דוגמאות הלכתיות לטעות בשימוש בהסתברות מותנה (טור 145)

תוכן המאמר

בס"ד דוגמאות הלכתיות לטעות בשימוש בהסתברות מותנה

בטור הקודם ניתחתי את הטיעון הפיסיקו-תיאולוגי על סמך נוסחת ההסתברות השלימה של בייס , ועמדתי על טעויות שנעשות בשימוש בהסתברויות מותנות הפוכות. בטור הזה אמשיך ואראה טעויות דומות שנעשות בשימוש בנוסחה זו ב שתי דוגמאות ב.הלכה .עם המשועממים הסליחה אני מקווה ש.בזאת אסיים את פסק הזמן ההסתברותי

.רוב בבי"ד: השאלה לפני כמה חודשים שאל אותי מישהו את השאלה הבאה:

בעל ספר החינוך (ראה טור67 ו- מסביר שהולכים אחר הרוב בבי"ד כי כשיש רוב לדעה מסוימת אז הסיכוי לכך שהיא הנכונה הוא גבוה יותר. משמעות הדבר היא שהסיכוי ל פסוק נכון של הרבה דייני גבוה מ הסיכוי של דיין אחד, או של מעט יותר דיינ ים, ל פסוק נכון .אם נניח שה סיכוי של דיין מומחה ל פסוק נכון הואp, ש א הו כמובן שבר בין0 ל- . הסיכוי שלn דיינים ל פסוק נכון הואn כשמכפילים את הסיכויים (בהנח ת אי תלות של צדק או טעות בין דיינ ים שונים), תמיד מקבלים תוצאה נמוכה יותר. זה סותר את ההסבר ההסתברותי שב דברי החינוך.

אבל זה אבסורד על פניו, שהרי בה במידה הסיכוי ל טעות של הרבה דיינ ים נמוך מהסיכוי שמעט יותר מהם טועים או שאחד טועה( . הסיכוי לטעות של דיין אחד הוא1-p ), שגם הוא שבר בין0 ל- , ולכן הסיכוי לטעות שלn דיינים , ש הואn) (1, ודאי נמוך יותר. אז מהי האמת? הסכמה של כמה דיינים משפרת הסיכוי לטעות או את הסיכוי לפסוק נכו?ן

הערה בשולי הדברים הנחנו כאן במובלע אי תלות בין דעות הדיינים, שכן אם הדעות תלויות זו בזו (אחד משפיע על השני בצורה כלשהי) אז לא מוצדק להכפיל את הסיכויים של כל אחד מהם באחרים. כך למשל אם נטיל קובייה פעמיים בדיוק באותה צורה (אותה זווית ואותה מהירות התחלתית), מה הסיכוי שהיא תיפו ל פעמיים על6 1/6

כמובן (ולא1/36 ). רק אם ההטלות לא תלויות יש להכפיל את הסיכויים כדי לקבל .את הסיכוי לצמד די ברור שהנחת ה אי תלות בין הדיינים לא נכונה כפשוטה (כי בבי"ד הם דנים ומתוו כחים ומעבירים )נימוקים בין כולם. לצורך הפשטות (ענייננו כאן הוא בהדגמה של רע )יון ולא בבירור דין רוב בבי"ד נניח כאן בכל זאת אי תלות , כלומר שכל דיין מבית הדין מגבש את עמדתו לבד. במצב כזה סביר להניח שהסיכוי שלn

דיינים לטעות או לצדוק הוא אכן מכפלת הסיכויים (גם על זה יש לפלפל טובא, אבל .)כאמור זה לא חשוב

1. קביעת וסתות: השאלה אותו יה .ודי שאל אותי שאלה נוספת, וכפי שנראה להלן התשובה אליה דומה בהלכה קובעים את הו ו סת של אישה (מתי יש לה מחזור) לפי ראיות. אם היא רואה דם במרווחי זמן קבועים שלוש פעמים, אז המסקנה היא שהפיזיולוגיה שלה היא קבועה (כלומר שאצלה יש מרווח קבוע בין הראיות), ואז עליה לח שוש שתראה דם גם ב מועד שאחרי ה מרווח הבא . לכן חכמים אסרו עליה לקיים במועד זה יחסי אישות (להלכה איסור וסתות הוא מדרבנן ). לדוגמה, נניח שאישה ראתה דם שלוש פעמים במרווח של ימים בין פעם לפעם, אז ביום ה- הבא אחרי הפעם השלישית עליה לחשוש שתראה ולהימנע מקיום יח.סי אישות כעת נניח שלוש הנחות:

דוע רפואית שהמרווחים של נשים נעים בין28

ימים לבין31 ימים , כלומר יש ארבעה סוגי מרווחים.

