אפלטוניזם – שיעור 39

אוקיי, התחלתי בפעם הקודמת את הדיון בשאלה של האפלטוניות של המתמטיקה, והרקע לעניין בעצם היה הדיון הקודם שעסקתי באפלטוניות של הפיזיקה או של המדע, ואמרתי שיש הבדל בין שני הדיונים. הדיון על האפלטוניות של הפיזיקה הוא בעצם דיון על העולם שלנו, ולא על עולם האידיאות האפלטוני. אנחנו בעצם עוסקים בשאלה האם אלקטרון זאת ישות שבאמת קיימת בעולם, או שזה רק משהו שהמצאנו כדי לסדר לעצמנו את התופעות. ואותו דבר לגבי שדה חשמלי, או לא יודע מה, או כוח גרביטציה, או פונקציית גל, או כל מיני ישויות תאורטיות. אבל גם אם אני אפלטוניסט במובן המדעי, זאת אומרת אם אני חושב שהישים התאורטיים, הישים המופשטים, קיימים, מדובר על ישים שקיימים בעולם שלנו. אלקטרון הוא חלקיק שמסתובב פה בעולם. השאלה אם הוא קיים או לא קיים זה בגלל שאני לא רואה אותו, אבל באופן עקרוני בהנחה, אם אני טוען שהוא קיים, אז זאת טענה על אובייקט חומרי שקיים בעולם שלנו. ולכן המושג אפלטוניזם בהקשר המדעי הוא מושג קצת מושאל, הייתי אומר. קוראים לזה אפלטוניזם כי אנחנו, גם שם אנחנו מדברים על קיומם של ישים שהגענו למסקנה שהם קיימים באמצעות ניתוח תאורטי כלשהו. אבל במתמטיקה כשאנחנו עוסקים באפלטוניזם מתמטי, שם אנחנו חוזרים לאפלטוניזם במובנו הרגיל. זאת אומרת כשאני שואל את השאלה האם משולש זאת ישות קיימת, לא משולש מסוים שאני רואה עכשיו מול העיניים, אלא משולש באופן כללי, האם הוא ישות קיימת, זאת שאלה על עולם האידיאות האפלטוני, לא על העולם שלנו. המשולשות, כן, או הסוסיות, זה לא ישים שקיימים בעולם שלנו אלא בעולם האידיאות, וזה בעצם הוויכוח המקורי בין אפלטון לבין אריסטו. ולכן כשאנחנו מגיעים עכשיו לדיון על אפלטוניזם מתמטי, אנחנו בעצם חוזרים לאותו דיון שליווה אותנו כל הזמן על אפלטוניזם בכלל. וכאן אני רוצה קצת, אמרתי את האבחנה הראשונית בפעם הקודמת, אבל אני אחזור על הדברים כדי להיכנס לעניין עוד פעם. בעצם השאלה היא האם הטענות של המתמטיקה היו נכונות עוד לפני שגילו אותן. כן, האם זה גילוי או המצאה. יש כאלה ששואלים האם מספרים או מצולעים כלשהם הם ישים. זאת אומרת, לא כמובן משולש מסוים. משולש מסוים שסרטטתי על דף נייר מולי, כן, הוא יש. אבל אני מדבר על המושג משולש, או כל מיני שאלות אחרות. אני משתמש באיזה סרטון שפעם שמואל שלח לי, האם המתמטיקה זה מבנה מלאכותי או אמת אוניברסלית, האם זה תוצר אנושי או בריאה אלוקית? כל מיני דברים מן הסוג הזה, שהם כולם, זאת אומרת את כל הניסוחים האלה תוכלו למצוא בטקסטים או סרטונים או מאמרים שעוסקים בשאלת האפלטוניות של המתמטיקה. אבל כמו שהתחלתי להראות בפעם הקודמת, הניסוחים האלה ממש לא שקולים אחד לשני. מדובר בכמה וכמה שאלות שהן שונות לחלוטין. השאלה האם המתמטיקה היא המצאה או גילוי בעיניי זה, אני לא יודע מה, אנשים טוחנים עליה מים כל כך הרבה וזה פשוט שטויות. ברור שזאת, ברור שזה גילוי ולא המצאה. זאת אומרת, כשאני רוצה לומר, האם אני מצייר משולש ישר זווית, האם היחס בין הצלעות, משפט פיתגורס, כן, שסכום הריבועים של הניצבים שווה לריבוע של היתר, האם זה לא היה נכון לפני שגילו את זה? ברור שכן. זאת אומרת, ברור שפיתגורס לא המציא את המשפט הזה אלא גילה אותו. זאת אומרת, אני לא מבין בכלל איך אפשר לדון בשאלה המצחיקה הזאת האם הדבר הזה הוא המצאה או גילוי. כמובן, אפילו אם אני לא אדבר רק על פיתגורס, אני אדבר עוד לפני שהיו בני אדם בכלל בעולם, עוד לא היה בכלל שכל אנושי, עוד לא הייתה חשיבה אנושית. האם אז משפט פיתגורס היה נכון? לי זה מובן מאליו שכן. ברור שכן. זה שאף אחד אולי לא היה חושב את. הדבר הזה, אז מה? גם השולחן הזה פה אף אחד לא היה רואה אותו אם לא היו בני אדם בעולם, או אם לא היו יצורים עם עיניים בעולם. אז בגלל זה השולחן הזה לא היה קיים? אני לא מצליח להבין אפילו את הדיון הזה, לדעתי זה פשוט אנשים מבולבלים. ההבדל, יש נקודה שאולי אותה קל לפספס, שתי נקודות בעצם. נקודה ראשונה זה נקודת השפה. השפה המתמטית בהחלט אפשר לראות אותה כיצירה אנושית. אפשר להתווכח, אבל יש פה בהחלט עמדה סבירה. מה זאת אומרת? אני אקח דוגמה, נגיד שאני מסתכל על נקודה במישור, ואני יכול לתאר אותה בצורה קרטזית, לתת את רכיבי האיקס והוואי של הנקודה, ההיטלים על שני הצירים. בסדר? רואים? סליחה על הציור הברברי. אוקיי, זה ציר איקס וואי, ופה יש נקודה כלשהי. אוקיי? עכשיו ייצוג אחד של הנקודה הזאת זה דרך ההיטלים שלה על הצירים. זה האיקס שלה וזה הוואי שלה. אז זה, לא יודע מה, נגיד זה שתיים וזה אחד וחצי. אוקיי, נניח. בסדר? אז אלה הייצוגים של הנקודה הזאת בשפה הקרטזית, שזה שפה שדקארט בעצם יצר אותה, וכאן אני יכול להגיד אולי המציא, לכן אני מביא את הדוגמה הזאת. בשפה הקרטזית אז הייצוג של הנקודה הזאת נראה כך. שתיים פסיק, רכיב האיקס הוא שתיים ורכיב הוואי הוא אחד וחצי. יש שפה אחרת שבה אפשר לתאר את הנקודה הזאת וזה השפה הפולרית. פה יש את הזווית טטא, ופה יש את המרחק מהראשית שהוא אר. המרחק מהראשית זה זה, אר, והזווית היא טטא. אז אני יכול בהחלט לתאר את הנקודה הזאת גם בצורה הזאת, אם אני נותן את האר ואת הטטא שלה. עכשיו אתם מבינים שזה בסך הכל שתי צורות שונות לתאר את אותה נקודה, נכון? יכול לתאר אותה בשפה של דקארט, השפה הקרטזית, דקארט זה קרטזיוס בלטינית, ולכן קוראים לזה מערכת צירים קרטזית. אז אני יכול לתאר את זה בשפה הקרטזית ככה ואני יכול לתאר את זה בשפה הפולרית ככה. כמובן שיש עוד שפות שאפשר לתאר את זה, יש אינסוף שפות שאפשר לתאר את זה. לגבי השפה שבה אני מתאר את זה, בהחלט יש מקום לטענה שהשפה הזאת היא יצירה אנושית. אפשר היה לתאר את זה בכל מיני צורות וכל עוד מישהו לא יצר את השפה הזאת, לא המשיג את השפה הזאת, אז אפשר אולי לטעון שהשפה הזאת לא קיימת כל עוד לא המציאו אותה. אבל המושג זווית שבו אנחנו משתמשים כאן, המושג זווית או המושג מרחק או המושג היטל או משהו כזה, שהם מושגי היסוד שאיתם אני בונה את השפות האלה, הם מושגים מתמטיים שלא בפשטות לא יצרו אותם בני אדם. בני אדם בסך הכל המשיגו אותם, גילו אותם, אבל זה מושגים שהיו קיימים. נגיד אתה יכול להסביר לאנשים את ה… השפות השונות תוך שאתה משתמש במושגים כמו היטל, כן, ציר וכדומה, מרחק, זווית וכן הלאה. המושגים האלה הם מושגים שמשותפים לכולנו. השימוש במושגים האלה כדי לייצר שפה, קרטזית או פולרית או לא משנה או כל שפה אחרת, זה