על גרירה סטטיסטית ודטרמיניסטית (טור 402)

בס"ד

לפני כמה ימים נשאלתי בשו"ת באתר את השאלה הבאה:[1]

הלוגיקה של הטיעון הזה מבוססת על כלל לוגי פשוט וידוע: אם נתון X -> Y (X גורר את Y, או: אם X נכון אז בהכרח Y נכון), אזי מתקיים בהכרח גם Y -> X (כלומר אם Y אינו נכון זה גורר בהכרח ש-X אינו נכון). ההוכחה לזה היא בדרך השלילה. נניח ש-X כן היה נכון, זה היה גורר את Y (מתוך ההנחה), אבל נתון לנו שלא Y. הגענו לסתירה, ולכן ההנחה שהובילה לסתירה (ש-X נכון) בהכרח נשללת. זהו הכלל המכונה בלוגיקה 'מודוס טולנס' (Modus Tolens), או בקיצור MT (שלילת הסיפא).

אם כן, דווקא לשיטתי הגורסת שאין מעורבות אלוקית אקטיבית בעולם, באמת מתבקשת המסקנה שכנראה אין אלוקים. אעיר כי  זה כנראה גם מה שעומד בבסיס ההתעקשות של רבים וטובים להניח שיש מעורבות אלוקית בעולם (בלי שיש לכך אינדיקציה כלשהי, וכשכל המציאות ותפיסתנו הפשוטה לגביה אומרות את ההיפך הגמור). אני מעריך שזה נובע, בין היתר, מהחשש שאחרת הם יימצאו עצמם נאלצים להגיע למסקנה שאין אלוקים. אם כן, לפחות מבחינתי זו סיבה לא פחות טובה לפרוך את הטיעון האתאיסטי-דוסי הכושל הזה.

בתשובתי לשאלה הזאת עניתי כך:

מכיוון שהשאלה הזאת מבוססת על לוגיקה מאד נפוצה ומאד מבלבלת (גם באתר כאן היא חוזרת בצורות שונות לא פעם, ראו למשל כאן), חשבתי שמן הראוי להסביר מעט יותר את תשובתי.

אנליזה ראשונית: בין גרירה קשיחה לגרירה רכה

לצורך הדיון כאן אתעלם מסעיף 1 בתשובתי, ואניח שאכן סביר שאם אלוקים קיים הוא אכן יהיה מעורב בעולם. הלוגיקה של הטיעון האתאיסטי בשאלה לכאורה מסתמך על הכלל MT. אז מה בכל זאת בעייתי שם? מילת המפתח כאן היא "סביר". הלוגיקה של כלל MT שתיארתי למעלה עוסקת בגרירה דטרמיניסטית, כלומר בגרירה קשיחה (שאם A אז בהכרח B). השאלה האתאיסטית, לעומת זאת, עוסקת בגרירה סטטיסטית, כלומר רכה (שאם A אז סביר ש-B). למרבה ההפתעה, כפי שנראה כעת, זה מה שעושה את כל ההבדל. לצורך כך, אתן כאן כמה הקדמות פשוטות מתורת ההסתברות. אציין כי בכמה טורים קודמים כבר השתמשתי בנוסחת בייס ובהסתברויות מותנות, אבל כאן אנסה להסביר אותם בשפה פשוטה וברורה כי זה מוקד העניין.

הסתברות מותנה

כדי להבהיר את המושג, ניטול כדוגמה את השאלה הבאה:

• מה הסיכוי שקובייה הוגנת תיפול על הפאה 5?

התשובה היא 1/6 כמובן.

כעת אני שואל שאלה אחרת:

• בהינתן שהתוצאה היא אי-זוגית, מה הסיכוי שנקבל 5?

כאן התשובה היא 1/3 כמובן.

