הכיפה של נורטון (טור 687)

תוכן המאמר

בס"ד הכיפה של נורטון

לפני כמה ימים שלחו אליי ל שו"ת באתר פ רדוקס " שלא הכרתי, ששמו בישראל הכיפה של "נורטון Norton's dome . הוא תוקף את התפיסה הדטרמיניסטית של הפיזיקה, ובעצם של ה מ כניקה .הניוטונית זהו מש מקר ה מרתק שעורר בי הרבה מחשבות, ו לבקשת כמה גולשים אנסה לחלוק אותן עמכם.כאן אומר מראש שהט רו הזה הו א קצת טכני, ואני משתמש בו .בסימול מתמטי אני אנסה להסביר אותו כאן ככל שאוכל , אבל איני בטוח ש ז ה יהיה ברור למי ש כלל .אינו מכיר אותו

מבט קצר על דטרמיניזם פיזיק ה לא פעם עסקתי כאן בשאלת הדטרמיניז ם. זוהי תפיסה שלפיה המצב עד ה הווה קובע באופן חד ערכי את העתיד , כלומר שלא ייתכן שמאותה היסטוריה ייצאו שני עתידים שונים. שאלה זו נוגעת ליחסנו לאדם, ו ליחס בינו לבין שאר הטבע, הדומם הצומח והחי . ,מקובל לחשוב שהטבע הוא ודאי דטרמיניסטי והשאלה היא רק לגבי האדם , האם הוא חרי ג ויש לו רצון חו פשי או לא. מתחילת המאה העשרים החלה להתפתח תורת הקוונטים, שהדגימה תחומים לא דטרמיניסט ים בפיזיקה ,עצמה. לאחר מכן בא הכאוס גש ם הוא מוצג לא פעם כחריגה מהדטרמ יניזם הפיזיקלי. כתבתי לא פע ם שלגבי הכאוס זוהי טעות. אין שם שום דבר לא דטרמיניסטי. מה שיש שם הוא קושי חישוב שלנו שנחוץ לניבוי העתיד, אבל העתיד כשלעצמו מוגדר על ידי ההיסטוריה באופ ן חד ערכי. אמנם בתורת הקו ונטים, לפחות בפרשנויות המקובלות , נראה שאכן יש חריגה מהדטרמיניזם. אבל על הפיזיקה הקלסית, לפחות אחרי ששללנו את .עניין הכאוס, יש הסכמה מקיר לקיר שמדובר בתורה דטרמיניסטית לגמרי

תכונ ותיה של המכניקה ה ניוטונית: דטרמיניזם ורוורסיביליות חוקי הפיזיקה , ובפרט המכניקה של ניו ט ון , מתוארים על ידי משוואות דיפרנציאליות שקוב עות את המצב .ברגע הבא על בסיס המצב ששורר בהווה משמעות הדבר היא שאכן ניתן לקבוע קטגורית את העתיד על בסיס ידע מלא של ה ו הו.ה כמובן שאם חסר לנו מידע על ההווה לא נוכל לדעת א ת העתיד (זהו בדיוק המצב בכאוס), אבל ז ו רק בעיה טכנית. אם היה לנו מידע מלא )(ויכולת חישוב מספיקה היינו יודעים את כל מה שעתיד לה .תרחש אקדים הסבר קצר על מושג הנגזרת למי שאינו מכיר . אם יש לי פונקציה ,שתלויה במשתנה אחר כמו למשל מיקום של גוף , , שתלוי בזמן, t, אני עשוי להתעניין ב קצב ה שינו י שלה עם הזמן. האם היא משתנה מהר או ל .אט, ועד כמה ניוטון ולייבניץ ניס חו את מושג הנגזרת ש הוא מושג מתמטי ש מייצג את עוצמת השינוי שלX

עם הזמן וכיוונו (שינוי כלפי מעלה או מטה , כלומר האם המיקום גדל או קט .)ן הנגזרת של המיקום לפי הזמן מוגדרת :להיות (1) 𝑋̇ = ∆𝑥 ∆𝑡

