אפלטוניזם – שיעור 34
תמלול זה בוצע באופן אוטומטי באמצעות בינה מלאכותית. ייתכנו אי-דיוקים בתוכן המתומלל ובזיהוי הדוברים.
תוכן עניינים
- אפלטוניזם, מושגים, ומחלוקות
- מחלוקות במציאות, חז״ל, והמיתוס של “אין מחלוקות במציאות”
- אפלטון ואריסטו על אידיאות מול קטגוריות
- דוגמת הצורות הקמורות: הגדרה, הוכחה, והפער בין אינטואיציה לפורמליזציה
- אינטואיציה, לשון, ודיאגנוסטיקה של הגדרות
- ברטראנד ראסל, הצבעה ישירה, ותיאור
- הגדרה דרך ההיקף מול הגדרה דרך התוכן, והיישום למדינה דמוקרטית
- “הגדרה נכונה” לפי אפלטון מול אריסטו
סיכום
סקירה כללית
הטקסט טוען שמחלוקות על מושגים ושינויים בהגדרות של מושגים הם אינדיקציה לתפיסה אפלטונית, מפני שהם מניחים שיש “מושג” שקיים מעבר לאוסף המאפיינים וההסכמות הלשוניות. הוא מבדיל בין מחלוקת על עובדות או כוונות לבין מחלוקת על מושג, ומתעקש שבמחלוקת במציאות אחד צודק ואחד טועה, גם אם לפעמים הגמרא מיישבת “שניהם צודקים” באופן שכל אחד תפס פן חלקי. הוא מדגים דרך משפט במתמטיקה על חיתוך של צורות קמורות איך הגדרה פורמלית יכולה להפוך הוכחה לטריוויאלית, אך עדיין לא “מוכיחה” שההגדרה חופפת במלואה לאינטואיציה הבעל־ביתית, ולכן ההוכחה היא על קורלנט מתמטי ולא בהכרח על העולם. הוא קושר זאת להבחנה של ברטראנד ראסל בין הצבעה ישירה לבין הצבעה דרך תיאור, ומסיים בכך שלפי אפלטון יש הגדרות נכונות ושגויות ביחס לאידיאה, בעוד שלפי תפיסה אריסטוטלית־קונבנציונליסטית אין “נכון/לא נכון” להגדרה אלא רק עקביות ושימושיות, ובכל זאת התחושה שלנו בפועל היא שיש הגדרות לא נכונות כי הן לא קולעות למיון האינטואיטיבי.
אפלטוניזם, מושגים, ומחלוקות
הטקסט קובע שמחלוקת על הגדרה של מושג ושינוי של מושג לאורך זמן מעידים על אפלטוניזם, משום שהם מניחים שיש ישות מושגית שממשיכה להיות “אותו מושג” גם כשההגדרה משתנה. הוא טוען שאם מושגים הם רק הסכמה קהילתית קונבנציונליסטית של אוסף מאפיינים תחת מונח, אז אין טעם להתווכח, כי אפשר פשוט להגדיר שני מונחים שונים ולסיים. הוא מגדיר תפיסה מהותנית שבה מושגים דומים לשולחנות: המושג אינו ההגדרה אלא דבר מופשט שההגדרה רק מתארת, והגדרה נתפסת כתצפית וניסוח של מאפיינים מהותיים של אידיאה.
מחלוקות במציאות, חז״ל, והמיתוס של “אין מחלוקות במציאות”
הטקסט דוחה את הטענה הישיבתית שאין מחלוקות במציאות וקורא לה “מיתוס”, ומביא דוגמאות של מחלוקות עובדתיות בגמרא ובהיסטוריה כמו “נימא מצא לה או זבוב מצא לה” בפילגש בגבעה, מחלוקות על הקרשים והעגלה במשכן, והשאלה “דם מיהא או פקיד” בכתובות דף ו'. הוא אומר שהסיבה להמצאת המיתוס היא הרצון “להציל את אלו ואלו” ולהימנע מהנחת טעות אצל חז״ל, מפני שבמחלוקת עובדתית אחד טועה. הוא מקבל שיש טעויות אצל חז״ל גם במקום שאין מחלוקת, ומפרש שכשאומרים “שניהם צודקים” במחלוקת עובדתית המשמעות היא שכל צד תפס חלק מהאמת ולא אמת מלאה, ולכן בפועל כל אחד טועה ביחס לטענה הבלעדית שלו.
אפלטון ואריסטו על אידיאות מול קטגוריות
הטקסט מציג את המחלוקת בין אפלטון לאריסטו כשאלה האם הדברים בעולם הם ביטויים של אידיאות מופשטות שקיימות גם הן, או שמדובר רק בקטגוריות שאנחנו ממציאים. הוא טוען שהוויכוח אינו על קיומם של דברים קונקרטיים כמו שולחן אלא על קיומה של “אידיאת שולחן” בעולם האידיאות. הוא מתאר שאפלטון רואה בהגדרה ניסיון לתאר אידיאה קיימת, בעוד שעמדה אריסטוטלית יכולה לראות בהגדרות החלטות שימושיות שאינן חייבות להתאים לדבר מה “בחוץ”.
דוגמת הצורות הקמורות: הגדרה, הוכחה, והפער בין אינטואיציה לפורמליזציה
הטקסט מביא הבחנה מתמטית בין צורות קמורות לצורות קעורות ומציג את המשפט שחיתוך של שתי צורות קמורות הוא קמור. הוא מתאר קושי “בעל־בתי” להוכיח זאת אינטואיטיבית, ואז מציג הגדרה פורמלית: צורה קמורה היא צורה שכל שתי נקודות בתוכה מחוברות בקטע ישר שנמצא כולו בתוך הצורה, ולעומת זאת בצורה קעורה ניתן לבחור שתי נקודות כך שחלק מהקטע יוצא מחוץ לצורה. הוא מראה שההוכחה נעשית פשוטה: אם שתי נקודות נמצאות בחיתוך, הן נמצאות בכל אחת מהצורות הקמורות, ולכן הקטע ביניהן נמצא בכל אחת מהן וממילא גם בחיתוך.
הטקסט טוען שהמהלך הזה אינו פותר לחלוטין את הבעיה המקורית על העולם האינטואיטיבי, מפני שאין הוכחה שההגדרה הפורמלית “מייצגת” את המושג הבעל־בתי של קמירות, ולכן ההוכחה היא על מושג מוגדר ולא בהכרח על מה שהתכוונו אליו מראש. הוא מציג זאת כחלוקה בין צעד “פיזיקלי” של בחירת הגדרות/אקסיומות לבין צעד “מתמטי” של הוכחות מתוך ההגדרות, וקובע שכל המהלך רק מצמצם את המרחב הלא־מוכח על ידי דחיפתו לתוך ההגדרה. הוא מנסח את העמדה שלפיה כשמנסים להוכיח במתמטיקה טענות על העולם, בפועל מוכיחים טענות על מודל או קורלנט מתמטי לעולם, והשאלה על ההתאמה לעולם אינה ניתנת להוכחה.
אינטואיציה, לשון, ודיאגנוסטיקה של הגדרות
הטקסט טוען שכל תיאור מילולי של אינטואיציה הוא כבר צעד של המשגה, ולכן גם ניסוח כמו “בטן החוצה” הוא סוג של הגדרה, אך הוא מדגיש שהאינטואיציה עצמה היא הדבר שהמילים מנסות ללכוד. הוא אומר שתמיד יהיו במתמטיקה מושגים בסיסיים שלא ניתן להגדירם בתוך המערכת כי כל הגדרה נשענת על מושגים אחרים. הוא מבהיר ש”לכידה” של אינטואיציה נעשית אצלו במובן דיאגנוסטי: ההגדרה נחשבת טובה אם היא מחלקת את האובייקטים בדיוק כפי שהאינטואיציה מחלקת אותם לקבוצות, גם אם היא אינה מוסרת את מלוא הקונוטציות של החוויה.
הטקסט משתמש בדוגמת אהבה ובדוגמת צבע כדי להראות שאפשר לבנות קריטריונים קורלטיביים שימושיים בלי לומר “מה הדבר עצמו”, והוא מדגיש שבמקרה הקמירות התחושה היא שההגדרה הפורמלית נותנת אותו מיון אינטואיטיבי. הוא אומר שגם בעולם ההוכחות תמיד אפשר לשאול על ההנחות עצמן ולדייק עוד, ולכן אין סוף לשאלות על בסיס ההגדרה.
ברטראנד ראסל, הצבעה ישירה, ותיאור
הטקסט מביא דוגמה של “מרכז המסה של גלקסיית שביל החלב ביום שישי ה-27 ל-9 2024 בשעה 9:55” כדי להראות שתיאור מורכב יכול להצביע על נקודה אחת במרחב. הוא מייחס לברטראנד ראסל במאמר “על ההצבעה” משנת אלף תשע מאות וחמש הבחנה בין הצבעה ישירה כמו “הנה הנקודה הזאת” לבין הצבעה דרך תיאור, וטוען ששתי הדרכים יכולות לכוון לאותו אובייקט למרות שהתיאור דורש ידע רב. הוא נותן דוגמה מקבילה של “דוד בן גוריון” לעומת “ראש הממשלה הראשון של מדינת ישראל” ומבדיל בין יכולת לזהות דיאגנוסטית לבין הכרה עשירה של האדם עצמו.
הגדרה דרך ההיקף מול הגדרה דרך התוכן, והיישום למדינה דמוקרטית
הטקסט מציג הבחנה בין תיאור אקסטנסיבי דרך ההיקף, כמו רשימת מדינות דמוקרטיות, לבין תיאור אינטנסיבי דרך התוכן, כמו תכונות של הפרדת רשויות, חופש ובחירות. הוא קובע ששתי השיטות יכולות לחפוף דיאגנוסטית ולתת אותה רשימת מדינות, אך ההגדרה דרך ההיקף אינה מלמדת “מהי” דמוקרטיה ולא מסייעת להכריע לגבי מדינה חדשה בלי חילוץ של התוכן המשותף. הוא אומר שהגדרה תיאורית היא פרודוקטיבית יותר מפני שהיא מאפשרת עבודה והסקה מעבר למקרים שנמנו, בדיוק כמו שהגדרה פורמלית של קמירות אפשרה הוכחה שלא הייתה זמינה בתחושה בלבד.
