חידת הבן שנולד ביום שלישי

בסדרה של ספק והסתברות הבאת את החידה של המשפחה שיש בה שני ילדים, וטענת שאם ידוע שאחד מהם הוא בן, ההסתברות שהילד השני הוא בן היא שלישי, ולעומת זאת אם ידוע שאחד מהם הוא בן שנולד ביום שלישי, ההסתברות שהילד השני הוא בן היא כמעט חצי אבל לא חצי. חשבתי על זה קצת ונראה לי שיש בעייתיות מסוימת בהצגה הזו, כי זה תלוי באופן שבו הגיע לידי המידע.

אם אני בוחר באקראי משפחה עם שני ילדים, הסיכוי שיש לה שני בנים הוא 0.25, הסיכוי שיש לה שתי בנות, הוא 0.25, והסיכוי שיש לה בן ובת הוא 0.5. זה ברור.

עכשיו, אם אני בוחר באקראי את אחד הילדים ושואל אותו האם הוא בן, והוא עונה לי כן, כעת המשפחה עונה להגדרה "משפחה עם שני ילדים שאחד מהם הוא בן", ובכל זאת ברור שהסיכוי שהשני הוא בן הוא בדיוק חצי. הסיבה היא שכמובן במשפחה עם שתי בנות, אין סיכוי שזה יקרה. במשפחה עם שני בנים לעומת זאת, ברור שאם אני אבחר ילד אקראי הוא יהיה בן. לעומת זאת במשפחה עם בן ובת, הסיכוי לבחור ילד אקראי מהמשפחה ולגלות שהוא בן הוא חצי, לכן התהליך של הבחירה האקראית של אחד הילדים והוידוא שהוא בן, מקטין פי שתיים את הסיכוי שמדובר במשפחה עם בן ובת, והוא הופך להיות זהה לסיכוי שמדובר במשפחה עם בן ובן.

באותו אופן קל לראות שאם אני בוחר באקראי את אחד הילדים ושואל אותו האם הוא בן שנולד ביום שלישי, הסיכוי שהשני הוא בן הוא בדיוק חצי.

כל התעלול נוצר כשלא בוחרים ילד ספציפי, אלא שואלים את האבא "האם יש לך לפחות בן אחד"? במקרה כזה הוא בוודאות יענה כן גם אם מדובר במשפחה של בן ובת, ולכן הסיכוי שיש לו בן ובת נשאר גדול מהסיכוי שיש לו שני בנים. ובאותו אופן אם שואלים אותו "האם יש לך לפחות בן אחד שנולד ביום שלישי", קל לראות שכיוון שמדובר באירוע נדיר, במשפחה עם שני בנים הרבה יותר קל למצוא בן שנולד ביום שלישי מאשר במשפחה עם בן ובת – כי במשפחה עם שני בנים יש שתי הזדמנויות להשיג בן שנולד ביום שלישי (כי יש שני בנים), ובמשפחה עם בן ובת יש רק הזדמנות אחת להגריל בן כזה. לכן הסיכוי שבמשפחה יש בן ובת קטן דרמטית, אבל רק כמעט פי שתיים, בגלל שבמשפחה עם שני בנים יש 13 מצבים שבהם יהיה בן שנולד ביום שלישי (אם שניהם נולדו ביום שלישי סופרים רק פעם אחת), ובמשפחה עם בן ובת יש 7 מצבים בהם זה יקרה (ובגלל שהסיכוי למשפחה כזו גדול פי 2 צריך להתייחס לזה כ-14 במספר הסופי).

אשמח לדעת האם כל המהלך הזה נכון? כי אם זה נכן, אני חושב שההתייחסות לשאלה "כיצד הושג המידע" מבהירה את העניין בצורה אינטואיטיבית, ולא כמו שאמרת שם שאין דרך להבין את זה אינטואיטיבית אלא פשוט לחשב. לדעתי נכון יותר לומר שהבעיה בחשיבה בייסיאנית אינה שהיא לא מותאמת לאינטואיציה שלנו אלא שהיא לא מותאמת לשפה היומיומית שלנו – כשמדברים על "משפחה עם שני ילדים שאחד מהם הוא בן שנולד ביום שלישי", פורמלית ודקדוקית אפשר להבין שמדובר על תנאי מתמטי על כל הקבוצה, ולכן נכון להפעיל בו חשיבה בייסיאנית, אבל בשפה היומיומית לרוב מבינים שמדובר בתנאי שהתגלה באקראיות על ידי בדיקה של ילד ספציפי (לדוגמה אם אני הולך ברחוב ופוגש אבא ובן, שמספרים לי שיש להם בבית עוד ילד – ההסתברות שהוא בן היא חצי). במקרה הראשון באמת ההסתברות תמיד תהיה חצי, והמקרה השני הוא פשוט לא רגיל ביומיום. אבל אחרי ששמים את האצבע על כך שזה המקרה שמדובר בו, קל להבין אינטואיטיבית את החישוב.