הוא השינוי במקום ו-t

.הוא השינוי בזמן כך, ש אם הגוף עשה שינוי מיקום של10

מטר במהלך קטע זמן של שניות , קצב השינוי של המ יקום הוא5

מטר לשנייה. זו מוגדרת להיות מהירותו של גה .וף המהירות היא קצב ה ש.ינוי של המקום עם הזמן כמובן שאנחנו מכירים תנועה במהירות קבועה (קצב ה ש)ינוי הוא אותו , אבל ייתכן מצב שהגוף משנה כל הזמן את מהירותו. במצב כזה עלינו להתייחס לקטעים קטנים מאד של זמן ( ∆𝑡→0 )ולשאול מה קצב השינוי בכ ל קטע קטן של זמן. התוצא ה עשויה להיות שונה בכל נקו ד .ת זמן על פני המסלול אם נעשה את אותו תעלול למהירות עצמה, כלומר ל – 𝑋̇ , נקבל את קצב שינוי ה מהירות עם הזמן , שהוא .התאוצה של הגוף זוהי הנגזרת השנייה של המיקום, ובו ודאי לא תתפלאו לשמוע ש מסמנים אות ה ב – 𝑋̈

כעת נוכל ל הבין את החוק השני במכניקה של ניוטון , ש קובע את מ :יקומו של גוף דרך המשוואה הבאה (2) m𝑋̈ = F(X,t)

,הוא מיקומו של הגוףm

היא מסתו, ו-

הוא הכוח ש פועל עליו שבעצמ יכול להיות תלוי במקום .ובזמן שתי הנקודות מעל המיקו םX מסמנות ,, כאמור נגזרת שנייה לפי הזמן .

וז הי משוואה דיפרנציאלית , כלומר משוואה הנעלם שלה הוא פונקציה (במקרה שלנו

X(t) , והיא מכילה גם נגזרות שלה . לפתור את המשוואה הזאת פירושו למצוא את מסלולו של הגוף, כלומר את מיקומו בכל נקודת זמן , כלומר את הפונקציהX(t)

לא קשה להבין שהמשוואה הזאת מתארת רק את השינוי במיקו ם (כלומר את המיקום אחרי שעבר זמן

במונחי המיקום בזמןt) . לכן אם נרצה ל רשום את המיקוםX

עצמו בכל נקודת זמןt , הדבר ת לוי בשאלה מאיפה יצאנו )(המיקום ההתחלתי ומה הייתה המהירות בתחילת הדרך. משם והלאה הדינמיקה של ההמשך מתוארת על ידי המשווא ה הנ"ל של ה חו ק השני של נ י .וטון מכאן עולה שכדי לקבוע חד ערכית את ה מסלול שמתאר את מיקומו של גוף ל ר או ך כל ציר הזמן עלינו לדעת את מיקומו ומהירותו ההתחלתיים , ו אז שמה וואה הדיפרנציאלית של החוק השני תיקח אותנו הלאה . אם אין לנו את המיקום והמהירות ההתחלתיים( או מיקום ומהירות בכל נקוד ת זמן אחרת ) .אזי אין לנו מידע מלא במצב כזה לא נוכל לדעת את מיקומו של הגוף בצורה חד ערכית, אבל זה רק בגלל חוסר מידע. בהינתן תנאי ההתחלה, המ ש וואה הזאת קובעת באופן חד ערכי.כל מה שיקרה בהמשך

תכונה נוספת של המכניקה הניוטו ני ת היא הסימטריה בציר הזמן, כלומר ההפיכות. כל תהליך לגיטימי במכניקה שנצפה בו , אם נסריט את הסרט הפוך יתקבל תהליך לגיטימי נוסף. כלומר המכניקה אדישה לציר הזמן. מבחינתה הוא יכול גם לזרום הפוך וזה לא ישנה מאומה. ואכן חידת כיווניות ו של ציר הזמן (למה הוא זורם דווקא מהעבר לעתי )ד ולא להיפך .מעסיקה לא מעט פילוסופים ופיזיקאים הסי בה להפיכות של תהליכי המכניקה היא שהמשוואה הדיפרנציאלית שמתארת את התנועה ב מכניקה של ניוטון היא מסדר שני, כלומר גוזרים את ה מיקום פעמיים לפי הזמן. זה בערך כמו לחלק ב – 2t (בעצם ב – 2)t ) ) ( , גורם שלא מושפע מהיפוך הכיוון של הזמן עבורt