“הגדרה נכונה” לפי אפלטון מול אריסטו
הטקסט טוען שמתמטיקאים מסוימים אומרים שאין דבר כזה הגדרה נכונה אלא רק עקביות, ואילו לפי הסתכלות אפלטונית יש הגדרות נכונות ולא נכונות מפני שההגדרה אמורה ללכוד אידיאה קיימת. הוא מסביר שרק אם יש מושג שקודם להגדרה אפשר לומר על הגדרה שהיא “לא נכונה” מפני שהיא לא קולעת למושג, ומביא דוגמאות של הגדרות לקויות לקמירות כמו “בטן עגולה” או “בטן החוצה” שאינן מתאימות לכל מה שנכלל אינטואיטיבית בקמירות. הוא מסיים בכך שהתחושה הרווחת שיש הגדרות שגויות היא עצמה סימן לתפיסה אפלטונית שמניחה מושג שקיים מעבר להגדרה, בעוד שבתפיסה אריסטוטלית ההגדרה אינה נבחנת מול אידיאה אלא נקבעת כהחלטה.
תמלול מלא
הזום שלי אחרי כל העדכונים דברים השתנו פה. אוקיי, בואו נתחיל. דיברתי בפעמים האחרונות על שינויי מושגים ועל מחלוקות במושגים. ואמרתי ששתי התופעות האלה הן בעצם אינדיקציה לאפלטוניות. כי אם אנחנו מתייחסים למושגים באופן קונבנציונליסטי, זאת אומרת שזה איזושהי הסכמה של הקהילה, אוסף מאפיינים שאנחנו מכנים אותו באיזשהו מונח כולל, אז אין מה להתווכח. מה שהוסכם זה המושג ואם יש לנו ויכוח נגדיר עבורם שני מושגים או שני מונחים וניפרד לשלום. אז ויכוח הוא אינדיקציה לאפלטוניזם. אותו דבר שינוי של מושג. אם אני משנה את ההגדרה של מושג עם הזמן או מציע לו הגדרה שונה, אז אני בעצם טוען שהמושג החדש ממשיך באיזשהו מובן את המושג הקודם, או זו ההופעה המעודכנת של המושג הקודם לזמן העכשווי. אז זה בעצם אומר שיש דבר כזה מושג מעבר לאוסף המאפיינים, אחרת ברגע שאוסף המאפיינים השתנה זה מושג אחר. באיזה מובן זה אותו מושג שמוגדר אחרת? אם הוא מוגדר אחרת אז זה מושג אחר. אלא אם כן אתה מבין שיש במושג משהו מעבר להגדרה שלו. ומה זה? זה אותו דבר שאותו אנחנו מנסים להגדיר. המושג הוא איזשהו דבר מופשט, אידיאה אפלטונית אם תרצו, שכשאנחנו מגדירים אותו אנחנו בעצם צופים בו, מסתכלים עליו ומנסים לנסח את המאפיינים המהותיים שלו בצורה מפורשת. לכן ההגדרה היא לא המושג אלא תיאור של המושג. בדיוק כמו שכשכשאני אגדיר שולחן, ההגדרה של השולחן היא לא שולחן. השולחן זה מה שעומד לפניי. ההגדרה זה ניסיון לתאר את המאפיינים המהותיים של הדבר שעומד לפניי. אותו דבר לגבי מושגים. התפיסה האסנציאליסטית, המהותנית, בעצם מבינה שמושגים זה כמו שולחנות. זאת אומרת זה דברים קיימים וההגדרות הן בסך הכל ניסיון לתאר את הדבר ההוא. כמו שאני מתאר אובייקטים אני יכול גם לתאר אידיאות או מושגים. זו התפיסה האפלטונית. יש לי שאלה. יש מחלוקות שנראה לכל הפחות שזה מחלוקת על המצב. אדם קונה משהו, האם הוא חשב שזה כולל את הגג, זה לא כולל את הגג. לא, זה לא מחלוקות על הגדרה של מושג. זה מחלוקות על כוונת הצדדים כשחתמו חוזה. אוקיי, אבל זה אני מדבר על מחלוקות בקיומו של מושג. אני לא מדבר על הנגיד, אתה יודע, מחלוקת בין סוציאליזם לקפיטליזם או קומוניזם לקפיטליזם. זאת מחלוקת שבאופן עקרוני היא מחלוקת ערכית. דיברנו על זה שמוסר תקף צריך להיות גם כן מעוגן באיזשהן אידיאות מוסריות. ואז יש פה איזשהו ויכוח בשאלה מה אומרת האידיאה המוסרית? האם היא מדברת על שוויון, מדברת על חופש, מדברת על מודל כזה או מודל אחר? נראה שיש מחלוקת מהו המצב. יש אני לא זוכר כרגע, אבל יש כל מיני מחלוקות. אבל מחלוקת מהו המצב מדברת על אותו מצב ושני הצדדים מתארים אחרת את אותו מצב. אם הם היו מדברים על מצבים שונים אז זה לא היה מחלוקת. אם אני אומר שעכשיו יום ואתה אומר לי מה פתאום אתמול היה לילה, זה לא מחלוקת נכון? אתה מדבר על אתמול ואני מדבר על היום. כן, למה יש מחלוקת בגמרא שנראה שזה מחלוקת במציאות או משהו? אוקיי, אז יש מחלוקת במציאות כי לא מסכימים מה היא המציאות. האם בפילגש בגבעה, כן, האם נימא מצא לה או זבוב מצא לה? זה לא משהו עקרוני אפלטוני או משהו המחלוקת. לא, לא אמרתי שכל מחלוקת היא עניין אפלטוני. אמרתי שוב, מחלוקת על מושג מניחה שהמושג קיים. יש מחלוקות אחרות, יש מחלוקות מישהו אומר אני אוהב את פלוני מישהו אחר אומר אני שונא את פלוני. בעיניי זאת בכלל לא מחלוקת, לא משנה, אבל אנחנו יכולים להתקוטש על העניין הזה. זה לא אומר שיש פה משהו אובייקטיבי שלגביו אנחנו מתווכחים. אבל מחלוקת על הגדרתו של מושג היא כן אינדיקציה לזה שהמושג הוא איזושהי ישות קיימת. אוקיי, אני חושב יותר מהצד של בריסק שהם תמיד רוצים לתאר כל מיני… נכון, אני עם זה אני מסכים לחלוטין, אפילו כתבתי על זה לא פעם. המיתוס הישיבתי הזה שאומר שאין מחלוקות במציאות זה שטויות במיץ עגבניות. ברור שיש מחלוקות במציאות ומי שטוען שאין מחלוקות במציאות חולק במציאות. זאת אומרת, ברור שיש מחלוקות במציאות. יש מחלוקת על השאלה מה היה עם הקרשים והעגלה במשכן, כמאמר ידוע של ר' יצחק הוטנר. הוא דן במחלוקת במציאות אז הוא מביא את הדבר הזה כדוגמה. יש מחלוקת האם דם מיהא או פקיד בכתובות שם בדף ו'. ויש מחלוקות, יש המון. אם נימא מצא לה או זבוב מצא לה בפילגש בגבעה. מה היה שם? מחלוקת היסטורית. אוקיי? המון דברים מן הסוג הזה. ברור שיש מחלוקות במציאות, זה סתם מיתוס. לכן אני לא רוצה לטעון שאין מחלוקות במציאות. אני כן רוצה לטעון, וזה מה שמטריד את אלו שהמציאו את ההמצאה הזאת, שבמחלוקת במציאות אחד צודק והשני טועה. אחת הסיבות שהמציאו את המיתוס הזה שאין מחלוקות במציאות זה בשביל להציל את אלו ואלו. להציל את זה שלא ייתכן שיש טעות אצל חז"ל. במחלוקת במציאות וודאי אחד טועה, סימן שאין מחלוקת במציאות. אם אני זוכר, יש בגמרא דווקא על הדוגמה של הגבעה היה משהו שמה ואומר שניהם צודקים. היא אמרה גם את זה וגם את זה. וואלה? הגמרא אומרת את זה. הגמרא בדף ו' עמוד ב' בגיטין. אפילו שמה המחלוקת במציאות שניהם באמת צודקים. כן, אז מה זאת אומרת שניהם צודקים? במילים אחרות זה שניהם טועים. זאת אומרת מה שהיה שמה, היה שמה גם זבוב וגם נימא. אני אמרתי שהיה שם זבוב, זאת טעות, היה גם נימא. מישהו אחר אומר הייתה נימא, זאת טעות כי היה גם זבוב. זאת אומרת כל אחד מאיתנו תפס פן אחד של האמת. אבל זה לא ששניהם צודקים באופן מלא. אין דבר כזה. בשאלה עובדתית, דר איז נו קוואסצ'ן, אז אחד צודק והשני טועה. מה, הרב באמת חושב שהתנאים או האמוראים, לא זוכר, שדנים אם נימא מצא לה או זבוב מצא לה, התכוונו להגיד ברצינות, אני קיבלתי קבלה או אני חשבתי או אני גיליתי באיזשהו מחקר שזה מה שהיה היסטורית והוא אמר לא זה היה נימא? זה לא נשמע לרב ממש מגוחך? אני לא יודע אם הוא לא מגלה את זה היסטורית הוא יכול גם לגלות את זה פרשנית. אבל אתה צודק, זה יכול להיות משל, זה לא משנה. אני רק אומר במובן העקרוני לטעון שאין מחלוקות במציאות זה בעצם לנסות ולהציל את אלו ואלו, את זה שאף אחד לא טועה. אבל אני מסכים לזה שאם יש מחלוקת במציאות אחד צודק והשני טועה. אני רק לא מסכים שאין טעויות אצל חז"ל. יש טעויות אצל חז"ל. יש טעויות גם במקום שאין מחלוקת. והסיפור עם הרבנית שהרב אמר לזה אתה צודק ולזה אתה צודק והיא אמרה לו לא יכול להיות ששניהם צודקים והוא אמר לה גם את