בתוך ומחוץ לקופסה בפתרון פרדוקסים (טור 778)

בס"ד

בתוך ומחוץ לקופסה בפתרון פרדוקסים

לפני כמה ימים שלח לי ידידי אבריימי גודלדשמיד את הצילום הבא (כשביקשתי את המקור הוא שלח אליי את זה):

זה נראה לכאורה כמו צילום משאלון אמיתי, אבל אני מניח שזה לא כך. דיונים בוואטסאפ על הפרדוקס הזה עוררו כמה נקודות שרציתי לעמוד עליהן בקצרה כאן.

הסבר ראשוני

אני מניח שרובכם לא צריכים הסבר, אבל כדי ליישר קו אציג אותו בקצרה כאן. לכאורה הסיכוי לבחור באקראי את אחת התשובות הוא 25%, אבל יש שתי תשובות שאומרות 25% (תשובות א וד'), ולכן הסיכוי לבחור באחת מהן הוא 50%. אז לכאורה עלינו לסמן את ב, אבל הסיכוי לבחור אקראית בתשובה ב הוא 25%, כלומר היא לא נכונה. טוב, אז אולי אין תשובה נכונה בכלל, ולכן הסיכוי לבחור בתשובה הנכונה הוא 0%, כלומר התשובה היא ג. אבל פירוש הדבר הוא שיש תשובה נכונה והסיכוי לבחור בה הוא 25%. כלומר גם תשובה זו אינה נכונה. המסקנה היא שאף תשובה אינה נכונה, ולכן הסיכוי לבחור בתשובה נכונה הוא 0% (אבל בכל זאת כפי שראינו גם תשובה ג אינה נכונה).

מבחינה קטגוריאלית זה נכנס תחת הקטגוריה של פרדוקסי התייחסות עצמית (self reference), כמו פרדוקס השקרן. מישהו בדיון שלנו הציע שניתן לראות זאת אם מסתכלים על אותה שאלה אבל הפעם רק עם תשובה יחידה: 0%. במצב כזה ההסתברות לבחור בה היא 1, אבל אז מתברר שהתשובה הזאת אינה נכונה. ואם זו אינה התשובה הנכונה אז ההסתברות לבחור בנכונה היא 0, וזה אומר שהיא כן נכונה. אם כך, זהו בעצם בדיוק פרדוקס השקרן עם קישוטים הסתברותיים לא רלוונטיים.

תורת הטיפים

בהקדמה לספרם המונומנטלי של ראסל וווייטהד, פרינציפיה מתמטיקה, הם מציגים את תורת הטיפים (type theory) שלהם, בין היתר כהצעה להימנע מפרדוקסים של הוראה עצמית. תורת הטיפים מגדירה היררכיה בין טיפוסי טענות שונים ומתירה התייחסות של טענה לטענות אחרות אך ורק אם הן שייכות לטיפוסים נמוכים ממנה בהיררכיה. בעבר כבר עמדתי על כך (ראו בטורים195–196 ,319 , 406 ועוד) שלא מדובר בפתרון לפרדוקסים אלא בהימנעות אד הוקית מהם, ולכן אין כאן באמת פתרון. למעשה תורת הטיפים מציעה לנו שפה אחרת שבה הפרדוקס לא יופיע. בה במידה יכולנו למחוק מהשפה כמה מילים שעלולות לעורר פרדוקסים. האם זה היה ראוי להיחשב פתרון?

