהים.

פסקל כאיש הסתברות מובהק טוען כאן טיעון שמבוסס על תוחלת רווח (רווח ממוצע). תוחלת הרווח, כפי שיודע כל סטטיסטיקאי, היא מכפלה של התועלת/הרווח בסיכוי לזכות בו. הוא מחשב את הרווח הממוצע של קיום מצוות ואי קיום מצוות, ומגיע למסקנה שהרווח של קיום מצוות עולה בהרבה על הרווח שבאי קיומן, וזאת בלי להכריע האם יש או אין אלוהים (לכן נזקקים כאן לחישובי תוחלת).

כיצד נעשה החישוב הזה? נניח שאנחנו בספק שקול, כלומר שהסיכוי שאלוהים קיים הוא 50%. אם אני מקיים מצוות, אזי אם אלוהים קיים הרווח שלי הוא אדיר, בעצם אני זוכה בשכר נצחי בעולם הבא, כלומר רווח אינסופי. לעומת זאת, אם אלוהים לא קיים יש לי הפסד קטן (חייתי חיים מוגבלים קצת, בטח בהקשר הנוצרי ששם אין הלכה, בלי הצדקה). לכן, בשורה התחתונה הרווח הממוצע מקיום מצוות הוא חיובי, ובעצם אינסופי. זה אם אני מחליט לקיים מצוות. לעומת זאת, אם החלטתי לא לקיים מצוות, שוב עליי לחשב את הרווח הממוצע הצפוי לי: אם אלוהים קיים – אני נדון בגיהינום לנצח, כלומר רווח שלילי אינסופי. אם אלוהים לא קיים – הרווחתי משהו (חייתי חופשי), אבל לא מאד משמעותי. בסה”כ הרווח הממוצע לאי קיום מצוות הוא שלילי לאינסוף. השוואה בין שתי האופציות אומרת שתוחלת הרווח של קיום מצוות היא ענקית, והתוחלת של אי קיום מצוות היא שלילית ענקית. המשמעות ברורה מאליה: הרבה יותר הגיוני ומשתלם לקיים מצוות. אציין כאן שהחישוב לא משתנה משמעותי גם אם אני מניח (כמו דוקינס עצמו) שהסיכוי לכך שאלוהים קיים הוא קטנטן. עדיין המכפלה של הסיכוי הזה בשכר נותרת אינסופית. וכך גם לגבי העונש הענק הצפוי לי מאי קיום מצוות.

אם כן, הפער ברווחים בין קיום מצוות לאי קיום מצוות בהיעדר ודאות באשר לאמונה הוא חיובי ענק, ולכן כל אדם רציונלי אמור לקיים מצוות. לכאורה הטיעון הזה הוא תקף, שהרי מדובר בחישוב הסתברותי פשוט (כמובן, אם מאמצים את ההנחות שאכן המחיר של אי-קיום מצוות הוא עד כדי כך נורא ושהערך של קיום מצוות הוא כה עצום).

רוב אלו שתקפו את הטיעון הזה ולגלגו עליו, עשו זאת משיקולים תיאולוגיים שונים. כמעט איני מכיר ערעור על תקפותו המתמטית/הסתברותית. אבל כפי שאנסה להראות כאן, לדעתי המצב הוא בדיוק הפוך: במישור התיאולוגי ניתן אולי להגן על הטיעון הזה בצורה סבירה, אבל יש בו כשל מהותי דווקא במישור ההסתברותי, או לפחות במישור קרוב אליו (=קבלת החלטות על בסיס הסתברות).

המתקפה מכוח ריבוי אמונות

יש שתקפו את הטיעון הזה מכוח ריבוי האמונות. גם אם יש אלוהים, מיהו? נוצרי, יהודי, מוסלמי, הינדי, או פגאני? אם האלוהים שקיים הוא נוצרי אז היהודי, גם אם יקיים באדיקות את כל מצוות היהדות, נדון לעונשי גיהינום נצחיים, ולהיפך. לכן יש לחלק את תוחלת הרווח במספר האמונות ולהוסיף הפסדי ענק לכל אופציה. אבל למרות הטעון הזה, עדיין ניתן לטעון שהאופציה הגרועה ביותר היא האתאיזם, שכן מספר האמונות הוא גדול וכל אחת מהן לפחות נותנת סיכוי לשכר ענק ולהימלטות מעונש נורא. האתאיזם הוא היחיד שמשאיר אותנו עם תוחלת רווח או הפסד קטנות למדיי, ולכן הוא האופציה הכי גרועה. תשאלו: גם אם אתה צודק, באיזה אלוהים עליי לבחור? אענה לכם שתעשו הגרלה או שתבחרו באלוהים שאתם הכי נוטים להאמין בו (שהסיכוי שאתה נותן לקיומו הוא הגבוה ביותר).

אבל צריך להבין שכאן כבר נכנס השיקול של האמונות הבסיסיות שלי (נקודת המוצא). אם אני אתאיסט שרואה סיכוי קטנטן לכך שיש אלוהים, התוצאה של החישוב הזה משתנה מאד כמובן. כאן כבר לא ברור האם התוצאה היא חד משמעית לטובת להגריל שרירותית אמונה.

אמנם, אני טוען שלפחות בהקשר היהודי אלוהים הוא טוב ולכן אינו בא בטרוניה עם בריותיו. אדם שעשה את המיטב שהוא יכול, לא יקבל עונש (וכנראה גם יזכה לשכר לפום צערו ומעשיו). אם זה נכון גם לגבי אלוהים הנוצרי והמוסלמי וכל האחרים (ולהבנתי הסברא שלי קיימת גם לגביהם), אזי עליי להתחשב בהנחה שאלוהים הוא טוב ושוב החישובים משתנים מאד. אני כבר לא צפוי לעונש נורא על טעויות שאעשה.

בקיצור, כמו שההגרלה של פסקל לא מתעלמת מעמדותיו האפריוריות של האתאיסט או המאמין, כך היא גם לא מתעלמת משיקולים אפריוריים שיש לי לגבי מיהו האלוהים הנכון, והאם הוא טוב או רע (בא בטרוניה עם בריותיו או לא).

המתקפה של דוקינס: פרגמטיזם

דוקינס תוקף את הטיעון הזה כך (שם):

אמונה היא לא משהו שאפשר להחליט לבצע אותו כמדיניות פעולה. לכל הפחות זה לא משהו שאני יכול להחליט לעשות כפעולה של רצון. אני יכול להחליט ללכת לכנסייה ואני יכול להחליט לדקלם את ההלכה הניקיאית, ואני יכול להחליט להישבע על ערימה של ספרי תנ”ך שאני מאמין לכל מילה שכתובה בהם. אבל שום דבר מכל אלו לא יגרום לי להאמין באמת אם אינני מאמין. ההימור של פסקל יכול לשמש – אם בכלל – טיעון בזכות העמדת פנים של אמונה באלוהים. ומוטב שאותו אלוהים שאתה טוען שאתה מאמין בו לא יהיה מהטיפוס של אל כל-יודע, כי הוא יגלה מייד את העמדת הפנים שלך.

דוקינס לכאורה צודק באופן בסיסי. אדם שאינו מאמין לא יכול להביא את עצמו להיות מאמין מכוח החלטה תועלתנית (=כדי לזכות ברווח). הסיבה לכך היא שאמונה היא מצב עובדתי. אם אני מאמין באלוהים, פירוש הדבר שהשתכנעתי שהוא קיים. אם הדבר מועיל לי או לא, זה לא אמור לשנות את אמונותיי. הכפפת האמיתי למועיל היא פרגמטיזם במובנו הירוד והטיפשי.[3]

מאותה סיבה, כפי שכתבתי לא פעם, לא תיתכן סמכות פורמלית לגבי טענות עובדה. אי אפשר לחייב אותי לאמץ טענת עובדה רק מעצם העובדה שמישהו אמר זאת. אם זה שכנע אותי שהוא צודק (כי הוא חכם גדול) – ניחא. אז השתכנעתי. אבל אם מדובר בדרישה מכוח סמכות פורמלית של מישהו, אדם או מוסד, כי אז אני נדרש לשנות את תפיסותיי לגבי עובדות בלי שהשתכנעתי. את זה פשוט לא ניתן לעשות. כל עוד לא השתכנעתי זה לא מה שאני חושב. אי אפשר לדרוש ממני לחשוב משהו שאיני חושב. אפשר כמובן לדרוש ממני לפעול באופן שלדעתי אינו נכון (זו בדיוק המשמעות של סמכות פורמלית), וזה בדיוק מה שטוען כאן דוקינס. הימור תועלתני יכול להביא אותי לנהוג באופן מסוים (גם אם איני חושב שהוא נכון), אבל לא לחשוב באופן מסוים.

