על חשיבה מחוץ לקופסה (טור 656)

תוכן המאמר

בס"ד על חשיבה מחוץ לקופסה

לפני כמה שבועות ראיתי באחד הצהובונים ש מחולקים ב בתי הכנסת את החידה הבאה במודעה של :מכון לב

למטה הם כתבו שהפתרון מעיד על הפותר שהוא חושב מחוץ לקופסה. זה עורר בי מחשבות נוגות לגבי הגדרת חשיבה מחוץ לקופסה. האם באמת פתרון של?חידה כזאת הוא חשיבה מחוץ לקופסה

ניתוח ראשית, הבה ננסה לפתור את החידה. ההנחה שלי הי א שכל צורה מייצגת מספר כלשהו. י כאן שלוש צורות, כדור, פירמידה וקובייה, שכל אחת מהן מייצגת מספר. הנחה נוספת היא שכל פוזיצי ה או יחס מרחבי בין צורות מייצגים פעולה מתמטית בין המספרים שמיוצגים על ידן ,. יש לנו כאן שתי פוזיציות צורה מעל צורה וצורה (או מבנה של צורו ת) ליד צורה (מבנה). כל אחד מהיחס ים הללו מייצג פעולה מתמט.)ית (שיכולה להיות אותה או אחרת במושכל ראשון אני מניח שהמספרים צריכים להיות שלמים, והפעולות צריכות להיות מתוך הפעו לות .)המתמטיות היסודיות/פשוטות (חיבור, חיסור, כפל, חילוק ואולי חזקה למה? כי כך נראה לי סביר .וטבעי .בהנחות הללו כשניגשים לפתור את החידה הפתרון די מתבקש נתחיל במשוואה העליונה. יש שם שנ י מבנים זהים שכל אחד מהם מורכב משתי צורות. לכן סביר להתחיל בפענוח היחס ש עמידה ליד. האם יש לכפול את שני המבנים זה בזה או לחבר או לחסר אותם. אלימינציה פשוטה מראה לנו שזו אינה יכולה להיות מכפלה, שכן ל-

אין שורש שלם. חיסור זה גם לא יכול להיות, כי אז התוצאה צריכה להיות0 ולא יכולה להיות 24. זה גם לא יכול להיות חזקה, כי אין מספר שלם שפותר את המשוואה . מה שנותר לנו,, אם כן .הוא חיבור המסקנה הזאת נותנת לנו מיד שתי תוצאות ראשוניות: העמידה של מבנים זה ליד זה היא חיבור. וערכו של כל אחד משני המבנים במשוואה העליונה הוא12. כעת עלינ ו לשאול את עצמנו מה משמעות המבנ ?ה של צורה מעל צורה כאמור זו יכולה להיות כל אחת מחמש הפעולות שמניתי למעלה (כולל פעולת החיבור עצמ ). הצעה ראשונה היא שזו הי פעולה שונה, שכן מצבים מרחביים שונים מייצגים ,פעולות מתמטיות שונות. זה יכול אולי להיות חזקה אבל זה רק אם נניח שהקובייה היא12

והפירמידה היא1. לפי הזה מהמש ווה התחתונה יוצא שהכדור הוא5 , ואז מקבלים7

1( ,). לפי זה מקבלים במשוואה השלישית1,955,078,125

:טוב, אבל ניתן לשלול את התוצאה הזאת, שכן בתחתית החידה הופיעה עוד שורה

אנחנו רואים למטה שהתוצאה צריכה לתת לנו תאריך בחודש, כלומר מספר שלם בין1 ל- . זה גם שולל את כל אינסוף האפשרויות של פתרונות עם מספרים לא שלמים. עלינו לחזור, אם כן, להנחות .שלנו כדאי לשים לב שההנחיות לפתרון החידה מדברות על שלוש משוואות (תרגילים?), שיש לפתור את השלישית באמצעות שתי הראשונות. לכאורה החידה עומדת לעצמה, ואין הפ נייה לרמז שבתחתית התמונה. הוא רק תוצאה של הפתרון ולא רמז. אולם אם אכן התוצאה צריכה להיות שלימה, זו שולל את הפתרון שהצעתי למעלה. כלומר עליי להשתמש בזה גם כרמז. דומני שיש כאן ניסוח לא מדויק של .החידה טוב, אז אם כך מתבקש וטבעי לנסות לפענח את היחס של צורה מ על צורה כמכפלה. במקרה כזה, אם המספרים שלמים סביר ל בדוק ב משוואה העליונה ש הקובייה היא4