הבעיה העיקרית שאני רואה בתורת הטיפים היא האד הוקיות שלה. הכלל שאוסר התייחסות לטיפים שווים ומעלה בעצם מוחק מהשפה משפטים שנראים לנו סבירים בעליל, כלומר שופך את כל האמבטיה כדי שיישפך גם התינוק. כך למשל הוא אוסר את המשפט הבא: "כל משפט בנוי ממילים". לחלופין, הוא אוסר גם את המשפט: "משפט זה בנוי משבע מילים". כל אלו הם משפטים שיש בהם הוראה עצמית, אבל אין בהם שום בעיה לוגית (הראשון אמיתי והשני שקרי. שקריות אינה בעיה לוגית). בעצם מה שעושה תורת הטיפים זה למחוק מהשפה את המשפטים הבעייתיים וזהו. בה במידה יכולנו פשוט למחוק מהשפה את המילה ספר (כדי להימנע מפרדוקס הספר מסביליה) או את המילה קבוצה (כדי להימנע מפרדוקסי תורת הקבוצות) או את המילה שקרן וכדומה. בעצם יכולנו פשוט לאסור לדבר בעברית אלא רק בסינית או לא לדבר בכלל. זהו פתרון בנוסח סטלין לכל שאלה או קושי: פשוט לאסור עליך לומר זאת. הוא הדין כמובן גם לגבי המקרה שלנו. תורת הטיפים היא 'פתרון' סטליניסטי ואין טעם להתייחס אליו.  בהמשך נראה היבט אחר של הבעייתיות בסוג הפתרון הזה.

יציאה מחוץ לקופסה

בדיון בוואטסאפ עלתה הצעה להשתמש פה בסופרפוזיציה של האפשרויות השונות כמו בתורת הקוונטים כדי להגדיר תשובה נכונה כלשהי. אני לא קיבלתי את ההצעה מפני שאם יוצאים מחוץ לקופסה אפשר גם לא לסמן אף אחת וזה גם בסדר. פרדוקס תמיד מוגדר בתוך מסגרת נתונה, וכשאתה שובר אותה ברור שתוכל לפתור את הפרדוקס. אתה יכול סתם לוותר על אחת ההנחות, למחוק מילים וכדומה. בפרדוקס של אכילס והצב אתה יכול לשים את הצב על מסוק, להדביק את רגליו של אכילס זו לזו, למחוק חלק מהמסלול (למשל שירוצו על קבוצת קנטור) וכדומה. זו לא חכמה. פרדוקס מוגדר בתוך מסגרת נתונה (שמכוננת אותו), ולכן יציאה מחוץ למסגרת אינה פתרון שלו. למרבה האירוניה, פתרון לפרדוקס, מה שנשמע לנו הכי מחוץ לקופסה, צריך להינתן דווקא בתוך המסגרת. אפשר לומר שצריך לצאת מחוץ לקופסה כדי לנסות ולמצוא פתרון בתוך המסגרת, אחרת לא פתרת.

לא לסמן בכלל

אחת ההצעות שנמצאת כמעט בתוך הקופסה היא לא לסמן שום תשובה. על פניו, זוהי בעצם התשובה הנכונה לשאלה הזאת, ומי שעושה זאת יקבל 100%. משמעות הדבר היא שיש תשובה נכונה אלא שהיא לא נמצאת בין ארבע התשובות המופיעות בשאלה.

אלא שעל כך שאלו אותי את השאלה הבאה: אם אתה לא מסמן אף תשובה זה אומר שאף תשובה אינה נכונה, ואז זה אומר שתשובה ג (0%) הופכת להיות נכונה, מה שמקריס את הנחת היסוד שלך.

עניתי שלדעתי זוהי טעות. תשובה ג לא אומרת שאין תשובה נכונה. היא אומרת שהתשובה הנכונה לא מופיעה ברשימת ההצעות שבשאלה. לכן אם איני מסמן אף תשובה זוהי התשובה הנכונה (כי היא לא אחת מהארבע שמופיעות שם), אבל התשובה הזאת אינה זהה לתשובה ג (כלומר לא לסמן אינו שקול לסימון של ג). הנה, העובדה שלא סימנתי אף תשובה מראה שהיה לי סיכוי כלשהו לקלוע לתשובה הנכונה, והוא אפילו התממש. ייתכן אפילו לומר יותר מכך: התשובה הנכונה היא אכן ג, אבל רק כל עוד איני מסמן אותה. יש לי 0% לסמן את התשובה הנכונה כי אם אסמן את ג אטעה והתשובה שמופיעה בה תהפוך לשגויה בדיוק בגלל זה שסימנתי אותה עצמה.