אולי יצירת שפה כמו עברית, אנגלית או מה שלא יהיה וכאן בהחלט אפשר לומר שזה יצירה אנושית. אגב, חומסקי, הבלשן היהודי האמריקאי הידוע, אפילו קצת ישראלי לשעבר, ההורים שלו בעצם, הוא רוצה לטעון שאנשים נולדים עם איזשהם כישורים לשוניים. זאת אומרת, יש איזושהי יכולת לשונית שמוטבעת בנו. את זה אנחנו לא לומדים. זה יש בנו. אנחנו משתמשים ביכולת הזאת כדי ללמוד שפה מסוימת: אנגלית, עברית, פורטוגזית. אז פה אני חושב שזה מקביל להבחנה שעשיתי כאן, שבעצם אני אומר השפה: פורטוגזית, אנגלית, עברית לא היו קיימות אם האנשים לא היו יוצרים אותן, לכן שפה אפשר בהחלט לומר שהיא המצאה ולא גילוי. אבל היכולת הלשונית, היכולת הלשונית זה לא משהו שאנחנו המצאנו. היכולת הלשונית זה משהו שהיה קיים עוד לפני שהיינו כאן. במקרה הזה אפשר אולי לומר שזה מוטבע בנו, אבל זה מוטבע, לא אנחנו יצרנו את זה. ולכן היכולת הלשונית היא לא משהו שאפשר לומר עליו נדמה לי שאנחנו יצרנו אותו. אוקיי, אז זאת הבחנה ראשונה שחשוב לעשות, ההבחנה בין השפה שבאמצעותה אנחנו מציגים את הישים המתמטיים לבין הישים המתמטיים עצמם. נגיד נקודה. המושג נקודה שאותו ייצגנו בשתי השפות השונות עכשיו, המושג נקודה הוא מושג מתמטי והדיון על האפלטוניות של המתמטיקה עוסק בו ולא בשאלה אם אני מציג אותו קרטזית או מציג אותו פולרית. הדוגמה שנותנים בפילוסופיה הרבה פעמים, פילוסופיה אנליטית, אז מדברים על מרכז הכובד של מערכת השמש בתאריך זה וזה בשעה זו וזו. נגיד שאנחנו מתארים משהו כזה. מה בעצם כל המשפט המורכב הזה מתאר? נקודה מסוימת בחלל. אפשר להצביע עליה עם האצבע. זאת. הנקודה הזאת היא מרכז הכובד של מערכת השמש בתאריך כזה וכזה בשעה כזאת וכזאת. אבל כל התיאור הגדול הזה הוא בסך הכל להצביע על נקודה מסוימת בחלל. כדי להבין את התיאור אני צריך להבין הרבה מאוד מושגים שהם מושגים מאוד לא פשוטים: כובד, מרכז כובד, מערכת השמש, תאריכים, שעות. המון המון דברים. זאת אומרת, ילד קטן לא יבין את התיאור הזה. אבל אם תצביעו לו עם האצבע על הנקודה הזאת בחלל, אז הוא מבין, יש שם נקודה בחלל. בשביל לראות את הנקודה הזאת בחלל הוא לא צריך להכיר את כל מערכת המושגים שבה השתמשתי בתיאור של הנקודה. וזה עוד פעם הבדל בין האובייקט לבין השפה שבה אני מתאר אותו. האובייקט כשלעצמו יכול להיות אובייקט פשוט, אובייקטיבי וכולי. השפה שבה אני בוחר לתאר אותו היא יכולה להיות שפה שהיא המצאה שלי או של קבוצה אנושית כלשהי שמשתמשת בה. אני לא חושב שהזכרתי את זה, אולי אני אזכיר את זה כאן. גדי טאוב יש לו ספר, בתקופה עוד לפני שהוא התחיל את המהלך שלו ימינה, הוא עוד טען אז בתוקף שהוא שמאלן, והוא כתב ספר שנקרא המרד השפוף. ושם הוא מביא כל מיני ציטוטים, הוא בעצם היה אני חושב זה שהנגיש לנו את התופעה האמריקאית, הטרלול האמריקאי המטורף הזה של כל אחד והאמת שלו וכל הערעור על כל המושגים הכי בסיסיים, היום זה כבר ג'נדרים וכולי, ואז בקיצור כל הביקורת החדשה מה שנקרא. ובין היתר הוא מביא שמה כל מיני פמיניסטיות שטוענות שפיזיקה זה תחום גברי ולכן אין פלא שנשים לא מצליחות בו. ואז גדי טאוב כותב שמה שהוא לא היה רוצה לטוס על מטוס שבנוי על בסיס הפיזיקה הנשית. זאת אומרת בקיצור פיזיקה נכונה יש פיזיקה נכונה פיזיקה לא נכונה ואין כזה פיזיקה גברית ופיזיקה נשית. אם אתם תמציאו פיזיקה אחרת היא פשוט תהיה פיזיקה לא נכונה. ואם תבנו מטוסים על בסיס פיזיקה אחרת הם יתרסקו, או שלא תצליחו לבנות אותם בכלל. אז לכן הוא ניסה להגחיך את הטענה הזאת כאילו שמדובר בתחום בתחום גברי. כן, זה מזכיר לי תמיד העניין הזה, שמעתי פעם ריאיון ברדיו עם מנהל בית ספר תל אביבי, שהוא מאוד מאוד התגאה בזה שהוא לא מרשה ללמד מדעי המחשב בבית הספר, בגלל שמניסיונו בנות מצליחות פחות מבנים. ולכן הוא לא יורשה להכניס לימודים של מדעי המחשב לבית הספר. זה פתרון נהדר. ואני חושב שבכלל אפשר להפסיק ללמד בכלל ואז כולם יצליחו בצורה מושלמת. אז זה כן, מזכיר מאוד את הטיעון שגדי טאוב, אבל כאן דווקא אני רוצה לחלוק על טאוב. ואני רוצה לומר שגם הוא לא עשה את ההבחנה שדיברתי עליה קודם. יש, אפשר, יש מקום לטענה שאת הפיזיקה הנכונה שאנחנו יודעים היום אפשר היה לתאר בשפה אחרת. זאת לא תהיה פיזיקה אחרת. זאת תהיה אותה פיזיקה שמתוארת בשפה אחרת. כן, אנחנו יודעים למשל שאת העולמות של מספרים אנחנו יכולים לתאר בהרבה שפות. יש בסיס עשרוני, יש בסיס בינארי, יש בסיס אקס-דצימלי, יש כל בסיס שלא יהיה. זאת שפה אחרת לתאר את עולם המספרים. ובהחלט יכול להיות שיש גם בכלל שפות שהן לא לפי בסיס אלא לא יודע מין משהו אחר לגמרי. זה לא אומר שאתה לא יכול לתאר את כל האמיתות המתמטיות או הפיזיקליות בשפה החדשה הזאת. והן ייראו אולי אחרת לגמרי. אני אגיד לכם יותר מזה. יכול להיות שאת כל הפיזיקה שלנו היום, שאנחנו כל כך רגילים להשתמש בשפה המתמטית כשאנחנו מטפלים בבעיות בפיזיקה, יכול להיות שאפשר לפתור את הבעיות בפיזיקה גם בלי מתמטיקה. אולי אם יש יצורים עם ראש אחר לגמרי, הם היו איכשהו מצליחים לטפל באותה פיזיקה. זאת הייתה אותה פיזיקה בדיוק. אבל הם היו מטפלים בה בשפות או בכלים מחשבתיים, מערכת מושגים אחרת לגמרי. תגיד, יכול להיות שהפיזיקה שלהם לא הייתה בנויה על מושגים שהמושגים היסודיים שאנחנו בונים את הפיזיקה, של מרחב, מהירות, תאוצה, כוח, מסה, זמן וכן הלאה. אלה מושגי היסוד שעליהם אנחנו בונים את הפיזיקה שלנו. יכול להיות עולם אחר שבו יבנו את הפיזיקה על בסיס מושגים אחרים לגמרי. והם יכולים לבנות מטוס על בסיס הפיזיקה שלהם והוא יכול בעצם, יכול להיות שזה בכלל יהיה מטוס אחר לגמרי אבל הוא יכול לטוס. ויכול להיות שזה יהיה אותו מטוס כמו שלנו, רק ניירות החישוב והתכנון של המטוס לא ייראו כמו הניירות שלנו, הם ייראו אחרת לגמרי. זה כמו שיש תרגום בין עברית לאנגלית, אפשר לתכנן מטוס בעברית, באנגלית, ביפנית או בכל שפה אחרת. אפשר לתכנן מטוס גם במתמטית וגם בשפות אחרות לגמרי אולי. ולכן יכול להיות, יש מקום לטענה, שהשפה שבה אנחנו היום משתמשים כדי לתאר את הפיזיקה היא שפה שפותחה על ידי גברים. ואם נשים היו מעורבות יותר מההתחלה בעניין הזה, אולי זה היה מתפתח לשפה אחרת, ואז יכול להיות שנשים היו מצליחות יותר בפיזיקה. בהחלט יכול להיות. וזאת הייתה אותה פיזיקה והיא הייתה בונה את אותם מטוסים והמטוסים היו טסים. אותם, מטוסים אחרים, אבל הם היו טסים. ולכן אני חושב