מה ההבדל בין שני הניסוחים? הניסוח השני עסק בשאלה מותנה: בהינתן נתון כלשהו, מה הסיכוי לאותו אירוע. המידע הנוסף שבנתון עשוי לשנות את התשובה, וכך אכן קורה כאן. זה מה שמכונה "הסתברות מותנה".

נבין זאת אם נזכור שהסתברות מבוססת על ספירת האפשרויות הנבחנות מתוך כלל האירועים האפשריים. בניסוח הראשון יש בסך הכל 6 אירועים אפשריים (6 תוצאות של הטלת הקובייה), והאפשרות הנבחנת היא רק  אחת מתוכן: התוצאה 5. לכן הסיכוי הוא 1/6. לעומת זאת, בניסוח השני מספר האפשרויות ירד ל-3 (יש רק שלוש תוצאות אי זוגיות), ולכן הסיכוי לקבל אחת מהן עלה ל-1/3. אציין כי תוספת מידע (הנתון הנוסף) תמיד מורידה את מספר האפשרויות הכללי, ולכן גם מגדילה את ההסתברות לתוצאה הסופית. ומכאן שהסתברות מותנה תמיד גדולה מהסתברות מוחלטת.

דוגמה אקטואלית

ממש הבוקר (ב) ראיתי כותרת שעסקה בסדרת הגמר של ה-NBA שמתנהלת בעצם האמשים הללו בין פניקס למילווקי (חוויה מומלצת מאד). בשלב כלשהו פניקס הובילו 2:0, והלילה מילווקי צמצמה ל-2:1. פרשנים אמרו שבכל תולדות גמרי ה-NBA היו רק ארבע קבוצות שחזרו מפיגור 0:2 וניצחו את הסדרה, ואם מילווקי תצליח לעשות זאת זה יהיה הישג ייחודי ומרשים מאד. אם היו 100 סדרות גמר, לכאורה מדובר בסיכוי של 4/100. אבל זה לא נכון. הדברים הללו נכתבו אחרי שמילווקי כבר ניצחה פעם אחת וצמצמה ל-2:1. במצב כזה הערכת הסיכוי שזה יקרה אמורה להשתנות. יש לנו מידע נוסף. אם רוצים להעריך כעת את הסיכוי שלהם להפוך את הסדרה לטובתם, צריך לבחון כמה קבוצות חזרו מ-2:1 ולא כמה חזרו מ-2:0. במילים אחרות, מתוך 100 סדרות גמר שנערכו עד היום היו 4 קבוצות שהיו בנחיתות 2:0 וניצחו. אבל היו מצבים שבהם הסדרות בכלל לא הגיעו למצב של 2:0. נניח לצורך הדיון שמתוך 100 סדרות הגמר היו 30 שבהם קבוצה אחת הובילה 2:0. מתוכן היו 4 קבוצות שהפכו את הסדרה. אם כן, הסיכוי הוא 4/30 ולא 4/100.

אבל זה לא הכל. מתוך 30 הסדרות הללו, היו 10 שבהן התוצאה התקדמה מ-2:0 ל-2:1. אם נניח שכל ארבע הקבוצות שהפכו את הסדרה כלולות ב-10 הללו, הסיכוי עולה ל-4/10 (זה כבר כמעט 1/2. תודו שזה נראה כבר הרבה פחות מרשים ומפתיע). אבל גם זה לא כל הסיפור, שהרי היו גם כמה קבוצות אחרות שהיו בנחיתות 2:1 בלי שעברו דרך 2:0. אולי צריך לצרף גם אותן לחישוב?