חיובי או שלילי תמיד מתקבל ת תוצאה חיובית. לכן אם הזמן זורם קדימה או אח ו רה, התוצאה היא אותה). חשבו על כדורון קטן שניצב על ראש הר. בשלב כלשהו משחררים אותו והוא מתחיל להתגלגל למטה. מהירותו עולה עם הזמן עד שהוא מגיע לקרקעית והוא ממשיך לנוע הלאה על ה מישור . אם נסריט את הסרט הפוך, נראה גוף שנע על המישור במהירות גבוהה, מגיע לתחתית ההר ומת חיל לטפס. מהירותו יורדת עם הזמן עד שהוא מגיע לראש ההר ונעמד שם. זו ממש תמונת ראי (על ציר הזמן) של המסלול שתיארתי קודם. זו משמעותה של ההפיכות בזמן של המכניקה הנ י .וטונית המסקנה היא שלפי המכניקה הניוטונית אם יש לנו מיקום ומהירות של גוף ברגע זמן מסוים, אנחנו יכולים לדעת את מיקומו ומהירותו בכל רגע זמן עתידי (וגם בעבר), כלומר את כל המסלול באופן חד ערכי. זו תמצית הדטרמיניזם ש ל עו ה מ.המכניקה הניוטונית מסלול של גוף שמתנהל לפי המכניקה הניוטונית גם נקבע חד ע ר כית על ידי מצבו העכשווי והוא גם הפיך )(רוורסיבילי .בזמן

הכיפה של נורטון .נורטון היה מעצב כיפות ידוע במאה שערים שמו ניתן לו לזכר שני זקניו , נורה וטוני זצוקללה"ה ,מ חשובי העדה דחסידי סאטמר דהתם . יום אחד בעודו ,יושב וחולם בחנותו התגלתה אליו סבתו נורה ,ז"ל בחלום והורתה לו לעצב כיפה חדשה בסימטריה גלילית , שזוהי צורתה (זה ו כמובן חתך , והוא אותו חת ך בכל הכיוונים ) :

חתך של כיפת נורטון כשהציר המ אונך הואZ (הגובה , שמסומן כאן ב- h) והמאוזן הוא הציר האופקי . שני המרחקים הללו נמדדים ביחידות של 2𝑔2 3𝑏4

נורה דנן אפילו נתנה ל ונ רטון את הנוסחה של מתאר הכיפה , שהייתה כמובן בקוארדינטות גליליות (כ יאה ל כיפה שצורתה נראית אותו דבר בכל הכיוונים) :

(3) 𝑍= 2𝑏2 3𝑔 𝑟3/2 ; 0 < r < 𝑔2 𝑏4

הוא קבוע כלשהו ו-

הוא תאוצת הכובד (מספר שערכו בערך9.8 .) 1 נורה הסבירה לו ש -r אינו המרחק המאוזן מצירZ אלא המרחק ה ג אודזי , כלומר המרחק שעוברים מראש הכיפה לאורך הכיפה .עצמה כלפי מטה ה מרחק ה ד או ג זי מראש הכיפה עד למטה הואr = 𝑔2 𝑏4

(שימו לב שבציור הציר המאוזן הואX

ולאr , כלומר זהו חתך. אנחנו מתייחסים לזה ככיפה תלת ממדית כ ש-r הוא המרח ק הגאו ד זי מהשיא שלה) .כעת תוכלו להבין ש רוחב הכיפה ה וא כמובן , ביחידו ת שמתוארות בתחתית הציור .

ורטון כמובן שח ה בחומר (בחיידר שלו ד תולדות אברהם יצחק , נוסחאות בקואורדינטות גליליות היו חומר יסוד של כיתה גן), ומיד בנה את הכיפה האמורה והציבה בח לו ן .הראווה של חנותו או אז נקלע לחנות ו של נורטון דנן אליהו הנביא. הוא הניח דורו ן נקודתי בדיוק בקודקוד הכיפה. נורטון שהיה בק י א :טובא במכניקה של ניוטון ציפה לאחת משתיים או שהכדורון יישאר לעמוד שם בראש הכיפה לנצח (להנך דסבירי ל ה ו דאפשר ל ם מצ צ בידי שמים