שגם גדי טאוב מערבב בין השאלה אם מדובר בפיזיקה אחרת או בשפה אחרת לתאר את אותה פיזיקה. וכאן במובן הזה, ואני חושב שהרבה מאוד מהדיונים סביב האפלטוניות של המתמטיקה נופלים בנקודה הזאת. כי אפשר לדבר, אפשר להגיד שהשפה המתמטית היא המצאה שלנו. כן, השפה המתמטית זה משהו שאנחנו המצאנו אותה. אבל אמיתות מתמטיות, נגיד, אפשר היה לתאר את משפט פיתגורס אולי בשפה אחרת לגמרי, בכלל לא לדבר על צלעות, זוויות ומשולשים אלא מישהו היה רואה את זה באיזשהו אופן אחר. אבל היה לו קשר כלשהו בין המושגים בשפה שלו, שבתרגום לשפה שלנו היה נראה משפט פיתגורס. וזה בעצם מה שאני רוצה לטעון. יכול להיות שבעולם שלו בכלל אין זוויות ואין צלעות ואין משולשים ואין כלום. הוא לא חושב בצורה הזאת. אבל היו לו מושגים אחרים שהקשרים ביניהם היו איזשהו ביטוי למשפט פיתגורס. ולכן אני חושב שחשוב מאוד לעשות הבחנה בין הטענות כשלעצמן לבין השפה שבה אני מתאר את הטענות האלה, כן, בעולם הפיזיקלי. אנחנו בתורת הקוונטים אנחנו רגילים לדבר על שפות שונות שבהן אפשר לתאר את המציאות ושמה זה בילט אין בתיאוריה. זאת אומרת יש אפשר לתאר נגיד חלקיק דרך המיקום שבו הוא נמצא, וזה שפה של מיקום, ואז כל התכונות בשפה הזאת הם פונקציה של המקום, של איקס וואי זיד, כן, של המרחב. ואפשר לדבר על שפה שהיא שפה של מהירויות או תנע, כן, בשפה פיזיקלית. נדבר על מהירויות כדי שיהיה יותר מובן, ולתאר את הכל כפונקציה של מהירויות, לא כפונקציה של מיקומים. עכשיו, בתורת הקוונטים ידוע שזה שתי שפות שלא מדברות אחת עם השנייה. אתה צריך לבחור, או שאתה משתמש בשפה הזאת או שאתה משתמש בשפה הזאת, אבל כל מה שאתה יכול לתאר בשפה הזאת אתה יכול לתאר בשפה הזאת. אם תתאר חלקיק שנמצא במקום מאוד מסוים, זה בשפת המיקום אתה אומר הוא נמצא במקום הזה, איקס שווה שתיים. בשפת המהירות אתה תצטרך סכום של אינסוף פונקציות, כל אחת מתארת מהירות אחרת, ואתה תתאר את אותו דבר. אתה יכול לתאר את אותו דבר בשפת המהירויות, רק ששמה התיאור יהיה יותר מסובך. ולכן אפשר לעבור משפה לשפה ולתאר את אותם דברים בשפות לגמרי שונות. ובתורת הקוונטים ספציפית יש את עיקרון אי הוודאות שאומר שברגע שיש לך מיקום מסוים, בשפה של המהירות לא תצליח לתאר את זה עם פונקציה אחת, פונקציה שמתארת מהירות מסוימת, אלא תצטרך הרבה מאוד פונקציות עם מהירויות שונות. זה כבר משפט בפיזיקה. אבל ברמה המושגית, כן, מבחינת צורות התיאור, אין שום מניעה שתהיינה שפות שונות שמתארות בדיוק את אותו דבר. ואם יהיה בן אדם שחושב בצורה של מיקומים, ואגב אנחנו יצורים שחושבים בצורה של מיקומים, אז אנחנו נראה את העולם כולו בשפת המקום. אבל יכול להיות שיהיו יצורים אחרים לגמרי שהם חושבים בשפת המהירויות, נקרא לזה, או התנעים, תנעים בעין, והם יראו את העולם בצורה אחרת לגמרי. ולכן, כן, הדגמתי את זה פעם במאמר על החץ של זנון. כן, זנון היווני מאליאה הציג כל מיני פרדוקסים שנוגעים למושג התנועה, וכל הפרדוקסים האלה בעצם קשורים בצורה כזאת או אחרת, הרבה מהם, לא כולם, אבל הרבה מהם קשורים בצורה כזו או אחרת להבחנות שאני עושה כאן. למשל הוא מדבר, תסתכלו על חץ שעף. בכל רגע שאתם מסתכלים עליו הוא נמצא במקום אחר. כן, הוא עומד פה, ואחרי זה עומד פה, ואחרי זה עומד פה, אז בכל רגע הוא עומד במקום אחר. אז השאלה מתי הוא זז? מתי הוא עובר מכאן לכאן? זה הפרדוקס, פרדוקס החץ במעופו של זנון. ואני כתבתי מאמר ששמה הצעתי פתרון לפרדוקס הזה, והטענה שלי בעצם הייתה שזה שהחץ, לא נכון לומר שבכל רגע הוא עומד במקום אחר, מה שנכון לומר זה שבכל רגע הוא נמצא במקום אחר. יש הבדל בין עומד לבין נמצא. להגיד שגוף עומד במקום כלשהו זה להגיד שמהירותו אפס. להגיד שגוף נמצא במקום כלשהו זה אומר שהמיקום שלו הוא זה, אבל הוא יכול להימצא שם בתנועה. ומה כל כך מבלבל את האנשים, למה הפרדוקס הזה פרדוקס שכל כך מבלבל את האנשים, אגב לדעתי הוא לא נפתר עד המאמר שלי, זאת אומרת כל מיני פתרונות שהציעו לו הם פתרונות שקשורים לאינפי, לדעתי הם לא פותרים את הפרדוקס. ומה אני חושב שמה שמבלבל את האנשים זה שאנשים חושבים שאין, אי אפשר לדבר על מהירות של גוף בנקודה, בנקודה מרחבית או בנקודת זמן. לגוף לא, בשביל להגיד, לדבר על המהירות של הגוף, אתה צריך להסתכל בקטע, קטע של זמן קצר כרצונך, אבל בקטע מסוים. על נקודת זמן לא יכול להיות שלגוף יש מהירות. ואני טענתי שזה לא נכון. ולכן בעצם הנקודה היא שאם הגוף נמצא במקום כלשהו אז הוא בהכרח גם עומד, כי במקום כלשהו בנקודת זמן או בנקודת מקום הוא, אין לו מהירות, הוא עומד. אז לכן אנשים מסתבכים עם הפרדוקס הזה של החץ במעופו. אבל זאת טעות. הנקודה היא שכשאנחנו מחשבים מהירות אנחנו מחשבים אותה על ידי הפרש המקום חלקי הפרש הזמנים שלקח לעבור את המרחק הזה. אוקיי, אז כדי לחשב את המהירות אני צריך להסתכל על הגוף בקטע של זמן או בקטע של מקום, אבל זה רק לצורך החישוב. כשגמרתי את החישוב, לגוף יש מהירות בנקודת זמן. כל נקודה. כל נקודת זמן שתתנו לי, אני יכול להגיד לכם מה המהירות של הגוף בנקודת הזמן הזאת. אם תשאלו פיזיקאים, אז בדרך כלל הם יגידו לכם שזאת פיקציה. זאת מהירות של הגוף על קטע קטן מאוד סביב הנקודה שעליה אני מדבר. לא נכון. המהירות של הגוף היא מהירות בנקודת הזמן המסוימת הזאת. כדי לחשב אותה אני צריך להסתכל על הגוף בקטע של זמן. זאת בעיה של איך לחשב. אבל התוצאה של החישוב היא מהירות בנקודה, היא לא מהירות בקטע. היא מהירות בנקודה. ולכן אני חושב שיש דבר כזה שנקרא מהירות של גוף בנקודת זמן. ואם ככה אז הפרדוקס של החץ המעופף נעלם. למה? כיוון שאתה שואל אותי, הגוף בכל רגע נמצא במקום אחר, מתי הוא עובר ממקום למקום? מתי הוא זז? התשובה היא בכל רגע שאתה מסתכל עליו הוא גם זז. הוא לא משנה מקום, יש לו מהירות אבל. שיהיה לזה ביטוי ברגע הזמן הבא. וברגע הזמן הבא הוא ימצא במקום אחר. אז הוא לא משנה מקום בנקודת זמן, זה ברור שאי אפשר לעשות. אבל יש לו מהירות גם בנקודת זמן. ומה שעומד מאחורי זה, ומשם עברתי לתורת הקוונטים ולתורת היחסות, מה שעומד מאחורי זה אני חושב שזה בעצם הבסיס המושגי או הפילוסופי לעקרון אי הוודאות בתורת הקוונטים. עקרון, או הקומפלמנטריות בעצם. אי וודאות זה כבר משהו קצת יותר מפורט, אבל העיקרון הזה שאומר שאתה לא יכול לדבר על מהירות ועל מיקום בו זמנית. פירוש הדבר אתה לא יכול בעצם לדעת מהירות ומיקום בו זמנית. כי