והפירמידה היא3 ., או ההיפך אם נשוב למשווה השנייה נקבל שבשני המקרים העיגול הוא1 . אבל התוצאה של המשוואה השלישית תשתנה: היא תהיה4

.בהתאמה בשני המקרים זהו מספר שלם שנותן את התאריך בחודש. שני הימים הללו השנה יוצאים ביום רביעי וחמישי, כלומר אי אפשר לשלול אף אחד מהם (בשבת אני מניח שמכון לב לא יעשה יום פתוח). נותרנו עם שתי אפשרויות שונות ששתיהן מתאימות. אין דרך להכריע בין שתי אלו כמובן, ואני מניח שזו טעות של מכון לב שלא חשבו מ ספיק מחוץ לקופסה (או שמא אני .)…?פספסתי כאן משהו .אגב, זה אינו הפתרון היחיד. לולא הרמז שבתחתית התמונה, ניתן היה להציע עוד פתרונות אפשריים למשל, ניתן להניח שאכן מדובר במכפלה ו להציב בכל מבנה למעלה את המספרים2 ו- .א ם ה קובייה הי א2

והפירמידה היא6

אז מקבלים למטה שהעיגול הוא( לא שלם1.2 ). התוצאה בסוף יוצאת2.4 שוב לא מספר שלם. ואם נניח ההיפך, שהקובייה היא6

והפירמידה היא2 , אזי העיגול הוא0.5 . זה :אמנם לא שלם, אבל עדיין התוצאה בסוף יוצאת6/0.5

( , מספר שיכול להתאים השנה זה יוצ א ב.)יום שישי, לגיטימי ליום פתוח במכון לב ניתן היה גם לפענח את המצב של צורה מעל צורה כחיסור (ולא כ פל כ). זה מציב בפנינו כמ ובן מון אפשרויות. כל אחד מהמבנים שלמעלה צריך לתת12 . חיסור שנותן לנו12

יכול להיות למשל6

כלומר שהקובייה היא6

והפירמידה18 . אם נשתמש בזה במשוואה השנייה, העיגול נותן לי17 , ואז התוצאה של המשוואה האחרונה היא11 .. אבל מהרמז עולה שזה לא מתאים אפשרות שלישית היא לפענח גם את המצב של צורה מעל צורה כחיבור , כמו המצב של צורה ליד צורה ,בדיוק כמו שבצמד משוואות עם שני נעלמיםX ו- Y, אין מניעה שנקבל כפתרוןX

. במצב כזה יש אפשרויות לסדר את הקובייה והפירמידה. אם ניקח למשל את הקובייה כ- והפירמידה כ- , מקבל מהמשוואה השנייה שהעיגול הוא4 . ומהמשוואה השלישית נקבל את התוצאה4 ., לגיטימית לגמרי לא בדקתי הלאה, אבל אני מניח שישנם עוד פתרונות בכיוו.ן זה מה אם נפענח את המבנה של שתי צורות שזו מעל זו כחילוק? למשל, הפירמידה היא36

והקובייה היא3 . במצב כזה העיגול הוא9 ( , אבל אז התוצאה הסופית אינה שלימה1/3 ). נדמה לי שכל שאר .התוצאות גם יוצאות כאן שבורות, ולכן זו אינה אופציה טוב, די לנו במה שראינו עד כאן.כדי לעבור ולשאול את עצמנו משהו על חשיבה מחוץ לקופסה