בקיצור, הערכת הסיכוי להתקדם במקרה זה לגמרי לא פשוטה. לענייננו, מה שחשוב הוא שבהינתן שכעת אנחנו כבר ב-2:1 לא נכון לשערך את הסיכוי להיפוך התוצאה כ-4/30. ההסתברות הרלוונטית היא ההסתברות המותנה, של קבוצה שהייתה בפיגור 2:0 וצמצמה ל-2:1, וכעת עלינו לשאול כמה מתוך הקבוצות הללו הגיעו בסוף גם להיפוך הסדרה. ראינו שהסיכוי הזה גדול הרבה יותר. כאמור, כשיש מידע נתון נוסף (שהסדרה כבר הגיעה ל-2:1) מספר האפשרויות קטן יותר, ולכן ההסתברות המותנה גדולה יותר.[2]

הקשר בין ההסתברות המותנה להסתברות של הנתון

מכאן עולה בבירור שקיים קשר בין ההסתברויות הרגילות של המידע הנוסף שנתון לנו (כמו ההסתברות שהתוצאה תהיה אי זוגית, שהיא 1/2) לבין ההסתברויות המותנות שקשורות אליו. לדוגמה, כל אחד יכול להבין שהקשר בין ההסתברויות בשני הניסוחים שהצגתי יהיה תלוי בדרך כלשהי בהסתברות לכך שהתוצאה אי זוגית. ניתן לראות זאת בקלות אם נבחן ניסוח שלישי:

• בהינתן שהתוצאה גדולה מ-4, מה הסיכוי שנקבל 5?

כאן מספר האפשרויות הוא 2 (או תוצאה 5 או 6), ולכן הסיכוי לאפשרות אחת מתוך השתיים הוא 1/2. הסיכוי לקבל 5 כאן גדול יותר מזה שהתקבל בניסוח ב, וזאת מפני שההסתברות לכך שהתוצאה תהיה גדולה מ-4 היא רק 1/3, כלומר קטנה יותר מהסיכוי שהתוצאה תהיה אי-זוגית (שהוא 1/2). רואים כאן שיש יחס הפוך בין ההסתברויות הרגילות של הנתון לבין ההסתברויות המותנות של התוצאה (ככל שההסתברות הנתונה גדולה כך ההסתברות המותנה קטנה). לפחות בדוגמה הזאת זה גם נשמע מאד הגיוני.

לצורך ההמשך אסמן כעת את ההסתברויות השונות כך: P(A) מסמן את ההסתברות (Probability) של האירוע A. הסתברות מותנה של אירוע A בהינתן B, תסומן כך: P(A/B). לדוגמה, אם הנתון B הוא שהתוצאה גדולה מ-4, אזי: P(B)=1/3, וההסתברות המותנה לקבלת התוצאה 5 (זהו האירוע A) היא: P(A/B)=1/2. [שימו לב שבסימון ההסתברות המותנה אני משתמש בקו שבר, אבל במשמעות שונה. כך אשתמש בזה מכאן ולהבא כשזה יופיע בתוך סוגריים של הסתברות. בכל מקרה אחר, זהו קו של חילוק רגיל.]

רק כדי להשוות, בשאלה שבניסוח ב האירוע הנתון B הוא שהתוצאה אי זוגית, וההסתברות שלו היא: P(B)=1/2. ההסתברות המותנה שמתקבלת למקרה זה היא: P(A/B)=1/3. הקשר לניתוח של ניסוח ג נראה פשוט וברור, אבל אל תמהרו להתרשם. זהו מקרה מאד פשוט ואינטואיטיבי. במקרים אחרים הקשר מורכב יותר, אבל עדיין ההיגיון היסודי תמיד דומה למה שהצגתי כאן.

נוסחת בייס

עד כאן זה נשמע פשוט למדיי. מה שמבלבל אנשים ביחס להסתברות מותנה הוא שבניסוח לא קפדני של בעיה נתונה (בחיים, בפילוסופיה, או בכל תחום אחר) לא תמיד קל לשים לב שמדובר בהסתברות מותנה ולא בהסתברות רגילה. וגם אם שמים לכך לב, לא קל להבין מהו הנתון ומהו המקרה הנבחן. ההבחנה בין שני אלו ממש קריטית, ובה נעוצים בלבולים רבים מאד בשאלות מגוונות מתחומים שונים. כאן המקום להזכיר שבכמה טורים בעבר (144–145 וכן 176) נזקקתי לנוסחת בייס (או: נוסחת ההסתברות השלימה), כשבכולם המטרה הייתה להסיר בלבול כזה. בכל המקרים הללו העוקץ היה ההבנה שמדובר בהסתברויות מותנות, והקושי לזהות מהו המשתנה המותנה ומהו המשתנה המתנה. כפי שנראה בהמשך, זהו המצב גם בשאלה האתאיסטית שהוצגה למעלה.