בשביל לדעת מהירות אתה צריך קטע של מקום, או קטע של זמן. ובשביל לדעת מיקום אתה, כשאתה מסתכל על חץ שעף. אז מי שיסתכל על הסרט, אז תלוי איך הוא מסתכל. אם אתה מסתכל עליו בעיניים של מיקום, אז בכל רגע אתה רואה אותו נמצא במקום אחר, אתה לא יכול לדעת מה המהירות שלו. בשביל לדעת מה המהירות שלו אתה צריך לראות כמה זמן עבר וכמה מרחק הוא עבר ולחלק את זה בזה. אבל להסתכל עליו בנקודת זמן אחת לא תוכל לדעת את המהירות שלו. אבל מי שמסתכל במשקפיים של מהירות, אז הוא יוכל לראות בנקודת זמן אחת, הוא יראה את המהירות של הגוף ולא יוכל לדעת את המקום שלו. ואנחנו קשה לנו לדמיין את זה כי זה יצור שלא בנוי כמונו. אנחנו בנויים, אנחנו מרכיבים משקפיים של מיקום. אבל יכולים להיות עקרונית יצורים ותורת הקוונטים נותנת לנו תיאור מסוים של איך הם יתפסו את העולם, שמרכיבים משקפיים של מהירות או של תנע ולא של מקום. וזה משקפיים אחרות לגמרי, אבל הם רואות את אותה פיזיקה שאנחנו רואים. בדיוק אותו דבר. אבל הם יתארו אותה בשפה מושגית אחרת לגמרי, בשפה של מהירויות ולא בשפה של מיקומים. וכמובן אם יהיו יצורים אחרים לגמרי, אז מבחינתם יכול להיות שבכלל תהיינה איזה שהן שפות שאני אפילו לא יודע לדמיין. שפות אחרות לחלוטין. ולכן השאלה של האפלטוניות במתמטיקה מאוד חשוב כשאנחנו דנים בה, מאוד חשוב לעשות הבחנה בין האם אני מדבר על הישים המתמטיים והיחסים ביניהם לבין האם אני מדבר על השפה שבה אני מתאר את האמיתות המתמטיות. השפה יכול להיות שהיא המצאה אנושית. אבל האמיתות המתמטיות שהשפה מתארת הן וודאי לא המצאה אלא גילוי. זה ברור. הרב, מה הגדרה של המהירות שהרב אמר שיש באותה נקודה? על החלקיק באותה נקודה, מה הגדרה של המהירות שלו? ההגדרה היא אם תחכה טיפה זמן כמה מרחק הוא יעבור. זה מה שנקרא הגדרה חישובית, הגדרה אופרטיבית. הגדרה אופרטיבית זה איך לחשב גודל. בסדר, אבל הגודל עצמו קיים גם בנקודת זמן. כדי לחשב אותו או כדי למדוד אותו אתה צריך להסתכל על זה במרווח זמן מסוים, לא בנקודת זמן. אבל זאת רק בעיה של איך לחשב. אבל אחרי שגמרת לחשב התוצאה היא מהירות בנקודת זמן. יש את הדוגמה שחביבה עליי בהקשר הזה, למרות שצריך לדון פילוסופית האם היא נכונה. אתם יודעים שיש מה שנקרא אפקט דופלר. פעם אני חושב שהרדארים של המשטרה היו בנויים על זה, אני חושב שהיום שינו טכנולוגיה כי היו עם זה בעיות, נדמה לי. בכל מקרה, אפקט דופלר זה אומר אם אני שולח קרן אור לגוף שזז, כמו מכונית, אז והמכונית זזה באיזושהי מהירות, אז קרן האור תחזור בתדירות שונה מהתדירות שבה שלחתי אותה. יש הבדל בתדירויות. ההבדל בין התדירויות של הקרן הפוגעת והקרן החוזרת הוא פרופורציונלי למהירות של הגוף. לכן כך מדדו מהירויות של מכוניות ברדארים. אפשר היה להשוות בין אורך הגל של הקרן ששלחתי לאורך הגל של הקרן החוזרת והפער בתדירויות בין שתי הקרניים יכול לתת לי את ה. של המהירות של המכונית. עכשיו כשמסתכלים על זה כך, לפחות בתיאור הפשוט, אז הקרן פוגעת במכונית בנקודת זמן וחוזרת. זה אומר שאנחנו מודדים את המהירות של המכונית בדרך שדורשת מפגש של נקודת זמן אחת עם המכונית. בדרך כלל כשאנחנו מודדים מהירות, אנחנו מודדים איפה המכונית נמצאת פה, אחרי שנייה איפה היא נמצאת, מחלקים את המרחק שהיא עברה בזמן בשנייה, ואז אנחנו יודעים מה המהירות שלה. נכון? בשביל זה צריך לצפות על המכונית לאורך קטע מסוים של זמן. אבל באפקט דופלר, עוד פעם אני אומר קונספטואלית, זה לא באמת נכון ברמה הפרקטית, אבל ברמה הקונספטואלית, בעצם אני הקרן שאני שולח פוגשת את המכונית בנקודת זמן אחת. ובכל זאת אני יכול לדעת מה הייתה מהירותה של המכונית בנקודה הזאת. אז זה מדגים בצורה מאוד יפה את העובדה שעקרונית יש למכונית מהירות גם בנקודת זמן. רק בדרכי החישוב או המדידה המקובלות אני צריך לעקוב אחרי המכונית לאורך קטע של זמן. אבל זה רק אילוצים חישוביים. הנה באפקט דופלר אני יכול לעשות את זה בנקודת זמן, למדוד את זה בנקודת זמן, לא לעקוב אחריה קטע מסוים, אלא נקודה אחת. אני פוגש את המכונית בנקודה אחת ואני יודע מה המהירות שלה. אז הדברים האלה כולם הם הדגמות לזה שיכולות להיות שפות מתמטיות שונות, והשפות יכול להיות שהן באמת המצאה או קונבנציה, אבל האפקטים שהשפות האלה מתארות, אם משפט פיתגורס, משפטי הגיאומטריה וכולי, הם ודאי שהם גילוי ולא המצאה. יכול להיות שמי שלא היה עולה על השפה הזאת לא היה מגלה גם את האמיתות המתמטיות, כי השפה הזאת היא נוחה להשתמש בה כדי לתאר את האמיתות המתמטיות או הפיזיקליות. אבל הוא לא היה מגלה את זה, אבל זה עדיין היה שם. ואם הייתי מלמד אותו אז הוא גם היה מבין את זה. אני חושב שהבאתי את הדוגמה הזאת אני לא זוכר כבר, של שבטים שיש להם מערכות ספירה פרימיטיביות, וואן טו מני סיסטם. כן? שבטים שסופרים באחד, שתיים והרבה. אלה המספרים שיש להם. אחד, שתיים והרבה. אז יש מאמרים שמתארים מפגשים עם אנשים שחיים בתרבות כזאת, שואלים אותם כל מיני שאלות, נגיד שמים להם שתי בטריות וחמש בטריות ושואלים אותם איפה יש יותר, והם לא יודעים לענות. או לא שתיים, שלוש וחמש, כי שתיים כן, אחד, שתיים והרבה זה יש להם. אבל שלוש וחמש זה שניהם זה הרבה. אז לכן כשאתה תשווה בין שלוש לחמש הם לא ידעו לענות איפה יש יותר. אבל בין שלוש לעשרים הם כן ידעו. למרות שגם שלוש וגם עשרים זה בתחום הרבה, ועדיין את זה הם ידעו. זאת אומרת שמושגי ההשוואה והגודל קיימים אצלם. אין להם את השפה של המספרים שבאמצעותה הם יכולים להמשיג אותה ולטפל בה בצורה יותר מדויקת. אבל כמובן שאפשר ללמד אותם והם לא פחות אינטליגנטיים והם יתפסו את זה והם ידעו כל מה שאני יודע. זאת אומרת החוסר פה הוא חוסר בשפה, אבל את האמיתות המתמטיות, זה שזה יותר מזה, אפילו אם לא היה להם את השפה לתאר למה עשרים הוא יותר משלוש, אבל הם הבינו שעשרים הוא יותר משלוש. ולכן הטענה שעשרים הוא יותר משלוש היא לא טענה שהם המציאו כשהם למדו את השפה, היא טענה שהם גילו. השפה, לקרוא לזה שלוש לזה עשרים ולזה לא יודע מה כל מיני מספרים, השפה יכול להיות שהיא המצאה. אני לא יודע, אולי. אבל זה רק, השפה היא לא חשובה לענייננו. יכולה להיות בעלת חשיבות פרקטית אבל היא לא חשובה לדיון העקרוני. לדיון העקרוני חשובות הטענות המתמטיות עצמן. רב רב, כן. אם אלוקים היה מחליט להפסיק את התנועה בעולם, כאילו להפסיק את הזמן, אז עדיין היה לאותה חץ של זנון באותה נקודת