צודקת. טוב, בכל אופן אז אני חוזר לענייננו. יש מחלוקות תמיד בעברית, יש מחלוקות על הצורה של בית המקדש. האם המנורה הייתה ככה, איפה היה המזבח. מדברים על שתי דורות או משהו אחרי חורבן הבית והם לא זוכרים בדיוק איפה היה המזבח, קצת צפונה, קצת דרומה, האם המנורה הייתה בכיוון הזה המנורה הייתה בכיוון אחר. איך יכול להיות ש… נכון, זה דוגמה טובה. דוגמה טובה למחלוקת במציאות. אוקיי. חמישים שנה אחרי זה לא… חמישים שנה במבט היסטורי חמישים שנה נראה לנו פיפס. אבל אתה לא זוכר את כל מה שקרה לפני חמישים שנה, נכון? זאת אומרת חמישים שנה זה לא זמן קצר. אנחנו מסתכלים היסטורית אחורה אלפיים חמש מאות או אלפיים שנה אחורה אומרים טוב מה זה חמישים שנה הרי לפני כן בחמישים שנה זה היה. אוקיי, אבל חמישים שנה זה זמן טוב כדי לשכוח דברים. יכול להיות לפחות. אוקיי? טוב, כמובן היו הרבה אנשים וכולם צריכים לשכוח, אז בסדר זה… אבל הייתה מחלוקת, אז קבוצה כזאת זכרה כך, קבוצה אחרת זכרה כך. כמובן על כל מקום כזה אפשר למצוא תירוצים. אפשר להגיד שהמחלוקת היא בשאלה מה ראוי היה שיהיה, לא מה באמת היה. אוקיי? כמו מחלוקת רש"י ורבנו תם על תפילין. רש"י היה סבא שלו. אז שואלים את רבנו תם מה סבא שלך עשה תפילין תגיד לי אתה לא יודע? תפתח את התפילין של סבא שלך ותראה. אז הטענה היא שלא. רבנו תם טען שיכול להיות שסבא שלו עשה ככה אבל הוא טעה. זאת אומרת אני חושב שהתפילין צריכים להיראות אחרת. אז יש בכל מיני מקומות יש הסברים למחלוקת הזאת באופן שהיא לא יוצאת מחלוקת במציאות. יש על כל מיני מחלוקות כאלה, אבל באופן בסיסי אני לא מקבל את זה שאין מחלוקות במציאות. יש מחלוקות במציאות. טוב, בכל מקרה. הרב, הרב, הרב, אם נניח אריסטו ואפלטון היו נפגשים, ואולי נדמיין, איך הרב היה מדמיין ויכוח ביניהם על מושג האהבה? כן, אפלטון אומר אהבה זה מושג, זה אידיאה מה שנקרא. מה היה אומר אריסטו? בוא נמציא משהו אחר. הרי יודעים שמדברים על אותו דבר. הם לא צריכים להגיד מילה כדי לדעת שמדברים בדיוק על אותו דבר. השאלה היא מה הוא, נניח היה מרגיש בתוכנו רגש כזה, אז מה? הוא לא מרגיש את העובדה שיש בתוכנו רגש כזה? אז אולי זה כל הרעיון של אפלטון? אבל לא, זה לא הרעיון של אפלטון, כי אם זה הרעיון של אפלטון אז לא הייתה מחלוקת. אפלטון טען אחרת. כלומר על רגשות אריסטו מסכים שזה אידיאה כזו או משהו קיים? זה לא אידיאה, זאת עובדה. כמו שולחנות. מה הטענה כלפי אפלטון? הנה, תראה יש פה שולחן לפניי, סימן שיש אידיאת שולחן? בסדר, ברור שיש שולחן לפניי, גם אפלטון מסכים. השאלה אם יש אידיאת שולחן בעולם האידיאות שכל השולחנות בעולם הם איזשהו ביטוי שלה. זה הוויכוח בינו לבין אריסטו. קיומו של דבר קונקרטי כולם מסכימים שהוא קיים, חוץ מעוד פעם סוליפסיסטים. אבל אפלטון ואריסטו לא מתווכחים על קיומו של העולם, העולם ודאי קיים. השאלה אם הדברים בעולם הם ביטויים לאיזשהן אידיאות מופשטות שקיימות גם הן, או שזה רק קטגוריות שאנחנו בעצם המצאנו. אז אני רוצה להביא עכשיו עוד דוגמה נחמדה לעניין הזה, אני חושב שהיא ממחישה היטב את הטענה שהבאתי כאן. הנה תראו. במתמטיקה עושים הבחנה בין צורות קמורות וצורות קעורות. עכשיו, אני אדבר על זה בלבתי, כן, סליחה ממתמטיקאים שיש כאן, אבל בצורות קמורות, מה הוא רץ לי פה… שמואל אתה רץ לי על הלוח אני לא יודע בדיוק איך זה קורה הדבר הזה, אני לא מכיר את הדבר הזה, זה חדש פה הפורמט הזה. טוב, בכל אופן, אז מה זה צורות, מה זה צורות קמורות? הלו, מה הוא עושה לי פה הבחור הזה? זה אני קשקשתי. אה, לא לא, אז אל תעשו לי פה בלאגנים. נראה שאני צריך לעשות את זה באיזשהו אופן שרק אני אוכל לצייר פה אבל אני לא כל כך יודע איך עושים את זה, זה חדש הפורמט אני לא… בצד שמאל יש את העיפרון. אה? לא, אני יודע איך אני מצייר, אני לא יודע איך אני מונע מכם לצייר. למעלה באמצע יש כרטיסייה כזאת של ווייטבורד ושם כאילו יש חץ, אם לא שינו את הגרסה ויש שם חץ ששם אפשר לשלוט בהגדרות מי יכול לגעת בזה. תגיד דונט וזהו, מה? השאלה איפה להגיד את הדונט. רגע, שנייה אחת. כמו שעושים שייר, אז יש למעלה אופציות של שייר. לא, אני לא מצליח לראות. טוב, אז בואו אל תשחקו עכשיו כי אתם… זה מפריע לי פה, אני לא יודע איך מנטרלים את זה. לא, זהו, לא נוגעים. טוב, בכל אופן אז תראו. יש, במתמטיקה מבחינים בין צורות קעורות לצורות קמורות. צורות קעורות זה מלשון קערה, כן? אז זה מין משהו כזה. וצורות קמורות זה משהו כזה. אוקיי? עכשיו שאני מדבר על צורות קעורות, אני מדבר עכשיו על צורות סגורות. צורות סגורות, אז צורות קמורות למשל זה מין משהו כזה, זה לא בדיוק קמור אבל נגיד, נגיד שזה קו ישר, אוקיי? אז זה צורה קמורה. למה? כי כל הצדדים שלה הם לא קעורים, אוקיי? תחשבו שזה קו ישר לצורך הדיון. אז כל הצדדים שלהם לא קעורים. במקרה הזה אתם רואים פה יש איזושהי קערה קטנה, זה כן קעור. אבל ההנחה שצורה קמורה זו צורה שהיא קמורה מכל הכיוונים, כאשר קמור זה או ישר או קמור. בסדר? מה כל מה שלא קעור נקרא קמור. לעומת זאת צורה קעורה זה למשל הצורה הזאת. הצורה הזאת היא צורה קעורה, למה? הצורה הזאת. להפך. להפך. נמלא את הדבר הזה, בננה או ירח. למה זה קעור? זה קמור. זה קעור. בגלל שיש לו פן אחד, אתם רואים יש לו גבול אחד שהוא קעור. למה זה קמור? לא, זה קעור. אני הקעירות והקמירות היא כלפי מרכז הצורה. תראה, אם הוא ככה הדבר הזה הוא קמור. כשאתה מסתכל מפה לכל הצדדים יש בטן החוצה. אוקיי? אז זה קמור. לעומת זאת כשאתה לוקח בננה אז פה זה לא קמור, למה? כי כשאתה מסתכל מפה אז אתה רואה יש פה בליטה כלפי פנים. בסדר? כיוון שיש בליטה כלפי פנים אז זה לא קמור. אז מספיק שיש בליטה אחת במקום אחד כלפי פנים אז זה לא קמור אלא קעור. אלה ההגדרות, אוקיי? עכשיו, עכשיו יש משפט במתמטיקה שאומר שחיתוך של שתי צורות קמורות גם הוא קמור. אוקיי? במקום למחוק פשוט אני פותח שוב. זה אני עוד לא עוד לא מכיר פה את כל הבלאגן. אז תראו, למשל נגיד שיש צורה אחת כזאת והיא קמורה. אוקיי? עכשיו יש עוד צורה קמורה. בסדר? החיתוך שלהם, אתם רואים השטח הזה, השטח הזה הוא קמור. גם כן קמור. וככה אם תעשו כל אוסף של צורות קמורות, כל שתי צורות קמורות החיתוך שלהם הוא קמור, ואז כמובן גם מספר גדול יותר של צורות קמורות שתעשו את החיתוך הוא יהיה קמור, כי כל שתיים נותנות צורה קמורה, החיתוך שלהם עם הצורה הבאה זה גם כן קמור וכן הלאה. אז כל חיתוך של שתי צורות קמורות או מספר צורות קמורות הוא קמור. בסדר? זה משפט במתמטיקה. עכשיו השאלה איך מוכיחים את המשפט הזה? הבאתי פעם את הדוגמה הזאת? אני לא זוכר. איך מוכיחים את המשפט הזה? אוקיי. אז השאלה איך מוכיחים את המשפט הזה. עכשיו כש תנסו להוכיח את המשפט הזה, אני מאמין כי ככה לפחות היה אצלי, אני מאמין שאתם תיתקלו בקשיים לא פשוטים. לא קל להוכיח את המשפט הזה. וניסיתי, עשיתי ניסיונות, ניסיתי לחשוב איזה אפשרויות יש, ניסיתי לבדוק, הרי ברור שכל קו כזה יהיה קמור, אבל השאלה מה קורה עם המפגשים. איך אני יכול להוכיח