דחיית המתקפה הפרגמטית

ניתן לדחות את המתקפה בטענה שההימור של פסקל אינו בא לשכנע אותי להאמין, אלא לקיים מצוות. לגבי זה, גם דוקינס מסכים שהחישוב הוא נכון ותוחלת הרווח יש לה משמעות.

אמנם ישנה כאן הנחה שלקיום מצוות יש ערך עצמי, גם בלי רקע של אמונה. כלומר יכול אדם להיות אתאיסט בתפיסותיו ולקיים מצוות והוא יזכה למלוא השכר ויימלט ממלוא העונש. זו תפיסה שלדעתי היא מאד בעייתית. במאמר שכתבתי עמדתי על כך שאין משמעות לקיום מצוות במישור הטכני. קיום מצוות אין פירושו עשיית סט מסוים של מעשים אלא פעולה מתוך מחויבות לצו האלוקי. ושוב, לדעתי זה נכון לכל הדתות, ולכל הפחות אני לא מוכן לקחת בחשבון את האפשרות של דת שלא מתייחסת באופן כזה (סבירותה בעיניי היא אפסית).

אבל ישנו עוד כשל בטיעונו של דוקינס. הוא מניח במובלע שמצב של אמונה או אי-אמונה הוא בינארי: או שאתה לגמרי מאמין או שאתה לגמרי לא מאמין. אולם בפרק השני בספרו הוא עצמו מונה שבע רמות שונות על הרצף של רמת הוודאות כלפי אמונה או אתיאיזם (וממקם את עצמו ברמה 6. גם הוא מבין שאין הוכחה לכך שאין אלוהים). סביר מאוד שרוב האנשים נמצאים ברמה כלשהי באמצע. כעת עולה השאלה מה אמור לעשות מי שיש לו ספק ברמה כלשהי כלפי האמונה? פסקל טוען שגם במצב כזה עליו לקיים מצוות, כמעט בכל רמה של ספק (אלא אם עוצמת הספק היא נמוכה כל כך שמכפלתה בתועלת העצומה היא עדיין קטנה). לטענתו, תוחלת הרווח של קיום המצוות היא עדיין ענקית. במצב כזה שיקולי רווח והפסד בהחלט יכולים להיות רלוונטיים.

אפשר כמובן לתהות האם יש ערך למצוות שמקיים אדם ששרוי בספק. אבל כאן התשובה הסבירה היא חיובית בהחלט. וכי למי אין ספק כלשהו בחייו?! אם רק מי שמשוכנע ללא ספק בקיומו של אלוהים הוא בר-קיום מצוות וכל האחרים מעשיהם חסרי ערך דתי, כי אז נדמה לי שמדובר כמעט בקבוצה ריקה. גם מי שמצהיר שהוא מאמין בוודאות אני לא מאמין לו (או שהוא משקר, או שהוא שחצן חסר כיסוי, או שאינו מבין מהי וודאות). אין לנו וודאות בשום תחום (בדיוק בגלל זה אנחנו נדרשים לחישובי תוחלת הסתברותיים), ולכן בשום תחום בחיים בני אדם לא מאמצים רק טענות או התנהגויות שהן ודאיות לגמרי בעיניהם. כולנו פועלים ברמה כלשהי של אי-ודאות בכל הקשר בחיינו, ולכן כמעט תמיד עלינו לקבל את ההחלטות שלנו בתנאי אי-ודאות. אין סיבה ו/או הצדקה להוציא את התחום הדתי מכלל זה. נדמה לי שהערעור מכוח הפרגמטיזם (אד-פרגמטיום) אינו מחזיק מים.

ניתן אולי לטעון שגם אם אדם נמצא בספק עליו לקבל החלטה. אם אדם כלשהו קיבל החלטה שההסתברות לכך שיש אלוהים לא מספיק גבוהה מבחינתו כדי להחליט שאלוהים קיים, כי אז הוא אתאיסט, ולמצוות שמקיים אדם כזה אין שום ערך. לעומת זאת, אם אדם מחליט שהסבירות מספיקה מבחינתו כדי להחליט על מחויבות לאלוהים – או אז למצוותיו יש ערך. הרף המספיק משתנה מאדם לאדם כמו בכל תחום, אבל עדיין הערך של המצוות תלוי בהחלטה שהאדם עצמו מקבל לפי הקריטריונים שמקובלים עליו.

זהו טיעון אפשרי, ואני אישית אפילו נוטה מאד לחשוב שהוא נכון, אבל המתקפה על פסקל שמבוססת עליו כבר נראית חלשה למדיי. זוהי סברה, ופסקל יכול לטעון שהוא אינו מקבל אותה. הוא יאמר שמבחינתו אין משמעות לרף הסובייקטיבי הזה, וכל אדם שמקיים מצוות, לפחות כל עוד הוא לא נמצא בדרגה 7 בסולם של דוקינס (אתאיסט גמור ומוחלט, אפילו יותר מדוקינס עצמו), אזי יש ערך למצוותיו. זו עמדה קבילה, והמתקפה עליה תלויה בסברות לפה או לשם, והיא ממש לא מוחצת כפי שמציגים אותה בדרך כלל.

הערעור ההסתברותי: מבט ראשוני

הזכרתי כבר שרוב המתקפות על הטיעון של פסקל עוסקות בו במישור התיאולוגי (תוקפות את ההנחות התיאולוגיות שלו). אני טוען שהמתקפות הללו לא מחזיקות מים, והן בוודאי לא מוחצות. הכשל היסודי בטיעון של פסקל הוא דווקא במים הטריטוריאליים שלו, כלומר במישור ההסתברותי. התייחסות רצינית לחישוב של פסקל מצביעה על אי-הבנה הסתברותית. אצל פסקל זה עוד נסלח למרות היותו מאבות התחום, שכן האי-הבנות הללו נדונו רק הרבה שנים אחרי מותו. אולם מאיש מדעי הטבע בן זמננו, כמו דוקינס, הייתי מצפה להבנה טובה יותר.

חישוב התוחלת של פסקל, תחת ההנחות שהוא מניח, הוא סביר. אין לי ביקורת עליו במישור הטכני. הביקורת שלי היא על הנחה אחרת שפסקל מניח במובלע, והיא שההתנהגות הרציונלית הנדרשת מאיתנו היא לפעול על פי מיקסום תוחלת הרווח (הרווח הממוצע), כלומר שהחישוב שהוא עושה הוא אכן הקריטריון הרלוונטי לקבלת ההחלטה האם לקיים או לא לקיים מצוות.

חוקרי רציונליות כבר עמדו על כך שלא תמיד נכון לפעול על פי תוחלת הרווח. לדוגמה, נניח שבא אדם כלשהו ואומר לנו שבאי מסוים באוקיאנוס השקט מצוי אוצר אדיר של כסף. האם נלך מיד לחפור שם? נניח שלהערכתנו הסיכוי לכך הוא אחד למיליון, אבל הוא אומר לנו שערך האוצר הוא מיליארדי מיליארדים רבים של דולרים, כך שתוחלת הרווח ודאי שווה את המאמץ. האם באמת אמור כל אדם רציונלי לצייד ספינה במחיר של כמה מיליוני דולרים וללכת לחפור שם? תוחלת הרווח של צעד כזה היא חיובית (הכפילו את הסיכוי ברווח הצפוי, והפחיתו מזה את מחיר המסע. התוצאה תהיה חיובית בענק). למעשה, גם בלי שיגיע אלי אדם כלשהו ויאמר לי שטמון שם אוצר, עדיין יש היגיון בטענה שישנו סיכוי מסוים לכך שיש שם אוצר, קלוש ככל שיהיה. אם נכפיל את הסיכוי בשוויו האדיר של האוצר המדומיין הזה, נגיע לתוחלת רווח שבהחלט שווה לעבוד בעבורה. האם די בזה כדי לצאת לדרך?[4]

אז מה בעצם לא בסדר כאן? למה אף אחד מאיתנו לא היה עושה זאת? מתברר שקבלת החלטות במצבים מסוימים לא אמורה להתבסס אך ורק על התוחלת אלא על ההתפלגות כולה. חשבו על אדם שמציע לכם הצעה שאי אפשר לסרב לה. יש לנו מטבע לא הוגנת. הסיכוי שהיא תיפול על ‘עץ’ הוא 1 למיליארד, והסיכוי ל’פלי’ הוא המשלים (כמעט 1). כעת מוצע לכם לקנות כרטיס למשחק הבא: מטילים את המטבע, אם הוא נופל על ‘פלי’ לא תקבלו כלום. אבל אם הוא נופל על ‘עץ’ תקבלו מיליארד מיליארדי דולרים. תוחלת הרווח (=הרווח הממוצע) של משחק כזה היא כמובן מיליארד דולר. כמה אתם מוכנים לשלם על כרטיס השתתפות במשחק? אני מניח שרובכם לא תשלמו יותר מכמה דולרים בודדים, אם בכלל. מדוע?