זמן מהירות לפי הרב? אין אפשרות לחשב יותר. נכון, אני חושב שכן. הוא היה מוקפא במהירות מסוימת ולא זז. תחשוב על גוף שנע במהירות מסוימת, אני זורק אותו והוא פוגע בקיר. עכשיו כשהוא פגע בקיר הייתה לו מהירות מסוימת, אבל הקיר לא נותן לו לתרגם את המהירות הזאת לצבירת מרחק. הוא לא יכול להמשיך לצבור עוד מרחק כי הקיר עוצר אותו. אז זה אומר שיש לו מהירות. שלא מצליחה לצאת מן הכוח אל הפועל דרך שינוי מקום. אז זה ייצא בצורה של חום, זה יחזור אחורה, תלוי בהתנגשות אלסטית, פלסטית או מה שלא יהיה. זאת אומרת לא תמיד הפוטנציאל הזה שנקרא מהירות יוצא מן הכוח אל הפועל על ידי זה שאני צובר עוד מרחק בזמן שיבוא הלאה. ואתה מתאר מחסום מסוג אחר, מחסום של זמן, לא מחסום של מרחק. בסדר, התנועה צריכה גם מרחק לנוע אליו וגם זמן לנוע במסגרתו. אם אחד מהצירים האלה, או הזמן או המרחק, נעצר, אז המהירות שיש לי כרגע לא תצליח להיות מתורגמת להמשך תנועה. אוקיי, אבל עדיין זה לא אומר שאין לי מהירות כרגע. אז אולי ההגדרה שלנו של מהירות היא לא מספיק מספיק מדויקת. לא, אני חושב שההגדרה שלנו היא הגדרה אופרציונלית, והגדרה איך מחשבים מהירות. וזה מה שנורא מבלבל, כי זה לא ההגדרה של מהי מהירות, זו הגדרה של איך מחשבים מהירות. ולכן הטענה הזאת שבשביל לחשב מהירות צריך קטע, אבל המהירות כשלעצמה קיימת גם בנקודה. הרבה פעמים דברים מסוימים אתה לא יכול לשמוע אותם אם אין לך את כלי התפיסה הנכונים, אבל זה לא אומר שהם לא שם. אוקיי, כלב שומע תדירויות שאנחנו לא שומעים. אז מה, בגלל שאנחנו לא שומעים אז הם לא שם? הם שם, אנחנו לא שומעים אותם. זאת אומרת יש משהו שאנחנו צריכים לעשות כדי לתפוס את הדבר, אבל זה לא אומר שהדבר לא קיים אם לא עשינו את מה שצריך כדי לתפוס אותו. אוקיי, אז אני רוצה להתקדם, הנקודה השנייה שחשוב להבין פה זה שכאשר אנחנו מדברים על השאלה אם המתמטיקה קיימת באיזשהו מובן אובייקטיבית נקרא לזה כך, או סובייקטיבית, כן? המצאה שלנו או בינסובייקטיבית, של כל בני האדם אבל זה רק אצל בני האדם ולא בעולם עצמו – אני חושב שגם השאלה הזאת היא שאלה מדומיינת. זאת אומרת ברור שהיא בעולם עצמו, אבל זה עדיין לא מביא אותנו לשאלה האפלטונית. כי כאשר אנחנו מדברים על דברים שהם אובייקטיביים זה לא תמיד לדבר עליהם האם הם קיימים. זה דיברתי בסוף השיעור הקודם, נגיד שאנחנו מדברים על מהירות של מכונית. המהירות של המכונית היא מהירות מסוימת. עכשיו האם המהירות היא ישות? לא המכונית, המהירות של המכונית. האם היא ישות? לא, היא לא ישות, נכון? היא תכונה של המכונית או מצב של המכונית או אירוע שקורה למכונית, אבל זו לא ישות. האם זה אומר שהמהירות היא סובייקטיבית כי היא לא ישות, היא לא קיימת בעולם? לא, היא קיימת בעולם. היא קיימת במובן הזה שהיא מאורע בעולם, היא לא ישות בעולם אבל היא בעולם. היא לא הזיה שלי. כשאני מודד את המהירות של מכונית אני לא ממציא את המהירות של המכונית, אני מגלה את המהירות של המכונית למרות שהמהירות של המכונית היא לא ישות קיימת. כן, כאן גם אפלטון יודע שהמהירות של המכונית היא לא ישות, המהירות של המכונית היא תכונה של המכונית, אבל היא תכונה של המכונית היא לא המצאה שלי. ולכן כשאני מודד את המהירות הזאת אני מגלה משהו ולא ממציא משהו. אתם רואים שהשאלה האם המתמטיקה היא המצאה או גילוי והשאלה האם המתמטיקה היא קיימת במובן האפלטוני הן שאלות שונות. השאלה הראשונה התשובה היא ברור שכן, ברור שכן. משפט פיתגורס הוא ודאי המצאה ולא גילוי… ודאי גילוי ולא המצאה, וכל המשפטים של הגיאומטריה וכל המשפטים של המתמטיקה, ודאי שהם גילוי ולא המצאה, אין ספק בזה. הם היו נכונים עוד לפני שהוכיחו אותם או מצאו אותם. השערת פרמה הייתה עוד לפני אנדרו ויילס שהוכיח אותה היא גם הייתה נכונה. רק לא ידענו עוד להוכיח אותה. מישהו מעלה בדעתו שאנדרו ויילס יצר את משפט פרמה? הוא לא יצר את משפט פרמה, הוא גילה או הוכיח את משפט פרמה. אז זה, התשובה לזה היא תשובה פשוטה. השאלה האפלטונית היא האם משפט פיתגורס מייצג איזשהו סוג של אידיאה, נגיד משולש ישר זווית זאת אידיאה שקיימת כמו הסוסיות, כן? שקיימת באיזשהו מובן בעולם אפלטוני, עולם האידיאות האפלטוני. זאת שאלת האפלטוניזם, והשאלה הזאת לא דומה לאפלטוניזם המדעי ששואל אם האלקטרון קיים. כי השאלה אם האלקטרון קיים זאת שאלה אם האלקטרון המסוים שלנו קיים פה בעולם. זה שאלה לאובייקט מסוים, חומרי, שקיים בעולם, אובייקט פיזיקלי. רק אני לא יכול לצפות בו באופן ישיר אז זה מוצג כשאלה אפלטונית. אבל המשולש ישר זווית, לא המשולש שפה. על הנייר ישר הזווית, אלא, אלא המשולשיות ישרת הזווית, כן, האידיאה של משולש ישר הזווית. זה כמו אידיאת הסוסיות. זה שאלה אם זה קיים בעולם האידיאות האפלטוני, לא בעולם שלנו. זאת השאלה האפלטונית. וזה מחזיר אותי שוב לאמירה שכבר יצא לי בעבר כמה פעמים לדבר עליה, שהמתמטיקה היא ענף של הפילוסופיה. כשהפילוסופיה מדברת על מטפיזיקה, מדברת על קיומם של דברים, קיומו של אלוהים, של מלאכים, של עולמות מופשטים כאלה ואחרים, שהם לא נגישים לכלים של הפיזיקה, אז עושים את זה בכלים שהם לא כלי תצפית אלא כלי חשיבה או הכרה חשיבתית. דיברתי על האינטואיציה כסוג של הכרה, אז גם במתמטיקה זה ככה. בתפיסה האפלטונית, כאשר אני מבין את משפט פיתגורס, אני בעצם צופה על המושג משולש ישר זווית בעיני השכל שלי. כן, אני מסתכל על האידיאה האפלטונית של משולש ישר הזווית. עכשיו כמובן אני בדרך כלל עושה את זה דרך משולש קונקרטי ישר זווית שאני מצייר אותו על נייר. אבל ברור שאני לא מסתכל על המשולש המסוים הזה, כי אני חוקר את תכונתם של משולשים ישרי זווית באשר הם, לא של המשולש הזה. אני רוצה לדעת מה התכונה של משולש ישר זווית מעצם היותו כזה. משולש ישר זווית בלי שאני יודע עליו כלום. פה גם יש לו גודל מסוים וצבע מסוים והוא נמצא במקום מסוים ועל נייר מסוים. לא מעניין. אותי מעניין השאלה מה מאפיין את המשולשיות ישרת הזווית, כמו הסוסיות ביחס לסוסים. אוקיי? אתם רואים שזה ממש השאלה של האפלטוניזם הפילוסופי. האפלטוניזם המדעי זה פשוט מקרה פרטי של שאלת האפלטוניזם הפילוסופי. מה שיותר חזק באפלטוניזם מתמטי זה שאולי יותר קל להמחיש את העמדה האפלטונית שבדרך כלל נראית מיסטיקה כזאת ואנשים ככה מסתייגים ממנה. בעולם המתמטי אני חושב שאם תשאלו, אני שאלתי, עשיתי פעם משאל באיזה סמינר שנתתי פעם במתמטיקה בבר