אינפיניטסימל

אז איך זה כזה ? אם זה לא מן הנמצא.
ד"א מה הכוונה בגודל? אוסף של מספרים ?

מבפר הוא נקודה על הציר, אבל אינפיניטסימל אינו נקודה אלא קטע באורך קטן כרצונך.
לא אמרתי שהאינפיניטסימל הוא המספר הקרוב ביותר לאפס אלא הבבתי את תשומת ליבך לכך שאין מספר כזה ולכן אין כאן סתירה לוגית.

הגדרה לא נכונה. אם הוא מספר קיים שגדול מ-0 שקטן יותר מכל מספר שקיים זה אומר שהוא גם קטן מעצמו. (או לחילופין הוא תמיד יהיה גדול מהחצי שלו)

ההגדרה הנכונה היא שהוא קטן מכל מספר שתבחר או שתוכל להעלות על דעתך. לאו דווקא מכל מספר שקיים.
לדוגמא ההופכי של המספר TREE(3) זה מספר שקיים ולא בטוח שזה מספר שניתן להעלות על הדעת. אבל בגלל שזה הוגדר אז זה גם כולל אותו.

בקורס אינפי אם אני זוכר נכון המרצה אמר שבעבר האינפיניטסימל נתפס כמספר חיובי הקטן מכל מספר אחר. אם אני זוכר נכון זאת הייתה ההגדרה של לייבניץ (גם הסימונים שלו מסגירים את זה). אבל לאחר מכן השם נשאר למרות שהתפיסה השתנתה.
למעשה לקח הרבה זמן עד שהחשבון האינפיניטסימלי הוגדר היטב בזכות מתמטיקאים צרפתים שעשו את העבודה השחורה של להבנות תורה מסודרת.

מה שהיה לי קשה לתפוס זה ההגדרה של מספר ממשי שמוצג כשבר עשרוני כגבול של סדרה (וכך גם 0.99999… שווה ל1).

אתה יכול להסביר לי משהו? כתבת בהודעה השנייה כך:
"לא אמרתי שהאינפיניטסימל הוא המספר הקרוב ביותר לאפס אלא הסבתי את תשומת ליבך לכך שאין מספר כזה ולכן אין כאן סתירה לוגית". מה זאת אומרת מפני שאין מספר כזה, אין כאן סתירה לוגית? וכי מפני שאין דבר כזה 'רווק נשוי', אין כאן סתירה לוגית? אדרבא, אין דבר כזה כי זו סתירה לוגית.

השואל המקורי הניח במשתמע שמדובר במספר ממשי חיובי רגיל, ואז גזר מכך סתירה: "אם (x) קטן מכל מספר חיובי, אז מכיוון שהוא עצמו מספר חיובי, יוצא שהוא קטן מעצמו ((x < x)), וזו סתירה". תשובתי הייתה שהכשל אינו בהגדרת האינפיניטסימל, אלא בהנחת היסוד של השואל. במספרים הממשיים החיוביים הרגילים ((mathbb{R}^+)) אין מספר חיובי קטן ביותר, בדיוק כמו שבקטע הפתוח ((0, 1)) אין מספר "הכי קרוב ל-1". זו אינה סתירה לוגית בהגדרה, אלא תכונה של קבוצה פתוחה שאין בה קצוות.
כשמגדירים אינפיניטסימל באופן מתמטי תקף (כפי שנעשה באנליזה הלא-סטנדרטית של אברהם רובינזון, שביססה את האינטואיציה של לייבניץ), מגדירים אותו כאיבר במערכת מורחבת (שדה המספרים ההיפר-ממשיים). במסגרת זו, אינפיניטסימל מוגדר כמספר שגדול מ-0 וקטן מכל מספר ממשי חיובי. באנליזה רגילה הוא מוגדר כגבול ולכן הוא אינו מספר. מכיוון שהאינפיניטסימל עצמו אינו מספר ממשי סטנדרטי, הטענה שהוא "קטן מכל מספר ממשי חיובי" אינה אומרת שהוא קטן מעצמו. ממילא, לא נוצרת כאן שום סתירה לוגית של (x < x).