זה פתרון שעדיין מצוי מחוץ לקופסה, ולכן לא יכול להיחשב פתרון לגיטימי. אחד הכללים שמגדירים את מסגרת הפרדוקס הזה הוא שצריך לסמן אחת מהתשובות באקראי. לא לסמן הוא חריגה מהכללים ולכן אינו פתרון לגיטימי.

כיוון דומה על גבול הקופסה

בדיון המשפחתי שלנו העליתי עוד אפשרות. אפשר לכלול את האינדקס (המספר) של התשובה כחלק מהתשובה עצמה, כלומר נגדיר שתשובה ג לא מוגדרת: 0%, אלא: (ג) 0%. לפי הגדרה זו ניתן לסמן את תשובה א וזה יהיה נכון (זו התשובה הנכונה ויש לי 25% לקלוע אליה באקראי). וכמובן גם את ג וזה יהיה נכון מאותה סיבה. כלומר לא שתיהן נכונות אלא או זו או זו. קצת דומה לסופרפוזיציה שהוצעה למעלה. אבל כמובן מאד מוזר לכלול את האינדקס בהגדרת התשובה.

גם הפתרון הזה נמצא על גבול הקופסה (מבחוץ), כי הגדרת הפרדוקס מניחה שכל תשובה מוגדרת על ידי תוכנה ללא האינדקס. האינדקס רק משמש אותנו לצורך פעולת הסימון (דרך האינדקס אתה מספר לי באיזו תשובה בחרת: לדוגמה, "בחרתי בתשובה ב" וכדומה). כאמור, אם אתה משנה את המסגרת אז כמובן תוכל למצוא הרבה פתרונות.

מישהו הוסיף הלצה שלפיה כל השאלות במבחנים שלי כאלה שאני מקבל בחזרה מהנבחנים דפים ריקים. עניתי שמה שיפה הוא שהדף הריק הוא הוא התשובה הנכונה. במקרה הזה מי שהגיש דף ריק אכן מקבל 100. אמנם קשה לדעת האם כשהוא מגיש את הדף הריק זהו פרי של החלטה לא למלא (כי הוא הבין שזו התשובה הנכונה) או אי ידיעה. ובכלל, האם יש הבדל בין שני אלו: הרי מי שלא ידע איזו תשובה נכונה בעצם עבר על כולן וכולן נראו לו שגויות. לכן הוא הגיש דף ריק. אבל זה בדיוק מצבו של מי שהחליט במודע להגיש דף ריק, לא? אצל הראשון זה פטנט שמביא להחלטה כיצד לפעול ואצל השני זו תוצאה מחדלית של חוסר הבנה מה עליו לעשות (ראו במאמרי לשורש השישי ובטורים 416 ו-570 ובהפניות שם על כמה סוגי שב ואל תעשה). אבל בחישוב הלוגי שניהם צדקו ולכן נראה שבמצב כזה באמת לשניהם מגיע ציון 100%.

כעת עברנו הלאה לסוגי הגשות ריקות. עוד מישהו התחכם וכתב:

מעניין עד כמה הופתע מישהו שלא הגיע לבחינה וקיבל 100…

אבל זוהי טעות. מי שלא הגיע נכשל במבחן כי הוא לא ענה לשאלה. רק מי שהגיע, קיבל שאלון ובתשובה הגיש דף ריק (אולי משני סוגי השיקולים שתיארתי כעת) ענה נכון לשאלה. כתבתי לו שלא להגיע אינו שקול להגשת דף ריק, ממש כמו שעיוורון (לא לראות) אינו שקול לראיית שחור וכמו שנקודה אינה קו באורך 0 (ראו על כך בטור 340 סביב הערה 2).

כעת הגיעה ההצעה הבאה:

אבל מי שהשאיר את השאלה הזו לסוף הבחינה ופשוט שכח ממנה, אולי מחוסר זמן, סביר להניח שהופתע כאשר קיבל עליה את מלוא הנקודות.