ראו בכורות יז"ע ב) או שי ת חיל מיד לגלוש במורד הכיפה (להנך ד ס ב ירא להו דאי אפ שר לצמצם בידי שמים.) ואכן ה כדור ע מ ד שם כשעה חדא , ויצאה בת קול ואמרה: אפשר ל צמצם בידי שמים . אלא ד נורטון קשיא ליה מהא דאיכא חיכוך בהך כיפה ומיד של ף אליהו מכיסו נייר פלא ושייף את כל הכיפה עד דלית ב ה חיכוך כלל (הדא הוא ד א מ רי אינשי : תי כו תשבי ישפשף כ יפות )וחיכוכים . לאחר מכן הניח שוב את הכדור למעלה, ו ראה זה פ לא, הכדור המשיך .לעמוד אדהכי והכי כמעט נמנו וגמרו אפשר ל מצ צ ם בידי שמים , אלא ש לפ תע פתאום בלי שום התרעה מוקדמת החל הכדור להת גלגל א .ט אט למטה ,בית המדרש נסער כולו נצחו אראלים וענו ם המצוקים , אך לא נשבה ארו ן הק .ודש נטו השמים ואמת ,המים פרחה באוויר ויושבי ב .יהמ"ד סערו אותו כדורון אזל דלא כמאן : ד למ"ד אפשר ל מצ צ ם היה עליו לעמוד לתמיד, ול שיטה שאי אפשר ל ם מצ צ היה עליו להתגלגל מיד .ויהי הדבר לפלא עד עצם היום הזה. נורטו ן הנבוך פר סם ברחבי קרתא קדישתא דירושלם שכל מי שיפתור את החידה הוא ייתן לו בתו לאישה יו ירש את חנותו (אלא אם ישר ופ ל ה יסטים בעוון עיסוק בחכמות חיצונות רח"ל ). והכיפה נותרה למעצבה ולא נמכרה לאיש .עד שנשכחה מלב כל לאחר שנים רב ות איקלע לחנותיה דנורטון קשישא חכם אחד , ומצא פתר הדבר ( ומאז נקרא שמו פטר הגדול ) .הלה של ף תמ מא חתו ספר א ד מכניקע (נספח ל ת רגום ליידיש של ס פ ר איל משולש מ תלמיד הגר"א , אשר כל ר ז לא אניס ליה ) , וכתב את החוק השני של ניוטו ן ל מ קרה זה .ב התחשב בעובדה שהכוח הפועל על הגוף הוא רק הגר יב טציה והנורמל של הכיפה (כזכור, אין חי )כוך . התנועה היא כמובן בכיוון המשיקי ל יפה כ (ו קי"ל ד הכוח בכיוון ההוא יוצ א𝑏2√𝑟 ,טב מו ע הדברים המשוואה הזאת היא עם )סימטריה גלילית (אין תלות בזווית . על כן זכינו לדין זה :

(4) 𝑟̈ = 𝑏2√𝑟 ז והי משוואה דיפרנציאלית שפתרונה ייתן לנו את המרחק הגאודזי של הכדורון מראש הכיפה כפונקציה .של הזמן כזכור , כדי להגדיר את ה מסלול בכל זמן, עלינו להוסיף תנאי התחלה. במקרה שלנו הכדורון מתחיל כשהוא ע ומד על ראש הכיפה:, ולכן תנאי ההתחלה הם r(t=0) = 0 ; 𝑟̇(𝑡= 0) = 0 מתברר שלמשוואה הזאת יש שני פתרונות . הראשון הוא :

(5a) r(t) = 0 ז פ הו תרון שבו החלקיק נותר לעמוד על ראש הכיפה כל הזמן ולא זז .

:אבל יש לה גם פתרון שני (5b) r(t) = { 0 ; 𝑡≤𝑇 144 [𝑏(𝑡−𝑇)]4 ; 𝑡≥𝑇

אפשר היה לכתוב כאן סתם קבועK

כלשהו. נוח יותר לבטא אותו עםg ולשם כך עלינו להכניס ק בוע פרופורציהb .

פתרו הזה אומר שהחלקיק מחכה בעמידה על ראש הכיפה זמן כלשהוT , ומשם והלאה הוא מתחיל להתגלגל למטה. הזמןT

.שרירותי, כלומר יכול להיות כלשהו במי ל ים אחר ות , בעצם יש כאן אינסוף פתרונות (עבור כל ערך שלT , וגם הפתרון הראשון הוא פשוט השני כאשרT → ∞ .)

כלומר הכדורון .יכול להחליט להתגלגל בכל רגע שעולה בדעתו, ואין שום דבר שקובע לו מתי לעשות זאת, אם בכלל ,יתר על כן בגלל הסימטריה הגלילית הוא יכול להתגלגל למטה בכל כיוון שעולה בדעתו, כלומר בכל .זווית שירצה אפשר לראות את ריבוי הפתרונות דרך תכונת הרוורסיביליות של המכניקה הניו ט ונית . נניח שהחלקיק נע במהירות כלשהי מלמטה לכיוו ן הכיפה , והוא מטפס עליה ומ אט. אפשר לכוונן את המהירות ההתח י לת ת שלו כך שכ שהוא יגיע לפסגה ה ו א בדיוק יעצור שם . זה כמובן יקרה מכל כי וון שהוא יגיע לכיפה באותה מהירות , בגל ל הסי מטריה ה .זוויתית אם נחזור לרוורסיביליות של המכניקה, זה אומר שאם נסריט את הסרט הפוך נקבל פתרון שקול ל בעיה, כלומר אי נסוף פתרונות שבהם הכדורון מתגלגל לכל הכיוונים האפשריים ומתחיל לעשות זאת בכל זמןT