אילן, ושאלתי את הסמינר לסגל שמה של המתמטיקה, אז שאלתי אותם אנשים מי מהם אפלטוני. כולם. זאת אומרת, כולם תופסים שהמתמטיקה היא דברים קיימים וכמובן שאנחנו מגלים ולא ממציאים אותם. זאת החוויה הפשוטה של המתמטיקאי. אני מניח שיהיו כאלה שאחרי שתשים אותם בפינה והם יחשבו לעצמם וימשיגו וזה, יגידו לא לא לא לא, הם נסוגים מזה כי זה נראה מין מיסטיק כזה. אבל החוויה שמלווה אותם בעיסוק השוטף נדמה לי שהיא חוויה אפלטונית. וכשאתה יכול להגיד דברים כל כך מדויקים שכולם מסכימים להם ואפשר להוכיח אותם, זה מצביע בצורה הרבה יותר חזקה על התפיסה הזאת שאתה בעצם חוקר דברים קיימים, אובייקטיביים שכולנו מסכימים עליהם. ומכאן קל מאוד להגיע למסקנה שזה בעצם ישים קיימים, המסקנה האפלטונית. לכן אני חושב שאמנם השאלה על האפלטוניות במתמטיקה היא מקרה פרטי של האפלטוניות הפילוסופית, אבל כאן יותר קל לחוש או להיווכח בזה שאנחנו באמת מדברים על איזה שהוא עולם צללים כזה, עולם של אידיאות שאותו אנחנו חוקרים וזה כמו מדע תצפיתי שאנחנו צופים באידיאות האלה ומנסים לבדוק מה התכונות שלהם. זאת המשמעות של אפלטוניות במתמטיקה. עכשיו אני רוצה עוד כמה נקודות להוסיף לעניין הזה. הרבה אנשים, אני שלחתי את שני הטורים בוואטסאפ בעקבות השיעור הקודם אז אני לא אשלח את זה שוב, תוכלו לקרוא את זה שם, שם אני מפרט את זה יותר. אבל הרבה מתמטיקאים ופילוסופים של המתמטיקה נתלים בזה שהעולם מדבר בשפת המתמטיקה. הפיזיקה כתובה בשפת המתמטיקה. הרבה פיזיקאים ומתמטיקאים מאוד מתפעלים מהתופעה הזאת ורואים בה איזשהו ביטוי לזה שמתמטיקה היא קיימת באיזשהו מובן, היא חלק מהפיזיקה, היא האפלטונית. עכשיו פה צריך א' להבחין בין שני דברים. דבר ראשון, הראשון שבעצם דיבר בשפה הזאת היה פיתגורס והפיתגוראים, כן זה כת קצת מיסטית יוונית שתפסו שמספרים דברים קיימים ויחסים בין מספרים שלמים הם בעצם בונים את כל היחסים ביקום ומין אסתטיקה מתמטית, כל היקום היה נראה להם כמו איזה שהוא אסתטיקה מתמטית, הם במובן מסוים ממש הקדימו את זמנם באלפי שנים, אבל הם הלכו רחוק הרבה מעבר למה שאנחנו מדברים היום. זאת אומרת מבחינת פיתגורס בכלל לא היה תחום כזה שנקרא פיזיקה. הכל היה מתמטיקה. זאת אומרת, אם היינו יודעים את החוקים המתמטיים עד הסוף, היינו יודעים את כל הפיזיקה. לא היה צריך תצפיות בשביל זה. זאת אומרת, הוא מבין, הוא הבין שחוקי הפיזיקה הם בסך הכל יחסים מתמטיים בין דברים. ואתה יכול להגיע אליהם באמצעות הוכחות וכלים מתמטיים, ואז לא תצטרך בכלל תצפית. לא תצטרך בכלל תצפית. וזה כמובן לקחת את הדברים רחוק מדי. וזה בעצם לומר שאין דבר כזה מדע, זאת אומרת שהכל מתמטיקה, או שאין דבר כזה מתמטיקה כי הכל פיזיקה, לא משנה, אבל לא צריך תצפית. זאת אומרת, זה רציונליזם קיצוני נגד האימפיריציזם, כן? זה בעצם אומר שמספיק לחשוב כדי לדעת את כל מה שקורה בעולם. אתה לא צריך לפתוח את העיניים. אתה לא צריך לצפות. אני רוצה להבחין בין השאלה הזאת, שפה אני לחלוטין לא מסכים. ברור שצריך תצפיות וברור שיש דבר כזה שנקרא פיזיקה להבדיל ממתמטיקה. אבל מה שמבלבל בהקשר הזה, זה שהפיזיקה שאותה אנחנו מגלים על ידי תצפיות, מתוארת בשפה מתמטית. זאת אומרת, כל היחסים שאנחנו מכירים בפיזיקה, הם יחסים שאנחנו כותבים אותם בצורה הכי טבעית בשפת המתמטיקה. ולכן הרבה מאוד אנשים מתבלבלים בין הטענה שהעולם כתוב בשפת המתמטיקה לבין פיתגוראיות. זה לא אותו דבר. כיוון שכשאני אומר שהעולם כתוב בשפת המתמטיקה, אני בעצם אומר שכאשר, אחרי שעשיתי את התצפיות וגיליתי את היחסים, נגיד בין תאוצה לבין כוח, החוק השני של ניוטון, כן, ש-אף שווה ל-אם איי, הכוח שווה למסה כפול תאוצה, אז תראו איך אני כותב את זה, עם משוואה: אף שווה ל-אם כפול איי. זאת אומרת, אז כתבתי פה, יש לי פה משתנים, הכוח, המסה והתאוצה. יש לי משוואה שמתארת יחסים בין המשתנים. האם המשוואה הזאת היא מתמטיקה? התשובה היא לא. המשוואה הזאת היא פיזיקה. המשוואה הזאת היא פיזיקה. השפה שבה אני מתאר את האמת הפיזיקלית הזאת או את הטענה הפיזיקלית הזאת היא שפה מתמטית. היחסים בין הכוח לבין המסה והתאוצה הם לא יחסים שאני יכול לגלות אותם מתוך ניתוח מתמטי. אני צריך תצפית כדי לראות שזה באמת היחס בין הכוח לבין התאוצה הוא היחס הזה. אבל את התוצאות של התצפית אני מתאר בשפה מתמטית. אם זה לא אותו דבר כמו להגיד שהכל יוצא בלי תצפית, פשוט ניתוח. תחשבו למשל איך אני מגלה שסכום הזוויות במשולש הוא מאה שמונים מעלות. אני לא צריך תצפית בשביל זה. אני יכול לגלות את זה בעיניים עצומות. אני יכול להוכיח לכם את הדבר הזה. אז יש הבדל בין החוק סכום הזוויות במשולש הוא מאה שמונים מעלות לבין החוק אף שווה ל-אם איי, הכוח שווה למסה כפול תאוצה, למרות ששניהם מתוארים בשפה של אריתמטיקה. משהו כפול משהו שווה למשהו, או משהו ועוד משהו ועוד משהו שווה למשהו, מאה שמונים. אלפא ועוד בטא ועוד גמא שווה מאה שמונים. או אף שווה ל-אם כפול איי. מה ההבדל? שניהם זו נוסחה מתמטית, זה עם חיבור וזה עם כפל. הרי מה זה חשוב? למה? אבל יש הבדל מהותי ביניהם. לאלפא פלוס בטא פלוס גמא שווה מאה שמונים, סכום הזוויות במשולש הוא מאה שמונים מעלות, אני מגיע בלי תצפית. ברגע שאני מבין מה זה זווית ומה זה חיבור של זוויות, אני יודע שהסכום של הזוויות האלה הוא מאה שמונים. אני לא צריך תצפית בשביל זה. לכן המשפט השני הוא משפט במתמטיקה, סכום הזוויות במשולש הוא מאה שמונים מעלות. אבל המשפט הראשון, אף שווה ל-אם איי, גם הוא כתוב בשפת המתמטיקה, אבל בשביל לדעת אותו אני צריך תצפיות. ולכן זה פיזיקה. ופיתגורס חשב שאם אני אדע טוב מה זה כוח, מה זה מסה ומה זה תאוצה, אני לא אצטרך בכלל לעשות מדידות. מתוך ניתוח של המושגים אף, אם ואיי, כוח, מסה ותאוצה, אני אוכל לדעת שהכוח שווה למסה כפול תאוצה. זאת אומרת, שאין בעולם בכלל תחום שזקוק לתצפיות. הכל זה חשיבה מופשטת. וזה כמובן מאוד אופטימי, ואני חושב שלדבר הזה אף אחד מהפיזיקאים של היום לא היה מסכים. אז מה בעצם אומרת התופעה המרתקת הזאת שהעולם כתוב בשפת המתמטיקה? בהקשר הזה, אז אני רוצה עכשיו לדבר לא על התופעה, לא על ההנחה של פיתגורס, אלא על הטענה שטוענים היום. שהעולם כתוב בשפת המתמטיקה, הכוונה שאת כל היחסים בין פרמטרים או בין משתנים פיזיקליים אני יכול לתאר בשפה המתמטית. לתאר בצורה טבעית ומתבקשת ומדויקת בשפה המתמטית. וזה לא דבר מובן מאליו. בהחלט