חידת הבן שנולד ביום שלישי
בסדרה של ספק והסתברות הבאת את החידה של המשפחה שיש בה שני ילדים, וטענת שאם ידוע שאחד מהם הוא בן, ההסתברות שהילד השני הוא בן היא שלישי, ולעומת זאת אם ידוע שאחד מהם הוא בן שנולד ביום שלישי, ההסתברות שהילד השני הוא בן היא כמעט חצי אבל לא חצי. חשבתי על זה קצת ונראה לי שיש בעייתיות מסוימת בהצגה הזו, כי זה תלוי באופן שבו הגיע לידי המידע.
אם אני בוחר באקראי משפחה עם שני ילדים, הסיכוי שיש לה שני בנים הוא 0.25, הסיכוי שיש לה שתי בנות, הוא 0.25, והסיכוי שיש לה בן ובת הוא 0.5. זה ברור.
עכשיו, אם אני בוחר באקראי את אחד הילדים ושואל אותו האם הוא בן, והוא עונה לי כן, כעת המשפחה עונה להגדרה "משפחה עם שני ילדים שאחד מהם הוא בן", ובכל זאת ברור שהסיכוי שהשני הוא בן הוא בדיוק חצי. הסיבה היא שכמובן במשפחה עם שתי בנות, אין סיכוי שזה יקרה. במשפחה עם שני בנים לעומת זאת, ברור שאם אני אבחר ילד אקראי הוא יהיה בן. לעומת זאת במשפחה עם בן ובת, הסיכוי לבחור ילד אקראי מהמשפחה ולגלות שהוא בן הוא חצי, לכן התהליך של הבחירה האקראית של אחד הילדים והוידוא שהוא בן, מקטין פי שתיים את הסיכוי שמדובר במשפחה עם בן ובת, והוא הופך להיות זהה לסיכוי שמדובר במשפחה עם בן ובן.
באותו אופן קל לראות שאם אני בוחר באקראי את אחד הילדים ושואל אותו האם הוא בן שנולד ביום שלישי, הסיכוי שהשני הוא בן הוא בדיוק חצי.
כל התעלול נוצר כשלא בוחרים ילד ספציפי, אלא שואלים את האבא "האם יש לך לפחות בן אחד"? במקרה כזה הוא בוודאות יענה כן גם אם מדובר במשפחה של בן ובת, ולכן הסיכוי שיש לו בן ובת נשאר גדול מהסיכוי שיש לו שני בנים. ובאותו אופן אם שואלים אותו "האם יש לך לפחות בן אחד שנולד ביום שלישי", קל לראות שכיוון שמדובר באירוע נדיר, במשפחה עם שני בנים הרבה יותר קל למצוא בן שנולד ביום שלישי מאשר במשפחה עם בן ובת – כי במשפחה עם שני בנים יש שתי הזדמנויות להשיג בן שנולד ביום שלישי (כי יש שני בנים), ובמשפחה עם בן ובת יש רק הזדמנות אחת להגריל בן כזה. לכן הסיכוי שבמשפחה יש בן ובת קטן דרמטית, אבל רק כמעט פי שתיים, בגלל שבמשפחה עם שני בנים יש 13 מצבים שבהם יהיה בן שנולד ביום שלישי (אם שניהם נולדו ביום שלישי סופרים רק פעם אחת), ובמשפחה עם בן ובת יש 7 מצבים בהם זה יקרה (ובגלל שהסיכוי למשפחה כזו גדול פי 2 צריך להתייחס לזה כ-14 במספר הסופי).