מפני שאמנם תוחלת הרווח היא ענקית אבל הסיכוי לקבל את הרווח הזה הוא פצפון. אין כמעט שום סיכוי שתקבלו משהו במשחק הזה. נכון שאם תקבלו משהו זה יהיה סכום ענק, אבל בעצם אתם זורקים לפח את הסכום ששילמתם עבור ההשתתפות במשחק (כי זה לעולם לא יקרה). מעשים שבכל יום שאנחנו מהמרים על חיינו בכך שאנחנו נוהגים במכונית או חוצים כביש (גם במעבר חציה). כיצד אנחנו עושים זאת? מפני שאמנם ההימור הוא על כל הקופה (החיים שלנו), אבל הסיכוי להיפגע הוא קטן מאד. תוחלת ההפסד היא גדולה מאד, אבל הסיכוי שזה יקרה הוא פצפון. סיכון כזה לוקח כל אדם רציונלי.

בטור 252 הדגמתי את הבעיה דרך פרדוקס סנקט פטרסבורג. זהו הימור שבו תוחלת הרווח היא אינסופית ובכל זאת אין שום היגיון רציונלי לשלם על כרטיס השתתפות בו יותר משקלים בודדים. ראו את פרטי החישוב שם.

הערעור ההסתברותי: מהי תוחלת?

מדוע באמת במצבים כאלה לא נכון לקבל החלטות על פי קריטריון של תוחלת רווח? מפני שההימור שאנחנו משתתפים בו נערך פעם אחת. חוק המספרים הגדולים אומר שאם נעשה אינסוף ניסיונות הרווח שיישאר לנו פר משחק הוא תוחלת הרווח.[5] לדוגמה, אם נטיל מטבע, הפעם הוגנת (הסיכויים ל’עץ’ או ‘פלי’ הם חצי-חצי), המון פעמים, כאשר על ‘עץ’ נקבל 100 ₪ ועל ‘פלי’ נשלם 50 ₪, תוחלת הרווח היא רווח של 25 ₪. מה זה אומר? במשחק בודד או שנקבל 100 או שנפסיד 50, אבל ברור שלא נרוויח 25. 25 ₪ היא בכלל לא תוצאה אפשרית להימור בודד. משמעותה של תוחלת הרווח היא שאם נחזור על ההימור הזה המון פעמים בסופו של דבר יישאר בידינו רווח של 25 ₪ כפול מספר המשחקים. כלומר הרווח הממוצע למשחק הוא 25 ₪. שלא תטעו, זה אינו הרווח המצטבר מכל המשחקים אלא הרווח למשחק אחד. אבל עדיין המספר הזה משקף מה שיקרה אחרי המון ניסיונות. בניסיון בודד אין הרבה משמעות לתוצאה הזאת.

אם נחזור על החישוב הזה עבור הטלת המטבע שתוארה למעלה, תוחלת הרווח שחישבנו למקרה ההוא היא מיליארד דולר. פירוש הדבר שהרווח שיישאר בידינו אחרי המון משחקים יהיה מיליארד דולר כפול מספר המשחקים, כלומר הרווח לכל משחק בודד הוא מיליארד דולר. אבל זה לא באמת הרווח שיהיה לנו אם נשחק משחק בודד. אם נשחק משחק בודד הסיכוי שנישאר עם 0 הוא כמעט 1. אין שום סיכוי להרוויח ולכן לא שווה להשקיע במשחק כזה אפילו אגורה. הרי לכם על רגל אחת מדוע קריטריון של תוחלת הוא בעל משמעות מוגבלת למצבים שבהם יש לנו רק ניסיון אחד.

שימו לב שהקריטריון הזה רלוונטי יותר כשמדובר בהימור של מטבע הוגנת. אבל הוא הרבה פחות רלוונטי כאשר התפלגות התוצאות אינה סימטרית, כלומר כשהסיכוי שלנו לקבל רווח בגובה בערך של התוחלת הוא אפסי (כמו במקרה של המטבע הלא הוגנת, להבדיל מהמטבע ההוגנת). כאשר התוצאה הממוצעת אינה התוצאה הצפויה (השכיחה), כי אז קריטריון התוחלת הוא בעל משמעות קטנה מאד.

הקשר ל”חוק המספרים הקטנים” 

דיברתי לא פעם בעבר על מה שכיניתי “חוק המספרים הקטנים” (ראו למשל בטור 38). כאשר בודקים מספר קטן של מקרים נוכל לקבל תוצאות מאד לא שכיחות (נס סטטיסטי). התוצאות מתכנסות לתוצאה הממוצעת רק כאשר אנחנו עושים מספר גדול של ניסיונות. במקרה של פרדוקס סנקט פטרסבורג צריך ממש מספר עצום של ניסיונות כדי לקבל סכום נורמלי. במקרה של המטבע הלא הוגנת צריך סדר גודל של מיליארד הטלות כדי לקבל פעם אחת את הרווח המצופה (מיליארד מיליארדים). אם מציעים לכם לקנות כרטיסים למאה מיליארד הימורים כדאי לקנות (ולשלם טבין ותקילין לכל הימור. לקנות כרטיס לכל הימור במחיר שהוא עד ערך התוחלת). אבל להימור בודד –אין שום סיבה לעשות זאת.

כפי שהראיתי בטור הנ”ל, על זה מבוססות המון הטעיות בחיי היומיום שלנו. ההטיה לפעול ולקבל החלטות על פי התוחלת, דומה במידת מה להטיות של יציגות ולהיטפלות לדוגמאות בודדות (שבהן פגשנו או שעליהן אנחנו חושבים) כאילו הן היו מדגם מייצג. חוק המספרים הגדולים אומר שבמספר קטן המדגם בדרך כלל אינו מייצג, ואין ללמוד ממנו על מה שיקרה במצב של ניסיונות מרובים.

משמעותה של הטעות של פסקל

אם כן, פסקל לא טעה בחישוב ההסתברותי שלו. זהו חישוב תוחלת פשוט מאד והוא לא המוקד של הטיעון. הטעות של פסקל נעוצה בקבלת ההחלטות על בסיס החישוב הזה. בניגוד לרושם שנוצר אצל אנשים רבים, שיקול הסתברותי לעולם לא עומד באופן עצמאי. תמיד יש ביסודו הנחות וצריך להניח עוד הנחות כדי לקבל החלטות על בסיסו.

ניתן לנסח זאת כך: טעותו של פסקל היא שהוא הפנה את הטיעון שלו לאתאיסט. הוא טוען כלפיו שגם אם לדעתו הסיכוי לקיומו של אלוהים הוא פצפון, חישוב התוחלת אמור להביא אותו לקיום מצוות. אבל זה לא נכון. אם אכן הסיכוי לקבל את התועלת הענקית או הנזק הנורא הוא פצפון (כי הם יופיעו רק אם אלוהים קיים), אזי גם אם התוחלת היא ענקית אין כאן סיבה לקיים מצוות, בדיוק כמו ההימור הנ”ל על המטבע הלא הוגנת. בסופו של דבר העניין תלוי בנקודת המוצא שלנו, וטיעונו של פסקל פונה למשוכנעים (או לפחות לאלו שמסופקים בסיכויים בערך שווים).

גם בהימור של פסקל, אם הסיכויים האפריוריים לשתי האפשרויות הם שקולים, אזי ההחלטה הרציונלית הייתה אכן לקיים מצוות (מה שהוא מכנה: להאמין). אולם אם הסיכוי האפריורי לקיומו של אלוהים בעיני מישהו הוא נמוך מאוד, אזי אמנם עדיין נכון לומר שתוחלת הרווח נוטה לטובת הכף התיאיסטית (מפני שהרווח הוא אינסופי), כלומר אין טעות בחישוב התוחלת של פסקל, אבל מכיוון שהסיכוי להגיע לתוחלת הרווח הזאת הוא נמוך מאוד, אין להסתמך על כך כאשר מקבלים החלטה רציונלית. ההחלטה הרציונלית של כל אחד מאיתנו במקרה כזה תלויה בסבירות האפריורית שהוא נותן לשתי האפשרויות, ולא רק בתוחלת הרווח.

שימו לב, אם אדם מסופק באופן שווה בין האפשרויות שיש או אין אלוהים, טיעונו של פסקל רחוק מלהיות מופרך לגביו. הטעות של פסקל הייתה הפניית הטיעון שלו כלפי האתאיסט שמניח אפריורי הבדל גדול בין ההסתברויות. זוהי השלכה חשובה של המעבר מהערעורים המקובלים שעוסקים במישור התיאולוגי לערעור שלי שנערך במישור ההסתברותי.