יש מקום לתהות למה הדבר הזה קורה. אבל בהקשר הזה מביאים עוד עובדה מעניינת וזה עוד פעם תראו את המקורות ואת האישים שהעלו את הטיעונים השונים בשני הטורים ששלחתי, אני כרגע רק מדבר על זה מלמעלה כי אני רוצה לגמור עם זה היום, מדברים על זה שהרבה פעמים נוצרת תורה מתמטית מסוימת ואין לה שום יישום ושום דבר, ואחרי שנים פתאום פיזיקאים מגיעים לסוגיות כלשהן או להקשרים כלשהם שבהם השימוש הכי מתבקש הוא של התורה המתמטית ההיא הקיימת. ויש לזה כמה וכמה דוגמאות, מחשבון טנזורי לתורת היחסות הכללית, ותורת החבורות לתורת הקוונטים, מרחבי הילברט לתורת הקוונטים, כל מיני דברים. יש לזה כמה וכמה דוגמאות מצוינות. גיאומטריה נגיד דוגמה פחות טובה, גיאומטריה ברור שהיא התחילה בעולם והפכה לתחום מתמטי אחר כך, אבל המוטיבציה והגדרות הבסיסיות הובאו מהעולם, זה ברור. רק אחרי זה עשו לזה הפשטה והפכו את זה לתחום מתמטי. אבל תורת החבורות לא באה מהעולם, גם לא תורת הקבוצות, גם לא מרחבי הילברט, מרחבים וקטוריים, כל מיני דברים מהסוג הזה, וכל אלה יש להם שימושים בפיזיקה. והשימושים בפיזיקה התגלו או נוצרו הרבה שנים אחרי שהתחום המתמטי כבר היה קיים. ארסנל הכלים המתמטי כבר עמד מוכן לשימושם של פיזיקאים. וזה באמת אומר דרשני, כי זה אומר שאת התחומים המתמטיים האלה לא שאבנו מתוך הפיזיקה, להבדיל מהגיאומטריה למשל. את זה לא שאבנו מתוך הפיזיקה, להיפך, הפיזיקה משתמשת בתחומים המתמטיים האלה. אז מאיפה לקחנו אותם? יש כאלה שאומרים המצאנו אותם, אבל אם המצאנו, אז מה הסיכוי שההמצאה הזאת תקלה בדיוק לצורך שמתגלה בפיזיקה של מאה שנים מאוחר יותר? המצאות אפשר להמציא המון דברים. למה שההמצאות האלה יימצאו כל כך מעשיות הרבה שנים מאוחר יותר כשהן לא הומצאו בכלל לצורך הזה? זה כבר צירוף מקרים שהוא אומר דרשני. זאת אומרת, זה לא מובן מאליו. אז לכן, בהקשר הזה יש לנו בעצם שתי פליאות. פליאה ראשונה, זה איך בכלל שפת המתמטיקה מתאימה בצורה כל כך יפה לתאר את הפיזיקה? זה בעיקר פיזיקה, אבל זה נכון גם לכימיה וקצת פחות לביולוגיה, אבל גם בתחומים אחרים זה קיים, בפיזיקה זה הכי בולט. אז זה פליאה ראשונה. פליאה שנייה זה שלא רק שזה מתאים, אלא שאת הכלים המתמטיים לא רק שניסחנו והמסגנו לצורך הפיזיקה, שזה בעצמו מעניין שאפשר לעשות את זה וזה מצליח, אלא להיפך, עשינו את זה עוד קודם ובכלל אחרי מאה שנה התברר שמערכת הכלים שהוכנה מראש מתאימה כדי לטפל בבעיות הפיזיקליות העכשוויות. וזה מגדיל את הפלא שבעתיים. והשאלה איך להסביר את הדבר הזה? האם זה אומר, ומכאן מסיקים כל מיני פילוסופים או מתמטיקאים, מסקנה אפלטוניסטית. זה בעצם אומר שהמתמטיקה קיימת, היא לא יוצאת מהפיזיקה, כי עובדה שמצאו את המתמטיקה הזאת עוד קודם. אוקיי? אבל שימו לב, גם כאן אני אחדד ואני אומר, זה לא אומר שהישים של המתמטיקה קיימים במובן האפלטוני, לא בהכרח. זה אומר שהיחסים ביניהם הם יחסים שהם אובייקטיביים. אבל תיזכרו במהירות של המכונית. יחסים בין ישים הם יכולים להיות אובייקטיביים גם אם הישים לא קיימים, או גם אם הקיום של הישים אולי הישים אפילו הם חומריים, לא משנה. הקיום האובייקטיבי של היחסים לא אומר שהיחסים הם קיימים. לכן בעצם מה שאני רוצה לומר, אני אסכם את זה בצורה כזאת. אפשר לשאול פה שלוש שאלות בהקשר של האפלטוניזם המתמטי. שאלה ראשונה, או טענה ראשונה אני רוצה לטעון, זה לא שאלה. שתי טענות ושאלה. טענה ראשונה אני רוצה לטעון, כל תורה מתמטית היא אמת אובייקטיבית. טענה ראשונה. העניין הזה אני לא רואה שום מקום לדיון. יש דיונים, אבל זה סתם לדעתי בלבול. זה ברור שכל טענה מתמטית היא אמת אובייקטיבית. אנחנו לא המצאנו אותה, אנחנו גילינו אותה. מה זה אומר במובן הכי בסיסי, זה אומר שאם יהיו… יימצא בעולם הקשר מסוים, פיזיקה או לא משנה בתחום אחר, שמקיים את ההנחות של התורה המתמטית הזאת, אז כל המשפטים של התורה המתמטית הזאת יהיו נכונים לגביו. לדוגמה, אם המרחב שלנו בעולם הוא מרחב אוקלידי, אז משפטי הגיאומטריה האוקלידית אני יכול להניח שהם נכונים לגביו. ואם אני אצייר משולשים בעולם, אני אומר לכם שסכום הזוויות בהם יהיה מאה שמונים. איך אני יודע? כי יש לי הוכחה במתמטיקה. אז מה? מה זה קשור לעולם? מתמטיקה זה דבר מופשט. הטענה היא שאם ההנחות של הגיאומטריה האוקלידית קיימות בעולם, אז גם המשפטים של הגיאומטריה האוקלידית נכונים לגבי אותו הקשר בעולם. במובן הזה, התורה המתמטית היא נכונה, היא גילוי ולא המצאה. אבל שימו לב, עכשיו אני עובר לצעד הבא. הצעד הבא שלי אומר שהתורה המתמטית הזאת נכונה גם אם לא מצאתי שום הקשר בפיזיקה שמהווה מודל עבורה. זאת אומרת, שמקיים את ההנחות שלה וממילא גם את המשפטים שלה. גם אם אין, לא רק שלא מצאתי, אין. עדיין הטענה שלי זה שיש היחסים המתמטיים של התורה המתמטית הזאת הם נכונים. זה גילוי ולא המצאה. העובדה שאם יהיה בעולם משהו שיקיים את ההנחות הוא יקיים גם את המשפטים, זה רק אינדיקציה. אבל זה לא נדרש. זאת אומרת, גם אם לא יהיה דבר כזה בעולם, זה עניין היפותטי. אם יהיה, אז הוא יקיים גם את התיאורמות. אני לא מניח שחייב להיות. זאת אומרת, יכול להיות שלא יהיה. ועדיין אני אומר שהתורה המתמטית הזאת היא גילוי ולא המצאה, היא אמת אובייקטיבית. זאת הטענה השנייה. זאת אומרת, טענה ראשונה זה שאם יהיה בעולם משהו, אז הוא יקיים גם את התיאורמות. טענה שנייה, כן, אבל גם אם לא יהיה אף פעם בעולם ואין בעולם שום הקשר שבו זה ישים, עדיין התורה היא גילוי ולא המצאה. השאלה השלישית היא שאלת האפלטוניזם. השאלה השלישית זה השאלה האם היחסים המתמטיים והישים המתמטיים האלה הם ישים שקיימים באיזשהו מובן בעולם האידאות האפלטוני. וזה מחזיר אותנו לכל הדיונים שעשינו על אפלטוניות בכלל, עם כל הטיעונים שהעלתי בעד ונגד. את כל הטיעונים האלה אני יכול להגיד גם כאן, תוכלו לראות גם בשני הטורים האלה שאני מיישם את הטורים האלה לכאן. רק אנקדוטה שאני שומע מהחבר'ה אצלי במשפחה, יש לי כמה מתמטיקאים, שהם נורא נורא נהנים, המרצים במתמטיקה נורא נהנים כל פעם שהם מלמדים איזשהו משפט במתמטיקה או תופעה מתמטית כלשהי, וכן, שיש לזה המון שימושים בפיזיקה, פיזיקאים משתמשים בזה אינסוף אינספור שימושים. בדרך כלל זה שטויות, אין לזה שום שימוש. הם שמעו שפעם איזשהו יישום של הדבר הזה יכול אולי לייצג איזושהי תורה מתמטית, אבל רוב הדברים במתמטיקה הם נשארים במתמטיקה ואין להם בדל