?מהו הפתרון שמחוץ לקופסה עוד לפני ששמתי לב לרמז שבתחתית התמונה, במבט ראשון היה לי ברו ר שהפתרון הוא3

או4 ההנחה שלי הייתה ,שמדובר במספרים שלמים ושהעמידה זה לצד זה היא חיבור, והעמידה זה מעל זה היא פעול.ה אחרת מיד הנחתי שמדובר בכפל. כאמור, זה נתן לי שתי תוצאות שונות, אבל למרות זאת היה לי ברור שזוהי התשובה המבוקשת והנחתי שהכפילות היא טעות שלהם. נניח שקיבלתי תוצאה הגיונית ,וטבעית מדוע להניח שזוהי באמת התוצאה הנכונה? מדוע לא לקחת בחשבון את האפשרות שמדובר ב פעולות זהות (ח ?יבור וחיבור), או בחיבור וחזקה גם אחרי ש מתחשבים ב ,רמז עדי.ין ראינו שיש כמה אפשרויות אחרות למשל, בהנחה שהערכים של הצורות יכולים להיות שבורים כל עוד הם מביאים אותנו לתוצאה שהיא מספר שלם בין1 ל- . לחילופין, שהיחס של צורה מעל צורה גם הוא חיבור ולאפשר ערכים שליליים .לצורות, באופן שנותן תוצאה הגיונית לתאריך ש ני הפתרונות הללו אמנם נראים לנו פחות ט בעיים ומתבקשים , אבל מדוע לחשוב בגלל זה שה ם לא נכונ ים?

הייתי אפילו אומר יותר מכך. הפתרון הראשון שהצגתי הוא תוצאה של חשיבה מתבקשת , טבעית וצפויה , כלומר של חשיבה בתוך הקופסה. דווקא שת י התוצאות האחר ות נותנות ל נו פתרונות שמחוץ לקופסה. בפרט ששתי האחר ונות נותנות לנו פתרון יחיד, בעוד ש הפתרון הטבעי נותן לנו שני פתרונות שונים אפשריים. אז למה אני בכל זאת בטוח שהם התכוונו לאחד מ הפתרונות הטבעיים ? פשוט, מפני ברור לי ש ה ם ציפו דווקא לפתרון בתוך הקופסה ולא מחוצה לה. פתרונות עם מספרים שבורים או שליליים הם מחוץ לקופסה, ולכן הם לא אלו שציפו להם.

המסקנה היא שאנשי מכון לב מנסים כאן לבחון דווקא מי חושב בתוך הקופסה ולא מי חושב מחוצה לה , ואולי אפשר גם לומר שהם עצמם חושבים בתוך הקו פסה ולא מחוצה לה . הם בהחלט רוצים מכם חשיבה שיט תית , מסודרת ו טוב ה, כלומר רוצים ש הסטודנט שמתקבל יהיה אדם עם יכולות, אבל זה רק כל עוד הוא חושב בתוך הקופסה, ולא מחוצה לה. אדם שחושב מ ח וץ לקופסה יגיע בתאריך12.7

ולא יתקבל. האחר שמגיע ל- בפתרון השני יכול אולי להג יע ביום הנכון ולא להתקבל (כי במבחנים הם )יסננו אותו על חשיבה מחוץ לקופסה או להגיע ביום הלא נכון ולא להתקבל . אדם שחושב בתוך הקופסה, יגיע למסקנה שהתוצאה היא או3

או4 , ואז עליו להגיע בשני הימים וכך להתקבל. הטעות שלהם תגרום לו לכל היותר לעבוד קשה, אבל בסוף אל חשש, אם הוא חושב מספיק בתוך הקופסה .הוא יתקבל כדי להבהיר טוב יותר את משמעותה של חשיבה בתוך ומחוץ לקופסה אעבור כעת לטיעון ידוע של .ויטגנשטיין