תמיד כאשר אנחנו משתמשים בחישוב הסתברותי כדי לקבל החלטות צריך להיות מודעים לכך שהשימוש הזה רווי בהנחות שחשוב לבחון האם הן מוצדקות, כלומר האם החישוב הזה הוא רלוונטי להחלטה שאותה עלינו לקבל. זה סוד קסמן של המתמטיקה, הלוגיקה הפורמלית וההסתברות, ובעצם של כל השיקולים הכמותיים והפורמליים. הם נראים מוכרחים ומבוססים היטב, שהרי עם מספרים אי אפשר להתווכח. אז זהו שלא. עם מספרים אפשר בהחלט להתווכח. בדרך כלל לא עם החישוב עצמו, אלא עם המשמעויות שלו ועם הרלוונטיות שלו, ובעצם עם ההנחות שמונחות בבסיס החישוב ו/או ההצרנה (ראו על הלוגיקה בטור 50 ו-318).[6]

שתי הערות לסיום

א. הסיכוי האפריורי לקיומו או אי קיומו של אלוהים אינו תוצאה של חישוב. אין דרך לחשב אותו הסתברותית, שכן אין לנו מרחב מאורעות ומרחב מדגם. בעצם אני מדבר כאן על סבירות ולא על הסתברות. זוהי הערכה אינטואיטיבית סובייקטיבית של סבירות בתנאי אי-ודאות כמעט מוחלטת, ובעצם תוצאה של שיקולים פילוסופיים. אין כאן חישוב קשיח של הסתברות. מתברר שבמקרים רבים דווקא ההערכות הללו הן שמטות את כף ההחלטה. ועדיין יש היגיון רב להתייחס לסבירות כמו אל הסתברות (ראו על כך בטוקבק לטור 402 ובתשובתי אליו).

ב. התיאור  והחישובים שעשיתי כאן נעשו בחלל ריק, כאשר פונקציית התועלת היא פשוט סכום הכסף שמרוויחים. אבל ייתכנו מצבים שבהם יש לאדם שיקולים נוספים, ואלו עשויים לשנות את פונקציית התועלת שלו. לדוגמה, אדם שמאוים שאם לא ייתן היום למאיים מיליארד דולר, מחר הוא ימות. כעת מוצעת לו ההגרלה הנ”ל עם המטבע הלא הוגנת, שנותנת לו סיכוי קטנטן לקבל מיליארד מיליארדי דולרים. אותו אדם ודאי יקנה כרטיס בכל סכום שיש לו, שכן אם הוא לא קונה את הכרטיס הוא מת מחר בוודאות. קניית הכרטיס נותנת לו סיכויון קטנטן לחיות, וזה עדיף על מוות ודאי. פונקציית התועלת של אותו אדם אינה רק סכום הכסף אלא החיים שלו, וזה משנה את התמונה ואת החישוב שלו. או במקרה קיצוני פחות, אם אדם אוהב מאד סיכונים ויש לו המון כסף. אין לו בעיה לשלם מיליון דולר תמורת ההנאה מהסיכון והסיכוי, ואולי גם מהציפייה לתוצאות ההגרלה. הוא אוהב הימורים ויש לו הרבה כסף להשקיע בהם. אדם כזה עשוי להיות מוכן להשקיע מיליון דולר בהגרלה של המטבע הלא הוגנת הנ”ל.

אבל ההערות הללו הן בשוליים. כוונתי כאן הייתה רק להדגים את הזהירות הדרושה כאשר מסתמכים על שיקולי תוחלת ועל הסתברות בכלל.

[1] מקור הדברים בסוף הפרק השני של ספרי אלוהים משחק בקוביות. אחרי כתיבת הטור ראיתי שהתייחסתי לערעור ההסתברותי כבר בטור 252, אבל השארתי אותו כי כאן אני עוסק בהימור באופן כללי יותר, וזהו גם המוקד של הטור.

[2]  אף על פי שכמו כל פתגם טוב, פתגם זה מיוחס גם למרק טווין.

[3] העיר לי פעם חוקר פרגמטיזם שיש הגויות פרגמטיסטיות שטוענות שהתועלת היא אינדיקציה לאמת. אם רעיון כלשהו הוא מועיל, כלומר יוצר עולם טוב יותר (לפחות עבורי), זו אינדיקציה לכך שיש בו ממש. ניתן לטעון טענה כזאת על בסיס דתי (אלוהים פועל באופן שהטוב והאמיתי הוא גם המועיל), ולכן עקרונית זו טענה קבילה (גם אם בעיניי לא נכונה). מה שאני מכנה כאן ‘פרגמטיזם’, הוא הגישה שרואה במועיל הגדרה של האמת ולא רק אינדיקציה אליה. יסודה של הגישה הזאת בפקפוק ביכולת שלנו להגיע לאמת שמוביל להחלפתה במועיל.

[4]  ניתן אולי לטעון את הטענה הספקולטיבית שלעולם הסיכוי שיימצא שם אוצר הוא בפרופורציה הפוכה לשוויו, אך מנין לנו זאת? הרי אפשר גם לומר את ההיפך: ככל שערך האוצר גבוה יותר, כך יש סיכוי שטמנו אותו היטב במקום שמור ורחוק יותר (הן מחמת העובדה שהחשש שימצאו אותו הוא “מחיר” כבד יותר, והן מחמת העובדה שקיימת הצדקה לעבודה כה קשה רק אם אנו עוסקים בשמירה על אוצר יקר ערך). אז רוצו לחפור!

[5] חוק המספרים הגדולים אינו אוניברסלי. לא בכל התפלגות הוא מתקיים, אבל מתברר שברוב מוחלט של המקרים המעניינים הוא תקף. לכן כאן אניח אותו כמובן מאליו בלי לסייג זאת.

[6]  בסוף הפרק השלישי בספרו, עוסק דוקינס בחישובים בייסיאניים של הסתברויות, ומגלה שם שוב חוסר הבנה משווע באשר לנקודה החשובה הזאת. הוא תופס שם את ההסתברות ככלי אובייקטיבי שאינו מותנה בהערכות אינטואיטיביות. מבחינתו, תהליך הערכה שמתחיל באינטואיציות סובייקטיביות ולא בחישוב אובייקטיבי, הוא GIGO (Garbage In Garbage Out). כלומר שאם מכניסים אינטואיציה (Garbage, בעיניו) לחישוב הסתברותי או סטטיסטי, אזי התוצאה גם היא לא יותר מאשר אינטואיציה (כלומר, Garbage). הוא אינו מבין שההסתברות היא דרך לקבל החלטות רציונליות בתלות בהנחות האפריוריות שלנו (לפחות כאשר ישנה אי-ודאות). כמעט אף פעם חישוב הסתברותי אינו מתחיל בתוצאה של חישוב, אלא בהנחות יסוד, שמעצם טיבן יכולות בהחלט להיות אינטואיטיביות. לדוגמה, ההנחה שהקובייה או המטבע היא הוגנת היא הנחה ולא תוצאה של חישוב. בוודאי כשהדברים אמורים על אירועים בעולם ולא על בעיה היפותטית.

חשוב להבין שאם דוקינס היה צודק בגישתו, אזי טיעונו של פסקל היה נכון. כפי שהסברתי למעלה, בהנחה שכפות המאזניים שקולות אפריורית, טיעון ההימור הפסקלי הוא טיעון תקף ורציונלי. הסיבה שהוא אינו מוליך להכרעה הרציונלית היא אך ורק העובדה שכפות המאזניים אינן בהכרח שקולות. לכן בעיני מי שהסיכוי לקבל את תוחלת הרווח האינסופית (השכר האלוהי בעולם הבא, שהוא ה-Garbage in של הבעיה) הוא קטן מאוד, אין הצדקה רציונלית לבחור באופציה התיאיסטית.

56 מחשבות על “מבט על ההימור של פסקל ושיקולי תוחלת (טור 408)”

  1. הערה לגבי הטיעון על האוצר ההיפותטי שאולי נמצא באי:
    יש בהחלט סיבה לטעון שההסתברות למציאת אוצר יורדת ככל שהאוצר גדול יותר.
    בהנחה שמדובר באוצר פיזי כגון זהב או יהלומים הכמות שלו א. מוגבלת בכמות כל החומרים הללו בכדור הארץ
    ב. לפחות החל מכמות כלשהי והלאה, סביר יותר למצוא כמויות קטנות יחסית מהסיבה שאוצרות עצומים מצויים בכמות קטנה יותר(להרבה יותר אנשים יש קילו זהב שהם יכולים להחביא מאשר טון זהב ואוצר של אלף טון יש רק לבודדים, אם בכלל)

  2. א. יש כאן משהו מעגלי. אתה מציע מנגנון קבלת החלטות שהוא לא רק לפי תוחלת, אבל איך בודקים האם המנגנון הזה הוא באמת אופטימלי? הדרך שאני מכיר לבחון מנגנוני קבלת החלטות היא לפי תוחלת… אבל גם את דרך הבחינה הזאת אתה לא מקבל. אז אין פה שום קרקע מוצקה שמכוחה אפשר לשפוט את הטענה שלך. אז אין כאן טענה עובדתית או מתימטית. ויש כאן טענה פסיכולוגית על מה אנשים בימינו נוהגים לעשות. האם בעיניך זאת טענה פילוסופית על ‘מה נכון לעשות’? מהיכן חוצבים מין “נכון” משונה שכזה אם הוא לא מביא לאיזו תוצאה רצויה.