שימוש בפיזיקה. נכון שיש לא מעט דברים שיש להם שימוש בפיזיקה, אבל הם עדיין חלק מזערי מתוך כלל התגליות המתמטיות. ולכן בהחלט סביר שיש תגליות מתמטיות שלא יהיה להם ואין להם ולא יהיה להם כנראה אף פעם יישום. האם זה אומר שהם לא אמת אובייקטיבית? אני חושב שהם אמת אובייקטיבית באותו מובן. לא צריך שיהיה יישום, צריך שאם יהיה יישום, המשפטים המתמטיים יתקיימו לגביו. זה התנאי. ולכן לא צריך שבפועל יהיה יישום כזה. נגיד, כל כדור הוא עגול גם אם אין כדורים בעולם. כיוון שאם היה כדור בעולם, אז הוא היה עגול. אז גם אם אין שום כדור בעולם, אני עדיין יכול להגיד שכל כדור הוא עגול. אוקיי? מעין זה. טוב, זה פחות או יותר מה שרציתי להגיד על האפלטוניזם המתמטי. אם תרצו הרחבות, יש בשני הטורים ששלחתי בוואטסאפ בעקבות השיעור הקודם. אני אעשה עוד פגישה אחת ובזה אני אסיים את האפלטוניזם, את סדרת האפלטוניזם. עד כאן. אם יש הערות או שאלות? תודה רבה, חנוכה שמח. חנוכה שמח. מספרים שליליים זה דוגמה לתחום מתמטי שאין לו יישום בעולם? יש לו המון יישומים. מה זה אין לו יישום? כלומר, כשמתעסקים עם מינוסים וכאלה דברים. יש המון יישומים. אפילו למספרים מרוכבים יש יישום בעולם, רק שבמספרים מרוכבים היישום הוא יישום של טכניקות. זה לא שיש בעולם איזה איי שמתרוצץ, איי שורש של מינוס אחד, כן, שמתרוצץ. אצל מהנדסים זה ג'יי דרך אגב, אצל מתמטיקאים ופיזיקאים זה איי. אז הטכניקה של מספרים מרוכבים היא טכניקה סופר שימושית, אינספור השימושים שלה. אולי פונקציית גל קוונטית. זה יכול להיות הדוגמה היחידה של ישות מתמטית שהיא עצמה מספר מרוכב. לא שהמספרים המרוכבים הם טכניקה שבאמצעותה קל לי לטפל בבעיות בפיזיקה. אולי, זה יכול להיות שפונקציית גל זה דוגמה טובה לעניין הזה. אבל במספרים שליליים, יש חורים בפיזיקה נגיד, יש חלקיקים וחורים. חורים זה היעדר חלקיקים. במקום להגיד שיש לי מינוס חמישה אלקטרונים, אני אומר יש לי חמישה חורים, אבל זה אותו דבר, זה בעצם מספר שלילי. ובחצאי מוליכים, הרבה פעמים נוח לטפל אם יש המון חלקיקים ויש לי רק מעט חורים, אז עדיף לי להסתכל על תנועת החורים במקום זה הפטנט של דיראק. עדיף להסתכל על תנועת החורים ולא על תנועת החלקיקים. ואז בעצם אני הופך את המספר השלילי למספר שבו אני משתמש. במקום להגיד יש פה מינוס חמישה אלקטרונים, אני אומר יש לי חמישה חורים. רציתי עוד שאלה, תודה. אם אתה יכול טיפה לחדד, מה ההבדל? שבוע שעבר דיברנו על ההוכחה שעל הטענה שבעצם זה שאפשר לנבא תוצאות זה מוכיח שהאנשים הם סבורים שכן יש איזה שהיא אמת, מאמינים בשיטה. מאמינים בנוסחה הזאת והם לא מופתעים מהתוצאה. זה לא טיעון תיאולוגי, זה טיעון פילוסופי. ואני לא רוצה להוכיח שהאנשים מאמינים בשיטה, אני רוצה להוכיח שהשיטה נכונה. כי אם השיטה לא הייתה נכונה, אז לא היו יכולים להיות כל כך הרבה ניבויים טובים. וגם טענו על גבי זה בסדר, לשם גם רציתי להגיע, אבל מה היחס בין זה לבין מה שאמרת היום שפיתחו תורות שהן לא היו יישומיות אבל איכשהו בסופו של דבר במקרה יצא שלאחר כמה שנים השתמשו בתורה? זה אותו טיעון. זה אותו טיעון, רק אני רוצה לומר שהטיעון הזה רק מראה שהתורה המתמטית היא אמת אובייקטיבית. אבל זה לא אומר שהישים המתמטיים או היחסים האלה הם קיימים במובן האפלטוני כלשהו. זה השאלה השנייה, לא השלישית. שתיהן זה אותה טענה או שיש כאן איזה שהוא פער? לא, זה שתי טענות שונות. זה מה שאני אומר. שאלתי, אמרתי שיש שלוש טענות. טענה ראשונה זה שהמתמטיקה, זאת אומרת, אפשר להגיד שהמתמטיקה היא המצאה, אבל זה שטויות. המתמטיקה היא גילוי. אבל עדיין, גם אם היא גילוי, אפשר לדבר על זה בשלוש רמות. רמה אחת זה שהיא קובעת איזה שהוא יחס הכרחי בין דברים, כך שאם בעולם יימצאו דברים שמקיימים את ההנחות, אז כל המשפטים של התורה המתמטית הזאת גם יהיו נכונים שם. הטענה השנייה זה שהתורה המתמטית הזאת נכונה גם אם לא קיים בעולם שום תחום שבו זה מתממש. אין בעולם תחום שהוא מודל של התורה המתמטית הזאת. והטענה השלישית היא שהתורה המתמטית הזאת היא אמת במובן האפלטוני, זאת אומרת היא קיימת בעולם האידיאות האפלטוני. הישים המתמטיים, משולש, חבורה, קבוצה, דברים כאלה, קיימים בעולם אפלטוני כלשהו, והיחסים ביניהם הם חוקי הטבע של העולם האידיאות האפלטוני. אוקיי? זאת טענה שלישית. לטענה הזאת אני יכול להביא לטובתה, אני חושב שהיא נכונה אגב, אני אפלטוניסט, אבל אני יכול להביא לטובתה רק את הטיעונים של האפלטוניות שדיברתי עליהם בסדרה כולה, אפלטוניות פילוסופית. אוקיי? זה לא יוצא מהטיעון הזה של ההתאמה של תורות מתמטיות לבעיות פיזיקליות בהמשך. זה רק אומר שהמתמטיקה היא נכונה. היא אובייקטיבית, היא גילוי ולא המצאה. האם היא קיימת באיזה שהוא מובן? זה לא חייב להיות. אם זה מתממש זה לא אומר שזה קיים, זה אומר שזה נכון. לכן אמרתי שבאפלטוניות המדעית, שזה היה הנושא הקודם בסדרה הזאת, בשיעורים הקודמים, האפלטוניות המדעית לא מדברת על עולם האידיאות האפלטוני. היא מדברת על השאלה אם אני מנסח הכללות נכונות של חוקי הטבע בעולם שלנו. או האלקטרון שאני אומר שהוא קיים, זה חלקיק או אובייקט שקיים בעולם שלנו, לא בעולם האידיאות האפלטוני. כי שם אני באמת מדבר רק על שתי השאלות הראשונות ששאלתי לגבי המתמטיקה. שאלה שלישית זה משהו אחר. השאלה השלישית אפשר בעצם שיתקיימו כמה תורות סותרות, נכון? כן, ברור. כי התורות האלה הן… יוצאות מהנחות סותרות, אז הן מגיעות למסקנות סותרות. אין שום בעיה. יכולה להיות גיאומטריה לא אוקלידית וגיאומטריה כן אוקלידית ושתיהן אמת אובייקטיבית. למה, באיזה מובן הן אמת? שאם יהיה משהו שמקיים את ההנחות של גיאומטריה לא אוקלידית, אז יתקיימו שמה גם התיאורמות של הגיאומטריה הלא אוקלידית. ואם יהיה משהו שיקיים את ההנחות של הגיאומטריה האוקלידית, אז יתקיימו גם התיאורמות של הגיאומטריה. נגיד, אם המרחב שלנו הוא מרחב אוקלידי, אז הצורות הגיאומטריות בו יקיימו את הגיאומטריה האוקלידית. אבל אחרי איינשטיין אנחנו יודעים שהמרחב שלנו הוא גיאומטריה לא אוקלידית, אז יתקיימו בו תכונות של גיאומטריה לא אוקלידית, ואין שום סתירה. שתיהן נכונות אובייקטיבית. נכונות אובייקטיבית בעולם האידיאות האפלטוני. בעולם שלנו, או שהוא אוקלידי או שהוא לא. או יהיה מתאים לתורה הזאת או שהוא מתאים לתורה הזאת. הוא לא יכול להתאים לשתיהן. הבנתי, תודה רבה. טוב, אז שבת שלום, חנוכה שמח.