.שירצה כך גם תו כלו ל בין ה מדוע לא נ תן לנסח את הפרדוקס הזה עבור כ יפה כדורית רגילה. בכיפה כדורית אם הכדורון מגיע אליה במהירות שתגרום לו לעצור בדיוק למעלה, יהיה עליו לעלות ולהאט עוד ועוד .עד שיעצור על הכיפה מתברר שב כיפה כדורית התהליך הזה לוקח לו זמן אינסופי, ולכן ההיפוך שלו לא יכול להתחיל. כדורון שיעמוד על ראש כיפה כדורית לא יתחיל לנוע כלפי מטה אף פעם כי תחילת התנועה היא אחרי זמן אינסו יפ (זה מקביל לפתרון הראשון של הבעיה שלנו: T → ∞ ). מה שמייחד את הכיפה של נורטון הוא ש זמן ייה ל הע של הכדורון מלמטה עד שהוא נ עצר בראש הכי פ ה הוא סופי , ולכן הפתרונות ההפוכים הם קבילים ומתרחשים ב זמן סופי. זוהי הסיבה לכך ש היינו צריכים להגדיר את ה צורה ק דוו א באופן המיוחד ש נוסח ה( ) .

ומ שעה שחזה נורטון בהך פלא, נטל את הכ י פה הקסומה ו חזה בפלא נוסף : מרן בעל חידושי הרי"ם בכ ר חזה כל זאת רוח קדשו ( וי"א שקיבלה במסורת מהקוצקר) , וכך נו לדה כי פ ת גור עם ה ב לעטל באמצע ה .

לעצם הבעייתיות : מבט ראשוני עד כאן חישוב מתמ טי. אלא שכיפת נורטון נחשב ת כפרדוקס ולא כסתם מקרה מוזר. הסיבה לכך היא שהיא סותרת את הנחת הדטרמיניזם של המכניקה של ניוטון. אם מתבוננים בפתרונות הללו רואים ,שבמצב נתון עם תנאי התחלה מוגדרים היטב תקבלים כמה וכמה פ ת רונות. הכדורון יכול להתחיל .להתגלגל בכל זמן וכיוון שירצה (או לא להתגלגל כלל). מה אם כן גורם לו לבחור זמן וכיוון? מאומה זה נקבע שרירותית, סוג של הגרלה . נמצא של מסלול תנועת הכדורון אין סי בה , וגם לא לעצ ם תחילת .התנועה הוא פשוט מחליט פתאום לנוע בלי שהשת ה מאומה בסביבתו והוא בוחר כיוון בלי שיש סיבה כלשהי להע דיף את ה כיוון הזה על אחרים. נראה כאילו שיש לו רצון חופשי או סתם מנגנון של ה גרלה. זה סותר את ה אופי הדטרמיניסטי של המכניקה הניוטוני ת שפגשנו למעלה .

עמדתי על כך שכאשר אנחנו פגשים פרדוקס עומדות בפנינו ש לוש :אפשרויות . למצוא טעות במהלך הלוגי . . לוותר על אחת ההנחות שלנו . .לוותר על המסקנה ש נסתרת על ידי הפרדו קס (כלומר לראות בו הוכח ה בדר ך השלילה לכך שטעינו.)

הערתי שם ש יש גם אפשרות ר:ביעית ,להישאר בצ"ע כלומר לא לוותר על ההנחות ולא על העמדה שנסתרה על ידי הפר ,דוקס ולהניח שיש כאן פ גם בטיעו ן למרות ש בינתיים אינ נו מוצא ים .אותו כיצד כל זה מתי ש ם לגבי המקרה של נו?

האפשרות הראשונה כנראה אינה .נכונה מדובר בחישוב מתמטי והוא נראה נכון לגמרי. האפשרות השנייה פירושה לוותר על חוקי ניוטון במכנ יקה. אלא שזו אינה אופציה, שכן גם אם חוקי ניוטון אינ ם נכונים הפרדוקס בעינו. שימו לב שהבעיה לא נוצרה כתוצאה מניסוי, שלכאורה מראה לנו שהתיאוריה שלנו אינה.נכונה הבעיה נוצרה מתוך .יישום התיאוריה עצמה כלומר התיאוריה עצמה פרדוקס לית .ולא הפיזיקה .היא אמורה להיות דטרמיניסטית והיא לא האפשרות השלישית היא לוותר על הנחת הדטרמיניזם. הרי את הדטרמיניזם שאבנו מתוך חוקי ניוטון (בגלל שהם )מתוארים על ידי משוואה דיפרנציאלית , והדוגמה הזאת מראה לנו ששאבנו לא נכ ון . מתברר שיש מקר י ם שבהם חוקי ניוטון אינם דטרמיניסטיים למרות שהם אינם אלא משוואה דיפרנציאלית . ה אפשרות הרביעית לא נראית כאן רלוונטית, שכן לא רק שלא מצאנו פתרון אלא שהוכחנו שאין ולא יכול להיות