נוסחת בייס עוסקת בקשר בין הסתברויות מותנות ובקשר בינן לבין הסתברויות רגילות. זוהי נוסחה שימושית מאד, ותוכלו לראות בטורים הנ"ל ובעוד מקומות באתר ובכלל עד כמה היא נחוצה כדי לפוגג בלבולים וקושיות מדומות. נוסחת בייס מטפלת במקרים מורכבים שבהם מעורבים הרבה מאד אירועים שכל אחד מהם יכול להיות מותנה באחרים. אבל לצרכינו כאן די לי לעסוק רק במקרה פרטי אחד, כלומר במקרה של שני אירועים בלבד, שיסומנו: A ו-B. כאמור, הנוסחה קובעת את הקשר בין ההסתברויות של שני האירועים להסתברויות המותנות שלהם זה בזה.

כדי להבין את הנוסחה, עלינו להקדים את ההסתברות שנקבל שני אירועים יחד, שמסומנת כך: P(A^B). אם שני האירועים A ו-B הם בלתי תלויים זה בזה, אזי ההסתברות לקבל את שניהם  היא מכפלת ההסתברויות המוחלטות של כל אחד מהם, P(A)*P(B). כך, למשל, הסיכוי לקבל 5 ובהטלה הבאה לקבל שוב פעם 5, הוא: 1/6*1/6=1/36. אבל אנחנו עוסקים כאן באירועים שכן תלויים זה בזה (ראינו למעלה שהסיכוי לקבל תוצאה 5 תלוי בשאלה האם בהטלה הזאת עצמה התקבלה תוצאה אי זוגית או תוצאה גדולה מ-4). במקרה כזה הסיכוי לקבל את שני האירועים הוא:

P(A^B) = P(B/A)*P(A)=P(A/B)*P(B)

כאשר האירועים בלתי תלויים, ההסתברויות המותנות שוות להסתברויות המוחלטות: P(A/B)=P(A) ו-P(B/A)=P(B), ואז אתם מקבלים את התוצאות הקודמות.

השוויון הימני בנוסחה האחרונה נותן לנו את נוסחת בייס, וחשיבותו היא בכך שאם יש לנו הסתברות מותנה אחת, למשל P(A/B), ניתן להפוך את כיוונה ולשאול מה ההסתברות המותנה ההפוכה: P(B/A). כעת גם תוכלו לראות שהיחס בין ההסתברויות הללו תלוי בהסתברויות המוחלטות של שני האירועים, כל אחד לחוד, בדיוק כמו שראינו בדוגמאות שהובאו שלמעלה. אם אחד מהם גדול זה לא אומר שבהכרח גם השני גדול, ולהיפך.

למעלה הוצג טיעון אתאיסטי שמבוסס על גרירה רכה. כעת אנחנו בשלים להבין מדוע הכלל MT, שתקף לגבי גרירה קשיחה, לא בהכרח חל בגרירה רכה. אבל לפני כן אציג את הכשל בטיעון האתאיסטי הזה מזווית שונה.

טיעונו של האתאיסט מניח את המבוקש

אם ההסתברויות המוחלטות, P(A) ו-P(B), שוות זו לזו, אזי ניתן לצמצם אותן ואז גם ההסתברויות המותנות שוות זו לזו. במצב כזה ניתן להסיק שאם זו גדולה גם ההיא גדולה, ולכן אם זה סביר אזי גם זה סביר. במקרה כזה ניתן ליישם את MT גם על גרירה רכה. אבל כשההסתברויות הללו אינן שוות, המצב מסתבך.