אשמח לדעת האם כל המהלך הזה נכון? כי אם זה נכן, אני חושב שההתייחסות לשאלה "כיצד הושג המידע" מבהירה את העניין בצורה אינטואיטיבית, ולא כמו שאמרת שם שאין דרך להבין את זה אינטואיטיבית אלא פשוט לחשב. לדעתי נכון יותר לומר שהבעיה בחשיבה בייסיאנית אינה שהיא לא מותאמת לאינטואיציה שלנו אלא שהיא לא מותאמת לשפה היומיומית שלנו – כשמדברים על "משפחה עם שני ילדים שאחד מהם הוא בן שנולד ביום שלישי", פורמלית ודקדוקית אפשר להבין שמדובר על תנאי מתמטי על כל הקבוצה, ולכן נכון להפעיל בו חשיבה בייסיאנית, אבל בשפה היומיומית לרוב מבינים שמדובר בתנאי שהתגלה באקראיות על ידי בדיקה של ילד ספציפי (לדוגמה אם אני הולך ברחוב ופוגש אבא ובן, שמספרים לי שיש להם בבית עוד ילד – ההסתברות שהוא בן היא חצי). במקרה הראשון באמת ההסתברות תמיד תהיה חצי, והמקרה השני הוא פשוט לא רגיל ביומיום. אבל אחרי ששמים את האצבע על כך שזה המקרה שמדובר בו, קל להבין אינטואיטיבית את החישוב.
לגלות עוד מהאתר הרב מיכאל אברהם
Subscribe to get the latest posts sent to your email.
לצערי אין לי זמן לעקוב אחרי הפרטים.
לגלות עוד מהאתר הרב מיכאל אברהם
Subscribe to get the latest posts sent to your email.
אני לא השואל אבל אנסה לסכם אותו לפי הבנתי:
הוא טוען שאם יש משפחה עם בן ובת תיאורתית היה יכול להיות ידוע לך שיש בת אחת ולא שיש בן אחד. במשפחה עם 2 בנים זה לא יכול להיות, כי אין בנות. לכן שאלה חשובה היא איך קיבלת את המידע שיש למשפחה בן אחד, מכיוון שזה משנה את תוצאת החידה.
חידוד שלי: זה מזכיר לי את הוריאציה במוניטי הול בה המנחה פותח את הדלת של העז בטעות ולא בכוונה תחילה. במצב כזה ההסתברות לזכות היא 1/2 בין אם מחליפים את הבחירה ובין אם לא (זאת מכיוון שאם אני בוחר עז יש אפשרות שהמנחה יפתח בטעות מכונית, אבל בגלל שהוא לא פתח אותה זה מקטין את ההסתברות שבחרתי עז). לכן חשוב לדעת למה המנחה פתח את הדלת – באקראיות או בידיעה שיש מאחוריה עז
אם הבנתי נכון, לאחר מכן הוא שואל 2 שאלות.
א' האם ההתייחסות לשאלה "כיצד הושג המידע" מבהירה את "העניין" (כנראה פיתרון החידה) בצורה אינטואיטיבית.
ב' האם נכון לומר שהבעיה בחשיבה בייסיאנית אינה שהיא לא מותאמת לאינטואיציה שלנו אלא שהיא לא מותאמת לשפה היומיומית שלנו, מכיוון שהשפה יוצרת הנחות אצלינו של איך המידע הושג.
אנסה לומר את טענתי בצורה ברורה יותר.
למידע "במשפחה עם שני ילדים יש לפחות בן אחד" הגענו באחת משתי דרכים: 1. עשינו סינון מכוון, כגון ששאלנו את האבא "האם יש לך לפחות בן אחד". במקרה כזה ההסתברות היא אכן שליש, כיוון שיכול להיות שהבן הוא הראשון ויכול להיות שהוא השני, ובשני המקרים יכול להיות שיש בת, לעומת זאת אם בשניהם יש בן זה בעצם אותו מקרה. 2. בחרנו באקראיות את אחד הילדים ובדקנו האם הוא בן. במקרה כזה ההסתברות היא חצי, כי מדובר במידע על ילד ספציפי ולא על המכלול. (אפשר להסביר זאת כך: ההסתברות שנפגוש בבן גדולה פי 2 אם שני הילדים הם בנים ולכן הסיכוי ששניהם בנים נהיה זהה לסיכוי שיש בן ובת).
מה שאני מנסה לומר זה שכשאנחנו שומעים "יש לפחות בן אחד", נשמע לנו יותר הגיוני שהמידע הושג באופן אקראי. אם עשינו סינון מכוון בהכרח פנינו למקור שיודע את המידע על המכלול כולו, ומסיבה לא ברורה בחרנו לבקש ממנו רק חלק מהמידע, וגם אז לא ביקשנו מידע ספציפי אלא מידע על המכלול. זה לא משהו שקורה ביומיום. לעומת זאת שכיח יותר שנפגוש ברחוב אבא עם עגלת תאומים שיש בה בן אחד בלבד, ונתהה לעצמנו האם השני הוא בן או בת.
