ספק מתהפך

לרב מיכי,

בשיעור האחרון בנושא "ספק והסתברות בהלכה" (שיעור 49), הסברת שאם רוצים לנתח ספק הנוצר על ידי שני אירועים, וההסתברויות שלהם הן "הסתברויות מותנות", כלומר, כאשר אירוע אחד תלוי בקיומו של האחר, אזי אפשרי לעשות את ניתוח הסיכויים רק בסדר מסויים של האירועים, והסדר הזה לא ניתן להיפוך. גם ציינת שהסיבה לכך שבמקרה כזה אי אפשר לעשות היפוך, היא בגלל ששני האירועים תלויים זה בזה, וההסתברות לקיומו של אירוע אחד תלוי בקיומו או באי-קיומו של האירוע האחר.

יש לי מספר ההערות ביחס לקביעה הזאת ואחרות.

1. לדעתי, השאלה האם אפשר לעשות היפוך של סדר האירועים או לא, איננה קשורה כלל לשאלה האם האירועים תלויים זה בזה או לא, כי אפשר בקלות להראות שגם במקרה של הסתברויות מותנות, ניתן לעשות היפוך ולחשב בשתי צורות.

ניקח למשל את המקרה של "פתח פתוח מצאתי", והספקות הן האם זה קרה "תחתיו או לא תחתיו" והאם זה קרה "באונס או מרצון", ונגדיר עבור ההסתברויות שזה קרה "באונס  או מרצון", ערכים התלויים בהסתברויות שהבעילה קרתה "תחתיו או לא תחתיו".

למשל, נניח שההסתברות שהבעילה קרתה "תחתיו או לא תחתיו" הוא 0.5 לשתי האפשרויות (כמו שעשית בשיעור). אך, נגדיר שכאשר הבעילה קרתה "לא תחתיו" ההסתברות לאונס היא 0.4 וכאשר היא קרתה "תחתיו" ההסתברות לאונס היא 0.8. כלומר, ההסתברות לאונס תלויה בשאלה האם הבעילה קרתה "תחתיו"  או "לא תחתיו". זה מקרה קלאסי של הסתברויות מותנות.

כעת ברור לחלוטין שהחישוב של הסיכויים יכול להעשות בשתי דרכים.

הדרך הישירה והקלה יותר הוא להתחיל מהאירוע של "תחתיו או לא תחתיו" ולהמשיך עם האירוע של "באונס או מרצון". זאת הדרך הישירה והקלה כי כל ההסתברויות הדרושות לצורך החישוב, נתונות בצורה ישירה. כל מה שצריך זה לבנות את עץ ההסתברויות, להשתמש בנתונים באופן ישיר ולבצע את המכפלות.

אבל, גם ברור שניתן לעשות את החישובים בסדר הפוך, אלא שזה דורש חישובים נוספים מכיוון שההסתברויות של "תחתיו או לא תחתיו" בתלות בהסתברויות של "באונס או מרצון", לא נתונים לנו בצורה ישירה, אלא יש לחשבם. אבל זה מקרה קלאסי ששימוש בנוסחת בייס, מאפשר לחשב את ההסתברויות האלה בקלות רבה.

(אגב, כפי שבהתכתבות קודמת איתך כבר ציינתי, אין צורך בשימוש ישיר בנוסחת בייס. דיאגרמת עץ ההסתברויות שבוצעה עבור החישוב הישיר, מאפשרת חישוב ההסתברויות הנדרשות עבור החישוב בסדר ההפוך, על ידי שיקולים לוגיים, וללא צורך בשימוש ישיר בנוסחת בייס. וזה בדיוק מה שעשיתי בדוגמא הזאת).

במייל נפרד ששלחתי לרב, צירפתי גם את דיאגרמת עץ ההסתברויות בחישוב לפי הסדר הישיר שצויין לעיל, ואת דיאגרמת עץ ההסתברויות בחישוב לפי הסדר ההפוך, עם אינדיקציות איך מהדיאגרמה הראשונה, חישבתי באופן לוגי, את ההסתברויות הדרושות לשימוש בדיאגרמה השנייה (זאת ללא שימוש מפורש בנוסחת בייס).