גם כאן זוהי כמובן סתם טעות מחוסר מידע של הבודק. לא עניין מהותי. כאן הוא בכלל לא מציע פתרון לפרדוקס, אבל גם כטענה זה נמצא לגמרי מחוץ לקופסה.

בחזרה לתורת הטיפים

בעקבות מה שראינו כאן, עולה עוד בעיה בסוג ה'פתרון' שמציעה תורת הטיפים לפרדוקסי הוראה עצמית. ראינו שהיא מוסיפה אד הוק עוד כלל שאוסר התייחסות עצמית. אבל מעבר לאד הוקיות, הרי בכך היא משנה את מסגרת הדיון שבתוכה מוגדר הפרדוקס, ולכן אין כאן פתרון של הפרדוקס. אמנם אם זו הייתה הצעה משכנעת (כלומר לא אד הוקית) או אז יכולנו אולי לומר שאיתרנו בעיה בשפה הטבעית שלנו ולתקן אותה בהתאם, והתוצאה המבורכת הייתה שהפרדוקסים באמת לא יופיעו. זאת מפני שהתיקון היה נחוץ כשלעצמו ולא רק אד הוק כדי לסלק פרדוקסים. במקרה כזה המסקנה הייתה שהפרדוקס נבע מבעיה בשפה (כך מניחה הפילוסופיה האנליטית לגבי כלל הבעיות הפילוסופיות, ולגבי פרדוקסים גם רבים אחרים מסכימים לזה), ולכן בכל זאת היה כאן סוג של פתרון לפרדוקס. הוא היה אמנם מחוץ לקופסה אבל הוא מראה שהקופסה לא באמת קיימת (או שהיא שבורה), ולכן זה כן יכול היה להיחשב כפתרון. אבל בגלל הבעיות שהזכרתי למעלה, נראה שזה לא באמת תיקון סביר לשפה מצד עצמו, ולכן אין כאן פתרון לפרדוקסי ההוראה העצמית, בגלל האד הוקיות פתרון כזה מהווה שינוי כללי המסגרת שבתוכם מוגדר הפרדוקס. כאמור, פתרון מחוץ לקופסה (כל עוד היא מוגדרת היטב) לא יכול להיחשב פתרון.

אפשר היה להמשיך ולהתפלפל ולומר שעצם קיומו ל פרדוקס מצביע על כך שהקופסה שבורה או לא קיימת, וממילא אין לשלול פתרונות מחוץ לקופסה. ועדיין האד הוקיות אומרת שלא באמת הצעת קופסה אלטרנטיבית, אלא לכל היותר הצבעת על כך שהקופסה הקיימת שבורה. אבל את זה עשה כבר הפרדוקס עצמו. לכן פתרון בעייתי (אד הוקי) כזה עדיין לא יכול להיחשב כפתרון לפרדוקס.

האם ייתכן פתרון פורמלי-סינטקטי: טיבן של טענות עם התייחסות עצמית

הפה שאסר הוא הפה שהתיר. אחרי כתיבת הטור אבריימי הכל יכול שלח לי התייחסות של גדי אלכסנדרוביץ לפרדוקס הזה כאן. אלכסנדרוביץ טוען שאין כאן פרדוקס, ובסוף הפוסט מציע ניתוח פורמלי פשוט שמסביר זאת.

אמנם לדעתי הוא דוחה את הפרדוקסליות במבנה הזה בקלות רבה מדיי. הוא טוען שברגע שאין לשאלה האמריקאית תשובה הפרדוקס נעלם. אבל אם אין לה תשובה אז הסיכוי לבחור בתשובה הנכונה הוא 0, ולכן תשובה ג היא הנכונה. ומכאן שהסיכוי לבחור בה הוא 25%, ושוב היא לא נכונה, וחוזר חלילה. הפרדוקס קיים, אלא שהוא בוחר להתעלם ממנו. מבנה כזה ממש לא דומה לדוגמאות שהוא מביא מתורת היחסות, שכן חסרה בהן ההתייחסות העצמית.