שגם המפגשים אף פעם לא שוברים את הקמירות של החיתוך של הצורה הזאת. בקיצור לא קל להוכיח את זה ובסופו של דבר מצאתי את זה פעם באיזה ספר באיזה חנות ספרים משומשים בהרווארד שם בארצות הברית בבוסטון. אז ספרון טופולוגיה כזה לחובבים או משהו כזה. אז הוא אומר עכשיו הוא עובר להוכיח את המשפט הזה, אז הוא אומר ככה: בשביל להוכיח את המשפט הזה קודם כל כמובן כמתמטיקאים אנחנו צריכים להגדיר את המושג צורה קמורה. כי אחרת כשחשבנו על זה כמו בעלי בתים, בעלי בתים לא יכולים להוכיח כלום. זאת אומרת בשביל להוכיח משהו צריך להגדיר את המושגים שמעורבים פה, אחרת לא עשית שום דבר. איך מגדירים את המושג צורה קמורה? זאת שאלת המפתח. עכשיו מתברר שיש איזה הגדרה די פשוטה וההגדרה אומרת כך: נגיד שיש לנו פה שתי נקודות בתוך הצורה ואני עכשיו מחבר אותן אחת לשנייה. אתם רואים שכל הקו שמחבר את הצורות אחת לשנייה נמצא בתוך הצורה, נכון? את הנקודות. לעומת זאת בצורה קעורה זה לא מתקיים. אוי, מה הוא עשה. רגע. הנה זה צורה קעורה. ובתוך צורה כזאת זה לא מתקיים. למה? קחו את הנקודה הזאת ואת הנקודה הזאת. עכשיו בוא נחבר אותן. אתם רואים שחלק מהקו נמצא מחוץ לצורה? זה אומר שהצורה היא צורה קעורה. אוקיי? אז יש לנו עכשיו הגדרה. ההגדרה של צורה קמורה זה צורה כזאת שכל שתי נקודות שתבחרו בתוכה, תחברו אותן בקו ישר, כל הקו נמצא בתוך הצורה. זו הגדרה של צורה קמורה. אוקיי? עכשיו, רגע, נשתמש עוד פעם בטכנולוגיה המתקדמת של לפתוח מחדש. אז עכשיו בואו נסתכל למשל על החיתוך של שתי הצורות הקמורות האלה. אוקיי, זה שתי צורות קמורות ואני רוצה להסתכל על החיתוך ביניהן. מה אני צריך להוכיח כדי להוכיח שהחיתוך הוא צורה קמורה? אני צריך להוכיח שכל שתי נקודות בתוך הצורה הזאת, אם נחבר אותן, כל הקו יהיה בתוך הצורה, נכון? זה ההוכחה שהצורה היא צורה קמורה. כן. עכשיו ההוכחה מאוד פשוטה. למה? שתי הנקודות האלה נמצאות בחיתוך, אז הן נמצאות גם בצורה הזאת וגם בצורה הזאת, נכון? זה שהן נמצאות בחיתוך זה אומר שהן שייכות גם לצורה הזאת וגם לצורה הזאת. זאת המשמעות של חיתוך. חיתוך זה אוסף הנקודות שנמצאות בשתי הצורות הנחתכות. אז אם אני לוקח את שתי נקודות הקצה האלה, אם הן נמצאות בחיתוך אז הן נמצאות גם פה וגם פה. עכשיו כיוון שכל אחת משתי הצורות היא צורה קמורה, אז אם יש בתוכה שתי נקודות ואני מעביר קו ישר ביניהן, הקו צריך להימצא בצורה הזאת כי היא קמורה. הוא צריך גם להימצא בצורה הזאת כי גם היא קמורה. ואם הוא נמצא גם פה וגם פה, אז הוא נמצא בחיתוך. מה שהיה להוכיח. הבנתם מה שעשיתי? מי אמר שכל שתי נקודות יענו על זה? כי אני מראה לך. כי אם יש לך שתי נקודות בחיתוך, אז קודם כל אני יודע ששתי הנקודות האלה נמצאות גם בצורה הזאת וגם בצורה הזאת. אחרת הן לא היו בחיתוך, נכון? כן, אבל אני צריך לנסות את כל הנקודות האפשריות. לא, לא, לא, לא, אתה לא צריך לנסות כלום, אתה צריך להוכיח. אז עכשיו אני לוקח שתי נקודות. אני יכול לטעון: כל צמד של נקודות שאני אבחר בחיתוך יהיה שייך גם לצורה הזאת וגם לצורה הזאת, זה נכון? על כל שתי נקודות. כן. נכון? עכשיו אני מחבר את שתי הנקודות האלה בקו. עכשיו הקו הזה חייב להיות שייך לצורה הזאת, למה? כי זאת צורה קמורה ויש שתי נקודות בתוכה, אז הקו שמחבר אותן כולו בתוכה. נכון? ההנחה היא שזאת קמורה. אותו דבר זאת, גם זאת קמורה. אז אם שתי הנקודות נמצאות בזאת, אז גם הקו שמחבר אותן נמצא בזאת. אז זה אומר שהקו נמצא גם בצורה הזאת וגם בצורה הזאת, או במילים אחרות, הקו שייך לחיתוך, כי הוא נמצא בשתי הצורות. אז הוכחתי שאם יש שתי נקודות בקבוצת החיתוך, אז הקו שמחבר אותן גם הוא נמצא בקבוצת החיתוך, זה אומר שקבוצת החיתוך היא קמורה. יפה. בסדר? עכשיו תראו איזה הוכחה פשוטה להפליא, זה הוכחה שילד יכול למצוא. אז למה הסתבכתי כל כך לפני כן? הסתבכתי כל כך לפני כן בגלל שלא הגדרתי את המושג צורה קמורה. ברגע שהגדרתי את המושג צורה קמורה, פתאום ההוכחה הופכת להיות טריוויאלית. עכשיו תשימו לב, זה שיעורון קטן במתמטיקה פשוטה. אבל עכשיו תשימו לב למשמעות של הדברים. המשמעות של הדברים: האם באמת פתרתי את הבעיה? הרי אני שאלתי שאלה בעל-בתית, כן? לקחתי שתי צורות קמורות ואני שואל האם החיתוך שלהן, כן, כל בעל-בית נורמלי שואל את עצמו, כשאתה לוקח שתי צורות קמורות ואתה בודק את החיתוך ביניהן, האם הוא גם צורה קמורה? אין מי שלא שאל את זה את עצמו ביום מן הימים. אז מה אתה עונה על דבר כזה? לא יודע. עכשיו בא המתמטיקאי ומייעץ לי לפתור את הבעיה. איך מוכיחים את הבעיה? בוא נגדיר את המושג צורה קמורה באופן שהגדרנו, שכל שתי נקודות הקו שמחבר אותן נמצא בתוך הצורה. ואחרי שהגדרנו את זה, אתה תראה שההוכחה היא מאוד מאוד פשוטה. נשארה רק בעיה אחת: מי אמר שההגדרה הזאת באמת מייצגת את המושג הבעל-בתי של צורה קמורה? זה מייק סנס, כן? כל אחד. מבין שזה מאוד מתאים למושג צורה קמורה, שלהגיד שכל שתי נקודות בתוך הצורה הקו שמחבר אותם יהיה כולו בתוך הצורה. יש לך הוכחה שזה באמת מתאר את כל את כל הצורות שהייתי קורא להן קמורות באופן בעלבתי? אין הוכחה, זו הגדרה. אוקיי. עכשיו מתמטיקאים מסוימים תשאל אותם מאיפה באה ההגדרה, היא לא באה משום מקום, זאת החלטנו שזאת ההגדרה ומכאן ואילך אנחנו נתחיל לפעול. זה שרירותי, זה לא דורש הצדקה. הגדרה לא דורשת הצדקה, חלק מהמתמטיקאים יגידו. אבל, אבל אם זה ככה, אז אתה לא הוכחת שכל חיתוך של שתי צורות קמורות הוא קמור. כי אני שאלתי שאלה על העולם הבעלבתי ואתה ענית לי על המושג צורה קמורה כפי שמתמטיקאים מגדירים אותו. אני לא יודע אם זה אותו מושג, או בטח אתה לא יכול להגיד לי שיש לך הוכחה שזה אותו מושג. והרי מתמטיקאים דורשים הוכחות. זאת אומרת, שאתה לא באמת הוכחת את המשפט שחיפשתי. זאת נקודה מאוד חשובה, שימו לב, היא עדינה קצת. אתה לא באמת הוכחת את המשפט שחיפשתי שרציתי להוכיח. אתה הוכחת משפט אחר שנראה לי שהוא כנראה שקול, הוא יהיה אותו דבר, אבל נראה לי זה לא טוב בשביל מתמטיקאים, צריך הוכחות. ולכן בעצם מה שאני רוצה לטעון זה שהדרך הזאת שאותה עשינו לא באמת עזרה לי להוכיח את מה שחיפשתי. התוצאה בסופו של דבר נשארה לא מוכחת גם אחרי המהלך המתמטי. כיוון שכשאני שואל את השאלה הבעלבתית על עולם המושגים הפשוט שלי, אז בשאלה הזאת אין לי תשובה. יש לי תשובה בעולם המושגים המתמטי. אחרי שהגדירו את המושג צורה קמורה, על ההגדרה ההיא אני יכול להוכיח את המשפט. אבל מי אמר שההגדרה ההיא חופפת לתפיסה הפשוטה שלי של המושג צורה קמורה? אוקיי, אבל אני לא בדיוק מסכים. אנחנו כבר יודעים שבכל דבר בפיזיקה אין דבר של הוכחה. אני לא יכול להגיד שמשפט ניוטון או משהו נכון. נו, אז למה אתה לא מסכים? נתת עוד דוגמה למשהו בעולם בפיזיקה. אין הוכחות בעולם של פיזיקה. תודה. אני מסכים לכל מה שאתה אומר חוץ מהמשפט הראשון. אמרת שאתה לא מסכים, למה אתה לא מסכים? אתה חוזר על מה שאמרתי. אני מסכים לגמרי, אין שום דבר בפיזיקה שיש לו הוכחה, והשאלה שמה שאני רק רוצה לטעון, השאלה שאותה