כדי לנתח את השאלה במונחי נוסחת בייס, נתחיל בזיהוי המשתנים שלנו. ההנחה של האתאיסט היא שאם אלוקים קיים (אירוע A) אז סביר שהוא מעורב (אירוע B). כלומר הוא מניח ש-P(B/A) גבוה. אבל כעת שימו לב שהמסקנה שלו עוסקת בכיוון ההפוך: היא מניחה שהוא לא מעורב ומסיקה מכאן שסביר שהוא לא קיים.

יש לציין כי במקרה שלנו P(A/B) הוא 1, שכן אם הוא מעורב אז הוא ודאי קיים. מעבר לזה, הסיכוי האפריורי שהוא קיים, P(A), גם הוא גבוה מאד (זהו סעיף 2 בתשובתי למעלה). אבל אם כך, נוסחת בייס נותנת לנו:

P(B/A) = P(B)/P(A)

המסקנה היא שההנחה האתאיסטית-דוסית שלפיה P(B/A) הוא גבוה פשוט אינה נכונה.

כמובן שאם תניחו סבירות גבוהה לכך שאלוקים לא קיים, כלומר ש-P(A) נמוך, כלומר מתקרב לסיכוי למעורבות שלו P(B) (שגם הוא קטן),[3] אזי תקבלו שההסתברות המותנה גבוהה, אבל זו הנחת המבוקש, שכן כבר הנחתם שלא סביר שאלוקים קיים.

מהי אם כן המסקנה שעלינו להסיק במצב כזה? כפי שראינו, אפשר להניח מה שרוצים ולקבל מסקנה עקבית. אם כן, טיעונו של האתאיסט שרצה להוכיח שלא סביר שאלוקים קיים נפל.

בחזרה לגרירה סטטיסטית (רכה)

זה היה הסבר לגופה של השאלה. כעת אנסה לתפוס את השור בקרניו ולהראות את המסקנה הכללית שלה מוקדש הטור: אין ליישם את הכלל MT לגבי גרירה רכה. אנחנו בעצם מחפשים את ההסתברות המותנה שאם הוא לא מעורב אז הוא לא קיים: P(A/B). השואל הסיק שאם P(B/A) גבוה אז בהכרח גם הסיכוי הזה צריך להיות גבוה.

חשוב להבין שזהו בדיוק היישום של הכלל MT על גרירה רכה. גרירה קשיחה אומרת שאם A אז בהכרח B. גרירה רכה אומרת שאם A אז סביר ש-B. במילים אחרות היא אומרת שההסתברות המותנה P(B/A) היא גבוהה. השאלה היא האם לפי הכלל MT מותר לנו להסיק מכאן שהגרירה הרכה ההפוכה גם היא נכונה, כלומר שההסתברות המותנה P(A/B) גם היא גבוהה. הבה נבדוק האם נכון באמת להניח זאת.

תחילה עלינו לבטא את ההסתברות המותנה הזאת במונחי P(A) ו-P(B). כאן פשוט נחליף את המשתנים בנוסחת בייס:

P(B/A)*P(A)=P(A/B)*P(B)

כמובן שמתקיימים הקשרים:

P(A) = 1 – P(A)  ;  P(B) = 1 – P(B)

(ההסתברות שאלוקים קיים + ההסתברות שאינו קיים = 1, וכך גם לגבי מעורב ולא מעורב.)

שימו לב שלאור מה שראינו למעלה, הסיכוי השמאלי מאד נמוך (יש ראיות טובות לכך שאלוקים קיים, בלי קשר למעורבותו בעולם) והימני מאד גבוה (אין אינדיקציה לכך שהוא מעורב בעולם). בנוסף, ההסתברות המותנה ההפוכה היא כמובן: P(B/A)=1, שהרי אם הוא לא קיים הוא לא יכול להיות מעורב.[4]

אם נציב כעת את שלושת הנתונים אלו בנוסחת בייס, נקבל:

P(A/B) =  P(A)/P(B)

שהוא כמובן מספר נמוך מאד (מספר קטן חלקי מספר גדול).