מבחינת הניתוח המתמטי שלו בסוף הפוסט, אם A הוא הקבוצה הריקה, אזי p(A) = 0, אבל a3 הוא 0, ולכן A אינו הקבוצה הריקה. הגענו שוב לפרדוקס. כאמור, משום מה הוא מתעלם מההתייחסות העצמית שקיימת בפרדוקס הזה. כדי לחדד את  הנקודה, אסביר זאת מזווית אחרת שתבהיר את טיבן של טענות של התייחסות עצמית ואת שורש הפרדוקסליות שלהן.

בטענות רגילות ישנה הפרדה ברורה בין הסמנטיקה (המשמעות והתוכן) שלהן לבין הלוגיקה והניתוח הסינטקטי (מבני). טלו כדוגמה את הטענה "השמש מפיצה אור". כדי לבדוק אם היא אמיתית אני בודק את התוכן שלה מול מצב העניינים בעולם שאותו היא מתארת. אם יש הלימה – היא אמיתית, ואם לאו – היא שקרית. כלומר התוכן שלה קובע את ערך האמת שלה. ברור שערך האמת לא קובע את התוכן אלא לכל היותר מהווה אינדיקציה אליו (אם אני יודע שהטענה אמיתית אני יכול להסיק מכאן שהשמש אכן מפיצה אור. אבל זהו היסק לוגי ולא גרימה סיבתית. הגרימה הסיבתית היא בכיוון ההפוך. על ההבדל בין שני אלו ראו למשל בטור 459). זה מה שקורה בכל טענה רגילה (לדעתי גם בטענות לא עובדתיות).

לעומת זאת, בניתוח של הבעיה שלנו יש שילוב של הסמנטיקה בתוך הסינטקס והלוגיקה, כלומר תוכן התשובה ג קובע את מעמדה הלוגי והסינטקטי (האם היא נכונה או לא), וזה כמו שקורה בכל טענה, אבל גם ההיפך קיים כאן: אם היא נכונה אז תוכנה הוא כזה וכזה. כלומר ערך האמת שלה קובע את תוכנה (הלוגיקה קובעת את הסמנטיקה). אלכסנדרוביץ מתעלם מכך, שכן בניתוח שלו הוא מתייחס לתשובה ג רק במישור הלוגי-סינטקטי (כאיבר בקבוצת התשובות). שימו לב שזוהי אותה נקודה כמו הקודמת: ההתעלמות שלו מההתייחסות העצמית. הסיבה לכך היא שההתייחסות העצמית מתרחשת כאן במישור הסמנטי.

המסקנה היא שהקשר הדו צדדי בין הסמנטיקה ללוגיקה הוא שיוצר את הפרדוקסים הללו של התייחסות עצמית. זהו מאפיין של טענות עם התייחסות או הוראה עצמית, וזה מה שיוצר את הפרדוקסליות של חלקן. אם תתבוננו בפרדוקס השקרן תיווכחו על נקלה שזה בדיוק מה שקורה גם שם. תוכן הטענה (ולא רק ערך האמת והמבנה שלה) נוטל חלק בחישוב הלוגי של ערך האמת שלה. הסיבה לכך היא שהתוכן של הטענה שם עוסק בערך האמת שלה ולכן גם נקבע על ידו. זוהי פתולוגיה של מבנים עם התייחסות עצמית, לעומת המצב בטענה רגילה שבה ערך האמת נקבע על ידי התוכן ולא להיפך.[1]

במקום ראסל, חשבתי שהיה נכון יותר להציע כלל אחר כדי להימנע מהפרדוקס: לאסור את הערבוב בין סמנטיקה ללוגיקה, או במילים אחרות: תוכנו של משפט לא יכול להתייחס לערך האמת שלו או של אחרים (לפחות כאלה שתוכנם מתייחס לערך האמת שלו)[2]. אלא שגם הפתרון הזה הוא אד הוקי, שהרי יש משפטים שלא היינו רוצים לאסור אותם, כמו: ערכי אמת של טענות צריכים להיות יחידים. זוהי טענה לגיטימית וסבירה אבל התוכן שלה מכיל התייחסות לערך האמת שלה עצמה.