ויטגנשטיין על עקיבה אחרי כללים הבאתי כאן בעבר (ראו למשל בטור482 . ראו עליו גם כאן בפרק ב ,) את הטיעון הידוע של ויטגנשטיין ( 'שמכונה 'עקיבה אחרי כללfollowing a rule .) נניח שמצ יגים בפניכם במבחן פסיכומטרי את הסדרה … :הבאה2,4,6,8 , ושואלים אתכם מהו האיבר הבא בסדרה? התשובה המתבקשת היא10

,כמובן שכן אנחנו מניחים שהכלל הוא סדרת המספרים הזוגיים (ונוסחת הנסיגה ששולטת עליו היא הוספת2

מ כל איבר לבא אחריו). אבל ויטגנשטיין טוען שהתשובה יכ ולה גם בה במידה להיות16 , שכן הכלל יכול להיות הבא: מכפלה ב- , הוספה של2 הוספה של2 ואז מכפלה ב-

.וכן הלאה אתם מבינים .שהתשובה יכולה להיות גם כל מספר אחר שתרצו חשבו כעת… על הסדרה3,5,7 ?. מהו המספר הבא מתבקש לכתוב שם9, כשההנחה היא שמדובר ב סדרת ה אי זוגי ים. אבל בה במידה זה יכול להיות גם 11, אם הסדרה היא הראשוניים (אלו שמתחלקים רק בעצמם וב- .)

הוא ממשיך וטוען טענה כללית יותר. כל סדרת מספרים נתונה ניתן להמשיך בכל צורה שתרצו. לכל . :המשך כזה יש הצדקה על ידי כלל מתאים. לדוגמה, נניח שנתונה לנו הסדרה השנייה.. 3,5,7 וכשאנחנו בודקים את אחד המבח נים אנחנו מגלים תלמיד שכתב שם4.7 ?. האם הוא בהכרח טעה .ממש לא. הנה לכם כלל שיצדיק את ההמשך הזה :נניח שהכלל הוא מהצורה של פולינום עם ארבעה מקדמים f(n) = a1 + a2n +a3n2 + a4n3 אם אנחנו רוצים שהסדרהf(n) תיתן לנו את הסדרה המבו .קשת, עלינו לקבוע את המקדמים בהתאם :לשם כך נבנה ארבע משוואות עם ארבעה נעלמים f(n=1) = a1 + a2 +a3 + a4 = 3 f(n=2) = a1 + 2a2 + 4a3 + 8a4 = 5 f(n=3) = a1 + 3a2 + 9a3 + 27a4 = 7

f(n=4) = a1 + 4a2 + 16a3 + 64a4 = -4.7 אפשר בקלות לפתור את ארבעת המשוואות הללו עבור ארבעת המקדמים . התוצאה שמתקבלת:היא a1 = 14.7 ; a2 = -23.11666 ; a3 = 13.7 ; a4 = -2.28333 אם נציב את התוצאה בביטוי עבורf(n), נקבל את הסדרה המבוקשת:

f(n) = 14.7 – 23.11666n + 13.7n2 – 2.28333n3 אם תציבו כעת בתוךf אתn=1,2,3,4 תקבלו בדיוק א ת התוצאות המבוקשות, כלומר הוכחנו שהתשובה של אותו תלמיד שרשם כהמשך את4.7 .היא נכונה כמו כל תשובה אחרת זו הי ,כמובן רק דוגמה ואפשר לעשות זאת לכל סדרה עם כל תוצאה שתרצו באינספור צורות שונות (אפשר לבחור סדרה של פלינום ממעלה גבוהה יותר או כל צורה פונקציונלית א חרת כשאנחנו מתאמים את הפרמטרים לסדרה .)המבוקשת