מה קיבלנו? שתי מסקנות חשובות לגבי יישום הכלל MT על גרירות רכות:

• גם בלי להניח מאומה על ההסתברויות המוחלטות, ניתן להסיק מכאן שהמעבר MT בגרירה רכה אינו הכרחי ואסור לנו להניח אותו סתם כך.
• לאור השיקולים שהצגתי (סעיף 2 בתשובתי אליו) ברור אפריורי שבמקרה שלנו P(A) גבוה ו-P(B) נמוך, ולכן כאן זה גם לא נכון ולא רק שאינו הכרחי.

המסקנה לגבי טיעונו של האתאיסט היא שגם אם נאמץ את ההנחה שאם אלוקים קיים אז סביר שהוא מעורב, אין שום הכרח שהכיוון המנוגד שמתקבל על ידי הכלל MT, כלומר שאם הוא לא מעורב אז סביר שהוא לא קיים, גם הוא בסבירות גבוהה. להיפך, כפי שראינו משיקולים אפריוריים יוצא שההסתברות הזאת נמוכה מאד במקרה שלנו.

הראינו כאן שגרירה סטטיסטית רכה לא כפופה לכלל MT, למעט מקרים מאד מסוימים. כעת נצביע על השלכה נוספת של התובנה הזאת, ובעצם נקשור אותה לדיונים קודמים שערכנו (מעבר לטורים שעוסקים בנוסחת בייס שכבר הפניתי אליהם למעלה).

פרדוקס העורבים

לפני כשנתיים הגיעה אליי לאתר שאלה על פרדוקס העורבים של המפל. ברקע הדברים אזכיר שקרל פופר טען שתיאוריה מדעית ניתן רק להפריך ולא להוכיח. לדוגמה, התיאוריה שכל העורבים הם שחורים לא ניתנת להוכחה (אלא אם בדרך כלשהי תצליח לוודא שצפית בכל העורבים, וגם אז התיאוריה מפסיקה להיות תיאוריה ונעשית טענה תצפיתית). אבל די בעורב אחד שאינו שחור כדי לפרוך אותה. פילוסופים אחרים של המדע טענו כנגד פופר שגם אם לא ניתן להוכיח תיאוריה מדעית, ניתן לאשש אותה. כל עורב שבו נצפה וניווכח שהוא שחור, מחזק או מאשש את התיאוריה שלנו (גם אם לא מוכיח אותה).

קרל המפל תקף את מושג ה'אישוש' באמצעות הפרדוקס הבא. הטענה "כל העורבים הם שחורים" שקולה לטענה "כל מה שאינו שחור אינו עורב". זהו יישום של מיודענו, הכלל MT כמובן. אם כן, לטענת הדוגלים באפשרות של אישוש לתיאוריה מדעית יוצא דבר מוזר. איך מאששים את התיאוריה "כל מה שאינו שחור אינו עורב"? צופים באובייקטים שאינם שחורים, ובודקים האם הם עורבים או לא. עולה מכאן שכל שולחן ורוד שצפינו בו מאשש את התיאוריה שכל מה שאינו שחור אינו עורב. אבל זו טענה שקולה לטענה כל העורבים הם שחורים. נמצאנו למדים שצפייה בשולחן ורוד מאששת את הטענה שכל העורבים הם שחורים. זה נשמע מאד מוזר.