נניח שלאישה בימינו (פעם זה היה הרבה פחות) יש מחזור פעיל במשך כארבעים שנה, כלומר כחמש מאות חודשים.

עוד נניח שהמרווחים מתפלגים אחיד (הסיכוי למרווח של28

יום הוא אותו סיכוי.)

?כעת נשאל: מה הסיכוי לקבל באופן מקרי שלושה מרווחים שווים בתקופה הזאת התשובה היא 1/16

למה? נניח שהמרווח הראשון היה29 ימים . הסיכוי שהבא אחריו יהיה גם הוא29

ימים הוא1/4 והסיכוי ש גם הבא אחריו יה יה29

ימים גם הוא1/4 . לכן הסיכוי לשלושה מרווחים שווים ברציפות הוא 1/16 .שוב, זה בהנחה של אי תלות. אם יש תלות אז כמובן הסיכוי שכל המרווחים הם שווים גדל מאד אם התלות היא גמורה, כלומר אם באמת יש לאישה מחזור קבוע אז הסיכוי הוא1

בכל אופן, גם אם לאישה אין מח זור קבוע , במהלך500

פעמים לאורך החיים ברור שיהיו לא מעט שלשות כאלה של מרווחים קבועים :(בממוצע כשלושים500/16 אז למה ההלכה מחליט אחרי שלוש פעמים של אותו מרווח שיש לה וסת קבוע?

.בה במידה זו יכולה להיות תוצאה מקרית

1. רוב בבי"ד: ההסבר ראשית, מבט נוסף מעלה שהתמונה שתוארה בשאלה לא יכולה להיות נכונה. הסיכוי שאוסף שלn

הסיכוי שהאוסף הזה צודק חייב להיות+ דיינים טועה1 . אבל לא נכון ש- = 1

p) + (1

. בעצם זה לא מתקיים כמעט אף פעם (למעט המקרים שבהם p=0,1 .)

איך ייתכן שהסכום של שתי ההסתברויות הללו אינו1 .טוב, כאן כמובן יש אפשרות שתהיה התפלגות דעות בבי"ד ולא כולם יחליטו פה אחד כדי לנתח את המקרה, הבה ,נניח שמדובר במחלוקת ממונית בין ראובן לשמעון. שמעון תובע את ראובן ( ובפני ביה"ד עולות שתי אפשרויותk 🙂 שהוא אמור להכריע ביניהן ( או שראובן חייב1 ובקיצור1 ( או שראובן פטור0 , ובקיצור0 .)

נתון לנו שהסיכוי של דיין לטעות הוא1-p

ולהיות צודקp. נניח לצורך הפשטות שהס יכוי לטעות לשני הכיוונים (ל זכות את החייב או ל חייב את הזכאי.) הוא שווה חשוב להבין ש ה סיכוי של דיין לטעות (וכן להיות צודק) הוא בעצם הסתברות מותנה: הסיכוי שהדיין יאמר שקרה1

(או0 בהינתן שקרה0

(או ).

כעת נתון לנו האירועA ,, שהוא: שני דיינים אומרים שראובן חייב ואחד אומר שהוא פטור. השאלה היא בהנחה שזוהי הכרעת הדיינים מה נכון יותר להחליט: שר .אובן אכן חייב (כדעת הרוב) או שראובן פטור כאמור, בעל החינוך .אומר שהולכים אחר הרוב כי הם בד"כ צודקים רוב הסיכויים שהשניים צודקים .והאחד טועה ולא ההיפך?מדוע זה נכון הרי הסיכוי ששניים צודקים הוא2 , והוא קטן מהסיכוי שאחד צודקp. אבל כפי שראינו גם ההיפך נכון , הסיכוי ששניים טועים2 p) (1