שאלתי היא שאלה בפיזיקה, לא במתמטיקה. ולכן כשמתמטיקאי חושב שהוא הוכיח לי את זה הוא טועה. הוא הוכיח משהו מקביל בעולם המתמטי. השאלה אם הדבר בעולם המתמטי מקביל למה שאני קורא בעולם הפיזי, מה שקורה בעולם הפיזיקלי, זאת שאלה שלא יכולה להיות עליה הוכחה, ולכן בעצם אתה לא תצליח להכניס לי את הדבר הזה כהוכחה לעולם הפיזיקה. זה הוכחה בעולם המתמטיקה. יש דברים שהם אקסיומה. אוקיי, תעשה אקסיומה תעשה מה שאתה רוצה, אבל הוכחות אין כאן. מה שאני בעצם רוצה לומר זה שכאשר אנחנו עברנו מהמושג הבעלבתי של צורה קמורה למושג המתמטי שמוגדר בצורה חדה, כן, שבין שתי נקודות קו שמחבר שתי נקודות שייך כולו לצורה, עשינו פה בעצם איזשהו סוג של קפיצה בלי לשים לב. אנחנו מבחינתנו זה היה נראה אותו דבר. אנחנו רק הגדרנו במילים את התחושה האינטואיטיבית שהייתה לנו לגבי צורה קמורה. אבל זה לא מדויק. לא בטוח שבאמת לכדת בצורה מלאה את התחושה הבעלבתית, כן, האינטואיציה הפשוטה שלך לגבי צורות קמורות. אולי זה נראה נכון, התחושה היא שזה נכון, אבל תחושות עם תחושות מתמטיקאים לא הולכים למכולת, פיזיקאים כן. אבל הנקודה היא שאם אתה טוען שהוכחת פה משהו, לא הוכחת כלום. אז למעשה מה עזר לי המהלך המתמטי? אתה יכול להגיד הוא עזר לי כי פרסמתי על זה פייפר. בסדר, זה עוזר למתמטיקאים. אבל במה זה עזר לי כפיזיקאי או כפילוסוף? במה זה עזר לי? התשובה היא הבאה. זה בעצם צמצם את המרחב הלא מוכח שיש לי. זה לא ביטל אותו. תמיד יהיה חלק בעולם שלנו שהוא לא מוכח. כל מה שעושה מה שעושה התהליך שתיארתי כאן זה לצמצם אותו. בוא נכניס את כל החלק הלא מוכח לתוך ההגדרה. ההגדרה היא שיש לי יש לי צורה קמורה שזה מה זה צורה קמורה? כל שתי נקודות בתוכה הקו שמחבר אותן. גם הוא שייך לצורה. זאת ההגדרה. עכשיו בתוך ההגדרה הזאת מתחבא כל מה שאני לא יודע להוכיח על העולם. מכאן ואילך אני יכול ללכת עם מתמטיקה ולהוכיח את זה בצורה פשוטה ומוכרחת. אוקיי? אז מה עשיתי? לקחתי בעיה שלא ידעתי מה לעשות איתה, כי אני לא יודע, לא הגדרתי, אני לא יודע איך להוכיח דברים, זה מין אינטואיציה כזאת שחיתוך של צורות קמורות הוא צורה קמורה אבל אין לי דרך להתקדם להוכחה. ומה אני עושה? אני מצמצם אותה או מחלק אותה לחלק שהוא פיזיקה ולחלק שהוא מתמטיקה. החלק של הפיזיקה אומר, בוא נגדיר את הצורה הקמורה באופן הבא: בכל שתי נקודות בתוך הצורה, הקו שמחבר אותן הוא שייך לצורה. ועכשיו בא החלק של המתמטיקה ואומר: אוקיי, זאת ההגדרה, מההגדרה ואילך אני אוכיח לך את המשפטים כבר. זה כמתמטיקאי אני עושה. אבל אנשים לא שמים לב שיש פה צעד פיזיקלי בתוך העניין. איך בנינו את ההגדרות או האקסיומות שלנו, אותו דבר, אבל ההגדרות והאקסיומות שלנו בעצם אלה צעדים שלא שייכים למתמטיקה אלא צעדים של פיזיקאי. הפיזיקאי אומר לך זה מבחינתי ההגדרה של צורה קמורה. עכשיו יבוא המתמטיקאי ויוכיח משפטים על הצורות הקמורות. אבל כל הזמן ברקע יש את ההנחה שהמושג המתמטי של צורה קמורה הוא מקביל או שקול למושג הבעל בייתי או הפיזיקלי של צורה קמורה, ואת זה לעולם לא נצליח להוכיח. ולכן מה שאני בעצם רוצה לטעון זה שכשמנסים להוכיח במתמטיקה טענות על העולם, לא באמת מוכיחים טענות על העולם. מוכיחים טענות על איזה שהוא קורלנט מתמטי לעולם. אני בונה משהו כן מקביל למה שקורה בעולם שמוגדר היטב מתמטית ואני מוכיח לגביו כל מיני הוכחות. יש אגב הרבה מאוד אנשים שטוענים שזה בעצם גם מה שעושה הפיזיקה, שאנחנו מנסחים בצורה מתמטית את התופעות בפיזיקה. כל מה שאנחנו עושים אחרי זה עם הצורה המתמטית אנחנו עושים את זה על הקורלנט התיאורטי. אבל אני לא יודע אם זה נכון בעולם המעשי, אני מניח שזה אותו דבר ולכן זה נכון. אבל מה שהוכחתי על המודל הפיזיקלי זה לא בהכרח טענה על העולם. זאת שאלה גדולה בפילוסופיה של הפיזיקה. אבל לענייננו, מה שאני בעצם רוצה לומר, בוא נשים לב מה משמעותו של הצעד הזה. שעשיתי את הצעד הזה והסתכלתי על המושג האינטואיטיבי הזה של צורה קמורה ותרגמתי אותו להגדרה, שכל שתי נקודות בתוכו הקו הישר שמחבר אותן גם הוא יהיה בתוך הצורה. יש משהו שאני לא מבין. אוקיי. מה האינטואיציה אומרת? לכל אחד מאיתנו מה ההגדרה של, הגדרה זה לא המילה הנכונה, איך אנחנו מבינים באינטואיציה צורה קמורה? כשאני אתן לך תשובה לשאלה הזאת התשובה הזאת תהיה הגדרה. בסדר, אבל זה האינטואיציה שלי והאינטואיציה שלך יכולות להיות שונות. לא בצורה של הגדרה, אני אגיד לך זה עם הבטן החוצה. מתמטיקאים מתהפכים בקברם כשאני אומר דבר כזה, אבל זה כן, זה צורה שהבטן שלה כל הזמן החוצה מכל הכיוונים. אז אם הבטן שלה החוצה מכל הכיוונים זאת למעשה הגדרה. אז למה אני לא יכול להוכיח את ההגדרה שלנו? קודם כל יכול להיות שתוכל להוכיח על בסיס ההגדרה הזאת, אני לא יודע, אני חושב שיהיה לך מאוד קשה. אני ניסיתי ולא הצלחתי. אבל יכול להיות שאפשר גם על בסיס זה. כי למעשה האינטואיציה שאתה קורא לה אינטואיציה היא למעשה הגדרה. לא, זאת לא הגדרה. הביטוי המילולי של זה הוא הגדרה. הבטן החוצה זה הגדרה. הביטוי המילולי של זה הוא הגדרה. האינטואיציה זה אותו דבר שהביטוי המילולי מנסה ללכוד. זה מחשבה בראש, לא יודע, ברגע שאתה מתרגם את זה למילים כבר עשית איזשהו צעד של המשגה. וכשאתה עושה את הצעד של ההמשגה בצורה חד משמעית כי המושג בטן לא מוגדר היטב לכן מתמטיקאים לא יאהבו את ההגדרה עם מה זה עם הבטן החוצה. לא יאהבו, בסדר, אבל בסוף זה הגדרה. לכן אני אומר, תמיד כאשר אתה מעביר את זה לתיאור מילולי זה באמת יהיה הגדרה. אבל את מה אתה מתאר כך באופן מילולי? אתה מתאר באופן מילולי איזשהו סוג של מחשבה או אינטואיציה שיש לך בראש על המושג צורה קמורה. כל תיאור מילולי שתיתן לזה יהיה איזה שהוא סוג של הגדרה, מוצלחת יותר מוצלחת פחות אבל יהיה סוג של הגדרה. ואז אתה יכול להתחיל לעבוד. מה ההגדרה של קו ישר למשל? שזה גם אינטואיציה. שיש לי אינטואיציה מה זה קו ישר. נכון. אבל זה בדיוק פה הרציני. אבל זה מוגדר. זה מוגדר כך שאני משתמש בזה בהוכחות מתמטיות. יכול להשתמש במתמטיקה… אני לא מבין מה ההבדל. ואני אתן עוד דוגמא. הדוגמא עוד דוגמא שזה מפורסמת, היו את כל המשפטים של יוקליד לאורך אלפיים שנה על קווים מקבילים וכן הלאה. ולפני מאה, מאה חמישים שנה בדיוק חשבו, מה קורה אם אני חי על כדור או משהו שזה, אז כל המשפטים האלה לא נכונים. אם אני לא בגיאומטריה יוקלידית יש עוד גיאומטריות אפשריות. והנחה שלי שאנחנו חיים בגיאומטריה יוקלידית, זה הנחה. כן. אני אגיע עוד מעט לגיאומטריות לא יוקלידיות, אבל אני רוצה רק לחדד את הנקודה הזאת. הטענה שלי היא כשאתה מגדיר משהו, ואני אומר עוד פעם, הכל עם הבטן החוצה זה גם הגדרה. כל עוד המושג בטן נהיר לך דיו, אוקיי? ויכול להיות שאתה באמת על בסיס זה גם כן תוכל להוכיח את המשפט הזה, אז עשית מהלך מקביל למה שעשיתי כאן. זה לא ישנה כלום. בסופו של דבר הטענה שלי… אתה צודק, אני מסכים. בסופו של דבר הטענה שלי זה שהמעבר ממושג אינטואיטיבי מופשט לא מנוסח להמשגה מנוסחת או להגדרה, הוא בעצם איזה שהוא