כבר הסברתי בעבר (ראו בטורים 221 ו-87 ) היכן הכשל בטיעון הזה. כאן ברצוני רק להצביע על הקשר בין הכשל ההוא לבין הדיון בטור הזה. שימו לב שטענה לגבי אישוש עוסקת בסבירות ולא בטענות מוחלטות. מציאות עורב אחד שחור מאששת את הטענה שכל העורבים הם שחורים, כלומר שאם ראינו עורב אחד שחור, אזי סביר (יותר) שכל העורבים הם שחורים. זה בדיוק מה שהגדרתי כאן כגרירה רכה. אם כן, אל לנו להתפלא שהכלל MT לא בהכרח חל לגביה, כלומר שאישוש לטענה השקולה לה באופן רך אינו בהכרח מאשש את הטענה הזאת.

בניסוח ההסתברותי, ניתן לבטא זאת ככך. הטענה שאם משהו הוא עורב אז סביר (אבל לא בטוח) שהוא שחור, לא שקולה לטענה שאם משהו אינו שחור סביר שהוא אינו עורב. הכלל MT לא חל על גרירות רכות. ומכיוון שלפי פופר והמפל (וגם לפי האמת כמובן) חוקי הטבע אינם טענות הכרחיות אלא טענות סבירות, חשוב מאד להיזהר בהפעלת הכלל MT לגביהן. בניסוח אחר, כשמדברים על הסתברויות של טענות ולא על אמיתותן, אזי מדד לסבירותה של הטענה השקולה (כל מה שאינו שחור אינו עורב) לא בהכרח עומד ביחס ישר לסבירותה של הטענה המקורית (כל עורב הוא שחור).[5]

עוצמת הקשר הזה כמובן תלויה בהסתברויות של עצמים להיות שחורים או עורבים (ההסתברויות המוחלטות). ככל שיש יותר עצמים שהם עורבים או עצמים שאינם שחורים הקשר של MT כמובן פחות חזק. וזהו בדיוק הכשל עליו הצבעתי בטורים הנ"ל. קל לראות שגם הדוגמאות הנוספות שנדונו בטורים הללו קשורות לטענתי כאן לגבי הפעלת הכלל MT על גרירות רכות.

בחזרה ליישום של MT על גרירה רכה: סיכום והדגמה

זוהי תוספת אחרי שראיתי בטוקבקים שיש חוסר הבנה לגבי טענותיי האחרונות. הצעתי כאן שני ניסוחים לדחות את הטיעון של האתאיסט. הטיעון הראשון מראה שהוא  מניח את המבוקש והשני מסביר שאין ליישם את MT על גרירה רכה. אבהיר ואחדד כעת את שניהם שוב, כאשר הפעם אשתמש בפרדוקס העורבים שיסייע לי בכך.

בטוקבקים הציגו את טיעונו של האתאיסט באופן הבא. הראיתי בטור שמתקיים

P(B/A) = P(B)/P(A)

אם מניחים (והסכמתי לזה לצורך הדיון) ש-P(B/A) הוא גבוה, וגם ש-P(B) הוא נמוך (וגם לזה אני מסכים), יוצא מכאן בהכרח ש-P(A) נמוך. על כך עניתי שזה נכון אבל חסר ערך, שכן האתאיסט מניח את המבוקש. אני כמאמין טוען ש-P(A) הוא גבוה (כי יש ראיות טובות מאד לקיומו של אלוקים בלי קשר לשאלת מעורבותו בעולם). ומכאן שאני נמצא בסתירה לאור הנוסחה האחרונה. יש שתי אפשרויות: א. לוותר על ההנחה ש-P(B/A) גבוה. ב. לוותר על ההנחה ש-P(A) גבוה. אי אפשר לחיות עם שתיהן. האתאיסט בטיעונו מניח ש-P(A) הוא גודל פתוח ולכן מאמץ את אופציה ב. ואני חושב שהראיות לקיומו מצוינות ולכן מאמץ את אופציה א (ובכך כמובן נאלץ לוותר על ההנחה שההסתברות המותנה גבוהה). לכן טענתי שהוא מניח את המבוקש. זה יסוד טענה 2 בתשובתי אליו שהובאה בתחילת הטור.