( קטן מהסיכוי שאחד טועה- p). אז מהי האמת. כאמור, שני הסיכויים הללו לא מסתכמים ל-

זה מחזיר אותנו לטור הקודם. ההסתברויות שמופיעות כאן הן הסתברויות מותנות לא מנורמלות, ואין פלא שהן לא מסתכמות ל- .זהו בדיוק רמז לפתרון החידה שלנו . אנחנו מחפשים את ההסתברות .המותנה ההפוכה: אם הדיינים החליטו משהו מה הסיכוי שזוהי האמת ,כפי שראינו גם בטור הקודם הסיכוי שזו האמת והסיכוי שלא חייבים להסתכם ל-

אנחנו יודעים לחשב את הסיכוי לכך ש-

יקרה בהנחה שראובן באמת חייב ובהנחה שהוא באמת פטור. כאמור לצורך הפשטות אנחנו מניחים אי תלות בין הטעויות של הדיינים (דומני שבמקרים הסבירים התוצאות לגבי שאלתנו,, האם הרוב אכן צודק )לא באמת תלויות בזה.

( אם המציאות היא שראובן באמת חייב1 ), החלטהA

פירושה ששני דיינים צדקו ואחד טעה. מה הסיכוי לזה? כמובן: p) (1 P(A/1)=p ( . ואם המציאות היא שראובן פטור0 .), אזי שני דיינים טעו ואחד צדק :הסיכוי לזה הוא2 p) P(A/0)=p(1

כבר כאן אפשר לראות את הטעות בשאלה. הסיכויים לטעות ולהכרעה נכונה צריכים להיבחן על ידי השוואה בין שני אל ה ולא השוואה בין מספר דיינים גדול וקטן, כלומר בין2

לעומתp

או בין2 p) (1

( לעומת1-p ).

אבל פתרון הבע יה שלנו יסודו בהשוואה בין שתי ההסתברויות המותנות ההפוכות : P(1/A) שהוא הסיכוי שאם הדיינים הכריעו כך אז ראובן באמת חייב) מולP(0/A) (הסיכוי שאם הדיינים הכרי עו כך .ראובן פטור). כלומר אנחנו צריכים את ההסתברויות המותנות ההפוכות כדי לחשב אותן ע לינו להשתמש בנוסחת בייס )שפגשנו בטור הקודם (היא הופכת את כיוון ההתנייה:

כדי לדעת תוצאה מספרית עלינו לדעת מה הסיכוי האפריורי המוחלט לכך שראובן באמת חייבP(1)

או פטורP(0) ., ואת זה אנחנו כמובן לא יודעים מכיון שיש לנו רק שני מקרים (או שראובן חייב או שהוא :פטור), אזי ניתן לסמן)=q P(B )=1 P(B

כעת נקבל מנוסחת בייס עבור ההסתברות שהאמת היא1

)(ראובן חייב:

P(1/A)=P(A/1)q / { p2(1-p)q + p(1-p)2 (1-q)} = pq / [pq + (1-p)(1-q)] = 1 / (1 + ) ועבור הסיכוי שהמציאות היא0

:(ראובן פטור) נקבל P(0/A)=P(A/0)(1-q) / { p2(1-p)q + p(1-p)2 (1-q)} = (1-p)(1-q) / [pq + (1-p)(1-q)] = / (1+) כאשר הגדרנו:

 = (1-p)(1-q)/pq המכנים של שתי ההסת ברויות המותנות הללו שווים, ולכן יחס ההסתברויות הוא כיחס ההסתברויות :המותנות ההפוכות P(1/A) / P(0/A) = P(A/1)q / P(A/0)(1-q) = pq/[(1-p)(1-q)] = 1/ ,לצורך הפשטות נניח כעת שהסיכוי האפריורי שראובן חייב או לא הוא שווה (אמנם יש חזקת חפות ,)אבל אם הוא כבר בא לדין אז חזקת החפות שלו כבר לא רלוונטית. להיפך, סביר יותר שהוא אשם כלומרq=(1-q)=1/2. בהנחה זו כל ההסתברויות האפריוריות מצטמצמות, ונותרנו עם נוסחה פשוט ה :יותר. מה שמתקבל הוא P(1/A)= P(A/1) / {P(A/1) + P(A/0)} P(0/A)= P(A/0) / {P(A/1) + P(A/0)} :)המכנים שווים, ולכן אם נחלק אותם זה בזה, נקבל (משימוש בהסתברויות שלמעלה P(1/A) / P(0/A) = P(A/1) / P(A/0) = p/(1-p) מכיון שהסכום של שניהם חייב להיות1 , אז קיבלנו (כך כמובן גם היה יוצא מחישוב מפורש של המכנה :)והצבתו P(1/A) = p P(0/A) = 1-p