פתרון. לכאורה אין מנוס אלא לוותר על הנחת .הדטרמיניזם הטעות שלנו היא ב כך שחשבנו שחוקי .ניוטון הם דטרמיניסטיים מתברר ש .הם לא

?האם באמת הדטרמיניזם הוא תוצר של חוקי ניוטון אני חושב שמה שכל כך מטריד בפרדוקס נורטון הוא שהדטרמיניזם אינו רק תוצר של התבוננות בחוקי ניוטון. אם זה היה המצב, אז באמת מתבקש היה .לוותר עליו טעינו, שכן מתברר שמ חוקי ניוטון לא עולה דטרמיניז ם . הבעיה שלנו כאן היא שעקרון הסיבתיות קובע ששום דבר לא מתרחש ללא סיבה , ולא רק חוקי ניוטון . הדטרמי ניזם יוצ .א מהעיקרון האפריורי הזה ולא מחוקי ניוטון חוקי ניוטון רק מבטאים , בין היתר, גם .אותו גם אם היה מתברר שחוקי ניוטון אינם נ כונים עדיי הייתי מצפה שהחוקים הנכונים יהיו ד טרמיניס ט .יים ,אם כן הוא הדין בענייננו . גם אם הייתי מוכן לקבל את המסקנה שחוקי נ יוטון אינם דטרמיניסטיים , המסקנה הייתה צריכה להיות ש כעת אי אפשר כבר לראות בהם תיאור סביר וקביל להתנה ות ג ם של עצמים פי זיקליים, שכן זו נדרשת להיות סיבתית ודטרמיניסטית. דברים לא מתרחשים ללא סיבה, ולכן הכיוון "והזמן שבו "בוחר הכדור ון שלנו להתגלגל, צריכים להיות תוצאה של סיבה כלשהי ולא ל היבחר .שרירותית ,במילים אחרות נראה ש מה שהניסוי המחשבתי הזה מראה לנו הוא שחוקי ניוטון אינם תיאור נכון של הטבע הפיזיקלי שכן הוא צריך להיות דטרמיניסטי .

ניתן כמובן לטעון שתורת הקוונטים מלמדת אות .נו שזה אינו נכון מתברר שדווקא יש נן התרחשויות .פיזיקליות ללא סיבה ,אם כן קע ר ון הסיבתיות אינו באמת כללי ומחייב, וייתכנו מצבים פיזיקל יים שבה ם קורים דברים ל ל .א סיבה ,ואם בקוונטים כך, למה שלא יהיה אותו דבר במכניקה קלסית?! ובכל זאת התחושה היא שמשהו כאן בעייתי. עקרון ה יבתיות כן אמור להיות נכון לפחות במישור הקלסי. איכשהו זו לא תוצאה אפריורית שאינה ניתנת לבחינה אמפירית (שהרי תורת הקוונטים מערערת עליה), אבל בכל זאת איננו מוכ נים לוותר עליה בהקשרים קלסיים. למה? סוג של אינטואיציה , שגם אם אינה כללית ולא א יבדנו את האמון שלנו בה. בשולי דבריי אעיר שגם ביחס לתורת הקוונטים אי ן הסכמה שהיא אכן לא סיבתית. ישנן פרשנויות שונות (למשל שהיא סיבתית אבל לא לוקלית, או שיש משתנים חבויים ששולטים בתופעות הקוונטי ות רק שהם אינם מדידים ולכן איננו רואים את השפעתם הסיבתית וכדומה ) . האינטואיציה הסיבתי ת-דטרמיניס ט ית שלנו חזקה מאד, ואם בתורת הקוונטים איננו מ וותרים עליה כל .כך מהר, קל וחומר ביחס למכניקה הקלסית טוב, אז מה אפשר לעשות עוד? לכאורה הכל כאן סגור ואין שום מוצא. המסקנה ההכ רחית היא ש אם איננו מ וותרים על עקרון ה ס ת יב יות אזי בהכרח חוקי ניוטון אינם מתארים באופן מלא .את הטבע