בניסוח השני של הדחייה שלי לטיעון האתאיסטי הראיתי שאין ליישם את MT על גרירה רכה. כעת חשבתי על המחשה טובה לכך. לשם כך אטול את פרדוקס העורבים שניתחתי בסוף הטור, כי הוא מאפשר לי לעשות חישוב מספרי מפורש ולהוכיח את טענתי לגבי MT. נניח לצורך הדיון שהסיכוי לכך שאם משהו הוא עורב אז הוא שחור הוא גבוה. האם ניתן לגזור מכאן שגם הסיכוי לכך שאם משהו אינו שחור הוא לא עורב – הוא גבוה? הבה נניח שיש 1000 עורבים בעולם, ומתוכם 990 שחורים. חוץ מהם יש עוד 10 עצמים בעולם, שמתוכם 9 שחורים. כעת נוכל לחשב את הסיכוי לכך שאם X הוא עורב אז X הוא שחור. התוצאה היא: 0.99. גבוה מאד. ומה הסיכוי לכך שאם X אינו שחור הוא אינו עורב? התוצאה כאן היא: 0.1, נמוך למדיי. וההסבר לפער הזה הוא כמובן הסיכוי האבסולוטי הגבוה מאד להיות עורב (כמעט 1), והסיכוי האבסולוטי הקטן מאד להיות לא שחור (0.01). זה בדיוק המצב בדיון התיאולוגי, אלא ששם קשה להראות זאת בחישוב המספרי.

[1] מאד אהבתי את הבס"ד בפתיח. זה כמובן מזכיר לי את תפילתו של אנסלם בתחילת הראיה האונטולוגית שמובאת בפרוסלוגיון שלו. ראו על כך בתחילת המחברת הראשונה, או בתחילת השיחה הראשונה בספרי המצוי הראשון.

[2] אמנם אם הדיון הוא על ההערכה שמגיעה לקבוצה על רוח הלחימה והעמידות, אז כל זה אינו רלוונטי. ואם בסופו של דבר הם יצליחו אז יהיה נכון לומר שהם שייכים לחמש הקבוצות שעלו מ-2:0, לא נשברו והפכו את התוצאה. ההערכה המגיעה להם כן נקבעת לפי השערוך של 4/30.

[3] לעולם הסיכוי שהוא קיים גדול מהסיכוי שהוא מעורב, שכן כדי שהוא יהיה מעורב צריך בפרט שהוא יהיה קיים, וגם אז לא בטוח שהוא מתערב. לכן ההסתברות המותנה כאן תמיד קטנה מ-1 כפי שהיינו מצפים מהסתברות.

[4] אגב, זה גופו יישום של הכלל MT, אלא שכאן הוא מיושם על גרירה קשיחה ולכן זה לגיטימי. ההסתברות המותנה P(A/B) = 1. פירוש הדבר שטענת הגרירה אם הוא מעורב אז הוא קיים, היא גרירה קשיחה (כי לא מדובר בסבירות אלא בהיסק מוחלט: ההסתברות שלה 1). לכן ניתן להסיק מכאן לפי הכלל MT שאם הוא לא קיים אז הוא לא מעורב, כלומר שגם ההסתברות המותנה P(B/A) = 1.

[5] ישנה כאן נקודה עדינה מאד. אם יש שתי טענות שקולות לוגית, אזי ההסתברות של האחת חייבת להיות בדיוק שווה  להסתברותה של האחרת, שהרי מדובר באותה טענה. לכן ברור שחייב להתקיים: P(A -> B) = P(B -> A). טענתי למעלה עוסקת ביחס אחר. היחס בין הטענה A -> P(B) (אם משהו הוא עורב סביר ברמהP  שהוא שחור) לבין הטענה B -> P(A) (אם משהו אינו שחור סביר ברמה P שאינו עורב). הניסוח למעלה אינו מדויק אבל נקטתי בו למען הפשטות והבהירות.