משפט גדל

ההסבר לכך נעוץ באופן שבו בנינו את "מילון" הסימנים שלנו בתחילת התהליך, ובתכונה מתמטית בסיסית של מספרים.

בספר הראיתי שכדי לייצג משפט (תיאורמה) בודד, אנחנו מתאימים לכל סימן לוגי (כמו סוגריים, סימן שוויון, משתנה וכו') מספר ייצוגי. אם תשים לב, בחרנו להקצות לסימנים הללו אך ורק מספרים אי-זוגיים (1, 3, 5, 7, 15 וכו'). כעת, כדי לבנות "מספר גדל" שמייצג את המשפט כולו, אנו לוקחים את סדרת המספרים הראשוניים (2, 3, 5, 7…), ומעלים כל אחד מהם בחזקה של המספר שמייצג את הסימן המתאים באותו מיקום במשפט. כיוון שהסימנים מיוצגים רק על ידי מספרים אי-זוגיים, יוצא ש"מספר גדל" של משפט בודד מורכב ממכפלת ראשוניים שהחזקות של כולם הן בהכרח מספרים אי-זוגיים.

לעומת זאת, מהי הוכחה? הוכחה בשפה הפורמלית היא בסך הכל סדרה של משפטים (תיאורמות) שכל אחד מהם נגזר מקודמיו. כדי לייצר "מספר גדל" של הוכחה שלמה, אנו שוב לוקחים את סדרת המספרים הראשוניים, אך הפעם אנו מעלים כל אחד מהם בחזקה של מספר הגדל המייצג את המשפט כולו (נקרא לו למשל g1 עבור השורה הראשונה, g2 עבור השנייה וכן הלאה).

כעת עלינו לשאול: האם מספרי הגדל של המשפטים הללו (g1, g2…) הם זוגיים או אי-זוגיים? התשובה היא שהם תמיד מספרים זוגיים. מדוע? משום שמספר גדל של כל משפט מחושב כמכפלת מספרים ראשוניים, שהראשון שבהם הוא תמיד המספר 2 (בחזקה אי-זוגית כלשהי, שכן לכל משפט יש סימן ראשון). מכיוון ש-2 הוא גורם במכפלה הזו, התוצאה כולה – מספר הגדל של המשפט – מוכרחה להיות מספר זוגי.

לכן, כאשר אתה מתבונן בפירוק לגורמים של מספר גדל כלשהו ובוחן את החזקות שלו, אתה יכול מיד לזהות את מעמדו הלוגי: אם החזקות הן מספרים אי-זוגיים, אתה יודע שהמספר הזה מייצג משפט (תיאורמה) בודד, משום שהחזקות הן קודי הסימנים. אך אם החזקות הן מספרים זוגיים, ברור לך שהמספר מייצג הוכחה שלמה, שכן החזקות הן מספרי הגדל של המשפטים המרכיבים אותה (שהם כאמור, תמיד זוגיים).