האם כדאי ללכת להצביע: מבט נוסף על סטטיסטיקה שבדיעבד (טור 210)

בס"ד

קיבלתי היום באתר שאלה אקטואלית בעקבות מניית קולות החיילים:

בכמה מקומות קראתי בשמך שרציונלית אין למה ללכת להצביע, שהרי הסיכוי שקול אחד ישפיע זה אפסי. והנה בבחירות הללו בנט עומד על חודו של קולו. מה אתה אומר על כך?

מכיון שהשאלה כל כך נפוצה והיא נוגעת למהותם של כמה כשלים הסתברותיים שכבר עלו כאן לא פעם, החלטתי במקום לענות לשואל להקדיש לה טור קצרצר ולהעלות אותו לאתר לכבוד הבחירות שחלפו זה עתה ולתפארת מדינת ישראל.

הטיעון שלי

כוונת השואל לתקוף את טענתי (ראו טור 122 ובטור הבעל"ט) שמבחינה תוצאתית אין טעם ללכת להצביע כי קול אחד אינו משפיע. הסיכוי שתהיה השפעה הוא בערך 1 חלקי מספר הקולות ששווה מנדט אחד (מעל 30,000 קולות). ההסבר לכך פשוט: הקול הבודד שלי משפיע אך ורק במקרה שמספר הקולות שזוכה לו המפלגה שאני חפץ ביקרה בלעדיי הוא מספר ששווה בדיוק למספר מנדטים עגול פחות קול אחד. במקרה כזה, ורק בו, הקול שלי יכול לשנות את המצב. ברור שהסיכוי לקבל תוצאה כזאת (בהנחה שהתפלגות התוצאות האפשריות היא אחידה. לא מדויק אבל הנחה סבירה לצרכינו) הוא, כאמור, בערך 1/30,000. על סיכוי מסדר גודל כזה אנשים מוכנים לסכן את חייהם מדי יום (לצאת לכביש). לא הייתי משקיע בו שניה מחיי.

ועוד לא התחשבנו בכך שבנדון דידן מדובר על חציית אחוז החסימה ולא סתם שינוי בתוצאה, ולכן מדובר ברזולוציה של ארבעה מנדטים ולא אחד בלבד (עמד עלינו לכלותנו). זה כמובן מוריד את הסיכוי להשפיע עוד יותר.

נשוב כעת לשאלה.

טיעון מקדים

קודם כל אציין שלא מדובר כאן על תלות בקול בודד ממש. "קולות בודדים" לעניין זה, הם מאות או אלפים. כל עוד המצב אינו שהתלות היא בקול בודד ממש (כלומר כאשר מספר הקולות הוא בדיוק מספר מנדטים עגול), אין כאן אפילו דוגמה נגדית. מה ההבדל בין תלות ב-300 קולות לבין תלות ב-12,547 קולות? כל אחת מאלו היא תוצאה אחת מתוך 30,000 אפשריות.

אבל לצורך הדיון כאן אניח שאכן התקבלה התוצאה המדהימה שבה הקול הדל והבודד שלי מעביר את בנט ושקד מעבר לאחוז החסימה. האם זה כן היה מוכיח משהו נגד טענתי?

חוק המספרים הקטנים

בטור 38 עמדתי על כך שדוגמאות נגדיות הן טיעון מסוכן שחשוף ללא מעט הטיות. באופן כללי, כדי שדוגמה נגדית תהיה טיעון היא צריכה להיות מייצגת. לעתים יש לה מאפיינים ייחודיים ולכן היא לא מלמדת על העיקרון הכללי. הבאתי שם דוגמאות מרפואה אלטרנטיבית ומתופעת 'שוברים שתיקה'.

אבל כאן נראה לכאורה שהדוגמה מייצגת. אין בה שום מאפיין ייחודי, ולכן לכאורה היא מראה שהטיעון שלי, שתוצאה כזאת לא שווה מאמץ, אינה עומדת במבחן העובדות.

הרב שך על אנטבה

חביב בעיניי לפתוח בטיעון של הרב שך לגבי מבצע אנטבה. באגרות ומכתבים שלו סי' ב מובא שהוא נשאל שאלה דומה לגבי מבצע אנטבה. בדיונים שלפני הוא כנראה התנגד למבצע בטענה שיש כאן סיכון של חיי חיילים למען סיכוי הצלחה קלוש. לאחר שהמצבע הצליח באו אליו והוכיחו לו שהוא טעה, שהרי המבצע הצליח. הרב שך ענה תשובה בת אלמוות: גם אני טענתי שיש סיכוי 5% להצליח, אבל 95% להיכשל. כשאומרים שיש 5% להצליח פירושו שלפעמים זה מצליח, אבל בנתונים ששררו לפני המבצע נכון היה לא לצאת אליו. זו חכמה שבדיעבד.

שימו לב, אין כוונתו להצדיק את טעותו בכך שרק אחרי המבצע נעשינו יותר חכמים. הוא טוען שזו כלל לא הייתה טעות. בנתונים שהיו לפני המבצע לא נכון היה לצאת אליו. מה שקרה אחר כך לא הוכיח מאומה לגבי השיקול הזה. פשוט התממש כאן הסיכוי של ה-5%.