1. לגבי השאלה מתי אפשרי להפוך את סדר האירועים בחישוב, אז לדעתי זה תלוי אך ורק בשאלה הבאה:

האם כאשר עושים את החישוב לפי סדר אחד כלשהו, האם אפשר להראות מצב שבו, בעץ ההסתברויות, כל 4 הענפים המשניים, כלומר, אלה שמתחת לשני הענפים הראשיים, הם כולם אפשריים. אם אפשר לנסח את החישוב כך שעץ ההסתברויות הוא מלא, כלומר, כל 4 הענפים המשניים קיימים, אז העץ ניתן להיפוך. אך אם רק 2 הענפים המשניים מתחת לענף ראשי אחד קיימים, ואילו מתחת לענף הראשי השני, לא ניתן להגדיר ענפים משניים משום שהם לא יכולים להתקיים מתחת למציאות המוכתבת על ידי הענף הראשי שממנו הם מסתעפים.

למשל, במקרה של פתח פתוח מצאתי", כאשר שני הספקות הן "בקיא או לא בקיא" ו "באונס או מרצון", אם מתחילים בספק הראשון, אז בעץ ההסתברויות, מתחת לענף הראשי, "בקיא", קיימים שני ענפים משניים רלוונטיים: "באונס" ו "מרצון". אבל מתחת לענף הראשי השני, "לא בקיא", אין רלוונטיות לספק של "באונס או מרצון", כי בענף הראשי הזה הפתח סגור ולא הייתה בעילה בכלל, אז לוגית לא ניתן לשאול אם זה קרה "באונס" או "מרצון". כי הרי לא קרה כלום!

ובאותו אופן, המקרה של "סכין שחיטה שנמצאה פגומה לאחר השחיטה", בעץ ההסתברויות, רק הענף הראשי, "הסכין נפגמה במהלך שחיטת הסימנים", מאפשר תחתיו שני ענפים משניים: "נפגמה לפני רוב סימנים" ו "נפגמה אחרי רוב סימנים" אבל הענף הראשי השני, "הסכין נפגמה במפרקת", לא מאפשר את שני הענפים שנזכרו לעיל, כי לא יתכן במציאות שהיא נפגמה במפרקת, כפי שמכתיב הענף הראשי, ובאותו זמן גם נפגמה לפני או אחרי רוב סימנים.

שני המקרים הנ"ל מדגימים את הקריטריון שהיצעתי, והוא שחישוב ההסתברויות ניתן להיעשות רק לפי סדר ספיקות אחד, במקרה ועץ ההסתברויות איננו מלא, כלומר בעל 4 ענפים משניים, אשר לוגית, כולם יכולים להתקיים במציאות (ולא רק פורמלית, על ידי ציור מלאכותי שלהם על עץ ההסתברויות).

1. לאור ההערה הקודמת, לא ברור לי למה בכל במקרים הנ"ל, כאשר דנים בספיק ספיקא, וסופרים צדדים בלבד ללא חישובי הסתברות, אתה טוען שיש 3 צדדים להתיר וצד אחד לאסור. אילו 3 צדדים אתה סופר? שהרי כפי שהראיתי לעיל, מתחת לענף ראשי אחד יש אומנם שני ענפים, אך מתחת לענף הראשי השני, אין כלל ענפים משניים. אז אם סופרים צדדים ולא מחשבים סיכויים, לא צריך להיות הבדל בין ענף ראשי לענף משני, שניהם הם פשוט צדדים, ואז יש לנו 2 צדדים להיתר (ענף ראשי אחד וענף משני אחד) וצד אחד לאיסור (ענף משני שני).

למשל, במקרה של "פתח פתוח מצאתי" יש 2 צדדים להתיר שהם: הענף הראשי "לא בקיא" ועוד ענף משני אחד (הענף המשני "מאונס" מתחת לענף הראשי "בקיא"). ויש צד אחד לאסור (הענף המשני "מרצון" מתחת לענף הראשי "בקיא").

ובאותו אופן, במקרה של "סכין שנמצאה פגומה", יש ענף ראשי אחד להתיר (נפגמה במפרקת) ועוד ענף משני אחד להתיר (הענף המשני "נפגמה אחרי רוב סימנים" מתחת לענף הראשי "נפגמה במהלך שחיטת סימנים") וענף משני אחד לאסור ("נפגמה לפני רוב סימנים" מתחת לענף הראשי "נפגמה במהלך שחיטת סימנים").