דעת בעלבתים היפך דעת תורה כעת ברור שאם הסיכוי שדיין יהיה צודק הוא גבוה מחצי (כלומר הוא ת"ח), אז יש היגיון ללכת אחרי הרוב. אם הסיכוי שדיין יהיה צודק נמוך מחצי (דיינים עמארצים) אז.יש ללכת אחרי המיעוט וזהו שנאמר ב סמ"ע סי' ג סקי"ג:

בתשובת מהרי"ו סימן קמ"ו כתב למהר"ש ז"ל, ואם תשמע לעצתי לא תשב אצל הקהל בשום דין, דידעת שפסקי הבעלי בתים ופסקי הלומדים הם שני הפכים, ואמרו בפרק זה בורר [סנהדרין כ"ג ע"א] כך היו נקיי הדעת שבירושלים עושים, לא היו יושבין בדין אא"כ :היו יודעין מי ישב עמהם כו', ע"ש :ובלשון הרווחת בישיבות.דעת בעלבתים היפך דעת תורה. מש"ל למה שקיבלנו כאן יש הסבר אינטואיטיבי פשוט. הסיכוי ששניים יצדקו ואחד יטעה הואp) (1 . הסיכוי ששניים יטעו ואחד יצדק הוא נמוך יותר (בהנחה ש- הוא מע :)ל חצי2 p) p(1 . זה היחס בין ההסתברויות. מה שצריך זה רק להפוך אותן להסתברויות כלומר ל דאוג שהסכום שלהן יהיה1 . בשביל זה צריך לחלק כל אחת מהן בסכום של שתי ההסתברויות הללו. זה .בדיוק מה שנתנה לנו נוסחת בייס

הערה מעניינת ש יוצאת מנוסחת בייס מנוסחת בייס רואים ש אם באמת הסיכוי האפריורי לכך שהנאשם יהיה חייב הוא קטן, התוצאה יכולה להשתנות, שכן אז המכנה של שני המקרים נשאר דומה אבל יש לכפול את המונה בסיכוי האפריורי ל- או ל- .. זה יכול לשנות את התמונה לגמרי

זה מסביר את הצורך בשיקול של הפרקליטות האם להעמיד מישהו לדין או לא, לפני שהוא עומד לדין .בבית המשפט לכאורה אין לזה טעם שהרי זה בדיוק תפקידו של השופט. בדרך כלל מסבירים זאת :בצורך לחסוך זמן מבית המשפט. אבל לאור מה שראינו כאן יש הסבר עמוק ויסודי יותר תפקידו של השלב הזה הוא להגדיל את הסיכוי האפריורי לכך שהנאשם חייב (מבין אלו שהפרקליטות רואה כחייבים יש אחוז גבוה יותר של אשמים), וזה מאפשר לנו ללכת ביתר ביטחון אחרי פסיקת השופט או רוב .השופטים

ניסוח שונה לחישוב הזה

1. קביעת וסתות: הסבר שוב נגדיר את שני ה מצב ים העובדתיים (שאנחנו מחפשים מי משניהם הוא האמתי): מצב ש אין וסת ( קבוע0 ( ) ומצב של ווסת קבוע1 .)

האירוע של שלושה מרווחים שווים )(זו התוצאה שבפנינו יסומןA

:הסיכוי שאם הווסת לא קבוע נקבל שלושה מרווחים שווים P(A/1) = 1

P(A/0) = 1/16 כעת נחשוב על מצב שבו קיבלנו וסתות ב ,שלושה מרווחים שווים כ לומר קרהA השאלה שלנו היא מה הסיכוי שיש לאישה ווסת קבוע לעומת הסיכוי שזה מקרי?