אמנם יש לשים לב שלא כל התייחסות עצמית קשורה לערבוב בין סמנטיקה לסינטקס, ואפילו לא כל פרדוקס של התייחסות עצמית. טלו כדוגמה את פרדוקס הספר שמספר את כל האנשים שלא מספרים את עצמם. השאלה היא: האם הוא מספר את עצמו? אם כן, אז הוא שייך לקבוצת האנשים שהוא לא מספר, ואם לא אז הוא שייך לקבוצה שהוא כן מספר. זהו פרדוקס של התייחסות עצמית במובן מסוים, אבל לא במובן שראינו למעלה. אין כאן שום התייחסות לערך האמת של טענות\ ובטח לא ערבוב בין ערכי אמת לבין תכנים כמו שראינו בפרדוקס השקרן ובפרדוקס שלנו. ישנם עוד כמה וכמה פרדוקסי התייחסות עצמית שאינם מערבבים בין המישורים. ניטול עוד אחד כדוגמה. פרוטגורס לימד תלמיד שלו להיות משפטן. הם כרתו חוזה שלפיו אם התלמיד מצליח במשפט הראשון שלו הוא ישלם לפרוטגורס שכר לימוד, ואם יפסיד אז לא. התלמיד סיים את לימודיו ולא שילם את שכר הלימוד. פרוטגורס תבע אותו לדין. כעת אם השופט יחליט שהתלמיד אכן חייב לשלם פירוש הדבר שהוא הפסיד המשפט הראשון שלו ולכן הוא פטור מתשלום. ואם השופט יחליט שהוא פטור מתשלום אז הוא ניצח במשפט הראשון שלו ולכן הוא חייב. גם הפרדוקס הזה אינו מערבב בין ערכי אמת לבין תוכן ועדיין יש בו התייחסות עצמית במובן כלשהו.

ישנם עוד כמה וכמה פרדוקסים כאלה. ומשמעות הדבר היא שהצעתי מלמעלה לאסור ערבוב בין סמנטיקה ללוגיקה וסינטקס לא הייתה מונעת את הפרדוקסים הללו. אמנם בה במידה איני חושב שתורת הטיפים מונעת אותם (כי אין כאן התייחסות למשפט אחר אלא לאובייקט אחר).

והערה אחרונה. הדוגמאות לפרדוקס ולאנטי פרדוקס שתיארתי בטור 195 גם הן דומות לפרדוקס השקרן, מפני שהם מערבבים בין שיפוט של הלכה (האם פוסקים כמוה או לא) לבין תוכנה. זה ערבוב דומה מאד לערבוב שראינו בין סמנטיקה של טענה לבין ערך האמת שלה. אמנם בהלכה טענות נשפטות לא במונחי אמת או שקר אלא במונחי האם נפסק כך להלכה או לא, אבל הלוגיקה של ההתייחסות העצמית דומה מאד. ישנם בהלכה גם פרדוקסים מהסוג השני, כמו שניתן לראות למשל בטורים 406, 708 ועוד.

[1] אני מתלבט האם התעלמות כזאת גם היא בעצם סוג של פתרון מחוץ לקופסה. לא בטוח. זו התעלמות מהבעיה ולא פעולה מחוץ למסגרת שמגדירה אותה.

[2] הוספתי את ההסתייגות בסוגריים בגלל התייחסות עצמית מורכבת, כמו בניסוח הבא של פרדוקס השקרן:

• טענה ב היא אמיתית.
• טענה א היא שקרית.

שימו לב שכאן אף טענה לא מתייחסת לערך האמת שלה עצמה, אלא רק בעקיפין דרך תוכנה של הטענה האחרת.