    ב. האם הצו הקטגורי (שאתה הרי מחזיק בו) לא אומר לנו בעצם לקבל החלטות לפי מה היה קורה אם היו הרבה לפנינו הרבה החלטות כאלה? אם הצו הקטגורי תולה את ההחלטה שלי בתוחלת הרווח הכללית בהרבה החלטות זהות של אחרים, קל וחומר שהוא יתלה את ההחלטה שלי בתוחלת הרווח בהרבה החלטות זהות של עצמי.

    ג. לא נראה שיש פה קושיה על מי ש(בשאיפה) מקבל החלטות רק לפי תוחלת (כרגע, עדיין, לפחות תיאורטית, אני למשל). אני מקבל החלטות רק לפי תוחלת, אבל תוחלת ההנאה בשבילי היא לא תוחלת הרווח בשקלים. אמנם פונקציית ההנאה מונוטונית עולה בכמות הכסף אבל יש לה אסימפטוטה אופקית והיא מגיעה אליה די מהר. למשל מהמקום שלי אין הרבה הבדל בין מיליארד אחד לשניים. בנוסף המחיר של איבוד שנה מהחיים לבטלה הוא גבוה מאד, יותר מהמשכורת השנתית והריבית וסך שווי ההנאות והידע שאני צובר בשנה. לכן לצאת לחזור בהרים ובקעות לחפש אוצרות זה פשוט לא אופטימלי. אם הייתי בא לעולם במיליון גלגולים ובכל אחד הייתי מחפש אוצרות אדירים אז סה”כ ההנאה שלילית.

    1. לא יודע אם יש איסור לחשוף ניקים או שמא מכיוון שהניק אינו קשור לשם האמיתי לית לן בה. אז אשאל כללית: אני תוהה מניין לקוחים כל הניקים הללו? שמא אתה גלגול של טולקין ובונה מיתולוגיה מדידך?!
      א. איני רואה מדוע קבלת החלטות לפי תוחלת נראית לך מוצדקת או מובנת מאליה. הרי התוחלת היא חישוב על פי המון הימורים ומדוע היישום שלה להימור בודד נראה לך לא טעון הצדקה?
      אני מדבר על שכל ישר ולא על מספרים. כפי שהסברתי לכל אורך הטור החישוב המספרי לעולם לא עומד לבדו, והוא תמיד מניח מסגרת לדיון שניתן לבחון אותה בשכל ישר. גם שיטתי כך. השכל הישר אומר לא לזרוק כסף לפח, גם אם יש סיכוי פצפון להרוויח סכום עתק. זה פשוט לא יקרה, וכמו בכל מקום לא סומכים על הנס ולא בונים על הסתברויות קטנטנות.
      ב. הצו הקטגורי הוא עיקרון מוסרי ולא כלכלי. אתה לשיטתך התוצאתנית שהמוסר הוא הפעולה שתביא לרווח מקסימלי. אבל גם לשיטתך זה לא נכון, שהרי פעולה כזאת לא תביא לרווח המקסימלי, זאת בניגוד להתנהגות אתית לפי הצו הקטגורי שבסוף מביאה למיקסום הרווח (כבטור 122).
      ג. אמרתי שהחישובים בטור נעשים בלי הנחות נוספות על פונקציית התועלת. אם יש הנחות נוספות ברור שזה משתנה. הסברתי שכוונתי כאן רק להדגים מדוע לא תמיד נכון לפעול לפי תוחלת, ולצורך זה אין שום סיבה להיזקק לפונקציות תועלת אחרות. וגם על התי’ דידך קשה מדוע לא תחפור בחצר ביתך עם מחפר שעולה מיליון דולר וחודר לקרקע בשניות. לא תצטרך להשקיע שנה של מאמצים. אני לא מאמין לך שאתה מקבל החלטות לפחי קריטריון התוחלת. למשל בהטלת מטבע הלא הוגנת זה לוקח שנייה? האם היית קונה כרטיס במיליון ש”ח? (נניח שאנחנו לפני האסימפטוטה שלך.) ביודעו קאמינא, ואיני מאמין לך.

      1. ב. אם אליהו מציע למיליארד אנשים לשלם אלף שקל ואז בסיכוי אחד למיליארד הוא יעניק מיליארד שקלים לכל אדם בעולם. האם הצו הקטגורי תובע ממני להשתתף בהגרלה?

        ג. ההדגמה מתבססת על זה שהקורא עצמו מודה במקרה פלוני אלמוני שהוא לא מחליט לפי תוחלת. אבל הקורא מודה כי זאת אכן האינטואיציה שלו במקרה הזה, אבל הפרשנות לאינטואיציה הזאת היא אחרת. לא בגלל שלא מחשבים תוחלת אלא בגלל שתוחלת הרווח המורגש לא מספיק גבוהה.
        במטבע במיליון שח צריך גם לתמחר את הסבל בהפסד. אם מתמחרים נכון את הסבל המורגש וההנאה המורגש
        אז אני חושב שהתוחלת באמת מנבאת את ההחלטה יפה מאד.

        הניקים לא יודע. כאילו להתחיל מחדש בלי מטענים מהעבר. שמות לא קיימים מאפשרים חיפוש נוח באתר כך שיעלו רק תוצאות רלוונטיות. לא יודע בדיוק.

        1. ב. אין חובה מוסרית לדאוג לאנשים (לא נזקקים) לכסף. בטח לא להשקיע בזה כסף משלך.
          ג. אתה מרוקן מתוכן את המושג תוחלת. כל קריטריון עלי אדמות יתאים להגדרת תוחלת כלשהי כל עוד אתה מכניס לשם את כל הפרמטרים. תכניס את הסיכוי הקטן להרוויח בתור צער כמרכיב בתוחלת והכל ייצא זהה.

          1. ג. אבל אני לא אומר את זה אד-הוק. אני מדבר על תחושות ההנאה והסבל ולדעתי פשוט לכו”ע שכך הן מתנהלות. “פרט שונא סיכון” הוא כל אחד מאיתנו שלא מאומן להיות ברוקר מקצועי. כדי לפצות על תחושת הפסד של מיליון שקל שיש לי ביד צריך תוחלת רווח של הרבה יותר ממיליון.

            1. אבל מה כבר אמרתי. רק אמרתי שתוחלת לא נמדדת לפי שקלים בבנק אלא לפי סבל והנאה מורגשים. הרי ברור שגם אתה מחשב ככה ורק את העמדה הזאת יש טעם לשלול. ובאמת אני מניח את המבוקש וכל התנהגות נצפית מעידה אצלי רק שיש לבנאדם ההוא פונקצייה מסויימת של הנאה כתלות בשקלים כך שהוא אכן בוחר לפי התוחלת.

                1. חשבתי כעת דאתה בכלל לא מדבר על תוחלת רווח אלא על רווח קונקרטי חמקרה בודד. מה שאתה מגדיר אינו תוחלת (כי זה לא תלוי בחוק המספרים הגדולים ועריכת הרבה הימורים. זה הרווח מהשתתפות בהימור אחד).
                  אם כך, גם אתה מסכים שהתוחלת אינה הקריטריון המקרים כאלה.

                    1. אמרתי שאני אכן מניח את המבוקש וכל תצפית אתרגם שהבנאדם אכן מחליט לפי תוחלת אלא שפונקציית ההנאה שלו ייחודית. לכן אכן אין דוגמה רגילה שתפריך.
                      אם אדע את פונקציית ההנאה של הבנאדם, אולי על ידי מחקר נוירולוגי מתקדם, ואעפ”כ הוא לא יפעל למקסם אותה בתוחלת זאת תהיה הוכחה שהוא לא מחליט רק לפי תוחלת (וצ”ע האם ייפטר ממצוות כדין חש”ו). ולכן זאת לא הגדרה אלא הנחת המבוקש. בדיוק כמו שאני מניח שאדם חופשי עשה מה שבאותו רגע הוא רצה לעשות.

                      [במונח הכרעה לפי תוחלת אני משתמש בהוראה של הכרעה במקרה בודד לפי תוחלת הרווח ממשחק בודד בתוך אינסוף משחקים. לא בדיוק הבנתי מה שטענת נגד זה].

                    2. אשאל זאת כך. נניח ואתה מתמנה להיות אלוקים ואתה טוב ורחום. האם לא היית מתכנת את כל האנשים להחליט על פי התוחלת? תיכנות כזה יוביל בסה”כ ליותר הנאות בתוחלת לאנושות. (מקווה שלא נזדקק פה לתלות בחופש הבחירה).