מעבר שמנסה ללכוד במילים רעיון מופשט. עכשיו מה זה הרעיון המופשט הזה? אז זה נכון לכל דבר במתמטיקה. קו ישר, הבאתי דוגמא קו ישר. זה גם תרגום של זה. זה נכון לכל דבר, לא רק במתמטיקה. זה נכון לכל דבר נקודה. אנחנו מדברים עכשיו על מתמטיקה. נכון. לא, לא, זה אני מסכים לגמרי, רק פה הבאתי דוגמא אבל זאת דוגמא. ברור שכל המושגים הם כאלה. ולכן גם במתמטיקה כשאתה מגדיר דברים תמיד בבסיס יהיה סט של מושגים שאותם אתה לא יכול להגדיר. כי כל הגדרה מבוססת על מושגים. אז למה היה צריך את כל הפלפול הזה של ההוכחה של זה? סתם אפשר היה להגיד קו ישר. קו ישר, איך אנחנו מגדירים? זה בדיוק הנקודה. ברגע שאתה תגיד את המושג קו ישר, אני יכול להראות לך שיהיו משפטים במתמטיקה שלא תצליח להוכיח. לא תצליח. אבל אחרי שאני אגדיר לך את זה בצורה ברורה את המושג קו ישר, אתה תראה שאני אצליח להוכיח, בדיוק כמו שעשיתי כאן. בסדר, אוקיי. זו דוגמא, אבל זה דבר מאוד כללי מה שאתה אומר. כן. האם זה שייך למושג של אי אפשר לצמצם? איך אתה מבין את זה? יש כל מיני דרכים להבין את זה. דרך אחת אולי זה בדיוק ככה, שזה מושג מופשט ולא שייך למציאות. אני לא יודע למה זה קשור לאי אפשר לצמצם. למשפט האחרון אני מסכים. זה מושג מופשט ושייך לעולם האפלטוני, נגיד לעולם האידיאות, וכשאני רוצה להעביר אותו למילים אני בעצם הופך אותו למשהו קונקרטי. אני מחבר את האידיאה אל ההופעות שלה בעולם. אידיאת המשולש זה משהו שקיים בעולם האידיאות, או הצורה הקמורה, ובעולם שלנו יש צורות קמורות ספציפיות. הצורה הזאת והצורה הזאת והן כולן קמורות. ואז אני שואל את עצמי מה משותף לכל הצורות האלה? מה שמשותף לכל הצורות האלה זה בעצם התכונות של האידיאה בעולם האידיאות האפלטוני. לא, אבל יש דרך אחרת להבין אי אפשר לצמצם, שזה לא עניין שזה מופשט ואי אפשר באמת במציאות למצוא את הנקודה המצומצם, אלא הפשט הוא באמת יש את הנקודה הזאת, אלא לבן אדם אי אפשר לדייק כל כך. לא, אז לכן אני אומר שאני לא מבין את הקשר לסוגיית אי אפשר לצמצם. בסוגיית אי אפשר לצמצם אני מסכים איתך וזה מחלוקת ראשונים בשאלה הזאת. זה לא בראשונים, זה כבר מתחיל בגמרא, אם צמצום בידי שמיים או צמצום בידי אדם. יש מחלוקת האם אפשר לצמצם זה רק בידי אדם או גם בידי שמיים. וזה בדיוק השאלה, האם זה לא קיים בכלל או שזה קיים רק בני אדם לא יודעים לדייק. אבל אני מדבר על שאלה אחרת. השאלה של ההגדרה היא לא שאלת הצמצום. שאלת הצמצום זו שאלה על שיעורים, האם אתה יכול לקלוע בדיוק ל-50 אמה כקושיית רבי ירמיה. אבל פה אני לא מדבר על זה. אני מדבר על שאלה של הגדרה מול המושג המוגדר. זה לא שאלה של… אפשר או אי אפשר לצמצם. אבל כמובן שהמחלוקת בין אריסטו לבין אפלטון היא שקולה למחלוקת שאתה תיארת לגבי אפשר או אי אפשר לצמצם. כי אריסטו טוען שהדבר המופשט הזה שאותו אנחנו מנסים ללכוד לא באמת קיים. אין דבר כזה באמת. זאת המצאה שלנו. אנחנו לוקחים אוסף של צורות כאלה, רואים שמבחינתנו נראה שיש להם איזושהי תכונה משותפת, אנחנו מגדירים את התכונה הזאת בתור קמירות. נוח לנו לדבר עליה. לעומת זאת אפלטון טוען שאנחנו דרך הצורות הקונקרטיות האלה מבינים שיש מושג אפלטוני בעולם האידאות שנקרא קמירות ואז אנחנו מתבוננים בעצם עליו. אולי דרך הצורות, אבל אנחנו מתבוננים עליו ומנסים להבין מה הוא אומר. וזאת בדיוק הנקודה שאפלטון רואה את התהליך שתיארתי כאן כתהליך של תצפית. זאת אומרת, אני מסתכל על העולם, על האידאה הזאת של הקמירות בעולם האידאות האפלטוני ומנסה לתאר אותה במילים שלי. ככה אני יוצר הגדרה. הגדרה זו תוצאה של תצפית. זה תיאור של אובייקט שאני צופה עליו. איפה ההשלכה? ההשלכה היא למשל הרבה פעמים תשאל מתמטיקאים, תגיד, זה הגדרה נכונה או לא? אז הוא יגיד לך מה זאת אומרת? אין דבר כזה הגדרה נכונה. מה זה הגדרה נכונה? אם זאת אתה יכול לשאול אם היא עקבית, אם היא לא כוללת סתירה בתוכה, אבל מה זה הגדרה נכונה? אם זאת ההגדרה שלך, זאת ההגדרה שלך. אין דבר כזה נכון ולא נכון. בהסתכלות האפלטונית זה לא ככה. בהסתכלות האפלטונית יש הגדרות נכונות והגדרות לא נכונות. אם ההגדרה לא לוכדת את האידאה האפלטונית כמו שצריך, אז היא לא הגדרה נכונה. וזאת בדיוק השאלה, האם הטענה שבין כל שתי נקודות בצורה אם תחבר אותם בקו כל הקו יהיה בתוך הצורה, האם היא לוכדת עד הסוף את האידאה האפלטונית של צורה קמורה, שזה התחושה האינטואיטיבית שאיתה יצאתי לדרך, מה שהיה לי בהתחלה? וזה הוויכוח. אם אתה אם זה לוכד עד הסוף אז הוכחת, אבל אתה לא יכול להוכיח לי שזה לוכד עד הסוף. זאת תחושה שהיא לוכדת עד הסוף. כן. הרב הרב הרב, אם אני מבין את הרב שבעצם אי אפשר להוכיח או שההגדרה לוכדת את כל המושג או את כל האינטואיציה של המגדיר, אז אפשר אולי אפילו להגיד יותר חריף. כיוון שאני חושב למשל שאינטואיציה זה גם סוג של רגש, ורגש הרי אי אפשר להגדיר. אי אפשר בשום צורה, הרב הדגים לנו בעבר על צבע וכולי. אי אפשר להגדיר. אז אפשר להגיד שזה גל אור כזה או אחר. נניח אדם ינסה להגדיר אהבה, אז יגיד נניח נחליט שאהבה תמיד בדקנו ותמיד הדופק עולה כשהוא נזכר בזה. אז נתחיל עכשיו להוכיח ולדון ולהגיד הגדרה של אהבה זה דופק שעולה ב-10%. אז ברור שזה לא לוכד את הדבר עצמו, אבל יכול להיות שמבחינת הוכחה זה יהיה פרקטי ומעשי, אבל אין סיכוי שאף אחד גם לא אדם הגיוני יגיד שההגדרה לוכדת. יש משהו במה שאתה אומר, אבל בצורה קמורה התחושה שלנו שזה כן לוכד. שזה כל המהות של צורה קמורה ששתי הנקודות בתוך הקו מתחברות? כן, כן. כל התכונות האינטואיטיביות שאתה תחשוב על צורה קמורה אני יכול להראות לך שמתקיימות בצורה שמוגדרת באופן המתמטי הזה. לא אבל שזה לוכד את ההרגשה שזה מגדיר אותה, זה מה שאנחנו מרגישים כשאנחנו מדברים על קמירות. כן, כן. וזה שקול מה זה לוכד? זה שקול לגמרי לדיאגנוזה שתיתן לך התחושה. הגדרת היקף והגדרת התוכן? אז הנה, אני אתן את כל הצורות בעולם לצורות קמורות ולא לא אבל עדיין הרב, עדיין אני אומר, אם נניח כל מי שאוהב הדופק שלו עולה ב-10%, ככה בדקנו במיליארדי בני אדם זה מה שקורה. אז מישהו יבוא ויטען שזו הגדרת אהבה? שהדופק עולה מ-90 ל-120? לא לא, זה כבר שאלה של מה אתה מחפש בהגדרה. אני מסכים איתך. זאת אומרת, ברור שאתה יכול להגיד שהדבר הזה הוא בסך הכל קורלטיבי. זאת אומרת אני יכול לאבחן כל אדם שהוא כן אוהב או לא אוהב לפי הדופק, ועדיין לא הבנתי באמת מה זאת אהבה. זה אני מסכים. אבל במובן המתמטי כשאני אומר שההגדרה הזאת לוכדת את המושג האינטואיטיבי, אני מתכוון לומר שהמיון של הצורות שיעשה אדם שמצויד בתחושה אינטואיטיבית יהיה בדיוק אותו מיון כמו המיון של הצורות שיעשה מתמטיקאי לפי ההגדרה הזאת. אבל תמיד, אפילו במתמטיקה, מה זה הוכחה? תמיד אתה יכול ללכת הלאה. אתה צריך יותר הנחות. זאת אומרת כל הוכחה יש הנחות, אקסיומות, שאתה מבסס את ההוכחה שלך עליהן. ואתה יכול להגיד אוקיי, יש לך הנחה, אבל ההנחה הזאת באמת היא מבוססת על הנחות יותר מה זה נקודה? מה זה קו? מה זה סט? תמיד יש הנחות ותמיד אתה יכול