דוגמת הקוביה

זה בדיוק כמו בוויכוח בין ראובן לשמעון לגבי תוצאות של הטלת קוביה הוגנת. ראובן טוען שייצא חמש פעמים רצופות 3, ושמעון טוען שזה לא סביר. הטילו את הקוביה ולמרבה הפלא יצאה בדיוק התוצאה הזאת. האם זה מוכיח ששמעון טעה? ודאי שלא. החישוב נותר נכון גם אחרי ההטלה, אלא שכן התממש הסיכוי הקטן (שבהגדרה לפעמים יכול להתממש). יש לזכור שכל תוצאה שנקבל מחמש הטלות תהיה בעלת סיכוי קטן מאד אפריורי להתקבל.

אבל יש כאן נקודה חשובה. לגבי דוגמת הקוביה הנחתי שידוע כי הקוביה הוגנת והוויכוח הוא רק בשאלת תוצאת החישוב ההסתברותי (מה הסיכוי שייצא חמש פעמים רצופות 3). במקרה כזה התוצאות לא מלמדות מאומה לגבי הוויכוח, כי החישוב האפריורי בעינו עומד. אבל אם הוויכוח בין ראובן לשמעון היה בשאלת ההוגנות של הקוביה (ראובן טען שהיא לא הוגנת ושמעון טען שכן), במקרה כזה תוצאות ההטלה בהחלט מאששות את טענתו של ראובן (אם כי כמובן לא באופן מוחלט).[1]

בחזרה לאנטבה

אם נשוב לאנטבה, לכאורה גם שם העניין תלוי בשאלה על מה נסב הוויכוח. אבל כעת נראה שלא בדיוק. אם הוויכוח היה על ההצדקה לצאת למבצע בחישוב הסתברותי נתון ומוסכם, התוצאה כמובן לא מוכיחה מאומה. ואם הוויכוח היה על עצם החישוב ההסתברותי (מהו סיכוי ההצלחה), כאן יש מקום לדון. לכאורה זה עדיין לא מוכיח מאומה כי התוצאה יכולה להיות מקרית. אבל זה לא מדויק. כדי להבין זאת עלינו לשים לב שהחישוב ההסתברותי במקרה זה מסובך הרבה יותר מזה של הקוביה. החישוב בקוביה הוא ודאי נכון (בהנחה שהיא הוגנת), ולכן אם ראובן חולק עליו הוא פשוט טועה. התוצאה לא יכולה להוכיח שחישוב מתמטי תקף אינו נכון. אבל ביחס למבצע צבאי כמו באנטבה, החישוב מסובך הרבה יותר. לכן כאן יש מקום לוויכוח לגבי התוצאה, ואם המבצע הצליח זה מאשש במידה מסוימת (אם כי כמובן אישוש קטן למדיי) את הטענה שיש סיכוי טוב להצלחתו.

בטורים 144–145 עמדתי על עניין ההסתברות המותנה (ראו גם בטור 176). גם כאן השאלה שעל הפרק אינה מה סיכוי ההצלחה למבצע אנטבה או מה הסיכוי שהקוביה תיפול על רצף של חמש פעמים 3. השאלה היא הפוכה: בהינתן שזה קרה, מה הסיכוי שהקוביה  לא הוגנת (או שחישוב הסיכויים להצלחה במבצע כמו אנטבה הוא כזה וכזה). הקשר הלא טריביאלי והמבלבל בין שתי השאלות הללו נדון בטורים ההם.

ושוב לבנט

הטיעון שלי על חוסר ההשפעה של קול בודד מתואר למעלה. כעת מגיעות תוצאות האמת ואנחנו נוכחים לראות שמפלגת הימין החדש עומדת במצב שהיא  תלויה במספר קולות בודדים (איני יודע מה פירוש בודדים. כמה מאות, כמה אלפים. ראו למעלה). האם זה מוכיח שטעיתי?

שוב, לכאורה זה תלוי מה היה הוויכוח מעיקרא. אם הוויכוח היה האם כדאי להשקיע בסיכוי כה קטן, התוצאה לא מוכיחה מאומה. זה קרה מפני שגם סיכוי קטן מתממש, אבל זה לא מוכיח שאפריורי נכון היה להחליט להשקיע מזמני עבור סיכוי כה קטן. ואם הוויכוח היה לגבי עצם הסיכוי, הרי מדובר בחישוב מתמטי כמו במקרה של הקוביה. החישוב הזה הוא טכני לגמרי והתוצאה המעשית לא מוכיחה מאומה לגביו. אם כן, במקרה שלנו מה שלא יהיה הוויכוח התוצאה אינה רלוונטית לגביו.

ובדרך קצרה יותר, כל תוצאה שתקרה בסוף תהיה בעלת סיכוי קטנטן. נניח שהימין החדש היה מקבל 95,437 קולות. הרי הסיכוי לזה הוא אפסי. האם זה מוכיח שחישוב הסיכויים שגוי? לא, זה רק אומר שסיכוי קטן התממש (במקרה זה כל תוצאה היא בעלת סיכוי קטן, ולכן ניתן לומר מראש שכאן יתממש סיכוי קטן. בדיוק כמו תוצאות של מאה הטלות קוביה).

[1] אם היינו מטילים את הקוביה אלף פעמים ובתוך זה מקבלים פעם אחת את הרצף המדובר (חמש פעמים 3) זה כמובן לא היה מוכיח מאומה גם ביחס לוויכוח השני.