                    3. זו אכן תיאוריה שלא ניתנת להפרכה. גם אם יהיה לך מדד להנאות שלו, אתה תסווג אותו כלא שפוי.
                      מה שאמרתי הוא שאתה לא מדבר על תוחלת רווח אלא על סתם רווח מהמשחק, שכן תוחלת מוגדרת לפי הממוצע במספר גדול של משחקים. אתה מדבר על הנאה שמופקת מכל משחק לחוד ולא בממוצע למשחק.

                    4. עדיין אני לא מבין מה כבר אמרתי. איזו עמדה תקפת אם לא את העמדה שהצגתי? תקפת את העמדה שמנסה למקסם תוחלת שקלים בבנק? או תקפת את תוחלת ההנאה אבל יש לך הנחות מסוימות על פונקציית ההנאה כתלות בשקלים? אני לא חושב שאמרתי איזה משהו חדש.

                      לא הבנתי למה אני לא יכול לדבר על ההנאה הממוצעת במשחק בודד כפי שמחושבת ע”פ התוחלת.

          2. ב. ואשר לא צדה והאלוקים אינה לידו וכו’. נתקלתי בזה: https://ibb.co/JFYvK87. ומכאן שאלה להבהרונת קטנה בשיטתך:
            מציעים לפלוני שתי אפשרויות, אפשרות אחת שימות אדם אחד ואפשרות שנייה שבסיכוי אחד למיליארד ימותו שני מיליארד (אם פלוני לא בוחר אף אפשרות אז הורגים את כל האנושות). האם לדעתך מבחינה מוסרית צריך לבחור באפשרות השנייה? האם כאן הצו הקטגורי יורה לי לבחור באפשרות הראשונה כי אם זה היה מוגש לפתחם של המוני אנשים במקביל אז כמובן שכל אחד לחוד היה צריך לבחור באפשרות הראשונה? ואם באמת זה מוגש במקביל לפתחם של המון אנשים אז כל אחד לחוד צריך לבחור באפשרות הראשונה?

            1. שאלה טובה. מבחינת הצו הקטגורי נראה שאתה צודק. אבל הצו הקטגורי אינו השחקן היחיד בזירה. יש גם את השיקול שבבחירה הראשונה אתה מחליט על מוות ודאי של אדם (קצת בדומה להבדל בין קו”ע ושוא”ת). הדוגמה בציור שלינקקת אליו מדברת על סיכויים מעשיים מאד, ושם לכאורה הצו הקטגורי הוא הקובע. אבל בסיכוי של 1 למיליארד יש את השיקול שזו תוחלת שלא תתממש. והרי מעשית לא כל העולם יימצא בסיטואציה כזאת. לכן מבחינת דיני שמירת הנפש ורציחה נראה שהאפשרות 2 ודאי עדיפה כי שם אתה לא רוצח אף אחד (הסיכוי שכן הוא אפסי). אם בפועל זזה ניסוי שמוגש להרבה אנשים אז נראה לי שאין עדיפות כי התוצאה תהיה דומה, ואז אולי שיקול התוחלת (שכבר אינו ממש תוחלת) הוא הקובע. ואפילו כאן איני לגמרי בטוח.

              1. את העניין של מוות ודאי שקצת דומה לקו”ע אפשר לכאורה לנטרל אם נעמיד שהאפשרות הראשונה היא שבסיכוי חצי ימותו שני אנשים (ולא שבסיכוי 1 ימות אדם אחד). האם אתה מסכים שזה מנטרל? או שלא צריך וודאות מוחלטת כדי שיהיה דומה לקו”ע?

                תוכל להבהיר מה הצד (או צדדון) שגם אם הניסוי מוגש להרבה אנשים אז אינך לגמרי בטוח שצריך ללכת לפי התוחלת? לא חשבתי שתיתן מקום כלשהו לאפשרות כזאת.

                1. זה קצת פחות קו”ע ועדיין יש הבדל (זה לא חילוק בינארי. הרי גם רצח אינו דטרמיניסטי: אולי יהיה מעצור בנשק? אולי בסוף משהו אחר יקרה? לכן משהו סביר יותר הוא יותר קו”ע).
                  לגבי כשהניסוי מונגש להרבה אנשים, גם במצב כזה עדיין אני כאדם בודד עושה משהו שמביא בוודאות למותו של אדם, והצד השני לא יביא למוות כלל. רק השקלול הסופי (התוצאתני) מביא את השוויון. כמו בדילמת הטרולי בין השמן שהורגים בידיים לבין חמישה שנהרגים ממילא (לא מוצלים). למה זה רק צדדון? כי כשהניסוי הזה מוגש לכל האנשים יחד אני מנתח אותו מנקודת מבט חברתית כללית ולא מנקודת המבט שלי, ואז ההחלטה צריכה להתקבל קולקטיבית ולא אישית.

                  1. אם אני מבין נכון, בצד שמנתחים מנקודת המבט שלי יוצא שהצו הקטגורי פועל רק לחומרא (להימנע מבזבוז מים למשל) אבל לא יכול לפעול לקולא ולהתיר משהו שאסור בלעדיו (להביא בוודאות למותו של אדם). זה די חידוש בגדרי הצו הקטגורי והמסתעף.

                    1. איני יודע אם אני חותם על הגדרה גורפת כזאת. אני הייתי מנסח שהוא לא השחקן היחיד במגרש. זה שיקול אחד מתוך כמה. אפילו בדוגמאות שלנו לא ברור מהי הקולא ומהי החומרא.

                    2. לא מבין את התעקשותך על עניין החומרא. בדיני נפשות תמיד הולכים לחומרא. כל הדיון שלנו כאן נסוב על השאלה מה כאן החומרא: פעולה? תוצאה? וודאות או הסתברות?

                  2. לפלפולא. השליך סכין שקוצץ בהרת בהסתברות 40% (או 70%) וקצץ האם לוקה? אולי גם כאן העדר הסבירות פוגם במידת הקום ועשה? (ואז ייתכן אולי שיהיה מצב שעובר על הלאו אבל לא לוקה)

      2. א. הקושיה לא מובנת לי. הרי בהימור פשוט ורגיל (הטל מטבע אם עץ הרווחתי שקל ואם פלי הפסדתי שקל) גם אתה מודה שבהימור בודד הולכים לפי התוחלת. מה באמת המשמעות של “הסתברות” בלי להגיע לגבול באינסוף מקרים זה באמת לא ברור מבחינה “פילוסופית” (אגב אני לא יודע אם זה פחות ברור מ”השיפוע של הפונקציה בנקודה”). אבל תכלס גם אתה עובד עם זה. רק שאצלך יש פתאום קפיצה במספרים נמוכים.

  3. א. באופן עקרוני אני מסכים, אבל איך שפסקל מציג את הדברים צריך יותר מ99.9 אחוז ודאות שאין בשביל להיות מוכן לא להמר עם רווח כזה עצום והפסד כמו להישרף לנצח.. לכן אם אתה לא משוכנע בקרוב ל100 שאין- ההימור בהחלט טוב מבחינת קבלת החלטות סבירה.

    ב. גרסא קדומה להימור של פסקל יש ברמבם במורה נבוכים אבל לצד השלילי- לשיטתו העברה למולך זה רק להעביר בלי לשרוף, והכמרים היו מבטיחים שמירה על כל הילדים במחיר הנמוך של העברה בלבד- אדם שמתנהל לפי שיקולי עלות תועלת עלול להתפתות על בסיס ההימור של פסקל, ולכן כדי לשנות את המשקל של ההימור בעייני ההמון- התורה מבטיחה שמי שיעשה זאת ימות ערירי.

    ג. וכאן העניין הגדול שצריך לתת עליו את הדעת: מעבר לסבירות שההמון נותן לשאלה אם יש או אין אלוהים- יש גם מקדם נוסף לסבירות הזו- והיא שרב האנשים לא מייחסים סיכוי גבוה להערכה שלהם בשאלות כאלו שהן ברומו של עולם, ולכן גם אם נראה לאדם שאין אלוהים (או שהמולך זה שטויות) הוא עלול להעדיף את החשבון התועלתני שנראה וודאי יותר כשלעצמו, מההערכה שלו על הסבירות. במילים אחרות- הוסף למשל של הקוביה שלאדם ברוב המקרים אין הערכה טובה מה הסיכוי שהיא תפול על הפאה הספציפית שבהימור, אבל הוא משוכנע הרבה יותר שהוא יודע מה יקרה אם אכן הוא יצדק או יטעה בהימור.

    1. א. אני ממש לא בטוח בזה. דומני שאתה מכניס שיקולי תוחלת בדלת האחורית. לדעתי רוב האנשים לא יתחשבו בסיכוי פצפון גם אם המחיר אדיר.
      ב. זו הבטחת רווח רגילה. אני לא חושב שנכון לראות בזה גרסה מוקדמת להימור של פסקל, לפחות לא יותר מכל חישוב תוחלת רווח שאדם עושה בכל החלטה שלו.
      ג. זה פשוט, כי השאלה מה יקרה אם הוא יצדק או יטעה היא הנתון שלו ולא תוצאה של שיקול שלו. המסורת היהודית אומרת מה יקרה לך אם היא צודקת. אבל ההחלטה אם היא צודקת או לא – היא שלך. כדי שאדם יכניס את שיקוליו גם למרכיב של מה שיקרה בהינתן שהוא צודק או טועה, הוא אמור להיכנס למסורת ולברור לעצמו פירוש משלו. את זה רוב האנשים לא עושים.