שוב נניח לצורך הדיון שהסיכוי לווסת קבוע הוא: P(1)=q , ו הסיכוי לווסת אקראי הוא: P(0)=1-q לפי :)נוסחת ההסתברות השלימה (נוסחת בייס P(1/A) = q / {q + 1/16(1-q)} P(0/A) = 1/16(1-q) / {q + 1/16(1-q)} היחס בין ההסתברויות המותנות :הוא 16𝑞 1−𝑞 ושוב, אםq גבוה מ אד (קרוב ל- ) יש יחס גבוה בין ההסתברויות, כלומר .עדיף להניח ווסת קבוע אבל אםq

קטן, כלומר אחוז הנשים בעלות וסת קבוע הוא קטן, אין שום הצדקה להניח שהווסת קבועה על .בסיס שלושה מרווחים שווים ההיגיון של התוצאה הזאת פשוט מאד, כי אם קיבלנו שלושה מרווחים :שווים עדיף להניח שזה מקרה (שסיכויו לא רע, כפי שראינו1/16 ) על פני ההנחה שנתקלנו באחת מ.אותן נשים מעטות שיש להן וסת קבוע הרי לנו תוצאה חשובה: קביעת הווסתות מניחה שלחלק לא זניח מ הנשים יש וסת קבוע (אם ל- 3%

יש וסת קבוע הסיכויים בערך שווים, ואז השאלה האם יש לאישה וסת קבוע היא ספק שקול1) . אם הנתון ה זה משתנה דיני כל קביעת הווסתות צריכ ים להשתנות, ו במצבים אלו נרא ש ה חזקת שלוש פעמים לא תספיק (ככ ל שאחוז הנשים בעלות וסת גבוה קטן , צריך להסתמך על סדרה ארוכה יותר של מרווחים .)שווים2

הערה על חזקות שלוש פעמים בהלכה יש עיקרון שאחרי שדבר כלשהו קורה שלוש פעמים ההנחה היא שזה לא מקרי. מכנים זאת חזקת שלוש פעמים (ג .פעמים, ג"פ). הדוגמה של וסתות שבה עסקנו כאן היא אחד ההקשרים הללו והנה, המפרשים דנים בחזקות אלו ובמשמעותן, ונראה שיש מהן חזקות שיוצרות מציאות ויש שמשקפות מציאות קיימת (ראה למשל קה"י טהרות סי' סו ועוד הרבה). לפחות לגבי חלק מהחזקות הללו ניתן לעשות ניתוח דומה (כמו שראינו לגבי וסתות), והמסקנות שאליהן הגענו כאן יכולות להשליך .על השאלה היכן ליישם אותן וכיצד

סיכום בשני המקרים הללו ראינו שהתייחסות פשטנית להסתברויות מביאה לשגיאות. כדי להגיע להסתברויות שמסתכמות ל- ולהשוות ביניהן יש לעשות שימוש זהיר בנוסח בייס. בתוך הדברים עלו לנו השלכות הלכתיות מעניינות לשימוש בחזקות שלוש פעמים (שהוא תלוי בשכיחות התופעות המבוקשות )במציאות3 .)וברוב בבי"ד (שתלוי ברמת הדיינים ובסיכוי שהנאשם/בעה"ד אכן אשם/חייב

יש לדון האם זה ספק דרבנן, שהרי וסתות דרבנן, או שזהו ספק דאורייתא שהרי יש לנו ספק שמא תראה באותו זמן ואז יש להחמיר מחשש לאיסור תורה לשמש עם אשתו נידה. ונראה מסברא שיש להחמיר בספק זה, שהרי הגם שווסתות דרבנן זו גופא היתה תקנת וסתות להחמיר על חשש כאילו היה כא ן ספק דאורייתא. בניסוח אחר, אם יש לנו ספק שקול שמא הוסת קבועה, אזי במועד הצפוי יש50%

שהיא תראה דם ואז התשמיש יהיה אסור מן התורה, וזהו כמובן ספק .דאורייתא. ויש עוד לפלפל בזה השאלה איך לבדוק את אחוז הנשים בעלות וסת קבוע אינה פשוטה, שהרי הבדיקות הללו עצמן מניחות הנחות לגבי אחוזי הנשים. ואם נדרוש קביעות לאורך יותר משלושה מרווחים, אנחנו מתעלמים ממצב שבו יש וסת קבועה זמנית .)שמשתנה עם הזמן (לא כל וסת קבועה נמשכת כל החיים, ומה שלא נמשך אין פירושו שהווסת לא קבועה 3 ועל כך ראה גם ב מאמרי ב אסיא שהוא הבסיס לכל ה דיון כאן.