הפתרונות המקובלים בערך ו י קיפדיה שאליו לינקקתי למעלה, ישנה טענה שהכוח אינו גזיר ב- r=0, וכש אין לו רציפות ליפשיץ לא מתקיים הכלל של יחידות ה פ תרון למ שוו אה הדיפר נ ציאלית. זה כמ ובן לא פותר את הבעיה, אלא רק אומר ש חוקי ניוטון אכן אינם תמיד דט רמיניס ט.יים אבל למעלה כבר ראינו שזה אינו פתרון לבעיה .האמתית שלנו זה לכל היותר אומר שחוקי ניוטון לא מתארים את הטבע , שכן הם אינם דטרמיניסטיים .

.בהמשך השרשור שבו עלתה הבעיה, אריה העלה כמה נקודות שמנסות לפתור אותה באחת מהן הוא ט ש ען הניתוח שראינו לא מ צביע על כך שקורה משהו ללא סיבה פיזיקלית , אלא שבמערכת הזו ב כל .רגע יכול לקרות משהו כזה הוא אפילו הוסיף שזה יכול להיות פתח ל טענה שיש מרווחים בטבע (בניגוד למה שאני נוהג לכתוב), ולכן יש מקום ל רצון חופשי או מעורבות א ל והית גם מסגרת חוקי ה ט.בע אך עניתי שם שזה אינו פתרון, שכי הניסוי מראה שיכול לקרות משהו כזה, ודי בכך כדי לערער על הדטרמיניזם של חוקי ה מ.כניקה לא צריך שזה יקרה בפועל. חוצמזה, למה להניח שזה לא יקרה בפועל אם עקרונית זה יכול לקרות !?

עוד הוא הביא שם ש נורטון ע צמו טע ן שאין פרדוקס אם מנסחים אחרת את החוק השני של ניוטון: בכל רגע שלא פועל כוח אין ת אוצה וכשיש כוח יש תאוצה. ,אם נתבונן בכדורון שלנו עד הזמן שהגוף מתחיל לנוע ( tT יש תאוצה, א לא שאז כבר פועל עליו כ .וח ,אם כן אין שום נקודה בזמן

שבה החוק מופר, ולכן אין פרדוקס . אבל הניסוח הזה לא מסביר כיצד הגוף עובר מראש הכיפה לנקודה שליד שבה כבר פועל עליו כוח. משהו כאן עדיין .לא מתיישב

הפ תרון שלי : אין מרובע מ ששת ימי בראשית שראיתי את הפרדוקס , המחשבה הראשונית שלי הייתה שהבעיה .היא בצורה של הכיפה פשוט לא יכול ה להיות בטבע כיפה כזאת. אמנ ם צורת ה פה כי רציפה ו גזירה, אבל רק פעם אחת. אין שם נגזרת שנייה מוגדרת .מ שמעות הדבר היא שאם תציירו את הגובה כפו נקציה של המרחק האופקיX

תקבלו שפיץ ב- 0. זה אומר שהשיפוע ים מימין ומשמאל לשפיץ ה ם שונים והנגזרת השנייה תהיה לא רציפה )(אין לה ערך יחיד באותה נקודה .

.הטענה היא שאין בטבע אי רציפויות ושפיצים. ולכן לא ייתכן שתהליך כזה יתרחש במציאות שלנו במילים אחרות ניתן לומר שכדי לדבר על אובייקט בעל צו ר ה כזאת צריך להתייחס למרח ים ק ברזולוציה ג בוהה מאד (מוחלטת), מה שלא ניתן לעשות. במצ י אות אם יורדים לרזולוציה מוחלטת אין ב כלל משמעות לרציפויות שכן אנחנו בעולם שבו יש אטומים בדידים ז צ ה ל.ד זה יתר על כן, ברזולוציות כאלה שולטת תורת הקוונטים ולא ה כניקה הקלסית ולכן כל הניתוח כאן אינו נכון. במי ל ,ים אחרות המכניקה קה .לסית לא עוסקת בסוג כזה של צורות .לזה אולי כיוון נורטון (האמתי, לא ההוא ממאה שערים), כשאמר שהכוח והתאוצה תמיד תואמים הי ת תי שם כיצד הוא יסביר את המעבר לש הכדורון מ ראש הכיפה לנקודה בצד ?שבה הכוח כבר קיים .התשובה היא שאין מעבר כזה כי צורה כזאת לא יכולה להיות קיימת הטבע הו א רציף. לכן גם למדונו המתמטיקאים ש לא נכון ל אר קו רצי ף כאוסף צ פוף של נקודות שניצ ב ות זו לצד זו (זו הי ו תכ נת הצפי פ ות של הרצ)ף . ומכאן ש אי אפשר לדבר על מעבר מהנקודה שבראש הכיפה לנקודה הכי קרובה אליה ב .צד תכונת הצפיפות מלמדת אותנו ש אין נקודה הכי קרו .בה א בל זה בדיוק אומר שצורה כזאת שבה אנחנו מד י בר ם על נקודה מתמ ט ית מוגדרת בדידה אחת אינה יכולה להימצא במציאות. במציאות יש רק רצף . כפי שהערתי ל רא ,יה ההסבר הזה של נורטון א הו בעצם .ביטוי לאי הרציפות של הצורה מעניין שעניי ן זה מוזכר כבר בתלמוד ה ירושלמי (מעשרות פ"ה ה"ג . ראו גם ב תוספתא מעשרות פ "ג) : רבן שמעון בן גמליאל אומר: אין מרובע מששת ימי בראשית .