אז הבעיה היא לא שהחשיבה הבייסיאנית אינה תואמת לאינטואיציה שלנו, אלא שהאינטואיציה שלנו מפרשת את המקרה באופן יומיומי ושכיח יותר, שבו לא נכון להפעיל את החישוב הבייסיאני.
באותו אופן אפשר לנתח את המקרה של הבן שנולד ביום שלישי.
עכשיו ראיתי את התגובה של חיים. נראה לי שהבנת אותי נכון. ותודה על ההערה ממונטי הול.
כמעט בכל בעיה בהסתברות יש תלות באופן השגת המידע או בדרך שבה הוא מוצג. הבדלים דקים באים לידי ביטוי בחישוב ההסתברותי. בעיית מונטי הול היא כמובן דוגמה טובה לזה, ועמדתי על כך בעבר.
הסיבה לכך היא שהסתברות היא מערכת כלים לקבלת החלטות בתנאי חוסר במידע, ולכן התוצאה של חישוב הסתברותי תלויה לא רק בסיטואציה העובדתית, אלא תלויה לחלוטין במידע החסר והקיים בידינו. באחד משיעוריי הדגמתי זאת על בחירת כדור מתוך כד: התשובה ההסתברותית אינה תלויה רק בהתפלגות הכדורים בתוך הכד, אלא גם במתודה של ההוצאה – האם אתה מושיט יד באקראי, או מסתכל ובוחר. לכן, לשאלתך הראשונה, אכן ההתייחסות לשאלה "כיצד הושג המידע" בהחלט מבהירה את העניין, משום שהיא עוזרת לנו להגדיר נכון את מרחב המדגם המצומצם.
לגבי שאלתך השנייה (ב'), אתה קולע לדעתי. עמדתי על כך בעבר שמה שמבלבל אנשים ביחס להסתברויות מותנות (ונוסחת בייס) הוא שבניסוח לא קפדני של בעיה נתונה בשפה היומיומית, קשה מאוד לשים לב שמדובר בהסתברות מותנית ולא בהסתברות רגילה. השפה הטבעית שלנו גורמת לנו לעיתים קרובות לטשטש את ההבחנה בין השתיים, ולא תמיד קל להבין מהו הנתון (המשתנה המתנה) ומהו המקרה הנבחן. הבעיה היא שחשיבה בייסיאנית סותרת את האינטואיציה שלנו, אבל זה בעיקר בגלל שאנחנו לא עושים הבחנות כאלה באופן אינטואיטיבי. הבאתי לכך כמה דוגמאות בעבר למשל בבעייה של תסמונת מינכהואזן, אבחון של מחלות נדירות וכו'. ניתוח מסודר שמבחין בין הסיטואציות כמובן יבהיר את העניין. זה נכון בכל הבעיות מהטיפוס הזה. אין בכך פלא שכן החישוב המתמטי אינו אלא ניתוח כזה בשפה פורמלית.
במבט נוסף נראה שאם הבן נולד ביום שלישי, הסיכוי שיש שני בנים במשפחה נשאר על שליש, ולא חצי כפי שמיכי טוען.
ניקח שאלה אחרת: יש משפחה המורכבת מבת ובן שנולד ביום ראשון, משפחה עם בת ובן שנולד ביום שלישי ומשפחה עם שני בנים הנולדו בראשון ובשלישי.
אם במצב שתיארתי נבחר באופן אקראי משפחה אשר יש לה בן הנולד ביום שלישי הסיכוי שיש לה רק בן אחד הוא אכן 1/2, אך לפי הניסוח של חגי (שלכאורה מתייחס לשיעור של מיכי) קודם נתונה משפחה ורק אז מתברר שהילד נולד ביום שלישי. במצב הזה ההסתברות נשארת 2/3 שבמשפחה יש רק בן אחד, מכיוון שהמצב שתיארתי שקול לחלוטין לדילמת מונטי הול.
השאר תגובה
Please login or Register to submit your answer