  4. א. 1 לאלף זה 99.9 אחוז וודאות- אם זה פצפון ביחס למחיר, לדעתי לא. הגרלה של 1 לאלף עם סיכוי למילארד רווח או הפסד לא תקח? זה נכון שאם יורדים ל99.999 אז אולי לא, אבל את זה אין לרוב האנשים
    ב. זה כן הימור: זה לא רק “תעבדו למולך כדאי לכם” אלא גם אם זה שטות- לא תפסידו כלום. ולכן העונש שהתורה נתנה הוא מות הבנים. מי שמשוכנע שעבודת המולך נכונה- העונש מהתורה לא ישכנע אותו הוא משכנע רק מי שעובד למולך מכח ההימור של פסקל- יכול להגן על הילדים אך המחיר נמוך גם אם המולך הוא שקר.
    לשיטת הרמבם העונש נקבע לא רק לפי החומרה של המעשה, אלא גם על פי גודל האינטרס לבצע את העבירה והאינטרס של ההמון בישראל לעבוד למולך הוא ממש ההימור של פסקל. ולכן התורה החמירה בעונשו יותר משאר ענייני ע”ז

  5. הטעות בטיעון פסקל היא בסיסית וכבר הסברתי אותה כאן בעבר:

    אפריורית, הסיכוי שקיים אלוהים שנותן שכר על מצוות ומעניש על עבירות שווה לסיכוי שקיים אלוהים שנותן עונש על מצוות ושכר על עבירות.

    ולכן כל הטיעון נופל. ואין פה שום יתרון הסתברותי והתוחלת נותרת אפס.

    1. טוב נו, אם אפשר לזרוק את הקומונסנס לפח ולהעלות ספקות לאינסוף אז למה לא. אפשר להעלות את הטענה שלך על כל ראיה או פסוקית לוגית כלשהי בקשר לאלוהים. ברגע שיש פסוק שאומר ‘אלוהים הוא X’ אתה טוען ש-‘אפריורית הסיכוי שקיים אלוהים שהוא X שווה לסיכוי שקיים אלוהים שהוא לא X’.

      השאלה היא האם לרוב האנשים נשמע הגיוני להניח (אינטואיציה, הגיון שמעי, you name it) שאלוהים נותן שכר על מצוות. לענ”ד כן

      1. אתה מוזמן ללכת לאותם מתימטיקאים המבזבזים את חייהם לשווא בניסיון להוכיח השערות בלתי פתורות וללמד אותם שאין צורך בהוכחה מתימטית. גילינו דרך חדשה להוכיח דברים, הקומונסנס.

        מהלך ההוכחה הוא: אם לרוב האנשים משפט נשמע הגיוני מוכח שזה נכון.

        1. הקומונסנס מטעה. לרוב האנשים עיקרון האי וודאות נראה הזוי אבל הוא מתקיים. לרוב האנשים נדמה שחפץ כבד יותר יגיע ראשון לקרקע אבל זה שגוי.
          לרוב האנשים שיראו להם ציור של שני חיצים בעלי אותו גודל במצבים מסויימים הם יראו שונים בגודלם.

          לרוב האנשים נשמה שהשלם גדול משאר חלקיו, אבל בקבוצות אינסופיות ייתכן קבוצה חלקית ממש בעלת אותו “גודל” (עוצמה) לקבוצה השלמה.
          לרוב האנשים בעולם העתיק היה נראה שיש כמה אלים שכל אחד אחראי על משהו. היום זה נראה הזוי.

          הקומונסנס מטעה ורק חשיבה אנליטית יכולה להתגבר עליו.

  6. הרב אם הבנתי אותך נכון בדחיית הפרגמטיזם של דוקינס, יוצא ש :
    לעלום אדם שאינו מאמין בכלל לא יכול להפוך למאמין או לקיים מצוות (כי אז אין להם ערך) מכוח החלטה תועלתנית; אבל אדם שנמצא בספק לגבי קיום האל (כולנו בעצם), הוא צריך לקבל החלטה (עובדתית, האם להאמין או לא), אבל גם אם עדיין לא קיבל החלטה יכול לקיים מצוות מכח החלטה תועלתנית ואז יהיה להן ערך (אף שזה ״לא לשמה״ אבל מ״מ זה שוב לא ״בלי אמונה״ משום שהוא מסתפק) אבל לעולם הוא לא יכול להחליט להאמין/להפוך למאמין מכח החלטה תועלתנית אלא מכוח החלטה עובדתית.
    האם כל זה נכון ?

  7. שלום לרב,
    רציתי להקשות על התשובה ולהגיד שיש סיכוי שקיים אל שייתן לי שכר אינסופי על זה שאני לא עובד אותו בשום צורה, ודווקא את אלה שעובדים אל בצורה מסוימת הוא יעניש. בגלל האפשרות שקיים אל כזה, לכאורה אפשר להגיד שאדם יישאר אתאיסט. לא?

      1. לרב, הבנתי את התשובה
        אמנם, ההימור של פסקל לא מתעסק בטענות אלא באפשרויות. גם אם אף אחד לא טוען שיש אל כזה, יש את האפשרות שיש אל כזה. (כלומר, גם אם זו אפשרות אפסית שאף אחד אפילו לא חושב עליה, בוודאי לא טוען אותה, עדיין זו אפשרות.) ואם ככה, יש בעייתיות בהימור של פסקל

          1. מיכי .במחילה .אני חושב שפה טעותך .ההימור של פסקל עוסק ספציפית באל הנוצרי .דהיינו זה שידון לנצח נצחים בגיהנום כול אדם שאיננו מאמין נוצרי בנוסף לכך הוא השתייך לזרם היאנסניזם.זרם שטוען שרק קבוצת מאמינים מסיומת .שנבחרה באופן דרמניסטי לחלוטין מלידה תיוושע .ואילו שאר בני האדם -גורלם מגזירה דרמניסטית קדומה לגיהנום .נכון שאתה דן בטור בטיעון עצמו ולא באומרו .אבל היסטוריונים והוגי דעות רבים הצביעו על כך שלדעתם ההימור של פסקל מתקשר גם ישירות לכנסייה הספציפית בה האמין -לדעתם הוא מלכתחילה פונה לקהל הנוצרים המאמינים שנמצאים בהתלבטות או בספקנות .שמבחינתם יש רק שתי אופציות -או שהאל הנוצרי קיים .ואז הדרך לישועה היא רק דרכו .או שמציאות האלוהים לא קיימת כלל .ההימור של פסקל לא כולל אמונה באסלאם או ביהדות .למעשה מבחינתו .כנראה האמונה בהם היא באותה מידת סיכון כמו הכפירה האתאיסטית .

            התשובות שלך בטור כולן הן מציונות .אבל הם תשובות שמתאימות לוורסיה אחרת של ההימור של פסקל .לא לוורסיה המקורית שלו .טיעון ההסתברות בוורסיה המקורית אכן מגוחך ובצדק כלפי כול אדם שלא חושב שהאמונה הנוצרית היא בוודאות סבירה הרבה יותר מאמונות דתיות אחרות .ושמבחינתו שאר האמונות והסבירות הדתיות סבירות באותה מידה -מרגע שזו ההנחה .כול הטיעון מתפורר .אין שום טעם לספקן או אתאיסט שלא מאמין בנצרות .להאמין בה רק מפני הפחד מגיהנום -כי אותו פחד רציונלית אמור להפריע לו גם בכפירתו או אי אמונתו בכל סברה דתית אחרת -במקרה הזה דוקינס ואתאיסטים ואגנוסטיקנים אחרים שתוקפים את הגרסה המקורית.הנוצרית של ההימור של פסקל צודקים לגמרי .