אמנם המדרש ב מכילתא בשלח יד, א , כותב שבמאכלים.יש מרובע בפשטות הכו נה ו הי א שאדם יכול לעשות צורות מרובעות , רק הטבע לא עוש ה ' שפיצים' . בטבע הדברים מעוגלים (כלומר רציפים וגזירים .) זה יכו ל להיות קשור לכך ש א י אפשר לצמצם בידי שמים גם אם .בידי אדם אולי כן ד ב רים ש נ וצרים במקרה ולא במכוון הם לעולם ע ג ולים . .כך דרכו של הטבע כדי ליצור שפיץ , דרושה כוונה יזומה של .אדם .מעשיו של בשר ודם יפים יותר, לידיעת נורטון ידידנו ממאה שערים אמנם יש לדו בזה שכן הצורה עצמה היא פ רצי ה וגזירה . האם הטבע לא עושה גם שפיצים ב תר גז נ ? כלומר האם לא ייתכן ש ת יווצר בטבע צורה שהיא אמנם מעוגלת , אבל ?הנגזרת השנייה שלה לא קיימת חושתי היא ש אל . בטבע הכל אמור להיות רציף, הפונקציות והנ זרות . המשתנים ש בה ם אנחנו בוחרים להשתמש אינם חשובים לטבע. זו רק בחירה שלנו. מבחינתו ברגע שיש גודל לא רציף כלשהו זה לא פא שרי ( הרי יכולנו לבחור להשתמש דווקא בו בניסוח המתמ י שלנו , ואז הייתה כאן אי רציפות כבר בנגז ר ת הראשונה) .

אני חושב שה פתרון שמד בר על רציפות לי פשיץ בעצם מתכוון לזה. ה ט ענה אינה שהכוח אינו גזיר אלא שהצורה אינה .גזירה פעמיים היצור הטבעי כאן הוא הצורה ולא הכוח שנוצר על ידה .

בחז רה לפרדוקס ,סוף דבר נראה ש אפשר להישאר םע ההנחה הסיבתי ת – דטרמיניסטית ב מכנ יקה הקלסית, ו ביחד עם זה לא לוותר על חוקי ניו ט ון .כתיאור של המציאות חוקי ניו טון מתארים ב )מדויק את המציאות (הקלסית וזה לא סותר את הדטרמיניזם ש שורר בה , אם כי אותם חוקי ם עצמ ם שיופעלו על מצבים שלא יכולים להופיע במציאות אינם בהכרח דטרמיניס ט.יים גם זה חידוש לא קטן, אבל את זה אפשר לעכל. זהו

אמנם הצורה למעלה מוגדרת על ידי התלות שלZ ב- , ו לא בדקתי את התלות שלZ ב- . ייתכ ן ששם יש אי רצי פ ות כבר בנגזרת הר שונה . אינני חושב כך , אבל זה בין כה וכה.לא חשוב אם אין בטבע נגזרת שנייה לא רציפה, אז ודאי שאין בטבע אי רציפות כזאת שבתלות במש ת נה אחד תופיע בנגזרת הראשונה ובשני היא תהיה בשנייה. לטבע לא אכפת באלו משתנים אני משתמש. הוא אוהב ר ציפות .וגזירות וזהו

בעצם חידוש מתמטי ולא פיזיקלי (אני חושב שמתמטיקאים בכלל לא יתרגשו מזה. ברור שאם לא מתקיימים התנאים אין יחידות של הפתרון . הבעיה מעיקרא צ נו רה רק בגלל המשמעויות הפיזיקליות של העניין ) .