בחזרה לחשיבה מחוץ לקופסה אז למה בכל זאת התלמיד שרשם4.7 לא יתקבל ללימודים באוניברסיטה? מפני שהוא חושב מחוץ לקופסה. המבחן הפסיכומטרי מצפה לתשובה של חשיבה בתוך הקופסה, והוא ממיין את הסטודנטים כך שמתקבלים אלו שחושבים בתוך הקופסה ומנ ים פו .אלו שחושבים מחוצה לה אתם ודאי חושבים שאני כותב זאת בביקורתיות על תהליך הסינון האקדמי, אבל ממש לא. כך הוא באמת צריך להתנהל. כדי להבין זאת, חשבו על מצב שבו התהליך מאפשר לכל החברים שחושבים בצורות כאלו להתקבל ללימודים. אותו ברנש שכ תב4.7 , ביחד עם אחד שכתב שם1 , עוד אחד שכתב , שלישי שכתב17.3 , רביעי כתב פאיי והחמישי2 ,וכן הלאה. תשאלו, אם כל תשובה מתקבלת מה בכלל הבחינה הזאת בודקת? כיצד, אם בכלל, מתבצע כאן סינון? במבחן הזה מתקבל ללימודים רק סטודנט שמציג הצדקה לתשובתו (פונקציהf(n)

מתאימה לתשובה). סתם תשובות ללא הצדקה .)אינן מתקבלות (זה לא מבחן אמריקאי, אלא פסיכומטרי שדורש תשובות מלאות כעת נכנס המרצה לכיתה ורוצה ללמד אותם נושא מתמטי כלשהו. אין לו שום סיכוי לעשות זאת. פשוט אי אפשר ללמד כיתה כזאת. ויטגנשטיין שם מסביר שכל כלל שאנחנו רוצים ללמד את התלמידים שלנו מתבסס על מתן דוגמאות והכללה. לדוגמה, אנחנו רוצים ללמד אותם לספור את המספרים הטבעיים בשיטה העשרונית. מלמדים אותם לספור מ-

עד10 , ואחר כך עד100

ועד1000 . ואז המורה מורה :לאחד התלמידים להמשך את הספירה, והוא עונה ללא היסוסe -. המ ורה הנדהם שואל אותו כיצד הגיע לתשובה הזאת? התלמיד מיד מנפק לו פונקציהf(n) , שנותנת לנו את אלף המספרים הטבעיים הראשונים ואחריהם את–e . טוב, המורה לא מתייאש וממשיך ללמד עד10,000 , אלא שאז התלמיד :הבא שמתבקש להמשיך זאת, עונה15, וכמובן מנפק פונקציה מתאימה שתצ ,דיק זאת. למעשה התלמידים הללו בכלל לא מנפקים את הפונקציות המצדיקות. המוח שלהם בנוי כך שאחרי1,000

יוצא להם טבעי–e , ולשני יוצא אחרי10,000

המספר15 . כך יקרה למורה הזה בכל נושא מתמטי שהוא .ינסה ללמד אותם, מתקדם או בסיסי המסקנה היא שכשהמוח של התלמידים בנוי ב .צורה משונה (מחוץ לקופסה) אין שום דרך ללמד אותם מורה יכול ללמוד אך ורק תלמידים שמוחם בנוי כמו זה שלו. כלומר כאלה שיש להם קופסה זהה לזו שלו. אין פלא שכשמוסד שבנוי בצורה מסוימת ממיין תלמידים, הוא רוצה לקבל רק תלמידים שמוחם בנוי כמו הסטנדרט של המוסד. תלמידים.עם מבנה מוח אחר פשוט לא יוכלו ללמוד שם אין פלא שאיינשטיין וגאונים אחרים היו ידועים כתלמידים גרועים. המוח שלהם בנוי בצורה אחרת מהסטנדרט .של מוריהם ושל כל שאר האנשים, ולכן קשה מאד ללמד אותם המסקנה היא שצ דק מכון לב במדיניותו ל קבל דווקא תלמידים שחושבים בתוך ה קופסה. השאלה .שמטרידה אותי היא רק מדוע הוא משקר וכותב שהוא מחפש דווקא כאלו שחושבים מחוץ לקופסה .טוב, כנראה צריך חשיבה מחוץ לקופסה כדי להבין זאת

כאן .תוכלו למצוא סיפור חביב על חשיבה מחוץ לקופסה