            אתה מציג פה וורסיה שאומרת :קיום אלוקים סביר לגמרי .וגם אלו שיוצאים מנקודת הנחה שהוא כנראה לא קיים .כדאי להם .בכ”ז גם אם זה רק מתוך פחד .לקיים מצוות .סביר להניח שהוא היה סלחני הרבה יותר כלפי אדם שניסה לחפש את האמת ונמצא שוגג .(בין אם בגלל שלא הצליח להגיע לתודעה של אמונה או בין אם בגלל שבחר באמונה שגיוה ).מאשר כלפי אדם שהוא כופר ואתאיסט גמור .אבל זו הנחה (שגם אני חושב אגב שהיא נכונה ).שלא מופיעה ברוב הדתות המסורתיות -לא באסלאם לא בנצרות ולא ביהדות .וכשמאמיני דתות שונות -מוסלמים הינדים וכדומה עושים וורסיה להימור של פסקל -הם גם לא משתמשים בטענה הזו .הם יוצאים מנקודת הנחה שיש שני אפשריות :או שהדת שלהם נכונה (ואז אגב צריך להתאמץ ולהאמין בה בלב שלם .לא ניראלי שיש במייסטרים זרם שטוען שאמונה חלשה בסולם 4 או 5 שווה משהו ).או שאין אלוהים בכלל .-ולכן עדיף להאמין בדת שלהם .גם הם יסכימו שבהנחה ששאר האמונות סבירות גם הם -ההימור נופל

            1. התייחסתי לכל זה.
              1. גם אם הוא סבר שהנצרות הגיונית וסבירה יותר, זה לא נחוץ לטיעון שלו.
              2. כמו שביהדות אני חולק על הגישה המקובלת אני אחלוק גם בנצרות ובאסלם. לדעתי אלוהים מכל דת שהיא אמור לא להעניש אנוסים. זו ההנחה שעל בסיסה אני עושה את ההימור.

              1. הבנתי אותך .אז כנראה המחלוקת בינינו היא עניין של סמנטיקה נטו .אני מסכים שההימור של פסקל בגרסה שלך הוא רציונלי וסביר לחלוטין .רק אני לא חושב שבמקרה הזה לא ממש נכון לקרוא לזה ההימור של פסקל .אבל זה באמת עניין של שפה ומושגים נטו .

  8. אני לא חושב שאתאיזם זה האופציה הגרועה ביותר. לדעתי צריך להסתכל על הסיכון בבחירת דת שגויה. הרבה פעמים בחירת דת שגוייה תביא סבל גדול יותר לפי דת אחרת ולכן הסבל שבבחירת דת שגויה גדול מהסבל בבחירת האתאיזם.
    לפי לא מעט נוצרים היהודים הם כנסת השטן ועונשם גדול בגלל שדחו את המשיח. אמנם מאמינים באל אבל דוחים את המשיח ובן האלוהים ולכן מורדים בו ומצבם גרוע יותר כי מכירים באל (לפחות חלקית) ומורדים בו.

    לפי האיסלאם היהודים צאצאי הקופים והחזירים וביום הדין עונשם גדול. וגם אם יש יהודים הגונים שינצלו הם לא יכולים להיות מהזרמים המרכזיים בגלל תמיכתם של רוב הזרמים בציונות (גם אם לא תומכים אקטיבית אלא מתייחסים למדינה כמצב קיים). ולכן רובם אוייבי האיסלאם.

    בכל מקרה הסיכון עולה בבחירת דת שגויה.

    לפי מה שהבנתי חוק המספרים הגדולים מתייחס לתוחלת סופית. לא לתוחלת אינסופית. כלומר במספר נסיונות גדול כרצונינו הרווח שואף לתוחלת שהיא מספר סופי. אבל מה קורה אם הרווח הוא אינסופי (חיי נצח עם שכר אינסופי שלא ניתן לכמת אותו מבחינת שוויו). במקרה זה כשמספר הנסיונות שואף לאינסוף גם התוחלת שואפת לאינסוף.
    במקרה כזה לא ניתן לדעתי להסיק לפי התפיסה הקלאסית.

      1. זה בדיוק הבעיה. אם מתייחסים לתוחלת כמספר גדול כרצונך אז הרווח הופך לגדול עד שהוא שווה את המחיר הנדרש. נגיד אם הרף הנדרש שעבורו אני אמור לעשות את הבחירה הוא M אז אבחר את התוחלת להיות M+1 (שהרי זאת ההגדרה לשאיפה לאינסוף).
        גם ההסקה הנדרשת בעייתית כי באופן כללי מה שמתקיים בסופי בדר”כ לא מתקיים באינסופי ושם הכללים שונים וסותרים את האינטואיציה האנושית.

  9. טיעון פשוט: לא לוקחים סיכון

    בס”ד י”א באלול תשא”ף

    הטיעון של פסקל פשוט והגיוני מאד. אם יש אפשרות שיש בה סיכון לעומת אפשרות ניטרלית – יחוש אדם ויעשה מה שהוא יכול כדי לשלול את אפשרות הסיכון.

    ולכן לוקח אדם את החיסון נגד קורונה, אף שהסיכוי לחלות ולהיפגע קשה מהקורונה קטן למדי, גם ללא חיסון; ולכן עושה אדם ביטוח גם לנזקים שהסיכון ללקות בהם קטן.

    בשני המקרים החשבון הוא שאם לא יקרה כלום – לא הפסדת הפסד משמעותי, קצת כס או אי אלו תופעו לוואי קלות. אך אם יתגשם התרחיש הפסימי הפחות שכיח ואדם יידבק או יינזק – הרי שאם לא התחסן או לא עשה ביטוח וקרה מה שקרה, הרי האדם ‘אכל אותה בגדול’.

    וכך אומר פסקל לגבי האלקים. שאם יתברר שהוא קיים ועברת על רצונו – הרי ‘אכלת אותה’ בגדול, ו’ספק אלקים לחומרא’ 🙂

    וסימנך ‘לא שמים פס בקל, על החשש שיש אלקים 🙂 היה כדאיסט 🙂

    בברכה, יש ספק אין-ספק

    1. אתה לא לוקח סיכונים? מתיישר לפי העמדות הכי מחמירות בין כל רבני זמנינו והעבר? אם אתה מתחיל לערב יותר מידי סברות זה מה נראה לך אישית נכון אז ביטלת את כל ההימור.

      1. התורה לא ציוותה לחוש לכל השיטות (לעמרם)

        בס”ד י”א באלול תשא”ף

        לעמרם – שלום רב,

        התורה לא ציוותה לחוש לכל הדיעות אלא להגיע להכרעה של ‘השופט אשר יהיה בימים ההם, ובמחלוקת הולכים אחר רוב החכמים, ככתוב ‘אחרי רבים להטות’. כשהי בית גדול בלשכת הגזית – היתה הכרעה מיידית ומהירה.

        משנתפזר העם לגלויות נעשתה ההכרעה קשה יותר, אך עדיין קמו במהלך הדורות ‘חתימות’ שהביאו לקוסנזוס רחב. כך חתימת המשנה, התלמוד והשו”ע שהביאו להסכמות רחבות המהוות בסיס לדורות הבאים. השאיפה היא להגיע לכינוס השיטות ולהכרעה ע”פ ‘הדיעה המוסכמת לרוב הפוסקים’ (ראה למשל דברי הגר”י נסים, שו”ת יין הטוב ח”ב, יו”ד סי’ יא).

        מובן שאי אפשר להשליח את כל יהבנו רק על ‘ההימור הפסקלי’, שאינו יכול להכריע איזו דרך היא הצודקת לעבוד את ה’. אך הסברא של פסקל נותנת אינדיקציה חזקה לחיפוש אחרי ‘מנהיג לבירה’ הדורש מהאדם להתנהג בהתאם, ומשנמצא עם שלם, ביקורתי ו’קשה עורף’ שחווה התגלות אלקית עוצמתית פומבית, ושעדותו היציבה מחזיקה מעמד על פני דורות רבים ולמרות גלויות ורדיפות, ומביאה לקיומו הפלאי של עם התורה למרות כל הסיכויים – יש כאן אידיקציה חזקה שיש כאן דבר אמיתי.

        בברכה, ירון פיש”ל אורדנר

        הטענה כנגד ספקנות משתקת, היא טענתה של מרים כלפי עמרם שפירש מאשתו בשל גזירת ‘כל הבן הילוד’. כנגד זה טענה מריים שכשם שיש לחוש שהיילוד יושלך ליאור, יש לחוש שמא תיוולד בת ושמא יוולד בן שיצליחו להסתירו. ה’הימור הפסקלי’ להביא ילדים למרות הסיכוי הגדול שלא יהיו בני קיימא – הוא שהביא לעולם את מושיעם של ישראל, שניצל באורח פלאי למרות הסיכוי הקלוש שיתרחש ניסא.

  10. היה לנו דיון על זה בעבר כבר כאן: https://mikyab.net/posts/64124#comment-27350
    אבל אני אזכיר כאן שוב שככל שיש לאדם יותר כסף התועלת שלו פוחתת (תועלת שולית פוחתת). לכן הימור שעולה לי דולר אחד ובו אזכה במיליארד דולרים בסיכוי של אחד ל100 מיליון הוא כנראה הימור לא משתלם מבחינת תוחלת התועלת (למרות שמבחינת תועלת הרווח הוא כן משתלם). צריך להתחשב בזה בדוגמאות הכספיות. לגבי רווח רוחני שם התועלת הרוחנית לא בהכרח פוחתת ככל שהיא גדולה יותר ולכן יש פה הבדל חשוב ביחס לדוגמאות הכספיות.

השאר תגובה