לדייק יותר. אז אני רק אומר שכשאתה אומר שהנחה שאם זה מתאים להרגשה שאנשים אומרים, אתה זה תמיד ככה, אפילו כשאתה מגיע להוכחה מתמטית, אתה גם כן יכול להגיד אוקיי, אבל מה זה ההנחות של המתמטיקה יש שאני רוצה לדייק יותר, תמיד יש. זה בדיוק הטענה שטענתי כאן, לא הבנתי, זה מה שאמרתי כאן, אמרתי הנה הוכחתי לך עכשיו שכל חיתוך של שתי צורות קמורות גם הוא קמור. ואז נשאל רגע, זאת באמת הוכחה? מי אמר שההגדרה שלך לצורה קמורה היא באמת מדויקת או מתאימה לגמרי לאינטואיציה? יכול להיות שתצטרך לרדת יותר פנימה ולהגדיר את זה בצורה אחרת ופתאום תגלה שיש הבדלים. זה בדיוק מה שטענתי. אבל עוד דוגמה לאותו דבר זה עם צבע. אי אפשר להגדיר מה זה אדום. כל אחד, אבל אם אני מתרגם את זה לתדר של איזה גל, אני יכול להוכיח כל מיני דברים. אבל האם הגל הזה בדיוק זה האדום שאני רואה בעיניים, אולי כן, אולי לא. לא, ברור. צבע אדום זה מושג הכרתי, לא מושג שקיים בעולם. מה שקיים בעולם זה גל אלקטרומגנטי במקרה הטוב, אבל הצבעים זה מה שקיים אצלנו בהכרה, זה ברור. אבל לכן אמרתי שכשאני מדבר על השאלה האם ההגדרה לוכדת את המושג, אני מתכוון לומר במובן הדיאגנוסטי. זאת אומרת, שכל החלטה שאני אקבל על העולם באופן אינטואיטיבי תתקבל גם על ידי ההגדרה, זה יהיה אותו אוסף של הגדרות. דיברנו על ההגדרה דרך ההיקף ודרך התוכן של מושגים, דיברנו על זה מתישהו בעבר. כן, כשאתה מגדיר מדינה דמוקרטית. נערבב אדום וכחול או משהו, אני מקבל סגול או משהו כזה. זה כל מי שמצייר יודע את הדברים האלו. אוקיי. אני רוצה להוכיח, אני חייב להתחיל עם גלים ותדירות. בדיוק, זה בדיוק אותו דבר, נכון, זה בדיוק אותו דבר. אבל כל מי שצובע יודע מה יהיה התוצאות. אבל זה בדיוק אותו דבר מה שאני אומר, זאת אומרת אתה צריך להגדיר את הדברים בהגדרה דיאגנוסטית. מה זאת אומרת? ההגדרה אמורה לתת את אותה דיאגנוזה כמו התחושה האינטואיטיבית. זה לא אומר שמי שמחזיק בהגדרה מבין את מלוא התחושה האינטואיטיבית כמו הדוגמת האהבה מקודם. אבל זה כן אומר שמבחינה דיאגנוסטית ההגדרה הפורמלית תיתן לך את אותן דיאגנוזות כמו התחושה האינטואיטיבית. זה אני קורא פה ללכוד את התחושה האינטואיטיבית. אין פירושו להבין את משמעותה ואת הקונוטציות שלה. את זה, זה פרשיה בפני עצמה, פרשיה אחרת, גם עליה דיברנו בעבר, אבל לזה אני לא נכנס כאן. כשאני מדבר על השאלה האם ההגדרה של צורה קמורה לוכדת את המושג האינטואיטיבי צורה קמורה, אני מתכוון לומר רק במישור הדיאגנוסטי. אם מישהו ימיין צורות לקמורות ולא קמורות באינטואיציה, ומישהו אחר ימיין צורות לקמורות ולא קמורות לפי ההגדרה הפורמלית, האם יצא אותו מיון. האם הם יקבלו את אותן קבוצות. אם כן, אז מבחינתי ההגדרה הזאת מצוינת. בסדר, זאת הטענה. אז מה שרציתי להראות דרך הדוגמה הזאת זה שהמעבר מהמושג האינטואיטיבי להגדרה הוא בעצם לפי אפלטון לפחות הוא בעצם מעבר שהוא סוג של תצפית. אני מסתכל על אידיאה בעולם האידיאות האפלטוני ואני מכניס אותה למילים וככה אני בעצם יוצר הגדרה כשההגדרה זה לאסוף את אוסף התכונות המהותיות של האידיאה הזאת בה אני צופה. אתם יודעים, אולי הזכרתי את זה אני לא זוכר כבר, מישהו אמר פעם, הביא פעם בפילוסופיה אנליטית דוגמה שמביאים מדי פעם, אולי זה קריפקה הביא את זה אני לא זוכר כבר, נגיד שאנחנו מדברים על מרכז המסה של גלקסיית שביל החלב ביום שישי ה-27 ל-9 2024, כן, היום, בשעה 9:55, כן זה השעה של עכשיו. עכשיו בשביל להבין את ההגדרה הזאת אתה צריך להבין המון מושגים. צריך להבין שעות, מה זה 9, מה זה 50, מה זה 5, מה זה גלקסיה, מה זה שביל החלב, מה זה מרכז, מה זה מרכז כובד, המון המון דברים צריך להבין כדי להבין את מה שאמרתי עכשיו. אבל אתם מבינים על מה בעצם מצביעה ההגדרה הזאת? על איזשהי נקודה במרחב, בחלל, נכון? איזשהי נקודה בחלל היא מרכז הכובד של הגלקסיה שביל החלב ביום שישי בשעה זו וזו בתאריך זה וזה בשעה זו וזו. זו. אבל אני תארתי אותה בכל מיני תיאורים שהם דורשים המון ידע בשביל להבין אותם. אבל בעצם כל התיאור הזה מה הוא עושה? הוא מצביע על נקודה מסוימת במרחב. הנקודה הזאת המסוימת הזאת יכולתי להצביע עליה באצבע: הנה הנקודה הזאת. וזה אותו דבר כמו ההגדרה. ההבדל לפי ברטראנד ראסל במאמר שלו על ההצבעה, אלף תשע מאות וחמש, כן, השנה שאיינשטיין עשה את המהפכות שלו, אז הייתה גם שנה מהפכנית בפילוסופיה. באלף תשע מאות וחמש התפרסם המאמר על ההצבעה של ברטראנד ראסל שנחשב כפותח הפילוסופיה האנליטית. בכל אופן, אז במאמר שלו על ההצבעה הוא מדבר על שתי צורות להצביע על דברים, או לייצג דברים אם תרצו. יש הצבעה ישירה, פשוט אני אומר "הנה הנקודה הזאת", ויש הצבעה דרך תיאור. אני מתאר: הנקודה הזאת זה מרכז הכובד של הגלקסיה היא בתאריך זה בשעה זו וכולי וכולי. התיאור יכול לדרוש המון המון ידע, אבל הוא בסך הכל מצביע לי על אותה נקודה שהייתי יכול להצביע עליה באצבע. זה שתי צורות שונות להצביע על הנקודה הזאת וברטראנד ראסל דן בשאלה מה בכל זאת ההבדלים בין שתי צורות ההצבעה. זה כמו להתייחס לבן אדם, אז אני יכול להגיד זה דוד בן גוריון, דרך להתייחס אליו דרך השם שלו, או לתאר אותו: ראש הממשלה הראשון של מדינת ישראל. שתי האמירות האלה, השם והתיאור, מתייחסות לאותו אדם. התוכן שלהן הוא לכאורה אותו תוכן. אבל אתם מבינים שהתיאור דורש המון ידע: מה זה ראש, מה זה ראש ממשלה, מה זה מדינה, מה זה מדינת ישראל, מה זה ראש ממשלה של מדינה וכן הלאה. את כל זה אתה צריך לדעת בשביל לדעת מי זה דוד בן גוריון. אבל יש אופציה אחרת: אני אצביע לך, הנה זה דוד בן גוריון. אני אצביע לך עליו. עכשיו, כשאני מתאר לכם את דוד בן גוריון בתור ראש ממשלה ראשון של מדינת ישראל, התיאור הזה לוכד את דוד בן גוריון כי אין עוד מישהו שנענה לתיאור הזה, נכון? אין עוד אדם שהתיאור הזה נכון גם לגביו. אם הייתי אומר הוא ראש ממשלה היו עוד בני אדם. יש עוד בני אדם שהם ראשי ממשלה. אם אני אומר ראש הממשלה הראשון של מדינת ישראל אז זה רק בן אדם אחד. זה רק דוד בן גוריון. אין מישהו אחר שנענה לתיאור הזה. אבל זה עדיין אם אני אגיד לך את זה אתה עדיין לא מכיר את דוד בן גוריון. אתה לא מבין מי זה דוד בן גוריון, אתה לא תופס את הבן אדם, אתה יודע מי הוא. זאת המשמעות שדיברתי עליה כאן כשדיברתי על ההגדרה כאילו היא לוכדת. הכוונה לוכדת במובן המיון הדיאגנוסטי. עכשיו, מי שיצויד בהגדרה הזאת הוא יעבור על כל הבני אדם בעולם ויחלק אותם, אז הוא יגלה שדוד בן גוריון הוא מקיים את ההגדרה וכל השאר לא מקיימים את ההגדרה. אני כמי שמכיר את דוד בן גוריון גם יכול להגיד: זה דוד בן גוריון, כל השאר הם לא דוד בן גוריון. אנחנו נגיע לאותה חלוקה של אנשים. במובן הזה ההגדרה הזאת היא הגדרה טובה. זה לא אומר שמי שאומר ראש הממשלה הראשון של מדינת ישראל יכול לתאר את דוד בן גוריון על כל תכונותיו וההיסטוריה שלו והביוגרפיה שלו וכולי. לא, הוא לא מבין מי זה דוד בן גוריון, אבל הוא יודע להצביע עליו. אבל מצד שני אם אני מדבר על דוד בן גוריון מן הסתם שיש עוד אנשים עם אותו השם. לא, עזוב שנייה. יוסף או אני מדבר על הראש… לא, זה לא משנה, אז אני אעשה… יש שני יוסף בן שמעון באותה עיר. אז מה עושים? אז כותבים יוסף בן שמעון בן לוי. תמצא את השרשרת שהיא כבר משאירה רק בן אדם אחד. לא חשוב, זה לא מהותי. אני מדבר על שם כזה שהוא כבר ייחודי רק לבן אדם אחד. אם אתה צריך להוסיף עוד אבות בשרשרת אז תוסיף. אז בדיוק, אז בעצם אתה מוסיף הגדרה. אולי לא הגדרה מלאה אבל תמיד אולי זאת הצבעה. הגדרה זה אוסף של תכונות. שם הוא לא תכונה, הרי יכלו לקרוא לו גם אחרת. במקרה קראו לו ככה. שם זה צורה להצביע ישירות על האדם, לא לתאר אותו או על המושג, לא לתאר אותו. זה כמו כשאני אומר מדינה דמוקרטית. אני יכול להגיד מדינה דמוקרטית זה מדינה כמו אנגליה, ארצות הברית, ישראל, ספרד, צרפת, לא יודע, כל מיני, לתת את רשימת המדינות הדמוקרטיות. ואני יכול להגיד מדינה דמוקרטית, דיברתי על הדוגמה הזאת, אני יכול להגיד מדינה דמוקרטית זאת מדינה שיש לה תכונות כאלה וכאלה: הפרדת רשויות, חופש, הצבעות, בחירות דמוקרטיות וכדומה. זה תיאור דרך ההיקף אקסטנסיבי וזה תיאור דרך התוכן אינטנסיבי. שני התיאורים האלה הם זהים במובן הדיאגנוסטי, שניהם יתנו לי את אותה רשימת מדינות כדמוקרטית. אבל ברור שאין להם את אותו תוכן. ההגדרה דרך ההיקף לא אומרת לי כלום על מה זה מדינה דמוקרטית. היא רק מצביעה, היא נותנת לי רשימה ודיאגנוסטית אני יכול לדעת איזה מדינה היא דמוקרטית ואיזו לא. אם היא בקבוצה הזאת אז היא דמוקרטית ואם לא אז לא. אז דיאגנוסטית זה עושה את העבודה. אבל תשאל אותי רגע, אבל מה זה מדינה דמוקרטית באמת, במהות? אין לי מושג. אני יכול להגיד לך זה ספרד, צרפת, אנגליה… בסדר, אבל זה לא, אתם מבינים? והגדרה, הגדרה מהותית זה מקביל לשם, כאילו. הגדרה דרך ההיקף זה השם. לעומת זאת, מה שאנחנו קוראים הגדרה באמת, זו הגדרה דרך התוכן, הגדרה דרך המאפיינים. זה לא שם, זה תיאורים. בסדר? אז במובן הזה, נגיד, הצורה הקמורה זה שם. אם אני מבין את זה אינטואיטיבית, אז אני מבין מה זה צורה קמורה. הגדרה של המושג צורה קמורה זה אוסף של מאפיינים של המושג צורה קמורה שייתן לי את אותה דיאגנוזה כמו האינטואיציה של צורה קמורה. אבל המעבר מזה לזה הוא מעבר מאידיאה אפלטונית להגדרה אריסטוטלית. ולכן, אם אתה טוען שלא הגדרת נכון צורה קמורה, נגיד, אם מישהו היה מנסה להציע לי הגדרה: תמיד עם הבטן החוצה. למשל הגדרה ששמואל הציע קודם. ואז הייתי מוצא איזושהי צורה שכולנו מבינים שהיא קמורה, אבל שמה אני לא רואה את הבטן החוצה. אגב, באמת לא רואים, כי צורה ישרה זה גם, זה גם נקראת קמורה. אז זה לא עם הבטן החוצה, עם הבטן לא פנימה, זה הגדרה יותר נכונה. אבל נגיד שאני אמרתי עם הבטן החוצה ומצאתי קו ישר. אז זה לא מתאים, לא מתאים. אז מישהו יגיד לי: תראה, זאת הגדרה לא נכונה. מה זאת אומרת לא נכונה? זאת ההגדרה שלי. מה זה לא נכונה? לא נכונה כי היא לא קולעת למושג האינטואיטיבי של צורה קמורה. המושג האינטואיטיבי של צורה קמורה נותן לי דיאגנוזה אחרת מאשר ההגדרה הזאת. אז ההגדרה לא נכונה. מה זאת אומרת לא נכונה? זה אומר שיש איזשהו מושג כזה בעולם האידיאות שההגדרה מנסה להתאים לו, ואם היא לא מתאימה לו, אז היא לא נכונה. אבל לפי אריסטו אין דבר כזה הגדרה לא נכונה. הגדרה מעצם היותה כזאת, זאת ההגדרה. היא לא אמורה לקלוע לשום דבר אחר. אז אין דבר כזה נכונה ולא נכונה. זאת אומרת רק לפי אפלטון יכולות להיות הגדרות לא נכונות. לפי אריסטו הגדרה מעצם היותה הגדרה זה מה שקובע, היא לא צריכה להתאים לשום דבר אחר שבחוץ. אז אין דבר כזה הגדרה לא נכונה. אבל אנחנו כולנו מרגישים שיש דבר כזה הגדרה נכונה ולא נכונה לצורה קמורה. אם הייתי מציע לכם: צורה קמורה זה תמיד משהו שיש לו בטן עגולה. כולכם הייתם אומרים: מה פתאום? לא נכון! הבטן יכולה להיות גם אליפטית, יכולה לבלוט בצורה כזאת, בצורה אחרת. ההגדרה לא נכונה. מה זאת אומרת לא נכונה? ככה אני מגדיר צורה קמורה, מה לא נכון? זה ההגדרה שלי! לא, כי אתם מבינים שההגדרה מנסה ללכוד איזשהו מושג שקיים עוד לפניה, ואם היא לא מצליחה ללכוד אותו, אז זאת הגדרה לא נכונה. זה אומר שבעצם יש פה תפיסה, תפיסה אפלטונית. אוקיי, לקח לי הרבה יותר זמן ממה שחשבתי, אבל אנחנו מסיימים כאן. משהו הערות או שאלות? מה המסקנה של ברטרנד ראסל במאמר הזה? לא מסקנה, הוא עושה הבחנה בין שתי צורות ההצבעה. עד כמה הן חופפות? ועד כמה באמת אחת היא פחות… אתה לא יכול לענות על שאלה כזאת. אתה יכול לענות על שאלה כזאת שתיתן לי הגדרה למושג מסוים והשם שלו, ואז אני יכול לראות האם זה מתאים או לא מתאים. אי אפשר להגיד באופן כללי עד כמה הן מתאימות. ההגדרות המדויקות מתאימות לגמרי. אבל מי זאת הגדרה מדויקת? אני לא יודע. הרב עדיין טוען שיכולה להיות הגדרה שתקיף את כל המושג. דיאגנוסטית. לא, לא דיאגנוסטית. אמרנו אין ויכוח, לא, זה לא מעניין. לא דיאגנוסטית. אבל כשאנחנו דיאגנוסטית בוודאי שזה נכון, כלומר אני מבין, אבל השאלה אם יש אפשרות שהיא תקיף את כל מה שמקיפה האינטואיציה שלנו? אני חושב שלא, אבל בטח לא טענתי את זה. אני מדבר רק דיאגנוסטית. דיאגנוסטית זה ברור. אוקיי. אבל יש הבדל, אם זו הצבעה של תיאור אז אתה גם כן יכול להוכיח שאלות דומות. לדוגמה, אם עכשיו אני אומר מה זה מדינה דמוקרטית ואתה נותן לי רשימה, אז מחר אני אשאל אותך מה זה מדינה דמוקרטית, אולי יש עוד מדינה חדשה ומה שהגבת אתמול זה לא שייך היום. נכון. אבל אם זה תיאור, זה גם כן יעזור לי גם כן היום. ברור לגמרי. יותר מזה אני אגיד לך, זה דיברנו על זה, אני חושב שדיברנו על הגדרות דרך ההיקף ודרך התוכן. ואמרתי שאם אתה תשאל אותי עכשיו על מדינה חדשה האם היא דמוקרטית או לא, ההגדרה דרך ההיקף לא תעזור לי. אני צריך לקחת את ההגדרה דרך ההיקף, להוציא ממנה את ההגדרה התוכנית, לנסות ולהבין מה משותף לכל האובייקטים שנמצאים בהגדרת ההיקף הזאת, ורק אז אני אוכל לנסות ולענות על השאלה מה עם המדינה החדשה. זאת אומרת הגדרה דרך ההיקף לא תעזור לי לגבי מדינה חדשה. אני אצטרך לעשות את תהליך ההמשגה הזה, בדיוק מה שעשינו בצורה הקמורה. נגיד תהיה בעולם עקום, בעולם עקום ואתה תשאל את עצמך האם הצורה הזאת היא קמורה או לא, מרחב עקום, כן? צורה קמורה, לא תוכל לענות עליה עם התשובה של הבטן החוצה. תצטרך להבין מה זה נקרא קמירות במובן המתמטי ואז ליישם את זה על מרחב עקום ורק אז לענות. אז זאת אומרת שההצבעה של הגדרה הוא יותר בסיסי. הוא יותר פרודוקטיבי, הוא יותר יעיל. כן. כן, לכן עושים אותו. אחרת מה הבעיה? תישאר עם המקור, תישאר עם התחושה שלך, הרי כל מה שאתה רוצה זה רק להגדיר טוב את התחושות שלך, אז בשביל מה להגדיר אותם? תישאר עם התחושה. לא, כי הרבה פעמים כשאני מגדיר אותה, אני מצליח לעשות דברים שעם התחושה לבד אני לא מצליח, כמו ההוכחה שעשיתי כאן. עם התחושה לא הצלחתי להוכיח שחיתוך של שתי קמורות הוא קמור. ברגע שהכנסתי את זה לתוך הגדרה, הצלחתי. אוקיי. שבת שלום, בשורות טובות. שבת שלום. שבת שלום, תודה רבה.